Vorlesung Kapitel 1-4 - Technische Universität München

Skript zur Vorlesung
Experimentalphysik 1 für Maschinenwesen
Wintersemester 2007/2008
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum
Technische Universität München
Physik-Department E 13
Contents
1 Einleitung
1.1 Naturwissenschaften . . . . . . .
1.2 Was ist Physik? . . . . . . . . . .
1.3 Physikalische Größen . . . . . . .
1.3.1 SI-Einheiten . . . . . . .
1.3.2 Basiseinheiten: Länge . .
1.3.3 Basiseinheiten: Zeit . . .
1.3.4 Basiseinheiten: Masse . .
1.4 Meßgenauigkeiten und Meßfehler
1.4.1 Statistischer Fehler . . . .
1.4.2 Normalverteilung . . . . .
1.5 Koordinatensysteme . . . . . . . .
1.5.1 Karthesische Koordinaten
1.5.2 Zylinder Koordinaten . . .
1.5.3 Kugel Koordinaten . . . .
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2 Klassische Mechanik
2.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Geschwindigkeit . . . . . . . .
2.1.2 Beschleunigung . . . . . . . . .
2.1.3 Spezielle Bewegungen . . . . .
2.1.4 1D freier Fall . . . . . . . . . .
2.2 Bewegung in 3D . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Kreisbewegung . . . . . . . . .
2.2.2 Gleichförmige Kreisbewegung .
2.2.3 Überlagerung von Bewegungen
2.3 Newton ’sche Axiome . . . . . . . . . .
2.3.1 Impuls . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Träge und schwere Masse . . .
2.3.3 Fadenpendel . . . . . . . . . .
2.4 Überlagerung von Kräften . . . . . . .
2.4.1 Reibungskräfte . . . . . . . . .
2.4.2 Zentripetalkraft . . . . . . . . .
2.4.3 Federkraft . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Gravitationsgesetz . . . . . . .
2.5 Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Scheinkräfte . . . . . . . . . . . . . . .
II
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2.6.1 Zentrifugalkraft . . . . .
2.7 Arbeit und Energie . . . . . . .
2.7.1 Energieerhaltung . . . .
2.7.2 Arbeit . . . . . . . . . .
2.7.3 Energie . . . . . . . . .
2.7.4 Leistung . . . . . . . .
2.8 Impulserhaltung . . . . . . . . .
2.8.1 Elastischer Stoß . . . .
2.8.2 Inelastischer Stoß . . .
2.8.3 Stöße in 3d und 2d . . .
2.9 Ausgedehnte Körper . . . . . .
2.9.1 Bewegung starrer Körper
2.9.2 Steinerscher Satz . . . .
2.9.3 Drehmoment . . . . . .
2.9.4 Stabilitätsanalyse . . . .
2.9.5 Leistung . . . . . . . .
2.9.6 Drehimpuls . . . . . . .
2.10 Die Keplerschen Gesetze . . . .
3 Hydrostatik und Hydrodynamik
3.1 Flüssigkeiten und Gase . . . . .
3.1.1 Druck . . . . . . . . . .
3.1.2 Oberflächenspannung . .
3.2 Strömende Flüssigkeiten . . . .
3.2.1 Ideale Strömungen . . .
3.2.2 Reale Strömungen . . .
3.2.3 Viskosität und Reibung .
3.2.4 Strömung durch ein Rohr
3.2.5 Wirbel . . . . . . . . . .
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4 Thermodynamik
4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Stoffmenge, Avogadrogesetz . . . . .
4.1.2 Temperatur . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Wärme . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Spezifische Wärme . . . . . . . . . .
4.2 Das ideale Gas . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Spezialfälle der idealen Gasgleichung
4.2.2 Geschwindigkeitsverteilung . . . . .
III
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4.2.3 Brown’sche Bewegung . . . . . . . .
Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 1. Hauptsatz der Thermodynamik . .
4.3.2 Isotherme Zustandsänderung . . . . .
4.3.3 Adiabatische Zustandsänderung . . .
4.3.4 Isochore Zustandsänderung . . . . .
4.3.5 Isobare Zustandsänderung . . . . . .
Wärmekraftmaschinen . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Carnotsche Kreisprozeß . . . . . . .
4.4.2 Umkehrung Carnotscher Kreisprozess
4.4.3 Stirlingscher Kreisprozeß . . . . . . .
4.4.4 Stirling Motor . . . . . . . . . . . .
4.4.5 Otto Motor . . . . . . . . . . . . . .
Reversible und irreversible Prozesse . . . . .
2. Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . .
4.6.1 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Entropie des idealen Gases . . . . . .
4.6.3 Mischungsentropie . . . . . . . . . .
4.6.4 Temperaturnullpunkt . . . . . . . . .
4.6.5 Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . .
Das reale Gas . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Van der Waals Gas . . . . . . . . . .
Phasendiagramme . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1 Wasser . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . .
IV
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71
1 Einleitung
1.1 Naturwissenschaften
Die Wissenschaft stellt sich uns heute in Form verschiedener getrennter Teilbereiche dar. Allerdings geht diese Aufspaltung im Wesentlichen erst auf das 19.
Jahrhundert zurück. Die Aufteilung komplizierter Systeme in Teilsysteme, welche
sich einfacher untersuchen lassen, ist einer der größten Erfolge der Wissenschaft
überhaupt. So untersucht die Biologie beispielsweise lebendige Organismen. Die
Chemie behandelt die Wechselwirkung von Elementen und Verbindungen. Die Geowissenschaften beschäftigen sich mit der Erde, und die Astronomen untersuchen
das Sonnensystem, die Sterne und die Galaxien sowie das Universum als Ganzes.
Die Physik ist die Wissenschaft der Materie und der Energie, des Raums und der
Zeit. Sie behandelt die Prinzipien der Bewegung von Teilchen und Wellen, der
Wechselwirkungen von Teilchen und der Eigenschaften von Molekülen, Atomen
und Atomkernen, aber auch von größeren Systemen wie Gasen, Flüssigkeiten und
Festkörpern. Da die Prinzipien der Physik die Grundlage für alle anderen Gebiete
der Wissenschaft bilden, betrachten manche gar die Physik als die grundlegende
Wissenschaft schlechthin.
Heute gibt es wieder viele Grenzbereich zwischen diesen Disziplinen (wie z.B.
Polymere, Biophysik) in denen Forschungsfelder Inhalte aus verschiedenen Teilbereichen umfassen (z.B. Polymere aus Physik, Chemie, Ingenieurwissenschaften).
Die wissenschaftliche Methode besteht darin, nachprüfbare Modelle zu formulieren,
sie zu testen und miteinander zu verknüpfen. Ziel dieser Modelle ist es, die Realität
zu beschreiben, zu erklären und vorauszusagen. Diese Methode umfasst das Aufstellen von Hypothesen, das Durchführen wiederholbarer Experimente und Beobachtungen und, ausgehend davon, das Aufstellen neuer Hypothesen. Die Hauptkriterien, die den Wert eines wissenschaftlichen Modells ausmachen, sind seine Einfachheit und der Grad, in dem es genutzt werden kann, um zutreffende Voraussagen zu
machen oder eine breite Vielfalt beobachteter Erscheinungen zu erklären.
1.2 Was ist Physik?
Die Physik ist die Wissenschaft von den Eigenschaften und Zustandsformen, dem
inneren Aufbau (“Struktur”) und den Bewegungen der unbelebten Materie, den
diese Bewegungen hervorgerufenden Kräften oder Wechselwirkungen und den dabei
wirkenden Gesetzmäßigkeiten.
1
Gebiete der Physik:
Klassische Physik
Mechanik
Hydrodynamik
Wärmelehre (Thermodynamik)
Elektrizitätslehre u. Magnetismus
Optik
Moderne Physik
Atomphysik
Molekülphysik
Kernphysik
Teichenphysik
Festkörperphysik
Polymerphysik
Biophysik
...
Experimentalphysik basiert auf Experimenten.
Ein Experiment ist die Messung von physikalischen Größen.
Zur Quantifizierung dieser Meßgrößen werden Maßeinheiten benötigt.
Erkenntnisprozess
Experiment, Beobachtung
↓
Modelvorstellung
Mathematische Beschreibung
(Mathematik als Sprache der Physik)
↓
Physikalische Theorie
↓
Gesetzmäßigkeiten
Vorhersagen
1.3 Physikalische Größen
Die Ergebnisse einer Messung werden in Anzahl der Einheiten einer fr das Problem
geeigneten Größe angegeben.
Immer Zahlenwert {G} und Einheit [G]:
G = {G} · [G]
Gleicher Zahlenwert ergibt mit anderer Einheit eine vollständig andere Größe.
z.B. Geschwindigkeit v = 1 m/s = 3.6 km/h:
entweder {G} = 1, [G] = m/s oder {G} = 3.6, [G] = km/h.
2
Mit der Einführung des Sytème International d’ Unités (in allen Sprachen mit SI
abgekürzt) im Jahr 1960 endete die jahrhundertelange Suche nach einem weltweit
einheitlichen System der Maßeinheiten.
In Deutschland sind SI-Einheiten als gesetzliche Einheiten für den amtlichen und
geschäftlichen Verkehr eingeführt. Historisch gibt es andere Einheitssysteme: CgsEinheiten (cm, Gramm, Sekunde, ...). Vor allem in der Atomphysik ist noch das
Cgs-System gebräuchlich.
Es sei daran erinnert, da Winkel im Grad- oder im Bogenmaß angegeben werden.
Das Bogenmaß ist das Verhältnis des Kreisbogens über dem Winkel zum Radius des
Kreises. Es ist also eine dimensionslose Zahl, es trägt den Namen Radiant (rad).
1.3.1 SI-Einheiten
Die sieben SI-Basiseinheiten:
• das Meter (m) als Einheit der Länge
• das Kilgramm (kg) als Einheit der Masse
• die Sekunde (s) als Einheit der Zeit
• das Ampere (A) als Einheit der elektrischen Stromstärke
• das Kelvin (K) als Einheit der thermodynamischen Temperatur
• das Mol (mol) als Einheit der Stoffmenge
• die Candela (cd) als Einheit der Lichstärke
Die abgeleiteten SI-Einheiten werden kohärent aus den Basiseinheiten abgeleitet.
Das heißt, man benötigt keine Umrechnungsfaktoren. Schlichtes Muliplizieren oder
Dividieren von Basiseinheiten genügt.
z.B. Geschwindigkeit v: [v] = m/s
Kraft F : [F ] = N (Newton) = m · kg/s2
Um die Zahlenwerte in einer praktikablen Größenordnung zu halten, hat man Vorsätze
zur Bezeichnung dezimaler Vielfache und Teile von Einheiten geschaffen.
3
Da die Grundeinheiten extrem variieren können, je nachdem, ob man atomare oder
kosmologische Effekte beschreibt, ist es üblich, den Maßeinheiten folgende SIVorsätze voranzustellen:
SI-Vorsätze
Potenz Name
Zeichen Potenz
1024
Yotta
Y
10−1
Dezi
d
1021
Zetta
Z
10−2
Zenti
c
1018
Exa
E
10−3
Milli
m
1015
Peta
P
10−6
Mikro
µ
1012
Tera
T
10−9
Nano
n
109
Giga
G
10−12
Piko
p
106
Mega
M
10−15
Femto f
103
Kilo
k
10−18
Atto
a
102
Hekto h
10−21
Zepto
z
101
Deka
10−24
Yokto
y
da
Name Zeichen
1.3.2 Basiseinheiten: Länge
Länge (= Weg x, s) - Einheit ist das (der) Meter
Vor 1799 war der Meter als der 10 millionste Teil der Distanz Nordpol-Äquator
definiert. Auf Grund dieser Definition wurde in Sevres ein Stab aus Platin und Iridium hergestellt und aufbewahrt, der bis 1960 als Urmeter diente. Seit 1983 wird
der Meter auf die Lichtgeschwindigkeit c = 299’792’458 m/s und eine Zeitmessung
zurckgeführt.
Längenmessung:
• Maßstab
• Schiebelehre mit Nonius
• Mikrometerschraube
• Michelson Interferrometer
Versuch # 1015: Verschiedene Längenmesser
Auch die Messung der Länge kann auf die Abzählung von Perioden zurückgefhrt
4
werden. Ist die Wellenlänge durch einen elementaren Prozeß definiert, z.B. den
Übergang eines Atoms zwischen zwei Zuständen, dann liefert, bei Wahl einer möglichst
kurzen Wellenlänge als Längeneinheit, deren Abzählung entlang der zu messenden
Strecke die genaueste Längenangabe. Tatsächlich ist das Meter heute auf diese
Weise definiert.
Jodstabilisierter Helium-Neon-Laser (Wellenlängennormal, PTB).
Definition: 1 m ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in 1/299 792 458 s zurücklegt. Diese Definition ist genau auf 1/100’000’000’000’000 = 10−14 !
Also erfolgt die Definition der Länge über eine Zeitmessung: Damit sind Zeit und
Länge metrologisch voneinander abhängig! Die Abzählung der Perioden erfolgt
mit Hilfe eines Interferometer.
Typische Längen:
Durchmesser der Milchstraße ≈ 7 × 1020 m
Abstand Sonne-Erde ≈ 1.5 × 1011 m
Durchmesser der Sonne ≈ 1.4 × 109 m
Durchmesser der Erde ≈ 12700 km
großer Mensch ≈ 2 m
Dicke von Papier ≈ 1 × 10−4 m
Wellenlänge des sichtbaren Lichts ≈ 400 − 700 nm
Abmessung eines Polymermoleküls ≈ 10 nm
Atomdurchmesser ≈ 0.15 nm
Durchmesser eines Atomkerns ≈ 2 − 8 fm
1.3.3 Basiseinheiten: Zeit
Zeit (t) - Einheit ist die Sekunde
Die Zeit wird durch Abzählung der Perioden in periodisch wiederkehrenden Vorgängen
gemessen. Man denke etwa an die Angabe von Jahren, Tagen oder der Bruchteile
von Tagen, den Stunden, Minuten und Sekunden. Periodische Vorgänge sind die
Umläufe von Planeten und Monden. Die Maßeinheit der Zeit, die Sekunde (s), war
ursprünglich über die Drehung der Erde definiert und entsprach (1/60)(1/60)(1/24)
eines mittleren Sonnentags. Problem bei dieser historischen Definition waren: Die
Gezeitenreibung reduziert die Rotationsgeschwindigkeit der Erde. Die Rotationsachse der Erde ändert sich mit der Zeit und die Masseverteilung der Erde ist nicht
5
homogen (Erde ist keine homogene Kugel).
Zeitmessung
• Pendel
• Sanduhr
• Sonnenuhr
• Quarzuhr
Versuch # 1000: Verschiedene Zeitmesser
Versuch # 1010: Periodischer Vorgang im Oszilloskop
Die Zeitmessung wird zur Abzählung, wenn man die Perioden einer Schwingung
zählt, die in das zu messende Zeitintervall fallen. Zu jedem Zeitintervall kann man
die passende Uhr wählen, deren Periode nicht zu groß sein soll, weil die Standardabweichung des Ergebnisses in der Größenordnung einer Schwingungsdauer liegt.
Heute:
Primäre Atomuhr CS 2 der PTB liefert die Sekundenintervalle der gesetzlichen Zeit
(MEZ).
Definition: 1 s ist die Zeit für das 9’192’631’770-fache der Periodendauer der
Strahlung beim Übergang zwischen den Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklid 133 Cs. (Stabilität ca. 2 ·10−14 )
Typische Zeiten:
Alter des Universums ≈ (11±3) Gy
Alter der Erde ≈ 4.5 Gy
Lebenserwartung des Menschen ≈ 2.3 × 109 s
1 Jahr 3.16 ×107 s
1 Tag 86400 s
Menschlicher Herzschlag ≈ 1 s
Licht benötigt für die Strecke Erde-Mond 1.3 s
Periode einer Schallschwingung 50 µs-50 ms
Periode einer Lichtschwingung ≈ 10−15 s
Lebenszeit eines top-Quarks 4 ×10−24 s
6
1.3.4 Basiseinheiten: Masse
Masse (m) - Einheit ist das Kilogramm
Für die Basiseinheit Masse sind die historische und die heutige Definition identisch. Es gibt einen nationalen Kilogrammprototyp der Bundesrepublik Deutschland in der PTB in Braunschweig.
1 kg ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps, einem Zylinder von 39
mm Höhe und ebenfalls 39 mm Durchmesser aus einer Pt-Ir-Legierung (90% Platin,
10% Iridium, beides Edelmetalle), aufbewahrt beim internationalen Büro für Masse
und Gewichte (BIPM) bei Paris.
Der Schwachpunkt des SI Systems ist die Einheit der Masse, die ursprünglich als
Masse eines Kubikdezimeters Wassers eingeführt wurde. Es gibt 6 Ur-kg Stücke,
deren Massen sich aber, vor etwa 100 Jahren aus Platin-Iridium gegossen, aus nicht
ganz einsichtigen Gründen zeitlich verändern. Inzwischen unterscheiden sie sich
um 20 σ, wobei σ die Standardabweichung des Meßverfahrens ist. Man sucht deshalb nach einer neuen Definition, etwa über die Masse einer bestimmten Anzahl
von Goldionen, weil es von Gold nur ein Isotop gibt. Die Abzählung kann über
den Ionenstrom erfolgen, es wird solange gezählt, bis ein Goldstück mit wägbarer
Masse entstanden ist.
Typische Massen:
Sonne 1.933 ×1030 kg
Erde 5.97 ×1024 kg
Vollbeladener Jumbojet 3.86 ×105 kg
Automobil 1000 kg
Mensch 80 kg
1 Liter Wasser 0.99997 kg
Rotes Blutkörperchen des Menschen ≈ 4 × 10−10 kg
Natürliches Uranatom 3.952565 ×10−25 kg
Proton 1.67263 ×10−27 kg
Elektron 9.10939 ×10−31 kg
7
1.4 Meßgenauigkeiten und Meßfehler
Die Aussagen der Naturwissenschaften und der Medizin beruhen auf Beobachtungen, den Messungen. Meßwerte können Resultate der Ablesung von Instrumenten
oder Skalen sein oder Ergebnisse der Abzählung irgendwelcher Ereignisse. In jedem Fall muss das Ergebnis einer einzigen Messung - ohne jede weitere Information
- als zufällig angesehen werden.
Jede Messung ist mit Fehlern behaftet, daher bedarf es einer Fehlerangabe. Wir
unterscheiden:
• Systematische Fehler: bedingt durch Meßapparatur, äußere Einflüsse
• Statistische Fehler: bedingt durch Schwankungen der Messung
1.4.1 Statistischer Fehler
arithmetischer Mittelwert:
bei n Messungen: x̄ =
n
1 X
xAi
n i=1
Soll ein Zahlenwert eine Situation charakterisieren, dann muß auch die Wahrscheinlichkeit angegeben werden, bei Wiederholung den gleichen oder einen ähnlichen
Wert zu erhalten. Diese Information liefert die Standardabweichung.
Um den Betrag des zufälligen Fehlers abzuschätzen, mit dem die Einzelmessung
behaftet sind, berechnet man die Standardabweichungen s der Stichprobe:
s
n
1 X
s=
(xAi − x̄)2
n − 1 i=1
Die korrekte Angabe des Messergebnises bei wenigen Einzelmessungen setzt sich
1
also aus dem Mittelwert und der Standardabweichung zusammen x = x̄ ± √ s
n
Das Ergebnis einer Messung sollte immer der Meßwert und der Meßfehler mit der
Einheit sein. Oft stellt man allerdings fest, dass nur der Meßwert mit der Einheit
angegeben wird, nicht aber der Meßfehler. Dann liefert die Anzahl der verwendeten
Stellen einen groben Hinweis darauf, wie groß die Unsicherheit in einer Messung
ist. Jede zuverlässig bekannte Stelle mit Ausnahme der Nullen, die die Position des
Dezimalkommas angeben, wird signifikante Stelle genannt. Die Zahl 2.50 besitzt
drei signifikante Stellen, 2.503 dagegen vier. Die Zahl 0.001 03 besitzt drei signifikante Stellen; die ersten drei Nullen sind keine, da sie lediglich die Lage des
Kommas zeigen.
8
1.4.2 Normalverteilung
Die Normal- oder Gauß -Verteilung (nach Carl Friedrich Gau) ist ein wichtiger
Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die besondere Bedeutung
der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der
besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen
im Grenzwert n → ∞ normalverteilt ist.
·
¸
1
−(x − µ)2
Normalverteilung oder Gauß funktion g(x) = √ · exp
2σ 2
σ 2π
σ heißt Standardabweichung um das Maximum µ (arithmetischer Mittelwert).
Zufallsgrößen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufällige Beobachtungs- und Meßfehler, zufälliger Abweichungen vom Nennmaß bei der Fertigung von Werkstücken oder der Beschreibung der brownschen Molekularbewegung.
In der Messtechnik wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, die die Streuung
der Meßfehler beschreibt. Hierbei ist von Bedeutung, wie viele Meßpunkte innerhalb einer gewissen Streubreite liegen. Die Standardabweichung σ beschreibt
die Breite der Normalverteilung. Berücksichtigt man die tabellierten Werte der
Verteilungsfunktion gilt näherungsweise folgende Aussage:
• 68 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens σ vom Mittelwert
• 95 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 2σ vom Mittelwert
• 99.8 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 3σ vom Mittelwert.
Somit kann neben dem Mittelwert auch der Standardabweichung eine physikalische
Bedeutung zugeordnet werden.
1.5 Koordinatensysteme
Alle Berechnungen werden in Koordinatensystemen durchgeführt. Die Wahl des
geeigneten Koordinatensystems kann die Rechnung deutlich erleichtern. Es ist
immer zu empfehlen, das Koordinatensystem an die Symmetrie der Fragestellung
(z.B. Kugel - Kugelkoordinaten) anzupassen. In einem ungünstig gewählten Koordinatensystem ist die Rechung komplizierter aber natürlich nicht unmöglich.
9
1.5.1 Karthesische Koordinaten
Das karthesische Koordinatensystem ist uns aus dem täglichen Leben am vertrautesten.
Der Ortsvektor ~r = x~e1 + y~e2 + z~e3 für einen beliebigen Punkt P (x, y, z) im Raum
ist durch die drei Basisvektoren ~e1 , ~e2 , ~e3p
und deren Vielfache x, y, z gegeben. Folglich ist der Betrag des Ortsvektors r = x2 + y 2 + z 2
und der Abstand zwischen zwei Punkten (x2 , y2 , z2 ) und (x1 , y1 , z1 )
p
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
mit dem Volumenelement dV = dx dy dz
1.5.2 Zylinder Koordinaten
~r = ρ cos (Φ) ~e1 + ρ sin (Φ) ~e2 + z~e3
P (ρ, Φ, z)
p
Betrag des Ortsvektors: r = ρ2 + z 2
Abstand zwischen zwei Punkten (x2 , y2 , z2 ) und (x1 , y1 , z1 ):
p
d = ρ21 + ρ22 − 2 ρ1 ρ2 cos (Φ2 − Φ1 ) + (z2 − z1 )2
Volumenelement: dv = dρ ρdΦ dz
10
1.5.3 Kugel Koordinaten
~r = r sin (υ) cos (ϕ) ~e1 + r sin (υ) sin (ϕ) ~e2
+r cos (υ) ~e3
P (ϕ, υ, r)
Betrag des Ortsvektors: |~r| = r
Volumenelement: dV = dr rdυ r sin(υ) dϕ
2 Klassische Mechanik
Die Mechanik ist die Lehre von der Bewegung und Verformung von Körpern unter
dem Einflußvon Kräften. In der Mechanik der Massenpunkte abstrahiert man den
realen Körper auf einen einzigen Punkt, eben seinen Massenpunkt, in dem man
sich die Masse des Körpers vereinigt denkt. Die Gestalt des Körpers und dessen
sonstigen Eigenschaften bleiben unberücksichtigt. Auf diese Weise sind Bewegungsabläufe entlang irgendwelcher Bahnen besonders einfach zu beschreiben.
Allerdings kommt dieses Bild schon bei der Beschreibung von Rotationen realer
Körper an seine Grenzen.
2.1 Kinematik
Die Kinematik beschäftigt sich mit den Gesetzen der Bewegung eines Massenpunktes. Im realen Experiment ist ein Massenpunkt durch einen irgendwie gestalteten
Körper realisiert. Allgemein erfolgt die Beschreibung der Bewegung eines Massenpunktes zur Zeit t mit Hilfe des Ortsvektors ~r(t).
Eine Bewegung nennt man eindimensional, wenn zur Ortsbestimmung des Körpers
eine Koordinate ausreicht. Dies kann eine geradlinige Bewegung oder eine geführte
11
Bewegung, zum Beispiel auf einer Schiene, sein. In einer Dimension (1D) beschreiben
wir den Ort (Position eines Massenpunktes) mit x(t). Um Richtung anzugeben
benötigen wir nur das Vorzeichen (+ und -).
Die Abbildung zeigt die Trajektorie eines Teilchen (in 1D), das zur Zeit t1 am Ort
x1 und zur Zeit t2 am Ort x2 ist. Die Ortsveränderung des Teilchens wird Verschiebung genannt und berechnet sich zu x2 − x1 . Änderungen wollen wir mit dem
griechischen Buchstaben ∆ (großes Delta) ausdrücken. Somit wird die Änderung
von x als ∆x geschrieben:
Ortsänderung ∆x = x (t2 ) − x (t1 ) = x2 − x1
Zeitänderung ∆t = t2 − t1
2.1.1 Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit ist die Rate, mit der sich der Ort verändert.
x (t2 ) − x (t1 )
∆x
Die mittlere Geschwindigkeit ist vm =
=
t2 − t1
∆t
Momentane Geschwindigkeit ∆t → 0 : v = lim
∆t → 0
12
dx
x (t + ∆t) − x(t)
=
= ẋ
∆t
dt
Die momentane Geschwindigkeit v zur Zeit t ist gegeben durch die Ableitung der
Strecke x nach der Zeit. In andern Worten: Die Geschwindigkeit ist die Steigung
der Kurve in einem Weg-Zeit Diagramm.
2.1.2 Beschleunigung
Die Beschleunigung ist das Maß für die Änderung der Momentangeschwindigkeit.
Mittlere Beschleunigung am =
v(t2 ) − v(t1 )
∆v
=
t2 − t1
∆t
Momentane Beschleunigung a(t) =
dv (t)
d2 x(t)
=
dt
dt2
13
2.1.3 Spezielle Bewegungen
Als Funktionen der Zeit sind Weg x(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung
a(t) voneinander abhängige Größen. Aus dem Zeitverhalten einer von ihnen folgt
das der beiden anderen durch Differentiation oder Integration. Muß integriert werden, dann kann noch über den Wert der Integrationskonstanten verfügt werden. Das
heißt, ist z. B. v(t) bekannt, dann kann der Wert des Weges zur Zeit 0, x0 frei
gewählt werden.
Lineare Bewegung mit v = konst.
Falls die Geschwindigkeit v konstant ist, sieht das Beschleunigungs-, Geschwindigkeitsund Orts-Zeitdiagramm folgendermassen aus:
und es giltZ
v = v0 +
adt = v0
Z
x = x0 +
Z
vdt = x0 + v0
dt = x0 + v0 t
Ändert sich bei der Bewegung der Betrag der Geschwindigkeit v nicht, so spricht
man von einer gleichförmigen (geradlinigen) Bewegung.
Lineare Bewegung mit a = konst.
14
Z
v = v0 +
Z
adt = v0 + a0
dt = v0 + a0 t
Z
Z
Z
1
x = x0 +
vdt = x0 + a0
t dt + v0
dt = a0 t2 + v0 t + x0
2
Versuch # 1040: Luftkissenbahn
Versuch # 1055: Freier Fall im Vakuum
2.1.4 1D freier Fall
Alle frei fallenden Körper mit der gleichen Anfangsgeschwindigkeit fallen in der
gleichen Weise. Auf sie wirkt die gleiche Fallbeschleunigung, nämlich die Erdbeschleunigung g. Ihr Wert beträgt näherungsweise g = 9.81 m/s2 .
Bei der Wahl des koordinatensystems in der konventionellen Art (y-Achse ist positiv nach oben gerichtet) ist die Erdbeschleunigung nach unten gerichtet und es gilt:
ay = −g
vy = v0y − gt
y = y0 + v0y t − 0.5 gt2
Es gibt also keine Massenabhängigkeit und entsprechend fallen im Vakuum ein
Apfel und eine Feder gleich schnell. Erst der Luftwiederstand sorgt für einen Unterschied beim Fallen von Apfel und Feder gemäß unserer täglicher Erfahrung und
in Luft fällt der Apfel deutlich schneller.
2.2 Bewegung in 3D
Die kinematischen Grssen Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind
Vektoren (Betrag + Richtung) und können wie üblich addiert werden. Dies gilt
unter der Annahme, dass die Bewegung in der einen Richtung keinen Einfluß hat
auf die Bewegung in den dazu senkrechten Richtungen.
15
Ortsvektor ~r(t)
Geschwindigkeit ~v (t)
Beschleunigung ~a(t)
Der Koordinatenursprung (mathemath. Kürzel KOU) bezeichnet den Punkt in einem
Koordinatensystem, an welchem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er
wird deshalb häufig auch als Nullpunkt bezeichnet. Der durch einen Ortsvektor beschriebene Aufpunkt kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems
beschrieben werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den
Koordinatenursprung gelegt wird.
2.2.1 Kreisbewegung
Die Kreisbahn kann als eindimensionale Bewegung aufgefasst werden. Im Gegensatz zur Bewegung auf geradliniger Bahn zeigen die Vektoren für Beschleunigung
und Geschwindigkeit auf der Kreisbahn nicht in die gleiche Richtung. Im wichtigen
Spezialfall konstanter Winkelgeschwindigkeit zeigt der Vektor der Beschleunigung
vom Bahnpunkt in radialer Richtung zum Kreismittelpunkt, während die Tangente
im Bahnpunkt die Richtung der Bahngeschwindigkeit zeigt. Wir betrachten die Bewegung eines Massenpunktes m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r.
Für die mathematische Formulierung dieser Bewegung ist es sinnvoll, außer dem
Geschwindigkeitsvektor des Punktes auf der Bahn, der Bahngeschwindigkeit, den
Begriff der Winkelgeschwindigkeit einzuführen. Sie beschreibt den Winkel, den
16
der Radiusvektor vom Mittelpunkt bis zum bewegten Punkt auf der Kreisbahn in
einer Zeiteinheit überstreicht.
d ϕ(t)
Winkelgeschwindigkeit: ω(t) =
dt
d2 ϕ(t)
d ω(t)
Winkelbeschleunigung: α(t) =
=
dt
dt2
2.2.2 Gleichförmige Kreisbewegung
Ist gleichzeitig die Tangentialkomponente gleich Null, spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung. Die (radiale) Zentripetalbeschleunigung az zwingt
den Massenpunkt auf die Kreisbahn und ist nach Innen gerichtet (sonst würde die
Masse m geradeaus fliegen).
ω(t) =
d ϕ(t)
dN
2π
= 2π
=
dt
dt
T
N: Anzahl der Umläufe und T: Dauer eines Umlaufes
Frequenz
f=
1
T
ω = 2π f
dr = r dϕ
ω(t) =
dϕ dr
1 dr
v
dϕ(t)
=
=
=
dt
dr dt
r dt
r
v: Bahngeschwindigkeit
17
Zentripetalbeschleunigung:
az =
2.2.3
dv
v dϕ
v2
=
= vω =
= r ω2
dt
dt
r
Überlagerung von Bewegungen
Bei der Superposition von Bewegungen werden die Orts-, Geschwindigskeits- und
Beschleunigungsvektoren zu jedem Zeitpunkt zu den entsprechenden Vektoren der
resultierenden Bewegung addiert.
Versuch # 1061: Versuch Schußapparat
Versuch # 1030: Fall nach Galilei
Schräger Wurf
Ein Massenpunkt werde mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 mit dem Anstellwinkel
φ weggeschleudert. Durch die geschickte Wahl des Koordinatensystems und seines
Ursprungs läßt sich diese Bewegung in 3D als Bewegung in 2D auffassen. Der
schräge Wurf setzt sich dann als Überlagerung aus zwei voneinander unabhängigen
Bewegungen, dem freien Fall und der gleichförmigen Bewegung, beschreiben:
x(t) = 0
x(t) = x0 + v0x t
y(t) = −0.5 gt2
y(t) = y0 + v0y t
18
2.3 Newton ’sche Axiome
Kraft und Masse sind mit dem in der Kinematik behandelten Begriff der Beschleunigung, also der Änderung des Bewegungszustandes in Betrag oder Richtung,
ursächlich verknüpft. Dieser Zusammenhang wurde erstmals von Galilei erkannt
und in den Newtonschen Axiomen der Mechanik formuliert.
1. Newton’sches Axiom (Trägheitsgesetz)
Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
weiter, wenn keine resultierende äußere Kraft auf ihn wirkt.
2. Newton’sches Axiom (Grundgesetz der Dynamik)
Ein Körper wird in Richtung der resultierenden äußeren Kraft beschleunigt,
die auf ihn wirkt. Die Beschleunigung ist gemäß Fges = ma proportional zur
resultierenden äußeren Kraft Fges , wobei m die Masse des Körpers ist. Die
resultierende äußere Kraft auf einen Körper ist die Vektorsumme aller Kräfte,
die auf ihn wirken
X
F~i = m~a
F~ges =
3. Newton’sches Axiom (Reaktionsgesetz, actio = reactio)
(A)
Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn der Körper A eine Kraft FB auf
den Körper B ausübt, wirkt eine gleich groß e, aber entgegengesetzt gerichtete
(B)
Kraft FA von dem Körper B auf den Körper A. Somit gilt:
(B)
FA
(A)
= −FB
Einheit der Kraft ist das Newton (N): Die Kraft, die benötigt wird, der Masse
1kg die Beschleunigung 1 m/s2 zu erteilen.
1N = 1kg × 1m/s2 = 1m × kg/s2
Versuch # 1095: Trägheit des gedeckten Tisches
Versuch # 1105: Kraft erezugt Gegenkraft
2.3.1 Impuls
Es existiert eine von Masse und Geschwindigkeit abhängende Größe, der sogenannte Impuls. Er ist definiert als:
p~ = m ~v
Einheit 1 kg × m/s
19
d~p
Die zeitliche Änderung des Impulses eines Systems ist gleich der Kraft F~ =
dt
Definition Inertialsystem
Jedes Bezugssystem, in dem sich ein kräftefreier Körper geradlinig gleichförmig
bewegt, ist ein Inertialsystem (z.B. für fliegendes Flugzeug, in guter Näherung die
Erde).
Versuch # 1080: Fallende Schere
2.3.2 Träge und schwere Masse
Die auf einen Körper wirkende Gravitationskraft ist eine Funktion einer Maßzahl
des Körpers, die man als schwere Masse ms bezeichnet. Wird ein Körper durch
eine Kraft beschleunigt, dann ist, nach dem 2. Newtonschen Gesetz, die Beschleunigung eine Funktion einer anderen Maßzahl des Körpers, die man als träge Masse
bezeichnet.
1. Träge Masse: widersetzt sich der Beschleunigung F = mt a
2. Schwere Masse: Verantwortlich für Gravitationskraft: Gewichtskraft Fg =
−ms g mit g = 9.81m/s2
Die Beziehung beider Maßzahlen zueinander erkennt man, wenn man die Gravitationskraft zur Beschleunigung heranzieht. Genau das geschieht im Fallversuch.
Beobachtung: ms = mt
z.B. freier Fall −ms g = F = mt a ⇒ a = −g im Vakuum unabhängig von Masse.
2.3.3 Fadenpendel
Ein Massepunkt m ist an einem masselosen Faden aufgehängt der m auf eine Kreisbahn zwingt. Auf m wirkt die Gewichtskraft Fg , die in die Teilkräfte Fadenkraft
Ff aden (Führungskraft) und die tangentiale Kraft Ftang = −mg sin (ϕ) aufgeteilt
werden kann. Ff aden steht senkrecht zur Bewegungsrichtung und hat keinen Einfluß auf die Geschwindigkeit von m. Ff aden + Ftang ist die Reaktionskraft auf das
Gewicht mg.
Für die Tangentialkomponente folgt aus dem 2. Newton’sches Gesetz
d2 s
−ms g sin (ϕ) = mt 2
dt
d2 s
d2 ϕ
mit der Bogenlänge s = lϕ
=
l
dt2
dt2
20
Für kleine Auslenkungen ϕ gilt näherungsweise sin (ϕ) ≈ ϕ
g
und man erhält die Differentialgleichung (DGL): ϕ̈ + ϕ = 0
l
Diese Differentialgleichung hat die Lösung
mittels Sinus oder Cosinusfunktion,
p
z.B. ϕ(t) = ϕ0 cos(ω0 t + ∆) mit ω0 = (g/l).
r
l
Damit ist die Schwingungsperiode gegeben durch T = 2π
g
Wie man sieht, ist die Schwingungsperiode unabhängig von der Masse m. Die
Lösung der exakten Differentialgleichung führt über elliptische Integrale zu einer
Amplitudenabhängigkeit von T und zu sogenannten Solitonen. Für beispielsweise
l = 1 m und g = 9.81 m/s2 erhält man T /2 = 1 s.
Versuch # 1080: Äquivalenz von schwerer und träger Masse
2.4
Überlagerung von Kräften
Ein Beispiel zur Kräftezerlegung ist die Bewegung auf einer schiefen Ebene. Es
wirkt einerseits die Schwerkraft senkrecht nach unten, andererseits ist die beschleunigende Kraft in Richtung der Bahn von Interesse. Die Schwerkraft soll also in eine
Komponente in Bahnrichtung, der Tangentialkraft, und eine Komponente senkrecht
dazu, der Normalkraft, zerlegt werden. Die Letztere bewirkt den Andruck an die
Bahn.
21
Je größer der Neigungswinkel der schiefen Ebene ist, desto kleiner wird die Normalkraft FN und desto größer wird die Hangabtriebskraft FH .
Eine schiefe Ebene ist ein bewährtes Hilfsmittel, um schwere Gegenstände zu heben.
2.4.1 Reibungskräfte
Als Reibung bezeichnet man den Widerstand, der in der Berührungsflche zweier
Körper bei ihren relativen Bewegungen zueinander auftritt. Ursache für diesen
Widerstand sind einerseits Kräfte zwischen den Molekülen beider Flächen, andererseits räumliche Hindernisse. Vorsprünge des einen hängen in Vertiefungen des
anderen Materials. Physikalisch wird die Reibung durch eine Maßzahl für die zur
Bewegung erforderliche Kraft repräsentiert.
Reibung verlangsamt die Bewegungen (oder dämpft eine Schwingungen). Folglich
ist die Reibungskraft F~R zu der Geschwindigkeit ~v entgegengestzt.
Man unterscheidet 3 verschiedene Arten von Reibung:
Haftreibungskraft FRH
Körper ruht, erst wenn angreifende Kraft F > FRH = µH FN ist, wird der Körper
beschleunigt.
Gleitreibungskraft FRG
Körper in Bewegung und gleitet auf einer Unterlage, entgegen der Bewegungsrichtung wirkt die Gleitreibungskraft FRG = µG FN .
Rollreibungskraft FRR
Körper rollt auf einer Unterlage (Kontaktfläche zwischen Körper und Unterlage
22
klein), entgegen der Bewegungsrichtung wirkt die Rollreibungskraft FRR = µR FN .
Versuch # 1145: Haftreibung am Steilhang
Haftreibung
Der Haftreibungskoeffizient hängt von der Beschaffenheit (wie Rauheit der sich
berührenden Flächen) ab. Die Größe der sich berührenden Flächen spielt keine
Rolle. Folgende Werte sind empirisch bestimmt worden:
Flächenpaarung
Haftreibungskoeffizient µRH
Autoreifen auf der Straße
0.7 ... 0.9
Holz auf Holz
0.5
Stahl auf Eis
0.03
Stahl auf Stahl
0.15 ... 0.5
Stahl auf Teflon
0.04
Leder auf Metall
0.4
Ski auf Schnee
0.1 ... 0.3
Versuch # 1145: Reibung in Abhängigkeit von der Oberfläche
Gleitreibung
Der Reibungskoeffizient hängt dabei von der Beschaffenheit (wie Rauheit) der
sich berührenden Flächen ab. Keine Rolle spielt die Größe der sich berührenden
Flächen. Folgende Werte sind empirisch bestimmt worden:
Flächenpaarung
Reibungskoeffizient µRG
Autoreifen auf der Straße
0.5 ... 0.8
Holz auf Holz
0.3
Stahl auf Eis
0.015
Stahl auf Stahl
0.1 ... 0.4
Stahl auf Teflon
0.04
Leder auf Metall
0.3
Ski auf Schnee
0.04 ... 0.2
Reibung
Normalerweise erfüllen die Reibungskoeffizient µH > µG > µR
23
Die mikroskopische Entstehung der Reibung ist ein komplizierter und bis heute
nicht vollständig verstandener Prozeß.
2.4.2 Zentripetalkraft
Das Weg-Zeitgesetz für die Bewegung auf einer Kreisbahn zeigte, daß auf einen
kreisförmig umlaufenden Massenpunkt eine Beschleunigung in Richtung des Zentrums wirkt. Multipliziert man diese Beschleunigung mit der Masse, dann erhält
man die Zentripetalkraft, die den Massenpunkt auf der Kreisbahn hält.
v2
Zentripetalbeschleunigung radial az = vω =
= rω 2
r
Zentripetalkraft zeigt zur Kreismitte Fz = m
v2
= m r ω2
r
2.4.3 Federkraft
Bisher waren Kräfte die Ursache für eine Änderung des Bewegungszustandes eines
Körpers. Jetzt erlauben wir, daß Kräfte die Form eines Körpers ändern. Beim
Dehnen einer Feder gilt das Hook’sche Gesetz
F~k = −k~r
k ist die Federkonstante und hat die Dimension kg/s2 . Im Bereich der elastischen
Verformung ist Fk proportional zur Auslenkung. Ist die Federkonstante groß so
bezeichnen wir eine Feder als harte Feder und ist sie klein als weiche Feder.
Versuch # 1115: Dehnung eines Drahtes
24
2.4.4 Gravitationsgesetz
Alle Körper des Universums ziehen sich gegenseitig an. Die Gravitationskraft ist
eine Anziehungskraft zwischen zwei Massen, die in Richtung ihrer Verbindungslinie
wirkt. Für große Abstände ist die Annahme der in Punkten konzentrierten Massen
immer gerechtfertigt. Für kugelförmige Massen zeigt die Rechnung als einzige Bedingung, daß sie sich nicht durchdringen dürfen.
m1 m2 ~r12
Gravitationskraft F~12 = −F~21 = −G 2
r12 |r12 |
Mit Gravitationskonstante G = 6.673 × 10−11 m3 kg−1 s−2
GME
2
RE
nominal: g = 9.81 m/s2 , am Äquator g = 9.78 m/s2 und am Nordpol g = 9.83 m/s2
Auf Erde
g=
Ebbe und Flut
Regelmäßig verändert sich der Meeresspiegel zweimal am Tag. Dabei steigt das
Meereswasser (Flut) bis zu einem höchsten Punkt (Hochwasser) und fällt anschließend
(Ebbe) wieder bis zu einem Tiefstand (Niedrigwasser) ab.
• mondnahe Seite der Erde: Anziehungskraft des Mondes > Fliehkraft der
Erde: Meerwasser wird zum Mond hingezogen = Flutberg (Zenitflut)
• mondabgewandte Seite der Erde: Fliehkraft der Erde > Anziehnungskraft des
Mondes: zweiter Wasserberg (Nadirflut)
• Ebbe herrscht dann in jenen Zonen, die jeweils zwischen den genannten Flutbergen liegen.
25
2.5 Bezugssystem
Man kann zur Beschreibung von mechanischen Vorgängen verschiedene Bezugssysteme verwenden. Die Versuchsergebnisse werden in Koordinaten angegeben, deshalb definiert man jedes Inertialsystem durch sein Koordinatensystem. Möchte
man die in einem Koordinatensystem beobachteten Werte in ein anderes Inertialsystem übertragen, dann gelten die Regeln der Galilei Transformation, wobei vor
allem die Zeit eine absolute Größe ist und die Beschleunigungen invariant sind.
Beispiel:
ruhendes Bezugssystem mit S(x, y, z)
bewegtes Bezugssystem mit S(x’, y’, z’)
Nichtinertialsysteme sind Koordinatensysteme, die sich gegenüber einem Inertialsystem beschleunigt bewegen. Die Physik erscheint einem Beobachter in einem
beschleunigten System gegenüber der im ruhenden verändert. Dieses stimmt mit
der Erfahrung überein, da sich z.B. der Kaffee in einer Tasse im Auto oder im Zug
unabhängig von der Geschwindigkeit wie gewohnt verhält, aber nicht beim Bremsen und in Kurven.
2.6 Scheinkräfte
Scheinkräfte entstehen bei der Transformation von einem Inertialsystem in ein beschleunigtes Bezugssystem. In einem mit a beschleunigtem System kann man Newton’s
Bewegungsgleichung “retten”, indem man eine auf eine Masse wirkende Trägheitskraft F~t = −m~a einführt.
Die Schein- oder Trägheitskraft ist für den Beobachter im beschleunigten System
genauso real zu spüren wie alle anderen Kräfte auch.
Weil sich die Erde dreht, ist ein Koordinatensystem im Labor kein Inertialsystem.
Bei den meisten Versuchen fallen die dadurch verursachten Abweichungen von den
für ein Inertialsystem erwarteten Ergebnissen nicht auf. Es gibt aber Versuche, in
denen sie offen zutage treten.
26
Rotierende Bezugssysteme
Beobachter ruht
Zentripetalkraft Fz
Beobachter im rotierenden Bezugssystem sieht Masse in Ruhe und erfährt eine
Scheinkraft, die Zentrifugalkraft Ff
F~f = −F~z
2.6.1 Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft ist auf einer Kreisbahn nach außen gerichtet und wird vom
Beobachter im beschleunigten System (auf der Kreisbahn) wahrgenommen. Sie
kompnesiert als Scheinkarft die Zentripetalkraft der Kreisbewegung.
⇒ Wahl des Bezugssystems zur Berechnung sehr wichtig!
27
2.7 Arbeit und Energie
In den Naturwissenschaften sind Größen besonders wichtig, die während des Ablaufs
irgendeines Vorgangs erhalten bleiben. Bei mechanischen Bewegungsabläufen sind
diese Erhaltungsgrößen die Energie, der Impuls und der Drehimpuls des Systems.
Energie begenet uns in verschiedene Formen: mechanische, kinetische, potentielle,
elektromagnetische, chemische, Kernenergie, Wärme, Masse, usw.
Die Energie eines Systems erhöht sich, wenn an diesem System Arbeit verrichtet
wird. Arbeit wird verrichtet, wenn auf einen Körper entlang eines Weges eine Kraft
wirkt.
2.7.1 Energieerhaltung
1) Energie kann nicht vernichtet werden oder aus dem NICHTS erzeugt werden !
2) Energie kann in verschiedene Formen umgewandelt werden !
3) Bei jeder Umwandlung entsteht Wärme, die nicht mehr vollständig in andere
Formen umgewandelt werden kann (2. Hauptsatz der Thermodynamik)!
Versuch # 1225: Energieumwandlung
2.7.2 Arbeit
Die Arbeit A ist als Wegintegral über die Kraft F definiert.
R
A = F~ d~r
Wirkt eine konstante Kraft in Richtung des Wegs, dann ist die Arbeit das Produkt
aus Kraft mal Weg. Steht die Kraft in einem Winkel zum Weg, dann wird nur
die Komponente in Richtung des Weges mit dem geraden Wegstück multipliziert.
Ein beliebiger Weg kann durch stückweise gerade Wege angenähert werden, deren
einzelne Beiträge zur Arbeit werden dann summiert. Beim Grenzübergang zu beliebig kurzen Wegstücken wird diese Summe zu einem Wegintegral. Dieses Wegintegral zeigt eine symbolische Schreibweise: Die Ausführung der Integration ist vom
jeweiligen Verlauf der Kraft- und des Weges abhängig.
Einheit der Arbeit ist das Joule: 1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1 m2 kg/s2
1 cal = 1 g H2 O von 14.5o C auf 15.5o C (äquivalenz Arbeit Wärme)
1 cal = 4.1868 J
Konservative Kraft
Die von einer konservativen Kraft geleistete Arbeit hängt nicht von einem (speziellen)
28
Weg ab. Es ist A1 = A2
Daher ist die Arbeit längs eines geschlossenen Weges null Ages = A1 − A2 = 0
Wenn auf geschlossenen Wegen keine Arbeit zu leisten oder zu gewinnen ist, dann
ist die Überführungsarbeit zwischen zwei Punkten unabhängig vom Weg. Je nach
Wahl des Rundwegs wird auf manchen Teilstücken Arbeit zu leisten sein, diese wird
aber auf anderen wieder gewonnen.
Bei einer nicht-konservativer Kraft (z.B. Reibung) hängt die Arbeit vom speziellen
Weg ab.
2.7.3 Energie
Energie ist Arbeitsfähigkeit oder gespeicherte Arbeit.
Kinetische Energie
Wird ein Körper der Masse m konstant beschleunigt, dann wirkt an ihm entlang
eines Weges s eine Kraft F , es wird also Arbeit an ihm verrichtet. Endet die
Beschleunigung, dann endet auch die Kraftwirkung und damit die Zunahme der
Arbeit. Der Körper bewegt sich nun aber mit höherer Geschwindigkeit. Die ihm
während der Beschleunigung zugeführte Energie bleibt jetzt als kinetische Energie
erhalten.
Ekin = 12 mvo2
Potentielle Energie
Nahe der Erdoberfläche ist die Erdbeschleunigung g konstant. Zum Transport muss
die konstante Kraft F = mg aufgebracht werden. Der Körper hat in der Höhe h die
potentielle Energie
Epot = mgh
bei Feder Epot = 12 ks2
In jedem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie, das ist die Summe aus
kinetischer (Ekin ) und potentieller Energie (Epot ), erhalten. Das ist die Aussage des
Energieerhaltungssatzes der Mechanik:
Eges = Epot + Ekin = konst.
Versuch # 1222: Energieerhaltung eines groß en Pendels
29
2.7.4 Leistung
Die pro Zeit vollbrachte Arbeit ist die Leistung. Ist die Arbeit zeitlich konstant,
dann ist die Leistung die Arbeit geteilt durch die Zeit. Variiert die Arbeit zeitlich,
dann ist die Leistung die Ableitung der Arbeit nach der Zeit.
~ v wegen dA = F~ d~r = F~
~ v dt
P = dA = F~
dt
Einheit der Leistung ist das Watt (W): 1 W = 1 Nm/s andere Einheit: 1 PS = 735
W = 0.735 kW
2.8 Impulserhaltung
Der Impuls ist neben der Energie eine weitere Erhaltungsgröße. Im Gegensatz zur
skalaren Energie ist der Impuls ein Vektor. Bewegt sich ein Massenpunkt mit konstanter Geschwindigkeit, dann ist sein Impuls definiert als das Produkt aus Masse
und Geschwindigkeit. Die Richtung des Impulses ist die der Geschwindigkeit
d~p = d(m~v ) = d(F~ t)
Impulserhaltungssatz
In einem abgeschlossenen System von Massenpunkten ist der Gesamtimpuls konstant, solange nur Kräfte zwischen den Massenpunkten wirken (keine äuß eren Kräfte).
P
p~ges =
p~i = konst.
Impuls unabhängig von Zeit: p~anf ang = p~ende
Versuch # 1240: Elastischer Stoß mit Kugeln
Versuch # 1205: Rückstoß einer Rakete
Anfangsmasse m0 und Endmasse m0 − Rt
h
v = vrakete−gas ln
mo
mo −Rt
i
− gt
Rakete mit Wasser/Luft Gemisch schneller als bei Antrieb mit reiner Luft wenn zu
Beginn ca gleiche Ausstoß geschwindigkeit, wegen der größ eren Masse von Wasser
größ erer Gesamtimpuls
30
2.8.1 Elastischer Stoß
Ein Stoß heiß t elastisch, wenn sowohl kinetische Energien wie auch Impuls erhalten bleiben, also keine Umwandlung von kinetischer Energie in Verformungsarbeit
oder Wärme stattfindet.
1) Der zentrale Stoß : Ein Massenpunkt stößt auf einer eindimensionalen Fahrbahn
zentral auf einen zweiten. Es gelten
Impulserhaltung
m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2
Enegiererhaltung
1
m v 2 + 12 m2 v22 = 12 m1 u21 + 12 m2 u22
2 1 1
und die Auflösung des Gleichungssystems liefert die Geschwindigketen der beiden
Massenpunkte nach dem Stoß zu
u1 =
(m1 −m2 )v1 +2m2 v2
m1 +m2
und u2 =
2m1 v1 +(m2 −m1 )v2
m1 +m2
2) Der nicht zentrale Stoß : Eine Kugel trifft schräg auf eine ruhende Kugel mit
gleicher Masse. Aus dem Energie- und Impulserhaltungssatz folgt der Winkel zwischen den Flugbahnen nach dem Stoß zu genau 90o .
z.B. Billardkugel, Luftkissenbahn
Versuch # 1235: Elastischer Stoß
2.8.2 Inelastischer Stoß
Ein Stoß heiß t inelastisch, wenn nur der Impuls, nicht aber die kinetische Energie
erhalten bleibt. z.B.: Körper bleiben nach dem Stoß aneinander kleben, es entsteht
Verformungsarbeit
1) Der zentrale Stoß : Ein Massenpunkt stößt auf einer eindimensionalen Fahrbahn
zentral auf einen zweiten. Es gelten
Impulserhaltung
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )u und u =
m1 v1 +m2 v2
m1 +m2
Energien
Evor = 21 m1 v12 + 21 m2 v22 und Enach = 12 (m1 + m2 )u2
es entsteht Wärme W = Evor − Enach mit W =
z.B. Autounfall, Luftkissenbahn+Kleber
31
m1 m2
(v
2(m1 +m2 ) 1
− v2 )2
2.8.3 Stöße in 3d und 2d
Für nicht-zentrale Stösse in drei Dimensionen erhält man vier Gleichungen für
Impuls- und Energieerhaltung. Von den total 14 Variablen (2 Massen, 12 Geschwindigkeitskomponenten) müssen dann mindestens 12 Variablen gegeben sein, um die restlichen
2 Variablen zu berechnen.
Transformation vom Labor- (v1 , v2 ) ins Schwerpunktsystem (u1 , u2 ) für den Stoß
zwischen m1 und m2
Laborsystem: p~ = m~v
p~1 + p~2 = p~1 0 + p~2 0
Schwerpunktsystem (System in dem der Schwerpunkt ruht): p~ = m~u
p~1 = −~p2 und p~1 0 = −~p2 0
Berechnung erfolgt über die reduzierte Masse µ =
w
~ = ~v1 − ~v2
m1 m2
m1 +m2
und die Relativgeschwindigkeit
Umrechnung der Geschwindigkeiten
m1~u1 = µw
~ und m2~u2 = −µw
~
z.B. Impulsübertrag auf Masse m1 unabhängig vom Bezugssystem
∆p1 = µ|w|
~ sin(ϕ/2)
Energieübertrag im Laborsystem ∆E1 = v~sp ∆~p
im Schwerpunktsystem ∆E1 = 0
32
2.9 Ausgedehnte Körper
Bisher haben wir nur Massenpunkte betrachtet. Nun betrachten wir einen starren
Körper, der aus einer Massenverteilung besteht und sich unter dem Einfluss von
äusseren Kräften nicht verformt. Der starre Körper hat sechs Freiheitsgrade: Die
Position gegeben durch die Koordinaten x, y, z und die Orientierung, die durch drei
Winkel beschrieben werden kann.
Die Gewichtskräfte Fg greifen an diesem Körper an. Im Schwerpunkt des starrem
Körpers kann man den gesamten Körper mit der Masse m ersetzen (in Bezug auf
Drehungen).
P
P
mi~ri
mi~ri
=
Definition: Schwerpunkt ~rs = P
mi
M
Z
1
bei kontinuierlicher, homogener Massenverteilung ~rs =
~rdV
V V
Mit starrer Körper wird ein System von Massenpunkten mi deren Abstände ~ri
durch innere Kräfte vorgegeben sind und durch äuß ere Kräfte nicht verändert werden können, bezeichnet.
2.9.1 Bewegung starrer Körper
Die Translation beschreibt die Bewegung des Schwerpunktes. Die träge Masse
war hierbei der Wiederstand des Körpers gegen die diese Änderung des linearen
Bewegungszustandes.
Bei der Rotation bewegt sich der Körper um seinen Schwerpunktes. Das Trägheitsmoment J bezüglich einer Achse ist ein Maß für den Wiederstand den der Körper
gegen diese Änderung seiner Drehbewegung um diese Achse hat. Es gilt
R
R
J = r2 dm = r2 ρ(r)d3 r
Beispiel: 3 Massenpunkte starr durch masselose Stangen verbunden
J=
P
mi ri2 = m1 r12 + m2 r22 + m3 r32
33
Versuch # 1260: Voll- und Hohlwalze
Vollwalze schneller als Hohlwalze, Ursache ist Trägheitsmoment
Trägheitsmoment von Zylinder
Hohlzylinder: Masse auf Mantel konzentriert Jhohl = M R2
Vollzylinder: homogene Massenverteilung Massendichte ρ =
in Zylinderkoordinaten d3 r = dr rdφ dz
Z
R
Jvoll = ρ
Z
r rdr
0
Z
2π
2
l
dφ
0
0
4
dz = ρ R4 2πl =
M
πlR2
M R4 πl
M R2
=
πlR2 2
2
Kinetische Energie in Form von Rotationsenergie: Starrer Körper, der sich mit ω
dreht
Erot =
X mi v 2
i
2
Z
Jω 2
ω2 X
ω2
2
r2 dm =
=
mi ri =
2
2
2
Vollzylinder hat kleineres J ist also schneller bei festem Epot
Versuch # 1565: Drehschwingungen
p
Die Schwingungsdauer T = 2π J/c mit Winkelrichtgröße c folgt aus der DGL
für die Winkeländerung β̈ + J/cβ̇ = 0 analog zur Berechung einer Schwingung.
Abhängigkeit von Drehachse: Beispiel: Objekt aus vier Massenpunkten M auf
Eckpunkten von einem Quadrat
Drehachse in Ebene des Quadrates J = M L2
Drehachse auf Verbindungslinie zweier Massen J = 2M L2
Drehachse senkrecht zu Eben des Quadrates J = 2M L2
34
2.9.2 Steinerscher Satz
Ist JS das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse (A) durch den Schwerpunkt S,
so kann man leicht das Trägheitsmoment bezüglich einer dazu parallelen Achse (B)
berechnen (Steinerscher Satz):
J = JS + M R 2
~ ist
wegen ω ⊥ R
Z
~ 2 dV
J = ρ(~r⊥ + R)
Z
Z
Z
2
2
~
~
= ρ~r⊥ dV + ρR dV + 2 ρ~r⊥ RdV
= JS + M R 2
Versuch # 1565: Stäbe
2.9.3 Drehmoment
~ = ~r × F~ = rF sin(r, F )
Das Drehmoment ist Kraft mal Hebelarm M
Das Drehmoment steht senkrecht auf der durch F~ und ~r aufgespannten Ebene.
Einheit des Drehmoments ist 1 Nm
~v
~ = J d~ω
aus analoger Betrachtung zur Translation mit F~ = m folgt M
dt
dt
2.9.4 Stabilitätsanalyse
Auf Drehpunkte A und B bezogen ist das durch die Gravitation hervorgerufene
Drehmoment
i) es gibt ein Gegenmoment des Erdbodens, nichts passiert
ii) labiles Gleichgewicht
iii) instabil: Turm kippt um
Bei einem kleinen ‘Wackeln’ kehrt im Fall i) der Turm in seine Gleichgewichtslage
zurück, beim labilen Gleichgewicht ii) fällt er dabei um!
Also: Schwerpunkt muß sich oberhalb der Grundfläche befinden!
35
2.9.5 Leistung
P = Mω
2.9.6 Drehimpuls
~ = ~r × p~ = rp sin(r, p)
Der Bahndrehimpuls ist Hebelarm mal Impuls L
und steht senkrecht auf der durch p~ und ~r aufgespannten Ebene.
Einheit des Drehimpulses ist 1 kgm2 s−1
Die Newtonsche Bewegungsgleichung für die Rotation eines Massenpunktes um
~
~ = dL
eine Drehachse außerhalb des Massenpunktes lautet M
dt
Versuch # 1285: Experiment mit Drehstuhl I
J verringert, ω vergröß ert wegen Energieerhaltung
Versuch # 1285: Experiment mit Drehstuhl II
Person muß ein nach oben gerichtetes Drehmoment auf Kreisel ausüben, um Drehimpuls des Kreisels in diese Richtung zu verändern
Kreisel übt gleich groß es nach unten gerichtetes Drehmoment auf Person aus
Drehimpulserhaltung
~
d
d~r
d~p
dL
= (~r × p~) =
× p~ + ~r ×
dt
dt
dt
dt
Die inneren Kräfte in einem System ergeben keine resultierenden Drehmomente, da
sie sich nach dem 3. Newtonschen Gesetz kompensieren. In einem abgeschlossenen System gilt die Drehimpulserhaltung:
~
~ = konst. oder M
~ = dL = 0
L
dt
Versuch # 1290: Drehimpulserhaltung mit Spielzeugeisenbahn
Nutation: Die Nutation beschreibt die Bewegung der Rotationsachse eines Kreisels
um die Achse des Drehimpulses. Diese Bewegung wird dadurch verursacht, daß der
Drehimpuls L nicht parallel zu einer Figurenachse, d.h. der Achse größten oder kleinsten Trägheitsmoments des Kreisels, ausgerichtet ist. Eine stabile Rotationsachse
ist nur bei einer momentenfreien Drehung um eine Figurenachse möglich.
36
2.10 Die Keplerschen Gesetze
Johannes Kepler fand zur Beschreibung der Planetenbewegung drei Gesetze, wobei
erstmals keine Kreisform der Bahnen vorausgesetzt wurde:
1. Keplersches Gesetz: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren gemeinsamen Brennpunkt die Sonne steht. Sonnennächste und fernste Punkte werden als
Perihel und Aphel bezeichnet.
2. Keplersches Gesetz: Der Radiusvektor (Fahrstrahl) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
dA
A = 0.5|~r × ~v | →
= konst.
dt
Das 2. Gesetz ist eine Veranschaulichung der Drehimpulserhaltung. Aufgrund der
Tatsache, dass der Drehimpuls L aus einem Vektorprodukt aus r und p hervorgeht,
bewegt sich ein Planet immer in einer Ebene, die die Sonne enthält. Zudem bewegt
sich der Der Planet in Sonnennähe schneller als in Sonnenferne.
3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich
wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen.
T12
r13
=
T22
r23
3 Hydrostatik und Hydrodynamik
3.1 Flüssigkeiten und Gase
Hydrostatik
Die statischen Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten betreffen die Kompression und die Druck- und Auftriebskräfte. Im Gegensatz zur Statik der festen Körper
setzen Flüssigkeiten und Gase Scherungen keine rückstellenden Kräfte entgegen.
m
Dichte ρ =
V
Si-Einheit der Dichte ist 1 kg/m3
z.B. Wasser bei 4◦ C ρ = 1kg/L = 1g/mL
Flüssigkeiten besitzen keine selbständige Form, sondern passen sich der Form von
Gefässen an. Ihre Oberflächen stehen im Ruhezustand senkrecht zur Gravitationskraft (= Gewichtskraft). Bei der idealen Flüssigkeit, die wir am Anfang betrachten,
vernachlässigen wir die Kohäsionskräfte (Kräfte, die gleiche Moleküle aufeinander ausüben) und die Adhäsionskräfte (Kräfte, die ungleiche Moleküle aufeinander
ausüben). Im Weiteren nehmen wir an, dass die Flüssigkeiten inkompressibel seien.
37
3.1.1 Druck
Durch Kräfte können auch Flüssigkeiten und Gase mechanisch verändert werden.
Der Quotient aus Kraft und dazu senkrecht stehender Fläche heißt Druck. Da eine
Scherung keine Kraft benötigt ist mit der Normalkraft FN senkrecht zur Oberfläche
FN
A der erzeugte Druck p =
A
SI-Einheit des Drucks ist 1N/m2 = 1 Pa (Pascal)
Wird der Druck verändert, dann verschieben sich zur Einstellung des statischen
Gleichgewichts die Teilchen des Gases oder der Flüssigkeit solange, bis überall der
gleiche Druck herrscht.
Versuch # 1365: Kommunizierende Röhren
Schweredruck, Taucher
Neben einem äußeren Druck Pa wirkt der Schweredruck Ps . Durch die eigene
Gewichtskraft der Moleküle entsteht in einer Flüssigkeit dieser Schweredruck. Mit
A bezeichnen wir die Querschnittsfläche der Flüssigkeitssäule und mit ρ die Dichte
der Flüssigkeit. Für eine Flüssigkeitssäule der Höhe h gilt dann:
F
mg
ρ A hg
Ps =
=
=
= ρ hg
A
A
A
Der Schweredruck Ps hängt nur von Höhe und nicht von der Grundfläche ab (hydrostatisches Paradoxon).
Beipiel: Wie tief darf man tauchen damit der Druck 2 atm beträgt?
(An der Oberfläche sei 1 atm angenommen.)
∆h = ∆p/ρg = 10.3 m mit 1 atm = 101 kPa und ρg = 9810 kgm−2 s−2
Hydrostatischer Druck
Der hydrostatische Druck ist die Summe von äusserem Druck Pa und Schweredruck
Ps (Druck am Boden eines Gefässes) p = Pa + ρ hg.
Kompression von Flüssigkeiten
Wird auf eine Flüssigkeit mit einem Stempel ein Druck ausgeübt, dann verringert
38
sie ihr Volumen von V auf V − ∆V . Das Kompressionsmodul K ist ein Maß
für den Widerstand gegen die Volumenänderung.
∆p
K=−
∆V /V
1
Kompressibilität ist der Kehrwert des Kompressionsmoduls κ =
K
In Flüssigkeiten oder festen Körpern mit konstanter Dichte nimmt der Druck mit
der Höhe linear zu. Die Ursache ist die geringe Kompressibilität. Da Gase leicht
komprimierbar sind führt der Schweredruck zu einer Verdichtung der Gase und die
obigen Betrachtungen gelten nicht mehr.
Versuch # 1375: Hydraulische Presse
Kräfte Transformation
Wird der Flüssigkeitsspiegel im dünnen Rohr mit Querschnitt A2 um h2 gesenkt,
dann hebt sich der Flüssigkeitsspiegel im dicken Rohr mit Querschnitt A1 um h1 .
Für eine inkompressible Flüssigkeit gilt V = A1 h1 = A2 h2 .
Überall in der Presse herrscht der gleiche Druck, deshalb gilt:
F1
F2
gleicher Druck in beiden Stempeln p =
=
A1
A2
A2
und damit Kraftverstärkung F2 =
F1
A1
Die Wege stellen sich so ein, dass auf beiden Seiten die gleiche Arbeit dW = pdV
verrichtet wird.
A1
Verhältnis der Wegverkürzung ds2 =
ds1
A2
Versuch #1375: Hydraulische Presse
Kompression von Gasen
Infolge der hohen Kompressibilität ist die Dichte in Gasen druckabhängig. Das ist
39
der entscheidende Unterschied zu den anderen Aggregatzuständen.
p
ρ(p) = ρ0
p0
Die Druckzunahme bedingt durch das Gewicht einer Luftsäule der Höhe dh und
des Querschnitt 1, unter Berücksichtigung der vom Druck abhängigen Dichte ρ(p)
liefert.
p
dp = − ρ0 gdh
p0
dp
ρ0
daraus folgt die DGL
= − gdh
p
p0
ρ0
−(
gh)
deren Lösung die barometrische Höhenformel ist: p(h) = p0 e p0
Den Verlauf des Luftdrucks in Abhängigkeit von der Höhe über der Erdoberfläche
beschreibt die barometrische Höhenformel.
Versuch #1350: Magdeburger Halbkugeln
Auftrieb
Taucht ein Körper in eine im Schwerefeld der Erde befindliche Flüssigkeit, dann
wirken auf ihn an allen Seiten die der Tiefe entsprechenden Druckkräfte. Die Kräfte
aus den Drücken auf die Seitenflächen heben sich gegeneinander auf, es bleibt aber
eine Differenz zwischen den Kräften an der Grund- und an der Deckfläche.
Die resultierende Kraft wird als Auftrieb bezeichnet.
Druckkraft auf die Decke in Tiefe h1 ist F1 = ρF l gh1 A
Druckkraft auf die Decke in Tiefe h2 ist F2 = ρF l gh2 A
Dabei gilt das Archimedische Prinzip: Der Auftrieb eines Körpers ist gleich dem
Gewicht der von ihm verdrängten Flüssigkeit.
Auftriebskraft FA = F2 − F1 = ρF l g(h2 − h1 )A = ρF l VK g
Schwimmen, schweben oder sinken
Ob ein Körper schwimmt, schwebt oder sinkt hängt vom Verhältnis der Dichten von
Körper und Flüssigkeit ab:
Masse des Körpers mK = ρK VK
Masse der verdrängten Flüssigkeit mverdrängt = ρF l Vverdrängt
Wenn die Dichte des Körpers kleiner ist als die der verdrängten Flüssigkeit, dann
schwimmt der Körper. Er sinkt soweit ein, bis die Masse der verdrängten Flüssigkeit
seiner Masse entspricht.
für ρK < ρF l gilt mK = ρK VK = ρF l Vverdrängt = mverdrängt
40
ρK
Vverdrängt =
VK
ρF l
für ρK ≥ ρF l Körper schwebt (=) oder sinkt (>).
Taucht man einen Körper mit bekanntem Gewicht in eine Flüssigkeit bekannter
Dichte, dann kann man aus seiner Gewichtsabnahme seine Dichte bestimmen.
3.1.2 Oberflächenspannung
Die Teilchen an der Oberfläche einer Flüssigkeit können sich ohne Energieaufwand
verschieben, bis jedes im Gleichgewicht der Kräfte ist. Die Kräfte zum Nachbarn
sind, abhängig von seiner Art und seinem Abstand, anziehend oder abstoßend. Im
Schwerefeld wirkt zusätzlich die Schwerkraft. Jede Verschiebung der Teilchen aus
ihrer Gleichgewichtslage erfordert Energie, deshalb zeigt die Oberfläche die Gestalt
geringster Energie. Größenordnung und Richtung der Kräfte können am Modell der
Kugelpackung veranschaulicht werden.
anschaulich:
im Inneren der
Flüssigkeit
neu enstandene
Oberfläche
Im Inneren der Flüssigkeit ist jedes Teilchen von 12 Nachbarn umgeben. Bei Teilchen
an der Oberfläche fallen 3 dieser Nachbarn weg. Wird die Oberfläche vergrößert,
dann werden mehr Teilchen an die Oberfläche gebracht, jedes von ihnen muß sich
von der Bindung an 3 Nachbarn lösen. Zur Vergrößerung der Oberfläche muß deshalb die Energie zur Lösung der 3 Bindungen aufgebracht werden. Oberflächen
sind also immer Minimalflächen.
Versuch # 1436: Oberflächenspannung Rasierklinge
Die Oberflächenspannung σ0 ist als die Arbeit definiert, mit der die Oberfläche
um 1cm2 vergrößert werden kann ∆W = σ0 ∆A
Auf ein Oberflächenmolekül wirkt eine Kraft (F ), die ins Innere der Flüssigkeit
gerichtet ist. Die Summe dieser Kräfte tritt als Oberflächenspannung in Erscheinung.
41
3.2 Strömende Flüssigkeiten
Während zur Beschreibung eines Körpers bei gleichförmiger Bewegung ein einziger
Vektor für den Impuls oder Drehimpuls genügt, beschreibt man die Strömung im
Bild der Massenpunkte mit individuellen Bahnen für jeden Massenpunkt und individuellen Geschwindigkeiten für jeden Punkt der Bahn. Man nennt die Bahn eines
Massenpunktes Stromfaden. Die Gesamtheit der Vektoren für die Geschwindigkeiten
an allen Punkten der Bahn eines Massenpunktes formen die Stromlinie. Wenn
Stromfäden und Stromlinien nicht von der Zeit abhängen, dann zeigen beide das
gleiche Bild und die Strömung heisst stationär.
Die wichtigste Grundlage der Strömungslehre ist die Forderung nach Erhaltung der
Stoffmenge: Was in ein System eintritt, tritt auch wieder aus.
Es ist bemerkenswert, daß in Strömungen von Gasen mit Geschwindigkeiten unterhalb der Schallgeschwindigkeit auch Gase als inkompressibel behandelt werden
können, weil sie überall annähernd die gleiche Dichte zeigen.
3.2.1 Ideale Strömungen
Die Idealisierung bezieht sich auf fehlende Reibung sowohl innerhalb des Mediums
als auch zwischen Medium und Wänden. Auch ein Gas kann in diesem Sinn eine
ideale Flüssigkeit sein.
3.2.2 Reale Strömungen
Anstelle der idealen Flüssigkeiten tritt jetzt ein reales Medium, bei dem innere Reibungsverluste auftreten können. Im Bild der laminaren Strömung gleiten benachbarte Schichten des Mediums nur unter Kraftaufwand aufeinander ab.
Versuch #1470: Strömungsbilder in Stromfädenwanne
Versuch # 1465: Strömungsbilder im Strömungstrog
42
Abhängig von der Form des Körpers
laminare Strömung: Geschwindigkeit klein, innere Reibung groß , Reibung mit
Wänden klein
turbulente Strömung: Geschwindigkeit groß , innere Reibung klein, Reibung mit
Wänden groß
Versuch # 1510: Laminare und turbulente Strömung
Kontinuitätsgleichung
Wir nehmen eine ideale Flüssigkeit an. Durch jede Querschnittsfläche im Rohr muß
in derselben Zeit die gleiche Flüssigkeit strömen.
dV = ρ1 A1 ds1 = ρ2 A2 ds2
A1 v1 ∆t ρ1 = A2 v2 ∆t ρ2
Kontinuitätsgleichung für inkompressible Flüssigkeit ρ1 = ρ2 ⇒ A1 v1 = A2 v2
Verengt sich das Volumen, dann beschreibt die Kontinuitätsgleichung die sich ändernde
Flußgeschwindigkeit: Die gleiche Stoffmenge wird transportiert, indem die Flußgeschwindigkeit v1 im weiten Rohr mit Querschnitt A1 kleiner ist als v2 im engen Rohr
mit Querschnitt A2 .
Bernoulligleichung
Fliesst ein Medium reibungsfrei von einem Rohr grossen Durchmessers in ein Rohr
kleineren Durchmessers, dann erhöht sich die Transportgeschwindigkeit. Betrachtet
man ein Volumenelement des Mediums, dann erhöht sich dessen kinetische Energie. Dieser Energiezuwachs ist gleich der Arbeit zum Verschieben des Mediums
43
zwischen den Rohren, in denen unterschiedliche Drücke herrschen. Aus Energieerhaltungssatz und die Kontinuitätsgleichung folgt der quantitative Zusammenhang
zwischen Druck und Transportgeschwindigkeit, formuliert in der Bernoulligleichung.
Kontinuitätsgleichung für inkompressible Medien dV = ds1 A1 = ds2 A2
Differenz zwischen den kinetischen Energien in beiden Rohren
1
1
dW = mν22 − mν12
2
2
Differenz zwischen den Arbeiten zur Verschiebung der Stempel mit Flächen
F1
F2
A1 ds1 −
A2 ds2 = (p1 − p2 )dV
dW = F1 ds1 − F2 ds2 =
A1
A2
Energieerhaltung: Beide Differenzen sind gleich, mit m = ρdV
1
⇒ Bernoulligleichung ρdV (v22 − v12 ) = (p1 − p2 )dV
2
Versuch # 1450: Strömung durch eine Taille
Die Steigrohre zeigen den niedrigen Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt,
als hohe Strömungsgeschwindigkeit im Vergleich zum hohen Druck im Rohr mit
großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit.
Spezialfall: Bernoulli Gleichung für Druck p0 bei Strömungsgeschwindigkeit 0
1
und pv bei Geschwindigkeit v ist p0 − pv = ρv 2
2
Unterhalb der Schallgeschwindigkeit ist die Dichte des strömenden Mediums praktisch überall konstant. Deshalb erlaubt die Bernoulligleichung, die Geschwindigkeit
der Strömung aus zwei Druckmessungen zu ermitteln.
44
Laminare Strömungen → keine Verwirblung
Gleiten die einzelnen Flüssigkeitsschichten (sogenannte Laminate) mit verschiedenen Geschwindigkeiten übereinander ohne sich zu vermischen, nennt man die Strömung laminar. Vergleiche dazu das gleiten von Papierbögen auf einem Papierstoss. Die einzelnen Laminate reiben aneinander. Für viele Flüssigkeiten ist die
notwendige Reibungskraft proportional zur Oberfläche A der einzelnen Laminate
und zum Geschwindigkeitsgefälle dv/dx.
Den Proportionalitätsfaktor nennt man (dynamische) Viskosität der Flüssigkeit η.
Ns
Einheit 1 2 = 10 P (Poise)
m
3.2.3 Viskosität und Reibung
Viskoser Impulstransport
Viskoser Impulstransport einer Strömung zwischen einer bewegten und einer unbewegten Platte:
Der Plattenabstand sei h. Die obere Platte werde mit der Geschwindigkeit U
gegenüber der unteren bewegt. Das Experiment liefert das Ergebnis, dass die Strömung
an den Platten derart haftet, dass die Strömungsgeschwindigkeit an der oberen Platte
mit der Bewegungsgeschwindigkeit der Platte U und an der unteren (unbewegten)
gleich Null ist.
Zwischen den Platten stellt sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil ein welches
z
dem Abstand z von der unteren Platte proportional ist u(z) = U
h
∂u
FR
=η
Newton’sches Reibungsgesetz
A
∂z
mit A Fläche und η Viskosität
Reale Strömung
Dynamischer Auftrieb entsteht, wenn der Körper sich relativ zum Gas oder zur
Flüssigkeit bewegt. Die Kraft, die das Fluid (Gas oder Flüssigkeit) auf den Körper
ausübt, wird üblicherweise in zwei Komponenten zerlegt: der Widerstandskraft FW
(wirkt in Richtung der Anströmung) und der dynamischen Auftriebskraft FA .
45
Im Gegensatz zum statischen Auftrieb ist die Richtung des dynamischen Auftriebs
nicht durch oben und unten im Sinne der Schwerkraft definiert, sondern nur dadurch,
wie Körper und Strömung zueinander orientiert sind. Dennoch nennt man ihn auch
dynamischen Abtrieb, wenn er in Richtung der Gewichtskraft wirkt, also entgegengesetzt zum statischen Auftrieb. Beispiel sind Tragflächen eines Flugzeugs
Venturi-Effekt: Wenn die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids zunimmt, geht
der Druck zurück.
Angewendet auf das Beispiel einer Tragfläche eines Flugzeugs bedeutet dies, daß
die Luft auf der Oberseite der Tragfläche sich schneller bewegt als darunter und
entsprechend der Luftdruck auf der Oberseite geringer ist. Der Luftdruckunterschied führt zu einer nach oben gerichteten resultierenden Kraft (dynamischer Auftrieb).
Magnus-Effekt: Ein fliegender Ball führe eine lineare Bewegung innerhalb eines
Fluids (der Luft) aus und rotiere dabei. Seine Flugbahn wird zu der Seite hin abgelenkt, auf der der Körper sich mit der Strömung (also entgegen der Flugrichtung)
dreht: Auf dieser Seite umströmt die Luftschicht den Ball schneller, es entsteht also
ein Unterdruck. Die Drehung gegen die Luftströmung auf der anderen Seite bewirkt, dass die Luft abgebremst wird, hier entsteht ein Überdruck. Der Druckunterschied ist Ursache der Querkraft. Der Ball weicht damit seitlich von der normalen
Flugbahn ab. Zur Stabilisierung der Flugbahn muss der Ball in Rotation parallel zur
Flugbahn versetzt werden (und es erfolgt keine resultierende Querkraft).
Versuch # 1505: Magnus Effekt
Versuch # 1485: Geschwindigkeitsprofil einer zähen Flüssigkeit
3.2.4 Strömung durch ein Rohr
Strömt eine Flüssigkeit durch ein Rohr, dann muß die Reibungskraft von der Druckkraft aufgebracht werden.
dv
Es war die Reibungskraft bei einer laminarer Strömung FR = ηA
dr
Die Druckkraft auf die Deckfläche des Zylinders mit Radius r um den Reibungswiderstand zwischen dem Zylindermantel mit diesem Radius und dessen Nachbarschicht
zu überwinden, ist F = πr2 (p1 − p2 )
bei einer Fläche des Zylindermantels der Länge l ist A = 2πrl
46
Reibungs- und Druckkraft werden gleichgesetzt −η2πrl
DGL dv = −
dv
= πr2 (p1 − p2 )
dr
p1 − p2
rdr
2ηl
Es resultiert ein parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil v(r) = v0 −
p1 − p2 2
r
4ηl
Versuch # 1486: Hagen-Poiseuilesches Gesetz
Hagen-Poiseuilesches Gesetz
Definition der Volumenstromstärke I =
dV
dt
Fluß durch einen Kreisring mit Radius r und Dicke dr in der Zeit dt ist dV =
2πrdrv(r)dt
ZR
I=
2πrv(r)dr mit v(r) = v0 −
0
folgt I = 2π

p1 − p2 
4ηl
ZR
p1 − p2 2
p1 − p2 2
r und v0 =
R
4ηl
4ηl
ZR
r3 dr und I =
R2 rdr −
0

π(p1 − p2 ) 4
R
8ηl
0
Es ist eines der wenigen physikalischen Gesetze, in denen die vierte Potenz einer
Größe vorkommt: Die Volumenstromstärke nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu.
Strömungswiderstand
Wie bei allen Reibungsverlusten wird die zur Strömung aufgebrachte Energie in
Wärme umgewandelt. Analog zu elektrischen Stromkreisen ordnet man den Transportweg bei der Strömung einen Strömungswiderstand zu, wobei der elektrischen
Spannung der Druck entspricht.
∆p
Definition des Strömungswiderstands I =
R
47
Ns
m5
X
Hintereinanderschaltung Rgesamt =
Ri
Einheit 1
i
Parallelschaltung
1
Rgesamt
=
X 1
Ri
i
Reynolds Zahl
Nach dem weiteren Erhöhen der Fliessgeschwindigkeit tritt plötzlich turbulente
Strömung auf. Dies ist der Fall, wenn die Reibungskraft gross wird. Ein Mass für
den Übergang von laminarer Strömung zu turbulenter Strömung ist gegeben durch
die Reynolds Zahl
ρvo l
Re =
η
für die Bewegung eines Körpers der Länge l mit Geschwindigkeit vo im Medium
mit Dichte ρ und Viskosität η.
Die Reynoldsche Zahl ist der Quotient zwischen der Arbeit zur Beschleunigung des
Stapels mit Höhe der Grenzschichtdicke und der Arbeit gegen die Reibungskraft
für einen Körper, dessen Linearausdehnung gleich der Grenzschichtdicke ist. Für
jeden Körper gibt es einen Wert, bei dessen Überschreitung die laminare Strömung
abreisst und in turbulente Strömung übergeht: Re >1200 in glatten Rohren, Re >1
für Kugeln.
3.2.5 Wirbel
Wird die Strömung so stark, dass sich Wirbel bilden, wird die mittlere Geschwindigkeit
hinter einem Objekt grösser sein als vor dem Objekt, dass heisst, der Druck wird
hinter dem Objekt kleiner sein.
Versuch # 1500: Tischtennisball im Luftstrom
Widerstandsbeiwert
Auf einen umströmten Körper wirkt eine Druckkraft FRN in Richtung der Strömung.
48
Diese Kraft ist proportional zur Querschnittsfläche A senkrecht zur Strömungsrichtung (Kugel: a = r2 π), dem Staudruck und zum Widerstandsbeiwert cw , der im
Bereich laminarer Strömung von der Form abhängt.
FRN = cw A
ρ v2
2
Die Konstant cw hängt von der Form des Gegenstands ab. Der Widerstandsbeiwert wird üblicherweise im Windkanal ermittelt. Für cw erhält man experimentell
etwa die folgenden Werte:
cw
Objekt
1.4
Fallschirm
0.8
Lkw
0.7
Motorrad, unverkleidet
0.5
Cabrio offen, Motorrad verkleidet
0.30
moderner, geschlossener PKW
0.20
optimal gestaltetes Fahrzeug
0.08
Tragflügel beim Flugzeug
Es bilden sich Wirbel, wenn innerhalb eines Fluids ein ausreichend großer Geschwindigkeitsgradient entsteht. Das heißt, dass ein Teil der Flüssigkeit deutlich schneller
fließt, als der Rest. In Wirbeln wird Energie dissipiert, d. h. meist, dass ein wirbelndes Fluid sich erwärmt.
Die Ausbildung von Wirbeln in Flüssigkeiten und Gasen bei längeren Zeiten entsteht
durch innere Reibung oder durch Reibung an einem Hindernis. Für kurze Zeiten,
also zum Beginn der Strömung, entstehen symmetrische Wirbel an einem Hindernis
(sogenannte Anfahrwirbel). Für lange Zeiten bildet sich ein Strahl hinter dem Hindernis, der durch eine Trennungsschicht von der ruhenden Umgebung abgegrenzt
ist.
49
4 Thermodynamik
4.1 Grundlagen
Die Wärmelehre befaßt sich mit der Mechanik eines Systems mit sehr vielen Teilchen.
Im Prinzip kann man für viele Massenpunkte, die mit ihren Nachbarn in Wechselwirkung stehen, alle Bewegungsgleichungen aufschreiben. Mit Berücksichtigung
der Impuls- und Energieer-haltung erhält man ein System gekoppelter Gleichungen, die man mit großem, aber verfügba-rem Rechenaufwand lösen kann.
Mikroskopisch: Statistische Mechanik
Makroskopisch: Wärmelehre
In der Wärmelehre ist der Zustand eines Systems durch die Anzahl der Teilchen,
die Tempe-ratur, den Druck und das Volumen gegeben. Alle diese Größen zeigen
für ein Ensemble aus vielen Teilchen konstante Mittelwerte, die den Zustand eines
Gases beschreiben und Grund-lage für die Gasgesetze sind. Die unterschiedlichen
Arten der Energiezufuhr sind das Thema der beiden Hauptsätze der Wärmelehre,
die Verteilung der Energie wird im Abschnitt zur kinetischen Gastheorie diskutiert.
Einzelne Atome
Homogene Substanz
Newton’sche Mechanik
Thermodynamik
N = Anzahl der Atome
ν = Zahl der Mole
m = Masse eines Atoms
p = Druck
v Geschwindigkeit 1 Atoms
T = Temperatur
V = Volumen
V = Volumen
4.1.1 Stoffmenge, Avogadrogesetz
Das Avogadrogesetz lautet: “Gleiche Volumina idealer Gase enthalten bei gleichem
Druck und gleicher Temperatur gleich viele Moleküle.”
Die Avogadro-Konstante NA = 6.022 × 1023 mol−1 gibt die Anzahl der Atome oder
Moleküle eines idealen Gases.
Soll diese Stoffmenge bei der Temperatur 273 K und einem Druck von 1024 mbar
(Normalbedingungen) in einem Kasten eingeschlossen werden, dann muss sein
Volumen 22.4 l betragen. Die Masse dieser Stoffmenge, in Gramm gemessen,
entspricht dem Molekulargewicht.
In einem Mol einer Stoffmenge befinden sich 6.022 × 1023 Atome.
Die atomare Masseneinheit ist 1u = 1.660565 × 10−24 g.
50
4.1.2 Temperatur
Die mittlere kinetische Energie Ekin pro Teilchen zeigt einen konstanten Mittelwert. Dieser ist in einem Gas ein Maß für die Temperatur T .
ma 2 3
Ekin =
ν = kT
2
2
mit Boltzmannkonstante k = 1.3807 × 10−23 J/K
SI-Einheit der Temperatur ist 1 K (Kelvin)
Achtung: Celsius Temperatur T̃ (◦ C) = [T (K) − 273.15]◦ C
z.B.: 22◦ C = 295.15 K
4.1.3 Wärme
Erhöht sich in einem Gas die Temperatur, dann erhöht sich die kinetische Energie
der Teilchen. Es gibt zwei Arten der Energiezufuhr:
1. Durch mechanische Arbeit W : (z.B. durch einen Kolben) alle Teilchen werden in gleicher Richtung, also geordnet, beschleunigt.
2. Durch Kontakt mit einem heißen Gegenstand: alle Teilchen werden in beliebige Richtung beschleunigt. Diese Form der Energiezufuhr nennt man Zufuhr einer Wärmemenge Q
Q = c m (T1 − T2 ) mit c spezifischer Wärme
SI-Einheit der Wärme ist das Joule (J): 1 J = 1 Nm
Versuch # 4025: Spezifische Wärme einiger Metalle
4.1.4 Spezifische Wärme
Wird den Teilchen eines Körpers durch Zufuhr von Wärme Energie zugeführt, dann
erhöht sich die Temperatur proportional zur zugeführeten Wärme
∆Q
C
=
→ Spezifische Wärme c =
m
∆T m
∆Q
Wärmekapazität C =
∆T
51
Bei Gasen kann die Wärmezufuhr entweder bei konstantem Druck oder bei konstantem Volumen erfolgen. Bei konstantem Druck wird zusätzlich die Arbeit für
die Volumenänderung aufgebracht. Man unterscheidet deshalb:
Spezifische Wärme bei konstantem Druck cp
Spezifische Wärme bei konstantem Volumen cV
Quotient der spezifischen Wärme, “Abiabatengleichung”
cp
(1.2 < κ < 1.7)
κ=
cV
Eine Kalorie (1 cal) ist die Wärmemenge Q, die 1 g Wasser von 14.5◦ C auf 15.5◦ C
erwärmt. 1 cal = 4.184 J
4.2 Das ideale Gas
Das Modell des idealen Gases macht die folgenden Annahmen:
1. Punktteilchen = Die Atome oder Moleküle haben kein eigenes Volumen.
2. Es gibt keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen.
3. Stöße untereinander und mit den Wänden sind elastisch.
Entsprechend gibt es die Zustandsgrößen: Volumen V , Druck p, (absolute) Temperatur T und Anzahl der Atome oder Moleküle N .
Diese liefern die Zustandsgleichung des idealen Gases pV = ν RT = N k T
ν Anzahl Mole
R = 8.314510 J/(Mol K) Gaskonstante
k = R/N0 = 1.380658 ·10−23 J/K die Boltzmannkonstante
Versuch # 4015: Druck eines Modellgases
4.2.1 Spezialfälle der idealen Gasgleichung
Aus der allgemeinen idealen Gasgleichung lassen sich Spezialfälle ableiten, die
historisch als eigenständige gesetzte formuliert wurden:
a) Gesetz von Boyle und Mariotte (N = konst. und T = konst.)
p1 V1 = p2 V2
52
b) Gesetz von Gay Lussac (für eine beliebige Gasmenge gilt:)
p1
p2
V1
V2
=
oder
=
T1
T2
T1
T2
4.2.2 Geschwindigkeitsverteilung
Versuch # 4017: Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung
In einem idealen Gas bewegen sich nicht alle Gasteilchen mit der gleichen Geschwindigkeit,
sondern statistisch verteilt mit verschiedenen Geschwindigkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit w, dass ein Gasteilchen eine Geschwindigkeit zwischen v1
Zv2
und v2 besitzt ist w =
f (v) dv
v1
mit der maxwellscher Geschwindigkeitsverteilung
r ³ ´
¸
·
2 m 3/2 2
1 m v2
v exp −
f (v) =
π kT
2 kT
Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vw , also die Geschwindigkeit am Maximum, ist
r
2 kT
vw =
m
Mit steigender Temperatur T nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit zu und
die Verteilung wird gleichzeitig breiter.
Mit steigender Teilchenmasse m hingegen nimmt die mittlere Geschwindigkeit ab
und die Geschwindigkeitsverteilung wird gleichzeitig schmaler.
m(H2 ) = 2 u; m(N2 ) = 28 u; m(Cl2 ) = 71 u
4.2.3 Brown’sche Bewegung
Versuch # 4010: Brown’sche Molekularbewegung
Die Brown’sche Bewegung ist Folge der unregelmäßigen Stöße der sich ständig
bewegenden Atome und Moleküle. Es ist also die thermisch getriebene Eigenbewegung von Teilchen.
Sichtbare Partikel werden ständig von den viel kleineren und daher optisch unsichtbaren Molekülen der Flüssigkeit bzw. des Gases angestoßen und so gewissermaßen
herum geschubst. Die Anzahl, Stärke und Richtung der stoßenden Moleküle ändern
sich ständig und so resultiert insgesamt eine zufällige zick-zack-förmige Bewegung.
53
4.3 Zustandsänderungen
Bei Zustandsänderungen, zum Beispiel von Gasen, wird das thermodynamische
System von einem Zustand in einen anderen Zustand überführt.
Die innere Energie U ist eine eindeutige Funktion der Zustandsvariablen.
4.3.1 1. Hauptsatz der Thermodynamik
Die Zufuhr von mechnischer Energie ∆W oder einer Wärmemenge ∆q erhöht die
innere Energie U eines Körpers. Es gilt: ∆U = ∆q + ∆W
Ein positives Vorzeichen bedeutet, dass dem System Energie zugeführt wird.
Ideales Gas:
Beim idealen Gas ist die Temperatur proportional zur inneren Energie, weil die
Translationsbewegungen die einzigen Freiheitsgrade sind. Die ganze innere Energie steckt beim idealen Gas in der kinetischen Energie der Teilchen, deshalb sind
Änderungen der inneren Energie als Temperaturänderungen messbar.
3 RT
U=
2
Innere Energie = kinetische Energie der Teilchen Ekin = mv 2 /2
Änderungen der inneren Energie ∆U = Temperaturveränderung ∆T .
Im Gegensatz dazu wird z. B. im Festkörper beim Schmelzen die durch Wärme
zugeführte Energie für das Lösen von Bindungen benötigt, in diesem Fall ändert
sich die innere Energie auch ohne Temperaturerhöhung.
4.3.2 Isotherme Zustandsänderung
Isotherm: konstante Temperatur, also konstante innere Energie: ∆T = 0; ∆U = 0
Zur Berechnung der Volumenarbeit betrachten wir die Kompression und Expansion
eines idealen Gases bei konstanter Temperatur anhand des p-V Diagramms. Die
Volumenänderung soll reversibel erfolgen, d.h. so langsam, dass das System immer
im Gleichgewicht bleibt. Das Wärmebad und der Prozess haben immer die gleiche
Temperatur. Bei der isothermen Komprimierung des Gases wird mit dem Kolben
folgende Arbeit geleistet:
δA = −F ds = −pA ds = −p dV
54
Bei einer Verkleinerung des Volumens wird am System Arbeit geleistet. Wird das
Volumen von V1 auf V2 verkleinert, muss die Arbeit
ZV2
A12 = −
p(V ) dV
V1
geleistet werden. Dies entspricht gerade der Fläche unter der Kurve des p-V Diagramms.
Als Beispiel betrachten wir die Komprimierung eines idealen Gases unter VerwenV2
dung der Gasgleichung Q12 = −A12 = v RT ln
V1
ZV2
ZV2
1
A12 = −
p(V ) dV = −v RT
dV
V
V1
V1
V1
V2
In Übereinstimmung mit der Vorzeichenkonvention ist A12 positiv. Es wird am
System Arbeit geleistet.
= −v RT (ln V2 − ln V1 ) = v RT ln
4.3.3 Adiabatische Zustandsänderung
Versuch # 4195: Adiabatische Entspannung
Versuch # 1420: Adiabatische Kompression
Adiabatisch: ohne Wärmezufuhr ∆Q = 0
Wir betrachten jetzt die Kompression eines Gases unter der Bedingung, dass keine
Wärme mit der Umgebung ausgetauscht werden kann. Das kann erreicht werden,
indem der Prozess sehr rasch ausgeführt wird, und/oder in dem das System von der
Umgebung isoliert wird.
55
Nach dem ersten Hauptsatz und da die gesamte Arbeit zur Erhöhung der inneren
Energie verwendet wird ist ∆U = −p∆V . Da U unabhängig von V ist, erhöht sich
also die Temperatur des Gases um ∆U = νCV ∆T = CV ∆T Für ein Mol ν = 1
eines idealen Gases.
Es folgt CV ∆T = −p∆V
RT
folgt CV ∆T
und mit Hilfe der Zustandsgleichung p =
= VR ∆V
T
V
ZT
ZV
R
1
1
dT = −
dV
T
CV
V
T0
V0
µ ¶ CR
V0 V
T
Es folgt die Adiabatengleichung
=
T0
V
und in Schreibweise mit dem Adiabatenexponenten κ = Cp /CV
und R/CV = (Cp − CV )/CV = κ − 1 folgt
µ ¶κ−1
V0
T = T0
V
4.3.4 Isochore Zustandsänderung
Isochor: konstantes Volumen ∆V = 0
Es findet die Temperaturänderung des Gasgemisches bei konstantem Volumen statt.
Die zugeführte Wärme leistet keine Arbeit, sie erhöht nur die innere Energie und
damit die Temperatur.
∆Q = CV ∆T und ∆U = ∆Q
56
4.3.5 Isobare Zustandsänderung
Isobar: konstanter Druck ∆p = 0
Bei Erwärmung (oder Abkühlung) eines Gases wird der Druck konstant gehalten.
Die zugeführte Wärme erhöht die innere Energie und das Volumen. Ein Teil der
thermischen Energie wird also in Arbeit verwandelt.
∆Q = Cp ∆T und ∆U = ∆Q − p0 ∆V
Verschiedene Zustandsänderungen unter Kontanz einer Zustandsgröße → Darstellung in Diagramm (z.B. pV ).
57
4.4 Wärmekraftmaschinen
Wärmekraftmaschinen sind zyklisch laufende Maschinen, in denen Wärmeenergie
in mechanische Arbeit umgewandelt wird. Bei jedem Zyklus wird ein Kreisprozeß
durchlaufen.
Kreisprozeß durchläuft ein System mehrerer Zustände und kehrt wieder zum Ausgangszustand (p1 , V1 , T1 ) zurück.
Ob dabei Arbeit verrichtet oder aufgenommen wird, hängt von der Umlaufrichtung
ab. Der Betrag der Arbeit ergibt sich aus der durch den Graphen eingeschlossenen
Fläche.
An einer idealisierten Wärmekraftmaschine mit einem idealen Gas als Arbeitsmittel
läßt sich der Kreisprozess in 4 einzelne Wegstücke zerlegen, die jeweils eindeutig
einer der oben genannten Zustandsänderungen entsprechen. Die Schwungscheibe
dient als Speicher für die mechanische Arbeit. Sie nimmt vom Gas mechanische
Energie auf, wenn sich der Kolben abwärts bewegt und gibt mechanische Energie
an das Gas ab, bewegt sich der Kolben aufwärts.
4.4.1 Carnotsche Kreisprozeß
Die Maschine nach Carnot ist ein Arbeit leistender Zweitaktmotor, bei dem sich ein
Kolben in einem mit idealem Gas gefüllten Zylinder bewegt. Der Zylinder wird im
Laufe eines Zyklus abwechselnd von außen geheizt, thermisch isoliert, von außen
gekühlt, thermisch isoliert und dann wieder geheizt.
Die Idealisierung im Carnot-Prozess liegt vor allem darin, daß die Isothermen,
mit gutem Wärmeübertrag zur Heizung bzw. Kühlung, an den Ecken 2 und 4
des folgenden Diagramms unmittelbar in Aiabaten münden, die schlagartig einen
voll gegen Wärmeübertrag isolierten Zylinder erfordern. Das ist technisch nur
annähernd realisierbar.
Das Schwungrad sollte man sich als Rad mit einem Gewicht vorstellen, das bei
abwärts laufendem Kolben von 1 nach 3 gegen die Schwerkraft angehoben wird
58
und dessen Lageenergie genügt, um den Kolben gegen den Kompressionswiderstand von 3 nach 1 aufwärts zu treiben. Im Arbeitstakt 1-2 wir zusätzlich Arbeit
nach außen abgegeben, z. B. kann ein Gewicht angehoben werden.
1 nach 2: isotherme Expansion (Wärmezufuhr, der Kolben treibt das Schwungrad
an)
2 nach 3: adiabatische Expansion (Innere Energie nimmt ab, der Kolben treibt das
Schwungrad an)
3 nach 4: isotherme Kompression (Wärmeabtransport, das Schwungrad treibt den
Kolben hoch)
4 nach 1: adiabatische Kompression (Innere Energie nimmt zu, das Schwungrad
treibt den Kolben hoch)
Wir möchten jetzt die Frage beantworten, wieviel Arbeit wir mit Hilfe eines reversiblen Kreisprozesses maximal gewinnen können. Dazu betrachten wir den von
S. Carnot vorgeschlagenen Kreisprozess für ein Mol (ν = 1) eines idealen Gases.
von Maschine abgegebene
Arbeit
V2
V1
= −CV (T1 − T2 )
von Wärmebad
Wärme
A12 = −RT1 ln
Q12 = RT1 ln
A23
Q23 = 0
V3
V4
= CV (T1 − T2 )
bezogene
V2
V1
A34 = RT2 ln
Q34 = −RT2 ln
A41
Q41 = 0
V3
V4
Punkte 2 und 3 sowie 4 und 1 liegen je auf der gleichen Adiabate
59
V2
V3
=
V1
V4
Bilanz des Kreisprozesses:
∆A = A12 + A23 + A34 + A41 = −RT1 ln
V2
V2
+ RT2 ln
V1
V1
V2
<0
V1
Die Arbeit hat ein negatives Vorzeichen, weil sie nach aussen abgegeben wird.
= −R (T1 − T2 ) ln
∆Q = Q12 + Q23 + Q34 + Q41
V2
V2
V2
− RT2 ln
= R (T1 − T2 ) ln
>0
= RT1 ln
V1
V1
V1
Die Wärme wird der Maschine zugeführt und hat also ein positives Vorzeichen.
Der Vergleich von verschiedenen Maschinen erfolgt über den thermischen Wirkungsgrad.
Der Wirkungsgrad ist der Quotienten aus dem Betrag der abgegebenen Arbeit und
der zugeführten Wärme Q12 :
ηC =
|∆A|
Q12 + Q34
R (T1 − T2 ) ln(V2 /V1 )
T1 − T2
=
=
=
<1
Q12
Q12
RT1 ln(V2 /V1 )
T1
Dies entspricht dem bestmöglicher Wirkungsgrad einer reversibel arbeitenden Maschine.
Je grösser die Temperaturdifferenz der Wärmereservoirs ist desto grösser ist der
Wirkungsgrad. Der Ausdruck für den Wirkungsgrad enthält nur Temperaturen.
Dies ist ein Hinweis (aber kein Beweis), dass die Arbeitssubstanz im Carnot Prozess
unwesentlich ist. Der reale Wirkungsgrad ist wesentlich kleiner, da viele irreversible Prozesse stattfinden.
Achtung, der reversible Carnot Prozess ist praktisch unbrauchbar, da für eine Reversibilität eine unendlich lange Zeit nötig ist (was für typische Maschinen nicht zu
erfüllen ist).
4.4.2 Umkehrung Carnotscher Kreisprozess
Zur Wärmeerzeugung kann man den Kreisprozess rückwärts (im Gegenuhrzeigersinn)
laufen lassen. Dieser Prozess heisst dann inverser Carnotscher Kreisprozess. Mit
diesem wird unter Zuführung von Arbeit Wärme aus der Umgebung bei einer hohen
Temperatur T2 wieder abgeben. Für diese Wärmepumpe kann man einen Pumpeffekt definieren, nämlich einen Quotienten aus erzeugter Wärme und zugeführter
Arbeit. Bei der Wärmepumpe ist die Wärmequelle die kalte Umgebung mit der
Temperatur T2 von der Wärme zur warmen Heizung des Hauses mit der Temperatur T1 transportiert wird. Die entsprechende Leistungszahl ist
∆Qwarm
Twarm
T1
1
εheizen =
=
=
=
∆A
Twarm − Tkalt
T1 − T2
ηC
60
Es gilt also für die Leistungszahl ε > 1.
Für den Kühlschrank ist die Wärmequelle das kalte Kühlschrankinnere mit der Temperatur T2 von der Wärme zur warmen umgebung des Kühlschranks mit der Temperatur T1 transportiert wird. Die entsprechende Leistungszahl ist
Tkalt
∆Qkalt
T2
εkuehlen =
=
=
= εheizen − 1
∆A
Twarm − Tkalt
T1 − T2
Eine Leistungszahl ε von 4 bedeutet, dass das Vierfache der eingesetzten elektrischen Leistung in nutzbare Wärmeleistung umgewandelt wird.
Frage: Gibt es andere Kreisprozesse?
4.4.3 Stirlingscher Kreisprozeß
Versuch # 4198: Heizluftmotor (Stirlingsche Maschine)
Anstelle von isothermen und adiabatischen Prozessen werden nur isotherme und
isochore Prozesse zugelassen.
1 nach 2:
2 nach 3:
3 nach 4:
4 nach 1:
isotherme Expansion
isochore Abkühlung
isotherme Kompression
isochore Erwärmung
Der maximale Wirkungsgrad des Stirlingscher Kreisprozeßist gleich gross ist wie
der Carnot’sche Wirkungsgrad
|∆A|
T1 − T2
ηs =
=
<1
Q12
T1
4.4.4 Stirling Motor
Dieser Motor ist auch ein Zweitakt Motor, der aber mit zwei Kolben arbeitet: Der
erste ist der Arbeitskolben, der wie bei der Carnot Maschine mit dem ”Schwungrad”
61
verbunden ist. Bei Expansion des Gases läuft er abwärts und überträgt mechanische Energie vom Gas auf das Schwungrad. Zur Kompression des Gases läuft er
aufwärts und gibt Energie vom Schwungrad an das Gas zurück. Der zweite Kolben heißt ”Verdrängerkolben” und dient nur zur Verschiebung des Gases von einem
Ort im Zylinder zu einem Ort mit anderer Temperatur, ohne änderung des Volumens, also isochor. Erfolgt die Bewegung des Gases genügend langsam, dann gibt
es keine Reibungsverluste und die Bewegung des Verdrängerkolbens erfolgt ohne
Energieaufwand.
In der Stirling Maschine wird, im Gegensatz zur Carnot Maschine, der Zylinderkopf
immer geheizt, der Zylinderboden immer gekühlt. Deshalb ist der Stirling Motor
technisch realisier-bar, wenn auch die Ansteuerung des Verdrängerkolbens kompliziert ist. Im Idealfall, wie im Schema der folgenden Abbildung, bewegt sich
der Verdrängerkolben nur dann relativ zum Arbeitskolben, wenn der Letztere im
unteren oder oberen Totpunkt angekommen ist.
4.4.5 Otto Motor
Der Otto-Kreisprozeß ist ein Gleichraumprozeß, also ein Prozess, der auf der idealisierten Annahme beruht, dass die Wärmezufuhr bei gleichbleibendem Volumen
62
(isochor) stattfindet. Dazu im Gegensatz steht der idealisierte Diesel-Prozess, bei
dem die Wärmezufuhr bei konstantem Druck (isobar) erfolgt. Beim Otto-Prozeß
sind die Temperaturen nicht sehr gut bekannt.
Es sind nur adiabatische und isochore Prozesse zulassen.
Der thermischer Wirkungsgrad ist
³ ´(κ−1)
ηO = 1 − 1/ VVab
<1
κ=
Cp
CV
Der thermische Wirkungsgrad des idealen Otto-Prozesses ist damit umso höher, je
stärker das Arbeitsmedium komprimiert wird. Er ist gleich dem Wirkungsgrad des
Joule-Prozesses. Für den realen Ottomotor wird allerdings das Verdichtungsverhältnis durch die Klopffestigkeit des Gasgemisches nach oben hin begrenzt.
4.5 Reversible und irreversible Prozesse
Reversibler Prozeß:
Ein reversibler Prozeß ermöglicht die Rückkehr zum Ausgangszustand ohne bleibende
Veränderung. Man kann sich das an einer Carnot Maschine veranschaulichen.
Voraussetzung für den reversiblen Ablauf ist, da in jedem Augenblick ein Gleichgewichtszustand erreicht wird. Die Laufrichtung könnte jederzeit umgekehrt
werden. Ideale Maschinen durchlaufen reversible Prozesse.
Irreversivbler Prozeß:
Ersetzt man die Carnot Maschine durch eine reale Maschine, dann ist der Ablauf
irreversibel, bei Umkehrung wird der Ausgangszustand nicht mehr erreicht: Das
obere Reservoir wird z.B. nicht so warm wie es war, das untere nicht mehr so kalt.
z.B. ideale Maschine ηirrv < ηC
63
4.6 2. Hauptsatz der Thermodynamik
Um Wärme von einem Ort tiefer Temperatur zu einem höherer Temperatur zu
transportieren, muß äußere Arbeit geleistet werden = alle Naturvorgänge sind irrversible!
Versuch # 4166: Handwärmer
Die Energie eines Systems ist ohne Einwirkung von aussen konstant. Dies ist keine
Aussage darüber, welcher von vielen möglichen Zustaänden für das System verwirklicht ist, da alle die gleiche Energie haben (Makrozustände).
4.6.1 Entropie
Die Entropie S ist eine Maßzahl für den Zustand eines thermodynamischen Systems, mit der man reversibel und irreversibel ablaufende Prozesse unterscheiden
kann. Entropie ist eine Zustandsfunktion, die jedem Punkt der p, V, T − Fläche,
zum Beispiel eines idealen Gases, zugeordnete werden kann.
Die Entropie ist proportional zum Logarithmus der Wahrscheinlichkeit eines Zustands P (Wahrscheinlichkeit ein physikalisches System in einem Zustand zu finden).
Je wahrscheinlicher der Zustand (je grösser P), desto grösser die Entropie.
Entropie S = kB ln(P )
Statistische Interpretation der Entropie:
Wir nehmen N Moleküle und 2 Zustände. Es sei n1 die Zahl der Moleküle in
Zustand 1 und n2 die Zahl der Moleküle im Zustand 2, mit Teilchenzahlerhaltung
N = n1 + n2 .
Damit ist die Wahrscheinlichkeit P = n1N!n!2 !
und mit der Stirlig Formel für grosse N gilt ln(N !) = N ln(N ) − N
berechnet sich P , die Zahl der Mikrozustände. Es sind alle Mikrozustände gleich
wahrscheinlich.
64
Die Zahl der Mikrozustände zu einem Makrozustand ist ein quantitatives Mass für
den Grad der Unordnung dieses Zustandes und der wahrscheinlichster Makrozustand ist durch die meisten Mikrozustände realisiert.
Die Entropie ist also ein Maß für die Ordnung bzw. Unordnung eines Systems.
Die Entropie S ist eine thermodynamische Zustandsfunktion, die wie Temperatur
T , Volumen V und Druck p den Zustand eines Systems beschreibt.
Z
Z
dQrev
ausgetauschte Wärme
Entropieänderung ∆S =
=
T
Temperatur
SI-Einheit der Entropie ist J/K.
Beispiel: freie Expansion eines Gases vom Volumen V0 auf 2V0
Beispiel: Wärmekontakt: 2 Körper mit gleicher Masse m und gleicher spezifischer
Wärme c, aber unterschiedlicher Temperature T1 > T2 im Wärmekontakt
Entropieänderung Körper 1,2
µ
¶
Z TM
Z
TM
dT
dQrev
∆S1,2 =
= cm
= cm ln
,
T
T
T1,2
T1,2
mit Mischtemperatur TM =
T1 +T2
2
µ
Entropieänderung Gesamtsystem ∆S = ∆S1 + ∆S2 = cm ln
2
TM
T1 T2
¶
>0
Entropie nimmt zu
2. Hauptsatz der Thermodynamik
Für ein abgeschlossenes System nimmt die Entropie bei irreversiblen Prozessen zu
und bleibt bei reversiblen Prozessen konstant, ∆S ≥ 0
Der 2. Hauptsatz definiert eine Richtung der Zeitachse: Auf der Zeitachse kann
man sich nur in Richtung höherer Entropie bewegen.
65
Wärmetod des Universums:
Irgendwann wird universelles Gleichgewicht im wahrsten Sinne des Wortes, und
damit maximale Unordnung erreicht sein. Nichts wird sich mehr ändern - das Universum hat den Wärmetod erlitten.
4.6.2 Entropie des idealen Gases
Entropieänderung
dQ
dU
p dV
dT
dV
dS =
=
+
= v CV
+vR
T
T
T
T
V
wegen 1. Hauptsatz ∆U = ∆Q − p∆V
und idealer Gasgleichung pV = v RT = N k T
für konstantes CV liefert die Integration mit Anfangszustand i und Endzustand f
Vf
Tf
+ v R ln
∆S = Sf − Si = v CV ln
Ti
Vi
4.6.3 Mischungsentropie
Additivität der Entropie
2 statistisch unabhängige Systeme mit Entropien S1 und S2 haben Gesamtentropie
S = S1 + S2
Mischungsentropie: 2 verschiedene Gase mit N1 Molekülen der Sorte 1 und N2
Molekülen der Sorte 2, mit N1 /V1 = N2 /V2
Sm = kB N1 ln
N1 + N2
N1 + N2
+ kB N2 ln
N1
N2
Versuch # 4130: Experimente mit flüssiger Luft
4.6.4 Temperaturnullpunkt
3. Hauptsatz der Thermodynamik
Es ist prinzipiell unmöglich, den absoluten Temperaturnullpunkt (0 Kelvin) zu erreichen.
⇒ Der thermodynamische Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt ist ein
Zustand maximaler Ordnung, der nur eine Realisierungsmöglichkeit mit Wahrscheinlichkeit 1 hat.
Nernstsches Theorem
lim S(T ) = 0
T →0
66
4.6.5 Enthalpie
H keine neue Grösse, sondern nur Kombination bekannter Grössen (U, p, V )
H = U + pV
Motivation: isobarer Prozess (p = konst.) in einem geschlossenen System (n =
konst.)
differentielle Änderung der Enthalpie dH = dU + pdV + V dp = dU + pdV
mit 1. Hauptsatz ist dH = dQ − pdV + pdV = dQ
U, p und V sind Zustandsgrössen, darum auch H eine Zustandsgrösse
Versuch # 4160: Regelation von Eis
4.7 Das reale Gas
Im Gegensatz zu idealen Gasen zeigen die Teilchen der realen Gase eine Ausdehnung. Für ihre Bewegung in einem gegebenen Volumen steht ihnen deshalb
nur ein um ihr eigenes Volumen kleinerer Raum zur Verfügung. Außerdem ziehen
sich reale Teilchen mit der van der Waals Kraft an. Diese ist zwar von nur kurzer
Reichweite, beeinflußt aber doch merklich die Dynamik der Teilchen. Beide Effekte
sind in der van der Waalschen Zustandsgleichung für reale Gase berücksichtigt.
van der Waalsche
Zustandsgleichung für reale Gase
µ
¶
a
p+ 2
· (Vmol − b) = vR · T
Vmol
a ist der “Binnendruck” durch Wechselwirkung der Teilchen mit der SI-Einheit [bar
m 6 mol −2 ]
b ist das “Van der Waalsches Kovolumen” und beträgt etwa das 4-fache des Eigenvolumens der darin enthaltenen Moleküle mit der SI-Einheit [m 3 mol −1 ]
Für niedere Drücke und hohe Temperaturen geht diese Gleichung in die ideale Gasgleichung über.
4.7.1 Van der Waals Gas
Der Verlauf von Isothermen (T = konst.) in einem P (V )-Diagramm hängt von
der Art des verwendeten Gases ab (Stoffkonstanten a, b in der van-der-WaalsGleichung).
Vergleichen wir die Van-der-Waals-Isothermen und die Isothermen des idealen Gases
miteinander, so gilt: Je höher die Temperatur, desto größer ist die übereinstimmung.
Für Temperaturen unterhalb und in der Nähe der kritischen Temperatur Tk dagegen
67
liegen die beiden Isothermen an völlig unterschiedlichen Stellen: Zu gegebenem
Volumen ist der Druck bei den VdW-Isothermen i.a. kleiner als beim idealen Gas
(als Konsequenz der attraktiven Wechselwirkung). Dies gilt jedoch nicht für sehr
kleine Volumina (wenn die VdW-Zustandsgleichung eine Flüssigkeit beschreibt):
Dann übersteigt der Druck der VdW-Isotherme denjenigen des idealen Gases.
An der positiven Steigung der Kurven in einigen Bereichen erkennt man, daß die
VdW-Gleichung nicht für alle Werte von (p,V) eine zulässige Zustandsgleichung
eines Stoffes darstellt.
Maxwell-Konstruktion
A,D exemplarisch die Grenzen des Zweiphasengebietes
B,C sind Punkte mit horizontalen Tangenten
Die Größe des Dampfdruckes zu einer gegebenen Temperatur (also die Lage des
horizontalen Geradenstücks AD in der Isothermen) erhält man nach der sogenannten Maxwell-Konstruktion: Die Flächen zwischen Isotherme und Horizontale oberund unterhalb der Horizontalen müssen gleich groß sein.
Versuch # 4188: Zustandsflächen
Konstruktion eines Phasendiagramms aus den Zustandsflächen
4.8 Phasendiagramme
Das Phasendiagramm ist ein Hilfsmittel für die Veranschaulichung von Zuständen
und deren zugehörigen Phasen. Die Diagramme enthalten einige Kurven, die Bereiche unterschiedlicher Phasen, beziehungsweise hier auch Aggregatzustände, voneinander abgrenzen. Diese Kurven, die man als Phasengrenzlinien bezeichnet, stellen die
Mischbereiche dieser Phasen dar. Unter den durch sie gegebenen Bedingungen stehen folglich mehrere Phasen im thermodynamischen Gleichgewicht. Die Linien
68
werden als Siedepunktskurve (zwischen Tripelpunkt und kritischem Punkt, Phasengrenze flüssig/gasförmig), Sublimationsdruckkurve (zwischen Nullpunkt und Tripelpunkt,
Phasengrenze fest/gasförmig), sowie Schmelzdruckkurve (Phasengrenze fest/flüssig)
bezeichnet. Siedepunkts- und Sublimationsdruckkurve können hierbei auch zur
Dampfdruckkurve zusammengefasst werden.
Änderung von Druck p oder Temperatur T ändert den Aggregatzustand.
4.8.1 Wasser
Der Fall des Wassers, dargestellt im unteren Phasendiagramm, ist besonders entscheidend für das Verständnis der Dynamik innerhalb der Atmosphäre und damit des
Wetters in Bezug auf die Luftfeuchtigkeit bzw. den Wasserdampf. Das Phasendiagramm des Wassers ist aufgrund dessen und seiner Bedeutung für viele Bereiche das
am weitesten verbreitete Phasendiagramm und weist zudem eine wichtige Besonderheit auf. Die Anomalie des Wassers führt dazu, dass im Phasendiagramm des
Wassers eine Besonderheit zu beobachten ist, die es nur mit wenigen anderen Stoffen gemein hat. Die Schmelzdruckkurve weicht nach links ab, befindet sich also
bei niedrigeren Temperaturwerten als im Tripelpunkt. Dies ist ungewöhnlich und
führt letztendlich dazu, dass Eis auf Wasser schwimmen kann, folglich auch eine
geringere Dichte besitzt und leichter ist als das umgebende Wasser. Diese Anomalie resultiert aus den physikalischen Eigenschaften der Wassermoleküle und den
dadurch bedingten Wasserstoffbrückenbindungen.
69
Der Siedepunkt von Wasser leigt bei 100◦ C. Der Gefrierpunkt von Wasser liegt bei
0◦ C.
Versuch # 4030: Sieden an der Grenze zweier Flüssigkeiten
Übergang flüssig-gasförmig
Flüssig-gasförmig: sieden, gasförmig-flüssig: kondensieren
Beginn der Phasenumwandlungen bedarf Keime
z.B. Keime lösen die CO2 Bläschen im Bier- und Sektglas aus.
Physik: Blasenkammer (Wege ionisierender Teilchen sichtbar).
Umgekehrt Kondensationskeime: an diesen bilden sich im Gas Nebeltröpfchen unterhalb der Siedetemperatur.
Beispiel: Geysir
Durch die Flüssigkeitssäule im Steigrohr lastet ein Druck auf dem Wasser im Glaskolben. Erst wenn der Dampfdruck des Wassers größer ist als der durch die Wassersäule
verursachte Druck, kommt es zum Sieden des Wassers und damit zur Blasenbildung
im Innern der Flüssigkeit. Da die Wasserdampfblasen aber sehr schnell ein erheblich größeres Volumen einnehmen und den ganzen Rohrquerschnitt beanspruchen,
drücken sie die Wassersäule nach oben und es kommt zum Ausbruch des Geysirs.
Durch die Auffangwanne läuft das abgekühlte Wasser zurück in Kolben und Steigrohr
und der Prozess beginnt von vorne.
Bei konstanter Wärmezufuhr läuft der Prozess periodisch ab, da sich jeweils die gleiche Wassermenge im Kolben befindet, etwa gleich viel Wasser bei einem Ausbruch
abgekühlt wird usw.
Würde man das Steigrohr nicht mit Wasser füllen, so würde der Geysir nicht ausbrechen, weil der überdruck dann nicht aufgebaut wird.
70
4.8.2 Lösungen
Eine Lösung ist eine homogene Mischphase, bei der von einer Komponente nur so
wenig vorhanden ist, dass deren feinverteilte Partikel untereinander keine Verbindung
haben
erste Komponente = Lösungsmittel
zweite Komponente = gelöste Substanz
Versuch # 4085: Diffusion von Modellgas
Gase in Gasen
Der Gesamtdruck einer Gasmischung ist die Summe aller Partialdrucke der Gaskomponenten:
P
Daltonsches Partialdruckgesetz pges = i pi
Der Partialdruck einer Komponente ist der Druck, den diese Komponente ausüben
würde, befände sie sich alleine mit der gleichen Teilchenzahl im Behälter.
Im Bild der Gaskinetik ist das leicht verständlich, denn der Druck ist der in einer
Zeiteinheit übertragene Impuls auf die Wand. Die Impulsüberträge der einzelnen
Teilchensorten sind voneinander unabhängig und additiv.
n m v2
n m v2
p1 = 1 31 1 und p2 = 2 32 2
Der Sättigungsdampfdruck ps (T ) ist der Gleichgewichtsdruck über der Flüssigkeit:
Es gehen gleich viele Teilchen von der Gasphase in die Flüssigkeit über wie umgekehrt.
pH2O
Der Partialdruck des Wasserdampfes in Luft (relative Luftfeuchte) ist fr =
ps (T )
Versuch # 4185: Siedepunktserhöhung
Feste Stoffe in Flüssigkeiten
Raoult-Gesetz: relative Erniedrigung des Dampfdrucks des Lösungsmittels gleich
dem Molenbruch des gelösten Stoffes
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Dampfdruckerniedrigung bewirkt eine Siedepunktserhöhung ∆TS = Kb b und eine
Gefrierpunktserniedrigung ∆TG = Kf b mit Kb,f Konstanten und b = n(X)/mL
als Molalität der Lösung, also die Stoffmenge der Substanz X in mol bezogen auf
die Masse des Lösungsmittels in kg.
Kolligative Eigenschaften
Kolligative Eigenschaft einer Lösung hängt von der Anzahl und nicht von der Natur
der Teilchen in der Lösung ab! Dies erfordert eine Wechselwirkungsfreiheit zwischen den gelösten Teilchen und den Lösemittel- teilchen. Voraussetzung ist also
eine stark verdünnte, ideale Lösung.
P
Allgemein
Xbeobachtbare kolligative Variable Θ für ein Volumen V mit i ni Molekülen
Θ = kVl
ni
i
kl
Θ
nach Einführung der massenbezogenen Konzentration c = NA
c
m
für unendlich verdünnte Lösungen c → ∞
Beispiele: Siedepunktserhöhung, Schmelzpunktserniedrigung, Dampfdruckerniedrigung, Osmotischer Druck
Versuch # 4095: Osmose
Osmose
Osmose ist die einseitig gerichtete (= selektive) Diffusion eines Lösungsmittels
durch ein semipermeables Medium. Dabei diffundiert das Lösungsmittel von Bereichen mit niedrigerer Konzentration des gelösten Stoffes in Bereiche mit höherer
Konzentration des gelösten Stoffes. Das semipermeable (besser: selektiv permeable) Medium ist für das Lösungsmittel durchlässig, nicht aber für den gelösten
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Stoff.
Die Osmose verläuft immer so, dass ein osmotischer Druck entsteht. Teilchen des
Lösungsmittels diffundieren aus der Lösung geringerer Konzentration (hypotonische Lösung) in die Lösung höherer Konzentration (hypertonische Lösung), so dass
sich die Konzentrationen einander angleichen (isotonische Lösungen). Die Volumina der Lösungen verändern sich hingegen, so dass beim Erreichen des osmotischen Gleichgewichts alle durch die semipermeablen Membranen getrennten Lösungen die gleiche Konzentration haben, aber evtl. ein größeres oder kleineres Volumen
als zuvor.
Osmotischer Druck
Vant Hoffsches Gesetz ΠV = νstof f RT
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