Kap. 5 Spezielle Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

In diesem Kapitel werden wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen vorgestellt, die
als Modell für einige Zufallsexperimente dienen.
Bernoulli-Experimente sind Zufallsexperimente mit nur zwei verschiedenen möglichen
Ausgängen (Treffer und Niete). Diese Experimente haben weitere Eigenschaften wie folgt:
Bei jeder n-fachen Wiederholung solcher Experimente, gibt es auch nur zwei
verschiedenen Ausgängen
Bei solchen Experimenten treten das Ereignis A (Treffer) mit der Wahrscheinlichkeit p
und das komplementäre Ereignis A (Niete) mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 – p ein.
Bei einer n-fachen Ausführung des Mehrstufen-Experiments tritt das Ereignis A in jeder
Stufe mit der gleichen konstanten Wahrscheinlichkeit p = P(A) = const. ein.
Die n Stufen des Experiments sind von einander unabhängig.
1. Stufe
p
p
A
p
q
A
q
A
A
p
A
q
A
q
p
A
A
A
A
q
p
q
p
q
A
A
A
A
In jeder Stufe sollte man für die Ereignisse verschiedene Buchstaben
verwenden, da aber die Ereignisse in jeder Stufe unabhängig voneinander sind, werden hier
in jeder Stufe die gleichen Buchstaben (hier A für Treffer und A für Niete) verwendet.
Bei jeder Wiederholung des Zufallsexperiments „Wurf einer homogenen Münze“ sind nur die
beiden sich gegenseitig ausschließende Ereignisse „A : Wappen“ bzw. „ A : Zahl“ möglich.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der jeweiligen Ereignisse an.
p = P(A) = ½
und
q = P( A ) = ½
1
Das Zufallsexperiment „Wurf einer homogenen Münze“ wird 3-mal wiederholt.
! Tragen Sie alle möglichen Ausgänge (Elementarereignisse) in das folgende Diagramm
ein. Bezeichnungen: W : Wappen Z : Zahl
! Geben Sie die Anzahl aller möglichen Ergebnisse (Ergebnismenge) an.
"! Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass man bei 3-maligem Wurf der
homogenen Münze 2-mal Wappen erhält, indem Sie diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe
des Wahrscheinlichkeitsbaums bestimmen.
#! Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass man bei 3-maligem Wurf der
homogenen Münze 2-mal Wappen erhält, indem Sie diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe
der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace bestimmen.
2. Wurf
1. Wurf
3. Wurf
Elementarereignis
WWW
WWZ
½
½
Eine inhomogene Münze wird 3-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Wappen
erscheint, beträgt P(W) = ¼ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim 3-maligen Wurf
dieser Münze 2-mal Wappen zu erhalten? Können wir diese Frage mit Hilfe der klassischen
Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace lösen? Begründen Sie Ihre Antwort!
2
Wenn wir das Zufallsexperiment mit einer Münze (homogen oder inhomogen) sehr oft
wiederholen, dann wird der Wahrscheinlichkeitsbaum sehr groß und unübersichtlich. Im
folgenden Abschnitt werden wir eine Lösungsmethode herleiten, mit deren Hilfe wir solche
Probleme leicht lösen können.
$
In einer Urne befinden sich 4 blaue und 6 weiße Kugeln. Es werden 3 Kugeln nacheinander
Mit Zurücklegen gezogen. Dabei bedeutet das Ereignis A „Ziehen einer blauen Kugel“
A
4/10
4/10
A
6/10
A
A
4/10
6/10
A
4/10
A
A
6/10
A
A
4/10
6/10
A
4/10
A
6/10
A
6/10
A
A
4/10
6/10
! Handelt es sich beim diesem Zufallsexperiment um ein Bernoulli-Experiment?
! Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „A: Ziehung einer blauen Kugel“ bzw.
„ A : Ziehung keiner blauen Kugel“ in jeder Stufe des 3-Stufen-Experiments?
"! Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
E 2 : Zwei blaue Kugel bei 3 Ziehungen.
Lösen Sie diese Teilaufgabe mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitsbaums.
! Ja, es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment, denn:
Es gibt in jeder Stufe nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse: „A:
Ziehung einer blauen Kugel“ und A : Ziehung keiner blauen Kugel.
Ferner bleibt durch das Zurücklegen der Kugeln nach jeder Ziehung die
Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A bzw. A konstant.
! p = P(A) = 4/10
q = P( A ) = 1 – p = 6/10
und
"! Die Wahrscheinlichkeit ist:
P (E 2
)
(
= P A
=
4
A
⋅
4
A
⋅
)
6
10 10 10
+
+
(
P A
4
A
⋅
6
A
⋅
)
4
10 10 10
+
+
(
P A
6
A
⋅
4
A
⋅
4
10 10 10
)
=
288
1000
= 0 , 288
3
2a
Beantworten Sie für das vorige Beispiel folgende Fragen, indem Sie die Formel aus der
Kombinatorik verwenden.
! Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es für das Ereignis:
E 0 : Keine blaue Kugel bei 3 Ziehungen.
! Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es für das Ereignis:
E 1 : Eine blaue Kugel bei 3 Ziehungen.
"! Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es für das Ereignis:
E 2 : Zwei blaue Kugel bei 3 Ziehungen.
#! Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es für das Ereignis:
E 3 : Drei blaue Kugel bei 3 Ziehungen.
! Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse:
E 0 ; E 1 ; E 2 bzw. E 3
X : Anzahl der gezogenen blauen Kugeln (mit Zurücklegen)
x0 = 0
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
X = xk
P( X ) = f (x k ) = p k :
Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln (mit Zurücklegen)
P (X = x k) = f ( 0 ) =
f(1) =
f(2) =
f(3) =
6
⋅
6
⋅
6
10 10 10
=
n = 3
f (xk
k = 0
)
216
1000
216
1000
+
= 0 , 216 =
432
1000
4
3⋅
+
⋅
6
⋅
6
10 10 10
432
1000
288
1000
+
= 0 , 432
64
1000
=
3⋅
4
⋅
4
⋅
6
10 10 10
288
=
= 0 , 288
1000
1000
1000
4
⋅
4
⋅
4
10 10 10
=
64
1000
= 0 , 064
= 1
! Es gibt ein mögliches Ergebnis für das Ereignis:
E 0 : Keine blaue Kugel bei 3 Ziehungen.
n!
3!
n
3
=
=
=
= 1
k
0
( n − k )! k !
( 3 − 0 )! 0!
4
! Es gibt 3 mögliche Ergebnisse für das Ereignis:
E 1 : Eine blaue Kugel bei 3 Ziehungen.
3!
3
=
= 3
1
( 3 − 1 ) ! 1!
"! Es gibt 3 mögliche Ergebnisse für das Ereignis:
E 2 : Zwei blaue Kugel bei 3 Ziehungen.
3!
3
=
= 3
2
( 3 − 2 )! 2!
#! Es gibt ein mögliches Ergebnis für das Ereignis:
E 3 : Drei blaue Kugel bei 3 Ziehungen.
3!
3
=
= 1
3
( 3 − 3 )! 3!
!
Die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Ereignisse lauten also:
Für das Ereignis E 0 ist keine blaue Kugel vorhanden. Also gilt
P (E 0 ) = P ( A A A ) =
6
6
6
⋅
⋅
10 10 10
3
6
= 1⋅
10
Für das Ereignis E 1 sind eine blaue Kugel und 2 weiße Kugeln vorhanden. Also gilt
(
P E
1
) = P (A A A )
=
4
6
+
6
(
)
P AAA
6
4
(
P AAA
+
6
6
6
)
4
3⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
+
10 10 10
10 10 10
10 10 10
4
10
6
⋅
2
10
Für das Ereignis E 2 sind 2 blaue Kugeln und eine weiße Kugel vorhanden. Also gilt
(
P E
2
) = P (A A A )
=
4
⋅
4
⋅
6
10 10 10
+
+
(
P AAA
4
⋅
6
⋅
)
4
10 10 10
+
+
(
P AAA
6
⋅
4
⋅
)
4
10 10 10
=
3⋅
4
10
2
⋅
6
10
Für das Ereignis E 3 sind 3 blaue Kugeln vorhanden. Also gilt
3
4 4 4
4
P E 3 = P(AAA) =
⋅
⋅
= 1⋅
10 10 10
10
(
)
Hier wurden jeweils Abkürzungen verwendet, z.B. wurde P( A
durch P(A A A) abgekürzt.
A
A)
5
%
!
#
$
Ein Bernoulli-Experiment mit den beiden sich gegenseitig ausschließenden
Ereignissen A und A werde n-mal nacheinander ausgeführt. Seien weiter:
p = P(A) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A bei einer einzelnen Stufe
des Experiments eintritt.
X die diskrete Zufallsvariable, die bezeichnet wie oft A bei den n Versuchen
eintritt.
Dabei kann X die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . n annehmen.
!
Die n Versuche beeinflussen sich gegenseitig nicht, daher sind die Ereignisse A und
A unabhängig von einander. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das A
k-mal und A (n – k)-mal eintreten, gegeben durch:
P(AA
A AA
k - mal
A ) = p
k
q
n−k
= p
k
(1 − p ) n − k
( n − k ) - mal
Nun gibt es
n
k
=
n!
k ! ( n − k )!
Möglichkeiten zur Anordnung von k
identischen Ereignisse A und (n – k) identischen Ereignissen A aus insgesamt n
Ereignissen. (siehe Kapitel „Kombinatorik“). Somit erhalten wir die sog.
Binomialverteilung
Binomialverteilung
Gegeben ist ein n-stufiges Bernoulli-Experiment. Seien dabei p = P(A) bzw. q = P( A )
mit q = 1 – p die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses „A“ bzw. des
Gegen-Ereignisses „ A “ bei jeder einzelnen Stufe des Bernouli- Experiments. Und sei:
X die diskrete Zufallsvariable, die die Anzahl der Versuche beizeichnet, in denen das
Ereignis „A“ eintritt, und die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . n annehmen kann.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem n-stufigem Bernoulli-Experiment das
Ereignis „A“ k-mal eintritt (und das komplementäre Ereignis „ A “ (n – k)-mal eintritt),
gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) =
n!
⋅p
k ! ( n − k )!
k
⋅q
⋅p
i
n−k
=
n
k
⋅p
k
⋅q
n−k
Die Verteilungsfunktion der Binomial-Verteilung ist:
k
F (xk
)
= P ( X ≤ k ) = F (k ) =
i = 0
n
i
⋅q
n−i
6
&
#
#
' (
"(
"(
$
P( X=k )
n=5
p = 0,5
x=k
P( X=k )
n=8
p = 0,5
x=k
P( X= k )
n = 10
p = 0,2
x=k
P( X= k )
n = 10
p = 0,7
x=k
Satz: Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung
Der Erwartungswert der Binomialverteilung für ein n-Stufen-Bernoulli-Experiment
lautet:
n
µ
xk ⋅f (xk
=
)
k⋅
=
k
k
n
⋅p
k
k
⋅q
n−k
= n⋅ p
Die Varianz der Binomialverteilung für ein n-Stufen-Bernoulli-Experiment lautet:
n
σ
2
f (xk
=
k
)⋅ (xk
−µ
)2
=
k
n
⋅ p k ⋅q n−k ⋅ (k − µ )2 = n ⋅ p ⋅ q
k
7
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Teilaufgaben mit Hilfe der
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomilaverteilung.
! In einer Urne befinden sich 2 weiße und 8 schwarze Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen 3 schwarze Kugeln zu ziehen?
! In einer Urne befinden sich 2 weiße und 8 schwarze Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen 3 weiße Kugeln zu ziehen?
"! In einer Urne befinden sich 2 weiße 3 schwarze und 5 blaue Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen 3 blaue Kugeln zu ziehen?
a) f (3 ) =
4!
8
⋅
3 ! (4 − 3 ) !
10
3
8
⋅ 1−
10
4−3
=
256
625
=
1
4
b)
d) f (3 ) =
4!
5
⋅
3 ! (4 − 3 ) !
10
3
5
⋅ 1−
10
4−3
In einer Urne befinden sich 20 weiße und 30 schwarze Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, bei 10 Ziehungen mit Zurücklegen
! höchstens 7 schwarze Kugeln (d.h. 7 Kugel oder weniger) zu ziehen?
! mindestens 8 Kugeln (d.h. 8 Kugel oder mehr) zu ziehen?
% )
"
!
8
%*
"(
In einer Urne befinden sich 4 blaue und 6 weiße Kugeln. Es werden 3 Kugeln nacheinander
Ohne Zurücklegen gezogen.
! Handelt es sich beim diesem Zufallsexperiment um ein Bernoulli-Experiment?
! Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 3 gezogenen Kugeln 2 blaue
Kugeln sind? Lösen Sie diese Teilaufgabe mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitsbaums.
C
2/8
A
4/10
3/9
B
6/9
B
C
6/8
3/8
C
C
5/8
C
C
3/8
6/10
A
4/9
B
5/9
B
5/8
C
C
4/8
4/8
! Nein, es handelt sich um kein Bernoulli-Experiment, denn durch das Ziehen ohne
Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer blauen Kugel in den
Stufen nicht konstant.
! Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
E 2 : „Zwei blaue Kugel bei 3 Ziehungen ohne Zurücklegen“ ist:
(
P E
2
)=
=
(
P A
4
10
B
⋅
3
9
C
⋅
6
8
)
+
+
(
P A
4
10
B
⋅
6
9
A
⋅
3
8
)
+
+
(
P A
6
10
B
⋅
4
9
C
⋅
3
8
)
=
216
720
= 0,3
2ba
Bestimmen Sie für das vorige Beispiel die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 3
gezogenen Kugeln 2 blaue Kugeln sind, indem Sie die Formel aus der Kombinatorik und die
Definition de Wahrscheinlichkeit nach Laplace verwenden.
!++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Wir entnehmen der Urne mit 10 Kugeln nacheinander 3 Kugeln ohne Zurücklegen und
10 !
10
=
= 120
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Dies ist auf
3
3 ! ( 10 − 3 ) !
verschieden Arten möglich. (s. Kapitel „Kombinatorik“).
9
N1
N2
T1
N4
N5
T4
N3
T2
T3
N6
Ziehung von 3 Kugeln ohne Zurücklegen
N1
N1
N2
N2
T1
N3
.
.
.
.
.
T4
.
N5
N6
Anzahl der Möglichkeiten für die Ziehung ohne
Zurücklegen von 3 Kugeln aus 10 Kugeln:
10 !
= 120
3!
( 10 − 3 ) !
! +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Unter den 3 gezogenen Kugeln sollen sich genau 2 blaue und 1 weiße befinden.
Die zwei blauen müssen daher aus den 4 blauen Kugeln in der Urne stammen. Diese
4!
4
=
= 6 verschieden Arten gezogen werden.
können daher auf
2
2! ( 4 − 2 )!
Die eine weiße muss dann aus den 6 weißen Kugeln in der Urne stammen. Diese
6!
6
=
= 6 verschieden Arten gezogen werden.
kann daher auf
1
1! ( 6 − 1 ) !
N2
N1
.
N1
N3
N5
T1
N2
N4
N6
T2
.
.
N6
Anzahl der Möglichkeiten für die
Ziehung ohne Zurücklegen von
einer weißen Kugel aus 6
Kugeln:
6!
= 6
1! ( 6 − 1 ) !
T3
T4
T1
T2
.
.
.
T3
T4
Anzahl der Möglichkeiten für
die Ziehung ohne Zurücklegen
von 2 blauen Kugeln aus 4
Kugeln:
4!
= 6
2 ! ( 4 − 1)!
"!+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Da es 3 Kugeln gezogen werden, von denen zwei blau und eine weiß sind, gibt es also:
4!
2! ( 4 − 2 )!
⋅
6!
1! ( 6 − 1 ) !
= 6 ⋅ 6 = 36
verschiedene Möglichkeiten diese Kugeln aus der Urne zu entnehmen.
#!+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
10 !
10
=
= 120 Fälle bei der Ziehung ohne
Da es insgesamt
3
3 ! ( 10 − 3 ) !
Zurücklegen von 3 Kugeln aus dieser Urne gibt und diese 120 Fälle alle gleich
10
wahrscheinlich sind, erhalten wir nach der Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace
folgende Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
E 2 : Zwei blaue Kugel bei 3 Ziehungen ohne Zurücklegen.
4
P ( E2
)
=
2
⋅
6
1
10
3
=
6 ⋅ 6
= 0 ,3
120
Hypergeometrische Verteilung
Gegeben sind N Objekte, darunter M Objekte mit der Eigenschaft A und [N – M ]
Objekte mit der Eigenschaft. A (nicht-A) . Und sei:
X die diskrete Zufallsvariable, die die Anzahl der Objekte mit der Eigenschaft A
beizeichnet, und die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . n annehmen kann.
Werden n Objekte zufällig ohne Zurücklegen gezogen (ausgewählt), so ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass es unter den n gezogenen Objekten k Objekte mit der
Eigenschaft A vorhanden sind, gegeben durch die hypergeometrische Verteilung mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
f (xk
)=
P ( X = k ) = f (k ) =
M
N−M
⋅
k
n− k
N
n
M!
=
k ! ( M − k )!
⋅
[ n − k ]!
⋅
[ N − M ]!
( [N − M ] − [ n − k ] )!
N!
n ! ( N − n )!
Die Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung ist:
M
k
F (xk
)
= P ( X ≤ k ) = F (k ) =
i = 0
i
⋅
N−M
n− i
N
n
11
#
' (
"(
N = 20
M = 12
n=8
N = 20
M = 10
n=8
N = 20
M=8
n=8
"(
(*
N = 20
P(X=k )
#
"(
M = 12
n=8
x=k
P(X=k )
&
N = 20
M = 10
n=8
x=k
P(X=k )
N = 20
M=8
n=8
x=k
Satz: Erwartungswert und Varianz der hypergeometrischen Verteilung
Der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung lautet:
n
xk ⋅f (xk
µ =
)
k ⋅f (k
=
k
k
) = n⋅
M
N
Die Varianz der hypergeometrischen Verteilung lautet:
n
σ
2
f (xk
=
k
)⋅ (xk
−µ
)
2
f (k )⋅ (k − µ
=
k
)2 = n ⋅
M
N
1 −
M
N − n
N
N −1
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Teilaufgaben mit Hilfe der
Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung.
In einer Urne befinden sich 4 blaue und 6 weiße Kugeln (s. voriges Bsp.). Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, bei 3 Ziehungen ohne Zurücklegen
! keine blaue Kugel zu ziehen?
! eine blaue Kugel zu ziehen?
"! zwei blaue Kugeln zu ziehen?
#! drei blaue Kugeln zu ziehen?
12
,
,
Poisson-Verteilung
Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) =
µ
k
k!
⋅e
−µ
heißt Poisson-Verteilung.
X kann die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . annehmen.
Dabei ist der Parameter
der Erwartungswert dieser Verteilung.
Die Varianz dieser Verteilung ist:
² =
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist unsymmetrisch. Sie wird dagegen für große
symmetrisch.
nahezu
13
&
#
#
' (
"(
"(
,
P( X= k )
µ=2
x=k
P( X= k )
µ = 1#4
x=k
,
#
Satz: Übergang von der Binomial- zur Poisson-Verteilung
Sei die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X durch die Binomialverteilung gegeben.
Für n
∞ , p
0 , wobei vorausgesetzt wird, dass n p = const. ist, kann die
Binomialverteilung in guter Näherung durch die Poisson-Verteilung ersetzt werden.
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) =
Dabei ist der Erwartungswert:
lim
n → ∞
p → 0
n!
k ! ( n − k )!
⋅p
k
⋅ (1 − p )
n−k
=
µ
k
k!
⋅e
−µ
q
=n p
Tritt in einem Bernoulli-Experiment ein Ereignis A mit einer sehr geringen
Wahrscheinlichkeit p auf, so kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A
k-mal eintritt, durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung gegeben
werden, anstatt diese mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung zu
bestimmen.
Numerische Analysen zeigen, dass die Binomilaverteilung näherungsweise durch die
Poisson-Verteilung ersetzt werden darf, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
n > 10
UND
p < 0,1
14
In einer Urne befinden sich 1 blaue und 499 weiße Kugeln. Es werden 1000 Kugeln
nacheinander Mit Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „A: Ziehung einer blauen Kugel“
Berechnen Sie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung die
Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse E k, dass man in diesem 1000-stufigen Versuch:
! keine blaue Kugel zieht.
! eine blaue Kugel zieht.
"! 2 blaue Kugeln zieht.
#! 500 blaue Kugeln zieht.
! 1000 blaue Kugeln zieht.
p = P(A) = 1 / 500 = 0,002
! P (E 0 ) = f (0 ) =
1000 !
1
⋅
0 ! (1000 − 0 ) !
500
! P(E 1) = f (1) = 0,2706
#! P(E 500) = f (500) = 3,251
0
1
⋅ 1−
500
1000 − 0
= 0,135
"! P(E 2) = f (2) = 0,2709
10
– 1051
! P(E 1000) = f (1000) = 1,071
10
– 2699
a
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Aufg. 2 mit Hilfe der
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung.
Bestimmung von :
= n p = 1000 (1 /500) = 2
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:
20
⋅ e − 2 = 0,135
! P (E 0 ) = f (0 ) =
0!
! P(E 1) = f (1) = 0,2706
#! P(E 500) = f (500) = 3,63
"! P(E 2) = f (2) = 0,2706
10
– 985
! P(E 1000) = f (1000) = 3,603
10
– 2268
15
- ,
,
.
Poisson-Prozesse sind Zufallsexperimente, die über einen kontinuierlichen Zeitraum
stattfinden.
Um die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl von Erfolgen (Treffer) innerhalb eines
Zeitintervalls der Länge t zu finden, unterteilen wir das Intervall in n Teile mit den
jeweiligen Breiten t , so dass gilt:
t = n⋅ t
!
Ein Poisson-Prozess hat folgende Eigenschaften:
!
Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg innerhalb eines kleinen Teilintervalls t
ist:
α ⋅ t . Dabei ist α eine Konstante.
Die Wahrscheinlichkeit für mehr als einen Erfolg innerhalb des kleinen
Teilintervalls t ist sehr klein und vernachlässigbar.
Die n Teile (Stufen) des Prozesses (Experiments) sind von einander
unabhängig. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg in einer Stufe
unabhängig von dem Ergebnis in der Stufe davor. Damit sind Poissonprozesse
gedächtnislos.
!
Diese Eigenschaften unterliegen auch denen von Bernoulli-Experimenten, die
durch die Binomial-Verteilung mit n = t
t und p = α ⋅ t beschrieben
werden. Folglich gilt für den Mittelwert:
µ = n⋅p =
t
∆t
⋅
( α⋅ ∆t ) = α ⋅t
Da
der Mittelwert der Poisson-Verteilung ist, gibt die konstante Rate α die
durchschnittliche Anzahl von Erfolgen in der Zeiteinheit an.
Poisson-Prozesse und Poisson-Verteilung
Sei die Anzahl von Erfolgen in einem Poisson-Prozess gegeben durch die diskrete
Zufallsvariable X . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann gegeben durch die PoissonVerteilung:
(α ⋅ t ) k
P ( X = k ) = f (k ) =
k!
⋅e
− α ⋅ t
=
µ
k
k!
⋅e
−µ
mit X = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . .
Dabei ist der Parameter
= α ⋅ t der Erwartungswert dieser Verteilung.
Die konstante Rate α gibt die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen in der Zeit-Einheit
an und t ist das Zeit-Intervall für den Poisson-Prozess.
16
Der radioaktive Zerfall eines chemischen Elements, bei der die einzelnen Atomkerne mit
einer kleinen Wahrscheinlichkeit zerfallen kann durch einen Poisson-Prozess beschrieben
werden. Denn die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atomkerne ist sehr gering im
vergleich zur großen Anzahl der insgesamt vorhandenen Kerne.
Bei einem speziellen Präparat zerfallen im Mittel pro Minute 3 Kerne.
! Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Zählgerät 5 Zerfälle pro Minute zu
registrieren?
! Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Zählgerät mehr als 3 Zerfälle pro
Minute zu registrieren?
! Die Rate α = 3 gibt dabei an, wie viel Atomkerne durchschnittlich in der Zeiteinheit (pro
Minute) zerfallen. Das Zeit-Intervall hat die Länge t = 1 (Minute), so dass gilt:
= α ⋅t= 3⋅1 = 3
P ( X = 5) = f (5) =
35
⋅e
5!
− 3
= 0 , 1008
!
P(X >3) = 1 − P (X ≤3) =
30
= 1 −
= 1 −
0!
[1
e
−3
[ f (0 )
1 −
+
31
1!
e
−3
+ 3 + 4,5 + 4,5 ]e
+ f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3 ) ]
+
−3
Stabdiagramm der Poisson-Verteilung für
32
2!
e
−3
+
33
3!
e
−3
= 0 , 352
=3
f(k)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
k
17
/
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Zählgerät beim radioaktiven Zerfall des
speziellen Präparats aus dem vorigen Beispiel (Bsp. 4) 5 Zerfälle in 2 Minuten zu
registrieren?
Das Zeit-Intervall hat nun die Länge t = 2. Somit ist der Mittelwert
P ( X = 5) = f (5) =
0
65
5!
⋅e
− 6
= α ⋅t= 3⋅2 = 6
= 0 , 160
"(
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, erstmal nach 4 Würfen einer inhomogenen Münze mit
der folgenden Eigenschaft einen „Wappen“ zu erhalten?
A : Wappen bzw. A : Zahl
p = P(A) =
bzw. q = P( A ) =
q·q·q·p =
·
·
·
= 0,098
Geometrische Verteilung
Seien p bzw. q mit q = 1 – p die Wahrscheinlichkeiten für einen Erfolg (Treffer) bzw.
einen Misserfolg der unabhängigen Versuchen (Stufen) in einem Bernouli-Experiment.
Dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsvariable X für die Anzahl der
Versuche bis zum Eintreten des ersten Erfolgs gegeben durch die
Wahrscheinlichfunktion der geometrischen Verteilung:
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) = p ⋅ q
k − 1
mit X = x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . .
Der Erwartungswert dieser Verteilung ist: µ =
Die Varianz dieser Verteilung ist: σ
2
=
1
p
1− p
p2
18