Strukturen in der Welt der Quanten

Strukturen in der Welt der Quanten
Werner Vogel
Universität Rostock
Inhalt
• Historische Vorbemerkungen
• Nichtklassische Zustände
• Messung von Quantenzuständen
• Nichtklassische Strukturen
• Die Struktur des Photons
• Atome in Fallen
• Quanten-Verschränkung
Historische Vorbemerkungen
M. Planck (1900, NPP 1918):
Quantenhypothese
Theoretische Erklärung der Strahlung
schwarzer Körper:
Wandatome geben Energie in
Quanten ab:
E = hν = ~ω,
~ = h/2π,
ω = 2πν,
h : Planck’sches Wirkungsquantum,
ν : Frequenz des Oszillators
Historische Vorbemerkungen
A. Einstein (1905, NPP 1921):
Lichtquanten-Hypothese
Theoretische Erklärung des
photoelektrischen Effektes
Verbindung von Wellen- und
Teilchennatur des Lichtes:
Photon-Energie: E = ~ω,
Photon-Impuls: p = ~k,
k: Wellenzahlvektor
Photon
←→
harmonischer Oszillator
Historische Vorbemerkungen
Klassischer Oszillator: Pendel für α ¿ 1
Auslenkung:
x(t) = l sin(α) cos(ωt) ≈ lα cos(ωt)
Impuls:
p(t) = m dx(t)
dt ≈ −mωlα sin(ωt)
Dimensionslose Beschreibung:
x(t) → Re{α(t)},
α(t) = αe−iωt
p(t) → Im{α(t)}
Historische Vorbemerkungen
Beschreibung im Phasenraum:
Klass. Physik: Zustand A. Sommerfeld (1916)
∼
des Phasenintegrals:
= Punkt im Phasenraum Quantisierung
H
pdx = nh + c
Historische Vorbemerkungen
W. Heisenberg (1925, NPP 1932):
Matrizenmechanik
Ort und Impuls als Matrizen:
x → xij ,
p → pij
⇒ Deutung der Atomspektren
Allgemeiner: Operatoren im Hilbertraum x → x̂, p → p̂
Multiplikation nicht-kommutativ:
[x̂, p̂] ≡ x̂p̂ − p̂x̂ 6= 0
Unschärferelation:
¯
¯
∆x∆p ≥ ¯ 2i1 h[x̂, p̂]i¯ = 1
⇒ Ort und Impuls nicht gleichzeitig scharf messbar
Historische Vorbemerkungen
E. Schrödinger (1926, NPP 1933):
Wellenmechanik
Impuls als Differentialoperator:
x → x,
Wellenfunktion:
p→
~ d
i dx
ψ(x, t)
Aufenthalts-Wahrscheinlichkeitsdichte:
p(x, t) = |ψ(x, t)|2
Wellengleichung für Materiewellen:
·
¸
dψ(x, t)
~2 d2
i~
= −
+ V (x) ψ(x, t)
dt
2m dx2
Superpositionsprinzip: ψ1 und ψ2 sind Lösungen
⇒ ψ = ψ1 + ψ2 ist auch Lösung
Nichtklassische Zustände
R. J. Glauber (1963, NPP 2005):
Quanten-Analogon des Oszillators
Operator â = (x̂ + ip̂)/2
Kohärente Zustände |αi:
â|αi = α|αi
⇒ überabzählbar
⇒ nicht-orthogonal
Nichtklassische Zustände
Gequetschte Zustände:
⇒ Verträglich mit Unschärferelation!
Fragen:
• Gibt es klassisches Analogon?
• Was bedeutet “Abziehen des Grundzustands-Rauschens”?
• Struktur solcher Zustände im Phasenraum?
Nichtklassische Zustände
Gemisch und Superposition kohärenter Zustände:
Statistisches Gemisch: ρ̂kl = p1|α1ihα1| + p2|α2ihα2|
⇒ klassische Eigenschaften!
√
√
Superposition: |ψi = p1|α1i + eiϕ p2|α2i
Quanteninterferenz: ohne klassisches Analogon
√
ρ̂ = |ψihψ| = ρ̂kl + ( p1p2eiϕ|α2ihα1| + H.c.)
⇒ scharfe Strukturen (vgl. zum Grundzustand)
Nichtklassische Zustände
Allgemeines klassisches Gemisch:
Z
X
ρ̂kl =
pi|αiihαi| ⇒ d2αPkl(α)|αihα|
i
Pkl(α): klassische Wahrscheinlichkeitsdichte
Allgemeiner Quantenzustand [Sudarshan, Glauber (1963)]:
Z
ρ̂ = d2αP (α)|αihα|
P (α) ∼
= Quasi-Wahrscheinlichkeit (signiertes Maß)
Mittelwerte formal wie in klass. Wahrscheinlichkeitstheorie
Quanten-Interferenz: P (α) negativ, teilweise stark singulär!
Def.: Zustand nichtklassisch:
P (α) 6= Pkl(α)
Nichtklassische Zustände
Alternative Phasenraumverteilungen:
Wigner-Funktion:
W (α)
Faltung mit Grundzustandsrauschen
⇒
negativ aber regulär
Q Funktion:
Q(α)
Faltung mit 2×Grundzustandsrauschen
⇒
nicht-negativ und regulär
Folgerungen:
• P Funktion: Negativitäten ⇔ Quanteninterferenzen
• Schwierigkeit: Singularitäten
• Negativitäten gehen in W / Q teilweise/ ganz verloren!
Messung von Quantenzuständen
Homodyne Tomografie:
p(x) = |Ψ(x)|2 → keine Phaseninformation!
Messung von Quantenzuständen
Tomografische Bestimmung des Zustandes:
• Quadratur-Verteilung:
Z
1
p(x, ϕ) =
dk e−ikx G(k, ϕ),
2π
­
®
G(k, ϕ) = eikx̂ϕ , x̂ϕ = âeiϕ + â†e−iϕ
• Wignerfunktion:
1
W (α) = 2
π
Z
2
dβe
−α∗ β+αβ ∗
D †
E
â β−âβ ∗
e
⇒ Darstellung des Zustandes ρ̂ im Phasenraum
(z.B. inverse Radon Transformation)
⇒ Messung von p(x, ϕ) für 0 ≤ ϕ < π
Messung von Quantenzuständen
Experiment:
[Smithey, Beck, Raymer, Faridani (1993)]
→ gequetschter Vakuumzustand
Messung von Quantenzuständen
Rekonstruierte Wignerfunktion:
Theorie: singuläre P Funktion
V x − Vp
P (α) = exp −
8
·
µ
∂2
∂2
Vx + V p − 2 ∂ ∂
+
−2
2
∗2
∂α
∂α
Vx − Vp ∂α ∂α∗
¶¸
δ(α)
Nichtklassische Strukturen
P (α) singulär, aber: Φ(α) = FT[P (α)] regulär
Nichtklassisch ⇔ Verletzung des Bochner-Theorems (1933)
[W. Vogel (2000)]
∃α : |Φ(α)| > 1
Beispiele:
|
⇔
∃k, ϕ : |G(k, ϕ)| > Ggr(k)
|n = 4i und |αi+ ∼ (|αi + | − αi)
|
⇒ scharfe Strukturen in p(x, ϕ) ⇒ Quanten-Interferenzen!
Nichtklassische Strukturen
Photon-Vakuum Gemisch:
ρ̂ = η|1ih1| + (1 − η)|0ih0|
[A.I. Lvovsky and J.H. Shapiro (2002)]
Nichtklassische Strukturen
Photon auf thermischem Hintergrund:
ρ̂ = N â†ρ̂thâ
[Zavatta, Parigi and Bellini (2007)]
(a) Nichtklassizität erster Ordnung
(b) Nichtklassizität höherer Ordnung [s. Richter, Vogel (2002)]
Die Struktur des Photons
Existieren Photonen wirklich? [J. Opt. Soc. Am. (1976/77)]
Die Struktur des Photons
Erste Demonstration von nichtklassischem Licht
Photonen Anti-Klumpung:
[Kimble, Dagenais, and Mandel (1977)]
C
Nachweis der Quantennatur:
keine (bzw. wenig) gleichzeitige Koinzidenzen
Die Struktur des Photons
Strahlungsquelle: Resonanzfluoreszenz
von Atomstrahl mit geringer atomarer Dichte
⇒ Ein Atom emittiert einzelne Photonen!
Die Struktur des Photons
Experimentelle Daten: [Kimble, Dagenais, and Mandel (1977)]
Die Struktur des Photons
Struktur eines Photons im Phasenraum
Glauber-Sudarshan P Funktion:
µ
¶
∂ ∂
P (α) = 1 +
δ(α)
∂α ∂α∗
⇒ Ableitungen der singulären δ-Distribution!
Ausweg: thermische Strahlung (mittlere Photonenzahl n̄)
1 −|α|2/n̄
e
πn̄
Wie modifiziert ein Photon die thermische Strahlung?
ρ̂th
↔
P (α) =
ρ̂ = N â†ρ̂thâ
⇒ Struktur des Photons: Modifikation der Gauß-Verteilung!
Zustand des Photons: ρ̂ Photon = limn̄→0 ρ̂
Die Struktur des Photons
Erste experimentelle Realisierung: P Funktion mit
Negativitäten [Kiesel, Vogel, Zavatta, Parigi and Bellini (2008)]
Atome in Fallen
Ion in Quadrupolfalle
x3
x1
⇒ W. Paul (NPP 1989)
Ionen in Fallen
Effekte der quantisierten Bewegung in Falle
[W. Vogel and R.L. de Matos Filho (1995)]
|2i
Potential
k=2
Lichtwelle
|1i
⇒ Nichtlineare Kopplung (exakt lösbar):
Ĥint = 21 ~ΩL|2ih1| âk fˆ(n̂) + H.c.
⇒ Abhängigkeit von Schwingungsbesetzung
Ionen in Fallen
Nichtlineare kohärente Zustände: Q Funktion
[R.L. de Matos Filho and W. Vogel (1996)]
Ionen in Fallen
Drei-Quanten Prozeß [S. Wallentowitz, W. Vogel, P.L. Knight (1999)]
Sir Peter L. Knight,
Imperial College, London
Ionen in Fallen
Verallgemeinerte Zustände minimaler Unschärfe:
[S. Shchukin, T. Kiesel, W. Vogel (2009)]
Minimale Unschärfe für allgemeine Observable F̂ , Ĝ:
q
q
∆F < |h[F̂ , Ĝ]i/2i, ∆G > |h[F̂ , Ĝ]i/2i
Quanten-Verschränkung
Frühe Studien zur Verschränkung:
• EPR Paradoxon [Einstein, Podolsky, Rosen (1935)]
• Schrödinger’s Katze [Schrödinger (1935)]
Heute: Schlüssel-Resource für neue Gebiete:
Quanten-Information, -Kommunikation, -Technologie
Definition: Ein Zustand %̂ ist verschränkt:
[R. F. Werner (1989)]
%̂ 6= σ̂ :
σ̂ ≡
+∞
X
(n)
pn %̂1
⊗
(n)
%̂2
(pn > 0,
X
n
n=0
Mittelwerte mit separablen Zustände σ̂
⇒ klassische Korrelationen:
X
hÂ1 ⊗ B̂2i =
pnhÂ1i(n)hB̂2i(n)
n
pn = 1)
Quanten-Verschränkung
Peres Bedingung: Partielle Transposition (PT) [A. Peres (1996)]
X
(n)
(n)T
PT
σ̂ =
pn%̂1 ⊗ %̂2 ≥ 0
n
PT-basierte Tests [E. Shchukin and W. Vogel (2005)]
∀ %̂PT mit negativen Eigenwerten ∃ Ŵ = (fˆ†fˆ)PT
tr(%̂Ŵ ) < 0
Negative Quasi-Wahrscheinlichkeiten:
[J. Sperling and W. Vogel (2009)]
Z
%̂ =
dPEnt(a, b)|aiha| ⊗ |bihb|
Verschränkung ⇔ ∀ PEnt ∃ a, b : PEnt(a, b) < 0
⇒ optimale Darstellung?
⇒ gebunde Verschränkung?
mit: