Naturwissenschaften II (B. Sc. Maschinenbau) - IAP TU

Übungen zur Vorlesung
Naturwissenschaften II
(B. Sc. Maschinenbau)
Sommersemester 2008
Professor Dr. G. Birkl, Dr. N. Herschbach
Musterlösung 7
Besprechung in der Woche
vom 2.6 - 9.6.08
www.physik.tu-darmstadt/apq/naturwissenschaften
1. Mittelwellenempfang
Ein elektrischer Schwingkreis bestehend aus einem Widerstand R = 1.5 kΩ, einem einstellbaren Kondensator C und einer Spule mit Induktivität L = 10 mH kann prinzipiell
zum Empfang von Radiowellen im Mittel- und Langwellenbereich eingesetzt werden.
Hierbei wird der Schwingkreis dadurch angeregt, dass die Schwingung des Magnetfelds
der Radiowelle einen Strom in der Spule L induziert. Die über dem Widerstand R
L
C
R
abfallende Wechselspannung ist ein Maß für die Amplitude der empfangenen Radiowelle. Sie kann entspechend elektronisch weiterverarbeitet werden, zum Beispiel mittels
Verstärker, Gleichrichter und Frequenzfilter, um die Amplitudenmodulation der Radiowelle in ein akustisches Signal in einem Lautsprecher umzuwandeln.
a) Welchen Wert müssen Sie für die Kapazität C des Kondensators einstellen, wenn
Sie den Deutschlandfunk bei der Frequenz f = 549 kHz empfangen wollen? Vernachlässigen Sie zunächst die Änderung der Resonanzfrequenz des Schwingkreises
durch die vom Widerstand R hervorgerufene Dämpfung.
b) Wie groß ist die Frequenzverschiebung, die mit dem Widerstand R durch die
Dämpfung hervorgerufen wird?
c) Leiten Sie einen Ausdruck für den Strom her, und geben Sie damit die Spannung, die am Widerstand R abfällt, an. Benutzen Sie hierzu die in der Vorlesung angegebene Formel für die Ladung Q(t) des Kondensators des gedämpften
Schwingkreises.
d) Aus der Antwort auf die Teilaufgabe c) erkennt man, dass die Amplitude einer
Anregung des Schwingkreises exponentiell abklingt: A(t) ∼ exp(−t/τ ). Wie groß
ist die Zeitkonstante τ des Abklingverhaltens?
1
J̀
^
J́
a) Der Schwingkreis wird hauptsächlich angeregt von Signalen mit Frequenzen, die
in der Nähe der Resonanzfrequenz liegen. Die Resonanzfrequenz
des Schwing√
kreises ohne Dämpfung ist gegeben durch ω = 2πf = 1/ LC. Umstellen ergibt
C = 1/(Lω 2 ) = 1/(L4π 2 f 2 ) = 8.40 pF.
q
R2
1
0
0
b) Resonanzfrequenz des Schwingkreises mit Dämpfung: ω = 2πf = LC
− 4L
2.
q
1
R2
Mit C aus a) ergibt sich f 0 = 1/(2π) LC
− 4L
2 = 548.87 kHz und damit ∆f =
0
f − f = −0.13 kHz.
c) In der Vorlesung wurde die Ladung des Kondensators als Funktion der Zeit angegeben:
R
Q(t) = Q0 e− 2L t cos (ω 0 t) .
Ableitung nach der Zeit t ergibt den Strom I(t):
R
d
R −Rt
0
−
t
0
0
I(t) = Q(t) = Q0 − e 2L cos (ω t) − e 2L ω sin (ω t)
dt
2L
R
R
0
0
0
− 2L
t
cos (ω t) + ω sin (ω t) .
= −Q0 e
2L
Am Widerstand R fällt die Spannung
U (t) = RI(t) = −RQ0 e
R
− 2L
t
R
cos (ω 0 t) + ω 0 sin (ω 0 t)
2L
ab.
d) In den Formeln für U (t) oder I(t) aus c) erkennt man leicht das Abklingverhalten
R
R
∼ e− 2L t der Schwingungen. Es ist also τ −1 = 2L
= 7.5 · 104 s−1 → τ = 2L/R =
13 µs.
≺./ •∞• ./
2. Ausbreitung einer ebenen Welle
Das elektrische Feld einer sich im Vakuum ausbreitenden elektromagnetischen Welle
ist gegeben durch
~ = E0 ey cos (kx − ωt) ,
E
wobei E0 = 20 V/m und ey der Einheitsvektor in y-Richtung ist. Es gilt auch k > 0
und ω = 6 · 1015 s−1 .
a) In welche Richtung breitet sich diese Welle aus? In positive oder negative Richtung?
b) Wie ist die Welle polarisiert?
c) Berechnen Sie die Wellenzahl k, die Wellenlänge λ und die Frequenz f .
d) Geben Sie einen zur angegeben Formel äquivalenten Ausdruck für das magneti~ dieser Welle an. Das Vorzeichen von B
~ brauchen Sie hierbei nicht zu
sche Feld B
bestimmen.
2
e) Berechnen Sie die zeitlich gemittelte Energiestromdichte.
J̀
J́
^
a) Die Welle breitet sich in positiver x-Richtung aus. Hierzu kann man einen beliebigen Punkt gleicher Phase φ = kx − ωt betrachten. Dieser Punkt bewegt sich
gemäß x(t) = (ωt + φ)/k, → ẋ = ω/k = f λ = c > 0.
b) Die Welle ist linear polarisiert in y-Richtung.
c) Wellenzahl: k = ω/c = 2 · 107 m−1 ;
Wellenlänge: λ = 2π/k = 314 nm;
Frequenz: f = ω/(2π) = 9.55 · 1014 Hz.
d) Der Wellenvektor ~k = kex ist definiert als Wellenzahl mal den Einheitsvektor in
Ausbreitungsrichtung.
1) Einfacher Weg über die in der Vorlesung behandelten Eigenschaften elektro~ E
~ und E⊥
~ ~k sowie B⊥
~ ~k: → B
~ = B 0 ez .
magnetischer Wellen im Vakuum: B⊥
~ = |E|/c
~
Elektrische und magnetische Feldamplitude hängen nach |B|
zusammen:
~
→ |B0 | = E0 /c. (Das Vorzeichen von B0 und damit von B wird dadurch festge~ = 1 (~k × E).
~ Also ist B0 = E0 /c. ) Außerdem sind E
~
legt, dass eigentlich gilt B
ω
~ in Phase, so dass
und B
~ = E0 ez cos (kx − ωt)
B
c
gilt.
~ ×E
~ = −B
~˙ kann benutzt werden um B
~ zu
2) Die Maxwell’sche Gleichung ∇
~ = Ey ey erhalten wir
bestimmen. Mit E
~ ×E
~ = − ∂ Ey e x + ∂ Ey e z
∇
∂z
∂x
∂
∂
Ey e z =
[E0 cos (kx − ωt)] ez
=
∂x
∂x
= −E0 k sin (kx − ωt) ez
!
~˙ = −Ḃz ez .
= −B
~˙ sind Null, was bedeutet, dass die entsprechenDie x- und y-Komponenten von B
~ konstant sind und nichts mit der Welle
den Komponenten des Magnetfeldes B
zu tun haben. Diese Integrationskonstanten können wir hier gleich Null wählen.
Für das Magnetfeld ergibt sich durch Integration über die Zeit t:
Z
Z
˙
~
~
B = Bdt = Ḃz dt ez
Z
= E0 k sin (kx − ωt) dt ez
= E0
k
cos (kx − ωt) ez
ω
E0
ez cos (kx − ωt) ,
c
wobei die Integrationskonstante auch bei der z-Komponente gleich Null gewählt
wurde.
=
3
e)
D E
~ =
S
t
1 ~
E
2µ0 0
~0 =
×B
1
E B e
2µ0 0 0 y
× ez =
E02
e ,
2µ0 c x
mit
E02
2µ0 c
= 0.53 W/m2 .
≺./ •∞• ./
3. Überlagerung von Wellen verschiedener Polarisation
Zwei ebene elektromagnetische Wellen, welche durch ihre elektrischen Felder E~1 und
E~2 beschrieben werden, werden überlagert.
E~1 = E0 ex cos (kz − ωt) und E~2 = E0 ey cos (kz − ωt + φ) .
Die Teilwellen besitzen die gleiche Kreisfrequenz ω, haben betraglich gleiche Feldamplituden E0 und breiten sich in z-Richtung aus. Beide sind linear polarisiert, E~1 in
x-Richtung, E~2 dagegen in y-Richtung. Außerdem gibt es einen festen Phasenunterschied φ = π/2 zwischen beiden Wellen.
~ = E~1 + E~2 für z = 0 an,
a) Geben Sie eine Ausdruck für das resultierende Feld E
und beschreiben Sie die zeitliche Entwicklung des Feldvektors in der x-y-Ebene.
b) Bestimmen Sie nun einen Ausdruck für das Feld der überlagerten Welle, wobei die
Zeit auf t = 0 festgehalten wird, und beschreiben Sie die räumliche Entwicklung
des Feldvektors entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle.
a)
J̀
^
J́
~ = 0, t) = E~1 (z = 0, t) + E~2 (z = 0, t)
E(z
h
π i
ey
= E0 cos (−ωt) ex + cos −ωt +
2
= E0 [cos (−ωt) ex − sin (−ωt) ey ]
= E0 [cos (ωt) ex + sin (ωt) ey ]
~ dreht sich im Gegenuhrzeigersinn in der x-y-Ebene mit der
Der Feldvektor E
Kreisfrequenz ω.
b)
~ t = 0) = E~1 (z, t = 0) + E~2 (z, t = 0)
E(z,
h
π i
= E0 cos (kz) ex + cos kz +
ey
2
= E0 [cos (kz) ex − sin (kz) ey ]
= E0 [cos (−kz) ex + sin (−kz) ey ] .
~ beschreibt eine Kreisspirale um die z-Richtung mit DrehrichDer Feldvektor E
tung im Uhrzeigersinn für zunehmende z. Hierbei enspricht eine Umdrehung einem Abstand auf der z-Achse ∆z = 2π/k = λ.
≺./ •∞• ./
4