Spezielle Funktionen

5 Spezielle Funktionen
In diesem Kapitel werden einige wichtige Funktionen der Mathematischen Physik vorgestellt. Solche Funktionen sind in der Quantentheorie
in mehrfacher Hinsicht von Bedeutung: Einmal erscheinen sie in Form
von analytischen Lösungen einfacher physikalischer Probleme, wie beispielsweise die Hermite-Funktionen als Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators. Zum anderen liefern diese Funktionen eine bequeme
Basis des Hilbert-Raums. Eine solche Basis kann man verwenden, um
andere Probleme darzustellen und dann als Matrixgleichungen zu behandeln. Beides haben wir am Beispiel der Hermite-Funktionen im vorangehenden Kapitel kurz vorgestellt.
5.1 Orthogonale Polynomsysteme
In Kapitel 2 wurde das Skalarprodukt auf dem Hilbert-Raum der Polynome1
P (x) und R(x) im Intervall a ≤ x ≤ b als
Z b
hP |Ri =
P (x)R(x)%(x) dx
(5.1)
a
definiert. Dabei ist %(x) eine nicht-negative stetige Gewichtsfunktion. Dieses
Skalarprodukt erlaubt es nun, den Begriff Orthogonalität auch für Polynome zu
definieren. Zwei Polynome sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt
gleich null ist: Ein orthogonales Polynomsystem besteht dann aus Polynomen
Pn (x) vom Grad n = 0, 1, . . . , die paarweise orthogonal sind:
Z b
Pm (x)Pn (x)%(x) dx = cn δmn .
(5.2)
hPm |Pn i =
a
Oft ist es zweckmäßiger, statt der Polynome Pn (x) die Funktionen
p
pn (x) = %(x)/cn Pn (x)
(5.3)
zu verwenden, die nach
b
Z
pm (x) pn (x) dx = δmn
(5.4)
a
normiert sind und die die Vollständigkeitsrelation
X
pn (x) pn (x0 ) = δ(x − x0 )
(5.5)
n
1
Wir beschränken uns hier auf reelle Polynome.
123
Skalarprodukt
5. Spezielle Funktionen
erfüllen. Dabei ist δ(x) die Deltafunktion. Eine typische Anwendung orthogonaler Polynome besteht darin, Funktionen aus dem Hilbert-Raum quadratintegrierbarer Funktionen in diesen Polynomsystemen darzustellen, also als
X
f (x) =
an pn (x) .
(5.6)
n
Dabei ergeben sich die Koeffizienten an durch Projektion auf die Basisfunktionen:
Z b
f (x) pn (x) dx .
(5.7)
an =
a
Nach dem Satz von Fischer-Riesz konvergiert
die Reihe (5.6) fast überall gegen
P
die Funktion f (x), wenn die Reihe n |an |2 konvergiert.
Abhängig von dem Intervall und der Gewichtsfunktion existieren unterschiedliche Polynomsysteme mit unterschiedliche Anwendungsgebieten. Wir werden
hier drei typische Systeme vorstellen: Die Hermite-Polynome, die LegendrePolynome und die Laguerre-Polynome.
5.1.1 Hermite-Polynome
HermitePolynome
Um orthogonale Polynome auf der gesamten x-Achse zu konstruieren, muss
man eine Gewichtsfunktion %(x) wählen, die für große |x| schnell genug abfällt.
2
Hier bietet sich eine Gauß-Funktion %(x) = e−x an. Damit erhält man die
Hermite-Polynome Hn (x). Sie erfüllen die Orthonormierungsrelation
Z +∞
√
2
(5.8)
Hm (x)Hn (x) e−x dx = π 2n n! δmn ,
−∞
stehen also paarweise aufeinander senkrecht. Die Polynome niedrigster Ordnung lauten
H0 (x) = 1 ,
H1 (x) = 2x ,
H3 (x) = 8x3 − 12x ,
H2 (x) = 4x2 − 2
H4 (x) = 16x4 − 48x2 + 12 .
(5.9)
Diese Hermite-Polynome, dargestellt in Abbildung 5.1, haben jeweils n reelle Nullstellen. Man kann zeigen, dass zwischen benachbarten Nullstellen von
Hn (x) immer eine Nullstelle von Hn+1 (x) liegt.
Erzeugende
Die Hermite-Polynome entstehen auch durch Entwicklung der Erzeugenden
h(x, u) in eine Taylor-Reihe:
2 +2ux
h(x, u) = e−u
=
∞
X
n=0
Hn (x)
un
.
n!
(5.10)
Wir wollen auf diese Weise mit Hilfe der Erzeugenden (5.10) die in (5.9) angegebenen Polynome niedrigsten Grades verifizieren. Mit der Taylor-Entwicklung
2 +2ux
h(x, u) = e−u
124
=
∞
X
1
(−u2 + 2ux)n
n!
n=0
(5.11)
5.1. Orthogonale Polynomsysteme
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
−1
0
x
1
2
Abbildung 5.1: Hermite-Polynome Hn (x) für n = 0, 2 und 4 (—) sowie n = 1
und 3 (- - -) . (Die Polynome wurden auf den Wert eins bei
x = 2 renormiert.)
finden wir in niedrigster Ordnung
h(x, u) ≈ 1 + (−u2 + 2ux) + 21 (−u2 + 2ux)2
= 1 − u2 + 2ux + 21 u4 − 2u3 x + 2u2 x2
u2
≈ 1 + 2xu + (4x2 − 2) .
2
(5.12)
Dabei stimmen die drei Koeffizienten, wie erhofft, mit den Polynomen (5.9)
überein. Mit mehr Aufwand lassen sich so auch die Hermite-Polynome höheren
Grades bestimmen.
Aufgabe 5.1 Zeigen Sie, dass die mit der Entwicklung (5.10) erzeugten Polynome Hn (x) die Orthonormierungsrelation (5.8) erfüllen. (Hinweis: Integrieren
Sie dazu das Produkt h(x, u)h(x, v) über x.)
Als Folgerung der Formel (5.10) für die Erzeugende sehen wir, dass die HermitePolynome folgende Parität besitzen:
Hn (−x) = (−1)n Hn (x) .
(5.13)
Das ergibt sich direkt aus h(−x, u) = h(x, −u). Sie sind also abwechselnd
symmetrisch und antisymmetrisch.
Die Aussage von (5.10) lässt sich mit Hilfe von
∂ n h Hn (x) =
∂un u=0
(5.14)
auch ausdrücken als
Hn (x) = (−1)n ex
2
dn −x2
,
e
dxn
(5.15)
125
Aufgabe 5.1
5. Spezielle Funktionen
RodriguesGleichung
Rekursionsgleichung
die so genannte Rodrigues-Gleichung. Auch mit dieser Formel können wir
leicht die fünf Hermite-Polynome aus (5.9) berechnen. Bei Polynomen von
höherem Grad werden diese Methoden aber sehr unhandlich. Eine bequemere
Berechnung der Hermite-Polynome ermöglicht die Rekursionsgleichung
Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x) .
(5.16)
Die Ableitungen der Polynome erhält man mit
Hn0 (x) = 2nHn−1 (x) .
(5.17)
Die Hermite-Polynome lösen die Differentialgleichung
f 00 (x) − 2xf 0 (x) + 2nf (x) = 0 ,
(5.18)
was direkt aus den Rekursionsgleichungen folgt: Setzen wir die zweite Gleichung in die erste ein,
Hn+1 (x) = 2xHn (x) − Hn0 (x)
(5.19)
und differenzieren, so erhalten wir
0
Hn+1
(x) = 2xHn0 (x) + 2Hn (x) − Hn00 (x) .
(5.20)
Jetzt benutzen wir die Rekursionsgleichung (5.17) für die Ableitung noch ein0
(x) = 2(n + 1)Hn (x) mit dem Resultat
mal in der Form Hn+1
2nHn (x) = 2xHn0 (x) + 2Hn (x) − Hn00 (x)
(5.21)
oder, in Übereinstimmung mit (5.18),
Hn00 (x) − 2xHn0 (x) + 2nHn (x) = 0 .
HermiteFunktionen
(5.22)
Oft verwendet man statt der Hermite-Polynome die Hermite-Funktionen
ϕn (x) = An Hn (x) e−x
2 /2
,
1
An = p
√ .
n
2 n! π
(5.23)
Ein kurzer Blick auf Gleichung (5.8) zeigt, dass hier die gaußförmige Gewichts2
funktion e−x in zwei gleiche Faktoren zerlegt wird, die man dann den HermitePolynomen zuschlägt. Das gleiche gilt für den Ausdruck auf der rechten Seite von (5.8). Der Faktor An sorgt für eine Normierung der Funktionen auf
einen Integralwert von eins in Gleichung (5.8). Umgeschrieben auf die HermiteFunktionen nimmt diese Gleichung dann die Form
Z +∞
ϕn0 (x) ϕn (x) dx = δn0 n
(5.24)
−∞
an. Das heißt, die Hermite-Funktionen sind orthonormiert. In Abbildung 5.2
sind die Hermite-Funktionen ϕn (x) für n = 0 bis n = 4 dargestellt.
126
5.1. Orthogonale Polynomsysteme
−4
−2
0
x
2
4
Abbildung 5.2: Hermite-Funktionen ϕn (x) für n = 0, 2 und 4 (—) sowie n = 1
und 3 (- - -) . (Zur besseren Darstellung wurden die Funktionen
jeweils um ein Vielfaches von n nach oben verschoben.)
Mit nur wenig Rechenarbeit können wir auch zeigen, dass die ϕn (x) die Differentialgleichung
ϕ00 (x) + (2n + 1 − x2 ) ϕ(x) = 0
(5.25)
−x2 /2
lösen. Um dies zu sehen, setzen wir ϕ(x) = f (x)e
. (Die Funktion f (x) ist
bis auf einen Normierungsfaktor gleich einem Hermite-Polynom und erfüllt als
die Differentialgleichung (5.18).) Zweimaliges Differenzieren ergibt
2
ϕ0 (x) = f 0 (x) − xf (x) e−x /2
(5.26)
2
2
ϕ00 (x) = f 00 (x) − xf 0 (x) − f (x) e−x /2 − x f 0 (x) − xf (x) e−x /2
2
= f 00 (x) − 2xf 0 (x) + (x2 − 1)f (x) e−x /2 ,
(5.27)
und mit f 00 (x)−2xf 0 (x) = −2nf (x) nach (5.18) erhalten wir sofort die gesuchte
Differentialgleichung (5.25).
Die Differentialgleichung (5.25) ist eine fundamentale Gleichung in der Quantenmechanik, denn sie ist die Schrödinger-Gleichung für den harmonischen
Oszillator (4.33) mit den Eigenwerten = n + 1/2 (vgl. Seite 88).
Zum Abschluss notieren wir noch die Symmetrie
ϕn (−x) = (−1)n ϕn (x))
(5.28)
der Hermite-Funktionen, eine direkte Folge der Symmetrie (5.13) der Polynome.
Die Vollständigkeitsrelation (5.5), also
X
ϕn (x) ϕn (x0 ) = δ(x − x0 ) ,
(5.29)
n
erlaubt es uns, quadratintegrable Funktionen f (x) durch die Hermite-Funktionen
darzustellen:
Z +∞
X
f (x) =
cn ϕn (x)
mit
cn =
ϕn (x)f (x) dx .
(5.30)
n
−∞
127
5. Spezielle Funktionen
Man benutzt die Hermite-Funktionen oft als Basisfunktionen des Hilbert-Raums
der quadratintegrablen Funktionen, um dadurch eine (unendlich dimensionale) Matrixdarstellung der Operatoren zu erhalten. Ein typisches Beispiel soll
dieses Vorgehen illustrieren:
Beispiel 5.1
H
Beispiel 5.1 Wir betrachten zunächst den Ortsoperator x̂ und berechnen seine Matrixelemente in der Basis der Hermite-Funktionen
Z +∞
ϕ∗n0 (x) xϕn (x) dx
hϕn0 | x̂ |ϕn i =
−∞
+∞
Z
2 /2
Hn0 (x) e−x
= An0 An
xHn (x)e−x
2 /2
dx
(5.31)
−∞
+∞
Z
2
Hn0 (x)xHn (x) e−x dx .
= An0 An
−∞
Für den Impulsoperator p̂ = −id/dx (hier benutzen wir dimensionslose Einheiten mit ~ = 1) finden wir entsprechend
Z +∞
d
hϕn0 | p̂ |ϕn i = −i
ϕ∗n0 (x)
ϕn (x) dx
dx
−∞
Z +∞
2
2
= −iAn0 An
Hn0 (x) e−x /2 Hn0 (x) − xHn (x) e−x /2 dx
(5.32)
−∞
Z
+∞
= −iA An
n0
2
Hn0 (x) Hn0 (x) − xHn (x) e−x dx .
−∞
Eine Auswertung dieser Integrale ist möglich, ohne irgendein Integral zu berechnen. Wir überlassen das einer Aufgabe:
Aufgabe 5.2
Aufgabe 5.2 Berechnen Sie mit Hilfe der Rekursionsgleichungen und der Orthonormierungsrelation der Hermite-Polynome die Matrixelemente des Ortsund Impulsoperators aus den Gleichungen (5.33) und (5.32).
Als Resultat von Aufgabe 5.2 erhalten wir eine einfache Matrixdarstellungen
für den Ortsoperator:
√


0
1
0
0
.
.
.
√
√
 1
0
2 √0 . . . 


√
1 

0
2
0
3
.
.
.
x̂ = √ 
(5.33)
.
√
2
0
3
0 ... 
 0

..
..
..
.. . .
.
.
.
.
.
Diese Matrix ist reell und symmetrisch. Genauso einfach ist das Resultat für
den Impulsoperator. Seine Matrixdarstellung
√


0
−
1
0
0
.
.
.
√
√
 1

0
−
2

√
√0 . . . 
i 
2
0 − 3 ... 
(5.34)
p̂ = √  0
.
√

2
0
0
3
0
.
.
.


..
..
..
.. . .
.
.
.
.
.
128
5.1. Orthogonale Polynomsysteme
Wie zu erwarten war sind beide Matrizen hermitesch, d.h. es gilt (x̂)n0 n = (x̂)∗nn0
und (p̂)n0 n = (p̂)∗nn0 , denn der Ortsoperator und der Impulsoperator sind hermitesch. Es ist hier wichtig, darauf hinzuweisen, dass diese Matrizen unendlich
dimensional sind. Die Argumente aus Abschnitt 3.4, die eine endlich dimensionale Matrixdarstellung von Orts- und Impulsoperator verbieten, treffen also
hier nicht zu.
Wir werden in Abschnitt 7.3 auf diese Matrixdarstellung zurückkommen und
demonstrieren, wie man sie in numerischen Rechnungen verwenden kann.
N
5.1.2 Legendre-Polynome
Wenn das Integrationsintervall in (5.1) endlich ist, lässt es sich durch Umskalieren der Variablen auf das Intervall −1 ≤ x ≤ +1 transformieren. Außerdem
existieren die Integrale auch für eine konstante Gewichtsfunktion %(x) = 1.
Die dann entstehenden Legendre-Polynome Pn (x) erfüllen die Orthonormierungsrelation
Z +1
2
δmn .
(5.35)
Pm (x)Pn (x) dx =
2n + 1
−1
Sie sind so normiert, das Pn (1) = 1 gilt. Die Polynome niedrigster Ordnung
lauten
P0 (x) = 1 ,
P1 (x) = x ,
P3 (x) = 52 x3 − 23 x ,
P2 (x) = 32 x2 −
P4 (x) =
35
8
x4 −
15
4
1
2
x2 + 38 .
(5.36)
Sie sind in Abbildung 5.3 dargestellt.
1
0
−1
−1
−0.5
0
x
0.5
1
Abbildung 5.3: Legendre-Polynome Pn (x) für n = 0, 2 und 4 (—) sowie n = 1
und 3 (- - -) .
Genau wie die Hermite-Polynome entstehen die Pn (x) durch Entwicklung einer
Erzeugenden h(x, u) in eine Taylor-Reihe:
∞
h(x, u) = √
X
1
=
Pn (x) un .
2
1 − 2ux + u
n=0
(5.37)
129
LegendrePolynome
5. Spezielle Funktionen
Ihre Rodrigues-Gleichung ist gegeben durch
Pn (x) =
n
1 dn 2
x −1
n
n
2 n! dx
(5.38)
und die Rekursionsgleichungen lauten
(n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x)
(x2 − 1)Pn0 (x) = nxPn (x) − nPn−1 (x) .
(5.39)
(5.40)
Die Legendre-Polynome haben die Parität
Pn (−x) = (−1)n Pn (x)
(5.41)
und lösen die Differentialgleichung
(1 − x2 )f 00 (x) − 2xf 0 (x) + n(n + 1)f (x) = 0 ,
(5.42)
die legendresche Differentialgleichung.
zugeordnete
LegendrePolynome
Neben diesen ‘normalen’ Legendre-Polynomen gibt es auch verallgemeinerte
Legendre-Polynome, die auch als zugeordnete Legendre-Polynome bezeichnet werden. Das sind Lösungen Pnm (x) der Differentialgleichung
(1 − x2 )f 00 (x) − 2xf 0 (x) + n(n + 1) −
m2 f (x) = 0 ,
1 − x2
(5.43)
wobei m die ganzen Zahlen von −n bis +n durchlaufen kann. Bei vorgegebenem
n gibt es also (2n+1) Funktionen Pnm (x). Man kann zeigen, dass diese Lösungen
durch die Rodrigues-Gleichung
Pnm (x) =
n+m
(−1)m 2
m/2 d
(x
−
1)
(x2 − 1)n
2n n!
dxn+m
(5.44)
gegeben sind – eine direkte Verallgemeinerung der Gleichung (5.38) für die
normalen Legendre-Polynome. Alternativ erhält man die Polynome für m > 0
durch m-fache Differentiation aus den einfachen Legendre-Polynomen,
Pnm (x) = (−1) m (1 − x2 )m/2
dm
Pn (x) ,
dxm
(5.45)
und für negativen oberen Index aus der Beziehung
Pn−m (x) = (−1)m
(n − m)! m
P (x) .
(n + m)! n
(5.46)
Für m = 0 stimmen die Pn0 (x) mit den Pn (x) überein.
¸
Wir berechnen aus diesen Gleichungen die verallgemeinerten Legendre-Polynome
für n = 1 und n = 2: Aus P10 (x) = P1 (x) = x erhalten wir
√
P1+1 (x) = (−1)(1 − x2 )1/2 P1 0 (x) = − 1 − x2
P1−1 (x) = (−1)
130
√
(1 − 1)! +1
P1 (x) = + 1 − x2
(1 + 1)!
(5.47)
5.1. Orthogonale Polynomsysteme
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0
1
2
3
x
4
5
6
Abbildung 5.4: Laguerre-Polynome Ln (x) für n = 0, 2 und 4 (—) sowie n = 1
und 3 (- - -) . (Die Polynome wurden auf den Wert eins bei
x = 0 renormiert.)
und aus P20 (x) = 23 x2 −
1
2
die vier Funktionen
√
P2+1 (x) = (−1)(1 − x2 )1/2 P2 0 (x) = −3x 1 − x2
P2−1 (x) = (−1)
(2 − 1)! +1
x√
1 − x2
P2 (x) =
(2 + 1)!
2
P2+2 (x) = (−1)2 (1 − x2 )2/2 P2 00 (x) = 3 (1 − x2 )
P2−2 (x) = (−1)2
(5.48)
(2 − 2)! +2
1
P2 (x) = (1 − x2 ) .
(2 + 2)!
8
Wir werden diesen verallgemeinerten Legendre-Polynomen im Abschnitt 5.2
über die Kugelfunktionen wieder begegnen.
5.1.3 Laguerre-Polynome
Funktionen, die von einem Abstand“abhängen, wie zum Beispiel der Radial”
teil der Lösungen der Schrödinger-Gleichung in Polarkoordinaten, lassen sich
durch Polynome auf einem halb-unendlichen Intervall 0 ≤ x < ∞ darstellen.
Die Gewichtsfunktion %(x) = e−x liefert hier als orthogonales Polynomsystem
die Laguerre-Polynome Ln (x) mit der Orthonormierungsrelation
Z ∞
Lm (x)Ln (x) e−x dx = (n!)2 δmn .
(5.49)
0
Die Polynome niedrigster Ordnung
L0 (x) = 1 ,
L1 (x) = 1 − x ,
L3 (x) = 6 − 18x + 9x2 − x3 ,
L2 (x) = 1 − 2x + x2 /2
(5.50)
L4 (x)24 − 96x + 72x2 − 16x3 + x4
sind in Abbildung 5.4 dargestellt.
131
LaguerrePolynome
5. Spezielle Funktionen
Die Erzeugende h(x, u) der Laguerre-Polynome ist
h(x, u) = e
xu
− 1−u
= (1 − u)
∞
X
Ln (x) un ,
(5.51)
n=0
und ihre Rodrigues-Gleichung ist gegeben als
ex dn n −x x e
.
(5.52)
n! dxn
Einfache Berechnungen der Polynome ermöglichen auch hier wieder die Rekursionsgleichungen
Ln (x) =
(n + 1)Ln+1 (x) = (2n + 1 − x)Ln (x) − nLn−1 (x)
xL0n (x) = nLn (x) − nLn−1 (x) .
(5.53)
(5.54)
Die Ln (x) sind Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung
xf 00 (x) + (1 − x)f 0 (x) + nf (x) = 0 .
verallgemeinerte
LaguerrePolynome
(5.55)
Auch in diesem Fall existieren verallgemeinerte Laguerre-Polynome
dk
Ln+k (x) , n, k = 0, 1, 2, . . . .
dxk
Diese Polynome n-ten Grades haben die explizite Darstellung
Lkn (x) = (−1)k
Lkn (x)
=
n
X
j=0
(−1)j (n + k)!
xj
(n − j)! (k + j)! j!
(5.56)
(5.57)
und erfüllen die Differentialgleichung
xf 00 (x) + (k + 1 − x)f 0 (x) + nf (x) = 0 ,
(5.58)
die beispielsweise bei der Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung für das
Coulomb-Potential auftritt (siehe Seite 115). Sie beschreiben die radiale Abhängigkeit der Wellenfunktionen der Atomorbitale.
5.2 Kugelfunktionen
Kugelfunktionen
Für viele Anwendungen, beispielsweise bei der Behandlung eines Problems
in einem dreidimensionalen Raum in sphärischen Polarkoordinaten r, θ und
φ, benötigt man ein orthogonales Funktionensystem auf der Oberfläche einer
Kugel um den Koordinatenursprung. Ein solches Funktionensystem wird uns
durch die gemeinsamen Eigenfunktionen der Drehimpulsoperatoren L̂z und L̂2
geliefert (siehe Seite 113; dabei wurde den Faktor ~ gleich eins gesetzt) die
Kugelfunktionen oder Kugelflächenfunktionen Y`m (ϑ, φ):
L̂z Y`m (ϑ, φ)
L̂2 Y`m (ϑ, φ)
1 ∂
Y`m (ϑ, φ) = m Y`m (ϑ, φ)
(5.59)
i ∂φ
∂ ~2 m2 1 ∂ = −
sin ϑ
+
Y`m (ϑ, φ)
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ
=
= ` (` + 1) Y`m (ϑ, φ)
132
(5.60)
5.2. Kugelfunktionen
mit ` = 0, 1, 2, . . . und m = −`, . . . , `. Sie sind so normiert, dass das Integral
von |Y`m |2 über die Einheitskugel gleich eins ist:
Z
Y`m (ϑ, φ)2 dΩ = 1
(5.61)
(vgl. Gleichung (4.167)). Dabei ist dΩ = sin ϑ dϑd φ das Raumwinkelelement,
also das Flächenelement auf der Einheitskugel. Außerdem wissen wir, das diese
Funktionen als Eigenfunktionen hermitescher Operatoren orthogonal sind:
Z
(5.62)
Y`∗0 m0 (ϑ, φ) Y`m (ϑ, φ)dΩ = δ`0 ,` δm0 ,m .
Die Kugelfunktionen stehen in direktem Zusammenhang mit den verallgemeinerten Legendre-Polynomen P`m (x) aus Abschnitt 5.1.2, wobei wir den Index
n durch ` ersetzt haben. Das wird sofort klar, wenn wir die legendresche Differentialgleichung (5.43) als
d m2 2 df
(1 − x )
+ `(` + 1) −
f (x) = 0
dx
dx
1 − x2
(5.63)
umschreiben und dann auf die Variable x = cos ϑ transformieren. Mit
d
dϑ d
1 d
=
=−
dx
dx dϑ
sin ϑ dϑ
(5.64)
und 1 − x2 = sin2 ϑ erhalten wir so aus (5.63) die Gleichung
−
1 d df m2 − sin ϑ
+ `(` + 1) −
f (ϑ) = 0 ,
sin ϑ dϑ
dϑ
sin2 ϑ
(5.65)
1 d df m2
−
sin ϑ
+
f (ϑ) = `(` + 1)f (ϑ) .
sin ϑ dϑ
dϑ
sin2 ϑ
(5.66)
oder
Vergleichen wir diesen Ausdruck mit der Differentialgleichung für die Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators L̂2 , also für die Kugelfunktionen Y`m (ϑ, ϕ)
aus Gleichung (4.166), so findet man Übereinstimmung. Die Kugelfunktionen
Y`m stimmen also bis auf die Normierung mit den verallgemeinerten LegendrePolynomen P`m (cos ϑ) überein:
s
2` + 1 (` − m)! imφ
e P` (cos ϑ)
(5.67)
Y`m (ϑ, φ) =
4π (` + m)!
Aufgabe 5.3 Vergewissern Sie sich, dass die Kugelfunktionen Y` 0 in Gleichung (5.67) korrekt normiert sind, also wie in (4.167).
Wir haben auf diese Weise also die Eigenzustände der Operatoren L̂2 und L̂z
in der Ortsdarstellung konstruiert, denn die Funktionen Y`m (ϑ, φ) erfüllen die
Eigenwertgleichung
∗
∗
L̂2 Y`m
(ϑ, φ) = ~2 `(` + 1) Y`m
(ϑ, φ) ,
∗
∗
L̂z Y`m
(ϑ, φ) = ~m Y`m
(ϑ, φ) (5.68)
133
Aufgabe 5.3
5. Spezielle Funktionen
für m = −`, −` + 1, . . . , ` − 1, ` (vgl. auch Gleichungen (4.165) und (4.166)).
Die oben berechneten verallgemeinerten Legendre-Polynome aus den Gleichungen (5.47) bis (5.48) können wir direkt in die Kugelfunktionen umschreiben:
Die Kugelfunktion für ` = 0,
r
1
Y0, 0 (ϑ, φ) =
,
(5.69)
4π
ist winkelunabhängig, für ` = 1 ergeben sich die drei Funktionen
q
3
Y1, 0 (ϑ, φ) = 4π
cos ϑ
q
3
sin ϑ e±iφ ,
Y1,±1 (ϑ, φ) = ∓ 8π
und für ` = 2 ergeben sich die fünf Funktionen
q
5
3 cos2 ϑ − 1
Y2, 0 (ϑ, φ) = 16π
q
15
Y2,±1 (ϑ, φ) = ∓ 8π
sin ϑ cos ϑ e±iφ
q
15
sin2 ϑ e±2iφ .
Y2,±2 (ϑ, φ) = ∓ 32π
(5.70)
(5.71)
Genauso lassen sich Kugelfunktionen mit höheren Indizes berechnen, beispielsweise
q
Y2, 0 (ϑ, φ) = 41 π7 5 cos3 ϑ − 3 cos ϑ .
(5.72)
Die Beträge |Y`m, (ϑ, φ)| der Kugelfunktionen sind unabhängig vom Winkel φ,
also rotationssymmetrisch um die z-Achse. Zur Visualisierung der Funktionen
kann man beispielsweise ihren Betrag als einen radialen Abstand von Zentrum auffassen und R(θ) = |Y`m, (ϑ, φ)| plotten, wie in Abbildung 5.5 für die
Funktionen Y1,0 , Y2,0 und Y3,0 .
Aufgabe 5.4
Aufgabe 5.4 Als letzte Eigenschaft der Kugelfunktionen sei noch die Parität
Y`m (π − ϑ, φ + π) = (−1)` Y`m (ϑ, φ)
angeführt. Die Kugelfunktionen sind also symmetrisch oder antisymmetrisch
bei einer Spiegelung am Koordinatenursprung. Beweisen Sie diese Eigenschaft!
5.3 Bessel-Funktionen*
BesselFunktionen
In diesem Abschnitt werfen wir eine kurzen Blick auf eine Klasse nicht-polynomialer Funktionen, die in der Quantenmechanik eine Rolle spielen, die BesselFunktionen. Sie sind Lösungen der besselschen Differentialgleichung
134
5.3. Bessel-Funktionen*
Abbildung 5.5: Grafische Darstellung der Kugelfunktionen |Y1,0 | (links), |Y2,0 |
(Mitte) und |Y3,0 | (rechts), dargestellt als radialer Abstand von
Zentrum. (Hier ist die z-Achse um einen Winkel von 10◦ nach
vorne verkippt.) .
n2 1 0
f (x) + 1 − 2 f (x) = 0 .
(5.73)
x
x
Wir unterstellen hier zunächst x ∈ R und n ∈ Z, aber dir Funktionen lassen sich auch für reelle Werte von n und komplexe Werte von x erklären.
Die Bessel-Funktionen erster Art, Jn (x), sind analytische Funktion und man
bezeichnet sie oft auch einfach als Bessel-Funktionen. Neben diesen benötigt
man ab und zu auch die Bessel-Funktionen zweiter Art, die als Yn (x) bezeichnet werden. Sie sind linear unabhängig von den Jn (x) und streben für x = 0
gegen unendlich. Manchmal trifft man auch auf die komplexwertigen Linear(1)
(2)
kombinationen Hn (x) = Jn (x) + iYn (x) und Hn (x) = Jn (x) − iYn (x), die
Hankel-Funktionen.
f 00 (x) +
Auch hier existiert eine Erzeugende,
X
∞
1
x
u−
2
u
Jn (x) un ,
=
h(x, u) = e
u 6= 0 ,
(5.74)
n=0
oder umgeschrieben mit u = eiφ
e
ix sin φ
=
∞
X
Jn (x) einφ .
(5.75)
n=0
Das identifiziert man als eine Fourier-Reihe der periodischen Funktion eix sin φ
mit den Entwicklungskoeffizienten Jn (x).
Von Bedeutung sind auch die Reihenentwicklung
∞
X
(−1)k x n+2k
Jn (x) =
k!(n + k)! 2
k=0
(5.76)
und die Integraldarstellung
1
Jn (x) =
2π
Z
+π
dφ ei(x sin φ−nφ) .
(5.77)
−π
135
5. Spezielle Funktionen
1
0.5
0
−0.5
0
5
10
15
20
x
Abbildung 5.6: Bessel-Funktionen Jn (x) für n = 0 (− − −), n = 1 (- -) und
n = 2 (. . . ) .
Hier sollte man sich davon überzeugen, dass diese Integraldarstellung wirklich
eine reellwertige Funktion Jn (x) ergibt (natürlich für reelle Werte von x), und
dass man sie aus Gleichung (5.75) herleiten kann. Die Rekursionsgleichungen
lauten
2n
Jn (x) − Jn−1 (x)
x
n
Jn0 (x) = − Jn (x) + Jn−1 (x) .
x
Jn+1 (x) =
(5.78)
(5.79)
Die Bessel-Funktionen mit negativen und positiven Indizes sind bis auf das
Vorzeichen gleich:
J−n (x) = (−1)n Jn (x) .
(5.80)
Abbildung 5.6 zeigt die Bessel-Funktionen Jn (x) für n = 0, 1, 2 . Man sieht,
dass diese Funktionen oszillieren und für große Werte von x gegen null gehen.
Eine genauere Analyse liefert die Asymptotik
r
2
cos z − n π2 − π4 .
Jn (z) ≈
(5.81)
πz
Für x = 0 gilt Jn (0) = δn,0 .
sphärische
BesselFunktion
Außer den Bessel-Funktionen mit ganzzahligem Index treten noch häufig solche
mit halbzahligem Index auf. In der Quantenmechanik geht es dabei oft um
Drehimpulsquantenzahlen und daher wählen wir hier wieder den Index `. Diese
Funktionen sind die sphärischen Bessel-Funktionen erster und zweiter Art
(oder auch sphärische Bessel- und Neumann-Funktionen):
r
j` (x) =
136
π
J 1 (x) ,
2x `+ 2
r
y` (x) =
π
Y 1 (x) .
2x `+ 2
(5.82)
5.4. Lösungen der Übungsaufgaben
Die Funktionen niedrigster Ordnung sind
sin x cos x
sin x
, j1 (x) = 2 −
,
x
x
x
cos x
cos x sin x
y0 (x) = −
, y1 (x) = − 2 −
,
x
x
x
j0 (x) =
(5.83)
(5.84)
und die Rekursionsgleichungen lauten
2` + 1
j` (x) − jn−1 (x)
x
`+1
jn0 (x) = −
jn (x) + jn−1 (x)
x
j`+1 (x) =
(5.85)
(5.86)
und genauso für die yn (x). Außerdem lassen sie sich aus den Funktionen j0 (x)
und y0 (x) durch Differentiation gewinnen:
j` (x) = x
`
1 d `
−
j0 (x) ,
x dx
y` (x) = x
`
1 d `
−
y0 (x) .
x dx
(5.87)
Die sphärischen Bessel-Funktionen sind Lösungen der Differentialgleichung
`(` + 1) 2 0
f (x) = 0 .
f (x) + f (x) + 1 −
x
x2
00
(5.88)
Diese Differentialgleichung beschreibt beispielsweise in der Quantenmechanik
die radiale Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen in Kugelkoordinaten
(siehe Gleichung (4.172) auf Seite 114).
Von Bedeutung sind außerdem die Summenregel
∞
X
(2` + 1) j`2 (x) = 1
(5.89)
`=0
und die Integralrelation
Z ∞
π
dr r2 j` (kr) j` (k 0 r) = 2 δ(k − k 0 ) .
2k
0
(5.90)
Aufgabe 5.5 Oft ist es zweckmäßiger, statt der sphärischen Besselfunktionen
j` (x) die Riccati-Besselfunktionen
S` (x) = xj` (x)
zu verwenden. Sie berechnen sich nach der gleichen Rekursionsgleichung (5.85),
jedoch mit S0 (x) = sin x, S1 (x) = (1/x) sin x − cos x. (Warum?) Zeigen Sie:
Die Riccati-Besselfunktionen erfüllen die Differentialgleichung
`(` + 1) S 00 (x) + 1 −
S(x) = 0 .
x2
137
Aufgabe 5.5
5. Spezielle Funktionen
5.4 Lösungen der Übungsaufgaben
Aufgabe 5.1 (Seite 125) : Zeigen Sie, dass die mit der Entwicklung (5.10)
erzeugten Polynome Hn (x) die Orthonormierungsrelation (5.8) erfüllen. (Hinweis: Integrieren Sie dazu das Produkt h(x, u)h(x, v) über x.)
Lösung: Wir folgen dem Hinweis in der Aufgabe und berechnen das Integral
Z +∞
Z +∞
2
2
2
−x2
h(x, u)h(x, v) e
dx =
e−u −v +2(u+v)−x dx
−∞
−∞
X Z +∞
um v n −x2
e
dx
=
Hm (x)Hn (x)
m! n!
m,n −∞
und werten die beiden Terme auf der rechten Seite getrennt aus. Das ergibt
für den ersten Ausdruck
Z +∞
2
2
2
2
2
−u2 −v 2
... = e
e−x −u −v +2(u+v)−(u+v) dx e+(u+v)
−∞
Z +∞
Z +∞
2
2uv
−(x−u−v)2
2uv
=e
e
dx = e
e−y dy
−∞
}
| −∞ {z
√
= π
=
√
π e2uv =
√
π
∞
X
n=0
2n n n
u v
n!
und für den zweiten
... =
XZ
m,n
+∞
2
Hm (x)Hn (x) e−x dx
−∞
um v n
m! n!
.
Beide Formeln müssen übereinstimmen:
Z +∞
√
2
Hm (x)Hn (x) e−x dx = π 2n n! δmn .
−∞
Das ist die zu beweisende Orthonormierungsrelation (5.8).
Aufgabe 5.2
Aufgabe 5.2 (Seite 128) : Berechnen Sie mit Hilfe der Rekursionsgleichungen und der Orthonormierungsrelation der Hermite-Polynome die Matrixelemente des Orts- und Impulsoperators aus den Gleichungen (5.33) und (5.32).
Lösung: Zur Berechnung des Matrixelementes des Ortsoperators aus Gleichung (5.33) schreiben wir den Ausdruck xHn (x) unter dem Integral um, wobei
wir die Rekursionsgleichung (5.16) benutzen:
xHn (x) = 12 Hn+1 (x) + nHn−1 (x) .
Einsetzen in das Integral ergibt
Z
hϕn0 | x̂ |ϕn i = An0 An 21
+∞
2
Hn0 (x)Hn+1 (x) e−x dx
−∞
Z
+∞
+n
−∞
138
2
Hn0 (x)Hn−1 (x) e−x dx .
Aufgabe 5.1
5.4. Lösungen der Übungsaufgaben
Wegen der Orthogonalität der Hermite-Polynome erhält man nur dann einen
von null verschiedenen Wert, wenn der Index n0 gleich n + 1 oder gleich n − 1
ist. Die Orthonormierungsrelation (5.8) liefert dann mit der Normierung (5.23)
der Hermite-Funktionen für den ersten Fall
q
√
hϕn+1 | x̂ |ϕn i = 21 An+1 An π2n+1 (n + 1)! = n+1
2
und für den zweiten Fall
hϕn−1 | x̂ |ϕn i =
1
A A
2 n−1 n
√
n−1
π2
(n − 1)! =
q
n
2
.
Zur Berechnung der Matrixelemente des Impulsoperators formen wir in gleicher
Weise den Ausdruck Hn0 (x) − xHn (x) mit der Relation Hn0 (x) = 2nHn−1 (x) für
Ableitung aus Gleichung (5.17) und der Rekursionsgleichung (5.16) um:
Hn0 (x) − xHn (x) = 2nHn−1 (x) − xHn (x)
= 2nHn−1 (x) − 21 Hn+1 (x) − nHn−1 (x) = nHn−1 (x) − 12 Hn+1 (x) .
Wir erhalten also das gleiche Ergebnis wie oben, nur hat der zweite Summand
ein anderes Vorzeichen. Es ergibt sich also für den Impulsoperator
q
q
n
hϕn+1 | p̂ |ϕn i = −i n+1
,
hϕ
|
p̂
|ϕ
i
=
i
.
n−1
n
2
2
Aufgabe 5.3 (Seite 133) : Vergewissern Sie sich, dass die Kugelfunktionen
Y` 0 in Gleichung (5.67) korrekt normiert sind, also wie in (4.167).
Aufgabe 5.3
Lösung: Das Normierungsintegral lautet
Z q
Z 2
2
2`+1
4π P` (cos ϑ) sin ϑ dϑ dϕ
Y`0 (ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ =
Ω
Ω
=
2`+1
4π
Z2π Zπ
2
P` (cos ϑ) sin ϑ dϑ dϕ =
ϕ=0 ϑ=0
2`+1
2
Zπ
2
P` (cos ϑ) sin ϑ dϑ .
ϑ=0
Wir substituieren x = cos ϑ und erhalten mit der Normierung der LegendrePolynome
Z Z−1
2
(5.35)
2`+1
P`2 (x) dx =
Y`0 (ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ = − 2
Ω
2`+1
2
2
= 1.
2` + 1
+1
Aufgabe 5.4 (Seite 134) : Als letzte Eigenschaft der Kugelfunktionen sei
noch die Parität
Y`m (π − ϑ, φ + π) = (−1)` Y`m (ϑ, φ)
angeführt. Die Kugelfunktionen sind also symmetrisch oder antisymmetrisch
bei einer Spiegelung am Koordinatenursprung. Beweisen Sie diese Eigenschaft!
139
Aufgabe 5.4
5. Spezielle Funktionen
Lösung: Es ist nach (5.67)
Y`m (ϑ, ϕ) = N`m eimϕ P`m (cos(ϑ),
wobei N`m ein konstanter Faktor ist. Damit gilt
Y`m (π − ϑ , ϕ + π) = N`m eim(ϕ+π) P`m (cos(π − ϑ))
= N`m eimϕ eimπ P`m (cos(π − ϑ)) = N`m eimϕ (−1)m P`m (− cos ϑ) .
Nach der Rodrigues-Gleichung (5.44) ist P`m (x) gegeben durch
P`m (x) =
`+m
m d
(−1)m 2
dm
2
`
m
2 m
2
2
(x
−
1)
(x
−
1)
=
(−1)
(1
−
x
)
P` (x) .
2` `!
dx`+m
dxm
Nun ist P` (x) ein Polynom vom Grad ` mit der Parität (−1)` . Durch m-faches
Differenzieren erhält man hieraus ein Polynom vom Grad `−m, das die Parität
(−1)`−m besitzt. Es ergibt sich also
Y`m (π − ϑ, ϕ + π) = (−1)m (−1)`−m N`m eimϕ P`m (cos ϑ)
= (−1)` N`m eimϕ P`m (cos ϑ) = (−1)` Y`m (ϑ , ϕ)
Aufgabe 5.5
Aufgabe 5.5 (Seite 137) : Oft ist es zweckmäßiger, statt der sphärischen
Besselfunktionen j` (x) die Riccati-Besselfunktionen
S` (x) = xj` (x)
zu verwenden. Sie berechnen sich nach der gleichen Rekursionsgleichung (5.85),
jedoch mit S0 (x) = sin x, S1 (x) = (1/x) sin x − cos x. (Warum?) Zeigen Sie:
Die Riccati-Besselfunktionen erfüllen die Differentialgleichung
`(` + 1) S(x) = 0 .
S 00 (x) + 1 −
x2
Lösung: Zum Beweis definieren wir S(x) = xf (x), wobei f (x) die Differentialgleichung (5.88) erfüllt. Wir differenzieren zweimal,
S 0 (x) = f (x) + xf 0 (x) ,
S 00 (x) = 2f 0 (x) + xf 00 (x) ,
und setzen f 00 (x) aus (5.88) ein. Das ergibt
`(` + 1) `(` + 1) 0
00
S 00 (x) + 1 −
S(x)
=
2f
(x)
+
xf
(x)
+
1
−
S(x)
x2
x2
2
`(` + 1) `(` + 1) = 2f 0 (x) − x
f 0 (x) + 1 −
f
(x)
+
1
−
S(x)
x
x2
x2
`(` + 1) `(` + 1) = 2f 0 (x) − 2f 0 (x) − 1 −
S(x)
+
1
−
S(x) = 0 ,
x2
x2
also die gesuchte Differentialgleichung.
140