- Technische Universität München

Technische Universität München
Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Tutorübungen zu Elektromagnetische Feldtheorie
(Prof. Wachutka)
Wintersemester 2016/2017
Lösung Blatt 12
25. Aufgabe:
Lösung
a) Die Maxwellschen Gleichungen lauten:
~ r, t) = −
rotE(~
∂ ~
B(~r, t)
∂t
∂ ~
D(~r, t) + ~j(~r, t)
∂t
~ r, t) = ρ(~r, t)
divD(~
~ r, t) =
rotH(~
~ r, t) = 0
divB(~
Für ein isotropes und homogenes Medium sind die Permittivität ε und die Permeabilität µ
~ r, t) = εE(~
~ r, t) und B(~
~ r, t) =
skalare Konstanten. Die Materialgleichungen lauten dann D(~
~ r, t) und damit folgt:
µH(~
∂ ~
B(~r, t)
∂t
1
~ r, t) = ε ∂ E(~
~ r, t) + ~j(~r, t)
· rotB(~
µ
∂t
~ r, t) = ρ(~r, t)
ε · divE(~
~ r, t) = −
rotE(~
~ r, t) = 0
divB(~
~
~ r, t) =
b) Durch Einsetzen des gegebenen B-Feldes
in die homogene Maxwellsche Gleichung divB(~
0 ergibt sich:


−B0,x sin(~k · ~r − ωt)
div  B0,y cos(~k · ~r − ωt)  = 0
0
−kx B0,x cos(~k · ~r − ωt) − ky B0,y sin(~k · ~r − ωt) = 0
Da diese Gleichung an jedem Ort zu jeder Zeit, also für beliebige Werte von ~k · ~r − ωt,
erfüllt sein muss, und nach Vorraussetzung B0,x > 0 und B0,y > 0 gilt, muss kx = 0
sowie ky = 0 sein. Der Wellenvektor hat also die Form ~k = kz~ez . Die Orientierung des
Wellenvektors ~k ist damit allerdings noch nicht festgelegt, da kz sowohl positiv als auch
negativ sein kann.
~ r, t) und die gegebene magnetischen
Nun werden die gegebene elektrische Feldstärke E(~
~ r, t) mit dem Wellenvektor ~k = kz~ez in die Maxwellsche Gleichung rotE(~
~ r, t) =
Flussdichte B(~
1
∂ ~
− ∂t
B(~r, t) eingesetzt:

E0,x cos(kz z − ωt)

E0,y sin(kz z − ωt)
rot
0

−kz E0,y cos(kz z − ωt)
 −kz E0,x sin(kz z − ωt)
0


−B0,x sin(kz z − ωt)
 = − ∂  B0,y cos(kz z − ωt) 
∂t
0



−ωB0,x cos(kz z − ωt)
 =  −ωB0,y sin(kz z − ωt) 
0

Beide Komponentengleichungen werden erfüllt mit
kz E0,y
√
E0,y
B0,x
= εµ
=
E0,x
E0,x
B0,y
ω
√
wobei kz = |~k| = εµω einen positiven Wert hat. Der Ausbreitungsvektor ~k = kz~ez weist
also in +z-Richtung.
~ r, t) =
c) Zunächst wird ρ(~r, t) = 0 mit Hilfe der inhomogenen Maxwellschen Gleichung ε·divE(~
~
ρ(~r, t) gezeigt, indem die gegebene elektrische Feldstärke E(~r, t) mit dem Wellenvektor
~k = kz~ez eingesetzt wird:


E0,x cos(kz z − ωt)
ε · div  E0,y sin(kz z − ωt)  = 0 = ρ(~r, t)
0
Dass die Stromdichte ~j(~r, t) im Medium gleich Null ist, wird als Nächstes mit der zweiten
~ r, t) = ε(∂/∂t)E(~
~ r, t) + ~j(~r, t) gezeigt.
inhomogenen Maxwellsche Gleichung (1/µ) · rotB(~
Einsetzen der gegebenen Feldgrößen ergibt:



 

−B0,x sin(kz z − ωt)
E0,x cos(kz z − ωt)
jx
1
∂
· rot  B0,y cos(kz z − ωt)  = ε  E0,y sin(kz z − ωt)  +  jy 
µ
∂t
0
0
jz

 1

 

k B sin(kz z − ωt)
εωE0,x sin(kz z − ωt)
jx

 µ z 0,y

 1
 − k B cos(k z − ωt)  =  −εωE0,y cos(kz z − ωt)  +  jy 
z

 µ z 0,x
0
jz
0
√
Mit der Beziehung kz = |~k| = εµω zwischen der z-Komponente des Wellenvektors kz und
√
√
der Kreisfrequenz ω sowie den beiden Bedingungen B0,x = εµE0,y und B0,y = εµE0,x
läßt sich die Gleichung weiter vereinfachen:
 1

√
√

 

εµω εµE0,x sin(kz z − ωt)
εωE0,x sin(kz z − ωt)
jx
 µ

 1√

√
 −
 =  −εωE0,y cos(kz z − ωt)  +  jy 
εµω
εµE
cos(k
z
−
ωt)
0,y
z
 µ

0
jz
0


 
jx
0
 jy  =  0 
jz
0
2
~ r, t) und die magnetischen
d) Die homogenen Wellengleichungen für das elektrische Feld E(~
~ r, t) lauten:
FlussdichteB(~
∂2 ~
~ r, t) = ~0
E(~r, t) − ∆E(~
∂t2
∂2 ~
~ r, t) = ~0
εµ 2 B(~
r, t) − ∆B(~
∂t
εµ
Da das gegebene elektromagnetische Feld eine Lösung der Maxwellschen Gleichungen ist,
~ r, t) und die
löst es auch die homogenen Wellengleichungen für das elektrische Feld E(~
~ r, t).
magnetische Flussdichte B(~
√
√
e) Mit den beiden Bedingungen B0,x = εµE0,y und B0,y = εµE0,x ergeben sich in der
durch z = 0 definierten Ebene:
~ = 0, t) = E0,x cos(ωt)~ex − E0,y sin(ωt)~ey und
E(z
~ = 0, t) = √εµE0,y sin(ωt)~ex + √εµE0,x cos(ωt)~ey
B(z
y
1
E0, x
2
B( z = 0, t )
E0,x x
E ( z = 0, t )
z
f) Bei einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle gibt es genau eine wohldefinierte
~ r, t) schwingt.
Richtung senkrecht zum Wellenvektor ~k, in der die elektrische Feldstärke E(~
In dieser Aufgabe erhält man eine linear polarisierte elektromagnetische Welle für
E0,x 6= 0 und E0,y = 0 oder
E0,x = 0 und E0,y 6= 0
Bei einer zirkular polarisierten elektromagnetischen Welle schwingt die elektrische Feldstärke
~ r, t) in zwei zueinander senkrechten Richtungen ~e1 und ~e2 , welche wiederum senkrecht
E(~
zum Wellenvektor ~k stehen, mit gleicher Amplitude und einer Phasenverschiebung von
±π/2. In dieser Aufgabe erhält man für
E0,x = E0,y
eine, nach der Definition in der Vorlesung, links-zirkular polarisierte elektromagnetische
Welle, da sich die elektrische Feldstärke gegen den Uhrzeigersinn dreht, wenn man in
Richtung der Wellenausbreitung schaut. Wann eine elektromagnetische Welle links- und
wann sie rechts-zirkular polarisiert ist, ist nicht einheitlich definiert. Nach dem Lehrbuch
von Jackson beispielsweise wäre die elektromagnetische Welle rechts-zirkular polarisiert.
3
~ 1 (~r, t) und E
~ 2 (~r, t) beider entgegengesetzt zirg) Die Summe der elektrischen Feldstärken E
kular polarisierten elektromagnetischen Wellen muss gleich der elektrischen Feldstärke
~ r, t) der gegebenen elektromagnetischen Welle sein:
E(~




~ r, t) = E
~ 1 (~r, t) + E
~ 2 (~r, t)
E(~


 

E0,x cos(~k · ~r − ωt)
E1 cos(~k · ~r − ωt)
E2 cos(~k · ~r − ωt)
E0,y sin(~k · ~r − ωt)  =  E1 sin(~k · ~r − ωt)  +  −E2 sin(~k · ~r − ωt) 
0
0
0



E0,x cos(~k · ~r − ωt)
(E1 + E2 ) cos(~k · ~r − ωt)


=
E0,y sin(~k · ~r − ωt)
(E1 − E2 ) sin(~k · ~r − ωt) 
0
0
Damit die Gleichung für beliebige Werte von ~k ·~r −ωt gilt, müssen die beiden Gleichungen
E0,x = E1 + E2 (folgt aus der x-Komponente) und E0,y = E1 − E2 (folgt aus der yKomponente) erfüllt sein. Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen die Amplituden
E2 bzw. E1 , erhält man die gesuchten Amplituden der elektrischen Feldstärke E1 und E2
beider zirkular polarisierten Wellen.
1
(E0,x + E0,y )
2
1
=
(E0,x − E0,y )
2
E1 =
E2
4