A 1. Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken – Sinus
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Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c A 1. Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken – Sinus (Autor: Brandt) Motivation / Wofür brauche ich das? Die Seiten eines Dreiecks haben Längenverhältnisse zueinander. Man kann diese Verhältnisse mit Hilfe der Innenwinkel des Dreiecks (und umgekehrt) ausdrücken. Wie das geht, wird unten erklärt. Ziel ist es, fehlende Größen im Dreieck, also Seitenlängen oder Winkel, bestimmen zu können. Dies kann einem auch helfen, fehlende Größen in anderen Figuren zu bestimmen, da man andere Figuren oft in Dreiecke zerlegen kann. Erklärung In einem ebenen, rechtwinkligen Dreieck ABC mit entsprechenden Winkeln α, β, γ = 90° ist Seite a die Gegenkathete von α, Seite b ist die Ankathete von α, Seite c ist die längste Seite, sie liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse. Entsprechend ist Seite b die Gegenkathete von β, Seite a ist die Ankathete von β. Bildquelle: http://www.mathe-online.at Man nennt das Längenverhältnis Gegenkathete von α zu Hypotenuse den Sinus von α. Entsprechend ist das Längenverhältnis Gegenkathete von β zu Hypotenuse der Sinus von β. Länge der Gegenkathe te von , wobei man „Länge der sin( ) Länge der Hypotenuse Gegenkathete von α“ und „Länge der Hypotenuse“ dann natürlich durch die Seitenbezeichnungen oder gleich durch die Längenangaben ersetzt. Entsprechendes gilt für sin(β). Mit diesen Längenverhältnissen kann man nun die Winkel bestimmen. Jedem solchen Längenverhältnis ist genau ein Winkel zugeordnet. Der Winkel α ist der Arkussinus von Gegenkathete von α zu Hypotenuse. Man schreibt Man schreibt Länge der Gegenkathe te von . Länge der Hypotenuse arcsin 1 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Beispiel Bildquelle: http://www.mathe-online.at Zu bestimmen sind die fehlenden Größen (α, β und b). Da man in einen Bruch keine Dezimalzahlen schreibt, erweitert man in diesem Fall und erhält das Verhältnis sin( ) 67 . Mit dem Arkussinus bestimmt man nun die Größe des Winkels α. 73 67 66,6 . 73 Auf dem Taschenrechner heißt die Arkussinus-Taste meistens „sin-1“ und ist über die ShiftTaste erreichbar. Man tippt ein: sin-1(67:73)=… arcsin Die Seitenlänge von b kann mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden. b (7,3cm)² (6,7cm)² 2,9cm 29 Mit dem Arkussinus bestimmt man nun die Größe des Winkels β. arcsin 23,4 . 73 Probe: 66,6°+23,4°+90°=180°. Auf der nächsten Seite wird erklärt, wie man β direkt hätte bestimmen können, also ohne die Länge der Seite b zu kennen. 2 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c A 2. Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken – Kosinus (Autoren: Kerstin, Christian, Robin, Marcel) Motivation / Wofür brauche ich das? Auch hier ist das Ziel, fehlende Größen im Dreieck bestimmen zu können. Dies kann helfen, fehlende Größen in anderen Figuren zu bestimmen, da man andere Figuren oft in Dreiecke zerlegen kann. Nun wird beschrieben, wie dies mit dem Kosinus möglich ist. Erklärung Man nennt im ebenen rechtwinkligen Dreieck ABC (mit rechtem Winkel bei C) das Längenverhältnis Ankathete von α zu Hypotenuse den Kosinus von α. Entsprechend ist das Längenverhältnis Ankathete von β zu Hypotenuse der Kosinus von β. Seite a ist hier die Gegenkathete von α, b die Ankathete von α und c die Hypotenuse. Wie bei den Erläuterungen zu Sinus schreibt man hier: Länge der Ankathete von cos(α) = Länge der Hypotenuse Mit dem Längenverhältnis kann man nun den Winkel bestimmen. Es ist immer ein Winkel einem Längenverhältnis zugeordnet. Der Winkel α ist der Arkuskosinus von der Ankathete zur Hypotenuse. Länge der Ankathete von α = arccos Länge der Hypotenuse Beim Taschenrechner muss man „cos-1“ wählen, wenn es keine „arccos“-Taste gibt. Dies entspricht dem Arkuskosinus. Beispiel Zu bestimmen sind die fehlenden Größen α, β und a im rechtwinkligen Dreieck (Beachte: Die Abbildung zeigt bereits die vollständig beschriftete Figur!) Winkel: c = 7cm a = 3,61cm b = 6cm Abbildung: Eigenentwurf 3 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Länge der Ankathete von 6 = Man erhält das Verhältnis cos(α) = Länge der Hypotenuse 7 Mit dem Arkuskosinus bestimmt man nun die Größe des Winkels α. 6 α = arccos 31 7 Auf dem Taschenrechner wird (meist über die Shift-Taste / 2nd-Taste) cos-1 gewählt, wenn es die arccos-Taste nicht gibt. Man tippt ein: cos-1 =… Die Seitenlänge von a kann mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden. a= 3,61cm Mit dem Arkuskosinus bestimmt man die Größe des Winkels β. Man erweitert den Bruch wieder, da sonst eine Dezimalzahl im Zähler wäre. 361 β = arccos 700 59 Probe: 31 + 59 + 90 = 180 4 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c A 3. Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken – Tangens (Anneke, Kerstin, Sara) Motivation / Wofür brauche ich das? Ziel ist auch hier, fehlende Größen im Dreieck bestimmen zu können. Neben Sinus und Kosinus kann auch der Tangens helfen, fehlende Größen zu ermitteln. Wie dieser genutzt wird, wird nun erläutert. Erklärung Man nennt das Längenverhältnis Gegenkathete von α zu Ankathete von α den Tangens von α. Entsprechend ist das Längenverhältnis Gegenkathete von β zu Ankathete von β der Tangens von β. Bildquelle: http://www.mathe-online.at In einem ebenen rechtwinkligen Dreieck ABC mit rechtem Winkel bei C ist Seite a die Gegenkathete von α, b die Ankathete von α und c die Hypotenuse. tan(α) = α = arctan Mit dem Längenverhältnis kann man nun den Winkel bestimmen. Auch hier gilt: Es ist immer ein Winkel einem Längenverhältnis zugeordnet. Der Winkel α ist der Arkustangens von der Gegenkathete zu α zur Ankathete von α. Man schreibt α = arctan . Wie bei Sinus und Kosinus findet man auf dem Taschenrechner die Taste „arctan“ oder „tan-1“. 5 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Beispiel Zu bestimmen sind die fehlenden Größen α, β und c im rechtwinkligen Dreieck (Beachte: Die Abbildung zeigt bereits die vollständig beschriftete Figur!) Winkel: Abbildung: Eigenentwurf Da man in einem Bruch keine Dezimalzahlen schreibt, erweitert man in diesem Fall und erhält das Verhältnis . Mit dem Arkustangens bestimmt man nun die Größe des Winkels α. Man tippt ein: =… Die Seitenlänge von c kann mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden. . Mit dem Arkustangens (oder mit Hilfe der Innenwinkelsumme) bestimmt man nun die Größe des Winkels β. 6 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c A 4. Berechnungen an Figuren (Anneke, Robin, Sara) Motivation / Wofür brauche ich das? Stecken, Winkelgrößen und Flächeninhalte können in vielen Figuren mit der Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens einfach ermittelt werden. Oft kann man dazu die Figuren in rechtwinklige Teildreiecke abgrenzen, in denen die gesuchten Strecken, Winkel usw. vorkommen. Erklärung Um an beliebigen Figuren fehlende Winkel oder Seitenlängen und Flächeninhalte herauszufinden, kann man auch den Satz des Sinus, Kosinus oder Tangens oder auch den Satz des Pythagoras anwenden. Dabei ist es hilfreich, sich an die folgenden Schritte zu halten: 1. Schritt: Als erstes ist es sinnvoll, eine Skizze mit den gegebenen Winkeln und Seitenlängen anzufertigen und die fehlenden Größen zu benennen. 2. Schritt: Um Sinus, Kosinus und Tangens anwenden zu können, benötigt man ein rechtwinkliges Dreieck. In jeder Figur befinden sich solche rechtwinklige Dreiecke, die man selbst erkennen und einzeichnen muss. Dies geschieht oft durch die Einzeichnung der Höhe. 3. Schritt: Nun kann man die fehlenden Angaben mithilfe von Sinus, Kosinus und Tanges oder dem Satz des Pythagoras berechnen. Dazu haben wir folgendes Beispiel angefertigt. Beispiel Berechne im gleichschenkligen Dreieck (ABC) die fehlenden Größen und den Flächeninhalt, wenn gegeben: a = b= 7cm; α= 36° Abbildung: Eigenentwurf 7 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Zu bestimmen sind die fehlenden Größen (c, γ, hc, A). Da kein rechtwinkliges Dreieck vorhanden ist, muss man es finden und bestimmen. Dazu fertigt man eine Skizze an. Da die beiden entstandenen Dreiecke identisch sind, ist es möglich, nur anhand eines der Beiden, die fehlenden Angaben zu berechnen. gesucht: γ, c, h, A Rechnung: weil c Durch Umstellen kann man die Seite c bestimmen. Somit erhält man die Ankathete zum Winkel α und kann dann mit dem Kosinus berechnen. Um nun die komplette Seite c zu erhalten, muss man Rechnung: verdoppeln. Nun muss man die Höhe berechnen, um auf den gesuchten Winkel γ zu kommen. Dies kann man mit Hilfe des Pythagoras errechnen. Rechnung: Jetzt kann man den Flächeninhalt berechnen, da man Rechnung: Nun kann man und die Höhe gegeben hat. ausrechnen, in dem man den Kosinus anwendet. Wenn man hat, kann man γ herausfinden, wenn man verdoppelt. 8 errechnet Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Rechnung: Als Probe, um sicher zu sein, dass die Werte für die Winkel richtig sind, kann man die gesamten Winkelwerte addieren. Wenn die Summe 180° beträgt, sind die Werte richtig errechnet worden. Probe: (geringe Abweichung durch voriges Runden) Als Antwort formuliert man einen vollständigen deutschen Satz. Antwort: Die Seite c ist im gleichschenkligen Dreieck (ABC) 11,32cm lang. Der Winkel γ beträgt ungefähr 108,88° und das Dreieck hat die Höhe 4,12cm. 9 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c A 5. Die Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Tangens – Veranschaulichung am Einheitskreis (Else, Rebecca, Marie) Motivation / Wofür brauche ich das? Sinus, Kosinus und Tangens sind voneinander abhängig. Daher verändern sich alle anderen Größen, wenn eine beliebige andere sich verändert. Ziel ist es, durch eine der angegebenen Größen alle anderen errechnen zu können, bzw. am Einheitskreis ablesen zu können. Erklärung β tan α α α α Q Bildquelle: http://www.frustfrei-lernen.de/images/mathematik/einheitskreis-sin-cos.jpg Um die Beziehung von Sinus, Kosinus und Tangens zu veranschaulichen, sollte man die Länge der Hypotenuse als 1 Längeneinheit (1 LE) wählen. Hierdurch hat der Nenner bei den Längenverhältnissen Sinus und Kosinus den Wert 1 – die Rechnungen werden einfacher. An dem Teil vom Einheitskreis sieht man, dass je kleiner α wird, desto kleiner werden auch sin α und tan α und desto größer wird auch cos α. Wenn α hingegen größer wird, wachsen auch sin α und tan α, während cos α kleiner wird. Das heißt, für α=0° und α=90° entsteht zwar kein Dreieck, aber trotzdem sind einige Festlegungen sinnvoll: sin 0° = 0; sin 90° = 1; cos 0° = 1; cos 90° = 0; tan 0° = 0; tan 90° = 1 In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin α = PQ = cos β = cos(90°-α), da β = (90°-α) ist. Das bedeutet, dass die Strecke PQ genauso lang ist, wie der Sinuswert von α und der Kosinuswert von β. Außerdem gilt: cos α = OP = sin β = sin(90°-α) Also ist die Strecke OP genauso lang wie der Kosinuswert von α und der Sinuswert von β. 10 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Mit dem Satz des Pythagoras erhält man (für rechtwinklige Dreiecke) die Gleichung sin²(α) + cos²(α) = 1. (Vgl. auch Abb. S. 10) Außerdem wird deutlich, dass bzw. warum tan α = gilt (vgl. hierfür Abb. S. 10). Überlegungen zur Verallgemeinerung mit dem Strahlensatz: Wenn man annimmt, dass vom Punkt A zwei Strahlen ausgehen, lässt sich die Allgemeingültigkeit der Verhältnisse zwischen Sinus, Kosinus und Tangens mit dem Strahlensatz erklären. Wenn Tangens einen der Strahlen so schneidet, dass ein rechter Winkel entsteht, entsteht auch immer ein rechtwinkliges Dreieck, das zum Dreieck mit der Hypotenusenlänge 1 ähnlich ist. Beispiel Gegeben ist sin α = a) cos α; Berechne genaue Werte für b) tan α. Lösung: a) Man rechnet mit der Formel sin² α + cos² α = 1. Um Kosinus ausrechnen zu können, muss man diese Formel erst noch umstellen. → sin² α + cos² α = 1 → cos² α = 1 - sin² α | - sin² α Jetzt setzt man den Sinuswert in die Funktion ein. → cos² α= 1- = 11 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Um jetzt den Kosinuswert ausrechnen zu können, zieht man die Wurzel. cos α = b) Man rechnet mit der Formel tan α = Jetzt setzt man den gegebenen Wert von Sinus und den errechneten Wert von Kosinus in die Formel ein. → tan(α) = 12 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c A 6. Sinussatz und Kosinussatz (Raffael, Heike, Alina) 1. Sinussatz Motivation / Wofür brauche ich das? Man verwendet den Sinussatz, um die fehlenden Seiten und Winkelgrößen in einem Dreieck zu berechnen, das nicht rechtwinklig ist. Erklärung In jedem Dreieck ABC verhalten sich die Längen zweier Seiten so, wie die Sinuswerte der jeweils gegenüberliegenden Winkel. Um den fehlenden Wert zu errechnen, müssen mindestens zwei Seitenlängen und eine Winkelgröße, oder umgekehrt gegeben sein. Falls der gegebene Winkel von den gegebenen Seiten eingeschlossen ist, kann die Formel nicht angewendet werden. Es gelten folgende Formeln: Beispiel Gegeben: a = 3,2 cm c = 7,5 cm γ = 37˚ Gesucht: b, α, β Lösung: | sin(γ) sin(α) = sin(α) = sin(γ) sin(37) sin(α) = 0,26 α = 14,9° | sin-1 β = 180°- 37°- 14,9° β = 38,1° 13 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c | c b= b= c 7,5cm b = 7,69 cm 2. Kosinussatz Motivation / Wofür brauche ich das? Der Kosinussatz wird verwendet, um die fehlenden Werte in einem Dreieck zu berechnen, wenn zwei der Seitenlängen, sowie der eingeschlossene Winkel oder alle drei Seitenlängen gegeben sind. Der Kosinussatz ist nicht nur im rechtwinkligen Dreieck anwendbar. Im rechtwinkligen Dreieck entspricht der Kosinussatz dem Satz des Pythagoras. Erklärung Der Kosinussatz stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten und dem Kosinus eines Winkels (entweder α, β oder γ) in einem Dreieck dar. Hieraus ergeben sich folgende Formeln: a2 = b² + c² - 2bc cos α b2 = a² + c² - 2ac cos β c2 = a² + b² - 2ab cos γ Beispiel Gegeben: a = 4cm b = 6cm c = 8cm a² = b² + c² - 2bc cos α Gesucht: α, β, γ | Formel nach cos α umstellen cos α = cos α = cos α = | cos-1 α = 29° 14 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c cos β = cos β = cos β = 0,6875 | cos-1 β = 46,6° γ = 180°- 29°- 46,6° γ = 104,4° 15 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c B1. Periodische Vorgänge (Matthias, Chris, Jan-Niklas, Christoph, Céline, Merve) Motivation / Wofür brauche ich das? In Natur und Technik gibt es viele Vorgänge, die sich (i.d.R. zeitlich) wiederholen. Diese Vorgänge lassen sich durch periodische Funktionen beschreiben. Das bedeutet, dass verschiedenen Zeiten o.ä. (also verschiedenen x-Werten) wiederkehrend die gleiche Geschwindigkeit / Helligkeit / Wasserstand o.ä. (also der gleiche y-Wert) zugeordnet wird. Erklärung Der Abstand zwischen den Wiederholungen nennt sich Periode. Mathematisch lässt sich eine periodische Funktion so ausdrücken, dass es eine Zahl p gibt, für die gilt: f(x + p) = f (x). p ist also die Periode, der kürzeste Abstand zwischen den Wiederholungen. Eine solche Funktion haben wir bisher jedoch noch nicht kennen gelernt, da sowohl mit linearen und quadratischen als auch mit exponentiellen Funktionen keine derart regelmäßigen Prozesse abgebildet werden. Wir werden also erst durch trigonometrische Funktionen periodische Vorgänge genauer untersuchen können. Beispiel Beispiele aus dem täglichen Leben: X wird zugeordnet zu Zeit Strecke Strecke > > > Y Helligkeit am Tag Kopf eines Schwimmers beim Schmetterling Höhe eines Ventils über dem Boden (Fahrrad) (Quelle: Lambacher Schweizer) 16 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c B 2. Sinus und Kosinusfunktion – Bogenmaß und Gradmaß (Sören, Julia, Kai) Motivation / Wofür brauche ich das? (B2 und B3) Abbildung: Geogebra Wir können bereits unbekannte Seiten und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken mit Hilfe von Sinus und Kosinus ermitteln. Allerdings liegen die Werte für Sinus und Kosinus in solchen Dreiecken zwischen 0° und 90°. Mit Hilfe eines Einheitskreises*1 kann man auch Sinus und Kosinus Werte von α und α > 90 bestimmen, da man in diesem Dreiecke mit beliebig großen Winkeln erzeugen kann. Mit der Sinus- und Kosinusfunktion lassen sich solche Werte des Sinus und Kosinus genauer als mit einem Einheitskreis bestimmen. *1: Kreis um den Ursprung eines Koordinatensystems, Radius r = 1 LE Erklärung Die Formel um einen Kreisbogen zu berechnen ist . Das Verhältnis , also das Verhältnis zwischen dem Kreisbogen und einer Seite, nennt sich Bogenmaß. Durch Umformung erhält man aus. Durch erneutes Umstellen nach , also . Hiermit rechnet man die Bogenlänge erhält man die Formel . Diese nennt sich Gradmaß, da sie den Winkel berechnet. X ersetzt in dieser Formel den Kreisbogen und den Radius. Da auch das Bogenmaß ein Verhältnis angibt, kann man diesem die Sinus- und Kosinusfunktion zuordnen. Diese so entstehenden Funktionen nennen sich trigonometrische Funktionen. Ihr Graph ist eine periodische Kurve mit der Periode 2π. Die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen lassen sich aus denen der Sinus und Kosinusfunktion ableiten. cos sin Abbildung: Geogebra 17 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Beispiel Gib die Winkel im Bogenmaß (als Faktor von π) und als Dezimalzahl an. Runde die Dezimalzahl auf Tausendstel. a) 180°; 90°; 270° b) 1°; 7°; 23° c) -17°; -25°; -78° Lösungen a) 3,141 (1 π); 1,571 (0,5 π); 4,712 (1,5 π) b) 0,017; 0,122; 0,401 c) -0,297; -0,436, -1,361 18 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c B 3. Sinus-/Kosinusfunktionen in der der Normalform (Maike, Ramazan, Josephine) Erklärung 1. Sinusfunktion Bei einer Sinusfunktion bestimmen die verschiedenen Parameter (a,b,c) den Verlauf des Graphen im Koordinatensystem. f(x)= a sin (bx + c) Abbildung: Geogebra a: ist die Amplitude, sie staucht/streckt den Graphen in y-Richtung. Die Periodenlänge bleibt unbeeinflusst. Ist a<0, so wird der Graph an der x-Achse gespiegelt. f(x) = 1 sin x b: f(x) = 2 sin x streckt oder staucht den Graphen in x-Richtung und verändert so die Periodenlänge. Die Amplitude bleibt unbeeinflusst. 19 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c f(x) = sin (2x) c: f(x) = sin (1x) verschiebt den Graphen in x-Richtung. Die Amplitude und die Periodenlänge bleiben gleich. Wenn c>0 ist, dann verschiebt sich der Graph nach links, bei c<0 nach rechts. f(x) = sin(x) f(x) = sin(x - 2) 2. Kosinusfunktion Bei einer Kosinusfunktion bestimmen die verschiedenen Parameter (a,b,c) den Verlauf des Graphen im Koordinatensystem. Der einzige Unterschied zwischen der Sinus- und Kosinusfunktion ist, dass die Kosinusfunktion bei (0|1) und die Sinusfunktion bei (0|0) die y-Achse schneidet. f(x)= a cos (bx + c) f(x)= a sin(bx + c) Abbildungen: Geogebra a: ist die Amplitude, sie staucht/streckt den Graphen in y-Richtung. Die Periodenlänge bleibt unbeeinflusst. Ist a<0, so wird der Graph an der x-Achse gespiegelt. 20 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c f(x) = 2 cos x b: streckt oder staucht den Graphen in x-Richtung und bedeutet eine veränderte Periodenlänge. Die Amplitude bleibt unbeeinflusst. f(x) = cos (1x) c: f(x) = 1 cos x f(x) = cos(2x) verschiebt den Graphen horizontal zur x-Achse. Die Amplitude und die Periodenlänge bleiben gleich. Wenn c>0 ist, dann verschiebt sich der Graph nach links, bei c<0 nach rechts. f(x) = cos (x – 2) f(x) = cos (x + 0) Abbildungen: Geogebra 21 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Beispiel Abbildung: Geogebra Gib zu dem Graphen einen Funktionsterm der Form f(x) = a sin(bx + c) an. Lösung: a: um die Amplitude abzulesen, muss man überprüfen, in welcher Höhe der Graph maximal in y-Richtung ausschlägt b: Um b herauszufinden, muss man wissen, wie oft der Graph die x-Achse im Intervall der regulären Länge 2 schneidet. Von dieser Zahl muss man noch eins subtrahieren, um auf b zu kommen. c: In diesem Fall ist der Graph nicht, oder um 2 n deckungsgleich und sähe unverändert aus. 22 verschoben, das bedeutet, er wäre Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c B 4. Additionssätze (Matthias, Chris) Motivation / Wofür brauche ich das? Die 4 Additionssätze dienen dazu, Sinus und Kosinus als Summe oder Differenz darzustellen. Dadurch ist es möglich, bestimmte Sinus- und Kosinuswerte ohne Taschenrechner zu bestimmen. Erklärung Die Additionssätze lauten: Wenn man Funktionswerte gegeben hat, kann man mit Hilfe der Additionssätze weitere Funktionswerte der Sinus- und Kosinusfunktion berechnen. Für bestimmte Kosinuswerte gibt es „gerade Werte“, die man einfach einsetzen kann. Quelle: Tafelwerk 23 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Beispiel Bestimme mit Hilfe bekannter Werte (vgl. Tabelle) a) b) c) a) b) c) (Aufgabenquelle: Lambacher Schweizer) 24 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Quellenverzeichnis Dorn, Matthias et al (2012): Lambacher Schweizer 9 – Mathematik für Gymnasien. Ernst Klett Verlag, Stuttgart. Schmid, August (Hrsg.) (2000): Lambacher Schweizer 10 – Ausgabe A. Ernst Klett Verlag, Stuttgart. Wörstenfeld / Winter / Pfeil (2003): Das große Tafelwerk interaktiv. Cornelsen Verlag. Digitale Aufgabensammlung „mathepower“ (2010 und 2012), tw. einsehbar unter www.mathepower.de Onlinequellen http://www.mathe-online.at/lernpfade/Testpfad_Stefanie_Schrei/?kapitel=1 http://www.frustfrei-lernen.de/images/mathematik/einheitskreis-sin-cos.jpg 25 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Übungsaufgaben mit Lösungen Themenkomplex A: Parallelogramm (vgl. LS 9, S.83) In einem Parallelogramm ABCD sind a= 4,1cm und b=3,4cm (Fig.2). Berechne die Höhen h1 und h2 sowie den Flächeninhalt A für: a) α=42° b) α=115°. Zeichne das Parallelogramm und trage die Höhen ein. Trapez (vgl. LS 9, S.83) Berechne für ein symmetrisches Trapez ABCD die fehlenden Größen. a) a=9,2cm, b=4,0cm, α=40° b) a=5,1cm, h=3,2cm, γ= 108° c) b=7,5cm, c=3,4cm, h=5,0cm d) a=8,5cm, c=4,9cm, γ=116° 26 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Lösung zu Parallelogramm a) b) Lösung zu Trapez a) ; b) und ; und c) , also , also und d) , also ; , also ; und , also 27 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Bestimme die fehlenden Größen im Dreieck ABC mit Hilfe mit Hilfe des Sinussatzes. Dreieck ABC geg.: ges.: Dreieck ABC 2 geg.: ges.: a Dreieck ABC 3 geg.: ges.: a Lösung zu Dreieck ABC: , , [m] Lösung zu Dreieck ABC 2 [m] Lösung zu Dreieck ABC 3 28 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Bestimme die fehlenden Größen im Dreieck ABC mit Hilfe mit Hilfe des Kosinussatzes. Dreieck ABC 4 geg.: β= 20° a= 2m c= 1m ges.: b Dreieck ABC 5 geg.: ges.: Lösung zu Dreieck ABC 4 Lösung zu Dreieck ABC 5 | Antwort: Die Winkel des Dreiecks betragen gerundet 33,56° ( ), sowie 112,88° ( ). Ausgewählte mathepower-Aufgaben 1. Drücke in jedem Dreieck der folgenden Abbildungen sin, sin, cos und cosß durch ein Verhältnis der Seiten aus. a) b) c) 29 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c 2. Welcher Winkel gehört zu folgenden Sinuswerten? a) sin = 0,3256 b) sin = 0,7193 c) sin = 0,9205 3. Bestimme zu folgenden Kosinuswerten die Winkel. a) cos = 0,8988 b) cos = 0,6947 c) cos = 0,3420 4. Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit c als Hypotenuse sind gegeben: Gegeben: Gesucht: a) b = 6,3 cm, c = 10 cm; , , a b) a = 20,2 cm, c = 25 m; , , b c) a = 3,11 m, = 43°; , c, b d) b = 19,70 m, = 38°; , c, a 5. Eine Seilbahn ist l = 2,5 km (1,5 km) lang und überwindet dabei einen Höhenunterschied h = 1 570 m (990 m). Welchen durchschnittlichen Steigungswinkel hat die Seilbahn? 6. Die gerade Teilstrecke einer Passstrasse hat einen durchschnittlichen Steigungswinkel = 5° (11°) und überwindet dabei einen Höhenunterschied h = 70 m (120 m). Welche Länge l hat die Teilstrecke? 30 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Lösungen zu den mathepower-Aufgaben: 1. Drücke in jedem Dreieck der folgenden Abbildungen sin, sin, cos und cosß durch ein Verhältnis der Seiten aus. a) b) x z y sinß z y cos z x cosß z sin a) b) c) q p r sinß p r cos p q cosß p sin c) 2 u v sinß u v cos u w cosß u sin 2. Welcher Winkel gehört zu folgenden Sinuswerten? a) sin = 0,3256 = 19° b) sin = 0,7193 ß = 46° c) sin = 0,9205 = 67° 3. Bestimme zu folgenden Kosinuswerten die Winkel. a) cos = 0,8988 b) cos = 0,6947 ß = 46° = 26° c) cos = 0,3420 = 70° 4. Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit c als Hypotenuse sind gegeben: a) b) c) d) Gegeben: b = 6,3 cm, c = 10 cm; a = 20,2 cm, c = 25 m; a = 3,11 m, = 43°; b = 19,70 m, = 38°; Gesucht: , , a , , b , c, b , c, a Zur Lösung der Aufgaben sind meist mehrere Lösungswege möglich. Lösung a) ausführlich: Berechnung von : b c 6,3 cos 10 cos 0,6300 cos 50,94 31 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Berechnung von ß: ß = 90° – ß = 39,06° Berechnung von a: a c a c sin sin a 10 sin50,94 a 7,77 cm Lösungen b) = 53,9° ß = 36,1° b = 14,73 m Lösungen c) ß = 47° c = 4,56 m b = 3,34 m Lösungen d) ß = 52° c = 25 m a = 15,39 m 5. Eine Seilbahn ist l = 2,5 km (1,5 km) lang und überwindet dabei einen Höhenunterschied h = 1570 m (990 m). Welchen durchschnittlichen Steigungswinkel hat die Seilbahn? sin h l 1570 2500 sin 0,6280 38,9 (1) sin 990 1500 sin 0,6600 41,3 (2) sin 6. Die gerade Teilstrecke einer Passstrasse hat einen durchschnittlichen Steigungswinkel = 5° (11°) und überwindet dabei einen Höhenunterschied h = 70 m (120 m). Welche Länge l hat die Teilstrecke? sin l h l h sin 120 sin11 l 628,93 m 70 sin5 l 802,75 m (2) l (1) l 32 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Themenkomplex B: 1. (LS 9, S. 223) Skizziere den Graphen im Intervall [-2 ; 2 ]. a) f: x 0,5sin(x) b) f: x sin(0,5x + 1) 2. (LS 9, S. 223) a) Zeichne die Graphen der Funktionen f(x)=sin(x g(x)=sin(x + ) und ) in dasselbe Koordinatensystem und vergleiche. Begründe das Ergebnis. b) Zeichne die Graphen der Funktionen f(x)=sin(x - ) und g(x)=sin(x + ) in dasselbe Koordinatensystem und vergleiche. Begründe das Ergebnis. c) Zeige: f(x)=-2sin(x + ) und g(x)=2sin(x - ) beschreiben dieselbe Funktion. 3. (LS 9, S. 223) a) Bestimme die Gleichung der Funktion, deren Graph aus dem Graphen von f(x)=sin(x) dadurch entsteht, dass zuerst mit d = -2 verschoben, dann mit = 3 und mit a = 1,5 gestreckt wird. b) Welche Funktion ergibt sich, wenn man zuerst die Streckungen mit = 3 und a = 1,5 durchführt und zuletzt mit d = -2 verschiebt? Was ist der Grund für die Veränderung? c) Es wird zuerst mit = 3 und a = 1,5 gestreckt. Welche Verschiebung muss man durchführen, wenn man dieselbe Funktion erhalten möchte wie in Teilaufgabe a)? 4. (LS 9, S. 223) Bestimme die Amplitude a und die Periodenlänge p der Funktion. Skizziere dann den Graphen im Intervall [-2 ; 2 ]. Wähle eine passende Achseneinteilung. a) f(x)=1,5 sin(x) b) f(x)=2sin(x- ) c) f(x)=sin(2x) e) f(x)=2sin(3x- ) d) f(x)=3sin(2x-) f) f(x)= - sin( x+ ) 33 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Lösungen zu den Aufgaben 1. bis 4. 1. ohne Lösungsvorschlag 2. (LS 9, L 88) a)Die Sinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge 2π. Wegen -5/4π + 2π=3/4π ist der Graph von g gegenüber dem Graphen von f um genau eine Periodenlänge parallel zur x- Achse verschoben. Beide Graphen sind deshalb identisch. b) Wegen -1/3π+π= 2/3π ist der Graph von g gegenüber dem Graphen von f um π parallel zur x- Achse verschoben. Wegen sin(x+π)= -sin(x) ist der Graph von g eine Spiegelung des Graphen von f an der x- Achse. c) Der Graph der zweiten Funktion entsteht, wenn man den Graphen der ersten Funktion um π parallel zur xAchse verschiebt und danach an der x-Achse verschiebt und danach an der x-Achse spiegelt. Die Graphen beider Funktionen sind also identisch. 3.(LS 9, L 88) a) f(x) = 1,5 ∙ sin( x + 2) b) f(x) = 1,5 ∙ sin [ (x + 2)] = 1,5 ∙ sin ( x + ) c) Die Streckungen ergeben die Funktion mit der Gleichung f(x) = 1,5 ∙ sin ( x). Die Verschiebung parallel zur x-Achse ergibt f(x) = 1,5 ∙ sin [ (x-d)] = 1,5 ∙ sin ( x - d). Daraus folgt d = -6. Man muss um 6 Einheiten nach links verschieben. 4. (LS 9, L88) a) a=1,5 p=2 b) a=2 c) a=1 d) a=3 e) a=2 f) a= -0,5 p=2 p=1 p= p=2/3 p=4 34 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Übungsaufgaben ohne Lösungen Aufgabe 1 (vgl. LS 9, S.105) Berechne jeweils die fehlenden Größen im Dreieck ABC. a) a = 4,8dm, c = 6,4dm b) b = 12,5m, α = 64° c) c = 5,4mm, β = 25° Aufgabe 2 (vgl. LS 9, S.76) Bestimme die Längenverhältnisse der Seiten eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks. Aufgabe 3 (vgl. LS 9, S.76) Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit γ=90° und c = 6cm, bei dem sich die Kathetenlängen zueinander verhalten a) wie 2 zu 3 b) wie 3 zu 5 Aufgabe 4 (vgl. LS 9, S.77) Eine Leiter lehnt in 6,8m Höhe an einer Wand. Die Wand steht senkrecht auf dem Boden. Die Leiter hat eine Länge von 7,5m. a) Bestimme das Maß des Anstellwinkels (Winkel zwischen Leiter und Boden). b) Bestimme den Abstand zwischen dem unteren Leiterende und der Wand. c) Berechne, zwischen welchen Höhen an der Wand sich das obere Leiterende befindet, wenn das Maß des Anstellwinkels zwischen 60° und 80° liegt. Aufgabe 5 (mathepower) Von einem rechtwinkligen Dreieck ( = 900) sind der Flächeninhalt und eine weitere Größe gegeben. Berechne die fehlenden Größen. a) A = 54 cm²; ß = 35,50 c) A = 0,6 dm²; ß = 38,50 e) A = 0,8 dm²; b = 14,5 cm b) A = 1,2 m²; b = 2,05 m d) A = 66,4 m²; b = 11,5 m f) A = 368 cm²; ß = 550 Aufgabe 6 (mathepower) Bestimme im ungleichseitigen Dreieck ABC die gesuchten Stücke mit Hilfe der Höhe. gegeben: a) a = 5 cm; b = 8 cm; hc = 4,2 cm b) hb = 6,1 cm; = 490; ß = 59,40 c) c = 5,5 cm; a = 4,1 cm; hc = 3 cm d) ha = 6 cm; a = 5,3 cm; c = 6,2 cm gesucht: , ß, c a, b, c , ß, b , ß, b 35 Trigonometrie und Trigonometrische Funktionen – Ein Lehrwerk der Klasse 10c Aufgabe 7 (mathepower) Das kegelförmige Dach eines runden Turmes hat einen Umfang von 10 m und eine Seitenlinie (Sparrenlänge) von 7,60 m. Berechne den Neigungswinkel, die Höhe und die Oberfläche des Daches. Aufgabe 8 (vgl. LS, S. 81) In einem rechtwinkligen Dreieck ABC seien α und β die beiden spitzen Winkel. Zeige, dass dann folgende Aussagen wahr sind: a) sin(α) = sin(β) b) Die Werte von cos(α) und von sin(α) sind kleiner als 1. c) Die Werte von tan(α) können beliebig groß werden. d) Wenn das Dreieck zusätzlich gleichschenklig ist, dann gilt sin(α) = cos(α) und tan(β) = tan(α) = 1 Aufgabe 9 (Eigenentwurf) In Hamburg soll ein neuer Fernsehturm errichtet werden. Für den Bau wird ein Budget von 2Mrd Euro gestellt. Der Turm soll eine Höhe von 120m, einen Durchmesser von 32m haben und im Jahre 2020 fertig gestellt werden. Um den Lichteinfall zu optimieren soll ein tortenstückförmiges Teil aus dem Turm entfernt werden. Der Kreisbogen soll eine Größe von 30m haben, berechne das Gradmaß, runde auf die zweite Nachkommastelle. 36
