n - Methodenlehre - Johannes Gutenberg
Werbung
Statistik & Methodenlehre Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Mathematische und statistische Methoden II Wallstr. 3, 6. Stock, Raum 06-206 Dr. Malte Persike [email protected] lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+ facebook.com/methodenlehre twitter.com/methodenlehre youtube.com/methodenlehre SoSe 2012 Folie 1 Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Inhalte dieser Sitzung Kennwerte in Theorie und Empirie Das Schätzproblem: von der Stichprobe zur Population Der 1-Stichproben t-Test Folie 2 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Kennwerte in Theorie & Empirie Numerische Beschreibung: relative Häufigkeit Schätzen Die Wahrscheinlichkeit für die Realisation i einer Zufallsvariablen X ist p xi Theorie Das Äquivalent bei n empirisch an einer Stichprobe erhobenen Realisationen einer Zufallsvariablen X ist die relative Häufigkeit, berechnet als h xi f xi n Empirie Folie 3 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Kennwerte in Theorie & Empirie Numerische Beschreibung: Mittelwert Schätzen Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X ist k E ( X ) pi xi i 1 Theorie (diskreter Fall) Das Äquivalent für empirisch an einer Stichprobe erhobene Daten einer Zufallsvariablen X ist der Mittelwert, berechnet als 1 n x xi n i 1 Empirie Folie 4 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Kennwerte in Theorie & Empirie Numerische Beschreibung: Mittelwert Schätzen Ausgeschrieben lautet die Formel für den Mittelwert bei n Beobachtungen x1 … xn 1 1 n x ( x1 x2 xN ) xi n n i 1 Der Mittelwert ist durch „extreme“ Werte beeinflussbar (ausreißerempfindlich) Er ist der Schwerpunkt der Beobachtungen, d.h. n x x 0 i 1 Folie 5 i Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Intervalldaten Numerische Beschreibung: Mittelwert Schätzen Der Mittelwert stimmt häufig mit keiner beobachteten Realisation überein Der Mittelwert ist wie der Erwartungswert äquivariant gegenüber gewissen (z.B. linearen) Transformationen Insbesondere 1. Addition einer Konstanten a zu allen n Beobachtungen x1 … xn xa x a 2. Multiplikation aller n Beobachtungen x1 … xn mit einer Konstanten c Folie 6 ax ax Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Intervalldaten Numerische Beschreibung: Varianz Schätzen Die Varianz einer Zufallsvariablen X ist definiert als E X E X 2 k 2 X pi xi 2 i 1 Theorie (diskreter Fall) Das Äquivalent für empirisch an einer Stichprobe erhobene Daten einer Zufallsvariablen X heißt ebenfalls Varianz und wird berechnet als n 1 2 2 s x xi x n i 1 Empirie Folie 7 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Intervalldaten Numerische Beschreibung: Varianz Schätzen Die Varianz ist das mittlere Abweichungsquadrat aller n Beobachtungen x1 … xn vom Mittelwert. n 1 2 2 s x xi x n i 1 Erfasst die mittlere Streuung um den Mittelwert Nur falls keine Streuung besteht, ist s² = 0, d.h. alle beobachteten Werte sind gleich. Sonst: s² > 0 Je größer die Streuung um den Mittelwert, desto größer ist die Varianz Ist anfällig gegenüber Ausreißern Folie 8 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Intervalldaten Numerische Beschreibung: Standardabweichung Schätzen Problem: Auch die empirische Varianz ist nicht äquivariant zu erlaubten Skalentransformationen s 2 (a x) a 2 s 2 ( x) (mit a = const.) Wie bei der theoretischen Varianz erhält man durch Wurzelziehen die Standardabweichung (SD, standard deviation) n 1 2 2 s x s x xi x n i 1 Die Standardabweichung ist äquivariant zu den erlaubten Skalentransformationen Folie 9 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Schätzen Von der Stichprobe zur Population Schätzen Problem: Beim inferenzstatistischen Test ist immer der Schluss von den Daten einer Stichprobe auf einen Sachverhalt in der Population gefragt. Beispiel: Beim Binomialtest wird anhand von empirisch in einer Stichprobe erhobenen relativen Häufigkeiten auf die Gleichheit oder Ungleichheit von theoretischen Wahrscheinlichkeiten in der Population geschlossen Dies ist der inferenzstatistische Schluss Der inferenzstatistische Schluss steht und fällt mit der Annahme, dass die Verwendung gemessener Kennwerte (z.B. relative Häufigkeit) als Schätzung für den theoretischen Populationskennwert gerechtfertigt ist Folie 10 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Schätzen Von der Stichprobe zur Population Schätzen Dieses so genannte Schätzproblem lässt sich in einer einzigen Frage zusammenfassen Wann ist eine Schätzung eine gute Schätzung? Das wesentliche statistische Merkmal einer guten Schätzung ist die Erwartungstreue Eine Schätzung ist dann erwartungstreu, wenn bei unendlichen vielen Wiederholungen des Zufallsexperimentes der dabei gemessene Stichprobenkennwert im Mittel gleich dem theoretischen Populationskennwert ist Folie 11 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Schätzen Von der Stichprobe zur Population: p Schätzen Es zeigt sich, dass die relative Häufigkeit eine erwartungstreue Schätzung für die Wahrscheinlichkeit in der Population ist sprich: „dach“ Es gilt also f xi Stichprobenkennwert (bekannt) pˆ xi Schätzung (bekannt) p xi Populationskennwert (unbekannt) Dieser Zusammenhang wurde bereits im Gesetz der Großen Zahl (law of large numbers) formuliert Folie 12 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Schätzen Von der Stichprobe zur Population: Schätzen Es zeigt sich, dass der Mittelwert eine erwartungstreue Schätzung für den Erwartungswert in der Population ist Es gilt also x Stichprobenkennwert (bekannt) ˆ Schätzung (bekannt) Populationskennwert (unbekannt) Dieser Zusammenhang berechtigt Wissenschaftler, aus Stichprobendaten einen Erwartungswert für eine Zufallsvariable zu behaupten (z.B. mittlerer IQ = 100) Folie 13 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Schätzen Von der Stichprobe zur Population: ² Schätzen Es zeigt sich, dass die Varianz der Stichprobe keine erwartungstreue Schätzung für die Varianz in der Population ist Es ist also s2 Stichprobenkennwert (bekannt) ˆ 2 Schätzung (unbekannt) 2 Populationskennwert (unbekannt) Man kann also aus der anhand von Stichprobendaten gemessenen Varianz nicht auf die Varianz der Zufallsvariable in der Population schließen Folie 14 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Schätzen Von der Stichprobe zur Population: ² Schätzen Man kann aber beweisen, dass die Stichprobenvarianz die Populationsvarianz systematisch unterschätzt, dass sie also einen Bias (= systematischer Fehler) hat Für diesen Bias gibt es eine einfache Korrektur n s2 n 1 Stichprobenkennwert (bekannt) ˆ 2 Schätzung (berechenbar) 2 Populationskennwert (unbekannt) Diese korrigierte Stichprobenvarianz ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz, so dass man aus Daten behaupten kann, dass z.B. des IQ = 10 Folie 15 Statistik & Methodenlehre Kennwerte Schätzen Stetige Verteilungen Schätzen Übersicht Wahrscheinlichkeit: Mittelwert: Varianz: Standardabweichung: Folie 16 Inferenzstatistik Empirisch Theoretisch f x p̂ x f x 1 n x xi n i 1 ˆ x n 1 2 n 2 2 s xi x ˆ s2 n i 1 n 1 s s 2 2 n ˆ s n 1 Statistik & Methodenlehre Einführung Prüfgröße Hypothesen Voraussetzungen Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Mittelwertevergleiche In der empirischen Forschung ist zumeist nicht die Prüfung eines Einzeldatums gefragt, sondern von Mittelwerten bzw. von Unterschieden zwischen solchen in mehreren Gruppen Beispiele: „Verbessert sich die Schulleistung von Kindern durch Förderunterricht?“, „Wirkt VT bei Schizophrenen?“, „Sind Frauen sprachbegabter als Männer?“ Für Ordinaldaten haben wir den U-Test sowie den Wilcoxon Vorzeichenrangtest kennen gelernt Für Intervalldaten stehen bessere (i.e. teststärkere) Tests zur Verfügung Folie 17 Statistik & Methodenlehre Einführung Prüfgröße Hypothesen Voraussetzungen Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Mittelwertevergleiche Inferenzstatistische Tests für Mittelwerte sollen anhand von Stichprobendaten Aussagen über die Unterschiedlichkeit von Erwartungswerten in der Population treffen. Für einen solchen Test müssen mehrere Dinge bekannt sein: • Die Erwartungswerte selbst • Ihre Verteilungsform bzw. die Verteilungsform der berechneten Prüfgröße • Die Parameter dieser Verteilung All diese sind zunächst unbekannt, so dass genau wie bei den bisher behandelten Tests Schätzungen erforderlich sind Folie 18 Statistik & Methodenlehre Einführung Prüfgröße Hypothesen Voraussetzungen Folie 19 Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Grundlagen Der 1-Stichproben t-Test beantwortet die Frage, ob ein aus einer Stichprobe geschätzter Erwartungswert mit einem bekannten Erwartungswert übereinstimmt. Keiner der Merkmalsträger darf mehr als einmal in der Stichprobe vertreten sein. Beispiele: „Ist der IQ von Psychologiestudierenden im Mittel 100?“, „Sind Geburtsraten in Deutschland so hoch wie der europäische Durchschnitt?“, „Erreichen Teilnehmer eines Assessment Centers im Mittel einen bestimmten CutOff-Wert?“ Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Einführung Tests für Intervalldaten Prüfgröße Unbekannte Population Der 1-Stichproben t-Test – Grundlagen Stichprobe (n) x Hypothesen Voraussetzungen Ist der Erwartungswert der Stichprobe gleich μ: H0 Bekannte Population oder verschieden: H1 und Folie 20 Statistik & Methodenlehre Einführung Prüfgröße Hypothesen Voraussetzungen Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Grundlagen Grundfrage: Wie üblich kann man fragen, ob der beobachtete Mittelwert zu extrem ist, um anzunehmen, dass die Stichprobe noch aus einer Population mit dem Erwartungswert μ stammt. Ansatz: Um diese Frage zu beantworten, müssen wir zwei Dinge wissen: 1. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Mittelwerte 2. Die Parameter dieser Verteilung Folie 21 Statistik & Methodenlehre Einführung Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Grundlagen Prüfgröße Problem: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Mittelwerten ist ein sehr theoretisches Konstrukt Hypothesen Sie ergäbe sich, wenn ein Experiment mit immer neuen Stichprobe aus derselben Population wieder und wieder durchgeführt würde und bei jeder Durchführung der Mittelwert berechnet würde Voraussetzungen Folie 22 Erkenntnis: Ein Herr „Student“ (aka William Sealy Gossett, Statistiker bei Guinnes) konnte herleiten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Mittelwerten mathematisch sehr gut zu beschreiben ist Statistik & Methodenlehre Einführung Prüfgröße Stetige Verteilungen Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Grundlagen Wenn die Zufallsvariable einen Erwartungswert von μ der Differenzen besitzt, so hat der Mittelwert für Stichproben dieser Zufallsvariablen den Erwartungswert Hypothesen Voraussetzungen x Wenn die Zufallsvariable eine Standardabweichung von σ bzw. eine Varianz von σ² besitzt, so streuen die Mittelwerte mit x Folie 23 Inferenzstatistik n bzw. x2 2 n Statistik & Methodenlehre Einführung Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Prüfgröße Prüfgröße „Student“ musste nur noch ermitteln, welche Form die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Mittelwerten hat Hypothesen Er definierte zunächst eine Prüfgröße t Voraussetzungen x x x für die ja gemäß der bisherigen Erkenntnisse gilt: x Folie 24 und x n Statistik & Methodenlehre Einführung Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Prüfgröße Prüfgröße Die erste Vermutung, dass t wie üblich normalverteilt sei, bestätigte sich nicht Hypothesen „Student“ konnte zeigen, dass die Prüfgröße die Form einer so genannten t-Verteilung hat Voraussetzungen Die t-Verteilung hat nur einen Parameter, nämlich die so genannten Freiheitsgrade df (degrees of freedom) Diese Freiheitsgrade ergeben sich direkt aus der Größe der Stichprobe n, deren Mittelwert getestet wird df n 1 Folie 25 Statistik & Methodenlehre Einführung Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Die t-Verteilung von Student Prüfgröße StandardNormalverteilung 0.4 0.3 Hypothesen 0.2 Voraussetzungen t- Verteilung mit df = 10 0.1 -3 -2 -1 1 Kritische Werte sind bei der tVerteilung im Vergleich zur Normalverteilung größer Folie 26 2 3 t.99 2.76 z.99 2.33 Statistik & Methodenlehre Einführung Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Die t-Verteilung von Student Prüfgröße Standardnormal- und t-Verteilung sind sich also offenbar sehr ähnlich, aber nicht identisch Hypothesen Je größer n (und damit auch die Freiheitsgrade), desto mehr gleichen sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen an Voraussetzungen Da die Standardnormalverteilung einfacher zu tabellieren ist – es gibt nur eine – wurde früher oft diese verwendet, um die Größe der Prüfgröße zu berechnen. Da die t-Verteilung heute sehr einfach bestimmt werden kann, ist dieses approximative Vorgehen nicht mehr notwendig Merke: Für t immer die t-Verteilung! Folie 27 Statistik & Methodenlehre Einführung Prüfgröße Hypothesen Voraussetzungen Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Ablauf Der t-Test folgt nun exakt der üblichen Vorgehensweise des Hypothesentestens 1. Voraussetzungen prüfen 2. Verteilungsannahme treffen: t-verteilt mit den berechneten df 3. Hypothesenrichtung festlegen und statistische Hypothesen formulieren 4. Signifikanzniveau festlegen 5. Prüfgröße t bestimmen 6. Wahrscheinlichkeit für die berechnete Prüfgröße bestimmen und mit dem Signifkanzniveau vergleichen Folie 28 Statistik & Methodenlehre Einführung Prüfgröße Hypothesen Voraussetzungen Folie 29 Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Hypothesen Erkenntnis: Jede Stichprobe stammt aus irgendeiner Population mit einem bestimmten, aber unbekannten Erwartungswert μX Wenn der beobachtete Mittelwert zu extrem ist, dann stammt die Stichprobe offenbar nicht aus der gegebenen Population mit dem Erwartungswert μ Die Bewertung der Prüfgröße läuft also auf den Test hinaus, ob der beobachtete Mittelwert der Stichprobe aus einer Population mit dem bekannten μ oder dem unbekannten μX stammt Statistik & Methodenlehre Einführung Prüfgröße Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Hypothesen Beim t-Test sind wie beim z-Test potentiell alle drei möglichen Hypothesenrichtungen von Interesse. Hypothesen Voraussetzungen H 0 : x Verwerfen der Verteilungsannahme H1 : x bei zu hohem x H 0 : x Verwerfen der Verteilungsannahme H1 : x bei zu niedrigem x „Einseitige“ oder „gerichtete“ Hypothese H0 : X Verwerfen der Verteilungsannahme H1 : X , X bei einem zu extremen Wert „Zweiseitige“ oder „ungerichtete“ Hypothese Folie 30 Statistik & Methodenlehre Einführung Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Hypothesen Prüfgröße Man ermittelt nun die Auftretenswahrscheinlichkeit p(t|H0) unter der Annahme, dass die angenommene Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt. Hypothesen Dazu berechnet man Voraussetzungen p T t für die H 0 : X Verwerfen der H0 bei einem zu positiven Mittelwert p T t für die H 0 : X Verwerfen der H0 bei einem zu negativen Mittelwert p T t für die H 0 : X p T t Verwerfen der H0 bei einem zu extremen Mittelwert und vergleicht p mit dem Signifikanzniveau Folie 31 Das p(…) wird aus der Verteilungsfunktion der t-Verteilung berechnet Statistik & Methodenlehre Tests für Ordinaldaten Intervalldaten Tests für Einführung Tests für Intervalldaten Prüfgröße Beobachtung im Experiment: x Der 1-Stichproben t-Test – Hypothesen Frage: Stammt die Stichprobe aus einer Population mit ? Geht die Größe des Mittelwertes auf einen Stichprobenfehler zurück? Hypothesen Voraussetzungen (1) Festlegung von Signifikanzniveau α Achtung: Vorher und Gerichtetheit immer Prüfung der Voraussetzungen! (2) Berechnung der Prüfgröße t (3) Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses oder ein extremeres z: z. B. p(T≥ t) (4) Vergleich von p mit α und Treffen der Signifikanzaussage Folie 32 Aber: Bei dieser Aussage irrt man sich mit einer Wahrscheinlichkeit von α·100% Statistik & Methodenlehre Einführung Tests für Ordinaldaten Intervalldaten Tests für Tests für Intervalldaten Der 1-Stichproben t-Test – Voraussetzungen Prüfgröße Die Zufallsvariable muss intervallskaliert sein Hypothesen Bei n < 30 sollten die Daten normalverteilt sein Voraussetzungen Folie 33 Statistik & Methodenlehre Relevante Excel Funktionen Tests für Intervalldaten • T.VERT() Folie 34
