Seminar vom 10. 07. 2008. Aufgabenblatt 13

Übungsblatt 13
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Bachelor Physik
Bachelor Wirtschaftsphysik
Lehramt Physik
17.07.2008
Aufgaben
1. Die Dielektrizitätszahl von Wasser ist 81, die magnetische Suszeptibilität beträgt ≈ −10−5 .
Ist diese Aussage auch richtig bei hochfrequenter elektromagnetischer Strahlung wie z.B. sichtbarem Licht?
2. Zwei gleiche Ladungen Q = 10−3 C verschiedenen Vorzeichens im mittleren Abstand von 2d = 1 cm schwingen
harmonisch und gegenphasig mit einer Frequenz von 10 MHz und einer Amplitude von ∆ = 5µm. Wie groß
ist das elektrische und magnetische Feld im größeren Abstand (z.B. 1m) in der Ebene durch den Schwerpunkt
der Ladungen mit Normalen parallel zur Ladungsverbindung?
3. (wird in Übungsgruppe ausgeteilt)
4. In unmittelbarer Nähe eines 50 kW-Rundfunksenders wird versucht, die großen Feldstärkegradienten (illegal)
zum Betrieb von Glühlampen zu verwenden. Wie dicht muss man mit den von einander 10 m entfernten
Enden der Anschlussleitung zur Glühlampe an den Sendemast herangehen, um eine effektive Spannung von
12V abgreifen zu können?
5. (freiwillig)
Ein mit einem Lasergewehr ausgestatteter Astronaut (m=90kg) verliert seine mechanische Verbindung zum
Raumschiff. Welche Leistung muss das Lasergewehr haben, um ihn - nach dem Rückstoßprinzip - eine
Beschleunigung von a = 0, 01m/s2 (in Richtung des Raumschiffes) geben zu können?
6. Ein gedachter Quader (Kantenlängen a = 2e, b = 3e, c = 1e) (e sei eine Einheitslänge) befinde sich mit
einer Ecke im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems und seine Kanten seien parallel zu den
Koordinatenachsen. Eine ebene elektromagnetische Welle (Wellenzahl k = 12 1e ) breitet sich parallel zur
Raumdiagonalen durch den Quadereckpunkt (a,b,-c) des Quaders im Raum aus. Wie ist der Wellenvektor
k dieser Welle beim Ort (5e, 0, -3e)?
schwächt eine auf ihn fallende Welle (mit einer Intensität I0 und einer
7. Ein Polarisator (Durchlassrichtung d)
Polarisationsrichtung p) ab gemäß
d · p
I = I0 K
dp
mit K ≤ 1 = allgemeiner Schwächungskoeffizient.
Um die Polarisationsrichtung einer Welle um π4 zu drehen, werden nun N solcher Polarisatoren hintereinanπ
dergestellt, jeder um 4N
gegenüber den vorderen verdreht bzw. gegenüber der Einfallsrichtung p
. Wie groß
ist die ankommende Intensität? Bei welchem N ist diese Intensität maximal (für K = 0, 9; 0, 95; 0, 99; 0, 999)?
8. (wird in Übungsgruppe ausgeteilt)
9. (freiwillig)
Welchen Winkel muss die Sonne mit dem Horizont bilden, damit das von der Oberfläche eines (ruhigen)
Sees reflektierte Licht vollständig polarisiert ist? Brechzahl des Wassers n = 4/3.
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Übungsblatt 13
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Bachelor Physik
Bachelor Wirtschaftsphysik
Lehramt Physik
17.07.2008
Lösungen
1. Aus den Angaben εr = 81 und χ = −10−5 ergäbe sich die Brechzahl von Wasser zu
√
εr ε0 µr µ0 = εr · (1 + χ) = 9
n= √
ε0 µ0
Bekanntlich ist aber die Brechzahl von Wasser für sichtbares Licht n = 4/3. Die Dielektrizitätszahl ist also
frequenzabhängig.
2. Laut Skript (Gleichung 6.49) ist das elektrische Feld im Abstand r von einer mit ω harmonisch schwingender Ladung Q (Amplitude z0 ) zur Zeit t und dem Winkel Θ zwischen Richtung der Schwingung und
Ausbreitungsrichtung, also dem Ortsvektor r,
E (r, Θ, t) =
Qz0 ω 2 1
r
sin
ω/t
−
sin Θ
4πε0 c2 r
c
Der Winkel Θ ergibt sich (mit d = Abstand des Strahlers von der Mittelebene) zu
Θ=
π
d
+ arcsin
2
r
Eine schwingende Ladung Q würde im Abstand a von der Verbindungsgeraden der Ladungen (d.h. r2 =
a2 + d2 ) ein Feld mit der Amplitude
d
V
Q · zo ω 2
1
π
√
E0 =
+ arctan
≈ 0, 4
sin
2
4πε0 c
2
a
m
a2 + d2
verursachen (Zahlenwert gilt für a = 1m). Da die zweite Ladung entgegengesetzt zur ersten schwingt, also
um π phasenversetzt, heben sich in großer Entfernung die Felder, herrührend von den Schwingungen beider
Ladungen, auf. Im Nahbereich allerdings bleibt ein Anteil bestehen, da die Ausbreitungsrichtungen der
beiden Wellen verschieden ist.
Der Restanteil wäre
Erest = 2E0
d
V
= 0, 008
a
m
Ob allerdings die Voraussetzungen beim Berechnen von Gleichung (6,49) hier im Nahbereich noch erfüllt
sind, muss extra geprüft werden.
3. Der Poyntingvektor der Sonnenstrahlung in Erdentfernung R zur Sonne ist - mit PS = 3, 82 · 1020 MW
Strahlungsleistung der Sonne PS
kW
SR =
= 1, 35 2
2
4πR
m
Daraus ergeben sich die mittleren (effektiven) Feldstärken zu
E=
V
µ0 · c · S = 714
m
1
bzw.
S
=
H=
E
S
A
= 1, 9
µ0 c
m
Am Frühjahrsanfang (und Herbstanfang) ist die Schrägstellung der Erdachse nicht zu berücksichtigen. Zum
lokalen Mittag, der bei Frühjahrsanfang in Ulm 12:20 Uhr MEZ ist (MEZ 15◦ östliche Länge, 5◦ Differenz
20 min), ist dann, unter Beachtung der geographischen Breite ϕ = 48, 4◦ , die einfallende Sonneneinstrahlung
W
SU lm = SR · cos ϕ = 896 2
m
4. Die Strahlungsintensität der abgestrahlten Wellen nimmt quadratisch mit der Entfernung ab.
S=
P
4πr2
=
2
Eef
f
µ0 c .
(P = Sendeleistung, Eef f = Feld am Ort r, c = Lichtgeschwindigkeit)
also:
Eef f =
P µ0 c 1
4π r
Zwischen zwei Punkten r und r + ∆r ist also der Potentialunterschied U =
r+∆r
E (r) dr =
r
P µ0 c ∆r
4π r .
P µ0 c
4π
ln r+∆r
≈
r
Mit den angegebenen Zahlen ergibt sich hier r ≈ 1 km.
5. Der Strahlendruck (Rückstoßeffekt) ergibt sich aus dem Poyntingvektor durch dividieren mit der Lichtgeschwindigkeit
S
F
PS = =
c
A
Dieser ist gleich dem mechanischen Druck, also dem Quotient aus Kraft F und einer Fläche A.
Der Poyntingvektor ist das Verhältnis von Leistung P auf die Fläche A, also
S=
Somit ergibt sich F = A ·
S
c
=
P
c
P
A
= ma für die Kraft F , die die Masse m beschleunigt um a.
Daraus folgt
P = m · a · c = 270MW
Das Lasergewehr hat wahrscheinlich nicht diese Leistung. Einfacher wäre es, das Lasergewehr als Ersatz für
Raketentreibstoff zu verwenden und so wegzuwerfen, dass der Rückstoß die benötigte Driftgeschwindigkeit
zum Raumschiff hin liefert.
6. Zuerst: Bei einer ebenen Welle ist der Wellenvektor unabhängig vom Ort.
Die der angegebenen Ecke (a, b, −c) raumdiagonal gegenüberliegende Ecke des Quaders ist in (0, 0, 0), also
im Ursprung. Damit ergibt sich der Wellenvektor (mit noch unbekanntem Längenfaktor f )




a
2e
k = f  b  = f  3e .
−c
−e
1
= k,
Die Wellenzahl sei k = 2e
2
also
oder
und damit
√
1
= f · 4e2 + 9e2 + 1e2 = e · f · 14
k =
2e
1 1
f= √
2 14 e2


2
k = √1 1  3 
2 14 e
−1
7. Bei einem Polarisator, dessen Durchlassrichtung gegenüber dem einfallenden polarisierten Licht um ∆ϕ
gedreht ist, berechnet sich die durchkommende Intensität in Richtung des Polarisators zu
I = I0 · K · cos (∆ϕ)
(mit K = Abschwächungskoeffizient, unabhängig von der Polarisationsrichtung).
Sind N solcher Polarisatoren hintereinander gestellt mit jeweils gleichem ∆ϕ so ergibt sich die Intensität des
polarisierten Lichtes nach dem letzten zu
I = I0 (K · cos ∆ϕ)N
π
Hier ist ∆ϕ = 4N
für N Polarisatoren zur Drehung der Richtung des polarisierten Lichtes um π4 . Wenn im
Polarisator keine Dämpfung auftritt, also K = 1 gilt, kann die ganze Intenstität des einfallenden Lichtes in
die gewünschte Richtung gebracht werden, wenn die Zahl der Polarisatoren gegen ∞ geht. Bei Dämpfung
im Polarisator (K < 1) gibt es eine optimale Anzahl N zum Erreichen der größten Intensität.
π N
Diese ergibt sich aus I = I0 K · cos 4N
Zum Bestimmen des Maximums dieser Funktion ist es einfacher, diese vorher zu logarithmieren (Maximum
wird dabei erhalten):
Die Ableitung nach N des Logarithmus der Funktion ist:
π
π
d N ln K + ln cos 4N
π N · π sin 4N
= ln K cos
+
·
π
dN
4N
4N 2 cos 4N
Der Logarithmus ist negativ, da K < 1 ist und der zweite Term ist immer positiv, die Ableitung kann also 0
π
sein, d.h. es gibt eine optimale Anzahl N der Polaristoren. Mit x = 4N
ist das Problem also, die Nullstelle
der Funktion
ln (K cos x) + x tan x
zu finden. Eine algebraische Lösung scheint schwierig, deshalb ist wohl das Einfachste, die Lösung durch
Ausprobieren zu finden. Dies kann dann aber auch schon bei der ursprünglichen Funktion geschehen.
Dabei ist
das Ergebnis.
Bemerkung:
In der Aufgabenstellung steht:
I = I0 · K · cos ∆ϕ
3
(∆ϕ = Unterschied der Polarisationsrichtungen von einfallender Welle und Polarisator).
Dies ist physikalisch falsch. Richtig wäre
I = I0 · K · cos2 (∆ϕ)
Als Ergebnis erhält man damit
8. Vollständige Reflexion existiert beim Übergang von einem Medium in das andere, wenn das Snellius’sche
Brechungsgesetz keine Lösung mehr liefern kann:
n2 · sin β = n1 · sin α, d.h.
n2
sin β > 1
n1
Hier ist n2 = 1, 5...1, 7, β = π/4, n1 = 1.
Damit ergibt sich
n2
n1
sin β = 1, 061...1, 202.
Somit tritt immer Totalreflexion auf, eine Verspiegelung ist also nicht nötig.
9. Das Sonnenlicht ist auf der Erde in guter Näherung eine ebene Welle. Wenn das reflektierte Licht vollständig polarisiert sein soll, erfolgt die Einstrahlung unter dem Brewsterwinkel, bei dem das reflektierte und
gebrochene Licht einen Winkel von π2 einschließen. Für Wasser und Luft ist der Brechungsindex n = 4/3
und damit der Brewsterwinkel ϕB = arctan n = 53, 1◦ . Damit ist der Winkel gegenüber dem Horizont
ϕp =
π
− ϕB = 36, 9◦
2
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