2. wahrscheinlichkeitsrechnung

Folien zur Vorlesung
Statistik für Prozesswissenschaften
(Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung)
U. Römisch
http://www.tu-berlin.de/fak3/staff/roemisch/homepage1.html
2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung liefert mathematische
Modelle der Gesetzmäßigkeiten von Zufallserscheinungen.
Es werden solche Experimente betrachtet, deren Ergebnisse
einen zufälligen Ausgang haben, so genannte zufällige
Versuche.
2.1. Zufällige Ereignisse, Ereignisfeld
Begriffe und Definitionen:
Def.: Ein zufälliges Ereignis ist ein Ereignis, das bei
einem Versuch, bei dem bestimmte Bedingungen
("Ursachenkomplex") eingehalten werden, eintreten
kann, aber nicht notwendig eintreten muss. Es ist das
Ergebnis eines zufälligen Versuches.
Bez.: A,B,C,...,A1,B1,...
Bsp. 1: Würfeln mit einem idealen Würfel und Beobachtung
der geworfenen Augenzahl (zuf. Versuch)
● zufällige Ereignisse sind:
- Ai := "Augenzahl i wird gewürfelt, i=1,...,6 ",
- aber auch: A7:= "Eine gerade Augenzahl wird
gewürfelt"
Nur eine Zahl wird tatsächlich gewürfelt, alle übrigen nicht.
Begriffe: - Elementarereignis:
Elementarereignisse lassen sich nicht weiter in
zufällige Ereignisse zerlegen.
Bez.: ei ; i=1,...,n
Bsp.1: ei := "Würfeln der Augenzahl i, i=1,...,6 "
- Zusammengesetzte Ereignisse:
lassen sich weiter in zufällige Ereignisse zerlegen.
Bez.: Ai, Bi,... ; i=1,...,n
Bsp.1: A7 := "Würfeln einer geraden Zahl"
= {e2,e4,e6}
Def.: Die Menge E (oder: Ω) heißt Menge der zu einem
zufälligen Versuch gehörenden Elementarereignisse,
wenn jedem Versuchsausgang genau ein Element
dieser Menge E entspricht.
Bsp.1: E = {e1,...,e6}
⇒ Schlussfolgerung: Methoden der Mengenlehre könnten
anwendbar sein!
Def.: Ein zufälliges Ereignis A ist eine Teilmenge der
Menge E der Elementarereignisse, d.h. A ⊆ E .
Betrachten wir zunächst zuf. Ereignisse, die als Grenzfälle
angesehen werden können:
Def.: Sichere Ereignisse sind dadurch gekennzeichnet,
dass sie unter den Bedingungen, die den betrachteten
Versuch kennzeichnen, eintreten müssen. Sie bilden
die Teilmenge von E, die alle Elementarereignisse
enthält.
Bez.: S oder E
Bsp.1: E: = "Es wird eine Zahl zwischen 1 und 6 gewürfelt"
= {e1,...,e6}
Def.: Unmögliche Ereignisse sind dadurch charakterisiert,
dass sie nicht eintreten können. Sie sind die Teilmenge,
die kein Elementarereignis enthält.
Bez.: U oder Ø.
Bsp.1: Ø := "Es wird eine '0' gewürfelt!"
Relationen und Operationen zwischen zufälligen
Ereignissen:
Def.: Ein zufälliges Ereignis A ist genau dann in dem
zufälligen Ereignis B enthalten, wenn alle Elementarereignisse, die zu A gehören, auch zu B gehören.
D.h.: Wenn A eintritt, dann tritt auch B ein.
Bez.: A ⊆ B
Bsp.1: Würfeln mit 1 Würfel:
A2 ⊆ A7
Bem.: Für ein beliebiges zufälliges Ereignis A gilt immer:
Ø ⊆ A ⊆E
Def.: Zwei zuf. Ereignisse A und B heißen äquivalent (gleich),
wenn sowohl das Ereignis A in B enthalten ist ( A ⊆ B ),
als auch das Ereignis B in A enthalten ist (B ⊆ A ) .
Bez.: A = B
Def.: Sind A und B zuf. Ereignisse, so verstehen wir unter
der Summe von A und B (Vereinigung, Disjunktion)
das Ereignis, das genau die Elementarereignisse
enthält, die zu A oder zu B gehören.
E
A ∪B
Bez.:
Bsp.1: A 1 ∪ A 7 = {e1, e 2 , e 4 , e 6 }
A
B
Verallgemeinerung:
A1, ... , An sind zuf. Ereignisse. Die Summe der Ai (i = 1, ... , n)
ist das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn mindestens
eines der Ereignisse Ai eintritt.
n
Bez.: A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n = U A i
i =1
6
Bsp.1: U
i= 1
A
i
= E
Def.: Sind A und B zuf. Ereignisse, so verstehen wir unter
dem Produkt von A und B (Durchschnitt, Konjunktion)
das Ereignis, das genau die Elementarereignisse
enthält, die zu A und zu B gehören.
E
A ∩B
Bez.:
A
B
Bsp.1: A 1 ∩ A 7 = ∅
Verallgemeinerung:
A1, ... , An sind zuf. Ereignisse. Das Produkt der Ai ist das
Ereignis, das genau dann eintritt, wenn jedes der Ereignisse
Ai (i = 1, ... , n) eintritt.
n
Bez.:
A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n = I A i
i =1
6
Bsp.1:
IA
i=1
i
= ∅
Def.: Zwei zufällige Ereignisse A und B heißen miteinander
unvereinbar (unverträglich), wenn sie keine
gemeinsamen Elementarereignisse besitzen. (D.h.
wenn A und B nicht gleichzeitig eintreten können!)
Bez.: A ∩ B = ∅
Bsp.1: A1 ∩ A7= ∅
Def.: Ist A ein zufälliges Ereignis, so nennen wir das Ereignis,
das genau die Elementarereignisse enthält, die nicht zu
A gehören, das zu A komplementäre (oder entgegengesetzte) Ereignis.
Bez.:
A
Bsp.1: A 7 = {1,3,5}
Offensichtlich gelten folgende Aussagen:
•
A ∪ A = E,
• A ∩B = A ∪B
• A ∪B = A ∩B
E =∅,
A ∩ A = ∅,
Verallgem.
IA = UA
i
UA = IA
i
i
∅=E
i
de Morgan’sche
Regeln
Def.: Sind A, B zufällige Ereignisse, so verstehen wir unter
der Differenz von A und B das Ereignis, das genau
die Elementarereignisse enthält, die zu A, aber nicht
zu B gehören. (d.h. wenn A, aber nicht B eintritt!)
Bez.: A \ B
Bsp.1: A7 \ A2 = {4, 6}
E
A
B
Es gelten folgende Aussagen:
•
A
=E\A
• A ∩B = A \ B
Bem.: Für die Vereinigung und den Durchschnitt gelten die
Gesetze der Kommutativität, Assoziativität und
Distributivität.
Def.: Ereignisfeld
Eine Menge von zufälligen Ereignissen heißt
Ereignisfeld ℰ, wenn folgende Eigenschaften gelten:
1. E ∈ ℰ
2. A, B ∈ ℰ
3. A ∈ ℰ
4. Ai ∈ ℰ
(E- sicheres Ereignis)
→
→
→
A∪B∈ℰ
A ∈ℰ
∞
UA
i =1
i
∈ℰ
(i=1,2,…)
Folgerungen:
• ∅∈ℰ
• A, B ∈ ℰ →
•
∞
IA
i =1
i
∈ℰ
A∩B∈ℰ
A \ B∈ℰ
(A \ B) äquivalent ( A ∩ B )
Bem.: Ein Ereignisfeld ist somit eine Menge von zufälligen
Ereignissen mit der Eigenschaft, dass Anwendungen
der in 2.1.2. eingeführten Operationen auf Elemente
dieser Menge ℰ nicht aus dieser Menge hinausführen, also immer wieder Elemente dieser Menge
liefern.
In der Mengenlehre sprechen wir von einer σ- Algebra.
Wahrscheinlichkeit:
Mit Wahrscheinlichkeiten wurde schon gerechnet, lange
bevor sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung als eigenständige mathematische Disziplin formiert hatte, z.B. im
Rahmen der Bevölkerungsstatistiken, bei Versicherungsproblemen und Glücksspielen.
Auch im täglichen Sprachgebrauch verwendet man den
Begriff „wahrscheinlich“ als eine mögliche subjektive
Bewertung des Eintretens eines zufälligen Ereignisses
(hier: nur qualitative, keine quantitative Aussage!).
In der Mathematik löst man sich von dem subjektiven Urteil
und führt den Begriff der Wahrscheinlichkeit als Maß für
den Grad der Gewissheit des Eintretens eines zufälligen
Ereignisses A ein.
Bsp.: In einer Brauerei werden unter bestimmten Produktionsbedingungen im Mittel 1,6 % der Bierflaschen nicht
normgerecht abgefüllt.
D.h.: Von 1000 Bierflaschen sind im Mittel 16 nicht
qualitätsgerecht gefüllt worden, manchmal mehr,
manchmal weniger.
Mit anderen Worten: Der Prozentsatz an Ausschuss
oder auch die Wahrscheinlichkeit der Ausschussproduktion beträgt im Beispiel 1.6 % oder 0,016.
D.h.: Bei Massenerscheinungen, wie der Massenproduktion von Erzeugnissen ist die Anzahl
der uns interessierenden Ereignisse (hier:
unbrauchbare, nicht normgerecht gefüllte
Flaschen) annähernd gleich.
2 Fragen:
● Wie kann man die Wahrscheinlichkeit eines
zufälligen Ereignisses bestimmen?
● Welche Eigenschaften besitzen Wahrscheinlichkeiten, welchen Rechenregeln genügen sie?
1. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:
(Laplace: 1749 – 1827)
Ausgangspunkt:
• zufälliger Versuch mit endlich vielen Versuchsausgängen n,
d.h. E = {e1, ..., en}
• jeder Versuchsausgang soll gleichmöglich sein
(Symmetrieeigenschaft)
Jedes mit dem betrachteten Versuch zusammenhängende
zufällige Ereignis A lässt sich durch Aufzählung derjenigen
Versuchsausgänge kennzeichnen, die für A günstig sind, d.h. die
das Eintreten von A bewirken.
• N(A) - sei die Anzahl der Versuchausgänge, bei denen A eintritt
• n = N(E) - sei die Gesamtzahl der Versuchsausgänge
⇒ das Verhältnis von N(A) zu n vermittelt eine Vorstellung
über den Grad der Gewissheit des Eintretens von A.
Def.: Klassische Wahrscheinlichkeit:
Sei E endlich und ei gleichmöglich.
Jedem zufälligen Ereignis A können wir eine positive
Zahl P(A) - die Wahrscheinlichkeit des zufälligen
Ereignisses A - zuordnen (A ∈ ℰ → P(A) ∈ [0,1] ⊆ R).
Sie ist der Quotient aus der Anzahl der in A enthaltenen
Elementarereignisse N(A) („der für A günstigen
Elementarereignisse“) und der Gesamtzahl n der
Elementarereignisse.
N( A)
P( A) =
n
Insbesondere gilt:
1
P( e i ) =
n
(i = 1, ... , n)
Satz: Eigenschaften der klassische Wahrscheinlichkeit:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(E) = 1
(es gilt auch: P(A) = 1 → A = E !)
3. Sind A, B unvereinbare zuf. Ereignisse, d.h. A ∩ B = ∅,
so gilt: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
(Additionsregel für unvereinbare zuf. Ereignisse)
4. P(∅) = 0 (es gilt auch: P(A) = 0 → A = ∅ !)
5. P( A ) = 1 – P(A)
6. Sind A, B beliebige zuf. Ereignisse, so gilt:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
(allg. Additionsregel für bel. zuf. Ereignisse)
7. Aus A ⊆ B folgt: P(A) ≤ P(B)
Verallgemeinerung der Additionsregel für drei beliebige
zufällige Ereignisse A, B und C:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) –
P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens eines de Ereignisse A, B, oder C eintritt.
A∩B∩ C
E
A∩ B ∩ C
B
A
C
A∩ B∩C
A∩B∩C
A∩B∩C
A∩B∩C
A∩B∩C
Bem.: Der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit
kommt deshalb besondere Bedeutung zu, weil man auf
dieser Grundlage für zahlreiche praktische Fragestellungen Wahrscheinlichkeiten berechnen kann.
Die Berechnung interessierender Wahrscheinlichkeiten
erfolgt nach Rechenregeln (s. Satz), wobei die
Berechnung der Anzahl der möglichen Fälle und der
Anzahl der günstigen Fälle für ein Ereignis häufig auf
der Basis der Methoden der Kombinatorik (Variation,
Kombination mit oder ohne Wiederholung), erfolgt.
Bsp.1: Würfeln mit einem „idealen“ Würfel
Wir betrachten n = 6 mögliche, gleichwahrscheinliche
Versuchsausgänge, d.h. E = {e1, ... , e6} , ei = {i} , i = 1, ... 6
Augenzahl i
a) Sei A6 das zufällige Ereignis, eine „6“ zu würfeln:
A6 = { e6 } = { 6 }
ges.: P(A6)
N( A 6 ) N(e 6 ) 1
P( A 6 ) = P(e 6 ) =
=
= = 0,1 6
n
n
6
b) Sei A7 das zufällige Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln:
A7 = {e2, e4, e6} = {2,4,6}
ges.: P(A7)
Lösung: 2 Varianten
- nach klass. Def. der Wahrscheinlichkeit gilt:
Für A7 sind e2, e4 oder e6 günstig
⇒ N(A7) = 3
3
⇒ P( A 7 ) = = 0,5
6
- nach Additionsregel für unvereinbare Ereignisse gilt:
P(A7) = P(A2 ∪ (A4 ∪ A6)) = P(e2 ∪ (e4 ∪ e6))
= P(e2) + P(e4 ∪ e6)
= P(e2) + P(e4) + P(e6) da e2, e4 und e6 paarweise
unvereinbar
1 1 1 3
+ + = = 0,5
=
6 6 6 6
Bsp.:
In einem Bierkasten befinden sich 25 Flaschen Bier, von
diesen sind 2 nicht qualitätsgerecht.
Der zufällige Versuche bestehe in der Entnahme einer
Flasche, wobei jede Flasche die gleiche Chance habe,
entnommen zu werden.
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
entnommene Flasche qualitätsgerecht ist (Ereignis A)?
Lösung: ● Anzahl der möglichen Versuchsausgänge n = 25
● Anzahl der für A günstigen Versuchsausgänge
N(A) = 25 – 2 = 23
N( A ) 23
=
= 0,92
Damit ergibt sich: P( A ) =
n
25
Bsp. 2: Würfeln mit 2 unterscheidbaren Würfeln
E = {(ei,ej), i,j = 1, ..., 6} = {(i, j), i,j = 1, ..., 6}
Anzahl der Elementarereignisse: n = 36
( W VmK = mk , m = 6, k = 2)
(Variation, d.h. mit Berücksichtigung der Anordnung, mit Wiederholung)
C:= „Die Summe der Augenzahlen aus beiden Würfeln (i + j) bzw.
(j + i) sei 10 oder 11“.
D:= „Die Summe der Augenzahlen aus beiden Würfeln sei
‚mindestens 10“ (10, 11 oder 12).“
ges.: P(C) und P(D)
C = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5)}
Es gilt: P(C) ≤ P(D), da C ⊆ D
⇒ N(C) = 5
5
⇒ P (C ) =
= 0 ,139
36
D = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)} ⇒ N(D) = 6
⇒ P(D) = 6 = 1 = 0,16
36 6
2. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit:
Wir betrachten das Bsp.1: Würfeln mit 1 Würfel
Sei A das zuf. Ereignis, das im Ergebnis des zuf. Versuches
eine „6“ gewürfelt wird.
Der Versuch wird n- mal wiederholt (n = 50, 100, ...).
Dabei trat das Ereignis A N(A)- mal (z.B. N(A) = 7, 18, ...)
auf, d.h. N(A) ist die absolute Häufigkeit des Auftretens von A.
Dann nennt man den Quotienten aus der absoluten Häufigkeit
und der Gesamtzahl der Versuche relative Häufigkeit
N( A )
hn ( A ) =
.
n
hn(A) kann die Zahlen
n
0 1 2
0 = , , ,...,
=1
n
n n n
annehmen.
Satz: Die relative Häufigkeit eines zufälligen Ereignisses A
besitzt folgende Eigenschaften:
1) 0 ≤ hn(A) ≤ 1
2) hn(∅) = 0
(aber: aus hn(A) = 0 ⇏A = ∅)
3) hn(E) = 1
(aber: aus hn(A) = 1 ⇏A = E)
4) hn(A ∪ B) = hn(A) + hn(B)
für A und B unvereinbar
5) hn(A ∪ B) = hn(A) + hn(B) - hn(A ∩ B) für bel. A und B
n − N( A )
6) hn ( A ) =
= 1 − hn ( A )
n
7) A ⊆ B → hn(A) ≤ hn(B)
Bem.: ● Welchen Wert die abs. bzw. rel. Häufigkeit bei einer
konkreten Versuchsserie annehmen wird, kann nicht
mit Sicherheit vorausgesagt werden, sie ist vom Zufall
abhängig, d.h. sie wird sich bei Wiederholung der
Versuchsreihe ändern.
● Mit zunehmender Anzahl der Versuche zeigt sich
jedoch eine gewisse Stabilität der rel. Häufigkeit, d.h.
die rel. Häufigkeiten schwanken um einen gewissen
Wert, den wir nicht genau kennen und stat. Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A nennen und mit
P(A) bezeichnen.
Das Stabilisierungsverhalten der rel. Häufigkeit wird
durch Grenzwertsätze formuliert.
Def.: ● Die rel. Häufigkeit hn(A) kann also als Schätzwert der
Wahrscheinlichkeit P(A) aufgefasst werden, der um so
besser ist, je häufiger der Versuch wiederholt wird,
d.h.
hn(A) ≈ P(A)
für n → ∞
Bsp.: Münzwurf
Anzahl der
Würfe n
Anzahl des
Auftretens des
"Wappen" N(A)
relative
Häufigkeit
hn=N(A)/n
Buffon
4040
2048
0.5069
Pearson
12000
6019
0.5016
Pearson
24000
12012
0.5005
Stabilität der relativen Häufigkeit
hn(A)
P(A)
0
n
∞
Die bedingte Wahrscheinlichkeit und die Unabhängigkeit
von Ereignissen:
Sei A ∈ ℰ. Die Zahl P(A) gibt die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses A im Rahmen der Bedingungen an, die den
betrachteten zufälligen Versuch kennzeichnen. Nehmen wir
gedanklich zu diesen Bedingungen noch die Bedingung „Das
zufällige Ereignis B ∈ ℰ ist bereits eingetreten“ hinzu, so wird
die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A nun durch eine
i.a. von P(A) verschiedene Zahl beschrieben.
Bsp.2: Würfeln mit 2 unterscheidbaren Würfeln
E = {(i,j) / i, j = 1, ..., 6}
C:= “ Summe der Augenzahlen 10 oder 11“
5
C = {(5,5), (4,6), (6,4), (5,6)}
P(C) =
36
B1:= „1. Würfel zeigt eine 3“
B2:= „1. Würfel zeigt eine 5“
ges.: P(C/B1) und P(C/B2)
Lösung:
B2 = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}
Dann ist P(C/B1) = 0
P(C/B2) =
2
= 0 ,3
6
Es gilt: (C ∩ B2) = {(5,5), (5,6)}
Erweiterung von Zähler und Nenner mit 1/36:
2
P(C ∩ B 2 )
1
36
=
=
= 0,3
P(C/B2) =
6
P (B 2 )
3
36
⇒ Bedingte Wahrscheinlichkeiten können auf unbedingte
Wahrscheinlichkeiten zurückgeführt werden.
Def.: Seien A, B ∈ ℰ mit P(B) > 0, dann heißt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung,
dass das Ereignis B schon eingetreten ist, bedingte
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der
Bedingung B und wird nach der Formel
P( A ∩ B )
P( A / B ) =
P(B )
berechnet.
Satz: Seien A, B ∈ ℰ und P(B) > 0, dann gilt:
P(A ∩ B) = P(A/B) ⋅ P(B)
(Multiplikationsregel für bedingte Ereignisse)
Satz: Seien A1, ..., An ∈ ℰ mit P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An-1) > 0.
Dann gilt:
n
P(I A i ) = P( A 1 ) ⋅ P( A 2 / A 1 ) ⋅ ... ⋅ P( A n / A 1 ∩ ... ∩ A n−1 )
i =1
(Verallg. der Multiplikationsregel für bed. Ereignisse)
Def.: Zwei zuf. Ereignisse A und B ∈ ℰ heißen (stochastisch)
unabhängig, wenn der Eintritt des Ereignisses B
ohne Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des zuf.
Ereignisses A ist, d.h. wenn
P(A/B) = P(A) gilt.
Satz: Für unabhängige zuf. Ereignisse A und B ∈ ℰ gilt:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
(Multiplikationsregel für unabh. Ereignisse)
Satz: Für unabhängige zuf. Ereignisse A1, ..., An ∈ ℰ gilt:
n
⎛ n
⎞
P⎜⎜ I A i ⎟⎟ = P( A i ) ⋅ ... ⋅ P( A n ) = ∏ P( A i )
i=1
⎝ i
⎠
(Verallg. der Multiplikationsregel für unabh. Ereignisse)
Satz: Für unabhängige Ereignisse A1, ..., An ∈ ℰ gilt:
n
n
i =1
i =1
P(U A i ) = 1 − ∏ (1 − P( A i ))
(Verallg. der Additionsregel für unabh. Ereignisse)
Totale Wahrscheinlichkeit und Bayes‘ sche Formel:
Satz: Totale Wahrscheinlichkeit:
Seien A1, …, An paarweise disjunkte Ereignisse mit
n
UA
i
i =1
=E
, so gilt für ein beliebiges Ereignis B:
n
P(B ) = ∑ P(B / A i )P( A i )
i =1
Satz: Bayes‘ sche Formel:
Seien A1, …, An paarweise disjunkte Ereignisse mit
n
UA
i
=E
i =1
dann gilt:
, wobei für mindestens ein i (i=1,…,n)
P(Ai) >0 und P(B/Ai) >0 erfüllt ist,
P( A j / B) =
P(B / A j ) ⋅ P( A j )
n
∑ P(B / A ) ⋅ P( A )
i =1
i
i
, j=1,…,n.
Bem.: ● Die Wahrscheinlichkeit P(Ai) wird auch als a-priori
Wahrscheinlichkeit bezeichnet, da P(Ai) das
Eintreten von Ai vor Kenntnis des Eintretens von B
bewertet.
● Die Wahrscheinlichkeit P(Ai/B) nennt man auch
a-posteriori Wahrscheinlichkeit, da das Eintreten
von Ai unter der Bedingung, dass das Ereignis B
schon eingetreten ist, also nach Kenntnis über das
Eintreten von B beurteilt wird.
Bsp.: Medizinische Diagnostik (Erkennen von Krankheiten)
Diagnostische medizinische Tests werden so entwickelt,
dass sie eine hohe Sensitivität und Spezifität aufweisen.
Die Sensitivität ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
Kranker als krank eingestuft wird, während die Spezifität
der Wahrscheinlichkeit entspricht, einen Nichtkranken
auch als nicht krank zu erkennen.
Seien die Ereignisse A:= „Patient ist krank“
B:= „Testergebnis ist positiv“
Aus der Erprobungsphase des Tests können folgende
Wahrscheinlichkeiten als bekannt betrachtet werden:
P(B/A) = P(„Testergebnis ist positiv bei Kranken“) = 0,97
P(B / A) = P(„Testergebnis ist positiv bei Nichtkranken“)
= 0,02
P(A)
= 0,002
(d.h. sehr seltene Krankheit!)
ges.: Wahrscheinlichkeit P(A/B), dass der Patient auch
wirklich krank ist, wenn ein positives Testergebnis
vorliegt!
Lösung: (Bayes‘ sche Formel)
P(B / A ) ⋅ P( A )
P( A / B) =
= 0,08858 ≈ 0,089
P(B / A ) ⋅ P( A ) + P(B / A ) ⋅ P( A )
Interpretation:
● Nur bei 8,9 % der Patienten mit einem positiven Testergebnis kann davon ausgegangen werden, dass die
Krankheit auch wirklich vorliegt, bei den übrigen 91 %
handelt es sich demnach um Fehldiagnosen.
Positiv (B)
Test Negativ
Summe (B)
Krankheit
Summe
ja (A)
nein(A)
0,00194 0,01996
0,0219
0,00006 0,97804
0,9781
0,002
0,998
1
● Wegen P(A) = 0,002 ist in einer Population von z.B. 100000
Personen bei 200 Personen mit der Krankheit zu rechnen,
bei 99800 nicht.
● P(B/A) = 0,97 bedeutet, dass von den 200 Kranken 194 mit
dem mediz. Test richtig diagnostiziert werden.
● P(B/ (A) ) = 0,02 bedeutet, dass von den 99800 nicht kranken
Personen fälschlicherweise 1996 als krank eingestuft werden
● Bei 194 + 1996 = 2190 Personen zeigt also der Test ein pos.
Ergebnis an, das ist ein Anteil von 194/ 2190 = 0,08858
= 8,9 %
2.2. Zufallsgrößen (ZG)
Bisher haben wir uns mit zuf. Ereignissen und ihren Gesetzmäßigkeiten beschäftigt. Wir haben zuf. Ereignisse wie
Mengen behandelt und jedem beliebigen zuf. Ereignis A ∈ ℰ
als Grad für die Gewissheit des Eintretens von A die
Wahrscheinlichkeit P(A) zugeordnet.
Einige der betrachteten Beispiele zeigten, dass man zuf.
Ereignisse durch reelle Zahlen ausdrücken kann:
X
E
.
ei
0
xi
=X(ei)
R
Bem.: Die Abbildung X heißt Zufallsgröße (ZG), weil ihre
Werte über die zuf. Ereignisse vom Zufall abhängen.
X
X(ei) = xi
ei ∈ E → xi ∈ Beispiele
Elementarereignisse
Werte der ZG X
→1
…
→6
gewürfelte
Augenzahl
2. Würfeln mit 2
(1,1)
versch. Würfeln (1,2), (2,1)
(Augensumme) …
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
…
(6,6)
→2
→3
…
→7
…
→ 12
gewürfelte
Augensumme
3. Herstellung von e0 – “genau 0 Erzeug. Ausschuss”
5 Erzeugnissen e1– “genau 1 Erzeug. Ausschuss”
…
e5– “genau 5 Erzeug. Ausschuss”
→0
→1
…
→5
Anzahl der
Ausschusserzeug.
1. Würfeln mit
einem Würfel
(Augenzahl)
e1 – “Würfeln einer 1”
…
e6 – “Würfeln einer 6”
Weitere Beispiele für Zufallsgrößen sind:
● Länge von Baumwollfasern einer bestimmten Sorte
(schwankt nicht nur für verschiedene Anbaugebiete sehr
stark, sondern auch für eine Samenkapsel)
● Masse von Weizenkörnern (ändert sich von Korn zu Korn,
da es unmöglich ist, den Einfluss aller Faktoren wie
Bodenqualität, Wasserhaushalt, Lichteinflüsse usw. zu
berücksichtigen)
● Anzahl der Stillstände einer Flaschenabfüllanlage
● Anzahl nicht qualitätsgerechter Joghurtbecher
● Stickstoffmon- und -dioxidgehalt, Kohlenmonoxid- und
Ozongehalt, sowie Schwebestaubgehalt in der Luft
● Natrium,- Kalium-, Eisen- und Cadmiumgehalt von Weinen
Def.: Es sei E die Menge der Elementarereignisse (Versuchsausgänge eines zufälligen Versuches) und ℰ ein
Ereignisfeld von E.
Eine auf E definierte Funktion X, die jedem Elementarereignis e∈E eine reelle Zahl x∈ zuordnet, heißt
Zufallsgröße, wenn die folgende Eigenschaft gilt:
Das Urbild A jedes beliebigen Zahlenintervalls (-∞, x],
x∈ bel., ist ein zuf. Ereignis, d.h. A={e/X(e)∈(-∞, x]} ∈ ℰ.
Bez.: Zufallsgrößen bezeichnet man mit: X, Y, Z bzw. Xi, Yi, Zi.
Bem.: Ist bei einem konkreten Versuch ein bestimmtes zuf.
Ereignis eingetreten, so ist X(e) ein fester Wert (reelle Z.)
und heißt Realisierung von X.
Bez.: Realisierungen von Zufallsgrößen werden mit kleinen
Buchstaben bezeichnet, z.B. x,y,z bzw. xi, yi, zi …
Bem.: Wir können A ∈ ℰ noch anders schreiben:
A={e/X(e) ∈ (-∞, x]}= {e/X(e) ≤ x} = {X ≤ x} = (X ≤ x)
Bez.
Analog bedeuten:.
{X = a}
= {e/X(e) = a} oder
{a < X ≤ b} = {e/a < X(e) ≤ b} = {X ≤ b} \ {X ≤ a}
a
b
Wenn A∈ ℰ → P(A) existiert, so ist diese Wahrscheinlichkeit P(A) darstellbar als P(A) = P({X ≤ x}) = P(X ≤ x)
Zufallsgrößen sind also Größen, die ihre Werte mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit annehmen.
Bsp.: Münzwurf
e1:= “Wappen“
e2:= “Zahl“
→ P(e1) = 0,5
→ P(e2) = 0,5
P(e1) = P(X=0) = 0,5
P(e2) = P(X=1) = 0,5
Bsp. 1: Würfeln mit 1 Würfel
A:= “Würfeln einer Augenzahl i ≤ 3“
A = {e1, e2, e3} →
P( A ) =
3
= 0,5
6
P( A ) = P( X ≤ 3) = 0,5
1 1 1
P( X ≤ 3) = P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) = + + = 0,5
6 6 6
Def.: Sei X eine Zufallsgröße mit X: E → und
P: ℰ → [0,1] ⊆ Dann heißt die durch FX(x) = P(X ≤ x) definierte Funktion
FX Verteilungsfunktion der ZG X.
Bem.: Der Wert der Verteilungsfunktion FX(x) an der Stelle x
ist also gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die ZG X
Zufallsgröße X einen Wert kleiner oder gleich x
annimmt.
Mittels der Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße kann
man die Wahrscheinlichkeiten aller mit dieser Zufallsgröße in Zusammenhang stehenden zuf. Ereignisse
ausdrücken, z.B.
P(X > x) = 1- FX(x)
P(a < X ≤ b) = FX(b) – FX(a) , weil (-∞, a] ⊂ (-∞, b] für
a≤b
Satz : Eigenschaften der Verteilungsfunktion:
1. 0 ≤ FX(x) ≤ 1 ∀x∈
2. FX ist monoton wachsende Funktion,
d.h. x1 < x2 ⇒ FX(x1) < FX(x2)
3. FX ist rechtsseitig stetig, d.h.
lim F
x↑ x0
X
( x ) = FX ( x 0 )
bzw.
4. Grenzwerte:
lim F
x → −∞
lim
x → +∞
(x) = 0
( =ˆ P(∅)),
FX ( x ) = 1
( =ˆ P(E))
X
lim F
h→ 0
h >1
X
( x + h ) = FX ( x )
Diskrete Zufallsgrößen:
Def. : Eine Zufallsgröße X heißt diskret, wenn sie endlich
oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann.
Beispiele:
● Anzahl nicht qualitätsgerechter Joghurtbecher
● Anzahl der Stillstände einer Flaschenabfüllanlage
● Anzahl der monatlichen Krankentage der Belegschaft eines
Betriebes
Bem.: Man beschreibt eine diskrete ZG X durch die Werte
xi, die sie annehmen kann und die sogenannten
Einzelwahrscheinlichkeiten pi = P(X = xi), mit denen
sie diese Werte annimmt.
Bem.: Man gibt die xi und pi, d.h. die Paare (xi, pi) oft in Form
einer Verteilungstabelle, die die ZG X vollständig
beschreibt, an.
Bsp. 2: Würfeln mit 2 unterscheidbaren Würfeln
(X:= „Augensumme i+j“):
xi
2
pi = P(X = xi) 1
36
3
4
2
36
3
36
5
4
36
6
5
36
7
8
6
36
5
36
9
4
36
10
3
36
11
2
36
12
1
36
Grafische Darstellung der Einzelwahrscheinlichkeiten:
pi
1/6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi
Def. : Sei X eine diskrete ZG.
Dann bezeichnet man P(X = x) als Wahrscheinlichkeitsverteilung der ZG X.
Satz: Eigenschaften der Einzelwahrscheinlichkeiten einer
diskreten ZG X :
1. 0 ≤ pi ≤ 1
∞
2.
∑p
i =1
i
=1
Def. : Die Verteilungsfunktion einer diskreten ZG X
bestimmt man nach der Formel:
FX ( x ) = P( X ≤ x ) = ∑ P( X = xi ) = ∑ pi
i
xi ≤ x
i
xi ≤ x
Bsp. 1: Würfeln mit 1 Würfel
(Gleichverteilung)
Verteilungstabelle mit Verteilungsfunktion:
xi
<1
1
2
3
4
5
pi = P(X = xi)
0
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
0
FX(xi)
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
1
1
FX (x)
6
>6
1
p1=1/6
x
1
2
3
4
5
6
FX ( x i ) = P ( X ≤ x i ) =
∑ P( X = x
k
xk ≤ xi
k
)
Bem.: Für eine diskrete ZG X gilt:
1. P( X ≤ x) = FX ( x) =
∑p
∀i mit xi ≤ x
i
i
2. P( X > x) = 1− FX (x) = 1−
∑p
∀i mit xi ≤ x
i
i
3. P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a) =
∑p
i
i
∀i mit a < xi ≤ b
P(a < X ≤ b) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
eine Realisierung von X in das Intervall (a, b] fällt!
Stetige Zufallsgrößen:
Stetige Zufallsgrößen können überabzählbar unendlich viele
Werte (d.h. Werte aus einem reellen Zahlenintervall)
annehmen.
Beispiele:
● Eiweiß- und Fettgehalt von Milch
● Stammwürzegehalt von Bier
● Saccharosegehalt von Zuckerrüben
● Masse von Broten
Bem.: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine solche stetige ZG
einen bestimmten festen Wert annimmt, z.B. dass
Milch genau einen Fettgehalt von 2,3 [%] aufweist, ist
„0“, denn es ist unwahrscheinlich („fast unmöglich“),
dass gerade dieser und kein dicht daneben liegender
Wert angenommen wird.
⇒ Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hier nicht von
Interesse
aber: Es ist von Interesse, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine stetige ZG Werte in einem
gewissen Intervall (a, b] annimmt. Diese Wahrscheinlichkeit ist im Allg. von „0“ verschieden
und man kann sie berechnen!
Def. : Eine ZG heißt stetig, wenn es auf der Menge der
reellen Zahlen eine nichtnegative, integrierbare
Funktion fX gibt, so dass sich die Verteilungsfunktion
FX(x) = P(X ≤ x) ∀x∈ in der Form
x
FX ( x ) =
∫f
X
( t ) dt
darstellen lässt.
−∞
Die Funktion fX, von der wir fordern, dass
+∞
∫f
X
( x ) dx = 1
ist,
−∞
heißt Dichtefunktion (oder Verteilungsdichte) von X.
Die Verteilungsfunktion ist eine Stammfunktion der Dichte!
Dichtefunktion der Normalverteilung
0,4
0,1
Dichte
Ausgehend von der
geometrischen Deutung
des Integralbegriffes
erhalten wir FX(x0) als
Flächeninhalt der Fläche
zwischen der Kurve fX(x)
und der Abzissenachse in
den Grenzen – ∞ und x0.
0,3
0,2
0,1
0
-5
-3
-1 x
0
1
3
5
x
Verteilungsfunktion der Normalverteilung
Verteilungsfunktion
Bem.:
1
0,1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-5
-3
-1 x0
x
1
3
5
Satz : Eigenschaften der Dichtefunktion
Es sei X eine stetige ZG mit der Dichtefunktion fX.
1. fX(x) ≥ 0
+∞
2.
∫f
X
( x )dx = 1
−∞
x
3. FX ( x ) =
∫f
X
( t )dt
−∞
4. FX ist eine stetige Funktion, die an allen Stetigkeitsstellen von fX differenzierbar ist, wobei FX’(x) = fX(x)
gilt.
Bem.: Für eine stetige ZG X gilt:
x
1. P( X ≤ x) = FX ( x) =
∫ f(t)dt
−∞
x
∫
2. P( X > x) = 1− FX (x) = 1− f (t)dt
−∞
b
∫
3. P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = f ( x)dx
a
∀x mit a < x ≤ b
(nach dem Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung!)
P(a < X ≤ b) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
eine Realisierung von X in das Intervall (a, b] fällt!
X sei eine stetige Zufallsgröße mit der Dichtefunktion
(gleichmäßig stet. Vert.)
fX(x) =
0,1 , x ∈ [0, 10]
0
, x ∉ [0, 10]
x
Bsp. 3:
ges.: Verteilungsfunktion FX(x)
FX ( x) = ∫ fX (t )dt
−∞
zu beachten: fX ist nicht geschlossen analytisch
angebbar, sondern in 3 Intervallen:
(-∞, 0), [0, 10], (10, +∞)
Lösung:
x
∫ 0 dt = 0
, x ∈ (-∞, 0)
−∞
⇒ FX(x) =
0
x
−∞
0
0
10
x
−∞
0
10
∫ 0 dt + ∫ 0,1dt = 0,1x
∫ 0 dt + ∫ 0,1dt + ∫ 0 dt = 1
, x ∈ [0, 10]
, x ∈ (10, ∞)
Verteilungstabelle:
X = xi
<0
0
1
5
10
fX(xi)
FX(xi)
>10
0
0,1
0,1
0,1
0,1
0
0
0,1
0,1
0,5
1
1
FX(x)
1
fX(x)
0,5
0,1
x
0
5
Dichtefunktion
10
0,1
x
0
5
10
Verteilungsfunktion
Diskrete ZG
Stetige ZG
endlich oder abzählbar unendlich
viele Werte
überabzählbar unendlich viele Werte
Einzelwahrscheinlichkeiten pi:
pi = P(X = xi) i = 1, 2, …
0 ≤ pi ≤ 1
Dichtefunktion fX:
fX(x) ≥ 0
∞
∑p
i=1
i
+∞
=1
∫f
( x )dx = 1
−∞
Verteilungsfunktion:
FX(x) = P(X ≤ x)
FX ( x ) =
X
∑p
∀x∈
Verteilungsfunktion:
FX(x) = P(X ≤ x)
∀x∈
x
FX ( x ) =
i
i
xi ≤ x
X
( t )dt
−∞
FX rechtsseitig stetige Treppenfunktion, monoton wachsend
P(a < X ≤ b) =
∫f
∑p
i
i
a< xi ≤b
FX stetig, monoton wachsend
b
P ( a < X ≤ b ) = ∫ f X ( x )dx
a
Kenngrößen (Parameter) von Verteilungen:
1. Erwartungswert:
Def.: Als Erwartungswert EX einer ZG X bezeichnen wir das
Zentrum ihrer Verteilung:
∞
∑x
EX =
⋅ pi
, X diskr. ZG
∫ x ⋅ fX (x)dx
, X stet. ZG
i =1
i
+∞
EX ∈ −∞
Bem.: Der Erwartungswert einer diskr. ZG ist das gewogene
Mittel aller Werte xi von X, wobei die Einzelwahrscheinlichkeiten pi die Gewichte darstellen.
Bsp. 1: Würfeln mit 1 Würfel (Gleichvert.)
⇒ EX = 3,5
Bsp. 3: X auf [0,10] gleichmäßig stet. verteilt
⇒ EX = 5
Satz: Eigenschaften des Erwartungswertes
Für die Erwartungswerte von diskreten oder stetigen
Zufallsgrößen X, X1, … und Konstante a,b ∈ gelten
folgende Aussagen:
1. Ea = a
2. E [EX] = EX
3. E [X1 +…+ Xn] = EX1 +…+ EXn
(Additionsregel)
4. E [aX] = a EX
(Linearitätsregel)
5. E [aX + b] = a EX + b
(lin. Transformation)
6. X1,…,Xn unabhängig ⇒ E [X1•…•Xn] = EX1•…•EXn
(Multiplikationsregel)
7. X ≥ 0 ⇒ EX ≥ 0
und X ≥ Y
⇒
EX ≥ EY
2. Varianz:
Def.: Als Varianz bezeichnen wir die mittlere (erwartete)
quadratische Abweichung einer ZG X von ihrem
Erwartungswert:
D2X = E [X - EX]2
∞
2
(
x
−
EX
)
⋅ pi
∑ i
=
, X diskr. ZG
i =1
D2X ∈ +∞
2
(
x
−
EX
)
⋅ fX ( x)dx
∫
, X stet. ZG
−∞
D2 X
heißt Standardabweichung.
Bsp. 1: Würfeln mit 1 Würfel (Gleichvert.)
⇒ D2X = 2,92
Bsp. 3: X auf [0,10] gleichmäßig stet. verteilt
⇒ D2X = 8,3
Satz: Eigenschaften der Varianz: (Fehlerfortpflanzung)
Für die Varianz von diskreten oder stetigen Zufallsgrößen X,
X1, …, Y, Z und Konstanten a,b ∈ gilt:
1. D2X ≥ 0,
D2X = 0 ⇔ P(X = EX) = 1
2. D2X = EX2 – [EX]2
(Verschiebungsregel)
3. D2 [aX + b] = a2 • D2X
(lin. Transformation)
4. X1,X2 unabhängig ⇒
D2 [X1 + X2] = D2 [X1 - X2] = D2X1 + D2X2 (Summe, Differenz)
und für Y =X1• X2 und Z = X1/X2
2
2
⎛ D2 Y ⎞ ⎛ D X1 ⎞ ⎛ D X2
⎟ +⎜
⎟ ≈⎜
⎜
⎜ EY ⎟ ⎜ EX1 ⎟ ⎜ EX2
⎠ ⎝
⎝
⎠ ⎝
2
2
2
(Produkt und Quotient)
⎞ ⎛ D2 Z ⎞
⎟ ≈⎜
⎟
⎟ ⎜ EZ ⎟
⎠
⎠ ⎝
2
(Quadr. Variationskoeffizienten addieren sich!)
Bsp. 2: Würfeln mit 2 unterscheidbaren Würfeln,
X:=„ Augensumme“, X = X1 + X2
D2X = D2 [X1 + X2] = D2 X1 + D2 X2 = 5,83
Normierung und Standardisierung:
Def.: Eine ZG X heißt normiert, wenn D2X = 1 gilt.
Def.: Eine ZG X heißt standardisiert, wenn D2X = 1 und
EX = 0 gilt.
Satz: Für eine beliebige ZG X gilt:
1.
2.
Y=
Y=
X
D2 X
X − EX
2
D X
ist eine normierte ZG und
ist eine standardisierte ZG.
2.3. Spezielle Verteilungen von Zufallsgrößen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Verteilungen
Stetige Verteilungen
- 2- Pkt.- Verteilung
(Münzwurf)
- Gleichmäßig stet. Verteilung
(Bsp. 3: X stet. ZG auf [0,10])
- Gleichverteilung
(Bsp. 1: Würfeln mit 1 Würfel)
- Normalverteilung und log. NV
- Binomialverteilung
(Qualitätskontrolle)
- Exponentialverteilung
(Wachstumsprozesse)
- Hypergeometrische Vert.
- Weibullverteilung
(Abnutzungsprozesse)
- Poissonverteilung
- Prüfvert. (t-, χ2-, F- Vert.)
1. Binomialverteilung (BV, Anwendung bei Qualitätskontrolle)
Beispiele:
- Zuf. Anzahl der in einem bestimmten Zeitabschnitt ausfallenden Maschinen von insgesamt n Maschinen gleicher
Bauart, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eine Maschine
ausfällt, p ist.
- Zuf. Anzahl nicht qualitätsgerecht produzierter Joghurtbecher von insgesamt n Joghurtbechern, wenn die Wahrscheinlichkeit, einen Ausschußbecher zu produzieren, p ist.
- Allgemein: X := „Anzahl der beobachteten (gezogenen)
Objekte aus einer Menge von n Objekten
mit der Eigenschaft A“
Bernoullisches Versuchsschema (Urnenmodell mit Zurücklegen):
- Urne enthält weiße und schwarze Kugeln, die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen (Ereignis A), sei P(A) = p.
- n- malige Entnahme einer Kugel und Feststellen, ob Kugel
weiß (A) oder schwarz ( A ) war, jeweils Zurücklegen der
Kugel.
(Durch Zurücklegen wird Unabhängigkeit der Einzelziehungen erreicht, die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel
zu ziehen, bleibt gleich!)
- Von Interesse: Wahrscheinlichkeit, bei n Entnahmen k weiße
Kugeln zu ziehen.
- Bei Qualitätskontrolle: A :=„ Entnahme eines guten Teils“
A :=„ Entnahme eines Ausschußteils“
Def.: Eine diskrete ZG X heißt binomialverteilt mit den
Parametern n und p (X ~ B(n,p)), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion
⎛n⎞ k
P( X = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p ⋅ (1 − p)n−k
⎝k ⎠
,k = 0,…,n
besitzt.
Bem.: - Die Binomialverteilung wird durch die Parameter n
und p eindeutig bestimmt.
- EX = n • p
- D2X = n • p • (1-p) = n • p • q
- P(X ≤ k) = P(X=0)+…+P(X=k) =
⎛n⎞ i
n−i
⎜
⎟
⋅
p
⋅
(
1
−
p
)
∑
⎜i⎟
i =0 ⎝ ⎠
- P(X ≥ k) = P(X=k)+…+P(X=n) =
⎛n⎞ i
n−i
⎜
⎟
⋅
p
⋅
(
1
−
p
)
∑
⎜i⎟
i=k ⎝ ⎠
k
P(X ≥ 1) = 1- P(X=0)
n
Bsp.: 10 Äpfel einer Partie werden untersucht. Es ist bekannt,
dass 10% der Äpfel angeschlagen sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 angeschlagene
Äpfel in der Stichprobe zu finden?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen
angeschlagenen Apfel in der Stichprobe zu finden?
Lösung:
geg.: n = 10,
P(A)= p = 0,1
⎛ 10 ⎞
a) P(X = 3) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,13 ⋅ (1 − 0,1)10 − 3 = 0,057
⎝3⎠
b) P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,736
⎛ ⎛ 10 ⎞
⎞ ⎛ ⎛ 10 ⎞
⎞
0
10
1
9
⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 ⎟ + ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 ⎟ = 0,910 + 0,9 9
⎜ 0
⎟ ⎜ 1
⎟
⎝⎝ ⎠
⎠ ⎝⎝ ⎠
⎠
2. Hypergeometrische Verteilung
(Anwendung bei Qualitätskontrolle)
Versuchsschema: Urnenmodell ohne Zurücklegen
- Urne enthält N weiße und M schwarze Kugeln
- n- malige Entnahme einer Kugel und Feststellen, ob Kugel
weiß (A) oder schwarz ( A ) war, ohne Zurücklegen der Kugel.
- allgemein:
Aus einer endlichen Grundgesamtheit von N Objekten, von
denen M die Eigenschaft A und N - M die Eigenschaft A
besitzen, wird n- mal zufällig ein Objekt ohne Zurücklegen
gezogen.
Wir betrachten wieder die ZG X := „Anzahl der beobachteten
(gezogenen) Objekte aus einer Menge von n Objekten mit
der Eigenschaft A“
Def.: Eine diskrete ZG X heißt hypergeometrisch verteilt
mit den Parametern N,M und n (X ~ H(N,M,n)), wenn
sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion
⎛ M⎞ ⎛ N − M⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟
k ⎠ ⎝ n−k ⎠
⎝
P( X = k ) =
⎛ N⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝n⎠
,k = 0,…,n
besitzt.
Bem.: - Die Hypergeometrische Verteilung wird durch die
Parameter N,M und n eindeutig bestimmt.
M
- EX = n ⋅
N
- D2X = n ⋅
M⎛
M⎞ N−n
⎜1 − ⎟ ⋅
N⎝
N ⎠ N −1
3. Poisson Verteilung (PV)
(Verteilung der seltenen
Ereignisse)
Versuchsschema: Es werden Ereignisse gezählt, die innerhalb eines festen, vorgegebenen Zeitintervalls eintreten können.
Von Interesse: Die ZG X := „Anzahl der (seltenen) Ereignisse,
die innerhalb des Intervalls [0,1] eintreten“
Bsp.: ● Radioaktiver Zerfall (Zählung von α- Teilchen)
● Anzahl von Krankheitsfällen einer seltenen Krankheit
in einem Monat
● Verteilung von Unkrautsamen unter Getreide
● Chromosomenaustausch in Zellen
● Verteilung von Druckfehlern pro Seite in Büchern
Vorauss.: 1. 2 Ereignisse können nicht gleichzeitig auftreten.
2. Die Wahrsch., dass ein Ereignis während eines
kleinen Zeitintervalls der Länge ∆t stattfindet, ist
annähernd λ∆t
3. Die Anzahlen von Ereignissen in 2 disjunkten
Teilintervallen sind unabhängig.
Def.: Eine diskrete ZG X heißt Poisson- verteit mit dem
Parameter λ (X ~ Π(λ)), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion
λk
P( X = k ) =
⋅ e −λ
k!
,k = 0,…,n
besitzt.
Bem.: - der Parameter λ > 0 heißt Intensitätsparameter.
- EX = λ
- D2X = λ
4. Normalverteilung (NV)
(Gauss, 1809: „Theorie der
Beobachtungsfehler“)
Hintergrund:
Führt man in der Praxis wiederholt Messungen an ein und
demselben Objekt (Fettgehalt in Milchprobe) durch, so ergibt
auf Grund zufälliger Einflüsse nicht jede Messung den gleichen
Wert. Es zeigt sich aber, dass bei häufiger Wiederholung der
Messung die erhaltenen Werte kleinere oder größere Abweichungen voneinander und von einem bestimmtem „wahren“
Wert, dem Erwartungswert, aufweisen.
Beispiele:
● zuf. Mess- und Beobachtungsfehler
● Fett- und Eiweißgehalt von Milch, Stammwürzegehalt von
Bier, Saccharosegehalt von Zuckerrüben
● Füllhöhe bestimmter Getränkeflaschen
Def.: Eine stetige ZG X heißt normalverteilt mit den
Parametern µ und σ2 (X ~ N (µ, σ2)), wenn ihre
Dichtefunktion die Form
2
fX ( x ) =
1
⋅e
2π ⋅ σ
−
(x − µ )
2 ⋅σ 2
x∈,
hat.
Satz: Eigenschaften der Dichtefunktion der NV
1. fX(x) ≥ 0
x∈
2. fX besitzt an der Stelle x = µ ein Maximum und
1
fX (µ) =
2π ⋅ σ
3. fX besitzt an den Stellen x1 = µ -σ und x2 = µ + σ
zwei Wendepunkte
4. fX ist symmetrisch bez. X = µ: fX(µ - x) = fX(µ + x)
Dichtefunktion der Normalverteilung
0,8
0,1
4,1
4,2
4,0,5
0,2
Dichte
0,6
0,4
0,2
fX(x; 0, 1) = ϕX(x)
0
-10
-6
-2
2
6
10
14
x
Verteilungsfunktion
Verteilungsfunktion der Normalverteilung
1
0,1
4,1
4,2
4,0,5
0,2
0,8
0,6
0,4
Standard- Normalverteilung
X ~ N (0, 1)
FX(x; 0, 1) = ΦX(x)
0,2
ist tabelliert!
0
-10
-6
-2
2
x
6
10
14
Bem.: - Für eine normalverteilte ZG X gilt:
EX = µ und D2X = σ2
- Der Parameter µ bedeutet : Verschiebung des
Symmetriezentrums
Der Parameter σ bedeutet: Streckung oder
Stauchung der Dichte
x
- Die Verteilungsfunktion: FX (x)= P(X ≤ x) =
aber:
∫ f (t )dt
X
−∞
Integral nicht geschlossen integrierbar!
⇒ Standardisierung der normalverteilten ZG X und
Bestimmen der standardisierten Verteilungsfunktion Φ (ist tabelliert!) !
Satz: Eine stet. ZG X mit X ~ N(µ, σ2), kann durch Y = (X-µ)/ σ
standardisiert werden, so dass Y ~ N(0, 1), und man
erhält:
fX(x) = (1/σ) • ϕY(y) und FX(x) = ΦY(y)
(Zusammenhang von Dichte- und Verteilungsfunktionen)
N(0,1)
0,4
0,1
Dichte
0,3
0,2
0,1
0
-5
-3
-1
1
3
x
ϕY(-y) = ϕY(y)
5
Verteilungsfunktion der Normalverteilung
Verteilungsfunktion
Dichtefunktion der Normalverteilung
N(0,1)
1
0,1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-5
-3
-1
1
3
5
x
ΦY(-y) = 1- ΦY(y)
Bestimmen von Intervallwahrscheinlichkeiten:
X−µ x −µ⎞
⎛
1. P( X ≤ x) = FX ( x) = P⎜
≤
⎟ = P( Y ≤ y) = Φ Y ( y)
σ ⎠
⎝ σ
2. P( X > x) = 1− P( X ≤ x) = 1− FX ( x) =
⎛ X−µ x −µ⎞
1− P⎜
≤
⎟ = 1− P( Y ≤ y) = 1− Φ Y ( y)
σ ⎠
⎝ σ
3. P( x1 < X ≤ x 2 ) = FX ( x 2 ) − FX ( x1 )
X−µ
⎛
⎞
= P⎜ y1 < Y =
≤ y 2 ⎟ = Φ Y ( y 2 ) − Φ Y ( y1 )
σ
⎝
⎠
⎛ x1 −µ⎞
y1 = ⎜
⎟
⎝ σ ⎠
⎛ x2 −µ⎞
y2 = ⎜
⎟
⎝ σ ⎠
4. Spezialfall von 3.
Seien x1 = µ - kσ und x2 = µ + kσ
Dann gilt: P(|X - µ|) ≤ kσ) = Φ(k) - Φ(-k) = 2 Φ(k) – 1
Bem.: Betrachtet man k = 1,2 und 3, so ergeben sich
folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(|X - µ|) ≤ 1σ) = 0,638
P(|X - µ|) ≤ 2σ) = 0,955
P(|X - µ|) ≤ 3σ) = 0,997
3σ- Regel
d.h. es ist praktisch „fast sicher“, dass eine normalverteilte ZG X Werte zwischen µ - 3σ und µ - 3σ
annimmt.
Bem.: Ist die stet. ZG nicht normalverteilt, kann man dennoch
die Wahrscheinlichkeit, dass die ZG Werte zwischen µ
und dem k-fachen der Standardabweichung σ annimmt
mit Hilfe der Tschebyscheff‘schen Ungleichung
abschätzen:
P(|X - µ| < kσ) > 1- (1/k2)
Dann gilt für k = 3 und 4:
P(|X - µ|) < 3σ) > 0,89
P(|X - µ|) < 4σ) > 0,94
Bsp.: Eine Maschine füllt Tüten. Die Masse der Tüten (ZG X)
sei normalverteilt mit X~ N(31,4; 0,04) [g].
Eine Tüte ist normgerecht gefüllt, wenn X Werte im
Intervall [30,9; 31,7] annimmt.
a) Wieviel % der Tüten sind normgerecht gefüllt?
b) Wieviel % der Tüten sind nicht normgerecht gefüllt?
c) Wieviel % der Tüten sind unterdosiert?
d) Wieviel % der Tüten sind überdosiert?
e) Wie müßte die untere Grenze des Toleranzbereiches
xu sein, damit nur 0,2 % der Tüten unterdosiert sind?
f) Welchen Wert müßte die Standardabweichung σ
haben, damit bei ursprünglichem Toleranzbereich nur
2% der Tütenunterdosiert sind?
Lösung:
a) P(A) = P(30,9 < X ≤ 31,7) = ΦY(1,5) - ΦY(-2,5) = 0,93319(1-0,99379) = 0,92698 ≈ 92,7 %
b) P( A ) = 1- P(A) = 7,3 %
c) P(X ≤ 30,9) = ΦY(-2,5) = (1-0,99379) = 0,00621 ≈ 0,6 %
d) P(X > 31,7) = 1- P(X ≤ 31,7) = 1 - ΦY(1,5) = 0,06681 ≈ 6,7 %
e) P(X ≤ xu) = 0,002
⎛ x u − 31,4 ⎞
1-0,002 = 0,998
⎟ = 0,002
= ΦY ⎜
⎝ 0,2 ⎠
→ ΦY(2,88) = 0,998
⎛ x u − 31,4 ⎞
→ ΦY(-2,88) = 0,002 → ⎜
⎟ = −2,88
⎝ 0,2 ⎠
→ xu = 30,824
f) analog zu e)
⎛ 30,9 − 31,4 ⎞
⎛ 30,9 − 31,4 ⎞
⎟ = −2,88
ΦY ⎜
⎟ = 0,002 → ⎜
σ
⎝
⎠
σ
→ σ = 0,1736
⎝
⎠
5. Prüfverteilungen
Prüfverteilungen sind Verteilungen stetiger Zufallsgrößen, die
insbesondere in der induktiven Statistik eine Rolle spielen.
Für die praktische Durchführung von Prüfverfahren benötigt
man insbesondere die Quantile dieser Prüfverteilungen.
Def.: Sei X eine stetige ZG mit der Verteilungsfunktion FX
und p∈(0,1) ⊆ R.
Dann heißt eine Zahl xp Quantil der Ordnung p, wenn
Fx(xP) = P(X ≤ xP) = p gilt.
Bem.: Ein Quantil der Ordnung p = ½ heißt Median
5.1. χ² - Verteilung
(Helmert, 1876)
Def.: Seien X1, …, Xm stochastisch unabhängige
N(0,1)- verteilte ZG- en, so heißt die Verteilung von
m
W = ∑ Xi2
zentrale χ²- Verteilung mit m Freiheits-
i=1
graden, d.h. W =
m
∑
i= 1
X i2 ~ χ ²( m )
Chi-Quadrat Verteilung
0,1
FG
10
20
30
50
100
Dichte
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
30
60
90
x
120
150
180
Verteilungsfunktion
Chi-Quadrat Verteilung
FG
10
20
30
50
100
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
30
60
90
x
120
150
180
Satz: Eigenschaften der χ²-Verteilung
Sei W~ χ²(m). Dann gilt:
- E W = m, D² W = 2m
- χ² ist unsymmetrische Verteilung, die nur vom FG m
abhängt
- Quantil der Ordnung p der χ²-Verteilung mit m FG- en
wird mit χ²p;m bezeichnet
- Für m Æ ∞ konvergiert die Verteilungsfunktion der
χ²-Verteilung gegen die Verteilungsfunktion der
NV mit N(m,2m), d.h. F ( x ) ≈ Φ⎛⎜ x − m ⎞⎟
χ²
⎝ 2m ⎠
Satz: Seien X1,…, Xn stochastisch unabhängig und
identisch normalverteilte ZG-en mit Xi ~ N(µ,σ²) und
1
S² =
( Xi − X)² die empirische Varianz (das
∑
n −1
unbekannte µ wird durch X geschätzt!)
Dann ist die ZG
(n − 1)S ²
~ χ ²( m )
W =
σ²
m = n-1
(„STUDENT“ , W. Gosset)
5.2. t-Verteilung
Def.: Seien X ~ N(0,1) und W ~ χ²(m) stoch. unabhängig.
X
⋅ m ~ t(m )
Dann heißt die ZG t =
W
t- verteilt mit m FG- en.
t- Verteilung
0,4
FG
10
20
30
50
100
Dichte
0,3
0,2
0,1
0
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
Verteilungsfunktion
t- Verteilung
1
FG
10
20
30
50
100
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
Satz: Eigenschaften der t- Verteilung
(m ≥ 2)
- D² t = m
(m ≥ 2)
m−2
-Et=0
- t- Vert. ist symmetrisch und abhängig vom FG m
- Das Quantil der Ordnung p der t- Vert. mit m FG- en
wird mit tp;m bezeichnet.
- Für m Æ ∞ konvergiert die Verteilungsfunktion der
t- Verteilung mit m FG- en gegen die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N(0,1).
Satz: Seien X1,…,Xn ~ N(µ,σ²) identisch normalverteilt und
stoch. unabh. ZG- en, so sind auch die ZG- en
n
1 n
1
X = ∑ Xi
und S² =
( Xi − X)² stoch. unabh.
∑
n i=1
n − 1 i=1
und es gilt:
X −µ
X −µ
t=
⋅ n=
⋅ n ~ t(m )
S
S²
m= n-1
(FISHER)
5.3. F-Verteilung
Def.: Seien W1 ~ χ²(m1) und W2 ~ χ²(m2), dann heißt die
1
W1
m
F= 1
~ F(m1, m 2 )
1
W2
m2
Verteilung von
F-Verteilung mit m1 und m2 FG- en.
F- Verteilung
2,4
FG
10,10
20,20
30,30
50,50
100,100
Dichte
2
1,6
1,2
0,8
0,4
0
0
1
2
3
x
4
5
Verteilungsfunktion
F- Verteilung
FG
10,10
20,20
30,30
50,50
100,100
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
x
4
5
Satz: Eigenschaften der F-Verteilung
m2
- EF =
m2 ≥ 3
m2 − 2
- F-Verteilung ist unsymmetrisch und von den
FG- en m1 und m2 abhängig.
- Das Quantil der Ordnung p der F-Verteilung mit m1
und m2 FG- en wird mit Fp;m1;m2 bezeichnet.
- Für m2 Æ ∞ konvergiert die Verteilungsfunktion von
m1⋅F gegen die Verteilungsfunktion der χ²(m1)- Vert.
- Es gilt:
und
F1− α ;m 1 ;m 2 =
t 1+ α
2
;m 2
1
F α ;m 1 ; m 2
= Fα;m1;m2
Satz: Seien Xi ~ N(µ1,σ²) (i=1,…,n1) und Yi ~ N(µ2,σ²) (i=1,…,n2)
Dann sind die ZG- en
(n1 − 1)S12
~ χ ²(m1 )
W1 =
σ²
und
(n2 − 1)S22
W2 =
~ χ²(m2 )
σ²
und es gilt:
S12
F = 2 ~ F(m1, m2 )
S2
m1 = n1 – 1
m2 = n2 - 1
Verteilungen von Funktionen von Zufallsgrößen
1.) Xi ~ N(µ,σ²)
⎛1
⎞
⎛1
⎞
1
Æ X = 1 X ~ N⎛ µ, σ ² ⎞ ,da EX = E⎜ ∑ Xi ⎟ = ⎜ ∑ EX i ⎟ = ⋅ n ⋅ µ = µ
⎜
⎟
⎝n
⎠ ⎝n
⎠ n
∑
i
n
⎝ n ⎠
σ²
⎛1
⎞ ⎛1
⎞ 1
D² X = D²⎜ ∑ Xi ⎟ = ⎜ ∑D² Xi ⎟ = ⋅ n ⋅ σ² =
n
⎝n
⎠ ⎝ n²
⎠ n²
2.) Xi ~ N(µ,σ²) Æ X =
Æ Standardisierung:
1
⎛ σ² ⎞
X
~
N
⎜ µ, ⎟
∑
i
n
⎝ n⎠
X −µ
Z=
⋅ n ~ N(0,1)
σ
n
⎛ σ² ⎞
1
3.) Xi ~ N(µ,σ²) und X ~ N⎜ µ, ⎟ und S² =
( Xi − X)²
⎝ n⎠
n − 1 i=1
∑
stoch. unabhängig
Æ
(n − 1)S ²
W =
~ χ ²(m )
σ²
m=n-1
4.) Xi ~ N(µ1,σ²); X ~ N⎛⎜ µ, σ ² ⎞⎟
⎝
;
n ⎠
X −µ
Z=
⋅ n ~ N(0,1)
σ
(n − 1)S ²
~ χ ²(m )
W=
σ²
;
Z und W stoch. unabh.
Æ t = Z = X − µ ⋅ n ~ t(m)
m=n-1
S
W
m
5.) Xi ~ N(µ1,σ²);
Yi ~ N(µ2,σ²)
(n1 − 1)S12
~ χ ²(m1 )
W1 =
σ²
Æ
S12
F = 2 ~ F(m1,m2 )
S2
(n2 − 1)S 22
~ χ²(m2 )
W2 =
σ²
m1 = n1 – 1
m2 = n2 - 1
2.4. Grenzwertsätze
1.) Gesetz der großen Zahlen
(
)
P Xn − µ ≤ ε ⎯⎯
⎯→ 1
n→ ∞
∀ε > 0
d.h. X n konvergiert in Wahrscheinlichkeit (stochastisch)
gegen µ.
2.) Theorem von Bernoulli:
Die relative Häufigkeit, mit der ein Ereignis A bei n
unabhängigen Versuchen eintritt, konvergiert in
Wahrscheinlichkeit (stochastisch) gegen P(A).
3.) Hauptsatz der math. Statistik:
Zufallsexperiment wird durch die ZG X mit der
Verteilungsfunktion FX(x) beschrieben.
Dann gilt für die empirische Verteilungsfunktion Fn(x):
(X1,…,Xn
unabhängig und ident. wie X verteilt!)
P(Fn ( x ) − FX ( x ) ≤ ε ) ⎯⎯
⎯→ 1
n→ ∞
∀ε > 0
Æ Satz von Glivenko-Cantelli:
P(sup Fn ( x ) − FX ( x ) ≤ ε ) ⎯⎯
⎯→1 ∀ε > 0
n→∞
max. Abweichung zwischen Fn(x) und Fx(x)
4.) zentraler Grenzwertsatz:
Seien X1,…,Xn unabhängig und ident. verteilte ZG- en
mit EXi = µ und D²Xi = σ² > 0
Dann konvergiert die Verteilungsfunktion
Fn(z) = P(Zn ≤ z) der standardisierten Summe
X1 + ... + Xn − n ⋅ µ 1 n Xi − µ
=
⋅∑
Zn =
n ⋅σ
n i=1 σ
für n Æ ∞ an jeder Stelle x∈R gegen die
Verteilungfunktion Φ(z) der Standardnormalverteilung:
Fn ( z ) → Φ Z ( z )
(Regel: n > 30!)
Bem.: 1. Eine ZG X ist dann in guter Näherung normalverteilt,
wenn sie durch das additive Zusammenwirken von
vielen kleinen zufällige Effekten entsteht.
2. Bei den meisten ZG- en tendiert die Verteilung ihrer
Mittelwerte zu einer Normalverteilung, unabhängig
davon, welche Verteilungsform die ZG- en selbst
haben, d.h. sie zeigen eine zentrale Tendenz, die
umso deutlicher wird, je größer der Stichprobenumfang ist.
3. Besitzen die ZG- en selbst eine NV, so ist die
Verteilung der Mittelwerte stets (bei jedem Stichprobenumfang) eine NV!