Formelsammlung
Werbung
Formelsammlung Vermessungskunde Trigonometrie Planimetrie Thomas Frei Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ....................................................................... 1 Allgemein................................................................................... 6 Vorsätze, Vielfache und Teile ...................................................... 7 Römische Zahlen ....................................................................... 7 Griechisches Alphabet................................................................ 8 Mathematische Zeichen.............................................................. 8 Winkel....................................................................................... 9 SI-Einheiten ............................................................................... 9 Vermessungskunde.................................................................... 10 Mittlerer Fehler ........................................................................ 11 Annäherung Pythagoras ........................................................... 12 Durchhang .............................................................................. 12 Messfehler ............................................................................... 12 Meteorologische Korrektur........................................................ 13 Temperatureinfluss ................................................................... 14 Zugstärkeneinfluss.................................................................... 14 Reduktion auf Meereshöhe ....................................................... 15 Korrektur Projektionssystem ....................................................... 15 Indirekte Längenmessung ......................................................... 16 Distanzfäden ........................................................................ 16 Basislatte ............................................................................. 16 Schrägdistanz .......................................................................... 17 Berechnung Einbinder .............................................................. 17 Formelsammlung Thomas Frei Seite 1 Formelsammlung Thomas Frei Seite 58 Berechnung von Radien............................................................ 18 Längs- und Querverschiebung .................................................. 18 Brechung des Lichtes ................................................................ 19 Planparallele Platte ............................................................... 19 Prismen................................................................................ 20 Linsen ..................................................................................... 20 Horizontkorrektur ..................................................................... 21 Erdkrümmung ...................................................................... 21 Refraktion ............................................................................ 21 Turmhöhenbestimmung ............................................................ 22 Vertikales Hilfsdreieck ........................................................... 22 Horizontales Hilfsdreieck ....................................................... 22 Kirchtürme ........................................................................... 23 Additionskonstante ................................................................... 23 Kubaturenberechnung .............................................................. 24 aus Querprofil...................................................................... 24 Dreieckprismen .................................................................... 24 aus Höhenkurven ................................................................. 24 Trigonometrie ........................................................................... 26 Bezeichnungen ........................................................................ 27 Berechnung im rechtw. Dreieck ................................................. 27 Beziehung der Funktionen ........................................................ 28 Darstellung am Einheitskreis ..................................................... 28 Schaubild Funktionswerte ......................................................... 29 Sinussatz ................................................................................. 30 Formelsammlung Thomas Frei Seite 57 Formelsammlung Thomas Frei Seite 2 Grundaufgaben ................................................................... 30 Cosinussatz ............................................................................. 30 Koordinatenumrechnung .......................................................... 31 Azimutberechnung ................................................................... 31 Koordinatentransformation ....................................................... 32 Rücktransformation ............................................................... 32 Polygonzug .............................................................................. 33 Planimetrie ............................................................................... 36 Winkel..................................................................................... 37 Dreieck ................................................................................... 38 Mittelparallele ...................................................................... 38 Mittelsenkrechte ................................................................... 39 Winkelhalbierende................................................................ 39 Seitenhalbierende ................................................................. 40 Höhe ................................................................................... 40 Euler’sche Gerade ................................................................ 40 Sätze des rechtwinkligen Dreieck ........................................... 41 Viereck .................................................................................... 42 Trapez ................................................................................. 44 Tangentenviereck ................................................................. 45 Sehnenviereck ...................................................................... 45 Kreis ....................................................................................... 46 Kreisflächen ......................................................................... 47 Winkel am Kreis ................................................................... 47 Beziehungen am Kreis........................................................... 48 Formelsammlung Thomas Frei Seite 3 Formelsammlung Thomas Frei Seite 56 Fläche zwischen Bogen und Tangenten Flächenberechnung.................................................................. 49 Segmente............................................................................. 49 ∙) ଶ ∙ &tan . 2 400,- Korrekturen .......................................................................... 50 Bogenabsteckung .................................................................... 51 Absteckung von der Tangente ............................................... 53 Absteckung von der Sehne .................................................... 53 Polare Absteckung ................................................................ 54 Viertelmethode ..................................................................... 54 Übergangsbogen Fläche zwischen Bogen und Tangenten .................................. 55 Übergangsbogen ..................................................................... 55 Gegeben: Strecke BA-TP = a beide Radien (R, r) Winkel BA-TP-P = α 1. Tangentenlänge des kleinen Bogen rechnen / ∙ tan 2. 3. 4. ଶିఈ ଶ x rechnen / p rechnen ∙ sin Zentriwinkel berechnen ZR: cos ோିି ோି 1. Koordinaten BA: 0 / 0 TP: a / 0 Zr: 0 / r 2. ZR aus Schnitt G-K G: TP-BA +α , Quer: –R K: Zr, Radius: R–r 3. Zentriwinkel berechnen → Zr: 200,- Formelsammlung Thomas Frei Seite 55 Formelsammlung Thomas Frei Seite 4 Polare Absteckung 8 / 21 ∙ sin 8 / 21 ∙ sin8 ∙ ' Viertelmethode E4 E 4 Brauchbar solange E F Formelsammlung Thomas Frei Seite 5 Formelsammlung . Thomas Frei Seite 54 Absteckung von der Tangente ∙ sin ∙ 1 cos # α durch n teilen (n gerade Zahl) ergibt β für B1 β verwenden, B2 2β, B3 3β, … Allgemein bei Ordinatenwerte (y) grösser 30m aufhören (zu ungenau) Absteckung von der Sehne ∙ sin ∙ $cos cos ଶ % ఈ Für BM: x = 0 y = p Für BA / BE: x = s / 2 y = 0 Formelsammlung Thomas Frei Seite 53 Formelsammlung Thomas Frei Seite 6 Spezialfall Vorsätze, Vielfache und Teile 1‘000‘000‘000‘000‘000‘000 1‘000‘000‘000‘000‘000 1‘000‘000‘000‘000 1‘000‘000‘000 1‘000‘000 1‘000 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.000‘001 0.000‘000‘001 0.000‘000‘000‘001 0.000‘000‘000‘000‘001 0.000‘000‘000‘000‘000‘001 % ‰ ppm ppb Prozent Promille parts per million parts per billion Trillionenfach Billiardenfach Billionenfach Milliardenfach Millionenfach Tausenfach Hundertfach Zehnfach Zehntel Hundertstel Tausendstel Millionstel Milliardstel Billionstel Billiardstel Trillionstel Hundertstel Tausendstel Millionstel Milliardstel Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Atto 0.01 0.001 0.000‘001 0.000‘000‘001 Römische Zahlen I 1 X 10 C 100 M 1‘000 ↂ 10‘000 Formelsammlung E P T G M k h da d c m µ n p f a a und b gegeben: # = & ∙ ∙ $$% &= = &' &= ഀ మ ∙$$% ∙# ഀ మ = −1= Beispiel: a=20.32 − 1( భ ഀ ౙ౩ మ ∙# ∙ ∙$$% ∙$$% ∙# భ ഀ ౙ౩ మ grün: bekannt = భ ഀ ౙ౩ మ ' b=81.26 Annahme: α=95,000 gon 2,891 gon Annahme: α=97,000 gon 0,261 gon Ergebnis: α=92,109 gon ∆= Ergebnis: α=97,261 gon ∆=- Differenz: 2,000 gon ↓ durch 3,152 3 Satz: 0,635 gon ↓ mal 2,891 Ergebnis: 1,835 gon 3,152 gon 1,000 gon 2,891 gon Lösung: 95,000 gon + 1,835 gon = 96,835 gon V L D ↁ Thomas Frei 5 50 500 5‘000 Seite 7 Annahme: α=96,835 gon ∆=0,009 gon Annahme: α=96,840 gon ∆=0,000 gon Ergebnis: α=96,825 gon Resultat: α=96,840 gon Rest aus vorherigen Formeln Formelsammlung Ergebnis: α=96,840 gon Thomas Frei Seite 52 Bogenabsteckung Griechisches Alphabet r α t b a s s‘ p ϕ Z TP BA BM BE D 1 ∙ tan $ () / 2 ∙ 1 ∙ sin ! ഀ 01 మ 1 E 11 Radius Zentriwinkel Tangentenlänge Bogenlänge Bogenabstand Hauptsehne Teilsehne Pfeilhöhe Tangentenwinkel Zentrum Tangentenschnittpunkt Bogenanfang Bogenmitte Bogenende Β β Γ γ Beta Gamma Ξ ξ Ο ο Xi Omikron Δ δ Delta Π π Pi Ε ε Ζ ζ Epsilon Zeta Ρ ρ Σ σ Rho Sigma Η η Θ θ Eta Theta Τ τ Υ υ Tau Ypsilon Ι ι Iota Φ φ Phi Κ κ Kappa Χ χ Chi Λ λ Lambda Ψ ψ Psi Μ μ My Ω ω Omega Mathematische Zeichen ∑ → ഀ మ 1 ∙() ∙$ 1 ഀ మ ഀ 01 మ 1 ' మ మ ∙ 1 2 3 /మ 1 .4 మ ∙/ Ny 1 ೞ మ మ Ν ν ∙ cos ∙01 Alpha !∙$∙ Nach r aufgelöst: ' Α α Formelsammlung Strecke A-B Winkel Summe daraus folgt ∞ ∟ Δ Unendlich rechter Winkel Differenz ∙/ Thomas Frei Seite 51 Formelsammlung Thomas Frei Seite 8 Korrekturen Winkel 0° 360° 270° 0 rad 2π rad 0 gon 400 gon 90° 300 gon 100 gon rad g ΔA h B rad Strecke B-C Flächendifferenz Querverschiebung π rad 200 gon 180° 1 Punkt schieben: g Neue Teilung (Gon, GRAD) Alte Teilung (Grad, DEG) Vollkreis: 360° (Grad) 1°=60‘ (Minuten) 1‘=60“ (Sekunden) Format HMS (° ‘ “) z.T. dezimale Unterteilung Radiant (Bogenmass, RAD) Vollkreis: 400g (gon) Vollkreis: 2π (rad) 1g=100c (Neuminuten) dezimale Unterteilung c ℎ= ΔA 2 ∙ ∆ C‘ aus Schnitt Gerade-Gerade C-B Quer h, C-D h C C‘ cc D 1 =100 (Neusekunden) Neu dezimale Unterteilung und Beschriftung mit gon statt g. 2 Punkte schieben: 3 2 SI-Einheiten 2‘ Basiseinheiten nach SI (Système international d’unités) Grösse Länge Masse Zeit Stromstärke Temperatur Stoffmenge Lichtstärke Formelsammlung Einheit Meter Kilogramm Sekunde Ampère Kelvin Mol Candela Thomas Frei S Zeichen m kg s A K mol cd AD h ΔA 1‘ 4 A g 1 Formelsammlung Fläche 1-2-3-4-5-6-7 Fläche 1-S-2 Flächendifferenz Schnittpunkt 1-7, 2-3 Stecke 1-2 Querverschiebung 7 ℎ= Seite 9 5 6 A AD ΔA S g h 2 ∙ & 2 ∙ & − ∆ − ∙ & & − ∆ Thomas Frei Seite 50 Flächenberechnung y2 · x1 y3 · x2 y1 · x 2 y2 · x 3 y4 · x3 … y1 · xn y3 · x 4 … yn · x 1 Σ1 Σ2 ∑1 ∑2 2 Vermessungskunde Segmente sin ! → A - 1 . .భ ∙.మ / 1 A ∙ < B sin AC 2 200+,' Linkskurve = Minussegment Rechtskurve = Plussegment Formelsammlung Thomas Frei Seite 49 Formelsammlung Thomas Frei Seite 10 Beziehungen am Kreis Mittlerer Fehler = z z1 z2 … zn ௭భ ା௭మ ା௭య ା⋯ା௭ v=M–z v²=vv v1 v2 … vn v1² v2² … vn² 0 [vv] = [] = C A √ M z n v s Mittelwert Einzelwert Anzahl Einzelmessungen Verbesserung Standardabweichung (Genauigkeit der Einzelmessung) Genauigkeit des Mittelwerts Anzahl gleicher Werte m x = [] ∙() Sehnensatz: S ∙ = ∙ B D A Senkantensatz: C Resultat: M±m ∙ ∙ = B D Taschenrechner (TI-30XIIS) % ” < ” z1 $ x $ z2 $ x $ … zn $ x $ < ˜ Bedeutung der Werte: n Anzahl der Werte Ï Durchschnitt Sx Standardabweichung Îx Populationsstandardabweichung Òx Summe aller Werte Òx² Summe aller Werte im Quadrat Programm beenden: %˜< S A Tangentensatz: B S ଶ = ∙ T Formelsammlung Thomas Frei Seite 11 Formelsammlung Thomas Frei Seite 48 Annäherung Pythagoras Kreisflächen Kreisringsektor ∆ %&' %( ! < ∙ = 1 $ Distanz (gemessen) Abweichung der Geraden Längenänderung l p ∆l Distanz (gemessen) Durchhang Distanzänderung !%&' Durchhang $∙*+ మ ! మ ,∙ () ∙$ ∙ >() sin ? p -l- ∆ Winkel am Kreis α β γ Zentriwinkel Peripheriewinkel Sehnentangentenwinkel 2 2 Formelsammlung l a ∆l Kreisausschnitt Sektor ! మ ∙$∙ () !మ a Nur anwenden wenn: Kreisabschnitt Segment 1 ∙ < 6 ∙ 2 l Thomas Frei Seite 47 మ ∆∙ మ ∙∙∆ Messfehler ∆ 2 2 2 Formelsammlung l a Δl Thomas Frei Messung Ausweichung aus der Geraden Längenänderung Seite 12 Meteorologische Korrektur Kreis Korrekturen in mm auf 100 m u Luftdruck in hPa = mbar b r Z 500 +15 550 +14 +13 600 +12 650 +11 +10 700 Z r d u b s p α A Ar +9 +8 750 +7 +6 800 +5 850 +4 +3 +2 +1 900 0 950 -1 -2 1000 -3 Zentrum Radius Durchmesser Umfang Bogenlänge Sehnenlänge Pfeilhöhe Zentriwinkel Kreisfläche Kreisringfläche R grosser Radius r kleiner Radius -4 = $$% ∙#∙ 50° 45° 40° 35° 30° 25° 20° 15° 10° 5° 0° -5° -10° -15° $ =∙% =2∙&∙% -20° -30° 1100 -25° -5 -6 -7 1050 Temperatur in °C Formelsammlung Thomas Frei Seite 13 Formelsammlung Thomas Frei Seite 46 Tangentenviereck Temperatureinfluss ∆ = ∙ ∙ ∆ ∆l α l ∆t ∆ = ∆: : = ∆: ∆: Längenänderung thermischer Ausdehnungskoeffizient Messlänge Temperaturdifferenz (Einsatztemperatur – Eichtemperatur) Thermischer Ausdehnungskoeffizient für Bandstahl: 11.5 ppm / °C 6 $ $ * * 6 1 ∙ * 1 ∙ $ 6 * $6 Zugstärkeneinfluss Sehnenviereck ி = ∙ ↔ = ∆ ி∙ ∙ = Spannung = ∆ = ∙ா = = ∆∙∙ா ä = relativeLängenänderung = ∆ = ä = Elastizitätsmodul 7 8 7 200+,' * $6 9: 1 ∙ ! 9; "∙ ! Formelsammlung Kraft (F)= Angewandte Kraft – Eichkraft Standardmessbandfläche (A): 3.25mm² Elastizitätsmodul für Bandstahl (E): 210‘000 N / mm² # :; Thomas Frei Seite 45 Formelsammlung Thomas Frei Seite 14 R Diagonalen halbieren sich gegenseitig Diagonalen stehen rechtwinklig aufeinander ∆∙ =ܣ =ܣ =ܣ ܽ+ܿ ∙ℎ 2 ܽ+ܿ ∙ܾ 2 ݀ଶ 2 ݁∙݂ 2 ܾ∙ܽ = ܣ =ܣ Standard für Erdradius: 6‘370 km = 6‘370‘000 m ܽ݀ ∙ sin ߙ + ܾܿ ∙ sin ߛ =ܣ 2 ܽ+ܿ ∙ℎ 2 ݁∙݂ = ܽଶ ∙ sin ߙ 2 = ∆∙ ∙ ܾ ∙ ܽ = ܣsin ߙ = ܽ ∙ ℎ ܽ = ܣଶ = = ∙ =ܣ ∆ ≅ Diagonalen gleich l Längenänderung Distanz auf Meereshöhe Höhe über Meer Erdradius eine Diagonale wird halbiert ∆l l H R ∆l H Diagonalen gleich l Diagonalen gleich Reduktion auf Meereshöhe Korrektur Projektionssystem +X A ∆l l x B l x Bern 0 / 0 మ ∙ ∆ = ∙మ +Y = R Distanzänderung Distanz (gemessen) Mittlerer X-Wert der Landeskoordinaten Erdradius Trapez b h B Ecken: Seiten: Winkel: Höhe: D a d A A, B, C, D a, b, c, d α, β, γ, δ h ∆∙∙మ మ ℎ = ∙ sin = ∙ sin = ∙ sin = ∙ sin # Standard für Erdradius: 6‘370 km = Formelsammlung c C Thomas Frei Seite 15 ∙ℎ Formelsammlung = మ మ ! Thomas Frei భ భ " ౪ ഀ ౪ ഁ Seite 44 Parallelogramme Indirekte Längenmessung Trapeze Viereck Trapez gleichsch. Trapez rechtw. Trapez Rhomboid Rechteck Rhombus Quadrat Drachen (Deltoid) Distanzfäden ∙ 100 D L Horizontaldistanz Distanzablesung bei geneigter Visur: ௦ 100 ∙ ∙ cos je zwei gegenüberliegende parallel 4∟ je zwei gegenüberliegende gleich 4∟ ∆ ∙ tan die nicht parallelen gleich je zwei anstossende gleich alle gleich 100 ∙ ∙ cos ଶ zwei Seiten parallel 2∟ Summe Innenwinkel 400 gon Winkel zwischen 2 ungleichen Seiten gleich Basislatte Zwei aufeinanderfolgende Innenwinkel Innenwinkel am gleichen sind supplementär Schenkel sind supplementär Winkel an gleicher Grundlinie sind gleich gegenüberliegende Winkel sind gleich Inkreis Ja Inkreis Nein Umkreis Umkreis Umkreis Umkreis Umkreis i.d.R. Nein Ja Nein Ja Nein Formelsammlung Thomas Frei Inkreis i.d.R. Nein Umkreis i.d.R. Nein Umkreis Ja ം మ ∙ γ = Ablesung rechts – Ablesung links Umkreis i.d.R. Nein Standard für b: 2m Seite 43 Formelsammlung Thomas Frei Seite 16 Schrägdistanz Viereck DS z H β DH = sin ∙ = cos ∙ z β DS DH H Zenitwinkel Höhenwinkel (+/–) Schrägdistanz Horizontaldistanz Höhe = cos ∙ = sin ∙ B β Ecken: A, B, C, D Seiten: a, b, c, d Winkel: α, β, γ, δ Diagonalen: e, f C γ α δ A d D Berechnung Einbinder Viereck B X S=(AB) s=(AE) ∆ Y=YB –YA ∆ X=XB –XA ∆ YE=YE –YA ∆ XE=XE –XA E A Drachenviereck Y = ∆ + (∆) ∆ಶ ∆ಶ = = ∆ ∆ = ∆ ∆ = Toleranz für f: ∙ ∆ ∙ ∆ Tangentenviereck f = Sgerechnet – Sgemessen Trapez Rhomboid Rhombus = + ∆ Sehnenviereck gleichsch. Trapez Rechteck Quadrat = + ∆ ௌ 0.03 + ଷ Formelsammlung Thomas Frei Seite 17 Formelsammlung Thomas Frei Seite 42 Sätze des rechtwinkligen Dreieck a Berechnung von Radien b h s q p s α α' c=p+q = + Kathetensatz: = ! ∙ Höhensatz: ℎ = ! ∙ " 1 p c Satz des Pythagoras: = " ∙ భ = 2 మ భ ∙మ = భ ∙మ Differenz zwischen Horizontalwinkel (Hsoll – Hist) Distanz zwischen Station und Neupunkt Distanz gemessen _ Längsverschiebung _ + Querverschiebung Neupunkt tan ∆ = = sin ∆ ∙ Thomas Frei = Längs- und Querverschiebung ∆H Dkorr Dgem L Q Formelsammlung Sehnenlänge Pfeilhöhe Radius s p r Seite 41 Formelsammlung + = ( + ) + = cos ∆ ∙ − Thomas Frei Seite 18 Brechung des Lichtes α α‘ β Luft Glas 2 Reflexion (Spiegelung) α=α‘ ୱ୧୬ ఈ ୱ୧୬ ఉ Seitenhalbierende ಸೌೞ ಽೠ Refraktion (Brechung) Berechnung Brechungsindex (n): Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (300‘000 km/s) geteilt durch Lichtgeschwindigkeit im Medium nLuft: 1 nGlas: 1.5 nWasser: 1.33 Berechnung Grenzwinkel der Totalreflektion: zum Beispiel: sin ಽೠ 42° 2 2 sc S sa sb 2 2 2 Höhe ಸೌೞ : : Planparallele Platte ha b d s l Dicke der planparallelen Platte paralleler Versatz des Lichtstrahls Länge des Lichtstrahls in der Platte 1 1 1 : : c H hc α hb a d Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 β l ∙ ! Euler’sche Gerade ! Die Schnittpunkte der Höhen (H), der Seitenhalbierenden (S) und der Winkelhalbierenden (M) liegen auf einer Geraden. s 4444: 4444 23 3 2: 1 Formelsammlung Thomas Frei Seite 19 Formelsammlung Thomas Frei Seite 40 Mittelsenkrechte mb 2 Prismen 2 M 2 mc ma 2 δ = α1 + α2 – γ Schnittpunkt M = Zentrum Umkreis 1 2 ∙ 2 Linsen Winkelhalbierende Schnittpunkt M = Zentrum Inkreis b2 wα 2 c ρ b1 wγ M wβ 2 ଵ ଶ a Linsenformel: Formelsammlung Thomas Frei Seite 39 Formelsammlung Vergrösserung: Thomas Frei Seite 20 Dreieck Horizontkorrektur = − = మ − మ ∙ ≅ మ B β Erklärung siehe unten ∙ 0.87 Ecken: A, B, C Seiten: a, b, c Winkel: α, β, γ Erdkrümmung B A Horizont d r H E r Erde = మ Horizontaldistanz Erdradius Höhe gemessen Höhenkorrektur Standard für Erdradius: 6‘370 km Refraktion A γ α C b ∙∙ // / $/ * / gleichseitiges Dreieck మ ∙√ ∙ೌ ∙್ ∙ ∙∙ ∙∙ /∙0 Inkreisradius Mittelparallele Gebogener Lichtstrahl B A β β* Horizont r Erde d r H R Horizontaldistanz Erdradius Höhe gemessen Höhenkorrektur 2 ∙ మ 2 pc 2 Standard für Erdradius: 6‘370 km k = 0.13 ± 25% Formelsammlung Thomas Frei Seite 21 ଶ ଶ pa 2 pb statt β wird β* gemessen =− ଶ 2 Formelsammlung Die kleinen Dreiecke sind alle gleich und halb so gross wie das grosse Dreieck. 2 Thomas Frei Seite 38 Turmhöhenbestimmung Winkel spitzer Winkel (0–100 gon) rechter Winkel (100 gon) Vertikales Hilfsdreieck T stumpfer Winkel (100–200 gon) gestreckter Winkel (200 gon) zB überstumpfer Winkel (200–400 gon) JB zA B JA Vollwinkel (400 gon) A Komplementwinkel: α+β = 100 gon = Supplementwinkel: α+β = 200 gon x b = + + #$% & భ ಲ ! ಳ ౪ " ಲ భ భ ౪ ಳ ౪ ಲ ಲ = + ! + #$% & Implementwinkel: α+β = 400 gon Horizontales Hilfsdreieck α=α‘ β=β‘ α=α‘‘ β=β‘‘ Seitenriss Stufenwinkel α' β''' Nebenwinkel β'' α'' β' Formelsammlung (äusserer) Gegenwinkel (innerer) Thomas Frei zA JA zB A α JB α''' A = '(%*)+, = '(%*)+, "∙'(% ) Seite 37 β B b B = + + x y y x Wechselwinkel α=200 gon – β‘‘‘ β‘‘=200 gon – α‘ Grundriss T T β Scheitelwinkel α=200 gon – β β=200 gon – α α=α‘‘‘ β=β‘‘‘ α "∙'(% + #$% &ಲ Formelsammlung ! = + ! + Thomas Frei #$% &ಳ = .ಲ .ಳ Seite 22 ಳ Kirchtürme A B d h h b a A/B P h i Z Türme mit gleicher Höhe Stationspunkt Höhenuterschied Instrumentenhöhe Zenitwinkel ω Horizontalwinkel Planimetrie zwischen A und B i P ℎ= ! (tan " ) + (tan "! ) − 2 ∙ tan " ∙ tan "! ∙ cos # / = /! − ℎ − $ % = ℎ ∙ tan " & = ℎ ∙ tan "! Additionskonstante A B C a Additionskonstante bei jeder Messung vorhanden a = (AC) – (AB + BC) Formelsammlung Thomas Frei Seite 23 Formelsammlung Thomas Frei Seite 36 Kubaturenberechnung aus Querprofil భ మ ∙ Fläche aus Querprofilen (Mittel) mal Distanz Dreieckprismen Z h Punkthöhe Höhe Prismaboden ು ೂ ೃ ∆ ∙ aus Höhenkurven steiles Gelände: ∙ 2 ∙ 2 ∙ ⋯ 2 ∙ 2 ∙ 2 ha: Äquidistanz Ax: Höhenkurvenfläche flaches Gelände: ∙ 4 6 Formelsammlung Thomas Frei Seite 35 Formelsammlung h G D M Thomas Frei Höhe Grundfläche Deckfläche Fläche auf halber Höhe Seite 24 Koordinaten provisorisch berechnen fy = Ysoll – Yprovisorisch fx = Xsoll – Xprovisorisch Distanzabschlussfehler = + Toleranz (Instruktion II): s = Summe aller Polygonseiten Hauptzug: 0.01√ + 0.10 Nebenzug: 0.02√ + 0.10 Abschlussfehler proportional zur Polygonseite verteilen. 1 = 1 + ∙ 1 = 1 + ∙ 2 = 2 + ∙ 2 = 2 + ∙ 1 1 1 + 12 1 + 12 Auf Vorzeichen achten! Formelsammlung Thomas Frei Seite 25 Formelsammlung Thomas Frei Seite 34 Polygonzug Trigonometrie A C 1-3 Anschlusspunkt (0) Endpunkt (n) Neupunkte (2,3,…) $ B D Z ∙ 200 Anfangspunkt (1) Abschlusspunkt (n+1) Azimut gerechnetes Azi Winkelabschlussfehler (fβ) = gerechnetes Azi – gemessenes Azi Toleranz (Instruktion II): Hauptzug: 2.0√')*+,'- Nebenzug: 3.0√')*+,'- Winkelfehler gleichmässig auf die Messungen verteilen. Nur bis kleinste Ableseeinheit (wie bei Nivellement) Formelsammlung Thomas Frei Seite 33 Formelsammlung Thomas Frei Seite 26 Koordinatentransformation Bezeichnungen H A G ω H G ω A B P Z a b Hypotenuse Ankathete Gegenkathete gegebener Winkel A 0 = $'(# = )*$'(# 0 = %'+,'# Folgende Bezeichnungen werden in der Praxis nicht gebraucht: 0 = ,%'# = )*,%'# 0 = )*%'+,'# Berechnung im rechtw. Dreieck Winkel ω Gegenkathete Ankathete Hypotenuse gegeben ܩ =ܣ tan ߱ ܩ =ܪ sin ߱ ܣ =ܪ cos ߱ gegeben gegeben gegeben ܩ tan ߱ = → ߱ ܣ ܩ sin ߱ = → ߱ ܪ ܣ cos ߱ = → ߱ ܪ Formelsammlung - = tan # ∙ - = sin # ∙ gegeben gegeben = − Thomas Frei gegeben = cos # ∙ gegeben = − gegeben ∙ sin " " ∙ cos # ೝ ೞೞ ! ∙ cos ! ∙ sin k Standpunkt Zielpunkt Polygonseite Zielpunkt Azimut Abszissenmass Ordinatenmass (wenn links, dann –) Korrekturwert (Massstab) mit a und eventuell mit b multiplizieren Rücktransformation ! ! ∙ sin " # # ∙ cos " $ ! ! ∙ cos " # # ∙ sin " gegeben = + gegeben gegeben Seite 27 Formelsammlung Thomas Frei Seite 32 Beziehung der Funktionen Koordinatenumrechnung gegeben: Distanz (d), Azimut (α) gesucht: Y-Wert, X-Wert = ! ∙ cos gesucht = ! ∙ sin sin α Taschenrechner (TI-30XIIS) Y=%’!<d%¤α< X=%’!!<d%¤α< tan = → 1 cos cos α 1 sin --- sin 1 sin 1 cos cos = ± 200 Z A B Thomas Frei arc 0 gon = 0 arc 100 gon = tan Azimut Standpunkt Zielpunkt sin cos100 arc Formelsammlung --- tan 0 gon = 0 tan 50 gon = 1 tan 100 gon = ∞ Azimutberechnung ಲ 1 tan cos 0 gon = 1 cos 100 gon = 0 Taschenrechner (TI-30XIIS) d=%’<X%¤Y< α=%’"<X%¤Y< ಳ 1 sin 0 gon = 0 sin 100 gon = 1 = tan Darstellung am Einheitskreis = tan = ಳ ಲ → 1 tan --- ist X-Wert negativ, dann α + 200 gon = √ + tan α sin α tan α gegeben: Y-Wert, X-Wert gesucht: Distanz (d), Azimut (α) gegeben cos α Seite 31 cos sin100 ∙ Formelsammlung Thomas Frei Seite 28 Schaubild Funktionswerte sin cos tan Sinussatz % & . = = = 0,$%!$( sin sin sin / arc 3 2 Grundaufgaben 1. Dreieck gegeben: 1 Seite, 2 Winkel ∙ sin = →= sin sin sin 1 0 0 50 100 150 200 250 300 350 -1 2. Dreieck gegeben: 2 Seiten, Winkel der grösseren Seite gegenüber sin sin ∙ sin = → sin = → 3. Dreieck gegeben: 2 Seiten, Winkel der kleineren Seite gegenüber ACHTUNG: 2 Lösungen! sin sin ∙ sin = → sin = → = | = 200 − -2 -3 sin = sin200 − cos = cos400 − tan = tan200 + 1. 2. 3. 4. 400 Quadrant Y X Sinus Cosinus Tangens 0<ω<100 + + + + + 100<ω<200 + + 200<ω<300 - + 300<ω<400 - + + - Cosinussatz = √ + − 2 cos cos = మ మ మ = + − 2 cos cos = మ మ మ → = + − 2 cos cos = మ మ మ → Für Dreiecke, bei denen 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind. Formelsammlung Thomas Frei Seite 29 Formelsammlung Thomas Frei → Für Dreiecke, bei denen alle Seiten gegeben sind. Seite 30
