e = = e = Impulssatz für m1: x-Richtung: m1 • (v1x – v1x) =

Energiebilanz:
- z entgegen der Gravitation
- Lage ist egal
1. KOS wählen
2. Nullniveau für Lageenergie (z)
Synthetische Methode:
Lagrange:
Kartesische Koordinaten
1. KOS wählen (x,y und φ)
1. FHG bestimmen
2. Ortsvektoren (r1 – rn) zu den einzelnen Schwerpunkten
Beschleunigung a, Geschwindigkeit v und Strecke x
sind negativ wenn diese entgegen der KOS Richtung
zeigen (vgl. Ü4/1c)
2. Freischnitt in allgemeiner Lage
3. Energien in 2 Punkten aufstellen
• alle eingeprägten Kräfte + Zwangskräfte
3.1 Kinetische Energie
• Koordinate x aus Ruhelage: m • g muss bei Federsystemen nicht
1
| S: Schwerpunkt
TTrans. = • m • vS²
2
1
(S)
TRot. = • J
2
•φ
2
(M)
•φ
∑ Fix = m • xs
∑ Fiy = m • ys
2
∑ M(S) = J(S) • φ
3.2 Potentielle Energie
VLage = m • g • z
1
1
2
2
VFeder = • k • u² bzw.
• k • φ²
3.3 Arbeit der Nichtpotentialkräfte
W|21
=
x2 *
F
x1
dx +
φ2
M*
φ1
R=N•µ
W|21 < 0 bei Reibung
W|21 > 0 bei Antriebskraft
dφ
4. Energiebilanzgleichung
Federn und sonstige Kräfte:
Federkraft: c • x
Dämpferkraft: d • x
E•A
Federsteifigkeit:
c=
Parallelschaltung:
c* = ∑ ci
Reihenschaltung:
1
c*
=
l
=∑
F
bzw. ∑ Fir = m • ar
∑ M(M) = J(M) • φ
ys = r • φ (Normalbeschl.)
2
J=
m • ∆x
12
12 • E • I
h
Kragarm: k =
48 • E • I
+ m • x²
J = Ip • ρ • t + m • x²
3
Rechteck: Ip = Iy + Iz =
3•E•I
π • R4
L3
Beidseitig eingespannter Einfelträger: k =
192 • E • I
3
b•h
12
+
3
b •h
12
Kreis: Ip =
4
π•R
2
Zylinder: J =
• ρ • t + m • xs²
Kugel: J = • m • r²
2
ρ = Dichte (m/V)
t = Dicke (aus der Ebene)
L3
Schwingung mit 2 Freiheitsgraden
Haftgrenzbedingung Hmax = µ0 • N
Bedingung für Haften T ≤ µ • N
M•q+K•q=0
(für Q* = 0)
-ω2 •m11 +k11
-ω2 •m21 +k11
m: z.B. [t]
k: z.B. [KN/m]
-ω2 •m12 +k12
-ω2 •m22 +k22
Hinweis:
a•d–b•c
3. Amplitudenverhältnisse
κ1 =
m11 • ω1 2 - k11
k12 - m12 • ω1
2
κ2 =
Frage nach statischer Ruhelage:
φ=0
sin (x+y) = sin (x) • cos (y) + cos (x) • sin (y)
sin (x-y) = sin (x) • cos (y) - cos (x) • sin (y)
cos (x+y) = cos (x) • cos (y) - sin (x) • sin (y)
cos (x-y) = cos (x) • cos (y) + sin (x) • sin (y)
2
1
bzw. • K • φ²
VFeder = ∑m
i VFeder,i
D = • d • x²
x : Dämpferweg,
abgeleitet nach der Zeit
2
1
2
Die potentielle Energie der Feder ist positiv wenn sie entgegen
der Bewegungsrichtung wirkt.
VLage = ∑m
i mi •g • hi
-
Nullniveau im Ursprung des KOS
z-Achse entgegen der Gewichtskraft
Q k = ∑m
j Fj •
*
*
rj: Radius vom Ursprung des KOS
zum Kraftangriffspunkt
- Das Skalarp. ergibt einen Wert
*
∂rj
∂qi
6. Lagrange Gleichungen:
d
∂T
dt
∂qi
-
∂T
∂qi
+
∂V
∂qi
+
∂D
∂qi
*
= Qk
nach Berechnen von
∂T
sin (φ) • φ ≈ 0
cos²( φ) = 1
sin² (φ) = 0
cos (φ) = 1
φ•φ=0
k12 - m12 • ω2
1
(1. Grundschwingung)
κ1
5. Eigenformen skizzieren
Ф2 =
Allgemein:
er = φ • eφ
eφ = - φ • er
φ=
dφ
dt
•
dr
dr
eφ = - sin (φ) • ex + cos (φ) • ey
φ=Ω•t
ex = cos (φ) • er – sin (φ) • eφ
φ=Ω
konstante Beschleunigung
linearer Geschwindigkeitsverlauf
parabolisches Weg-Zeit Diagramm
Stoß zweier Massen:
e=
v2x - v1x
v1x - v2x
e=
=
relative Trennungsgeschwindigkeit
relative Annäherungsgeschwindigkeit
h2
h1
Impulssatz für m1:
1
2!
• f‘‘(a) • (x-a²)
x-Richtung: m1 • (v1x – v1x) = - Fx
Stoß einer Masse
Stoß einer Masse
y-Richtung: m1 • (v1y – v1y) = - Fy
e=1
e = 0 (vollplastisch)
vy = vy = v • sin (α)
Impulssatz für m2:
vy = vy (da Fy = 0)
vx = - vx
vx = 0
α=α
α =
2
1
(1. Oberschwingung)
κ2
0 bei Kreis
φ = ω = Winkelgeschwindigkeit [1/s]
φ = ω = Winkelbeschleunigung [1/s²]
∂qn
kann linearisiert werden.
Linearisieren:
sin (φ) = φ
cos (φ) ≈ 1 - • φ²
φ•φ=0
an = ( r - r • φ ) • er
0 bei Kreis
1
VFeder,i = • K • u²
2
2
at = ( r • φ + 2 • r • φ ) • eφ
π
2
x-Richtung: m2 • (v2x – v2x) = Fx
y-Richtung: m2 • (v2y – v2y) = Fy
Sonderfall gerader zentrischer Stoß:
m11 • ω2 2 - k11
4. Eigenvektoren
Ф1 =
Polarkoordinaten:
eφ: zeigt in Richtung von φ
vt = r • φ
er: zeigt nach außen
!! eφ und er sind abhängig von der Zeit
vn = r (0 bei Kreis)
J(S) immer für den jeweiligen
Schwerpunkt
allgemein Taylorreihe: f(x) = f(a) + f‘(a) • (x-a) +
1. Bestimmung der bewegungsgleichung
2. det (-ω² • M + K) =! 0
Sonstiges:
• J(S) • φi
2
5. generalisierte Kräfte:
xs = Abstand zw. Schwerpunktsachse und Rotationsachse.
m = ρ • A • ∆x
∆x = Länge des Elements
L
• m • ri
2
4. Potentielle Energie /Dämpfer:
-
1. Linien- oder punktförmiges Element (h = 0):
1
1
∑m
i 2
1
T = TTrans. + TRot.
x= r • φ gilt nur bei Rollen
Strecken sind immer positiv
Kräfte immer positiv wenn diese in Richtung des KOS zeigen.
Bei Freischnitt: Haltekraft antragen wenn ein Körper rollt.
ci
TTrans. = ∑m
i
TRot. =
5. Eventuell Bindungsgleichungen aufstellen
-
ρ
v = s Tangentialbeschleunigung
v = s = Geschwindigkeit in Bahnrichtung
ρ = Krümmung (beim Kreis ρ = R)
3. kinetische Energie
Alternativ Rotation um einen raumfesten Punkt:
xs = r • φ
et: zeigt in Richtung der Tangente
en: zeigt in Richtung der Hauptnormalen
et und en sind unabhängig von der Zeit
v2
v = s • et
bzw. ∑ Fit = m • at
2. Element mit h ≠ 0:
gelenkiger Einfeldträger: k =
at = v
an =
Massenträgheitsmoment:
∆l
k=2x
a = at • et + an • en
3. Massenträgheitsmoment J bestimmen (s.u.)
4. Schwerpunktsätze:
T = TTrans. + TRot.
Alternativ nur Rot. um Momentanpol:
T= •J
Natürliche Koordinaten
berücksichtigt werden
v1 =
Stoß einer Masse
m1 • v1 + m2 • v2 - e • m2 • ( v1 - v2 )
m1 + m2
m1 • v1 + m2 • v2 + e • m1 • ( v1 - v2 )
e≠0&e≠1
v2 =
vy = vy = v • sin (α)
Hinweis: die Stoßnormale geht immer durch die beiden Schwerpunkte.
vx = - e • vx = - e • cos (α) • v
m1 + m2
KOS im Stoßpunkt.