Einschleifenkorrekturen zur Bremsstrahlung von Myonen im Feld

Einschleifenkorrekturen zur
Bremsstrahlung von Myonen im Feld
eines Atomkerns
Masterarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades
Master of Science
vorgelegt von
Alexander Sandrock
geboren in Arnsberg
Lehrstuhl für Experimentelle Physik V
Fakultät Physik
Technische Universität Dortmund
2014
1. Gutachter : Prof. Dr. Dr. Wolfgang Rhode
2. Gutachter : Prof. Dr. Julia Becker Tjus
Datum des Einreichens der Arbeit: 30. September 2014
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
5
2
Grundlagen der Astroteilchenphysik
9
2.1
2.2
2.3
2.4
Geladene kosmische Strahlung . . . . . . . . . . .
Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extraterrestrische hochenergetische Neutrinos .
Atmosphärische Myonen und Neutrinos . . . .
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. 9
. 9
. 11
. 13
3
Das IceCube-Neutrinoobservatorium
15
4
Quantenelektrodynamik
17
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik .
Einschleifendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung mit FeynArts und FormCalc . . . . . .
Infrarotdivergenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analytische Ausdrücke für irreduzible Diagramme
4.6.1 Vakuumpolarisation . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Fermionselbstenergie . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Vertexkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Boxgraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
19
23
24
25
25
25
26
28
29
5
Elektromagnetische Wechselwirkungen mit Atomen
31
6
Phasenraumintegration
37
6.1
38
38
39
41
42
6.2
Phasenraumparametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Phasenraumintegration durch Zerlegung in Zwei-Körper-Phasenräume
6.1.2 Parametrisierung über Winkel und Energien im Schwerpunktsystem . .
6.1.3 Phasenraumparametrisierung mit explizitem Impulsübertrag . . . . . . .
Mehrdimensionale numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Rechnung mit verbesserter Weizsäcker-Williams-Methode
45
8
Ergebnisse und Diskussion
47
9
Danksagung
51
3
1 Einleitung
First Law of Progress in Theoretical Physics: „You will get nowhere by churning equations.“
Second Law: „Do not trust arguments based on the lowest order of perturbation
theory.“
Third Law: „You may use any degrees of freedom you like to describe a physical
system, but if you use the wrong ones, you’ll be sorry.“
– Steven Weinberg, 19831
In der Neutrinoastronomie ist die Rekonstruktion der Energie eines Ereignisses eine wichtige
Stufe im Analyseprozess. Eine direkte Messung der Energie ist nur in Ausnahmefällen möglich. Für Ereignisse, deren Signatur vollständig im Detektor liegt, wie vollständig im Detektor
enthaltene kaskadenartige oder kurzen spurartige Ereignisse, funktioniert der Detektor als Kalorimeter. Bei spurartigen Ereignissen, deren Interaktionspunkt innerhalb des Detektors liegt,
ist durch die hadronische Kaskade am Beginn der Spur ebenfalls die Energie gut bekannt. In
einem Großteil der Fälle muss die Energie jedoch aus den Energieverlusten bestimmt werden.
Diese Energieverluste werden durch Ionisation, photonukleare Wechselwirkung, Leptonpaarproduktion und Bremsstrahlung verursacht. Bis etwa 700 GeV ist dabei die Ionisation dominant, deren Energieverlust von der Energie des Teilchens unabhängig ist (vgl. Abb. 1.1), sodass
die Energie nur über die Länge der Teilchenspur bestimmt werden kann. Darüber werden Leptonpaarproduktion und Bremsstrahlung dominant.
Die Bestimmung der Energie aus den Energieverlusten ist ein inverses Problem, da von der
Wirkung auf die Ursache geschlossen werden soll. Der Energieverlust d E/d x durch Paarproduktion kann im Hochenergiebereich als Energieschätzer verwendet werden. Durch Bremsstrahlungsenergieverluste wird die Kurve verschmiert (vgl. Abb. 1.2). Dadurch ist das inverse
Problem ein schlecht gestelltes Problem, weil die Lösung nicht linear von den Variablen abhängt.
1
WEINBERG, S.: Why the renormalization group is a good thing. In GUTH, A. (HRSG.); HUANG, K. (HRSG.);
JAFFE, R. (HRSG.): Asymptotic Realms of Physics: Essays in Honor of Francis Low. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1983, S. 1, 8, 16
5
dE/dx [MeV g-1 cm2]
1 Einleitung
106
105
104
103
102
10
1
10-1
10-2
Paarproduktion
Bremsstrahlung
10-3
10-4
Ionisation
10-5
Photonuklear
-6
10
10-7 2
10
103
104
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
Energie [MeV]
Abbildung 1.1: Energieverluste pro Strecke von Myonen bei der Propagation durch Eis für
verschiedene Wechselwirkungsmechanismen.[Koe13]
Das IceCube-Experiment ist derzeit das größte Neutrinoobservatorium[KS12]. Da IceCube seit nunmehr drei Jahren in der vollständigen Ausbaustufe arbeitet, beginnen die systematischen Fehler die statistischen Fehler in den Messdaten zu dominieren. Dies wird etwa in
[Sch14a, Sch14b] deutlich. Ein Beitrag zu den systematischen Fehlern ist die Unsicherheit in
den Wirkungsquerschnitten für die Propagation von Leptonen für die photonukleare Wechselwirkung, Paarproduktion und Bremsstrahlung. In dieser Arbeit wird der Bremsstrahlungsprozess betrachtet.
Die bislang verwendeten Parametrisierungen des Bremsstrahlungswirkungsquerschnittes
[KKP95, AB97] verwenden mehrere Näherungen. Die Rechnungen verwenden Kleinwinkelund Hochenergienäherungen, die Terme der Ordnung mµ2 /Eµ2 vernachlässigen und daher nur
für Energien größer als 10 GeV verwendbar sind. Die Niederenergieerweiterung DeepCore
hat eine Energieschwelle, die in diesem Bereich liegt. Außerdem wird der Rückstoß des Kerns
vernachlässigt. Dieser Effekt ist für leichte Kerne wie Wasserstoff von Bedeutung, wird jedoch
mit steigender Energie kleiner[ABB94]. Ebenfalls vernachlässigt werden Spineffekte. Da diese
mit steigender Masse unterdrückt werden, sind sie ebenfalls nur für leichte Kerne wie Wasserstoff von Bedeutung. Die Effekte virtueller Photonen werden nur in [AB97] für den Fall
zusätzlicher mit dem Kern ausgestauschter Photonen berücksichtigt; neben dieser sog. Coulombkorrektur gibt es aber auch Strahlungskorrekturen durch Kopplungen virtueller Photonen an den Myonpropagator und Effekte der Vakuumpolarisation. Deren Bedeutung nimmt
mit steigender Myonenergie zu.
6
8
10
10
6
4
4
1
1
2
2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
log (Truncated dE/dx [GeV/m])
log (number of events)
10
102
10
10
10
6
log (Muon Energy [GeV])
8
log (number of events)
102
10
log (Muon Energy [GeV])
10
0
-2
10
-1
0
1
2
3
4
5
log (Untruncated dE/dx [GeV/m])
10
Abbildung 1.2: Energieverlust pro Strecke ohne Bremsstrahlungsverluste (linkes Bild) bzw. mit
Bremsstrahlungsverlusten (rechtes Bild).[A+ 13a]
In dieser Arbeit werden Strahlungskorrekturen an den Wirkungsquerschnitt für Bremsstrahlung im Feld eines Sauerstoffatoms oder schwererer Kerne berechnet. In diesem Fall können
die Effekte von Rückstoß und Spin vernachlässigt werden.
Dazu wird in Kapitel 2 ein kurzer Überblick über astrophysikalische Grundlagen und die
Quellen für Myonen in der Neutrinoastronomie gegeben, anschließend in Kapitel 3 der IceCubeDetektor als Beispiel für ein Neutrinoobservatorium besprochen, in Kapitel 4 die Berechnung von Strahlungskorrekturen in der Quantenelektrodynamik erläutert und in Kapitel 5 die
Beschreibung von Atomen durch Formfaktoren eingeführt. Daraufhin wird in Kapitel 6 die
Phasenraumintegration besprochen, sowie in Kapitel 7 die verbesserte Weizsäcker-WilliamsMethode besprochen. Schließlich werden in Kapitel 8 die Ergebnisse dieser Arbeit diskutiert.
7
2 Grundlagen der Astroteilchenphysik
2.1 Geladene kosmische Strahlung
Seit mehr als 100 Jahren ist bekannt, dass die Erde von einem Strom geladener Teilchen getroffen wird[Heß12]. Weitergehende Untersuchungen zeigen, dass das Energiespektrum dieser Teilchen einem gebrochenen Potenzgesetz folgt (vgl. Abb. 2.1). Da diese geladene kosmische Strahlung durch die galaktischen und intergalaktischen Magnetfelder abgelenkt wird, ist
es nicht möglich, die Richtung ihres Ursprungs festzustellen. Man geht davon aus, dass die
kosmische Strahlung bis zum ersten Bruch im Potenzgesetz, dem sogenannten Knie, durch galaktische Quellen wie Supernovaüberreste (SNR) oder Pulsare erzeugt wird. Für Teilchen mit
Energien jenseits des Knies ist die Energie so groß, dass ihr Gyroradius im galaktischen Magnetfeld größer als die Abmessungen unserer Galaxis ist. Daher werden die Teilchen der kosmischen
Strahlung mit höheren Energien extragalaktischen Quellen wie aktiven galaktischen Kernen
(AGN)
oder
den
kurzzeitig
auftretenden
Gammastrahlenausbrüchen
(GRB)
zugeschrieben.[Bec07] Protonen verlieren jedoch Energie durch Wechselwirkung mit dem kosmischen Mikrowellenhintergrund
pγ →

∆+ → pπ0 , nπ+
 p e+e−
.
(2.1)
Dieser Effekt wurde unabhängig von Greisen[Gre66] und Zatsepin und Kuzmin[ZK66] vorhergesagt und erklärt das Abbrechen des Spektrums der geladenen kosmischen Strahlung bei
sehr hohen Energien.
2.2 Photonen
AGN sind mittels Photonen in vielen Wellenlängenbereichen von Radiowellen bis zur Hochenergiegammastrahlung beobachtbar. Die Beschleunigung in AGN wird begleitet von der Emission von Photonen. Da Photonen ungeladen sind, werden sie von den intergalaktischen Magnetfeldern nicht abgelenkt und man kann ihren Ursprung feststellen. Im Hochenergiebereich
9
2 Grundlagen der Astroteilchenphysik
m-2 sr-1 s-1]
104
103
Casa-Mia
dN/dE [GeV
1.6
Tibet III 2008
Kascade 2005
102
E
2.6
HEGRA
Kascade-Grande 2012
IceTop-26
GAMMA 2008
Tunka-133 2011
AGASA
10
HiRes 1
HiRes 2
TA 2011
Auger 2011
1
6
10
107
8
9
10
10
Primary Energy, E [GeV]
10
10
1011
Abbildung 2.1: Energiespektrum der geladenen kosmischen Strahlung aus Messungen von
Luftschauer-Experimenten.[GST13]
sind Gammastrahlen jedoch in ihrer Reichweite beschränkt durch die Absorption des extragalaktischen Hintergrundlichtes
γCMB γEBL → e + e − .
(2.2)
Abhängig von der Energie können Photonen optisch dichte Medien nur schlecht durchdringen(vgl. Abb. 2.3). Außer im Hochenergiebereich können Photonen daher nur Informationen
über den Randbereich einer astrophysikalischen Quelle liefern.
Abbildung 2.2: Der Krebsnebel in verschiedenen Wellenlängenbereichen von Radio- und Mikrowellen über infrarotes, sichtbares und ultraviolettes Licht bis zu Röntgenund Gammastrahlung.[Wik14]
10
2.3 Extraterrestrische hochenergetische Neutrinos
Abbildung 2.3: Schematische Darstellung der verschiedenen Botenteilchen in der Astroteilchenphysik und ihrer Detektion.[Wag05] Eine astrophysikalische Quelle emittiert Protonen, Photonen und Neutrinos. Die Protonen werden im galaktischen und intergalaktischen Magnetfeld abgelenkt, bevor sie auf der Erde mit
Luftschauerdetektoren beobachtet werden. Photonen behalten ihre Richtung
bei, stammen aber nur aus den Randregionen der Quelle; sie können je nach
Energie entweder direkt durch Satellitenexperimente oder indirekt mit Čerenkovteleskopen nachgewiesen werden. Neutrinos bewegen sich ebenfalls geradlinig, können jedoch aufgrund ihrer geringen Wechselwirkungswahrscheinlichkeit auch aus den inneren Quellregionen stammen; sie sie werden auf der
Erde in unterirdischen Detektoren wie IceCube beobachtet. Dabei bilden Myonen und Neutrinos aus Luftschauern der kosmischen Strahlung einen dominanten Untergrund.
2.3 Extraterrestrische hochenergetische Neutrinos
Den Nachteil der Absorption durch Staubwolken haben Neutrinos nicht bzw. nur in schwächerem Maße. Da sie nur einen kleinen Wechselwirkungsquerschnitt haben, gelangen sie nahezu ungestört zur Erde. Man erwartet die Produktion von Neutrinos bei der Beschleunigung
der kosmischen Strahlung, dominant über die Kanäle
pγ →

 pπ0
nπ+
,
(2.3)
11
2 Grundlagen der Astroteilchenphysik
ν` (ν ` ) `− (`+ )
ν` (ν ` ) ν` (ν ` )
W + (W − )
νe
Z
W−
X
X
e−
X
N
N
Abbildung 2.4: Interaktion von Neutrinos mit Materie über den Austausch von W - und ZBosonen
pp →

 p pπ0
 p nπ+
.
(2.4)
beziehungsweise mit einfallenden Neutronen statt Protonen, was in der Produktion von π−
resultiert.[Bec07] Die Neutronen wechselwirken, bevor sie zerfallen können. Die geladenen
Pionen hingegen zerfallen leptonisch gemäß
π + → µ+ ν µ → e + ν e ν µ ν µ ,
π − → µ− ν µ → e − ν e ν µ ν µ .
(2.5)
Neutrinos interagieren als ungeladene Leptonen nur über die schwache Wechselwirkung,
sodass sie entweder über den geladenen Strom durch Austausch von W -Bosonen oder über
den ungeladenen Strom durch Austausch von Z-Bosonen interagieren (vgl. Abb. 2.4).
Für Elektronantineutrinos ist zudem noch eine Wechselwirkung über den geladenen Strom
an Elektronen in der Atomhülle möglich, die bei einer Neutrinoenergie von etwa 6,3 PeV ein
reales W -Boson entstehen lässt, das zu einer leptonischen oder hadronischen Kaskade zerfallen
kann
ν e + e − → W − → Kaskade.
(2.6)
Dies wird als Glashow-Resonanz bezeichnet[Gla60]. Da die Eigenzustände νe , νµ , ντ der schwachen Wechselwirkung nicht identisch sind zu den Masseneigenzuständen des freien Hamiltonoperators, kommt es zu Neutrinooszillationen.[MW11] Dadurch wird aus dem oben motivierten Neutrinospektrum mit einem Flavourverhältnis νe : νµ : ντ = 1 : 2 : 0 über astrophysikalische Distanzen ein Spektrum mit einer Flavourgleichverteilung 1 : 1 : 1. Die Wechselwirkung
mit einem atomaren Elektron über den s-Kanal hat daher auch Bedeutung für Antineutrinos,
die in der Quelle in einem anderen Flavoureigenzustand produziert wurden.
12
2.4 Atmosphärische Myonen und Neutrinos
2.4 Atmosphärische Myonen und Neutrinos
Bei der Messung astrophysikalischer Neutrinos gibt es einen großen Untergrund durch Myonen und Neutrinos, die bei Wechselwirkungen der geladenen kosmischen Strahlung mit der
Atmosphäre entstehen.
Wenn ein Proton der kosmischen Strahlung auf die Atmosphäre trifft und mit einem Atomkern in der Luft in etwa 10 km Höhe kollidiert, enstehen durch hadronische Wechselwirkungen Hadronen, die in weitere Hadronen oder in Leptonen zerfallen.[IMM09] Die häufigsten Teilchen sind Pionen und Kaonen, die überwiegend zerfallen, bevor sie den Erdboden erreichen. Geladene Pionen und Kaonen zerfallen über die schwache Wechselwirkung
überwiegend zu Myonen und Myonneutrinos, die man als konventionelle Neutrinos bezeichnet. Seltener entstehen in Luftschauern der kosmischen Strahlung schwerere Hadronen wie
D- und B-Mesonen oder Λc -Baryonen, die anders als Pionen und Kaonen so kurzlebig sind,
dass sie keine Energie bei der Propagation durch die Atmosphäre verlieren. Bei leptonischen
Zerfällen dieser schwereren Mesonen entstehen die sogenannten prompten Neutrinos. Da die
schweren Mesonen in sehr kurzer Zeit zerfallen, haben die prompten Neutrinos etwa denselben spektralen Index wie die kosmische Strahlung, der bei ungefähr −2,7 liegt, während die
konventionellen Neutrinos aus Pionen und Kaonen vor ihrem Zerfall durch die Atmosphäre propagieren und dabei Energie verlieren, sodass ihr spektraler Index um circa eins niedriger bei −3,7 liegt[HKK+ 07], da ihr Weg durch die Atmosphäre mit steigender Energie länger
wird[Bec08]. Erste Messungen des astrophysikalischen Flusses ergeben einen spektralen Index
von (−2,3 ± 0,3)[Sch14a].
13
3 Das IceCube-Neutrinoobservatorium
IceCube ist ein Wasser-Čerenkov-Detektor, der im antarktischen Eis am geographischen Südpol errichtet wurde. Wenn ein geladenes Lepton den Detektor durchquert, verliert es Energie durch Ionisation, Paarproduktion, Bremsstrahlung oder photonukleare Wechselwirkung.
Die dabei entstehenden Sekundärteilchen wie Ionisationselektronen oder e + e − -Paare erzeugen
Čerenkov-Licht, das ebenso wie Bremsstrahlungsphotonen im Detektor aufgezeichnet wird.
Bei photonuklearer Wechselwirkung oder in Wechselwirkungen von Neutrinos über den neutralen Strom entstehen hadronische Kaskaden, die ebenfalls Licht erzeugen und im Detektor
beobachtet werden können.[K+ 14]
Dieses Licht wird durch 5160 digitale optische Module (DOMs) aufgezeichnet. Diese DOMs
sind an insgesamt 86 Kabeln in regelmäßigen Abständen in einer Tiefe zwischen 1,5 km und
2,5 km ins Eis eingeschmolzen. Ein digitales optisches Modul enthält einen Photomultiplier,
der Lichtsignale als veränderliche Spannung aufzeichnet, die digitalisiert und über die Kabel
zur Oberfläche geschickt wird.
Da durch den Abstand von 125 m zwischen den einzelnen Strängen die untere Energieschwelle des Experimentes bei etwa 100 GeV liegt, befindet sich in der Mitte des Detektors
die Niederenergie-Erweiterung DeepCore, in der acht Stränge mit geringerem Abstand angebracht sind, so dass für diesen Teil des Detektors die Energieschwelle bei etwa 10 GeV liegt.
Dabei kann der Rest von IceCube als Vetoschicht benutzt werden.[A+ 12]
Da Myonen aus Wechselwirkungen der kosmischen Strahlung ein dominanter Untergrund
sind, ist oberhalb des Detektors das Luftschauerarray IceTop angebracht. Mit optischen Modulen wie im unterirdischen Detektor im Eis werden Luftschauer untersucht, so dass Myonen,
die bereits in IceTop beobachtet wurden, als atmosphärisches Myon bekannt sind und nicht
aus einem atmosphärischen oder extraterrestrischen Neutrino stammen können. Allerdings
kann IceTop nur in einem kleinen Winkelbereich als Veto genutzt werden.[A+ 13b]
Ereignisse haben in IceCube im Wesentlichen zwei verschiedene Geometrien. Atmosphärische Myonen und Myonen aus Neutrinos, die über den geladenen Strom wechselwirken, hinterlassen eine zigarrenförmige Spur im Detektor, während Neutrinos, die über den neutralen
Strom wechselwirken, sowie Elektronen und τ-Leptonen eine annähernd kugelförmige Signatur im Detektor haben. Bei τ-Leptonen erwartet man wegen ihrer kurzen Lebensdauer einen
15
3 Das IceCube-Neutrinoobservatorium
Abbildung 3.1: Schemazeichnung des Neutrinoobservatoriums IceCube. Als Größenvergleich
ist der Eiffelturm eingezeichnet.[Koe13]
Zerfall noch im Detektor, so dass die Signatur wie zwei durch eine Spur verbundene Kaskaden, double bang genannt, aussieht. Bei kugelförmigen Ereignissen ist aufgrund ihrer geringen
Reichweite die Energie des Leptons vollständig in der Kaskade deponiert, sodass der Detektor
für solche Ereignisse als ein Kalorimeter funktioniert. Bei spurartigen Ereignissen hingegen
ist die Reichweite für hochenergetische Teilchen größer als die Abmessungen des Detektors,
sodass nur ein Teil der Spur im Detektor beobachtet werden kann. In diesem Fall kann die
Energie des Neutrinos über den Energieverlust des Myons bestimmt werden. Dazu ist eine
präzise Kenntnis der Wechselwirkungsquerschnitte nötig.[Col01]
16
4 Einschleifenrechnungen in der
Quantenelektrodynamik
4.1 Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik
Die Quantenelektrodynamik ist eine Theorie, die die Wechselwirkung zwischen Photonen
und geladenen Fermionen beschreibt. Die Lagrangedichte dieser Theorie ist gegeben durch
[Rom13]
1
1
/ − m)ψ
L = − Fµν F µν −
(∂ · A)2 + ψ(i ∂/ + e A
4
2ξ
(4.1)
mit dem Feldstärketensor
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
(4.2)
Die Notation a/ steht für die Kontraktion eines Vierervektors mit den Diracmatrizen a/ = aµ γ µ .
Der Term −Fµν F µν /4 beschreibt das freie elektromagnetische Feld. Der folgende Term
−(∂ · A)2 /2ξ fixiert die Eichung des Vektorpotentials. Der Eichparameter ξ muss jeden Wert
annehmen können ohne die physikalischen Vorhersagen zu ändern; dies ist äquivalent mit der
~ = 0, der Lorentzeichung. Der Term ψ(i ∂/ − m)ψ beForderung ∂µ Aµ = ∂ ϕ/∂ t − grad A
schreibt das freie Fermionfeld. Die Wechselwirkung zwischen Fermionen und Photonen wird
/ beschrieben.
durch den Term eψAψ
Aus dieser Lagrangedichte folgen die Feynmanregeln
gµν
–
µ
k
= −i
ν
=i
p
k 2 + i"
+ (1 − ξ )
/p + m
p 2 − m 2 + i"
,
kµ kν
(k 2 + i")2
™
,
(4.3)
µ
= +i eγµ
17
4 Quantenelektrodynamik
Da für ξ jeder Wert gewählt werden darf, wird im folgenden die Feynman-t’Hooft-Eichung
ξ = 1 angewandt, in der der Photonpropagator die einfache Form −i g µν /(k 2 + i") annimmt.
Die Zustände äußerer Fermionen werden durch die Lösungen der freien Diracgleichung ( /p −
m)ψ( p) = 0 beschrieben, die Spinoren. Es gibt je zwei linear unabhängige Lösungen positiver
und negativer Energie, die den Spinzuständen von Teilchen und Antiteilchen entsprechen. Die
Feynmanregeln für äußere Fermionen sind
= u( p),
p
= u( p),
p
= v( p),
p
(4.4)
= v( p).
p
Zustände äußerer Photonen werden durch Polarisationsvektoren beschrieben, die in der
Fourierentwicklung der freien Lösungen der Wellengleichung ∂ν ∂ ν Aµ = 0 vorkommen. Es
gibt vier mögliche Polarisationszustände, aber da Photonen masselos sind, kommen nur zwei
als physikalische Zustände vor. Die Feynmanregeln für äußere Photonen sind
µ
= "µ ,
= "∗µ .
µ
(4.5)
Mit diesen Regeln kann man die Matrixelemente von Baumgraphen auszurechnen. Die Übergangsamplitude ergibt sich daraus als Betragsquadrat. Wenn man über die Spin- und Polarisationszustände der externen Teilchen summiert, wie es für einen unpolarisierten Wirkungsquerschnitt notwendig ist, benötigt man die Fermionspinsummen
2
X
s=1
2
X
u s ( p)u s ( p) = /p + m,
(4.6)
v s ( p)v s ( p) = /p − m
s=1
und die Polarisationssumme
2
X
r =1
µ
µν
" r (k)"∗ν
r (k) = − g .
(4.7)
Durch die Spinsumme entsteht eine Spur über die Diracmatrizen, so dass sich für eine Ampli-
18
4.2 Einschleifendiagramme
tude der Form M = u f ( p f )Γµ ui ( pi )"µ (k) das Betragsquadrat
|M |2 =
=
1 X
M †M
2ni si ,s f ,r
− g µν
Tr[( /p f + m)Γµ ( /p i + m)Γν‡ ]
2ni
(4.8)
mit Γν‡ = γ 0 Γν† γ 0
ergibt. Da über Anfangszustände gemittelt und über Endzustände summiert wird, muss noch
durch die Anzahl der Freiheitsgrade der einlaufenden Teilchen ni geteilt werden.
4.2 Einschleifendiagramme
Um Einschleifendiagramme auszurechnen, benötigt man zusätzlich die Regeln, dass über den
in der Schleife umlaufenden Impuls integriert wird und über die Spinorindizes einer Fermionschleife die Spur gebildet wird. Da Fermionen antivertauschen, erhält die Amplitude einer
Fermionschleife zudem ein Minuszeichen.
Allgemein hat ein Schleifenintegral die Form
µ ,...,µ p
T̂n 1
=
Z
d 4 q q µ1 · · · q µ p
(2π)4 D0 D1 · · · Dn−1
2
mit Di = (q + ri )
(4.9)
− mi2 + i".
Für p = 0 spricht man von einem skalaren Schleifenintegral, sonst bezeichnet man es als Tensorintegral. Dieses Integral ist divergent, wenn 4 + p − 2n ≥ 0 wird. In diesem Fall wird für
unendlich große Werte des Schleifenimpulses q der Integrand unendlich groß. Man bezeichnet
dies als Ultraviolettdivergenz.
Um diese unphysikalischen Divergenzen zu beheben, führt man zunächst Zusatzparameter
in die Theorie ein, die es ermöglichen, das Schleifenintegral zu berechnen. Würde man den
physikalischen Grenzfall nehmen, wäre der Ausdruck immer noch divergent. Dieser Vorgang
wird als Regularisierung bezeichnet.[LP05]
Die einfachste Möglichkeit ist die Einführung eines Abschneideparameters Λ, der die obere Grenze für die Schleifenimpulsintegration darstellt. Diese sog. Cut-off-Regularisierung ist
jedoch nicht Lorentz-invariant.
Eine weitere Möglichkeit ist die Pauli-Villars-Regularisierung, bei der die Propagatoren gemäß der Vorschrift 1/(q 2 − m 2 + i")n → 1/(q 2 − m 2 + i")n −1/(q 2 − M 2 + i")n ersetzt werden.
Dies entspricht einem zusätzlichen Teilchen mit Masse M , die im physikalischen Grenzfall ge-
19
4 Quantenelektrodynamik
gen unendlich geht. Diese Regularisierungsmethode bricht die Eichkovarianz.
Die üblicherweise angewandte Methode zur Regularisierung ist die dimensionale Regularisierung. Hierbei wird das Integral nicht in 4 Dimensionen, sondern in d Dimensionen ausgerechnet und das Ergebnis analytisch zu d = 4 − 2" Dimensionen fortgesetzt. Die Divergenzen
des Schleifenintegrals sind dann einfache Pole bei " = 0, also ∝ 1/". Um die Dimension des
Integrals gleich zu halten, führt man einen Parameter µ mit Massendimension ein.
Um die Schleifenintegrale zu berechnen, wendet man die Methode der Feynman-Parameter
an.[LP05] Dabei nutzt man aus, dass gilt
1
=
n
Q
Ai
i =1
Z1
Z1
d x1 · · ·
0
0
‹

n
P
δ 1−
xi
i =1
d xn n .
n
P
xk Ak
(4.10)
k=1
Auf diese Weise wird der Nenner des Integranden in (4.9) zu einer geraden Funktion im Integrationsimpuls. Folglich verschwinden bei der Integration über den gesamten Impulsraum die
Beiträge von Termen im Zähler, die eine ungerade Potenz des Integrationsimpulses enthalten.
Die nicht kontrahierten Vierervektoren werden analog
µ
4−d
Z
ddq
qµqν
g µν 4−d
=
µ
d
(2π)d (q 2 − a 2 ) s
Z
q2
ddq
(2π)d (q 2 − a 2 ) s
(4.11)
behandelt.
Um die üblichen Techniken der mehrdimensionalen Integration anwenden zu können, ist
es notwendig die Minkowskimetrik durch die Eulermetrik zu ersetzen; dies ist äquivalent zu
einer Variablentransformation k0 → i k0 bzw. einer Änderung des Integrationsweges in der
komplexen Ebene. Nach dieser sogenannten Wick-Rotation hat der Integrand die Gestalt
µ
4−d
Z
ddq
(k 2 ) r
= µ2" i(−1) r +s
(2π)d (k 2 − a 2 ) s
Z
d d qE (qE2 ) r
.
(2π)d (qE2 + a 2 ) s
(4.12)
Die Integration über den Winkelanteil ergibt einen Faktor 2π d /2 /Γ (d /2). Die Integration über
den Betrag des Wick-rotierten Impulses läßt sich durch die Beta-Funktion ausdrücken, die als
Produkt von Gamma-Funktionen geschrieben werden kann, so daß man als Resultat
Z
(q 2 ) r
ddq
i(−1) r +s
Γ (r + d /2)Γ (s − r − d /2)
1
=
.
Γ (d /2)Γ (s )
(2π)d (q 2 − a 2 + i") s
(4π)d /2 (a 2 ) s−r −d /2
(4.13)
erhält. Den Ausdruck für das Schleifenintegral erhält man dann nach Ausführung der Integra-
20
4.2 Einschleifendiagramme
tion über die Feynmanparameter, die auf Polylogarithmen führt.
Die Divergenz für d = 4 kommt aus den Gamma-Funktionen, die für negative ganze Zahlen
einfache Pole haben. Eine Laurent-Entwicklung führt auf
Γ (") =
1
− γ + O(")
"
(4.14)
mit der Euler-Mascheroni-Konstante γ . Oft faßt man die Euler-Mascheroni-Konstante sowie
den in Schleifenrechnungen immer auftauchenden Term ln 4π mit dem Pol 1/" zu der Abkürzung ∆" = 1/" − γ + ln 4π zusammen (M S-Schema).
Es ist sehr schwierig die entstehenden Ausdrücke numerisch stabil zu formulieren. In
[vOV90] wurden entsprechende Ausdrücke für die skalaren Schleifenintegrale mit bis zu fünf
inneren Propagatoren hergeleitet, die in [vO90] implementiert wurden. Im Paket LoopTools
[HPV99b] wurden diese Algorithmen neu implementiert und um die Tensorintegrale für Einbis Fünfpunktfunktionen erweitert.
In den Konventionen von LoopTools ist ein allgemeines Schleifenintegral definiert als
TµN1 ...µP
=
µ4−D
iπ D/2 rΓ
Z
dDq
qµ 1 · · · qµ P
[q 2 − m12 ][(q
+ k1 )2 − m22 ] · · · [(q + kN −1 )2 − mN2 ]
Γ 2 (1 − ")Γ (1 + ")
rΓ =
.
Γ (1 − 2")
,
(4.15)
Die übliche Nomenklatur für die Schleifenintegrale ist A für T 1 , B für T 2 etc. Die skalaren
Integrale werden durch den Index 0 gekennzeichnet. Diese allgemeine Schreibweise für die
Schleifenintegrale geht auf G. Passarino und M. Veltman zurück[PV79].
Die Integrale mit Tensorstruktur können als Linearkombination von Tensoren geschrieben werden, die aus der Metrik und einer linear unabhängigen Menge von Impulsen gebildet
werden. Die dabei auftretenden Koeffizientenfunktionen sind in LoopTools implementiert
[HPV99b, PV79, tV79]. Die Wahl der Basis ist dabei jedoch nicht eindeutig. Wenn man die
Impulse ki aus den Propagatoren als Basis wählt, erhält man als Tensorzerlegung für die bei
Bremsstrahlungsprozessen auftretenden Zwei- bis Vierpunktintegrale[HPV99b]
B µ = k1µ B1 ,
µ
B µν = g µν B00 + k1 k1ν B1 ,
(4.16)
21
4 Quantenelektrodynamik
µ
µ
C µ = k1 C1 + k2 C2 ,
C µν = g µν C00 +
C µνρ =
2
X
i=1
Dµ =
3
X
i=1
3
X
i=1
i, j =1
µ µ
ki k j Ci j ,
ρ
µ
(g µν ki + g νρ ki + g µρ kiν )C00i +
(4.17)
2
X
i , j ,`=1
µ
ρ
ki k νj k` Ci j ` ,
µ
ki Di ,
D µν = g µν D00 +
D µνρ =
2
X
3
X
i, j =1
µ
ki k νj Di j ,
ρ
µ
(g µν ki + g νρ ki + g µρ kiν )D00i +
(4.18)
3
X
i, j ,`=1
µ
ρ
ki k νj k` Di j ` .
Nur ein Teil der Passarino-Veltman-Integrale ist utraviolett-divergent. Die divergenten Anteile sind[Rom13]
Div[A0 (m12 )] = ∆" m02
Div[B0 (k12 , m12 , m22 )] = ∆"
1
Div[B1 (k12 , m12 , m22 )] = − ∆"
2
1
Div[B00 (k12 , m12 , m22 )] = ∆" (3m12 + 3m22 − k12 )
12
1
Div[B11 (k12 , m12 , m22 )] = ∆"
3
1
2
2 2
2
2
2
Div[C00 (k1 , (k2 − k1 ) , k2 , m1 , m2 , m3 )] = ∆"
4
1
2
2 2
2
2
2
Div[C001 (k1 , (k2 − k1 ) , k2 , m1 , m2 , m3 )] = − ∆"
12
1
Div[C002 (k12 , (k2 − k1 )2 , k22 , m12 , m22 , m32 )] = − ∆"
12
(4.19)
(4.20)
(4.21)
sowie ein Vierpunktintegral, das bei Bremsstrahlungsprozessen in Feynman-t’Hooft-Eichung
auf Einschleifenniveau nicht auftaucht.
In dimensionaler Regularisierung laufen die Lorentzindizes formal nicht über 4, sondern
über 4−2" Einträge. Folglich sind auch Ausdrücke der Dirac-Algebra, bei denen über einen gemeinsamen Lorentzindex summiert wird, von der Dimension abhängig. Aus der definierenden
22
4.3 Renormierung
Gleichung der Clifford-Algebra γ µ γ ν +γ ν γ µ = 2g µν folgen somit folgende Ausdrücke[BRS95]
γ µ γµ = 4 − 2",
γ µ γ ν γµ = (−2 + 2")γν ,
γ µ γ ν γ ρ γµ = 4g νρ − 2"γ ν γ ρ ,
(4.22)
γ µ γ ν γ ρ γ σ γµ = −2γ σ γ ρ γ ν + 2"γ ν γ ρ γ σ .
Dies ist von Bedeutung, da die Terme O(") mit den Termen ∝ 1/" multipliziert werden und
endliche Terme übrig bleiben.
4.3 Renormierung
Die Berechnung der Amplitude von Einschleifendiagrammen nach den oben angegebenen Methoden liefert Ausdrücke, die vom Regularisierungsparameter ∆" abhängen. Dieses Ergebnis
ergibt sich aus der Lagrangedichte in (4.1), die der Lagrangedichte für die Wechselwirkung eines
klassischen elektromagnetischen Feldes entspricht. Der klassische Grenzfall ergibt sich durch
den Limes ħh → 0. Durch die Wahl natürlicher Einheiten war bislang ħh = 1, man kann es jedoch
als einen Zählparameter für die Anzahl an Schleifen betrachten. Sowohl der Wechselwirkungshamiltonian, aus dem die Feynmanregel für den Wechselwirkungsfaktor folgt, als auch die freie
Hamiltondichte tragen je einen Faktor 1/ħh bei. Der Propagator ist das Inverse des Differentialoperators in den quadratischen Termen der Lagrangedichte und ergibt somit einen Faktor
ħh . Aus der Beziehung n − v = ` − 1 für ein Diagramm mit n inneren Linien und v Vertizes er1
gibt sich die Schleifenzahl `. Folglich hat der Term ħh Heff im Zeitentwicklungsoperator einen
Beitrag O(ħh ` ) aus Diagrammen mit ` Schleifen.[LP05]
In der Störungsreihe entsprechen Diagramme mit ` Schleifen Termen höherer Ordnung, die
mit ħh → 0 verschwinden. Die gesamte Lagrangedichte einschließlich Quantenkorrekturen hat
daher die Gestalt
L = Lklassisch + ħh δL (1) + ħh 2 δL (2) + · · · .
(4.23)
Die Ergebnisse in `-ter Ordnung Störungstheorie werden dabei von den Termen in δL (`)
beeinflusst.[LP05] Außer der Tatsache, dass ħh δL (1) im Limes ħh → 0 verschwindet, gibt es
keine Einschränkungen für den Beitrag aus den Quantenkorrekturen und er kann beliebig
gewählt werden. Die ultraviolett-divergenten Terme in Einschleifenamplituden können daher
durch gleiche Beiträge mit umgekehrtem Vorzeichen aus δL (1) kompensiert werden. Man
bezeichnet diese Beiträge als Counterterme.
23
4 Quantenelektrodynamik
Da die Counterterme beliebig groß sein können, benötigt man Renormierungsbedingungen, die eine Vorschrift liefern, wie die Counterterme zu wählen sind, die die UltraviolettDivergenzen aufheben. In der Quantenelektrodynamik wählt man üblicherweise die sogenannte On-Shell-Renormierung. Die Einschleifen-Korrekturen an Propagatoren verschwinden
dabei für physikalische Teilchen auf der Massenschale. Dadurch verschwinden Selbstenergiebeiträge auf äußeren Linien.
Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik kann auf Einschleifenniveau mit drei Renormierungskonstanten vollständig renormiert werden. Die Lagrangedichte einschließlich Einschleifenkorrekturen hat allgemein die Gestalt
1
/ − m)ψ
L = − Fµν F µν + ψ(i ∂/ + e A
4
1
/
− (Z3 − 1)Fµν F µν + (Z2 − 1)ψ(i ∂/ − (m − δ m))ψ + (Z1 − 1)eψAψ,
4
(4.24)
sowie ein eichfixierender Term, wobei die Namen Z1 , . . . Z3 und δ m eine übliche Konvention
sind. Z1 ergibt sich aus der Vertexkorrektur, Z2 und δ m aus der Fermionselbstenergie und Z3
aus der Vakuumpolarisation.
4.4 Berechnung mit FeynArts und FormCalc
Zunächst wurde die Berechnung mithilfe der Mathematica-Pakete FeynArts[Hah01] und
FormCalc[HPV99a] von Thomas Hahn et al. versucht. Dabei wird die Physik in einem Modell beschrieben, das die Propagatoren und die kinetische Struktur der Kopplungen der einzelnen Teilchen in einer sog. kinetischen Modelldatei sowie die Massen, Ladungen, Kopplungsund Renormierungskonstanten in einer sog. Klassenmodelldatei beschreibt. FeynArts erstellt
aufgrund der Klassenmodelldatei die zum gesuchten Prozess beitragenden Diagramme und erzeugt die Amplituden. FormCalc führt die oben beschriebene Integration und die algebraische
Vereinfachung der Amplitude aus, wobei der rechenintensive Teil nicht in Mathematica, sondern in FORM[Ver00] durchgeführt wird. Für diese Arbeit wurde daher eine Klassenmodelldatei erstellt, die die Formfaktoren für die elastische Streuung an schweren Kernen enthält.
FormCalc erstellt dann eine Fortran-Routine, die das Matrixelement ausrechnet und für die
numerische Phasenraumintegration genutzt wird. Das unpolarisierte Matrixelement wird dabei nicht mittels einer Spinsumme gebildet, sondern durch Einsetzen der Spinoren in einer
bestimmten Darstellung und Aufsummieren. Da so keine Rechnung im Laborsystem möglich
war und die Berücksichtigung inelastischer Wechselwirkungen nicht möglich war, wurde dieser Ansatz wieder verworfen.
24
4.5 Infrarotdivergenzen
4.5 Infrarotdivergenzen
Da das Photon masselos ist, divergieren die Photonpropagatoren in Schleifendiagrammen für
verschwindende Werte des Schleifenimpulses. Wenn das Photon eine Masse besäße, wären diese
Beiträge proportional zum Logarithmus der Photonmasse.Die Counterterme zu diesen divergenten Terme entsprechen dabei den Amplituden von Bremsstrahlungsdiagrammen, wobei die
Energie des abgestrahlten Photons infinitesimal klein ist. Der endgültige Wirkungsquerschnitt
hängt dann von der maximalen Energie des weichen Bremsstrahlungsphotons ab. Er kann als
Auflösung des Detektors betrachtet werden.[BF52]
4.6 Analytische Ausdrücke für irreduzible Diagramme
Diagramme, die durch Zerschneiden einer der inneren Linien in zwei getrennte Diagramme
zerfallen, werden als reduzible Diagramme bezeichnet, da sie zerlegbar sind in Baum-Graphen
und irreduzible Unterdiagramme. In diesem Abschnitt werden die irreduziblen Diagramme
berechnet, die zur Bremsstrahlung an einem Kern auf Ein-Schleifen-Niveau beitragen.
4.6.1 Vakuumpolarisation
Die Erzeugung und Vernichtung eines virtuellen Fermionpaares mit der Ladung Q f wird beschrieben durch das Feynman-Diagramm
k+q
µ
k
q
k
ν
.
Die dazugehörige Amplitude ohne die äußeren Propagatoren ist in dimensionaler Regularisierung
–
™
k/ + q/ + m
q/ + m
dDq
µ
ν
iΠ (k, ") = −
Tr (−i eQ f γ )i
(i eγ )i
(2π)D
(q + k)2 − m 2
q 2 − m2
α
= −i Q 2f g µν (m 2 B0 − k 2 B1 + (−2 + 2")B00 − q 2 B11 + k µ k ν (2B1 + 2B11 ) .
π
(4.25)
µν
Z
Hierbei haben die Passarino-Veltman-Integrale die Argumente (k 2 , m 2 , m 2 ).
In der Quantenfeldtheorie gelten die Ward-Takahashi-Identitäten[War50, Tak57]. Es handelt
sich dabei um Beziehungen zwischen Korrelationsfunktionen im Impulsraum. In der Quante-
25
4 Quantenelektrodynamik
nelektrodynamik gilt als wichtiger Spezialfall die Ward-Identität
kµ M µ = 0,
(4.26)
wobei M = "µ (k)M µ die Amplitude eines QED-Prozesses mit einem externen Photon bezeichnet, welches den Viererimpuls k hat. Anschaulich bedeutet das, dass das reale Photon nur
transversale Freiheitsgrade besitzt.
Da der Vakuumpolarisationstensor Π µν nur vom Impuls k des Photons abhängt, muss er
aufgrund der Ward-Identität kµ Π µν = Π µν kν = 0 die Tensorstruktur
Π µν = (g µν k 2 − k µ k ν )Π(k 2 )
(4.27)
haben. Die Tensorkoeffizientenfunktionen im obigen Ausdruck sind nicht unabhängig voneinander, sondern können durch die Funktion B0 ausgedrückt werden. Man erhält dann für
die Funktion Π den noch ultraviolett-divergenten Ausdruck
α
4 8 m2
4
m2
2
2
2
2
2
Π(k , ") =
− −
B (0, m , m ) +
1+
B0 (k , m , m ) .
4π
9 3 k2 0
3
k2
2
(4.28)
Im On-Shell-Renormierungsschema der QED benötigt man als Counterterm den Wert dieser
Funktion für k 2 → 0 und erhält
α
4 4
8 2 ∂ B0
2
2
2
2
Π(0, ") =
− + B0 (0, m , m ) + m
(0, m , m )
4π
9 3
3
∂ k2
•
˜
α 4
2
2
=
B (0, m , m )
4π 3 0
(4.29)
= −δZ3 .
Das renormierte und ultraviolett-finite Resultat ist damit
α
1
2m 2
R 2
2
2
2
2
Π (k ) =
− + 1+
(B0 (k , m , m ) − B0 (0, m2, m )) .
3π
3
k2
4.6.2 Fermionselbstenergie
Die Selbstenergie eines Fermions wird beschrieben durch das Diagramm
q
p
26
p+q
p
.
(4.30)
4.6 Analytische Ausdrücke für irreduzible Diagramme
Die Amplitude der Selbstenergie ergibt sich gemäß den Feynmanregeln durch
/p + q/ + m
dDq
−i
i eγµ i
i eγ µ
D
2
2
(2π)
(q + p) − m
q2
−iα =
(−2 + 2") /p (B0 ( p 2 , 0, m 2 ) + B1 ( p 2 , 0, m 2 )) + (4 − 2")mB0 ( p 2 , 0, m 2 )
4π
−iα [1 − 2(B0 ( p 2 , 0, m 2 ) + B1 ( p 2 , 0, m 2 ))] /p + 2m(2B0 ( p 2 , 0, m 2 ) − 1) .
=
4π
(4.31)
−i Σ( p, ") =
Z
Die Amplitude der Selbstenergie ist eine Matrix im Diracraum ohne äußeren Lorentz-Index,
die nur vom Impuls p abhängt. Die allgemeine Form dieses Ausdrucks ist daher durch
Σ( p) = A( p 2 ) /p + B( p 2 )14×4
(4.32)
gegeben. Daher sind zwei Renormierungskonstanten zu bestimmen. Die renormierte Selbstenergie wird konventionell in der Gestalt
−iΣ R ( p) = −iΣ( p, ") + i( /p − m)δZ2 + iδ m
(4.33)
dargestellt.[Rom13] Damit ist es erforderlich, dass zwei Renormierungsbedingungen aufgestellt werden. Über das Verschwinden des Schleifenbeitrages auf der Massenschale hinaus wird
die Bedingung aufgestellt, dass der Pol des renormierten Elektronpropagators denselben Wert
annimmt wie auf Baumgraphenniveau.
Σ R ( /p = m) = 0 −→ δ m = Σ( /p = m)
∂ Σ R ∂ Σ = 0 −→ δZ2 =
∂ /p ∂ /p /p =m
(4.34)
/p =m
Der renormierte Ausdruck für die Selbstenergie ist damit
•
˜
ª
αm
1
α 2
2
2
2
2
2
−iΣ ( p) = −i
− + B0 ( p , 0, m ) +
1 − 2(B0 ( p , 0, m ) + B1 ( p , 0, m )) /p
π
2
4π
§
α
+ i( /p − m)
1 − 2 B0 (m 2 , 0, m 2 ) + B1 (m 2 , 0, m 2 )
4π
∂ B1 2
2 ∂ B0
2
2
2
+ 4m
(m , 0, m ) −
(m , 0, m )
∂ p2
∂ p2
αm +i
−1 + 2B0 (m 2 , 0, m 2 ) − 2B1 (m 2 , 0, m 2 )
4π
(4.35)
R
§
27
4 Quantenelektrodynamik
4.6.3 Vertexkorrektur
Die Korrektur des elektromagnetischen Wechselwirkungsvertex’ durch ein virtuelles Photon
wird beschrieben durch das Diagramm
p1
q
p1 + q
p2
p2 + q
µ
mit der Amplitude
/p 1 + q/ + m
/p 2 + q/ + m
dDq
−i
i eγσ
i
i eγµ i
i eγ σ
D
2
2
2
(2π)
q (q + p1 ) − m
(q + p2 )2 − m 2
α
= i e {γσ ( /p 1 + m)γµ ( /p 2 + m)γ σ C0
4π
+ [γσ /p 1 γµ ( /p 2 + m)γ σ + γσ ( /p 1 + m)γµ /p 1 γ σ ]C1
i eΛµ ( p1 , p2 ) =
Z
+ [γσ /p 2 γµ ( /p 2 + m)γ σ + γσ ( /p 1 + m)γµ /p 2 γ σ ]C2
(4.36)
+ γσ γλ γµ γ λ γ σ C00 + γσ /p 1 γµ /p 1 γ σ C11
+ [γσ /p 1 γµ /p 2 γ σ + γσ /p 2 γµ /p 1 γ σ ]C12
+ γσ /p 2 γµ /p 2 γ σ C22 }.
Die Argumente der Passarino-Veltman-Funktionen C ( p12 , ( p1 − p2 )2 , p22 , 0, m 2 , m 2 ) wurden
hierbei der Übersichtlichkeit halber fortgelassen.
Die in (4.26) aufgeführte Ward-Identität kann auch ausgedrückt werden als
∂ Σ .
Λµ ( p, p) =
∂ p µ p =m
(4.37)
/
Daraus folgt, dass der Counterterm δZ1 für die Vertexkorrektur identisch ist mit dem Counterterm δZ2 , der bei der Selbstenergie berechnet wurde. Damit ist die renormierte Vertexkor-
28
4.6 Analytische Ausdrücke für irreduzible Diagramme
rektur
i eΛR
µ ( p1 , p2 ) = i eΛµ ( p1 , p2 ) + γµ δZ1
α
= i e {γσ ( /p 1 + m)γµ ( /p 2 + m)γ σ C0
4π
+ [γσ /p 1 γµ ( /p 2 + m)γ σ + γσ ( /p 1 + m)γµ /p 1 γ σ ]C1
+ [γσ /p 2 γµ ( /p 2 + m)γ σ + γσ ( /p 1 + m)γµ /p 2 γ σ ]C2
+ 4γµ C00 − 4γµ + γσ /p 1 γµ /p 1 γ σ C11
µ
(4.38)
σ
+ [γσ /p 1 γµ /p 2 γ + γσ /p 2 γµ /p 1 γ ]C12
+ γσ /p 2 γµ /p 2 γ σ C22 }
§
α
+ γµ
1 − 2 B0 (m 2 , 0, m 2 ) + B1 (m 2 , 0, m 2 )
4π
∂ B1 2
2
2
2
2 ∂ B0
(m , 0, m ) −
(m , 0, m )
+ 4m
∂ p2
∂ p2
mit den oben angegebenen Argumenten für die Dreipunktfunktionen.
4.6.4 Boxgraphen
Für Bremsstrahlung auf Einschleifenniveau gibt es zwei Baumgraphen, die in der Ein-PhotonAustauschnäherung beitragen.
pi
pf
pf
pi
k
q
q
k
Da bei dieser Vierpunktfunktion nur zwei Diagramme beitragen, bietet es sich an explizit
auszunutzen, dass die äußeren Fermionlinien und das Bremsstrahlungsphoton auf der Massenschale liegen statt einer allgemeinen Berechnung der Vierpunktfunktion für zwei äußere
Fermionen und zwei äußere Photonen.
29
4 Quantenelektrodynamik
Da die Spinoren die Lösung der freien Dirac-Gleichung sind, erfüllen sie
u( /p − m) = 0,
( /p − m)u = 0.
σ
⇒ u f γ σ ( /p f + m) = 2 p f ,
(4.39)
σ
( /p i + m)γ σ ui = 2 pi ui .
Damit ergibt sich für den fermionischen Strom des linken Diagramms ohne den hadronischen
Anteil, der im hadronischen Tensor beschrieben wird, der Ausdruck
⟨µ− ( p f )γ (k)| jµ |µ− ( pi )⟩ = −iα2 u( p f ){4 pi p f γρ ( /p f + k/ + m)γµ D0
+ [2 /p i γλ γρ ( /p f + k/ + m)γµ + 4 pi p f γρ γλ γµ + 2γρ ( /p f + k/ + m)γµ γλ /p f ]D λ
+ [2 /p i γλ γρ γτ γµ + γσ γλ γρ ( /p f + k/ + m)γµ γτ γ σ + 2γρ γλ γµ γτ /p f ]D λτ
+ γσ γλ γρ γτ γµ γζ γ σ D λτζ }u( pi )"ρ (k). (4.40)
Die Passarino-Veltman-Funktionen haben hierbei die Argumente D(m 2 , 0, q 2 , m 2 , ( p f +k)2 , ( pi −
p f )2 , 0, m 2 , m 2 , m 2 ).
Analog ergibt sich für den fermionischen Strom des rechten Diagramms
⟨µ− ( p f )γ (k)| jµ |µ− ( pi )⟩ = −i α2 u( p f ){4 pi p f γµ ( /p i − k/ + m)γρ D0
+ [2 p/i γλ γµ ( /p i − k/ + m)γρ + 4 pi p f γµ γλ γρ + 2γµ ( /p i − k/ + m)γρ γλ /p f ]D λ
+ [2 /p i γλ γµ γτ γρ + γσ γλ γµ ( /p i − k/ + m)γρ γτ γ σ + 2γµ γλ γρ γτ /p f ]D λτ
− 2γζ γρ γτ γµ γλ D λτζ }u( pi )"ρ (k). (4.41)
Hier haben die Passarino-Veltman-Funktionen die Argumente D(m 2 , q 2 , 0, m 2 , ( pi −k)2 , ( pi −
p f )2 , 0, m 2 , m 2 , m 2 ).
30
5 Elektromagnetische Wechselwirkungen mit Atomen
Atomkerne stellen im allgemeinen Vielteilchensysteme dar, die nicht analytisch lösbar sind.
Daher ist eine effektive Beschreibung der Wechselwirkung mit einem Atom notwendig. Dabei
gibt es prinzipiell zwei Möglichkeiten, ein Atom zu beschreiben, entweder als statisches externes klassisches Feld oder als Teilchen mit einer Kopplungsstruktur, die durch einen Formfaktor
beschrieben wird.
Ein externes klassisches Feld wird durch einen zusätzlichen Term in der Lagrangedichte beschrieben. Wenn das Feld durch das Viererpotential Aext
µ beschrieben wird, hat der zusätzliche
ext
/ ψ, also wie die Ankopplung an das freie Photonfeld. Die dazugehörige
Term die Gestalt i eψA
Feynmanregel lautet
p0
p
↑ q = p0 − p
ext
/ (q~)
= i eA
(5.1)
ext
A
/ (q~) die Fourier-Transformierte des Viererpotentials. Diese Behandlung eines äuDabei ist A
ext
ßeren Feldes als kleine Störung ist dann zulässig, wenn es sich wie im Falle eines Atoms um ein
abgeschirmtes Feld handelt.
Eine andere Möglichkeit besteht in der Verwendung von Formfaktoren, die die Wechselwirkung eines Photons mit einem nicht elementaren Teilchen beschreiben. Dabei gibt es Unterschiede je nach dem Spin des wechselwirkenden Teilchens. Da die Spineffekte jedoch mit
steigender Masse schnell kleiner werden, kann man für die Zwecke dieser Arbeit den Spin außer für die allerleichtesten Kerne wie Protonen vernachlässigen.
Für ein nichtelementares fermionisches Teilchen wird im Vertex i eγµ die Diracmatrix ersetzt durch eine Vertexfunktion Γµ . Da diese Vertexfunktion nur einen Lorentzindex und zwei
31
5 Elektromagnetische Wechselwirkungen mit Atomen
Spinorindizes enthält, ist die allgemeinste Form[LP05]
Γµ = (F1 + F̃1 γ5 )γµ + (i F2 + F̃2 γ5 )σµν q ν + F̃3 qµ q/ γ5 + qµ (F4 + F̃4 γ5 ),
(5.2)
i
wobei qµ der Viererimpulsvektor des Photons ist und die Matrix σµν = 2 [γµ , γν ] der Kommutator der Diracmatrizen ist. Die Fi sind Funktionen der Impulse und werden als Formfaktoren bezeichnet. Die Terme proportional zur Matrix γ5 brechen die in der QED erhaltene
P -Symmetrie. Der Term mit F4 muss verschwinden, weil der elektromagnetische Strom erhal-
ten ist und somit qµ u s 0 ( p 0 )Γ µ u s ( p) = 0 für beliebige p und p 0 und folglich auch q = p − p 0
gelten muss. Für einen reinen QED-Vertex ist somit der allgemeine Fall die Vertexfunktion
Γµ = γµ F1 (q 2 ) + i σµν q ν F2 (q 2 ).
(5.3)
beziehungsweise mit einer anderen Definition von F2 , sodass F1 und F2 beide dimensionslos
sind,
Γµ = γµ F1 (q 2 ) +
i
σ q ν F2 (q 2 ).
2m p µν
(5.4)
In Falle eines skalaren Teilchens sind die einzigen Objekte mit Lorentzindizes die Vierervektoren des ein- und auslaufenden Teilchens. Wenn man Lorentzinvarianz und die Erhaltung des
skalaren Stroms anwendet, ergibt sich analog zum obigen Fall die Vertexfunktion
Γµ = ( p + p 0 )µ F (q 2 ).
(5.5)
Die Verwendung von Formfaktoren anstelle eines externen Feldes erlaubt die Berücksichtigung des Rückstoßes des Kernes. Um inelastische Effekte von Anregungen der Atomhülle oder
des Kerns zu berücksichtigen, muss eine andere Beschreibung gewählt werden, die die Beschreibung elastischer Prozesse über Formfaktoren als Grenzfall enthält. Dazu verwendet man die
elektromagnetischen Strukturfunktionen.[DW64] Wenn man das gemittelte Betragsquadrat
der Amplitude für die Streuung eines Leptons an einem Kern berechnet, und die Kopplung
des Elektrons an den Kern durch ein einzelnes virtuelles Photon, ergibt sich bei der Auswertung der Spuren im Diracraum ein Produkt aus Tensoren, die die jeweiligen leptonischen und
hadronischen Ströme beschreiben. Der leptonische Tensor ist dabei gegeben durch
Lµν = Tr[( /p f + m)γ µ ( /p i + m)γ ν ]
q 2 µν
µ ν
µ ν
= 2 pi p f + p f pi + g
2
32
(5.6)
mit dem Viererimpulsübertrag q = pi − p f . Der hadronische Tensor wird beschrieben durch
2
Wµν = W1 (q , ν) gµν −
qµ qν
q2
Pq
Pq
1
2
+ 2 W2 (q , ν) Pµ −
q
Pν −
q ,
q2 µ
q2 ν
mN
(5.7)
wobei Pµ der Viererimpuls des Kerns im Anfangszustand, qµ der Viererimpulsübertrag auf
den Kern und mN die Masse des Kerns ist. In dem Inertialsystem, in welchem der Kern vor der
Streuung ruht, ist ν = P q/mN gleich dem Energieübertrag auf den Kern bzw. dem Energieverlust des Leptons. Der Grenzfall einer elastischen Wechselwirkung mit einem fermionischen
Kern wird beschrieben durch[LP05]
1
W1 (q 2 , ν) = q 2 (F1 (q 2 ) + 2mN F2 (q 2 ))2 δ(ν + q 2 /2mN ),
2
2
W2 (q , ν) = 2mN2 [(F1 (q 2 ))2 − q 2 (F2 (q 2 ))2 ]δ(ν + q 2 /2mN ),
(5.8)
der Grenzfall elastischer Wechselwirkung mit einem skalaren Kern durch
W1 (q 2 , ν) = 0,
2
W2 (q , ν) = Z
2
mN2
2
2
2
2
[F (q )] δ(ν + q /2mN ).
(5.9)
Im Grenzfall eines unendlich schweren Kerns, in dem der Rückstoß vernachlässigbar wird,
ergibt sich
W1 (q 2 , ν) = 0,
W2 (q 2 , ν) = [F (q 2 )]2 δ(ν).
(5.10)
Da der Wirkungsquerschnitt wegen der 1/q 4 -Abhängigkeit durch kleine Impulsüberträge dominiert wird, ist dies außer für sehr leichte Kerne eine gute Näherung.
Der Formfaktor für ein Atom lässt sich aufteilen in einen atomaren Formfaktor, der die
Effekte der Elektronenhülle beschreibt, sowie einen nuklearen Formfaktor, der die Effekte
des ausgedehnten Kerns beschreibt. Für das Wasserstoffatom kann der atomare Formfaktor aus
der Wellenfunktion des Elektrons im Grundzustand exakt berechnet werden. Der Formfaktor
ergibt sich aus einer Fouriertransformation[Elt61]
q F (q) = F [r ρ(r )](q)
(5.11)
33
5 Elektromagnetische Wechselwirkungen mit Atomen
und man erhält[Tsa74]
Fe (q 2 ) =
1
1 + a02 q 2 /4
(5.12)
mit dem Bohr’schen Radius a0 . Für schwerere Kerne ist die Wellenfunktion der Atomhülle
ein Vielteilchenproblem, sodass eine effektive Beschreibung aufgrund von Streuexperimenten
nötig wird. Für schwerere Kerne kann der atomare Formfaktor durch
1
,
1 + b 2q2
1
184,15
b = p Z −1/3
me
e
Fe (q 2 ) =
(5.13)
beschrieben werden[Tsa74, AB97].
Der Formfaktor für die elastische Streuung an einem schweren Kern ist gegeben durch[AB97]
Fn (q 2 ) =
1
(1 + a 2 q 2 /12)2
,
1/3
a = (0,58 + 0,82A
(5.14)
−1
)5,07 GeV .
Die Beschreibung durch elastische Formfaktoren berücksichtigt allerdings nicht die gesamte
Wechselwirkung mit einem Atom, da Atome auch angeregte Zustände haben. Die Strukturfunktion W2 (q 2 , ν) ist in der Näherung eines starren Kerns gegeben durch[ABB94]
W2 (q 2 , ν) = δ(ν)
2
X Z
⟨n|I (~r )|0⟩e i q~~r d ~r ,
0
(5.15)
n
wobei I0 die zeitartige Komponente des Stromoperators des Atoms ist. Elastische Formfaktoren berücksichtigen nur den ersten Term dieser Summe
Z
W2el (q 2 , ν) = δ(ν) ⟨0|I0 (~r )|0⟩e
i q~~r
= Z 2 |Fn (|q~|) − Fe (|q~|)|2 ,
2
d ~r (5.16)
(5.17)
wobei Fn und Fe durch die Grundzustandswellenfunktionen der Elektronen bzw. Protonen
gegeben sind (die Wellenfunktion des Atoms kann in guter Näherung als Produkt der Wellen-
34
funktionen der Atomhülle und des Kerns beschrieben werden)
1
Fn =
Z
Z
1
Fe =
Z
Z ‚X
X
e
~
i q~R
j
!
~ ···dR
~ ,
|ψ0 (R1 , . . . RZ )|2 d R
1
Z
(5.18)
|ψ0e (r1 , . . . rZ )|2 d ~r1 · · · d ~rZ .
(5.19)
p
j
e
i q~~ri
Œ
i
Wenn man die Vollständigkeitsrelation der Wellenfunktionen für elektronische und nukleare
Zustände verwendet
ψen ∗ (~r1 , . . . , ~rZ )ψen (~r10 , . . . , ~rZ0 ) = δ(~r1 − ~r10 ) · · · δ(~rZ − rZ0 ),
(5.20)
p∗ ~
p ~0
~
~0
~ 0 ) · · · δ(R
~ − R0 ),
ψn ( R
r1 − R
1 , . . . , RZ )ψn ( R1 , . . . , RZ ) = δ(~
Z
1
Z
(5.21)
X
n
X
n
ergibt sich für die Strukturfunktion W2 unter Berücksichtigung von nuklearen und atomaren
Anregungen des Atoms der Ausdruck
ª
§
1 inel
inel
2
W2 (q , ν) = Z δ(ν) |Fn (|q~|) − Fe (|q~|)| + [Fe (|q~|) + Fn (|q~|)]
Z
2
2
(5.22)
mit
Feinel (|q~|) = 1 − Z Fe2 (|q~|) +
1
Z
Z
|ψ0e (~r1 , . . . , ~rZ )|2
X
e i q~(~ri −~r j ) d ~r1 · · · d ~rZ ,
(5.23)
i6= j
Fninel (|q~|) ≈ 1 − Fn2 (|q~|).
(5.24)
Der inelastische atomare Formfaktor kann parametrisiert werden durch
c4q4
(1 + c 2 q 2 )2
1
1194
.
c = p Z −2/3
me
e
Feinel =
(5.25)
Er wird allerdings im Gegensatz zum inelastischen nuklearen Formfaktor in dieser Arbeit nicht
berücksichtigt, da der entsprechende Beitrag in den Simulationen für den IceCube-Detektor
bereits im Ionisationswirkungsquerschnitt berücksichtigt ist[Koe13].
35
6 Phasenraumintegration
Die Phasenraumintegration ist die Verbindung zwischen Matrixelement und Wirkungsquerschnitt. Für einen Prozess mit zwei Teilchen im Anfangs- und drei Teilchen im Endzustand ist
das Phasenraumelement gegeben durch[BCM+ 14]
d Γ3 = δ
(4)
2
X
pi −
i=1
5
X
!
pf
f =3
3
Y
d 3kf
(2π)3 2E f
f =1
.
(6.1)
Der Wirkungsquerschnitt bestimmt sich dann durch
dσ = f
|M |2 d Γ3
Φ
(6.2)
mit dem statistischen Faktor f , der identische Teilchen berücksichtigt, und dem Flussfaktor
Φ, der vom System abhängt, in dem gerechnet wird.
Æ
Φ = 2 λ(s, m12 , m22 )
p
= 4|k~1 | s im Schwerpunktsystem,
= 4|k~1 |m2 im Laborsystem.
(6.3)
(6.4)
(6.5)
mit der Källén-Funktion
λ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 2x y − 2x z − 2y z.
(6.6)
Durch Auswerten der Dirac’schen Delta-Funktion erhält man ein 3·3−4 = 5-dimensionales
Integral. Ein Freiheitsgrad der Integration entspricht dabei der Drehung des ganzen Systems
um die Symmetrieachse, sofern im Ruhesystem eines der Teilchen oder im Schwerpunktsystem
gerechnet wird. Somit ist die Integration trivial und liefert einen Faktor 2π. Damit ist ein
vierdimensionales Integral zu berechnen.
37
6 Phasenraumintegration
6.1 Phasenraumparametrisierung
6.1.1 Phasenraumintegration durch Zerlegung in Zwei-Körper-Phasenräume
Da der Phasenraum für einen Zwei-Teilchen-Endzustand im Schwerpunktsystem sehr einfach
zu berechnen ist, bietet es sich an den Phasenraum in effektive Zwei-Teilchen-Phasenräume zu
zerlegen und im jeweiligen Schwerpunktsystem auszuwerten (vgl. Abb. 6.1)[Mur07]. Dabei
wird der Phasenraum vom Vierervektor eines der Endzustandsteilchen und der Summe der
Vierervektoren der restlichen Teilchen gebildet
d Γ3 (k3 , k4 , k5 ) =
Z
d s45
d Γ2 (k3 , q45 )d Γ2 (k4 , k5 ).
2π
(6.7)
Abbildung 6.1: Schematische Darstellung der Phasenraumzerlegung in Zwei-KörperPhasenräume (nach [Hah13]).
Der Zwei-Teilchen-Phasenraum im Schwerpunktsystem ist gegeben durch
dσ =
1 1 pf
p |M |2 d Ω3 ,
2
4(2π) Φ s
(6.8)
wobei p f den für beide Teilchen gleichen Impuls beschreibt. Durch Lorentz-Transformation
gelangt man dabei vom Schwerpunktsystem von k3 und q45 = k4 + k5 in das Schwerpunktsy2
stem von k4 und k5 . Es ist zusätzlich noch über die Energie s45 = q45
zu integrieren.
Diese Parametrisierung ist in den von FormCalc erzeugten Programmen enthalten. Es ist
damit jedoch schwierig, einen Wirkungsquerschnitt zu berechnen, der in der LaborsystemEnergie eines der beteiligten Endzustandsteilchen differentiell ist.
38
6.1 Phasenraumparametrisierung
6.1.2 Parametrisierung über Winkel und Energien im Schwerpunktsystem
Eine andere Möglichkeit zur Parametrisierung des Phasenraums sind Energien und Winkel im
Schwerpunktsystem (vgl. Abb. 6.2). Im Schwerpunktsystem verschwindet der Gesamtimpuls
nach Voraussetzung, sodass die drei Vektoren im Endzustand eine Ebene aufspannen. Hierbei
ist ein Vektor durch die Komponenten der beiden anderen Vektoren und den verschwindenden Gesamtimpuls vollständig bestimmt. Die Winkel ϑ und η und die Energien k30 und k50
Abbildung 6.2: Parametrisierung der Vektoren eines 2 → 3-Prozesses im Schwerpunktsystem.[Hah05]
parametrisieren den Phasenraum vollständig. Die Vierervektoren werden durch
k3 = (k30 , k~3 ), k~3 =
Æ
(k30 )2 − m32 ~e3 ,
k5 = (k50 , k~5 ), k~5 =
Æ
(k50 )2 − m52 ~e5 ,
(6.9)
k4 = −k3 − k5 ,
39
6 Phasenraumintegration
dargestellt, wobei die Einheitsvektoren durch die Winkel beschrieben werden

sin ϑ


cos ϑ
0 sin ϑ

cos η sin ξ


cos ϑ cos η sin ξ + sin ϑ cos ξ





 

~e3 =  0  , ~e5 =  0
1
0   sin η sin ξ  = 
sin η sin ξ
.
cos ϑ
− sin ϑ 0 cos ϑ
cos ξ
cos ϑ cos ξ − sin ϑ cos η sin ξ
(6.10)
Die infinitesimalen Volumenelemente können umgeformt werden zu
d 3 ki
2ki0
= d 4 ki δ(ki2 − mi2 ) =
|k~i | ∂ ki0 ~
k~i 0
1 |k~i |2 d |k~i |
d
Ω
=
d
|
k
|d
Ω
=
d k d Ωi .
i
i
i
2
2 ∂ |k~ |
2 i
ki0
i
(6.11)
Damit wird das Phasenraumelement zu
d Γ3 =
|k~3 ||k~5 | 0 0
d k3 d k5 d Ω3 d Ω5 δ(k42 − m42 ).
5
4(2π)
(6.12)
Durch die Delta-Funktion δ(k42 − m42 ) = δ[ f (cos ξ )] wird die Integration über cos ξ in d Ω5 =
d cos ξ d η ausgeführt und cos ξ hat den Wert
cos ξ =
qp
Æ
|k~4 |2 − |k~3 |2 − |k~5 |2
mit |k~4 | = (k40 )2 − m42 = ( s − k30 − k50 )2 − m42 ,
2|k~ ||k~ |
3
(6.13)
5
wobei durch die Substitution des Arguments der Delta-Funktion der Jacobi-Faktor 1/ f 0 (cos ξ ) =
1/(2|k~ ||k~ |) zum Integranden zu multiplizieren ist.
3
5
Aus der Bedingung | cos ξ | ≤ 1 ergeben sich die Grenzen für die Energien und man erhält
den Wirkungsquerschnitt als[Hah05]
(k30 )max
(k50 )max
σ=
Z
d k50
m5
p
mit
(k50 )max
=
s
Z
(k30 )min
−
d k30
Z1
d cos ϑ
−1
Z2π
0
dη
dσ
d k50 d k30 d
(m3 + m4 )2 − m52
p
2 s
cos ϑd η
(6.14)
2
i
q
1 h
0 max, min
~
2
2
und (k3 )
=
σ(τ + m+ m− ) ± |k5 | (τ − m+ )(τ − m− ) ,
2τ
p
σ = s − k 0 , τ = σ 2 − |k~ |2 , m = m ± m .
5
40
5
±
3
4
6.1 Phasenraumparametrisierung
6.1.3 Phasenraumparametrisierung mit explizitem Impulsübertrag
Bei der Rechnung mittels der Parametrisierung in Winkeln und Energien stellte sich heraus,
dass der Wirkungsquerschnitt für cos ϑ → 0 stark ansteigt und für große Energien im Rahmen
der Rechengenauigkeit des Programms divergiert. Dies entspricht einem Verschwinden des
Impulsübertrages. Der minimale Impuls- und Energieübertrag ergibt sich zu
~ − | ~p |
|q~|min = | ~pi | − |k|
f
Ç
q
= Ei2 − mµ2 − ω − E f2 − mµ2
q
q
= Ei2 − mµ2 − ω − (Ei − ω − ν)2 − mµ2
0 ¶ |ν| ¶ Ei − ω − mµ
(6.15)
(6.16)
aus der Impulserhaltung[ABB94].
Da die Effekte von inelastischen Wechselwirkungen mit den obigen Parametrisierungen
nicht erfaßt werden können, wurde der Phasenraum so parametrisiert, dass explizit über den
Impulsübertrag q = (ν, q~) integriert wird und somit eine Trennung des Matrixelements in leptonischen und hadronischen Tensor möglich wurde, die die Berücksichtigung von inelastischen
Wechselwirkungen mit dem Atom erlaubt. Hierbei wurde der Phasenraum nicht im Schwerpunktsystem, sondern im Laborsystem ausgewertet. Die Winkel werden analog zur vorigen
Parametrisierung definiert.
d 4 pf d 4k d 4q
d Γ3 =
2πδ( p 2f − mµ2 )2πδ(k 2 )(2π)3 δ (3) ( ~pi − ~p f − k~ − q~)
(2π)4 (2π)4 (2π)4
× 2πδ(Ei − E f − ω − ν)
d3 pf
=
d 3k
d ν d 3 qδ(Ei − E f − ω − ν)δ (3) ( ~pi − ~p f − k~ − q~)
3
3
(2π) 2E f (2π) 2ω
=
1
ω 2 d ω d Ωγ d ν |q~|2 d |q~| d Ωq δ( p 2f − mµ2 )
6
4(2π)
(6.17)
Die On-Shell-Bedingung δ( p 2f − mµ2 ) kann auch hier wieder als Bedingung δ[ f (cos ξ )] geschrieben werden.
Acos ξ + B sin ξ = C
mit A = 2| ~pi ||q~| cos ϑ − 2ω|q~|,
B = −2| ~pi ||q~| sin ϑ cos η,
(6.18)
C = Ei2 − E f2 − 2| ~pi |ω cos ϑ + ω 2 − |q~|2
41
6 Phasenraumintegration
Als Lösung dieser goniometrischen Gleichung ergibt sich
p
AC − B A2 + B 2 − C 2
cos ξ =
,
A2 + B 2
p
A A2 + B 2 − C 2 + BC
sin ξ =
,
A2 + B 2
cos ξ
f 0 (cos ξ ) = A + B
.
sin ξ
(6.19)
Als Integrationsvariablen verbleiben dann noch |q~|, ν, cos ϑ und η. Das Integral über den Energieübertrag verschwindet dabei durch die Delta-Funktion δ(ν) im hadronischen Tensor. Das
Integrationsvolumen ist dann implizit beschrieben durch
|q~| ¾ |q~|min ,
−1 ¶ cos ϑ ¶ 1,
(6.20)
0 ¶ η ¶ 2π,
| cos ξ | ¾ 1.
6.2 Mehrdimensionale numerische Integration
Für die numerische Integration in mehrereren Dimensionen verwendet man oft ein MonteCarlo-Integrationsverfahren. Hierbei wird der Integrand an N zufällig verteilten Stellen im
Integrationsvolumen ausgewertet.[Wei00]
I=
Z
V
d x1 . . . d xn f (x1 , . . . , xn ) ↔ IMC =
N
V X
f (x1i , . . . xni ).
N i=1
(6.21)
Unabhängig von der Dimension n des Integrationsvolumens ist der Fehler bei der einfachen
p
Monte-Carlo-Integration O(1/ N ). Diese Methode ist der Anwendung einer Kubaturregel
desto überlegener, je höher die Dimension des Integrationsvolumens ist. Bei einem Verfahren
mit fester Schrittweite h und Konvergenzordnung k ist der Fehler O(h k ) = O(N −k/n ). Eine
einfache Monte-Carlo-Integration ist also beispielsweise dem Verfahren von Heun, das eine
Konvergenzordnung von 2 besitzt, in Räumen der Dimension 5 oder höher überlegen. Der
Fehler der Monte-Carlo-Integration kann durch Optimierungen wie eine passend gewählte
Verteilung, aus der die Zufallszahlen gezogen werden, weiter verbessert werden.
Bei der analytischen Integration oder eine numerischen Integration mittels Quadraturregeln
ist eine Beschreibung des Randes des Integrationsvolumens V erforderlich, die sehr schwierig
42
6.2 Mehrdimensionale numerische Integration
zu bestimmen sein kann. Durch Definition einer Funktion

 f (~
x ), falls x~ ∈ V
,
f˜(~
x) =
0
sonst
(6.22)
die über dem Volumen Ṽ ⊃ V integriert wird, kann auch ein implizit definierter oder nicht
zusammenhängender Integrationsbereich behandelt werden. Bei der Phasenraumintegration
ist dies beispielsweise der Fall in der Parametrisierung mit explizitem Impulsübertrag bei der
Bedingung | cos ξ | ¶ 1. Das Volumen Ṽ muss dabei jedoch so gewählt werden, dass es möglichst
nahe an V liegt, weil der Großteil der Punkte aus Ṽ sonst außerhalb von V liegt.
43
7 Rechnung mit verbesserter
Weizsäcker-Williams-Methode
Prozesse, die durch ein mit dem Kern ausgetauschtes Photon beschrieben werden können,
können in der Weizsäcker-Williams-Näherung berechnet werden. Unabhängig zeigten 1934
C. F. v. Weizsäcker[vW34] und E. J. Williams[Wil35], dass ein einfallendes Teilchen der Ladung Z e, Masse M und der Energie E = γ M den gleichen Effekt auf ein ruhendes Elektron
ausübt wie ein Photonstrahl mit dem Spektrum
Z 2α
{2xK0 (x)K1 (x) − x 2 [K12 (x) − K02 (x)]}
πω
2
1.123γ
1
x1 2Z α
∼
ln
− ,
πω
ωbmin
2
ρ(ω) =
(7.1)
wobei ω die Photonenergie bezeichnet, bmin den minimalen Stoßparameter und x = ωbmin /γ
ist; K0 und K1 sind modifizierte Besselfunktionen. Die Weizsäcker-Williams-Methode wurde von K. Mork und H. Olsen[MO65] auf das Bremsstrahlungsproblem angewandt, nachdem L. M. Brown und R. P. Feynman die Strahlungskorrekturen auf Einschleifenniveau zum
Comptoneffekt berechnet hatten[BF52].
Diese Beziehung wurde von Gribov[G+ 62] kovariant formuliert und von K. J. Kim und Y.S. Tsai auf einen durch die elektromagnetischen Strukturfunktionen W1,2 beschriebenen Kern
verallgemeinert[KT72]. Die Wechselwirkung mit dem Kern wird dann durch einen Faktor
1
χ=
2M i
Z
tup
tmin
dt
t2
Z
(u−m)2
M i2
0
W1 ],
d M f2 [(t − tmin )W2 + 2tmin
(7.2)
wobei
0
0
tmin ≈ tmin
+ 2∆tmin
,
∆=
u=
M f2 − M i2
2M i
Æ
,
( pi + pN − k)2 .
45
7 Rechnung mit verbesserter Weizsäcker-Williams-Methode
Die obere Grenze tup der t -Integration ist dabei von der Größenordnung m 2 , weil für t m 2
der Integrand deutlich größer wird als der Integrand im exakten Ausdruck. Die exakte Form
der oberen Grenze hängt dabei vom Formfaktor ab und muss empirisch durch Anpassung an
das Ergebnis in Born’scher Näherung bestimmt werden.
Der Bremsstrahlungswirkungsquerschnitt σ B in Weizsäcker-Williams-Näherung ergibt sich
dann aus dem Comptonwirkungsquerschnitt σ C über die Beziehung
dσB
dσC
α Ei
=
χ
.
d ωd Ω 0 π E f ω d Ω 0
(7.3)
Da der Wirkungsquerschnitt als Funktion der Winkel im Laborsystem eine stark in Vorwärtsrichtung gepeakte Funktion ist, bietet es sich an, die Integration über die Winkel im Ruhesystem des Myons durchzuführen, wo der Wirkungsquerschnitt eine langsam variierende Funktion von cos ϑ 0 ist. Hierbei ist die relativistische Näherung β ≈ 1 angewandt worden, so dass
Terme der Form 1 − β cos ϑ 0 sich zu 1 − cos ϑ 0 vereinfachen.
46
8 Ergebnisse und Diskussion
In dieser Arbeit wurde das Matrixelement für Myon-Bremsstrahlung auf mehrere Arten bestimmt. Die Bestimmung der Amplitude mit dem Framework FeynArts/FormCalc/LoopTools
lieferte eine Fortran-Routine, die das quadrierte Matrixelement für beliebige Spinkonfigurationen ausrechnet und für unpolarisierte Wirkungsquerschnitte über die Spinkonfigurationen
mittelt. Die Bestimmung der analytischen Ausdrücke für die Ein-Teilchen-irreduziblen Schleifendiagramme in der Ein-Photon-Austauschnäherung ermöglichte eine Bestimmung des analytischen Ausdrückes des Matrixelementes durch Verwendung des Computer-Algebra-Systems
FORM[Ver00]. Damit ergibt sich ein Wirkungsquerschnitt, der differentiell in der Photonenergie und den Streuwinkeln ist.
Daraufhin wurde versucht, aus dem Matrixelement durch Phasenraumintegration einen Wirkungsquerschnitt zu bestimmen, der einfach differentiell in der Photonenergie ist. Dazu wurden verschiedene Parametrisierungen des Phasenraumes bei der numerischen Integration untersucht. Das mit FeynArts etc. bestimmte Matrixelement wurde mittels Zerlegung des Phasenraums in Zwei-Teilchen-Unterphasenräume sowie mittels der Parametrisierung in Energien
und Winkeln integriert. Die Zerlegung des Phasenraumes lieferte Ergebnisse, die um viele Größenordnungen kleiner als die bislang bekannten Wirkungsquerschnitte sind (vgl. Abb. 8.1).
Bei der Untersuchung mittels der Parametrisierung in Energien und Winkel stellte sich heraus, dass das Matrixelement für sehr kleine Streuwinkel, also in Vorwärtsrichtung, sehr groß
wird. Dies hat zwei Gründe: Zum einen erreicht der Impulsübertrag q für kleine Streuwinkel
sein Minimum qmin = mµ2 ω/Ei E f . Zum anderen wird der Propagator zwischen dem Vertex,
an dem das Bremsstrahlungsphoton abgestrahl wird, und dem Vertex, an dem das virtuelle
Photon zum Kern abgestrahlt wird, sehr klein
/ p + /k + m
/ p + /k + m
=
,
2
2
( p + k) − m ) Eω1 − | ~p |ω cos α)
(8.1)
da | ~p | für hohe Energien gegen E geht. Für hohe Energien werden diese Ausdrücke sehr klein
und numerisch instabil.
Aufgrund dieser Erkenntnis wurde der Phasenraum so parametrisiert, dass der Impulsübertrag als Integrationsvariable direkt vorkam; das gestattet es, statt des Impulsübertrages das In-
47
8 Ergebnisse und Diskussion
1e+012
s = 100 GeV
Differentieller Wirkungsquerschnitt/pb
Differentieller Wirkungsquerschnitt/pb
0.01
0.0001
1e-006
1e-008
1e-010
1e-012
1e-014
1e-016
1e-018
1e-020
10
15
20
25
30
35
40
45
1e+011
1e+010
1e+009
1e+008
50
E = 50 GeV
0
5
10
15
Energie des finalen Myons/GeV
20
25
30
35
40
45
50
Energie des finalen Myons/GeV
Abbildung 8.1: Differentieller Wirkungsquerschnitt für eine Schwerpunktsenergie von
100 GeV, berechnet mittels Phasenraumzerlegung. Zum Vergleich der
Wirkungsquerschnitt für 50 GeV in der Parametrisierung aus [KKP95]
1e+030
s = 100 GeV
Differentieller Wirkungsquerschnitt [pb]
Differentieller Wirkungsquerschnitt/pb
100000
1
1e-005
1e-010
1e-015
1e-020
1e-025
0
50
100
150
200
250
300
Energie des Photons/GeV
350
400
450
500
1e+020
1e+010
1
1e-010
1e-020
1e-030
1e-040
-1
-0.5
0
0.5
1
cos(theta)
Abbildung 8.2: Differentieller Wirkungsquerschnitt für eine Schwerpunktsenergie von
100 GeV, berechnet mittels Energie-Winkel-Parametrisierung. Daneben ist
die Abhängigkeit vom Streuwinkel für mehrere Myon- und Photonenergien
gezeigt.
48
1e+006
Kelner-Kokoulin-Petrukhin
festes t_up
winkelabhängiges t_up
100000
10000
1000
100
10
1
0.1
0.01
0.001
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Abbildung 8.3: Ergebnisse der Weizsäcker-Williams-Näherung für eine feste obere Grenze
tup = 2000mµ2 und für eine winkelabhängige obere Grenze tup = m 2 (1 +
(E/mµ · ϑ)2 )2 , die von Kim und Tsai für Paarproduktion verwendet wurde.
Die Energie des Myons betrug hier 1000 GeV. Die x-Achse zeigt die Photonenergie, die y-Achse den Wirkungsquerschnitt in µb.
verse des Impulsübertrages als Integrationsvariable zu verwenden und so den numerischen Instabilitäten zu begegnen. Dafür wurde der analytisch bestimmte Ausdruck für das Matrixelement als Fortran-Routine implementiert. Es gelang hierbei nicht, die Bedingung | cos ξ | ¶ 1 in
eine Grenze für die Integrationsvariablen zu überführen. Daher wurde sie als Vetofunktion in
den Integranden implementiert. Da die Integrationsergebnisse mit mehreren Integrationsroutinen im Rahmen kleiner Fehler mit Null verträglich sind, findet der Integrationsalgorithmus
anscheinend den physikalischen Bereich des Phasenraums nicht.
Da die Strahlungskorrekturen in einem on-shell-Renormierungsschema nur bei großen Energien Einfluss haben und die numerischen Studien gezeigt haben, dass eine Kleinwinkelnäherung gerechtfertigt ist, wurde eine Rechnung nach der verbesserten Weizsäcker-Williams-Methode
durchgeführt, die eine Näherung im Hochenergiebereich für kleine Streuwinkel darstellt. Dabei gelang es jedoch nicht, die empirische obere Grenze der Impuls-Integration so anzupassen,
dass sich für mehr als eine Energie die Ergebnisse an die bereits bekannten Wirkungsquerschnitte annähern.
49
8 Ergebnisse und Diskussion
Diese Arbeit hat gezeigt, dass die üblichen Methoden der Phasenraumintegration für das
Bremsstrahlungsproblem nicht zum Erfolg führen. Die Weizsäcker-Williams-Methode gibt die
Form des Wirkungsquerschnittes gut wieder; es sollten weitere Studien zum Abschneideparameter des Impulsintegrals durchgeführt werden, um eine passende Form für das Bremsstrahlungsproblem zu finden.
50
9 Danksagung
Ich danke meinen Eltern für ihre Unterstützung während meines Studiums. Ich danke Herrn
Prof. Dr. Dr. Wolfgang Rhode für die Stellung des Themas und die Betreuung der Arbeit und
Frau Prof. Dr. Julia Tjus, die sich als Zweitgutachterin zur Verfügung gestellt hat. Außerdem
danke ich allen Mitarbeitern des Lehrstuhles Experimentelle Physik V für ihre Hilfe bei dieser
Arbeit. Stellvertretend möchte ich besonders Thorben Menne und Florian Scheriau hervorheben, die mit fruchtbaren Diskussionen und eifrigem Korrekturlesen zum Gelingen dieser
Arbeit beigetragen haben.
51
Literaturverzeichnis
[A+ 12]
R. Abbasi et al. The design and performance of IceCube DeepCore. Astroparticle
physics, 35(10):615–624, 2012.
[A+ 13a]
R. Abbasi et al. An improved method for measuring muon energy using the truncated mean of dE/dx. Nucl. Instrum. Meth., A703:190–198, 2013.
[A+ 13b]
R. Abbasi et al. IceTop: The surface component of IceCube. Nuclear Instruments
and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and
Associated Equipment, 700:188–220, 2013.
[AB97]
Yu. M. Andreev and É. V. Bugaev. Muon bremsstrahlung on heavy atoms. Phys.
Rev. D, 55:1233—1243, 1997.
[ABB94]
Yu. M. Andreev, L. B. Bezrukov, and É. V. Bugaev. Excitation of a Target in Muon
Bremsstrahlung. Phys. At. Nuclei, 57:2066—2074, 1994.
[BCM+ 14] J. Beringer, W. Collins, J. Martin, et al. The Review of Particle Physics. Phys. Rev.,
D86, 2014.
[Bec07]
Julia K. Becker. Neutrinos on the Rocks – On the Phenomenology of potential astrophysical neutrino sources. PhD thesis, Universität Dortmund, 2007.
[Bec08]
Julia K. Becker. High-energy neutrinos in the context of multimessenger astrophysics. Phys.Rept., 458:173—246, 2008.
[BF52]
L. M. Brown and R. P. Feynman. Radiative corrections to Compton scattering.
Phys. Rev., 85:231, 1952.
[BRS95]
V. I. Borodulin, R. N. Rogalyov, and S. R. Slabospitsky. CORE 2.1 (COmpendium
of RElations, Version 2.1). Technical report, IHEP, Protvino, 1995. IHEP-95-90.
[Col01]
The IceCube Collaboration. Icecube preliminary design document, 2001.
[DW64]
S. D. Drell and J. D. Walecka. Electromagnetic processes with nuclear targets.
Annals of Physics, 28:18—33, 1964.
53
Literaturverzeichnis
[Elt61]
L. R. B. Elton. Nuclear Sizes. Oxford University Press, 1961.
[G+ 62]
V. N. Gribov et al. Covariant Derivation of the Weizsäcker-Williams Formula.
Sov. Phys. JETP, 14:1308, 1962.
[Gla60]
Sheldon L. Glashow. Resonant scattering of antineutrinos. Phys. Rev., 118:316—
317, 1960.
[Gre66]
Kenneth Greisen. End to the cosmic-ray spectrum? Phys. Rev. Lett., 16:748—750,
1966.
[GST13]
T. K. Gaisser, T. Stanev, and S. Tilav. Cosmic ray energy spectrum from measurements of air showers. Front. Phys. China, 8:748—758, 2013. arXiv:1303.3565
[astro-ph.HE].
[Hah01]
T. Hahn. Generating feynman diagrams and amplitudes with feynarts 3. Comput.
Phys. Commun., 140:418—431, 2001. arXiv:hep-ph/0012260.
[Hah05]
Th. Hahn. FormCalc 4 User’s Guide. www.feynarts.org/formcalc/, 2005.
[Hah13]
Th. Hahn. FormCalc 8 User’s Guide. www.feynarts.org/formcalc/, 2013.
[Heß12]
Viktor Heß. Über Beobachtungen der durchdringenden Strahlung bei sieben Freiballonfahrten. Physikalische Zeitschrift, XIII:1084—1091, 1912.
[HKK+ 07] M. Honda, T. Kajita, K. Kasahara, S. Midorikawa, and T. Sanuki. Calculation of
atmospheric neutrino flux using the interaction model calibrated with atmospheric muon data. Phys. Rev. D, 75:043006, 2007. arXiv:astro-ph/0611418.
[HPV99a] T. Hahn and M. Perez-Victoria.
in 4 and d dimensions.
Automatized one-loop calculations
Comput. Phys. Commun., 118:153—165, 1999.
arXiv:hep-ph/9807565.
[HPV99b] T. Hahn and M. Perez-Victoria. Automatized one-loop calculations in four and d
dimensions. Comput. Phys. Commun., 118:153, 1999. arXiv:hep-ph/9807565.
[IMM09]
José Ignacio Illana, Manuel Masip, and Davide Meloni. Atmospheric lepton fluxes
at ultrahigh energies. JCAP, 09:008, 2009. arXiv:0907.1412[hep-ph].
[K+ 14]
A. Karle et al. IceCube—status and recent results. arXiv preprint arXiv:1401.4496,
2014.
54
Literaturverzeichnis
[KKP95]
S. R. Kelner, R. P. Kokoulin, and A. A. Petrukhin. About Cross Section for High
Energy Muon Bremsstrahlung. Moskau, 1995. Preprint MEPhI 024-95.
[Koe13]
Jan-Hendrik Koehne. Der Leptonpropagator PROPOSAL. PhD thesis, Technische
Universität Dortmund, 2013.
[KS12]
Ulrich F. Katz and Christian Spiering. High-energy neutrino astrophysics: Status and perspectives. Progress in Particle and Nuclear Physics, 67:651—704, 2012.
arXiV:1111.0506 [astro-ph.HE].
[KT72]
K. J. Kim and Y.-S. Tsai. An improved Weizsäcker Williams Method and Photoproduction of Lepton Pairs. Phys. Lett., 40B:665, 1972.
[LP05]
Amitabha Lahiri and Palash B. Pal. A first book of quantum field theory. CRC Press,
2 edition, 2005.
[MO65]
K. Mork and H. Olsen. Radiative Corrections. I. High-Energy Bremsstrahlung
and Pair Production. Phys. Rev., 140:B 1661, 1965.
[Mur07]
Hitoshi
Murayama.
Notes
on
Phase
Space,
2007.
hitoshi.berkeley.edu/233B/phasespace.pdf.
[MW11]
Poonam Mehta and Walter Winter. Interplay of energy dependent astrophysical
neutrino flavor ratios and new physics effects. JCAP, 1103:041, 2011.
[PV79]
G. Passarino and M. Veltman. One-loop corrections for e + e − annihilation into
µ+ µ− in the Weinberg model. Nucl. Phys., 160:151—207, 1979.
[Rom13]
Jorge C. Romão. Advanced quantum field theory, 2013.
[Sch14a]
F. Scheriau. Data-Mining in der Astroteilchenphysik – Entfaltung des Energiespektrums der von IceCube in der 86 String-Konfiguration gemessenen Myon-Neutrinos.
PhD thesis, TU Dortmund, 2014.
[Sch14b]
M. Schmitz. Neuartige Boten aus dem All – Messung des extraterrestrischen und atmosphärischen Myon-Neutrino-Energiespektrums mit IceCube-79. PhD thesis, TU
Dortmund, 2014.
[Tak57]
Y. Takahashi. Nuovo Cimento, Ser. 10, 6:350, 1957.
[Tsa74]
Y.-S. Tsai. Pair production and bremsstrahlung of charged leptons. Rev. Mod.
Phys., 46:815—851, 1974.
55
Literaturverzeichnis
[tV79]
G. t’Hooft and M. Veltman. Scalar one-loop integrals. Nucl. Phys., B153:365—401,
1979.
[Ver00]
J. A. M. Vermaseren. New features of FORM. arXiv:math-ph/0010025, 2000.
[vO90]
G. J. van Oldenborgh.
FF – a package to evaluate one-loop Feynman dia-
grams. Nationaal Instituut voor Kernfysica en Hoge-Energiefysica, Amsterdam,
1990. NIKHEF-H/90-15 http://www.nikhef.nl/˜form/maindir/others/ff/
ffmanual.pdf.
[vOV90]
G. J. van Oldenborgh and J. A. M. Vermaseren. New algorithms for one-loop
integrals. Z. Phys., C46:425—438, 1990. NIKHEF-H/89-17.
[vW34]
C. F. v. Weizsäcker. Z. Physik, 88:612, 1934.
[Wag05]
W. Wagner. Design and realisation of a new AMANDA data acquisition system with
transient waveform recorders. PhD thesis, Universität Dortmund, 2005.
[War50]
J. C. Ward. Phys. Rev., 78:182, 1950.
[Wei00]
S. Weinzierl. Introduction to Monte Carlo methods, 2000. NIKHEF-00-012
arXiv:hep-ph/0006269.
[Wik14]
Wikimedia
Bildes:
CC
Commons.
BY-SA
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3.0.
von:
Crab
Torres997.
Nebula
in
Lizenz
des
multiwavelength.
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Crab_Nebula_in_multiwavelength.png,
2014.
[Wil35]
E. J. Williams. Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat. Fys. Medd., 13:4, 1935.
[ZK66]
G. T. Zatsepin and V. A. Kuzmin. Upper limit of the spectrum of cosmic rays.
Sov. Phys. JETP, 4:78—80, 1966.
56
Eidesstattliche Versicherung
Ich versichere hiermit an Eides statt, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit mit dem Titel «Einschleifenkorrekturen zur Bremsstrahlung von Myonen im Feld eines Atomkerns» selbständig
und ohne unzulässige fremde Hilfe erbracht habe. Ich habe keine anderen als die angegebenen
Quellen und Hilfsmittel benutzt sowie wörtliche und sinngemäße Zitate kenntlich gemacht.
Die Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.
Ort, Datum
Unterschrift
Belehrung
Wer vorsätzlich gegen eine die Täuschung über Prüfungsleistungen betreffende Regelung einer
Hochschulprüfungsordnung verstößt, handelt ordnungswidrig. Die Ordnungswidrigkeit kann
mit einer Geldbuße von bis zu 50 000,00 € geahndet werden. Zuständige Verwaltungsbehörde für die Verfolgung und Ahndung von Ordnungswidrigkeiten ist der Kanzler/die Kanzlerin
der Technischen Universität Dortmund. Im Falle eines mehrfachen oder sonstigen schwerwiegenden Täuschungsversuches kann der Prüfling zudem exmatrikuliert werden (§ 63 Abs. 5
Hochschulgesetz – HG –).
Die Abgabe einer falschen Versicherung an Eides statt wird mit Freiheitsstrafe bis zu 3 Jahren
oder mit Geldstrafe bestraft.
Die Technische Universität Dortmund wird ggf. elektronische Vergleichswerkzeuge (wie
z.B. die Software «turnitin») zur Überprüfung von Ordnungswidrigkeiten in Prüfungsverfahren nutzen.
Die oben stehende Belehrung habe ich zur Kenntnis genommen.
Ort, Datum
Unterschrift