¨Ubung Elektrische und magnetische Felder WiSe 2014/15

Übung
Elektrische und magnetische Felder
WiSe 2014/15
Ladungsverteilungen und Coulomb-Integrale
Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden.
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Raumladungsdichte ρ für:
1.1 eine Linienladungsdichte τ(~r) auf einem Kreisring mit dem Radius R 0
a) Geben Sie die Parameterdarstellung eines Kreises mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Berechnen Sie das vektorielle Wegelement und dessen Betrag.
1.2 eine Flächenladungsdichte σ(~r) auf einer Kugeloberfläche mit Radius r 0
a) Geben Sie die Parameterdarstellung einer Kugeloberfläche mit zugehörigem
Wertebereich an.
b) Berechnen Sie das vektorielle Flächenelement und dessen Betrag.
Die Flächenladungsdichte σ aus 1.2 sei nun konstant.
1.3 Berechnen Sie die Gesamtladung Q tot , die sich auf der Kugeloberfläche befindet.
Aufgabe 2
y
τf
h
−h
x
z
Berechnen Sie das Potential der in der Abbildung gegebenen, endlichen Linienladung mit Hilfe des
Coulomb-Integrals.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Linie mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Berechnen Sie das vektorielle Wegelement und dessen Betrag.
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Elektrische und magnetische Felder
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Aufgabe 3
Gegeben ist eine Kreisscheibe, die gleichmäßig mit der konstanten Flächenladungsdichte σ belegt ist.
Die Kreisscheibe mit Radius R 0 befindet sich in der Ebene z = 0.
3.1 Berechnen Sie die Gesamtladung auf der Kreisscheibe.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Kreisscheibe mit zugehörigem Wertebereich
an.
b) Berechnen Sie das vektorielle Flächenelement und dessen Betrag.
3.2 Berechnen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke für Aufpunkte auf der z-Achse.
3.3 Untersuchen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke für die Grenzfälle z ≪ R 0 , z ≫ R 0
und R 0 → ∞ mit Hilfe der Taylorentwicklung.
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 4
Gegeben ist eine Kugelschale mit Radius r 0 und konstanter Oberflächenladungsdichte σ. Berechnen Sie
das Potential auf der z-Achse. Leiten Sie aus diesem Ergebnis eine im gesamten Raum gültige Lösung
her.
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Gaußsches Gesetz, Poisson-Gleichung und elektrischer Dipol
Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden.
Aufgabe 5
Gegeben ist die zylindersymmetrische Ladungsverteilung
im Vakuum.

 4

 R 




ρ f 0   , 0 ≤ R ≤ R0



R0

ρ f (~r) = 
 4


 R0 



1


− 3 ρ f 0  R  , R0 < R < ∞
5.1 Im Allgemeinen kann das Potential mit Hilfe des Coulomb-Integrals berechnet werden. Stellt dieser Weg zur Berechnung des Potentials bei der gegebenen Anordnung eine sinnvolle Möglichkeit
dar? Begründen Sie Ihre Antwort.
5.2 Berechnen Sie mit dem Gaußschen Gesetz E~ für 0 ≤ R < ∞.
a) Geben Sie die Variablen und die Richtung des elektrischen Feldes bei vorliegender
Symmetrie an.
5.3 Bestimmen Sie außerdem den Potentialverlauf φ(R) für 0 ≤ R < ∞. Überlegen Sie sich dazu eine
physikalisch sinnvolle Randbedingung bezüglich des Potentials.
5.4 Berechnen Sie alternativ das Potential mit Hilfe der Poisson-Gleichung und vergleichen Sie Ihr
Ergebnis mit 5.3. Es soll gelten: φ(R = 0, ϕ, z) = 0 und φ(R → ∞, ϕ, z) < ∞.
a) Leiten Sie aus den Gleichungen ∇ × E~ = 0 und ε0 ∇ · E~ = ρ die Poisson-Gleichung her.
b) Stellen Sie die Poisson-Gleichung in einem geeigneten Koordinatensystem auf.
Aufgabe 6
Beweisen Sie die folgende Relation in kartesischen Koordinaten:
~ r − ǫ ~p)
~ r + ǫ ~p) − E(~
E(~
2
2
= (~p · ∇)E~
ǫ→0
ǫ
lim
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Aufgabe 7
Gegeben sind zwei kreisförmige Linienladungen, die konzentrisch um die z-Achse angeordnet sind. Die
erste Linienladung mit dem Radius R1 befindet sich auf der Höhe z = h und ist mit der Linienladungsdichte τ f 1 (ϕ) = Rτ11 sin2 (ϕ) geladen. Die zweite Linienladung mit dem Radius R2 befindet sich auf der
Höhe z = −h und ist mit der Linienladungsdichte τ f 2 (ϕ) = Rτ22 cos2 (ϕ) geladen. Es gilt τ1 , τ2 = konst.
7.1 Berechnen Sie jeweils die Ladungen der beiden Linienladungen.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Kreise mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Berechnen Sie das vektorielle Linienelement und dessen Betrag.
~ Berechnen Sie das Dipolmo7.2 Das Dipolmoment eines endlichen Dipols ist gegeben mit ~p = Qd.
ment der gesamten Anordnung unter der Annahme, dass τ1 = −τ2 gilt.
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 8
q
Gegeben ist eine mit der Flächenladungsdichte σ(R) = σ0 R−1 R21 + R22 geladene Kreisscheibe mit
Innenradius R1 und Aussenradius R2 , die sich konzentrisch um die z−Achse in der x − y−Ebene befindet
(σ0 = konst).
8.1 Berechnen Sie das von dem Kreisring erzeugte Potential für Aufpunkte auf der z−Achse.
8.2 Nun befindet sich im Zentrum des Kreisringes ein Punktdipol mit dem Dipolmoment ~p = p0~ez ,
wobei p0 als konstant angenommen ist. Ermitteln Sie die Kraft die der Dipol auf den geladenen
Kreisring ausübt. (Hinweis: actio = reactio)
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Dipol, Polarisation und Übergangsbedingungen an Grenzflächen
Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden.
Aufgabe 9
9.1 Gegeben ist ein Punktdipol, der sich im Koordinatenursprung befindet und das Dipolmoment ~p =
p 0~ez besitzt.
a) Geben Sie das Potential und das elektrische Feld des Dipols in Kugelkoordinaten an.
Leiten Sie eine Gleichung für die Äquipotentialflächen und die elektrischen Feldlinien des Punktdipols her. Skizzieren Sie die Äquipotentialflächen und die Feldlinien.
9.2 Nun befindet sich im Ursprung eine Punktladung Q und der Dipol an der Stelle ~r D . Geben Sie die
Ausdrücke für Kraft und Drehmoment (bzgl. seiner eigenen Drehachse) auf den Punktdipol an,
der sich im Feld der Punktladung befindet.
~ einer Punktladung im Ursprung an.
a) Geben Sie das elektrische Feld E
9.3 Vergleichen Sie das elektrische Feld aus 9.1 mit der Kraft aus 9.2.
Aufgabe 10
Geben Sie die Raumladungsdichte für den skizzierten Kreiszylinder, der mit konstanter Dipoldichte
~ = P ~ez geladen sein soll, an. Berechnen Sie das Potential auf der z-Achse durch Auswerten des
P
0
Coulomb-Integrals.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung des Zylinderbodens, -deckels und -mantels mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Berechnen Sie die vektoriellen Flächenelemente und deren Beträge.
z
R0
z=+h
z=0
z=−h
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Aufgabe 11
Ein in z-Richtung unendlich ausgedehnter Kreiszylinder mit Radius R0 ist senkrecht zur Achse polari~ = P0 e~y (P0 = const). Der Zylinder befinde sich im Vakuum. Gegeben seien die Lösungen für
siert mit P
das Potential im Innen- und Außenraum gemäß
∞
X
(a)
φ (R, ϕ) =
an R−n sin(nϕ)
für R0 ≤ R < ∞
n=1
(i)
φ (R, ϕ) =
∞
X
bn Rn sin(nϕ)
für 0 ≤ R ≤ R0 .
n=1
11.1 Zeigen Sie, dass die angegebenen Lösungen des Potentials die Laplace-Gleichung erfüllen.
11.2 Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ(R, ϕ) im Innen- und Außenraum des Zylinders.
Benutzen Sie dafür die angegebenen Ansätze.
~ im Innen- und Außenraum des
11.3 Berechnen Sie die elektrische Feldstärke E~ und die Flussdichte D
Zylinders und skizzieren Sie die Feldlinien.
y
ε0
P
ϕ
x
R0
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 12
2
Die kugelsymmetrische Raumladungsdichte ρ(r) = ρ0 rr2 für 0 ≤ r ≤ r1 ist umgeben von einer dielek1
trischen Kugelschale (Innenradius r1 , Außenradius r2 , Dielektrizitätskonstante εr ). Der übrige Raum sei
ladungsfrei.
~ E~ und P
~ für den gesamten Raum.
12.1 Berechnen Sie das D,
12.2 Berechnen Sie φ für den gesamten Raum, wenn φ im Unendlichen zu Null werden soll.
12.3 Berechnen Sie die Polarisationsraumladungsdicht ρPV im Innern des Dielektrikums und die Polarisationsoberflächenladungsdichten σP (r1 ) und σP (r2 ).
12.4 Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik eine DGL für φ her und berechnen Sie
φ mit Randbedingungen die Sie aus 12.2 ermitteln können.
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Poisson-Gleichung mit ortsabhängigem Dielektrikum und Spiegelladung
Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden.
Aufgabe 13
Der Zwischenraum ri < r < ra eines Kugelkondensators ist mit einem Dielektrikum gefüllt, dessen
Permittivität gemäß
r
ε(r) = ε0 εi i
r
vom Ort abhängt. Die Außenelektrode ist geerdet, während die Innenelektrode auf dem konstanten Potential φi gehalten wird.
13.1 Berechnen Sie das Potential φ und die elektrische Feldstärke E~ im Innern des Kugelkondensators.
Wie groß ist die Energie, die im Kondensator gespeichert ist?
a) Leiten Sie aus den Gleichungen der Elektrostatik eine koordinatenfreie DGL für das
Potential her.
b) Geben Sie die Variablen des Potentials für die gegebene Symmetrie der Anordnung an.
~ des Mediums, das den Zwischenraum des Kondensators ausfüllt.
13.2 Berechnen Sie die Polarisation P
Bestimmen Sie weiterhin die Polarisations-Oberflächenladungsdichten σpi und σpa auf den Elektroden.
Aufgabe 14
Eine Punktladung Q befindet sich vor einer geerdeten
Metallkugel mit Radius r0 . Der Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und der Punktladung beträgt p. Das Potential für den Außenraum der Kugel läßt sich mit Hilfe einer Spiegelladung im Innern der Kugel ermitteln.
Berechnen Sie die Position p′ und den Betrag der Spiegelladung Q′ , damit die Randbedingung φ|Kugelrand = 0
erfüllt werden kann. Geben Sie das Potential im gesamten Raum an.
Q′
p′
Q
p
z
a) Geben Sie einen Ausdruck für das von Q und Q′ erzeugte Potential an, wenn die Kugel nicht
vorhanden wäre.
b) Berechnen Sie den Abstand von ~r jeweils zu ~r p und ~r p′ .
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Aufgabe 15
Bei z = 0 befindet sich eine geerdete, leitende, unendlich ausgedehnte Ebene. Oberhalb dieser Ebene
befindet sich ein Punktdipol am Ort ~rD = d~ez mit dem Dipolmoment ~p = p0~ez .
15.1 Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ für z ≥ 0.
a) Geben Sie das Potential eines Punktdipols an.
15.2 Berechnen Sie die auf der Ebene influenzierte Oberflächenladungsdichte σ f .
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 16
Ein ebener Plattenkondensator mit dem Abstand d und Plattenfläche F, der senkrecht zur x−Achse
angeordnet ist, ist mit einem Dielektrikum gefüllt, dessen Dielektrizitätskonstante gemäß
x
εr (x) = ε1 + (ε2 − ε1 )
d
vom Ort abhängt. Die Elektroden werden auf den konstanten Potentialen φ(0) = 0 und φ(d) = φ0
gehalten. Randeffekte aufgrund der endlichen Plattengröße sind zu vernachlässigen.
16.1 Berechnen Sie das Potential φ zwischen den Elektroden.
~ und die Flussdichte D
~ zwischen den Elektroden.
16.2 Berechnen Sie das elektrische Feld E
16.3 Berechnen Sie die Oberflächenladungsdichten σ f (0) und σ f (d) auf den Kondensatorelektroden.
16.4 Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators.
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Separationsansatz und numerische Lösung der Laplace-Gleichung
Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden.
Aufgabe 17
y
b
a
x
Gegeben Sei der obige Potentialkasten, für den die 2D Poisson-Gleichung
∇2 φ = 0
in 0 < x < a und 0 < y < b
mit den vorgegebenen Randbedingungen
φ (0, y) = φ (a, y) = φ (x, 0) = 0 ,
φ (x, b) =
V0
a2
x (a − x) .
17.1 Berechnen Sie für das obige Randwertproblem das Potential φ(x, y) mit Hilfe des Separationsansatzes. Benutzen Sie dabei die Orthogonalitätseigenschaft der Sinusfunktion:
Z a
nπx mπx a
sin
dx = δmn
sin
a
a
2
0
17.2 Im Folgenden soll das Potential numerisch berechnet werden. Leiten Sie dazu
mit Hilfe der Taylorreihenentwicklung eine Vorschrift zur Berechnung des Potentials φ xk , yl = φk,l aus den Nachbarwerten φk+1,l , φk−1,l , φk,l+1 und φk,l−1 her. Nehmen Sie dazu eine äquidistante Unterteilung des
Lösungsgebietes an xk = kh, yl = lh .
∂φ ∂φ φ (x, y) ≈ φ xk , yl +
xk , yl x − xk +
xk , yl y − yl
∂x
∂y
2
2
1 ∂2 φ 2
2
∂ φ 1∂ φ
x
,
y
x
−
x
y
−
y
x
,
y
xk , yl y − yl
x
−
x
+
+
k l
k
l +
k l
k
2
2
2 ∂x
∂x∂y
2 ∂y
17.3 Benutzen Sie nun zur numerischen Berechnung des Potentials ihr Ergebnis aus 17.2. Tragen Sie
ihre Ergebnisse im Gesamtschrittverfahren in die vorbereiteten Gitter ein und skizzieren Sie die
Äquipotentiallinien.
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192
256
192
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192
256
192
0
0
0
0
0
0
0
0
0. Schritt 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2. Schritt 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
192
256
192
0
0
0
0
0
0
192
256
192
0
0
0
1. Schritt
0
0
3. Schritt
0
0
Aufgabe 18
x
Betrachtet wird ein in + z–Richtung unendlich ausgedehntes Rohr
mit rechteckförmigem Querschnitt. Die Außenwände des Metallrohrs sind geerdet, während der Deckel an der Stelle z = 0 auf
dem konstanten Potential φ(x, y, z = 0) = V0 liegt. Überlegen Sie
sich eine sinnvolle Randbedingung bezüglich des Potentials in z–
Richtung. Berechnen Sie das Potential φ(~r) innerhalb der Anordnung.
a
0
z
b
y
a) Leiten Sie aus den Gleichungen der Elektrostatik eine koordinatenfreie Differentialgleichung für das Potential im Innern des Rohres her.
b) Wählen Sie geeignete Koordinaten, formulieren Sie dafür die Differentialgleichung und machen Sie einen geeigneten Ansatz zur Separation.
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 19
Gegeben ist eine Kreisscheibe mit dem Radius R0 . Auf dem Rand der Kreisscheibe ist das Potential mit
φ(R0 , ϕ) = φ0 (sin3 (ϕ) + cos3 (ϕ)) vorgegeben. Berechnen Sie das Potential innerhalb der Kreisscheibe
mit Hilfe des Separationsansatzes, wenn das Potential im Zentrum der Scheibe beschränkt und in der
ϕ-Abhängigkeit periodisch sein soll.
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Strömungsfeld
Aufgabe 20
Gegeben sind die folgenden Widerstände mit entsprechender Leitfähigkeit κ(z):
z
z
!(z )
b
a
0
a
0
a
!0
!0
!(z )
!
z"
" $$$1 % ###
$&
a '#
y
b
1%
3z 2
2a 2
y
x
x
In den folgenden Berechnungen sind Randeffekte in Feldstrukturen zu vernachlässigen.
20.1 Leiten Sie unabhängig von der Geometrie und ausgehend von den Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik und der Kontinuitätsgleichung eine partielle Differentialgleichung zur Bestimmung des
Potentials φ her. Begründen Sie dabei Ihr Vorgehen.
20.2 Lösen Sie diese Differentialgleichung für die oben abgebildeten Anordnungen. Benutzen Sie dabei ein entsprechendes Koordinatensystem und passen Sie Ihre Randbedingungen bezüglich des
Potentials φ an. Berechnen Sie zudem das elektrische Feld E~ und die Stromdichte ~j der Anordnungen.
20.3 Berechnen Sie mittels der Stromdichte ~j den Strom I, der durch die jeweilige Anordnung fließt.
Bestimmen Sie im Anschluß die zugehörigen Widerstände für den Fall, dass φ 0 > 0 gilt.
Nun werden die Widerstände folgendermaßen verschaltet (es ändert sich nur die Höhe der Widerstände, alle anderen Grössen bleiben unverändert):
R3
R2
R1
3
b ! 2a
1
2
b !a
b ! 2a
R5
4
b !a
R4
b ! 4a
9U 0
20.4 Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung. Benutzen Sie dabei Ihre vorherigen Ergebnisse und die Definition des Widerstandes R0 = κ01a .
20.5 Berechnen Sie die Potentiale φ1 , φ2 , φ3 und φ4 in Anhängigkeit von der Quellspannung U0 .
20.6 Anwendung diskutieren (SMD Bausteine, räumlich verteilte Bauelemente der HF-Technik: Mikrostreifenleiter etc.).
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Aufgabe 21
Gegeben ist der dargestellte Leiter mit rechteckigem Querschnitt. Bei ϕ = 0 liegt der Leiter auf dem
konstanten Potential φ0 und bei ϕ = π/2 ist der Leiter geerdet. Die Leitfähigkeit κ(~r ) im Innenraum des
Leiters ist endlich und vom Ort abhängig.
y
z
φ=0
κ(~r)
h
φ = φ0
x
R0
3
2
R0
Für die Leitfähigkeit des Leiters gilt
κ(~r ) = κ0
R ϕ2 + π2 /4
R0
πϕ
21.1 Berechnen Sie das Potential φ und die elektrische Feldstärke E~ für den Innenraum des Leiters.
21.2 Berechnen Sie die Stromdichte ~j und den Gesamtstrom I im Innenraum des Leiters.
21.3 Berechnen Sie den ohmschen Widerstand RΩ des Leiters und die im System umgesetzte Verlustleistung PΩ .
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 22
Gegeben ist der dargestellte kreiszylindrische Leiter mit Länge 2L und Radius R. Die Leitfähigkeit κ(~r)
sei endlich und vom Ort abhängig. Bei z = −L bzw. z = L wird der Leiter auf den konstanten Potentialen
φ1 und φ2 gehalten. An der Stelle z = 0 ist eine Kerze positioniert, deren Wärme folgende Leitfähigkeit
im Leiter erzeugt:
φ1
φ2
κ
2R
2
2
z +a
.
κ = κ(z) = κ0 2
z + a2 + 1
z = −L
z=0
z=L
22.1 Berechnen Sie das elektrische Potential φ, die elektrische Feldstärke E~ und die elektrische Stromdichte ~j im Innenraum des Leiters.
22.2 Berechnen Sie den elektrischen Strom I, den Ohmschen Widerstand RΩ des Leiters und die umgesetzte Verlustleistung P.
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Gesetz von Biot-Savart und Superpositionsprinzip
Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden.
Aufgabe 23
~ auf der Achse eines kreisförmigen Drahtrings, der vom Gleichstrom I
Berechnen Sie das Magnetfeld B
durchflossen wird, mittels des Biot-Savartschen Gesetzes. Skizzieren Sie den Verlauf des Magnetfeldes
längs der Achse.
y
x
R0
I
z
a) Parametrisieren Sie den Kreisring.
b) Berechnen Sie das zugehörige vektorielle Linienelement.
c) Stellen Sie die Stromdichte des stromdurchflossenen Drahtrings auf.
Aufgabe 24
Eine Zylinderspule der Länge 2h und mit n Windungen
wird vom Gleichtrom I durchflossen. Berechnen Sie das
~ der Zylinderspule auf der Achse mit Hilfe
Magnetfeld B
des Superpositionsprinzips. Nehmen Sie dafür an, daß n
sehr groß ist.
R0
z
2h
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Aufgabe 25
L0
Als Helmholtz-Spulen bezeichnet man die dargestellte Anordnung zweier, als Stromringe mit dem Radius
R0 und dem Abstand L0 idealisierter, jeweils mit dem
Gleichstrom I durchflossener Spulen, mit denen man ein
nahezu homogenes Magnetfeld erzeugen kann.
2R0
z
x
a) Geben Sie das Magnetfeld einer kreisförmigen Stromschleife auf der Symmetrieachse an.
25.1 Berechnen Sie das Magnetfeld der Helmholtzspulen auf der Symmetrieachse der Spulen.
~ der Spulen gemäß den Normierungsvorschriften B
~ =
25.2 Normieren Sie das Magnetfeld B
L0 = 2aR0 und z = R0 η.
µ0 I ∗
~
2R0 B ,
25.3 Formulieren Sie die Forderung nach optimaler Homogenität des magnetischen Feldes im Koordinatenursprung mathematisch und bestimmen Sie aopt .
~ ∗ für a = aopt .
25.4 Skizzizieren Sie das Magnetfeld B
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 26
Ein linienförmiger Gleichstrom I fließt aus dem Unendlichen“ kommend längs der positiven z–Achse
”
eines kartesischen Koordinatensystems bis zum Koordinatenursprung und von dort längs der negativen
y–Achse wieder ins Unendliche. Berechnen Sie das Magenetfeld für den gesamten Raum.
z
I
y
x
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Magnetischer Dipol, Magnetisierung und Übergangsbedingungen
Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden.
Aufgabe 27
y
~j0
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
Ri
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
Ra
z
x
Gegeben ist der in der Abbildung dargestellte, in z–Richtung unendlich ausgedehnte, zylinderförmige
Hohlleiter (Innenradius Ri ; Außenradius Ra ). Die Achsen des Leiters und des Hohlraums sind identisch.
Im Zwischenraum ist eine homogene Stromdichte ~j0 = j0~ez gegeben. Berechnen Sie das von der An~ für den gesamten Raum, und skizzieren Sie | B(x)|
~
ordnung erzeugte Magnetfeld B
für x > 0. Geben Sie
dazu die markanten Punkte an.
z
Aufgabe 28
x
~
M
r0
y
~ = M~ez ∀ r ∈ (0, r ] befindet
Eine homogen magnetisierte Kugel mit Radius r0 und Magnetisierung M
0
sich im Vakuum.
~ für den gesamten Raum. Nehmen Sie dazu an, dass das Magnet28.1 Berechnen Sie das Magnetfeld B
~
~ a im
feld Bi im Innern der Kugel homogen ist. Nutzen Sie außerdem aus, dass das Magnetfeld B
~
Außenraum mit dem B-Feld
der entsprechenden Dipolnäherung identisch ist.
~ und das H–Feld
~
28.2 Skizzieren Sie das B–
für die Ebene x = 0.
Übung
Elektrische und magnetische Felder
z
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y
Aufgabe 29
I0
a
b
~b = b~ex
x
a
Gegeben sei eine quadratische Leiterschleife in der Ebene z = 0. Die Kantenlänge ist mit a gegeben, in
der Leiterschleife fließt der Strom I0 .
~ ~r. Argumentieren Sie
29.1 Die Leiterschleife erzeugt im gesamten Raum ein magnetisches Feld B
1
mit Hilfe von Symmetrie und der speziellen Anordnung oben, welche Richtungskomponenten das
~ ~r im Punkt ~r = ~b besitzt. Begründen Sie außerdem, welches Koordinatenmagnetische Feld B
1
system am Besten für Berechnungen geeignet ist.
29.2 Mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart könnte man nun das Magnetfeld exakt berechnen. Unter bestimmten Bedingungen ist es jedoch auch möglich, die exakte Berechnung durch eine Dipolnäherung zu ersetzen. Nennen Sie eine Bedingung, mit der die exakte Berechnung des magne~ ~r durch die Dipolnäherung ersetzt werden kann.
tischen Feldes B
1
29.3 Geben Sie das Dipolmoment m
~ 1 der Leiterschleife an.
~ ~r der Leiterschleife in Dipolnäherung mit dem Ergebnis
29.4 Berechnen Sie das magnetische Feld B
1
aus Teilaufgabe 29.3.
29.5 Skizzieren Sie das exakte magnetische Feld und das magnetische Feld in Dipolnäherung entlang
der x–Achse für x ∈ (−∞, ∞). Verwenden Sie dazu eine gemeinsame Skizze.
Aufgabe 30
Ein Ringkern mit quadratischem Querschnitt, der radialsymmetrisch um die z-Achse liegt, besteht aus
zwei Materialien unterschiedlicher relativer Permeabilität. Im Bereich 0 ≤ z ≤ h gilt µ = µ1 und im
Bereich −h ≤ z < 0 gilt µ = µ2 . Der Kern ist mit N Windungen eines dünnen Drahtes gleichmäßig
bewickelt. Im Draht fließt der Gleichstrom I.
30.1 Skizzieren Sie die Anordnung.
30.2 Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik das Durchflutungsgesetz her.
~ die magnetische Flussdichte B
~ und die Magnetisie30.3 Bestimmen Sie die magnetische Feldstärke H,
~
rung M im Kern.
30.4 Berechnen sie die magnetische Energie, die in der Anordnung gespeichert wird.
Die folgenden Aufgaben können zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben werden.
Aufgabe 31
Längs der z–Achse fließt der linienförmige Gleichstrom I in positive z–Richtung.
~ an.
31.1 Geben Sie die kartesischen Komponenten des Magnetfeldes B
31.2 Im Feld des Linienstroms befindet sich ein magnetischer Punktdipol mit dem Dipolmoment
m
~ = m0~ex . Berechnen Sie die Kraft und das Drehmoment auf den Punktdipol.
Übung
Elektrische und magnetische Felder
WiSe 2014/15
Induktion und Verschiebungsstrom und Phasoren
Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden.
U ind
Aufgabe 32
R
vx
z
B
x
Gegeben ist ein in der positiven x-Halbebene gelegenes, homogenes Magnetfeld mit der magnetischen
~ = Be~y . Eine in der x − z-Ebene liegende, kreisrunde Leiterschleife mit Radius R wird mit
Flussdichte B
der konstanten Geschwindigkeit ~v = v x e~x in positive x-Richtung bewegt. Zum Zeitpunkt t = 0 liegt die
Leitschleife wie in der Abbildung skizziert.
Die Fläche F, die sich im Magnetfeld befindet, stellt sich als Funktion der Eindringtiefe x wie folgt dar:
F(x) =
p
R−x
πR2
− (R − x) R2 − (R − x)2 − R2 arcsin(
)
2
R
32.1 Stellen Sie die Fläche F als Funktion der Zeit t dar und geben Sie den magnetischen Fluss durch
die Fläche F an.
32.2 Berechnen Sie die in der Leiterschleife induzierte Spannung Uind , vereinfachen Sie Ihr Ergebnis
soweit wie möglich und skizzieren Sie qualitativ den Verlauf als Funktion der Zeit t. Markieren
Sie dabei charakteristische Zeiten.
32.3 Nehmen Sie an, dass die Klemmen der Leiterschleife mit einem Widerstand Ra abgeschlossen
sind. Geben Sie an und begründen Sie, in welche Richtung (Uhrzeiger-/Gegenuhrzeigersinn) der
Strom Ia durch die Leiterschleife fließt.
Aufgabe 33
Gegeben ist ein Kondensator der mit einem leitfähigen Dielektrikum gefüllt ist (ǫ(~r ) , κ(~r)).
33.1 Leiten Sie aus den vollständigen Maxwell-Gleichungen in Materie die Kontinuitätsgleichung her.
33.2 Leiten Sie daraus, mit Hilfe der Matrialgleichungen, einen Zusammenhang zwischen ρ f , ~j f , κ und
ǫ her.
33.3 Zum Zeitpunkt t = 0 soll ρ f (0) = ρ0 gelten. Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Raumladungsdicht ρ f (t), wenn der Kondensator ab diesem Zeitpunkt isoliert wird und κǫ = const gilt.
33.4 Vergleichen Sie den Verschiebungsstrom mit dem Strom der freien Ladungsträger.
Übung
Elektrische und magnetische Felder
WiSe 2014/15
Aufgabe 34
Die Maxwell-Gleichung und adäquate Materialbeziehungen beschreiben allgemein elektromagnetische
Phänomene, sowohl im Vakuum als auch in Materie.
34.1 Leiten Sie aus der Näherung der Maxwell-Gleichungen für langsam veränderliche Felder eine
partielle Differentialgleichung für die elektrische Stromdichte her, die den Skineffekt in einem
Medium der Permeabilität µ 0 und konstanter Leitfähigkeit κ beschreibt. Erläutern Sie in diesem
Zusammenhang kurz den Skineffekt.
34.2 Geben Sie die hergeleitete Differentialgleichung in Phasorschreibweise an. Erläutern Sie dazu
kurz, wann eine Einführung von Phasoren sinnvoll ist und welchen Vorteil sie bietet.
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 35
Ein Drahtrechteck bewegt sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit v von einem langen Draht weg, in
dem ein konstanter Strom I1 fließt. Während der Bewegung bleiben Draht und Drahtrechteck in einer
Ebene. Welcher Strom I2 (t) wird in dem Drahtrechteck induziert, wenn dieses den Widerstand RΩ hat?
Die Rechnung soll über den magnetischen Fluss durchgeführt werden.
v
l(t)
h
I1
d
Aufgabe 36
Ein Ringkern mit rechteckigem Querschnitt, der radialsymmetrisch um die z-Achse liegt, besteht aus
zwei Materialien unterschiedlicher relativer Permeabilität. Im Bereich R1 ≤ R ≤ R2 gilt µ = µ1 und im
Bereich R2 < R ≤ R3 gilt µ = µ2 . Der Kern ist mit N Windungen eines dünnen Drahtes gleichmäßig
bewickelt. Im Draht fließt der Gleichstrom I.
36.1 Skizzieren Sie die Anordnung.
~ die magnetische Flussdichte B
~ und die Magnetisie36.2 Bestimmen Sie die magnetische Feldstärke H,
~ im Kern.
rung M
36.3 Berechnen sie die magnetische Energie, die in der Anordnung gespeichert wird.
Übung
Elektrische und magnetische Felder
WiSe 2014/15
Doppelphasoren und elektromagnetische Wellen
Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden.
Aufgabe 37
In dieser Aufgabe soll Wellenausbreitung betrachtet werden.
37.1 Leiten Sie ausgehend von den vollständigen Maxwell-Gleichungen die Wellengleichung für das
elektrische Feld im Vakuum her.
37.2 Erläutern Sie die Eigenschaften ebener Wellen und geben Sie explizit den elektrischen Feldstärkevektor einer beliebigen, ebenen Welle an.
37.3 Überprüfen Sie, ob die von Ihnen in 2) angegebene ebene Welle die Wellengleichung aus Aufgabenpunkt 1) erfüllt.
37.4 Geben Sie die Maxwell-Gleichungen für elektrisch leitfähige Medien in Doppelphasorschreibweise an. Berücksichtigen Sie dabei auch den Verschiebungsstrom.
Im Folgenden wird die Wellenausbreitung in einem elektrisch leitfähigen Medium betrachtet. Es
gilt:
~ = By (x)~ey ,
B
E~ = Ez (x)~ez ,
~k = k~ex ,
κ = κp =
ε0 ω2g
iω
~ t) an.
37.5 Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen einen Ausdruck für | ~k | her und geben Sie E(x,
~ t) für ω < ωg und ω > ωg an. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis physikalisch.
37.6 Geben Sie E(x,
37.7 Wovon hängt der Parameter ωg ab? Welche Auswirkungen hat ωg auf die Funkübertragung?
37.8 Anwendung diskutieren (Funkwellenreflektion an der Ionosphäre, Radio).
Aufgabe 38
Gegeben ist eine elektromagnetische Welle im Vakuum durch den Phasor des magnetischen Feldes
~ r) = B0 e−iky~ez .
B(~
~ r) des elektrischen Feldes und das elektrische Feld E(~
~ r, t).
38.1 Berechnen Sie den Phasor E(~
38.2 Geben Sie die Ausbreitungsrichtung der Welle und die Polarisationsrichtung des elektrischen Feldes an.
Übung
Elektrische und magnetische Felder
WiSe 2014/15
Aufgabe 39
Gegeben ist eine Dipolantenne der Länge h im freien Raum (Der Einfluß der Erdoberfläche soll unberücksichtigt bleiben.). Die Antenne wird mit einem harmonischen Strom I(t) mit der Frequenz ω =
2π f gespeist.
39.1 Berechnen Sie den Phasor des Dipolmomentes ~p.
~ r, t) und B(~
~ r, t) für Entfernungen von Antenne, die wesentlich größer sind als
39.2 Bestimmen Sie E(~
die Länge der Antenne.
39.3 Ermitteln Sie die Richtcharakteristik dieser Antenne.
39.4 Berechnen Sie die Leistung, die von der Antenne in den Raum gestrahlt wird.
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 40
40.1 Geben Sie die vollständigen Maxwell-Gleichungen an, und leiten Sie daraus die Maxwell-Gleichungen
in Doppelphasorschreibweise für Vakuum her. (Begründen Sie Ihr Vorgehen!)
Gegeben ist nen eine elektromagnetische Welle im Vakuum durch den Phasor des magnetischen Feldes
~ r) = B0 e−ikz~ex .
B(~
~ r) und das elektrische Feld E(~
~ r, t).
47.2 Berechnen Sie den Phasor des elektrischen Feldes E(~
Im Feld der Welle befindet sich in der skizzierten Lage eine rechteckige Drahtschleife, deren Rückwirkung
auf das Feld vernachlässigt werden kann.
x
z
b
a
y
Uind
47.3 Berechnen Sie den magnetischen Fluß Ψm (t) durch die Schleife, und vereinfachen Sie Ihr Ergebnis
mit
x + y
x − y
sin(x) − sin(y) = 2 cos
sin
.
2
2
47.4 Berechnen Sie die vom Meßgerät angezeigte Spannung Uind (t).
47.5 Bestimmen Sie den kleinsten Wert von a (a > 0), für den die Amplitude von Uind (t) maximal
wird. Drücken Sie a als Funktion der Wellenlänge λ aus. Es gilt k = 2π
λ.