1 Aufgaben: Spezielle Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Ein Elektrokonzern stellt Halogenlampen mit einer durchschnittlichen Lebensdauer von
800 Stunden und einer Standardabweichung von 40 Stunden her. Die Lebensdauer sei eine
normalverteilte Zufallsvariable. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Halogenlampe
eine Lebensdauer zwischen 778 und 834 Stunden hat?
Lösg: 0,511
In der industriellen Herstellung ist der Durchmesser von Metallkugeln für Kugellager
eine wichtige Größe. Eine Firma soll Metallkugeln mit einem Durchmesser von d = 3 [cm]
herstellen. Die Messungen des Durchmessers von mehreren hergestellten Metallkugeln
dieser Firma ergab eine Normalverteilungen mit dem Mittelwert
= 3 [cm] und der
Standardabweichung
= 0,005 [cm]. Ein Käufer setzt voraus, dass der Durchmesser der
Metallkugeln höchsten 0,01 [cm] abweichen darf (d = 3 ± 0,01 [cm] ). D.h. Kugeln, deren
Durchmesser eine größere Abweichung als 0,01 [cm] aufweisen, sollen weggeworfen
werden. Wie groß ist der Anteil der Kugeln in einer Bestellung des Käufers, die
weggeworfen werden sollen?
Lösg: 4,56%
Bei einer Getränkeabfüllanlage ist die Füllmenge von Flaschen eine normalverteilte
Zufallsvariable mit der Standarbweichung = 0,04 [lit] . Wenn der Inhalt von 2% der
Flaschen geringer als 4 [lit] ist, wie groß ist der Mittelwert
der Füllmenge für die Flaschen?
Lösg: µ = 4,082 [lit]
! Ein Soft-Drink-Automat ist so reguliert, dass er durchschnittlich jeden Becher mit 200
[ml] (Milliliter) Getränke füllt. Die Standardabweichung ist = 15 [ml] Die Füllmenge wird
durch eine Normalverteilung beschrieben.
Welcher Anteil der Becher werden mit mehr als 224 [ml] Getränke abgefüllt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge eines Bechers zwischen 191 und
209 [ml] beträgt?
Wie viele Becher werden überfüllt, wenn 1000 Bechern mit jeweils einem
Fassungsvermögen von 230 [ml] verwendet werden?
" Wie groß muss das Fassungsvermögen jedes Bechers gewählt werden, damit weniger
als 1% der Becher überfüllt werden?
Lösg: a) 0,0548
b) 0,4514
c) 23 Becher
d) 234,9 [ml]
# Der Durchmesser X von serienmäßig hergestellten Kugeln sei normalverteilt. Durch
zwei Siebe, die jeweils Löcher mit einem Durchmesser von 69 [mm] bzw. 72 [mm] besitzen,
ließ man die Kugeln fallen. 30,86% der Kugeln fielen durch das erste Sieb. Dagegen wurden
15,87% der Kugeln vom zweiten Sieb aufgehalten. Bestimmen Sie aus diesem Experiment
die Schätzwerte für
und
Lösg:
= 70 [mm] , σ = 2 [mm]
1
$
%
f(x)
f(x)
x
0
0
µ
x
µ
f(x)
= 0,04
2%
0
4
X
[Liter]
x
µ
f(x)
0.25
σ = 15
P ( x1
X
f(x)
0.2
0.15
x2 )
0.1
30,86%
15,87%
0.05
0
191
µ = 200
209
x
x
0
65
69 70 72
75
x80
2
&'
()
Die Lebensdauer T (in Stunden) von Dioden eines Herstellers sei eine
exponentiellverteilte Zufallsvariable. Die mittlere Lebensdauer dieser Dioden beträgt
µ = 200 Stunden [h].
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer einer Diode höchstens 200
[h] beträgt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer einer Diode mindesten 300
[h] beträgt?
Bestimmen Sie die Lebensdauerzeit, so dass die Wahrscheinlichkeit für
Lebensdauerzeiten weniger als diese Zeit 0,5 beträgt. (Median)
" Lösg: a) 0,6321 b) 0,2231
c) 138,6294 [h]
*% "
()
Für die Produktion von Bildschirmen hat eine Firma Flüssigkristallanzeigen (LCD) bei
zwei verschiedenen Herstellern A bzw. B bestellt. Die Lebensdauer der LCDs sei eine
normalverteilte Zufallsvariable. Die mittlere Lebensdauer der LCDs vom Hersteller A bzw.
B sind µ A = 6,2 [Jahre] bzw. µ B = 6,0 [Jahre] und die Standardabweichungen betragen
σ A = 0,4 [Jahre] bzw. σ B = 0,3 [Jahre].
$ %
Die Lebensdauern der LCDs der beiden Hersteller dürfen als unabhängig
voneinander betrachtet werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer eines LCDs vom
Hersteller A im Vergleich zu der vom Hersteller B größer als ein Jahr ist?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer eines LCDs vom
Hersteller B im Vergleich zu der vom Hersteller A größer als ein Jahr ist?
Lösg: a) 0,0548
b) 0,008
Eine Maschine produziert Bolzen, deren Durchmesser normalverteilt ist mit dem
Mittelwert µ X = 9,8 [mm] und der Standardabweichung σ X = 0,1 [mm]. Eine andere
Maschine stellt Buchsen her, deren Durchmesser normalverteilt sind mit dem Mittelwert
µ Y = 10,0 [mm] und der Standardabweichung σ Y = 0,08 [mm].
$ %
Die beiden Durchmessern dürfen als unabhängig
voneinander betrachtet werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine beliebig
ausgewählte Buchse passt?
Lösg: 0,9406
3
$
%
f(t)
t 0 ) =F ( t 0 ) = 0,5
P(T
t0= ?
f(w)
t
σW = σ ²X + σ ²Y
0 µW = 0,2
w0 = 1
Die Lebensdauer X von A ist
normalverteilt und die Lebensdauer Y
von B ist ebenfalls normalverteilt.
Somit ist nach dem Additionssatz der
Normalverteilung die Summe oder die
Differenz der Lebensdauern der
beiden auch normalverteilt.
w
µW = µX – µY
σW = σ ²X + σ ²Y
f(w)
w0 = 0
µW = 0,2
µW = µY – µX
w
Der Durchmesser X der Bolzen ist
normalverteilt und der Innendurchmesser Y
der Buchsen ist ebenfalls normalverteilt.
Somit sind nach dem Additionssatz der
Normalverteilung die Summe oder die
Differenz der Durchmessern der beiden
auch normalverteilt. Ein Bolzen passt dann,
wenn Y > X ist, d.h., es muss gelten:
W= Y – X>0
4
Erwartungswert und Varianz für die Differenz zweier Zufallsvariablen Y_und X__
Nach den Sätzen für die Kennwerte von Wahrscheinlichkeitsverteilungen für mehrerer
Zufallsvariablen gelten folgende Sätze: (s. Kapitel: Wahrscheinlichkeitsverteilungen)
Satz 1)
Für den Erwartungswert der Summe von zwei Zufallsvariablen X und Y gilt:
=
µ X+Y
µX
+
µY
Bemerkung: Dabei ist egal , ob X und Y unabhängig oder abhängig sind.
Satz 3)
Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Dann gilt für die Varianz der Summe von X
und Y :
σ ² X+Y = σ ² X + σ ² Y
Bemerkung: Für die Standardabweichung gilt: σ
=
X +Y
( σ X2
+ σ Y2
)
Satz 5)
Sei X eine Zufallsvariable und seien a und b beliebige reelle Zahlen und g( X ) = a X + b
eine Zufallsvariable. Dann gilt
für den Erwartungswert :
µ g(X)
und für die Varianz :
σ ² g(X)
=
=
a·µX
+ b
a²·σ²X
Formeln für den Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable W = Y – X_
Wir setzen X = – X (In diesem Fall ist X = g( X ) = – X mit a = – 1 und b = 0)
Also folgt aus Satz-5:
µ
σ
X*
2
X*
( − 1) ⋅ µ X + 0
=
=
( − 1 ) 2 σ X2
=
=
−µX
σ X2
Folglich erhält für den Erwartungswert von W = Y – X nach Satz -1:
µ
Y +X*
= µY + µ
X*
µY − X = µY − µ X
Und für die Varianz von W = Y – X erhält man aus Satz -3:
σ
2
Y +X*
= σ Y2 + σ
2
X*
σ Y2 − X = σ Y2 + σ X2
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