Potentialtheorie
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Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 1 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ 1 Einleitung 2 Strömungssimulation in Windkanälen 3 Numerische Strömungssimulation 4 Potentialströmungen 5 Tragflügel unendlicher Streckung in inkompressibler Strömung 6 Tragflügel endlicher Streckung in inkompressibler Strömung 7 Aerodynamik der Klappen und Leitwerke 8 Kompressible Strömungsmechanik (Gasdynamik) 9 Kompressible Aerodynamik 10 Stabilität und Steuerbarkeit 11 Literatur Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 2 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Potentialströmungen Drehungsfreie und drehungsbehaftete Strömungen Aufteilung von Strömungen in einen drehungsfreien und einen drehungsbehafteten Anteil a) Drehungsbehaftete b) dl/dt ≠ 0 ⇒ ⇒ Drehungsfreie Strömungen Drehungsbehaftete Strömungen drehungsfreie Strömung dl/dt = 0 = = Potentialströmungen Potentialwirbelströmungen Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 3 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Drehung r r v ω Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsvektor und Drehvektor r 1 r ω = rotv 2 Einzelkomponenten 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞ ω x = ⋅ ⎜⎜ z − y ⎟⎟, ω y = ⋅ ⎜ x − z ⎟, ω z = ⋅ ⎜⎜ y − x ⎟⎟ 2 ⎝ ∂y 2 ⎝ ∂z 2 ⎝ ∂x ∂x ⎠ ∂y ⎠ ∂z ⎠ Ebener Fall, d.h. bei 2-dimensionalen Strömungen gilt 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞ ω z = ⋅ ⎜⎜ y − x ⎟⎟ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ Vereinfachung durch ω x = ω y = 0, ω z = ω und v x = u , v y = v 1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ω = ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 4 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Wirbellinie, Wirbelfaden und Wirbelröhre Analogie zur Stromlinie ⇒ Wirbellinie = Kurve in einem drehungsbehafteten (= wirbelbehafteten) Strömungsfeld, die zu einem betrachteten Zeitpunkt an jeder Stelle mit der Richtung des Drehvektors (Wirbelvektors) übereinstimmt Analogie zum Stromfaden ⇒ Wirbelfaden = Zusammenfassung aller Wirbellinien, die durch eine r Fläche A hindurchtreten, wobei ω über den Querschnitt konstant gesetzt wird Analogie zur Stromröhre = Hüllkurve des Wirbelfadens ⇒ Wirbelröhre Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 5 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Zirkulation Linienintegral der Geschwindigkeit längs einer geschlossenen Kurve liefert die Zirkulation Γ ⇒ Berechnung des Auftriebs Annahme v Momentane lokale Geschwindigkeit v an jeder Stelle einer drehungsbehafteten (wirbelbehafteten) Strömung ist bekannt ⎡ m2 ⎤ v v Γ = ∫ v ⋅ dl = Γ = ∫ v ⋅ dl = Γ = ∫ v ⋅ cos α ⋅ dl ⎢ ⎥ ⎣ s ⎦ (L ) (L ) (L ) Sonderfälle π v v α= ⇒ cos α = 0 ⇒ dΓ = v ⋅ dl = 0 2 v v α = 0 ⇒ cosα =1 ⇒ dΓ = v ⋅ dl = v ⋅ dl Zusammenhang zwischen Drehung und Zirkulation v v v v Γ = ∫ v ⋅ dl = 2 ⋅ ∫ ω dA (L ) ( A) (Stoke'schen Zirkulationssatz) Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 6 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Wirbelgleichungen Räumlicher Wirbelerhaltungssatz (1. Helmholtz'scher Wirbelsatz) Quellfreiheit eines Wirbelfelds Eine Wirbellinie kann in einem Strömungsfeld weder beginnen noch enden, sondern sie bildet entweder einen geschlossenen Wirbelring oder reicht von einer Grenze des Strömungsbereichs an eine andere Differentielle Form Integrale Form ∂ω x ∂ω y ∂ω z r + + =0 div ω = 0 ⇔ ∂x ∂y ∂z r ∫ div ω dV = ∫ ω ⋅ dA = 0, Γ = 0 r V r A Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 7 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Zeitlicher Wirbelerhaltungssatz (2. Helmholtz'scher Wirbelsatz) Zeitlicher Wirbelerhaltungssatz Kein Fluidelement kommt in Drehung, welches sich nicht von Anfang an bereits in Drehung befindet Für den ebenen Fall mit vx = u und vy = v und ωz = ω gilt ∂ω dω ∂ω ∂ω = +u =0 +v dt ∂t ∂y ∂x Zeitlicher Erhaltungssatz der Zirkulation (Thomson) Thomson'scher Satz Zirkulation in einer reibungsfreien Strömung ist konstant dΓ = 0, dt Γ(t ) = const . Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 8 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Geschwindigkeitspotentiale r Strömungsfeld v kann in drehungsfreien und drehungsbehafteten Anteil zerlegt werden r r r v = v1 + v2 - drehungsfreil - drehungsbehaftet r r v1 : rot v = 0 r r v2 : rot v ≠ 0 Zusätzlich gilt r v - drehungsfreier Anteil 1 ist quellbehaftet r v - drehungsbehafteter Anteil 2 ist quellfrei - quellbehaftet - quellfreil r r v1 : div v ≠ 0 r r v2 : div v = 0 Quellfreies Strömungsfeld Entspricht der Kontinuitätsgleichung, d.h. dem betrachteten Kontrollvolumen wird weder ein Massestrom zu- noch abgeführt Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 9 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Für inkompressible Strömungen muß gelten r r r v1 : rot v1 = 0, div v1 ≠ 0 r r r v 2 : rot v 2 ≠ 0, div v 2 = 0 Bedingungen werden erfüllt durch - skalares Geschwindigkeitspotential Φ und r - vektorielles Geschwindigkeitspotential Ψ (= Wirbelpotential) r r r v1 = grad Φ , v 2 = rot Ψ Vereinfachung des Geschwindigkeitspotentials für zweidimensionale Strömungen r r Ψ = Ψx , Ψy , Ψz zu Ψ = Ψz = Ψ ⇒ Stromfunktion Ψ ( ) Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 10 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ r r rot v = 0 div v = 0 ) Strömungsfeld gilt Für ein drehungsfreies ( ) und quellfreies ( r r v = grad Φ = rot Ψ ⇒ Berechnung der Geschwindigkeitskomponenten v x = u , v y = v aus der Potentialfunktion Φ oder der Stromfunktion Ψ berechnen vx = ∂Φ ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ = = u, v y = = =v ∂x ∂y ∂y ∂x (ebener Fall) Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 11 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Strom- und Potentialfunktion Stromlinien Linien gleicher Stromfunktion Ψ(x, y ) , d.h. Ψ = const . - Stromlinie stimmt zu einer bestimmten Zeit an jeder Stelle mit der dort vorhandenen Richtung des Geschwindigkeitsvektors überein - Die zu einer Stromlinie gehörenden Geschwindigkeitsvektoren bilden Tangenten an die Stromlinie - Stromlinien können keine Unstetigkeitsstelle (Knick) haben und sich auch nicht überschneiden - Stromlinie = Bahnlinie bei stationären Strömungen Potentiallinien Linien gleicher Potentialfunktion Φ( x, y ) , d.h. Φ = const . Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 12 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Strom- und Bahnlinie Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 13 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Strom- und Potentiallinien Potentiallinien z.B. Höhenlinien in einer Landkarte, d.h. Linien gleicher Höhe, d.h. gleiche potentielle Energie Bedingungen für Strom- und Potentialfunktionen Ψ = Φ = const. ⇒ dΦ = dΨ = 0 und somit ∂Φ ∂Φ ⋅ dx + ⋅ dy = u ⋅ dx + v ⋅ dy = 0 ∂x ∂y ∂Ψ ∂Ψ dΨ = ⋅ dx + ⋅ dy = − v ⋅ dx + u ⋅ dy = 0 ∂x ∂y dΦ = ⇒ ⇒ u ⎛ dy ⎞ v ⎛ dy ⎞ =− , ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ v ⎝ dx ⎠ Ψ =const. u ⎝ dx ⎠ Φ =const. Strom- und Potentiallinien bilden im ebenen Fall zwei Kurvenscharen, die senkrecht aufeinander stehen Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 14 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Geschwindigkeits- und Druckfeld r r Aus der Bedingung für die Drehungsfreiheit des Geschwindigkeitsfelds v (r ) r rot (v ) = 0 r ( ) wegen Φ r lassen sich durch die Potentialfunktion, d.h. das skalare Geschwindigkeitspotential r v = grad Φ die Geschwindigkeitskomponenten berechnen vx = ∂Φ ∂Φ ∂Φ , vy = , vz = ∂z ∂x ∂y Für inkompressible Strömungen ergibt sich über die Bernoulli'sche Druckgleichung aus dem rr r Geschwindigkeitsfeld v (r ) das Druckfeld p(r ) p+ρ⋅g⋅z+ ρ r2 2 r ⋅ v = const. , v = grad Φ Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 15 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Wandstromlinie Annahme Reibungsfreie Strömung ⇒ Jede Stromlinie kann als Wandstromlinie definiert werden ⇒ Kontur eines Körpers kann durch eine Stromlinie abgebildet werden ⇒ Kein Unterschied zwischen einer Stromlinie und der realen Wand ⇒ Geschwindigkeiten und Drücke, die für eine Stromlinie berechnet werden, entsprechen den Werten an der Körperkontur Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 16 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Potentialgleichung Vollständige Potentialgleichung Annahmen - Drehungsfreie, reibungsfreie und kompressible Strömung - Konstante Enthalpie - Konstante Entropie (problematisch bei Verdichtungsstößen) ⇒ Beschreibung des Strömungsfelds durch eine einzige Gleichung mit einer abhängigen Variable, dem Geschwindigkeitspotential Φ r ∇Φ = v r Geschwindigkeitsfeld v entspricht dem Gradientenfeld von Φ Vollständige Potentialgleichung für stationäre Strömungen ⎛ ∂Φ 2 ⎞ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ⎛ ∂Φ 2 ⎞ ⎛ ∂Φ 2 ⎞ ∂Φ ∂Φ ⎟ ⎜ 2⋅ 2⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 2⋅ ⋅ 2 2 2 ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ y x y y ∂z ∂ 2 Φ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎜ z x z ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜1 − ∂x ⎟ ⋅ =0 ⋅ − ⋅ − ⋅ + 1− 2 ⎟ ⋅ 2 + 1− 2 ⋅ 2 − ⎜ ⎜ a 2 ⎟ ∂x 2 ⎜ a a ⎟ ∂z a2 a2 a2 ∂y ⋅ ∂z ∂x ⋅ ∂z ∂x ⋅ ∂y ∂y ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 17 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Linearisierte Potentialgleichung (Laplace-Gleichung) Annahmen Linearisierte Theorie oder Theorie der schwachen Störungen Die vom umströmten Körper hervorgerufenen Störgeschwindigkeiten im Strömungsfeld sind klein im Vergleich zur Anströmgeschwindigkeit ⇒ Linearisierung der vollständigen Potentialgleichung ⇒ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ΔΦ = 2 + 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂z ⇒ Berechnung schlanker Köper, z.B. Profile Laplace-Gleichung Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 18 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Ebene Potentialströmungen Lineares Superpositions- und Vertauschungsprinzip Linerarisierung der Potentialgleichung ⇒ Lineare Überlagerung von Elementarlösungen Φ = a1 ⋅ Φ1 + a 2 ⋅ Φ 2 + a3 ⋅ Φ 3 + ... + a n ⋅ Φ n Überlagerung von einfachen Strömungen ⇒ Erzeugung komplexer Strömungen bzw. Berechnung komplexer Strömungen aus linearer Überlagerung von Elementarlösungen Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 19 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Staupunkt-, Ecken-, Translations- und Randumströmung Allgemeine Potential- und Stromfunktion für Strömung um ebene Winkel oder Ecken a a Φ = ⋅ r n ⋅ cos(n ⋅ ϕ ), Ψ = ⋅ r n ⋅ sin (n ⋅ ϕ ) n n n≥2 2>n>1 1 > n > 0.5 Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 20 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Staupunkt-, Ecken-, Translations- und Randumströmung n=2 n=1 n = 1/2 Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 21 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Quell- und Sinkenströmung - Strömung breitet sich radial aus - Stromlinien ( Ψ = const . ) bilden vom Ursprung ausgehende Strahlen - Stromfunktionen: Ψ = a ⋅ϕ - Potentiallinien ( Φ = const. ) bilden konzentrische Kreise um den Ursprung - Potentialfunktion: Φ = a ⋅ ln r Sinke Stromlinien verlaufen nach innen Quelle Stromlinien verlaufen nach außen Ergiebigkeit E Ergiebigkeit E = 2 ⋅ π ⋅ a bezeichnet den aus der Quelle der Breite b austretenden Volumenstrom In Abhängigkeit davon ob E > 0 oder E < 0 ist, wird diese Strömung als Quelle oder Sinke bezeichnet Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 22 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Potentialwirbel (Stabwirbel) Vertauschen der Potential- und Stromlinien einer Quell- bzw. Sinkenströmung - Stromlinien bilden konzentrische Kreise um den Ursprung - Potentiallinien verlaufen radial nach außen ⇒ Potentialwirbel Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 23 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Potentialwirbel (Stabwirbel) Potential- und Stromfunktionen in Polarkoordinaten Φ = c ⋅ϕ , Ψ = c ⋅ ln r Konstante c ist ein Maß für die Stärke der Drehbewegung und läßt sich über die Berechnung der Zirkulation Γ bestimmen ⇒ Geschwindigkeitskomponenten vr = 0, vϕ = ⇒ Γ 2 ⋅π ⋅ r Berechnung der Drehung senkrecht zur Strömungsebene ω = ωz = ⎛ ∂ (r ⋅ vϕ ) ∂vr 1 (rot vr )z = 1 ⋅ ⎜⎜ − ∂ϕ 2 2 ⋅ r ⎝ ∂r ⎞ 1 d (r ⋅ vϕ ) ⎟⎟ = ⋅ ⋅ r dr 2 ⎠ Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 24 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Potentialwirbel (Stabwirbel) Aus der Geschwindigkeitskomponente vϕ , d.h. r ⋅ vϕ = Γ = const . 2 ⋅π folgt - Für alle Werte von r ≠ 0 wird die Drehung ω z zu Null - Lediglich für r = 0 ergibt sich ein Wert für die Drehung ω z ≠ 0, ⇒ Im Ursprung bei r = 0 liegt ein Wirbelfaden mit infinitesimalem Querschnitt vor ⇒ Bezeichnung Stabwirbel Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 25 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Dipolströmung Kombination einer Quelle mit einer Sinke in einem endlichen Abstand l ⇒ Dipolströmung Stromfunktion Ψ =const. stellt eine Schar von Kreisen dar, durch alle Quell- und Sinkenpunkte Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 26 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Dipolströmung Stromfunktionen berechnet sich nach dem Prinzip der linearen Überlagerung Ψ =Ψ Quelle +Ψ Sinke = E ⋅ (ϕ1 − ϕ 2 ) 2 ⋅π Potentialfunktion Φ = Φ Quelle + Φ Sinke = E ⋅ (ln r1 − ln r2 ) 2 ⋅π - Verringerung des Abstands l zwischen Quelle und Sinke auf den Wert Null - Umgekehrt proportionale Erhöhung der Ergiebigkeit E zum Abstand l ⇒ Dipolströmung mit dem Dipolmoment M M = E ⋅l Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 27 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Dipolströmung Potential- und Stromfunktion der Dipolströmung ergeben sich aus dem Grenzübergang für einen verschwindenden Abstand l zwischen Quelle und Sinke ⎛ ln M Φ ( x, y ) = ⋅ lim⎜ 2 ⋅ π l →∞ ⎜ ⎝ (x + l )2 + y 2 − ln l x 2 + y 2 ⎞⎟ ⎟ ⎠ Potentialfunktion in kartesischen und Polarkoordinaten Φ ( x, y ) = M x ⋅ 2 2 ⋅π r bzw. Φ ( x, y ) = M cos ϕ ⋅ 2 2 ⋅π r Stromfunktion in kartesischen und Polarkoordinaten Ψ ( x, y ) = − M y ⋅ 2 ⋅π r 2 bzw. ( ) . Ψ x, y = − M sin ϕ ⋅ 2 ⋅π r 2 Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 28 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Dipolströmung Stromlinienbilder eines ebenen Dipols Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 29 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Umströmung zylindrischer Körper Ebener Halbkörper Überlagerungsprinzips der Potentialtheorie ⇒ Berechnung von ebenen Körpern, die sich in einer ebenen Parallelströmung befinden Kombination einer Translationsströmung mit einer Quellströmung der Ergiebigkeit E ⇒ Strömungsbild um einen ebenen Halbkörper. Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 30 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Umströmung zylindrischer Körper Strom- und Potentialfunktionen in kartesischen Koordinaten bzw. in Polarkoordinaten Aus der Stromfunktion Ψ berechnen sich die Geschwindigkeiten in kartesischen Koordinaten bzw. in Polarkoordinaten Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 31 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Umströmung zylindrischer Körper Zu dem gleichen Ergebnis für die Geschwindigkeiten gelangt man auch über die Berechnung aus der Potentialfunktion Φ vx = ∂Φ ∂Φ , vy = ∂y ∂x bzw. in Polarkoordinaten vr = ∂Φ 1 ∂Φ , vϕ = ⋅ ∂r r ∂ϕ Ergiebigkeit E der Quelle ergibt sich aus der Bedingung, daß sehr weit stromabwärts von der Quelle, d.h. x → ∞, sich die Höhe h des Halbkörpers einem konstanten Wert annähert und die Wände parallel verlaufen Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 32 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Umströmung zylindrischer Körper Stromlinien können sich nicht überschneiden ⇒ der gesamte Volumenstrom fließt innerhalb des Halbkörpers ab ⇒ der aus der Quelle der Breite b austretende Volumenstrom b ⋅ E = u∞ ⋅ 2 ⋅ b ⋅ h Zusammenhang zwischen Höhe h des Halbkörpers im Unendlichen und der Ergiebigkeit E der Quelle E = 2 ⋅ h ⋅ u∞ Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 33 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Geschwindigkeiten und der Drücke an der Oberfläche eines umströmten Körpers Berechnung der Kontur, d.h. die Wandstromlinie des ebenen Halbkörpers l aus der Strom- oder Potentialfunktion Staupunktkoordinaten ergeben sich aus der Bedingung, daß die Geschwindigkeit im Staupunkt zu Null wird Staupunktstromlinie, d.h. r = rHK , ϕ = π Kontur des Halbkörpers Die Berechnung der Druckverteilung auf der Halbkörperkontur erfolgt aus der Geschwindigkeitsverteilung auf der Kontur. Die Gesamtgeschwindigkeit w setzt sich zusammen aus den Geschwindigkeit in x-Richtung u und der Geschwindigkeit in y-Richtung v. Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 34 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Vergleich zwischen dem theoretischen und experimentellen Ergebnis D = 49.5 [mm] bei xHK = 300 [mm] D(x → ∞) = 50 [mm] Imaginäre Quelle bei 7.96 [mm] Druckverteilung auf einem ebenen Halbkörper Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 35 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Wandstromlinie, Berandung Translationsströmung Quelle Superposition einer Translationsströmung mit einer Quellströmung im Wasserkanalversuch Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 36 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Geschlossener ovaler Körper Kombination einer Quelle (E > 0) mit einer Sinke (E < 0) auf der Symmetrielinie des ebenen Halbkörpers ⇒ Geschlossener ovaler Körper, Strom- und Potentialfunktionen durch lineare Superposition Staupunkt 2 Staupunkt 1 Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 37 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Kreiszylinder Zusammenschieben von Quelle und Sinke bildet sich ein Dipol mit dem Dipolmoment M ⇒ Ovaler Körper ⇒ Kreiszylinder Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen _______________________________________________________________________________ Bezeichnung 1 2 3 Stromlinienbild Translationsströmung in x-Richtung Translationsströmung in y-Richtung Potentialfunktion Ψ (x , y ) Ψ (r ,ϕ ) u∞ ⋅ x u∞ ⋅ y u ∞ ⋅ r ⋅ cos ϕ u ∞ ⋅ r ⋅ sin ϕ v∞ ⋅ y − v∞ ⋅ x v∞ ⋅ r ⋅ sin ϕ − v∞ ⋅ r ⋅ cos ϕ ( Staupunktströmung a 2 ⋅ x − y2 2 ) a 2 ⋅ r ⋅ cos(2 ⋅ ϕ ) 2 4 5 6 7 Quelle, Sinke E > 0, E < 0 Potentialwirbel, Zirkulation Γ > 0, Γ < 0 Dipol, Dipolachse: xAchse Dipolmoment M > 0, M < 0 Dipol, Dipolachse: yAchse Stromfunktion Φ (x , y ) Φ (r ,ϕ ) a⋅x⋅ y a 2 ⋅ r ⋅ sin(2 ⋅ ϕ ) 2 E ⋅ ln x 2 + y 2 2 ⋅π E ⎛ y⎞ ⋅ arctan⎜ ⎟ 2 ⋅π ⎝x⎠ E ⋅ ln r 2 ⋅π E ⋅ϕ 2 ⋅π Γ ⎛ y⎞ ⋅ arctan⎜ ⎟ 2 ⋅π ⎝ x⎠ − Γ ⋅ ln x 2 + y 2 2 ⋅π Γ ⋅ϕ 2 ⋅π − Γ ⋅ ln r 2 ⋅π M x ⋅ 2 2 ⋅π x + y 2 − M y ⋅ 2 2 ⋅π x + y 2 M cos ϕ ⋅ r 2 ⋅π − M sin ϕ ⋅ 2 ⋅π r M y ⋅ 2 2 ⋅π x + y 2 M x ⋅ 2 2 ⋅π x + y 2 M sin ϕ ⋅ 2 ⋅π r M cos ϕ ⋅ r 2 ⋅π Elemente ebener Potentialströmungen Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen _______________________________________________________________________________ Geschwindigkeitskomponenten Bezeichnung 1 2 Translationsst römung in xRichtung Translationsst römung in yRichtung v y (x , y ) v y (r ,ϕ ) vr (x , y ) vr (r ,ϕ ) u∞ 0 u∞ ⋅ u∞ 0 0 v∞ u ∞ ⋅ cos ϕ y v∞ ⋅ x2 + y2 − u ∞ ⋅ sin ϕ x v∞ ⋅ x2 + y2 v∞ ⋅ sin ϕ v∞ ⋅ cos ϕ 2⋅ x⋅ y −a⋅ x2 + y2 v x (x , y ) v x (r ,ϕ ) 0 3 4 5 6 7 Staupunktströ mung Quelle, Sinke E > 0, E < 0 Potentialwirbe l, Zirkulation Γ > 0, Γ < 0 Dipol, Dipolachse: xAchse Dipolmoment M > 0, M < 0 Dipol, Dipolachse: yAchse v∞ vϕ (x , y ) vϕ (r ,ϕ ) x x +y 2 x −y 2 2 2 a⋅x −a⋅ y a⋅ a ⋅ r ⋅ cos ϕ − a ⋅ r ⋅ sin ϕ E x ⋅ 2 2 ⋅π x + y 2 E y ⋅ 2 2 ⋅π x + y 2 a ⋅ r ⋅ cos(2 ⋅ ϕ ) E 1 ⋅ 2 2 ⋅π x + y2 E cos ϕ ⋅ 2 ⋅π r − y Γ ⋅ 2 2 ⋅π x + y 2 E sin ϕ ⋅ 2 ⋅π r x Γ ⋅ 2 2 ⋅π x + y 2 − Γ sin ϕ ⋅ 2 ⋅π r Γ cos ϕ ⋅ 2 ⋅π r − M x2 − y2 ⋅ 2 ⋅π x2 − y 2 2 − 2⋅ x⋅ y M ⋅ 2 ⋅ π (x 2 − y 2 )2 − − M sin(2 ⋅ ϕ ) ⋅ 2 ⋅π r2 − ( ) M cos(2 ⋅ ϕ ) ⋅ 2 ⋅π r2 2⋅ x⋅ y M − ⋅ 2 ⋅ π (x 2 − y 2 )2 − − M sin(2 ⋅ ϕ ) ⋅ 2 ⋅π r2 E 1 ⋅ 2 ⋅π r 0 0 M x2 − y2 ⋅ 2 ⋅π x2 − y 2 2 ( x2 + y2 ) M cos(2 ⋅ ϕ ) ⋅ 2 ⋅π r2 y x + y2 2 − a ⋅ r ⋅ sin(2 ⋅ ϕ ) 0 0 Γ 1 ⋅ 2 2 ⋅π x + y2 Γ 1 ⋅ 2 ⋅π r M x ⋅ 2 2 ⋅ π (x − y 2 )3 2 M cos ϕ ⋅ 2 ⋅π r 2 M y − ⋅ 2 ⋅ π (x 2 − y 2 )3 2 − − u∞ ⋅ M sin ϕ ⋅ 2 ⋅π r 2 − M y ⋅ 2 2 ⋅ π (x − y 2 )3 2 M sin ϕ ⋅ 2 ⋅π r 2 M x ⋅ 2 ⋅ π (x 2 − y 2 )3 2 − M cos ϕ ⋅ 2 ⋅π r 2 Geschwindigkeitskomponenten ebener Potentialströmungen Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 40 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Räumliche Potentialströmungen Räumliche Quell- oder Sinkenströmung Potential einer räumlichen Quell- oder Sinkenströmung mit der Ergiebigkeit E [m³/s] Φ =− E 4 ⋅ π ⋅ r0 Räumliche Dipolströmung Potential eines räumlichen Dipols mit dem Dipolmoment M Φ= M x ⋅ 2 ⋅ π r0 3 Rotationssymmetrischer Halbkörper Überlagerung einer Translationsströmung mit einer räumlichen Quelle ⇒ Rotationssymmetrischer Halbkörper, dessen Außendurchmesser im Unendlichen (x → ∞) den Wert R annimmt, mit dem Gesamtpotential Φ =Φ Translation + Φ Quelle =U ∞ ⋅ x − E , r = x2 + y2 + z2 4π ⋅ r Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 41 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Rotationssymmetrischer Halbkörper Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 42 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Rotationssymmetrischer Halbkörper Beschreibung der Kontur ⎛ϕ ⎞ sin⎜ ⎟ 2 r = ⎝ ⎠ R sin ϕ Ergiebigkeit E der Quelle ⎡ m3 ⎤ E = π ⋅ r ⋅U ∞ ⎢ ⎥ s ⎣⎢ ⎦⎥ 2 Geschwindigkeitskomponenten u= E z E y E x ⋅ 3 , v= ⋅ 3 , w= ⋅ 4π r 4π r 4π r 3 Dimensionslose Druckverteilung ⎛ϕ ⎞ ⎛ϕ ⎞ c p = 1 − 4 ⋅ sin 2 ⎜ ⎟ + 3 ⋅ sin 4 ⎜ ⎟, c p ,min = − 0.33 ⎝2⎠ ⎝2⎠ Staupunkt ϕ = 0 ⇒ c p = 1, x Stpkt = E R = 4π ⋅ U ∞ 2 Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 43 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Potentialwirbelströmungen Induzierte Geschwindigkeitsfelder (Biot-Savart) r r Γ v (r ) = 4 ⋅π r r a × ds ′ ∫ (l ) a v= Γ 4 ⋅π ⋅ r ⋅ (cos α1 − cos α 2 ) Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 44 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Sonderfälle a) Endlicher gerader Wirbelfaden Γ ωP = ⋅ (cos ϕ1 − cos ϕ 2 ) 4 ⋅π ⋅ a b) Halbunendlicher gerader Wirbelfaden Γ ωP = ⋅ (cos ϕ1 + 1) 4 ⋅π ⋅ a c) Beidseitig unendlicher gerader Wirbelfaden Γ ωP = 2 ⋅π ⋅ a d) Aufpunkt P querab vom einseitigen Wirbelfaden Γ ωP = 4 ⋅π ⋅ a Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 45 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Kreiszylinder mit Zirkulation Überlagert man einem symmetrisch angeströmten Zylinder noch einen Potentialwirbel, d.h. eine Zirkulation Γ, wobei definitionsgemäß einem linksdrehenden Wirbel eine positive Zirkulation zugeordnet wird Ψ = ΨTranslatio n + ΨDipol + ΨPotentialw irbel Φ = Φ Translatio n + Φ Dipol + Φ Potentialw irbel Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 46 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Kreiszylinder mit Zirkulation Geschwindigkeitsverteilung auf der Kontur des Zylinders Lage der Staupunkte (1) und (2) ergebt sich in Abhängigkeit von der Zirkulation Γ mit vϕ = 0 Resultierende Druckverteilung berechnet sich unter Anwendung der Bernoulli-Gleichung Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 47 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Kreiszylinder mit Zirkulation Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 48 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Magnus-Effekt Integration der Druckverteilung über den Umfang eines quer angeströmten Zylinder der Breite b ⇒ Auftrieb A nach der Auftriebsgleichung von Kutta-Joukowski A = ρ ⋅ b ⋅ V∞ ⋅ Γ Diese Seitenkraft A auf einen Zylinder infolge einer Queranströmung V∞ wird nach dem Berliner Professor Magnus (Berlin 1852) als Magnuseffekt bezeichnet Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 49 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Magnus-Effekt 'Barbara', Weser-Werft Bremen, 1926 Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 50 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Magnus-Effekt 'Calypso' J. Y.-Cousteau, geplant 2000 Uni-Kat-Flensburg, 2006 Aerodynamik des Flugzeugs Potentialströmungen Folie 51 von 51 __________________________________________________________________________________________________________ Magnus-Effekt E-Ship1, Fa. Enercon, 2008
