r Interaktive Lerneinheiten - Lehrstuhl A für Mathematik

Trigonometrie - Grundlagen fï¿ 12 r Interaktive
Lerneinheiten
Schriftliche Hausarbeit im Rahmen der Ersten Staatsprï¿ 12 fung, dem
Landesprï¿ 21 fungsamt fï¿ 21 r Erste Staatsprï¿ 12 fungen Lehrï¿ 12 mter an
Schulen vorgelegt von:
Corinna Caspers
Aachen, den 15. Oktober 2008
Gutachter: Herr Prof. Dr. Sebastian Walcher
Lehrstuhl A fï¿ 21 r Mathematik
RWTH Aachen
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
Allgemeine Hinweise zur vorliegenden Arbeit . . . . . . . . . . . . .
2 Basiswissen aus der Geometrie
2.1 Inhaltliche Vorgaben und Ziele . . . . . . . . . . .
2.2 Hinweise zu dieser Einheit . . . . . . . . . . . . .
2.3 Selbstlerneinheit 1: Basiswissen aus der Geometrie
Über diese Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1)
Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Was ist ein Winkel? . . . . . . . . . . . . .
Die Größe eines Winkels . . . . . . . . . .
Winkelarten . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelsätze . . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition von Winkeln . . . . . . . . . . .
(2)
Winkel am Dreieck . . . . . . . . . . . . .
Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . .
Winkelsummensatz . . . . . . . . . . . . .
Spezielle Dreiecke . . . . . . . . . . . . . .
(3)
Besondere Geraden und Punkte im Dreieck
Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt
Höhen und Höhenschnittpunkt . . . . . .
Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt
Seitenhalbierende und Schwerpunkt . . . .
(4)
Flächeninhalt des Dreiecks . . . . . . . . .
(5)
Kongruenz und Ähnlichkeit . . . . . . . .
Kongruenzsätze und Konstruktionen . . .
Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . .
(6)
Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . .
Satz des Thales . . . . . . . . . . . . . . .
Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . .
Verwandte Sätze . . . . . . . . . . . . . .
Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Trigonometrische Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
3.1 Inhaltliche Vorgaben und Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Hinweise zu dieser Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Einheit 2: Trigonometrische Funktionen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
4
5
7
7
7
7
7
8
8
9
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12
14
16
16
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20
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25
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30
32
32
34
36
38
39
39
39
40
3.4
Über diese Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1)
Ähnliche rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . .
(2)
Rechtwinkliges Dreieck im Einheitskreis . . . . . . . .
(3)
Sinus und Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(4)
Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5)
Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte . . . . . . . . . . .
(6)
Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken . . . . . . .
(7)
Sinus, Kosinus und Tangens auf dem gesamten Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(8)
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen . . . . . .
(9)
Besondere Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(10) Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(11) Winkel außerhalb [0,2π) . . . . . . . . . . . . . . . . .
(12) Sehr kleine Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(13) Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . .
Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alternativer Zugang zu trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1)
Einstiegsbeispiel „Kistenstapel“ . . . . . . . . . . . . .
(2)
Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schuppendach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flugzeugstart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Steigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skiflugschanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Höhe eines Turms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zugbrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Breite eines Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3)
Beispiele an rechtwinkligen Dreiecken . . . . . . . . . .
(4)
Aufgabenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5)
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis . . . . .
(6)
Überlegungen am Riesenrad . . . . . . . . . . . . . . .
4 Trigonometrische Funktionen am allgemeinen Dreieck
4.1 Inhaltliche Vorgaben und Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Hinweise zu dieser Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Einheit 3: Trigonometrische Funktionen am allgemeinen Dreieck
Über diese Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1)
Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2)
Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
40
40
42
43
44
45
46
48
50
52
53
56
56
58
59
59
59
62
62
63
63
63
64
64
64
64
64
65
67
67
69
70
70
70
70
70
71
73
(3)
Berechnungen an allgemeinen Dreiecken . . . . . . . . 74
Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 Anwendungen von trigonometrischen Funktionen
5.1 Inhaltliche Vorgaben und Ziele . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Hinweise zu dieser Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Einheit 4: Anwendungen der trigonometrischen Funktionen
Über diese Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1)
Anwendungen bei ebenen Figuren . . . . . . . . . .
Fläche und Umfang des regelmäßigen n-Ecks . . . .
Schnitt zweier Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2)
Anwendungen zur Raumgeometrie . . . . . . . . . .
Quadratische Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . .
Verebnung eines Drehkegels . . . . . . . . . . . . .
Raumdiagonale eines Quaders . . . . . . . . . . . .
Walmdach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3)
Anwendungen aus Physik und Technik . . . . . . .
Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Keilriemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unzugänglicher Radius . . . . . . . . . . . . . . . .
Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Landeanflug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(4)
Anwendungen aus der Geographie . . . . . . . . . .
Seewölbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Breiten- und Längenkreise . . . . . . . . . . . . . .
Landvermessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Höhe eines Berges . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Laser-Triangulationsprinzip beim Diskuswurf . . . .
(5)
Anwendungen aus der Astronomie . . . . . . . . . .
Morgen- bzw. Abendstern . . . . . . . . . . . . . .
Stundenlanger Sonnenuntergang . . . . . . . . . . .
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79
79
79
79
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80
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84
84
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86
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88
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95
97
98
98
99
100
101
102
103
103
104
6 Zusammenfassung und Ausblick
106
Literaturverzeichnis
107
3
1
Einleitung
Die vorliegende Arbeit wird als Grundlage für eine interaktive Lerneinheit
zum Thema Trigonometrie in der virtuellen Lernumgebung ILIAS dienen.
Dort werden seit einiger Zeit als Ergänzung zum Vorkurs Mathematik der
RWTH Aachen Online-Kurse mit Übungen und Tests angeboten. Dieser Vorkurs soll den Übergang von der Schule zur Hochschule erleichtern, indem eine „Zusammenfassung wesentlicher Inhalte des Schulstoffes“ angeboten wird.
Hierbei werden „[s]ämtliche Themen [. . . ] unabhängig von den jeweiligen Vorkenntnissen neu entwickelt.“ (vlg. Homepage der RWTH Aachen).
Die Einheit Trigonometrie soll den zukünftigen Studierenden helfen, ihre Mathematikkenntnisse aus dem Schulunterricht in diesem Bereich aufzufrischen und teilweise in einem neuen oder anderen Zusammenhang zu betrachten. Auf über den Schulstoff hinausgehende Inhalte wird weitestgehend
verzichtet. Es wird ein Vermittlungsstil angestrebt, der einen sowohl fachlich als auch methodisch leichten Einstieg in das Lernen an der Universität
gewährleistet, ohne die Kursteilnehmer zu überfordern.
Das Oberthema Trigonometrie wurde in vier Einheiten untergliedert. Es
wird nach einer eigenen, zweckmäßigen Reihenfolge vorgegangen, die von der
in der Schule vorgenommenen abweicht. In der ersten Einheit werden alle
Grundlagen aus der Dreiecksgeometrie aufgearbeitet, die für die Einführung
der Winkelfunktionen nötig sind. Hierbei handelt es sich hauptsächlich um
Stoff aus der 6. bis einschließlich 9. Klasse. Die zweite Einheit befasst sich
mit den trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck und damit
auch am Einheitskreis. Es werden alle wichtigen Eigenschaften und Zusammenhänge behandelt sowie auf typische Aufgaben in diesem Zusammenhang
eingegangen. Die kürzere dritte Einheit stellt eine Erweiterung auf allgemeine
Dreiecke in Form des Sinus- und Kosinussatzes dar. Die Anwendungseinheit
kommt den zukünftigen Studierenden in Anwendungsfächern entgegen. Hier
werden Problemstellungen aus verschiedenen Disziplinen aufgearbeitet, um
den vielfältigen Nutzen der Winkelfunktionen erfahrbar zu machen. Zentral
ist an dieser Stelle auch die Methode der mathematischen Modellierung.
Die Arbeit besteht vorrangig aus den für das ILIAS -Programm als Vorlage dienenden Lehrtexten. Hinzu kommen Erläuterungen für die Lehrenden
oder diejenigen, die das Projekt in die Tat umsetzen werden. Zu jeder Einheit
gibt es daher sowohl eine knappe inhaltliche Erklärung als auch weitere, die
jeweilige Einheit betreffende Hinweise. Teil jeder Einheit ist der mit „Über
diese Einheit“ betitelte Abschnitt, der den Teilnehmern eine Vorschau auf
den zu lernenden Stoff sowie Ziele und Voraussetzungen bietet.
Aktuell entflammen erneut Diskussionen über die Frage der höheren Effizienz der abstrakten im Vergleich zur exemplarischen Vermittlung mathema4
tischer Inhalte (vlg. [1] , [2] , [5]). Daher wird der Versuch eines exemplarischen
Zugangs bei der Einführung der Winkelfunktionen in der zweiten Lerneinheit
unternommen. Er ist als Alternativweg zu der abstrakteren, eher an die an
Universitäten herrschenden Didaktik angelehnten Variante gedacht.
Allgemeine Hinweise zur vorliegenden Arbeit
Teilweise wird innerhalb der Lerneinheiten auf bereits behandelte Definitionen oder Sätze verwiesen. Bei einer Umsetzung im ILIAS -Programm erscheint eine verstärkte Verlinkung entsprechender Begriffe sinnvoll. Gemäß
dem Charakter einer interaktiven Lerneinheit können die Teilnehmer per
Mausklick z. B. auf das Wort Winkelsummensatz in einer Textstelle zum
Winkelsummensatz zurückspringen und anschließend ihre Einheit fortsetzen.
Zu jeder Einheit werden Aufgabenbeispiele aufgeführt und zum Teil mit
möglichen Antworten oder einer ausführlichen Darstellung der Lösung versehen. Es ist nicht Ziel dieser Arbeit, eine erschöpfende Auswahl an Übungsaufgaben bereitzustellen. Vielmehr soll ein Überblick darüber gegeben werden, welche Arten von Aufgaben an einer bestimmten Stelle sinnvoll erscheinen und wo entsprechende Aufgaben zu finden sind. Hierzu wird meist auf
gängige Schulbuchreihen verwiesen. Im Hinblick auf die spätere Umsetzung
der Lerneinheit in ILIAS wird im Wesentlichen von folgenden Aufgabentypen
Gebrauch gemacht:
• Rechenaufgaben: Hier wird als Antwort eine Zahl anzugeben sein. Evtl.
können Zwischenergebnisse abgefragt werden. Die Aufgaben können
zum größten Teil nicht im Kopf gerechnet werden. Stift, Papier und
Taschenrechner sind durchaus als Hilfsmittel vorgesehen.
• Multiple-Choice-Aufgaben: Zu einer Frage sind einige Antwortmöglichkeiten angegeben, wovon die richtigen ausgewählt (angekreuzt) werden
müssen.
• Falsch-Richtig-Aufgaben: Hier muss nur entschieden werden, ob eine
bestimmte Aussage stimmt oder nicht. Ob und wie eine Begründung
für die Antwort abgegeben werden kann, bleibt vorerst offen.
• Offenere Fragestellungen: Zum Teil werden die Fragen so gestellt, dass
mit einem bestimmten Wort geantwortet werden soll (z. B. „Mit welchem Satz kann man dieses Problem lösen?“ Antwort: Kosinussatz.).
Falls technisch möglich, sollten die Teilnehmenden das entsprechende Wort selber eingeben müssen und keine Antwortenauswahl haben.
5
Besonders die „Fragen zum Nachdenken“ oder „Weiterführende Aufgaben“ sind eher als fakultatives Angebot und Anregung für den Teilnehmenden gedacht, sich eingehender mit dem Thema zu beschäftigen.
Es bleibt zu bedenken, ob und in welcher Form eine Art Musterlösung
verfügbar gemacht werden soll.
• Interaktive Aufgaben: Es wird von einem „interaktiven Winkelkreis“
oder „interaktiven Einheitskreis“ als Aufgabentyp gesprochen, der in
Papierform nicht vorgestellt werden kann. Die Teilnehmer/innen sollen die Möglichkeit haben, durch Bewegen bestimmter Elemente einer
Zeichnung, aktiv entsprechende Beobachtungen machen zu können.
Am Ende der Einheiten mit Ausnahme der Anwendungen ist ein Test vorgesehen, der als Teilnahmevoraussetzung für die nächste Einheit verwendet
werden kann. An entsprechender Stelle wird kurz vermerkt, welche Arten von
Aufgaben für den jeweiligen Test sinnvoll erscheinen.
Die Abbildungen der Arbeit wurden mit dem Geometrie-Zeichenprogramm
GEONEXT des Lehrstuhls für Mathematik und ihre Didaktik der Universität Bayreuth erstellt, welches unter http://geonext.de frei verfügbar ist.
6
2
2.1
Basiswissen aus der Geometrie
Inhaltliche Vorgaben und Ziele
Diese Einheit soll als Grundlage für die folgenden Einheiten zu trigonometrischen Funktionen dienen. Neben einer ausführlichen Auseinandersetzung
mit dem Konzept eines Winkels steht zunächst die Einführung von Begrifflichkeiten und zentralen Sätzen der Dreiecksgeometrie im Vordergrund. Anschließend werden im Zusammenhang von Kongruenz und Ähnlichkeit die
Strahlensätze behandelt. Der letzte Abschnitt dieser Einheit, der eine direkte
Überleitung zu den trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
darstellt, beschäftigt sich mit den besonderen Eigenschaften rechtwinkliger
Dreiecke, die im Satz des Pythagoras und verwandten Sätzen zusammengefasst werden.
Vorausgesetzt werden Begrifflichkeiten aus anderen Bereichen der Geometrie wie z. B. der Geometrie am Kreis.
2.2
Hinweise zu dieser Einheit
Einige der hier dargestellten Sachverhalte mögen selbstverständlich und simpel erscheinen, da die Wiederholung teilweise auf in der Unterstufe behandelte Sachverhalte zurückgreift. Ziel ist jedoch, alle relevanten Inhalte in sinnvollen Zusammenhang zu stellen und keine Fragen offen zu lassen, so dass
die späteren Einheiten ohne Schwierigkeiten nachvollzogen werden können.
2.3
Selbstlerneinheit 1: Basiswissen aus der Geometrie
Über diese Einheit
In dieser ersten Einheit zur Trigonometrie beginnen wir mit den Grundlagen
aus der Dreiecksgeometrie. Dazu zählen z. B. Winkel, alle nötigen Begriffe sowie besondere Punkte und Linien im Dreieck. Zudem werden wir uns
im Zusammenhang von Kongruenz und Ähnlichkeit mit den Strahlensätzen
beschäftigen. Abschließend stellt die eingehende Behandlung rechtwinkliger
Dreiecke eine direkte Überleitung zu den Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck dar.
Diese Einheit dient also hauptsächlich der Wiederholung von Begrifflichkeiten und Zusammenhängen, die für die späteren Einheiten zu den Winkelfunktionen benötigt werden. Daher mögen Ihnen manche Sachverhalte selbstverständlich vorkommen. Dennoch ist ein Gesamtüberblick für das Verständnis der nachfolgenden Einheiten notwendig und sollte gründlich nachvollzogen werden.
7
(1)
Winkel
Was ist ein Winkel? Versuchen wir, die intuitive Vorstellung, die man
von einem Winkel hat, einmal genauer zu beleuchten. Für die Entstehung
eines Winkels gibt es verschiedene Zugänge, die den gleichen Sachverhalt auf
unterschiedliche Weise widerspiegeln.
• Vier Winkel entstehen, wenn zwei Geraden durch den Mittelpunkt eines
Kreises von diesem vier Felder abtrennen.
• Ein Winkel entsteht, wenn eine Halbgerade um ihren Anfangspunkt ein
Stück gedreht wird.
• Zwei Winkel entstehen, wenn wir die Bereiche der Ebene betrachten,
die von zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt abgegrenzt
werden.
• ...
Winkelentstehung1.png
Winkelentstehung2.png
Winkelentstehung3.png
Abb. 2.1: Winkelentstehung
Ein Winkel wird also festgelegt durch zwei Schenkel, die einen gemeinsamen
Punkt, den Scheitel(punkt) haben. Für gewöhnlich betrachtet man Winkel
bzgl. einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn und kann damit den 1. und 2.
Schenkel festlegen. Ein Winkel, der mit dem Uhrzeigersinn geht, erhält ein
negatives Vorzeichen (Abb. 2.2).
Winkel können auf verschiedene Weisen bezeichnet werden. Hier werden
kleine griechische Buchstaben verwendet: α (alpha), β (beta), γ (gamma),
δ (delta), (epsilon) usw. Andere Möglichkeiten sind z. B. die Angabe der
Schenkel ∠(g, h) oder dreier Punkte ∠ASB, wobei A auf dem ersten und B
auf dem zweiten Schenkel liegt und S der Scheitelpunkt ist (Abb. 2.3).
8
DefWinkel.png
Winkelbezeichnung.png
Abb. 2.3: Winkelbezeichnung
Abb. 2.2: Ein Winkel
Aufgabenbeispiel: Man ordne den Winkeln ihre Bezeichnung zu (Abb. 2.4):
ϕ, ∠(x,y), ∠F HG, ∠GF H etc.
AufgWinkelbezeichnung.png
Die Größe eines Winkels Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Angabe der Größe eines Winkels. Diese
werden Winkelmaße genannt.
Abb. 2.4:
Um die Möglichkeiten kennen zu lernen, schlagen wir Aufgabe
um den Scheitelpunkt einen Kreis mit Radius 1, genannt Einheitskreis.
Dann
Winkelbezeichnung
trennen die beiden Schenkel ein Stück von der Kreislinie, den Kreisbogen
ab. Sowohl die Länge des Kreisbogens als auch die abgetrennte Fläche, der
Kreisausschnitt, sind abhängig von der Lage der Schenkel zueinander. Deshalb bietet es sich an, entweder die Länge des Kreisbogens oder die Größe
des Kreisausschnitts als Maß für die Größe eines Winkels zu verwenden.
Zuerst zum Kreisbogen: Am Einheitskreis ist die Länge des Bogens also
abhängig von der Öffnung der beiden Schenkel des Mittelpunktswinkels. Der
Umfang des Einheitskreises beträgt 2π. Damit hat z. B. der Bogen des halben
Einheitskreises die Länge π und der eines Viertels vom Einheitskreis die
Länge π2 .
Wie stellt sich die Situation nun in einem Kreis mit beliebigem Radius
r dar? Der Umfang eines solchen Kreises ist 2π · r, der Halbkreisbogen hat
somit Länge πr und der Viertelkreisbogen Länge πr
. Daran erkennt man:
2
Bei gleich bleibendem Winkel ist die Bogenlänge proportional zur Länge des
Radius. Somit können wir definieren:
9
Das Bogenmaß eines Winkels α ist definiert als die Länge des zum Winkel
gehörenden Bogens b am Einheitskreis, und damit allgemein als Quotient
aus der Bogenlänge b und dem Radius r eines beliebigen Kreises α = rb . Das
Bogenmaß eines Winkels ist eine reelle Zahl ohne Einheit.
Nun zum Kreisausschnitt: Wir überlegen, den wievielten Teil des Kreises
die Schenkel vom ganzen Kreis abtrennen. Beim Gradmaß wird der gesamte
Kreis in 360 Teile, nämlich 360◦ , geteilt.
Ein Grad (1◦ ) ist dann definiert als der 360. Teil des Vollwinkels, des gesamten
Kreises.
Man beachte, dass diese Einteilung völlig willkürlich ist. So wird der Kreis beim so gennanten Neugrad/Gon in 400 Teile geteilt. Dieses wird heute z. B.
im Vermessungswesen verwendet. Man beachte au- Winkelmasse.png
ßerdem, dass die Größe eines Winkels in jedem Fall
unabhängig von der Größe des betrachteten Kreises ist und wir somit zwei allgemeine Maße für die
Größe eines Winkels gefunden haben. Bei der oben
Abb. 2.5:
erwähnten Bezeichnung von Winkeln wird oft nicht Winkelmaße
unterschieden, ob von dem Winkel selbst oder seiner
Größe gesprochen wird.
Das Gradmaß hat den Vorteil, dass Winkel so mit dem Geodreieck einfach gemessen und gezeichnet werden können. Bei Berechnungen erweist sich
häufig das Bogenmaß als praktischer.
Bei der Umrechnung zwischen Bogen- und Gradmaß eines Winkels geht
man folgendermaßen vor. Da für den halben Einheitskreis mit Winkel 180◦
Bogenlänge π gilt, ist
ϕ = ϕ◦
π
180◦
bzw. umgekehrt
ϕ◦ = ϕ
180◦
.
π
◦
Beispiele: Dem Bogenmaß ϕ = 1 entspricht der Winkel ϕ◦ = 180
≈ 57◦ und
π
◦
◦ π
dem Winkel ϕ = 1 entspricht der Winkel im Bogenmaß ϕ = 1 180◦ ≈ 0,0175.
π
π
Ein 45◦ -Winkel ist im Bogenmaß 45◦ 180
◦ = 4 ≈ 0,785 groß.
Ein Winkel von −30◦ misst im Bogenmaß − π6 .
?
Aufgabenbeispiele:
a) Umrechnen verschiedener Winkel in beide Richtungen: Wie groß ist der
Winkel γ = 50◦ im Bogenmaß? Welche Gradmaßangabe entspricht der
Angabe ϕ = 6?
10
b) Interaktiver Kreis, an dem man die Winkelgrößen (und falls möglich Bogenlängen) beim Drehen der Schenkel beobachten kann.
c) Uhrzeiten als Winkel angeben: Um wieviel Uhr schließen kleiner und
großer Zeiger einen Winkel von 60◦ ein? Welchen Winkel schließen die
Zeiger um zwei Uhr ein?
Winkelarten Abhängig von ihrer Größe haben bestimmte Winkel eigene
Namen (Abb. 2.6):
α heißt
im Gradmaß
spitzer Winkel,
für
0◦ < α < 90◦
bzw.
0 < α < π/2
rechter Winkel,
für
α = 90◦
bzw.
α = π/2
stumpfer Winkel,
für
90◦ < α < 180◦
bzw.
π/2 < α < π
gestreckter Winkel,
für
α = 180◦
bzw.
α=π
überstumpfer Winkel,
für
180◦ < α < 360◦
bzw.
π < α < 2π
Vollwinkel,
für
α = 360◦
bzw.
α = π.
Winkelarten.png
im Bogenmaß
Mittelpunktswinkel.png
Abb. 2.7: Winkel am Kreis
Abb. 2.6: Winkelarten
11
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Winkel in einen Kreis mit Mittelpunkt
M einzutragen (Abb. 2.7):
Betrachten wir eine Kreissehne mit den Endpunkten A und B. Den Winkel
∠AM B nennen wir Mittelpunktswinkel.
Ein von zwei Sehnen gebildeter Winkel, dessen Scheitel auf der Kreislinie
liegt, heißt Umfangswinkel, hier β. Im Abschnitt über rechtwinklige Dreiecke
werden wir einen Satz über deren Größen kennenlernen.
Aufgabenbeispiele:
a) Zuordnung von Winkeln zu einer Winkelart: Welche dieser Winkel sind
spitze Winkel? α = 57◦ , β = π2 , γ = 190◦ , δ = 15◦ , = 38◦ etc.
b) Benennung eines Winkels, der in Grad- oder Bogenmaß angegeben ist: Um
welche Winkelart handelt es sich hier? α = π6 (Antwort: spitzer Winkel).
c) Fragen wie: „Welche Winkel schließen die Seiten/Diagonalen von einem
Trapez, Parallelogramm, Quadrat, Drachen, einer Raute ein?“, „Wie groß
sind die Mittelpunktswinkel des regelmäßigen n-Ecks?“
Winkelsätze Wenn Winkel bestimmte Lagen zueinander haben und man
die Größe eines Winkels kennt, kann man Aussagen über die Größen anderer
umliegender Winkel machen. Diese seien in den Winkelsätzen zusammengefasst:
1) Betrachten wir Winkel an Geradenkreuzungen (Abb. 2.8). Gegeben seien die sich schneidenden Geraden g und h, die zusammen vier Winkel
bilden, hier α, β, γ, δ. Dann heißen die sich gegenüberliegenden Winkel
Scheitelwinkel und die nebeneinander liegenden Winkel Nebenwinkel. In
der Abbildung sind demnach α und γ sowie β und δ Scheitelwinkel. Es
gilt:
– Nebenwinkel ergänzen sich zu 180◦ .
– Scheitelwinkel sind gleich groß.
2) Des Weiteren kann man Winkel an sogenannten Doppelkreuzungen betrachten (Abb. 2.9). Gegeben seien die Geraden h und h0 , die von der
Geraden g geschnitten werden. Dadurch entstehen zwei Schnittpunkte
und somit acht Winkel.
12
Geradenkreuzung.png
Doppelkreuzung.png
Abb. 2.9: Doppelkreuzung mit h k h0
Abb. 2.8: Geradenkreuzung
Zwei Winkel, die auf der gleichen Seite bzgl. g liegen und beide oberbzw. unterhalb der Geraden h und h0 , heißen Stufenwinkel, hier die
Winkel α und β.
Zwei Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten von g und unterschiedlichen Seiten von h und h0 liegen, heißen Wechselwinkel, hier die Winkel
γ und β.
Zwei Winkel, die auf der gleichen Seite bzgl. g und auf unterschiedlichen Seiten von h und h0 liegen, heißen Ergänzungswinkel, hier β und δ.
Sind die Geraden h und h0 parallel, dann gilt:
– Stufenwinkel sind gleich groß.
– Wechselwinkel sind gleich groß.
– Ergänzungswinkel ergänzen sich zu 180◦ .
Aufgabenbeispiele:
a) Gegeben sind Zeichnungen (versteckter) Geraden- und Doppelkreuzungen, bei denen jeweils Winkel in Grad angegeben sind. Daraus muss auf
die Größe von anderen Winkeln geschlossen werden.
b) Gegeben sind Zeichnungen von (versteckten) Geraden- bzw. Doppelkreuzungen: „Welche Winkel sind gleich groß?“
c) Warum sind z. B. die Winkel α1 und α2 in der gegebenen Abbildung gleich
groß? (Antwort: z. B. „Wechselwinkel“).
13
Addition von Winkeln Gegeben seien zwei
Winkel ϕ1 und ϕ2 mit den Scheiteln S1 und S2
(Abb. 2.10). Zur Konstruktion der Summe der
beiden Winkel verschieben und drehen wir den
Winkel ϕ2 so, dass S2 auf S1 liegt und der erste Schenkel von ϕ2 mit dem zweiten Schenkel
von ϕ1 zusammenfällt. Bei dem Winkel ϕ1 +ϕ2
handelt es sich demnach um zwei hintereinanderausgeführte Drehungen in die gleiche Richtung. Möchte man den kleineren Winkel ϕ2
AdditionvonWinkeln.png
Abb. 2.10: Addition von
Winkeln
SubtraktionvonWinkeln.png
negativeWinkel.png
Abb. 2.11: Subtraktion von Winkeln
vom Winkel ϕ1 abziehen (Abb. 2.11), muss er
in die andere Richtung angetragen werden. Es
gilt also erneut S1 = S2 , diesmal fallen jedoch
die beiden zweiten Schenkel zusammen.
Auch rechnerisch können wir die Addition und Subtraktion von Winkeln
nachvollziehen. Dazu werden die entsprechenden Winkelgrößen, die im gleichen Winkelmaß angegeben sein müssen, addiert bzw. subtrahiert.
Beispiel: Gegeben seien die Winkel α = 50◦ und β = 17◦ . Ihre Summe
α + β wird durch Addition der Gradwerte ermittelt 50◦ + 17◦ = 67◦ .
Der Winkel α−β ist 33◦ groß.
?
Es treten zwei Schwierigkeiten auf: Was geschieht, wenn die Summe zweier Winkel größer als ein Vollwinkel ist? Und wie sieht der Winkel aus, der
aus der Differenz eines größeren von einem kleineren Winkel entsteht? Bisher
haben wir nur Winkel betrachtet, deren Größe zwischen 0◦ und 360◦ bzw. 0
14
und 2π liegt. Erinnert man sich an die Vorstellung eines Winkels als Drehung
eines Strahls um seinen Ursprung, ist die Erweiterung auf negative Winkel
leicht zu verstehen. Es handelt sich um Winkel in umgekehrter Drehrichtung
(d. h. mit dem Uhrzeigersinn) (Abb. 2.11).
Beispiel: Es seien α1 = π4 und α2 = − π4 . Diese Winkel unterscheiden sich
nicht in ihrer Größe, sondern nur in ihrem Drehsinn: α1 entspricht einer 45◦ Drehung gegen den Uhrzeigersinn, α2 entspricht einer 45◦ -Drehung mit dem
Uhrzeigersinn.
?
Wir folgern weiter, dass ein Winkel, der größer als 360◦ oder 2π ist, manchmal übervoller Winkel genannt, mehr als eine volle Drehung sein muss. Dabei
ergeben sich jedoch im Grunde genommen keine neuen Winkel.
Beispiele: Betrachten wir die Summen verschiedener Winkel:
a) Die Summe 3π der Winkel mit Größen 2π und π entspricht dem Winkel π.
Anders ausgedrückt ist es unerheblich, ob z. B. ein Strahl um eine halbe
oder anderthalbfache Drehung gedreht wird. Das Ergebnis ist das gleiche.
b) Aus β1 = 210◦ und β2 = 185◦ ergibt sich ein Winkel mit der Größe 395◦ ,
was einem Winkel von 35◦ entspricht.
?
Es wird eine Rechnung vollzogen, um herauszufinden, welchem Winkel zwischen 0◦ = 0 und 360◦ = 2π ein übervoller Winkel entspricht. Diese Rechnung
wird modulo-Rechnung genannt. Sie spielt auch in anderen Bereichen der Mathematik eine Rolle.
Beispiele: Hier wird je nachdem, ob es sich um Winkel im Bogen- oder
Gradmaß handelt, „modulo 2π“ oder „modulo 360◦ “ gerechnet.
a) 375◦ ≡ 15◦ (mod 360◦ ) und 735◦ ≡ 15◦ (mod 360◦ )
b) 739◦ ≡ 379◦ (mod 360◦ )
c) Alle geraden Vielfachen von 2π bzw. 360◦ entsprechen einem Winkel von
0 = 0◦ :
2π (mod 2π) ≡ 6π (mod 2π) ≡ 8π (mod 2π) ≡ . . . ≡ 0 (mod 2π)
und
360◦ (mod 360◦ ) ≡ 1080◦ (mod 360◦ ) ≡ . . . ≡ 0◦ (mod 360◦ ).
d) Weiter entsprechen alle ungeraden Vielfachen von π bzw. 180◦ den Werten
π (mod 2π) bzw. 180◦ (mod 360◦ ).
?
15
(2)
Winkel am Dreieck
Intuitiv weiß man: ein Dreieck besteht aus drei Seiten und drei Ecken 1 . Die
Ecken werden in Europa üblicher Weise gegen den Uhrzeigersinn mit lateinischen Großbuchstaben, meist A, B, C bezeichnet. Die Seiten werden mit
kleinen lateinischen Buchstaben a = BC, b = AC, c = AB benannt (XY ist
hierbei die Strecke von X nach Y ). Eine Bezeichnung mit beliebigen anderen
Buchstaben ist ebenfalls möglich.
Weiter unterscheidet man beim Dreieck zwischen Innen- und Außenwinkeln. Die Außenwinkel sind die Nebenwinkel der Innenwinkel. Für ihre Lage
gibt es zwei Möglichkeiten. Diese beiden möglichen Außenwinkel sind Scheitelwinkel und deshalb gleich groß. Ein Außenwinkel und der dazugehörige
Innenwinkel einer Ecke sind also jeweils zusammen 180◦ groß. Bei der Bezeichnung der Innenwinkel liegt der Winkel α bei A, β bei B usw. (Abb.
2.12).
Dreiecksungleichung.png
Aussenwinkel.png
Abb. 2.13:
Dreiecksungleichung
Abb. 2.12: Außenwinkel des Dreiecks
Dreiecksungleichung Es stellt sich die Frage, ob man aus drei beliebig
langen Strecken ein Dreieck zusammenstellen kann. Dies ist nicht der Fall.
Für die Seiten a, b, c gilt die folgende
1
Hier könnte gegebenenfalls eine ausführlichere Beschäftigung mit der Frage „Was ist
ein Dreieck?“ als optionaler Link eingefügt werden.
16
Dreiecksungleichung (Abb. 2.13): In jedem Dreieck ist die Summe
zweier Seitenlängen stets größer als die Länge der dritten Dreiecksseite:
a + b > c,
a + c > b,
b + c > a.
Beispiel: Die Seitenlängen 6 LE2 , 4 LE. und 3 LE erfüllen die Dreiecksungleichung und ein Dreieck mit denselben existiert:
6 + 4 = 10 > 3
4+3= 7 >6
3 + 6 = 9 > 4.
Hingegen kann es kein Dreieck mit den Seitenlängen 3 LE, 5 LE und 9 LE
geben, da 3+5 = 8 6> 9.
?
Weiter gilt:
In jedem Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber und
umgekehrt.
Beispiel:
a) Gegeben sei das Dreieck mit a = 5,0 LE, b = 6,5 LE, c = 4,5 LE und
α = 50,04◦ , β = 86,31◦ , γ = 43,65◦ . Dann gilt:
b = 6,5 > a = 5,0
und
β = 86,31◦ > α = 50,04◦
b = 6,5 > c = 4,5
und
β = 86,31◦ > γ = 43,65◦
a = 5,0 > c = 4,5
und
α = 50,04◦ > γ = 43,65◦ .
b) Da in jedem rechtwinkligen Dreieck der 90◦ -Winkel der größte ist, ist stets
die Hypotenuse die längste Seite.
c) Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten und damit auch drei
gleich große Winkel.
?
2
Die Abkürzung „LE“ steht für „Längeneinheiten“, „FE“ entsprechend für „Flächeneinheiten“.
17
Winkelsummensatz Zeichnet man bei einem beliebigen Dreieck eine Parallele zu einer
Dreiecksseite, hier c, durch den gegenüberliegenden Punkt, hier C, kann man folgendes erkennen:
Winkelsummensatz.png
Die Parallele schließt mit der Dreiecksseite b
einen Winkel ein, der Wechselwinkel von α
ist. Er ist folglich so groß wie α. Genauso
schließt die Dreiecksseite a mit der Parallele
einen Wechselwinkel zu β ein. Dieser ist also
gleich β.
Abb. 2.14: Winkelsummensatz
Die Winkel α, β und γ bilden nun zusammen
einen gestreckten Winkel, d. h. sie sind zusammen 180◦ groß. Diese Erkenntnis nennt man den
Winkelsummensatz: Die Summe der drei Winkel im Dreieck beträgt
180◦ = π.
Mit Hilfe des Winkelsummensatzes kann man z. B. auch noch weitere
Aussagen über die Außenwinkel eines Dreiecks treffen. Ein Außenwinkel ist
Nebenwinkel seines Innenwinkels, sie ergänzen sich zu 180◦ . Deshalb ist ein
Außenwinkel so groß wie die Summe der nicht anliegenden Innenwinkel und
für die Summe der Außenwinkel gilt:
(α + β) + (β + γ) + (γ + α)
=(180◦ − γ) + (180◦ − α) + (180◦ − β)
=3 · 180◦ − (α + β + γ)
=540◦ − 180◦ = 360◦ .
Spezielle Dreiecke Das gleichschenklige Dreieck (Abb. 2.15) hat zwei
gleich lange Seiten, die Schenkel. Die dritte Seite ist die Basis, an der die
beiden Basiswinkel liegen. Es gilt der
Basiswinkelsatz: Die beiden Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß.
Das gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse, die durch die Spitze
und die Mitte der Basis verläuft. Das gleichseitige Dreieck (Abb. 2.15) hat
drei gleich lange Seiten und drei Symmetrieachsen. Die Winkel des gleichseitigen Dreiecks sind gleich groß, nämlich aufgrund der Winkelsumme 180◦ :
3 = 60◦ .
Das gleichschenklige Dreieck und das gleichseitige Dreieck werden unter
18
rechtwDreieck.png
gleichsDreieckmitSymmetrieachsen.png
gleichschDreieckmitSymmetrieachse.png
Abb. 2.15: achsensymmetrische Dreiecke
Abb. 2.16: rechtwinkliges
Dreieck
dem Begriff achsensymmetrische Dreiecke zusammengefasst.
Ein Dreieck mit einem rechten Winkel nennt man rechtwinkliges Dreieck (Abb. 2.16). Die Schenkel des rechten Winkels heißen Katheten, die dem
rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse. Die Hypotenuse ist
die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks, da sie dem größten Winkel gegenüberliegt. Dreiecke mit drei spitzen Winkeln (<90◦ ) werden spitzwinklige
Dreiecke genannt, solche mit einem stumpfen Winkel (>90◦ ) stumpfwinklige Dreiecke. Man beachte, dass mehr als ein stumpfer Winkel aufgrund der
Winkelsumme nicht möglich ist.
Aufgabenbeispiele:
a) Bestimmung der Art des Dreiecks sowohl bei gezeichneten Dreiecken als
auch bei Angaben der Winkel.
b) Wie groß muss die fehlenden Dreiecksseite mindestens sein? (Es seien zwei
Seitenlängen gegeben. Dann wird die Dreiecksungleichung verwendet.)
c) Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
„Der größte Winkel eines Dreiecks muss mindestens 60◦ groß sein.“ (Richtig.),
„Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt 420◦ .“ (Falsch.),
„Die Symmetrieachsen des gleichseitigen Dreiecks sind die Dreiecksseiten.“
(Falsch.),
„Ein Dreieck kann sowohl spitze als auch stumpfe Winkel haben.“ (Richtig.) etc.
19
(3)
Besondere Geraden und Punkte im Dreieck
Nun kommen wir zu einigen Geraden und Punkten im Dreieck, die besondere
Eigenschaften aufweisen.
Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks
sind zu den Dreiecksseiten senkrechte Geraden
durch die Seitenmittelpunkte. Sie werden häufig mit ma , mb , mc bezeichnet. Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in
stumpfwDreieckmitUmkreis.png
einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt
des Umkreises eines Dreiecks, dem Kreis durch
alle drei Eckpunkte. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt dieser Punkt außerhalb des Dreiecks
(Abb. 2.17). In Einheit 3 werden wir herausfinden, wie groß der Radius des Umkreises ist.
Abb. 2.17: stumpfwinkliges
Begründung: Betrachten wir zunächst den Dreieck mit Umkreis
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ma und
mb . Mittelsenkrechte ma ist der Ort jener
Punkte, die von B und C den gleichen Abstand haben. Weiter ist der Ort
jener Punkte, die von A und C den gleichen Abstand haben genau mb . Diese
beiden Geraden haben den Schnittpunkt U gemeinsam. Nach Konstruktion
gilt U A = U C und U B = U C. Daraus folgt U A = U B. Das heißt, dass auch
die dritte Mittelsenkrechte mc durch U gehen muss.
Konstruktion einer Mittelsenkrechten: Schlage je einen Kreis mit gleichem
beliebigem Radius, der größer als die halbe Strecke sein muss, um die beiden Endpunkte der Strecke. Die Mittelsenkrechte verläuft durch die beiden
Schnittpunkte der beiden Kreise.
Höhen und Höhenschnittpunkt Eine Höhe im Dreieck ist das Lot von
einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Dreiecksseite (oder deren Verlängerung). Die Höhen werden zumeist mit ha , hb , hc bezeichnet. Die drei Höhen
eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt (Abb. 2.19). Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt dieser außerhalb des Dreiecks.
Begründung: (Abb. 2.18) Wir zeichnen durch die Ecken A, B und C Parallelen zu den gegenüberliegenden Dreiecksseiten und erhalten ein größeres
Hilfsdreieck. Je zwei der vier entstandenen Teildreiecke bilden gemäß Konstruktion je das gleiche Parallelogramm. Daraus folgt, dass die Seiten des
Hilfsdreiecks doppelt so lang wie die des Ursprungsdreiecks sind. Folglich
stimmen die Höhen des Ursprungsdreiecks mit den Mittelsenkrechten des
20
Hilfsdreiecks überein. Von den Mittelsenkrechten wissen wir schon, dass sie
sich in einem Punkt schneiden. Daher schneiden sich auch die Höhen eines
Dreiecks in einem Punkt.
BewHoehenschnittpunkt.png
spitzwDreieckmitHoehen.png
Abb. 2.19: Die Höhen
Abb. 2.18: Höhenschnittpunkt
Konstruktion eines Lotes: Schlage einen Kreis um den Ausgangspunkt,
dessen Radius größer als der Abstand zur Geraden ist. Man erhält zwei
Schnittpunkte. Konstruiere die Mittelsenkrechte zur Verbindungsstrecke der
beiden Schnittpunkte. Diese verläuft durch den Ausgangspunkt und steht
senkrecht zur gegebenen Geraden. Sie ist demnach ein Lot.
Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt Der Kreis, der die drei
Seiten des Dreiecks jeweils in einem Punkt berührt, heißt Inkreis (die Dreiecksseiten sind Tangenten an den Inkreis). Der Mittelpunkt des Inkreises ist
der Schnittpunkt der drei (inneren) Winkelhalbierenden. Die Winkelhalbierenden werden für gewöhnlich mit wα , wβ , wγ bezeichnet. Der Schnittpunkt
der drei Winkelhalbierenden ist der Punkt, der den gleichen Abstand zu allen
drei Seiten hat (Abb. 2.20).
Begründung: Betrachten wir zunächst den Schnittpunkt I der Winkelhalbierenden wα und wβ . Da die Winkelhalbierenden genau die Punkte enthalten, die von je zwei Dreiecksseiten den gleichen Abstand haben, hat I folglich
den gleichen Abstand zu allen drei Seiten. Daher muss auch wγ durch I verlaufen.
Konstruktion einer Winkelhalbierenden: Zeichne einen Kreis mit beliebigem Radius um den Scheitel des Winkels, so dass je ein Schnittpunkt mit den
21
beiden Schenkeln entsteht. Errichte die Mittelsenkrechte zur Verbindungsstrecke der beiden Punkte. Diese verläuft durch den Scheitelpunkt und ist
die Winkelhalbierende.
spitzwDreieckmitInkreis.png
Abb. 2.20: Die Winkelhalbierenden
spitzwDreieckmitSchwerel.png
Abb. 2.21: Die Schwerelinien
Seitenhalbierende und Schwerpunkt Die Verbindungsstrecke eines Eckpunktes mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite wird Seitenhalbierende oder Schwerelinie genannt. Diese schneiden sich in einem Punkt,
welcher der Schwerpunkt des Dreiecks genannt wird (Abb. 2.21). Für diese Erkenntnis gibt es keine solch anschauliche geometrische Begründung wie
bei den anderen Linien. Ein einfacher Beweis kann mit Hilfe der Koordinatengeometrie geführt werden, worauf wir hier jedoch nicht näher eingehen
werden.
Die Bezeichnung Schwerpunkt kommt aus der Physik, wo diese Punkte
eine besondere Rolle spielen. Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende
im Verhältnis 2 : 1.
Beachte: Beim gleichschenkligen Dreieck fallen Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze, Höhe auf die Basis, Mittelsenkrechte und Seitenhalbierende der Basis zusammen. Dies ist die Symmetrieachse des gleichschenkligen
Dreiecks. Beim gleichseitigen Dreieck sind die drei Symmetrieachsen zugleich
die Höhen, Mittelsenkrechten, Seitenhalbierenden und Winkelhalbierenden.
Beim rechtwinkligen Dreieck fallen zwei Höhen mit den Katheten zusammen.
Aufgabenbeispiele:
22
a) Benennen von gegebenen Linien oder Punkten im Dreieck.
b) Stimmen die folgenden Aussagen?
„Der Schnittpunkt der Schwerelinien hat von den Dreiecksseiten den gleichen Abstand.“ (Nein.),
„Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten hat von den Ecken den gleichen
Abstand.“ (Ja.),
„Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Inkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.“ (Nein.) etc.
(4)
Flächeninhalt des Dreiecks
Um heraus zu finden, wie wir den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen, ergänzen wir das spitzwinklige Dreieck zu einem Rechteck mit den Seitenlängen
a und ha (Abb. 2.22). (Die Überlegung funktioniert genauso, wenn wir eine
andere Seite und die zugehörige andere Höhe nehmen.) Der Flächeninhalt
dieses Rechtecks ist
AR = a · ha .
Die Höhe ha teilt das Dreieck in zwei Teildreiecke. Betrachten wir verschiedene Wechselwinkel in der Konstruktion, können wir Folgendes leicht erkennen:
Die beiden nicht zum Ursprungsdreieck gehörigen Dreiecke haben die gleiche
Form und Größe wie die beiden Teildreiecke des Dreiecks. Sie haben daher
den gleichen Flächeninhalt. Daraus folgt, dass der Flächeninhalt des Dreiecks
dem halben Flächeninhalt des Rechtecks entspricht:
AD =
1
1
1
· a · ha (= · b · hb = · c · hc ).
2
2
2
Beispiel: Auch bei stumpfwinkligen Dreiecken kann die Flächeninhaltsformel angewendet werden. Betrachten wir das stumpfwinklige Dreieck ABC
mit der Seitenlänge c = 2 LE und der Höhe hc = 5 LE (Abb. 2.23).
Dann kann der Flächeninhalt auf folgendem Weg berechnet werden, was eine
allgemeine Begründung mit einschließt:
1
1
A = hc · (c + x) − hc · x − hc · (c + x)
2
2
1
1
=
hc · (c + x) − hc · x
2
2
1
hc · c
=
2
1
=
· 5 · 2 = 5 [FE].
2
23
?
Flaecheninhalt.png
BspFlaecheninhalt.png
Abb. 2.23: Beispiel
Abb. 2.22: Flächeninhalt
Aufgabenbeispiele:
a) Berechnungen mit je zwei von den drei Angaben Höhe h, Grundseite g
und Flächeninhalt A: z. B. h = 4 cm, A = 12 cm2 , gesucht ist g.
b) Für den Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken gibt es eine einfachere
Formel. Welche?
24
(5)
Kongruenz und Ähnlichkeit
Eine wichtige Frage in der Geometrie ist, wie viele
Angaben ich zu einem geometrischen Objekt brauche
um seine genaue Form und Größe zu kennen. Diese Frage steht in enger Verbindung zur Kongruenz
von Flächen. Denn so genannte kongruente Figuren
kongruenteFiguren.png
sind deckungsgleich, d. h. sie haben die gleiche Form
und Größe, können jedoch eine unterschiedliche Lage haben (Abb. 2.24). Die Frage, ob zwei Dreiecke
kongruent sind, lässt sich sehr genau beantworten.
Wenn zwei ebene Figuren nur in ihrer Form, nicht
Abb. 2.24: Kongruente
aber in ihrer Größe, übereinstimmen, sprechen wir Figuren sind mit der
von Ähnlichkeit.
gleichen Farbe
gekennzeichnet.
Kongruenzsätze und Konstruktionen
Zwei ebene Figuren sind genau dann kongruent, wenn sie mit Kongruenzabbildungen ineinander übergeführt werden können. Kongruenzabbildungen sind
Achsenspiegelungen, Parallelverschiebungen, Drehungen und Verknüpfungen
derselben.
Um die Kongruenz zweier Dreiecke festzustellen, bedarf es der Kenntnis von
drei geeigneter Größen. Welche Kombination von Größen geeignet ist, wird in
den so genannten Kongruenzsätzen zusammengefasst: Zwei Dreiecke sind
kongruent, wenn
• SSS-Satz: sie in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen.
• SWS-Satz: sie in zwei Seitenlängen und im von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
• WSW-/SWW-Satz: sie in einer Seitenlänge und zwei gleichliegenden
Winkeln übereinstimmen.
• SSW-Satz: sie in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt.
Ist im letzten Satz der der kürzeren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben,
ist das Dreieck nicht eindeutig bestimmt. Hier kann es kein, ein oder zwei
mögliche Dreiecke zu den Angaben geben.
Stimmen bei verschiedenen Dreiecken die drei Winkel überein, sind diese
nicht zwingend kongruent sondern nur ähnlich, d. h. bei der Angabe dreier
Winkel kann kein eindeutiges Dreieck festgelegt werden. Ohnehin sind ja
25
aufgrund des Winkelsummensatzes schon alle drei Winkel bekannt, wenn
auch nur zwei angegeben sind.
Kennen wir von einem Dreieck eine dieser Angabenkonstellationen, können wir es eindeutig mit Zirkel und Lineal konstruieren. (Es sei denn, es gibt
kein solches Dreick, da die Angaben z. B. gegen die Dreiecksungleichung oder
den Winkelsummensatz verstoßen.) Die folgenden Konstruktionsbeschreibungen erklären beispielhaft, wie man dabei vorgehen muss:
• Konstruktion eines Dreiecks aus drei Seitenlängen (Abb. 2.25): Zeichne
die Seite c mit Endpunkten A und B. (Man kann auch mit einer anderen
Seite beginnen.) Schlage um A einen Kreis, dessen Radius der Länge
der Seite b entspricht. Schlage um B einen Kreis, dessen Radius der
Länge von a entspricht. Die Schnittpunkte der beiden Kreise sind C
und C 0 . Verbinde C bzw. C 0 mit A und B.
• Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkel, hier c, b, α (Abb. 2.26): Zeichne die Strecke AB.
(Man kann auch mit der anderen Seite beginnen.) Trage bei A den
Winkel α ab (Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten, die beiden möglichen
Dreiecke sind an der Seite c gespiegelt.) Zeichne einen Kreis um A mit
der Seitenlänge b als Radius. Dieser Kreis schneidet den Schenkel des
Winkels α in C. Vervollständige das Dreieck.
SSS.png
Abb. 2.25: Kongruenzsatz SSS
SWS.png
Abb. 2.26: Kongruenzsatz SWS
• Konstruktion eines Dreiecks aus einer Seitenlänge und zwei Winkelmaßen, hier c, α, β (Abb. 2.27): Zeichne die Strecke AB. Trage bei A den
Winkel α an (zwei Möglichkeiten). Trage bei B den Winkel β an. Der
Schnittpunkt der Schenkel der beiden Winkel ist C und kann mit A
26
und B verbunden werden.
Sind nicht die anliegenden Winkel gegeben, kann der fehlende mit dem
Winkelsummensatz ermittelt werden.
SSW.png
WSW.png
SSWzweiDreiecke.png
Abb. 2.27: Kongruenzsatz WSW
Abb. 2.28: Kongruenzsatz SSW
• Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seitenlängen und einem Winkelmaß, hier c, a, γ (Abb. 2.28): Zeichne die Strecke a. Trage bei C den
Winkel γ an (zwei Möglichkeiten). Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt
B, dessen Radius der Länge von c entspricht. Als Schnittpunkt erhält
man A. Das Dreieck kann vervollständigt werden.
Die zweite Abbildung zeigt den Fall, wenn der der kürzeren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben ist und wir zwei bzw. vier mögliche
Dreiecke erhalten.
Beispiele: Manchmal ist es auch möglich, ein Dreieck zu konstruieren, von
dem wir z. B. den Umkreisradius, die Länge einer Höhe, die Länge einer
27
Winkelhalbierenden usw. kennen. Hierzu sollen ein paar Konstruktionen vorgestellt werden.
a) Konstruiere ein Dreieck mit a = 5,8 cm, γ = 46◦ und Umkreisradius
r = 3,5 cm (Abb. 2.29).
Dazu: Zeichne einen Kreis mit Radius r = 3,5 cm. Wähle C auf der Kreislinie.
Schlage um C einen Kreis mit Radius a = 5,8 cm und erhalte die Schnittpunkte A und A0 . 3. Verbinde C mit A (bzw. A0 ). Trage bei C den Winkel
γ = 46◦ an, der den Umkreis in B (bzw. B 0 ) schneidet. Vervollständige das
Dreieck.
Bspb.png
Abb. 2.29: Beispiel a
Abb. 2.30: Beispiel b
b) Konstruiere ein Dreieck mit a = b, sb = 3,6 cm, sc = 6,3 cm (Abb. 2.30).
Dazu: Aus den Angaben erkennen wir, dass es sich um ein gleichschenkliges
Dreieck handelt, weshalb sc = hc also senkrecht auf c steht. Der Schwerpunkt
S teilt sb und sc im Verhältnis 2 : 1, liegt also von C 4,2 cm und von A und B
2,4 cm entfernt. Zeichne sc mit Anfangspunkt C und Mittelpunkt der Basis
als Endpunkt. Konstruiere im Endpunkt die Senkrechte zu sc . Trage von C
aus auf sc eine Strecke von 4,2 cm ab und erhalte S. Schlage um S einen
Kreis mit Radius 2,4 cm. Die beiden Schnittpunkte mit der Senkrechten zu
sc sind A und B. Verbinde diese mit C.
c) Konstruiere ein Dreieck aus a = 3,5 cm, γ = 85◦ , wβ = 3,8 cm.
iten). Verbinde F und B und verdopple den Winkel zwischen a und wβ zu
β. Der Schnittpunkt von den Schenkeln von γ und β ist A. Vervollständige
das Dreieck. Dazu: Zeichne die Strecke BC. Trage in C den Winkel γ an.
Schlage um B einen Kreis mit Radius 3,8 cm, der den Schenkel von γ in F
schneidet (zwei Möglichkeiten). Verbinde F und B und verdopple den Winkel
zwischen a und wβ zu β. Der Schnittpunkt von den Schenkeln von γ und β
ist A. Vervollständige das Dreieck.
d) Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck (γ = 90◦ ) mit wγ = 3,5 cm, hc =
28
3,3 cm.
Dazu: Zeichne die Höhe hc mit Anfangspunkt C und in ihrem Endpunkt eine Senkrechte. Schlage um C einen Kreis mit Radius wγ = 3,3 cm, der die
Senkrechte schneidet (zwei Möglichkeiten). Trage in C zu beiden Seiten von
wγ einen 45◦ -Winkel an. Die Schnittpunkte der Schenkel mit der Senkrechten
sind A und B und das Dreieck kann vervollständigt werden.
?
In Selbstlerneinheit 2 und 3 werden wir herausfinden, wie man bestimmte
Dreiecksteile auch rechnerisch und nicht nur durch Konstruktion ermitteln
kann.
Aufgabe: Gegeben sind verschiedene Angabenelemente eines Dreiecks. Die
Angaben sollen den Kongruenzsätzen zugeordnet werden oder es soll entschieden werden, ob eine eindeutige Konstruktion möglich ist.
Ähnlichkeit Kongruente Dreiecke stimmen in allen drei Winkeln überein,
die umgekehrte Aussage gilt jedoch nicht. Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen sind nicht unbedingt kongruent, sondern nur ähnlich.
Sie stimmen zwar in ihrer Form, jedoch nicht in ihrer Größe überein.
Geometrische Figuren heißen ähnlich, wenn sie durch Ähnlichkeitsabbildungen ineinander überführt werden können. Ähnlichkeitsabbildungen sind Verknüpfungen aus Kongruenzabbildungen und zentrischen Streckungen.
Der Begriff kongruent ist demnach stärker als der Begriff ähnlich: kongruente
Figuren sind immer auch ähnlich, die Umkehrung gilt allerdings nicht. Bei
Ähnlichkeitsabbildungen bleiben sowohl Winkel als auch Längenverhältnisse
erhalten.
Dies führt zu den Ähnlichkeitssätzen: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie
• in allen drei Winkeln übereinstimmen.
• wenn die Längenverhältnisse aller Seiten übereinstimmen.
Bspaaehnl.png
Beispiele:
a) Die Höhe hc teilt das rechtwinklige Dreieck ABC in zwei Teildreiecke
Abb.
2.31: zueinander:
Beispiel a
(Abb. 2.31). Die Dreiecke ABC, AF C und F BC sind
ähnlich
Alle drei Dreiecke haben einen rechten Winkel. ABC und F BC stimmen
darüber hinaus im Winkel β überein. ABC und AF C stimmen darüber
hinaus im Winkel α überein. Jeweils zwei Dreiecke haben zwei gleiche
29
Winkel. Daraus folgt die Gleichheit des dritten Winkels (Winkelsummensatz). Also sind alle Dreiecke ähnlich.
Kennen wir von einem rechtwinkligen Dreieck alle drei Seitenlängen, können wir daher mittels der Seitenverhältnisse die Länge der Höhe auf die
Hypotenuse berechnen.
b) Sind die beiden Dreiecke mit a = 5 cm, b = 3 cm, c = 6 cm bzw. a0 =
3 cm, b0 = 1,8 cm, c0 = 3,6 cm ähnlich?
5
15
3
=
=
3
9
1,8
und
3
1
1,8
= =
6
2
3,6
und
5
15
3
=
=
6
18
3,6
Demnach handelt es sich um ähnliche Dreiecke.
?
Aufgabenbeispiele:
a) Entscheidung, ob zwei Dreiecke ABC und A0 B 0 C 0 ähnlich zueinander sind
(verschiedenen Kombinationen von Angaben).
b) Wie groß muss die Seite b0 sein, damit folgende Dreiecke ähnlich sind?
a = 2 LE, b = 4 LE, c = 5 LE und a0 = 1,5 LE, c0 = 3,75 LE etc.
Strahlensätze Eng mit der zentrischen Streckung und Längenverhältnissen und damit auch mit der Ähnlichkeit in Verbindung stehen die Strahlensätze:
Gegeben seien zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt S, die von zwei
Parallelen g und g 0 geschnitten werden (Abb. 2.32).
1. Strahlensatz: Dann verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl
wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen:
SA0
SB 0
=
SA
SB
und
AA0
BB 0
=
.
SA
SB
2. Strahlensatz: Dann verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie
die von S aus gemessenen entsprechenden Abschnitte auf jedem Strahl:
A0 B 0
SA0
=
AB
SA
und
A0 B 0
SB 0
=
.
AB
SB
Die angegebenen Teilverhältnisse werden bei der zentrischen Streckung als
Streckfaktor interpretiert. Wird eine Figur um den Faktor k gestreckt, vergrößert sich der Flächeninhalt um den Faktor k 2 .
30
Strahlensaetze.png
BspStrahlensatz.png
Abb. 2.33: Beispiel
Abb. 2.32: Strahlensätze
Beispiele: Betrachten wir zu beiden Strahlensätzen ein Beispiel.
a) Wie lang sind x und y (Abb. 2.33)?
1. Strahlensatz: x2 = 64 ⇒ x = 3.
= 64 ⇒ y + 5 = 7,5
2. Strahlensatz: y+5
5
⇒
y = 2,5 (vgl. NW, S. 53).
b) Ein Baum mit Stammhöhe 1,5 m wirft einen Schatten von insgesamt 15 m.
Dabei ist der Schatten des Stamms 3 m lang. Wie hoch ist der Baum?
Wir geben zwei verschiedene Begründungen mit dem 1. Strahlensatz an:
1. Wenn der Schatten des Stammes ein Viertel des gesamten Schattens einnimmt, muss auch die Stammhöhe ein Viertel der Baumhöhe betragen:
1,5 m · 4 = 7,5 m.
2. Wenn der Stamm halb so hoch ist wie sein Schatten lang, dann ist auch
der Baum halb so hoch wie sein Schatten lang ist. Also ist der Baum
15 m : 2 = 7,5 m hoch.
?
Aufgabenbeispiele:
a) Heraussuchen aller ähnlichen bzw. kongruenten Figuren aus einer Abbildung.
b) Strahlensätze: Bestimmung von unzugänglichen Streckenlängen (vgl. NW9,
S. 53ff.).
c) Strahlensätze: Es seien Strahlensatzabbildungen und Verhältnisgleichungen gegeben. Welche Verhältnisgleichungen sind richtig, welche falsch?
31
(6)
Rechtwinklige Dreiecke
Rechtwinklige Dreiecke haben besondere Eigenschaften, die andere Dreiecke
nicht besitzen.
Satz des Thales Der folgende Satz liefert eine einfache Methode, einen
rechten Winkel zu konstruieren. Außerdem wird er häufig in Beweisen anderer Sachverhalte verwendet.
Satz des Thales: Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel.
Begründung: Gegeben seien ein Dreick ABC mit
Umkreis, so dass die Seite c Durchmesser des Kreises ist. Sei M der Mittelpunkt der Seite c und damit
der Mittelpunkt des Kreises. Wir tragen in das Dreieck ABC die Hilfslinie M C ein (Abb. 2.34), die den
BewThales.png
Winkel γ in γ1 und γ2 aufteilt. Wir erhalten die beiden gleichschenkligen Dreiecke AM C und BM C deren Schenkel Radien des Umkreises sind. Aufgrund
des Basiswinkelsatzes gilt nun γ1 = α und γ2 = β.
Der Winkelsummensatz liefert 180◦ = α + β + γ =
Abb. 2.34: Satz des
2(γ1 + γ2 ). Daraus folgt die Behauptung, dass das Thales
Dreieck rechtwinklig ist.
Auch die Umkehrung dieses Satzes gilt:
Wenn ein Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel hat, dann liegt C auf
dem Kreis mit dem Durchmesser AB.
Betrachten wir weitere Winkel im Kreis. Aussagen über deren Größen trifft
der Umfangs-und Mittelpunktswinkelsatz (Abb. 2.35):
• Umfangswinkel auf derselben Seite einer Sehne sind gleich groß.
• Umfangswinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen sich zu
180◦ .
• Über demselben Bogen ist der Umfangswinkel halb so groß wie der
Mittelpunktswinkel.
Damit ist der Satz des Thales ein Spezialfall dieses Satzes.
Beispiel: Wir wollen ein Dreieck konstruieren mit c = 8 LE, hc = 4 LE und
γ = 70◦ (Abb. 2.36).
Dazu zeichnen wir zunächst Seite c mit einer Parallelen im Abstand von 4 LE
32
UmfangsundMittelpunktswinkel.png
BspUmfangswinkel.png
Abb. 2.35: Umfangs- und
Mittelpunktswinkelsatz
Abb. 2.36: Beispiel
mittels der Mittelsenkrechten mc . Der Punkt C des gesuchten Dreiecks soll
Scheitel eines Umfangswinkels über der Sehne c sein. Ein Mittelpunktswinkel über dieser Sehne hat demnach 2 · 70◦ = 140◦ . Für die Basiswinkel des
gleichschenkligen Mittelpunktswinkeldreiecks bleiben je 20◦ . Also tragen wir
in Punkt A oder B einen Winkel von β = 20◦ ab. Der Schenkel schneidet mc
im Mittelpunkt M des Kreises. Wir schlagen den Kreis um M durch A und B.
Dieser schneidet die Parallele zu c in zwei Punkten C und C 0 mit Winkeln γ =
γ 0 = 70◦ .
?
Aufgabenbeispiele:
a) Offene Fragen wie:
„Mit welchem Punkt fällt der Umkreismittelpunkt im rechtwinkligen Dreieck zusammen?“ (Antwort: Mittelpunkt der Hypotenuse.)
„Wie viele rechtwinklige Dreiecke gibt es über einem Kreisdurchmesser?“
(Antwort: Unendlich viele.)
b) Welche der Aussagen sind richtig?
„Der Thaleskreis und der Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks sind identisch.“ (Richtig.),
„Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden liegt im rechtwinkligen Dreieck auf der Hypotenuse.“ (Falsch.),
„Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten liegt im rechtwinkligen Dreieck
auf einer der Katheten.“ (Falsch.),
„Jedes Dreieck hat einen Thaleskreis.“ (Falsch.),
„Wenn ein Dreieck den Winkel α = π2 hat, ist die Seite a Durchmesser des
Thaleskreises.“ (Richtig.),
„Von jedem Punkt eines Kreises aus gesehen erscheint der Durchmesser in
33
einem rechten Winkel.“ (Richtig.),
„Von jedem Punkt der Kreislinie aus erscheint eine Sehne im gleichen
Winkel.“ (Falsch.) etc.
Satz des Pythagoras Zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen
Dreiecks besteht der folgende Zusammenhang, der es uns z. B. ermöglicht,
fehlende Dreiecksseiten zu bestimmen.
Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe
der Quadrate über den Katheten a, b gleich dem Quadrat über der Hypotenuse c:
a2 + b 2 = c 2 .
Begründung: Es gibt zahlreiche Beweise des
Satz des Pythagoras. Hier soll ein geometrischer vorgeführt werden (Abb. 2.37). Man sieht
sofort die Gleichheit des großen blauen und
des großen orangenen Quadrates. Das orangene Quadrat besteht aus den beiden KatheBewPythagoras.png
tenquadraten und vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken. Das blaue Quadrat besteht
aus dem Hypotenusenquadrat und den gleichen
vier rechtwinkligen Dreiecken. Daher muss die
Fläche der beiden Kathetenquadrate in der
Summe die gleiche Größe wie das HypotenuAbb. 2.37: Satz des
senquadrat besitzen.
Pythagoras
Beispiel: Wie lang ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit
Kathetenlängen 6 LE und 4,5 LE?
62 +(4,5)2 = 56,25 = (7,5)2 ⇒ die Hypotenuse ist 7,5 LE lang.
?
Auch die Umkehrung dieses Satzes gilt:
Gilt in einem Dreieck die Beziehung a2 + b2 = c2 , so hat es einen rechten Winkel in γ. Sind a, b und c ganzzahlig, spricht man auch von einem
pythagoräischen Tripel.
Begründung: Die Seiten eines Dreiecks erfüllen die Beziehung a2 + b2 = c2 .
Wir nehmen an, in C habe das gegebene Dreieck einen spitzen Winkel. Dann
können wir über AB mit Hilfe des Thaleskreises ein rechtwinkliges Dreieck
ABC 0 konstruieren, welches in dem gegebenen Dreieck ABC enthalten ist.
Dann gilt: b0 < b und a0 < a und damit a2 + b2 > a02 + b02 = c2 . Dies ist ein
34
Widerspruch zur Voraussetzung, also kann bei C kein spitzer Winkel liegen.
Zeigt man auf entsprechende Weise, dass bei C kein stumpfer Winkel sein
kann, steht fest, dass das Dreieck dort einen rechten Winkel haben muss.
Beispiele: a) Der Satz des Pythagoras erlaubt uns, die Längen von Höhen
in gleichseitigen und -schenkligen Dreiecken zu errechnen, was häufig sehr
nützlich ist:
p
1. gleichseitiges Dreieck mit Seite a: h = a2 − ( a2 )2
q
2. gleichschenkliges Dreieck mit Basis b und Schenkeln s: hb = s2 − ( 2b )2 .
b) Abstände im Koordinatensystem (Abb. 2.38):
Gegeben seien zwei Punkte P (xP , yP ) und Q (xQ , yQ ) im
kartesischen Koordinatensystem. Ihr Abstand d ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten
parallel zu je einer der Achsen liegen. Folglich lässt sich d
berechnen als
q
d = (xP − xQ )2 + (yP − yQ )2 .
AbstandKoordinatensyst.png
Hierbei ist es unerheblich, ob die Koordinaten von P von Abb. 2.38:
denen von Q abgezogen werden oder umgekehrt, da die Abstand im
Koordinatensystem
Differenzen quadriert werden.
c) Konstruktion rechter Winkel mit einer Knotenschnur:
Eine Knotenschnur ist eine Schnur bei der in gleichen Abständen (1 LE)
Knoten geknüpft sind. Sie bietet eine Möglichkeit, rechte Winkel ohne Geodreieck zu konstruieren. Legt oder spannt man die Schnur so um drei Ecken,
dass die Seitenlängen des entstehenden Dreiecks ein ganzzahliges pythagorärisches Tripel, z. B. 3 – 4 – 5, bilden, dann ergibt sich ein rechtwinkliges
Dreieck.
Aufgabenbeispiele:
a) Ermitteln fehlender Seiten, Hypotenusenabschnitte oder Höhen bei Angabe der übrigen (vgl. SW9, S. G31),
b) Berechnung des Flächeninhalts eines gleichschenkligen/-seitigen Dreiecks,
wenn nur die Seitenlängen gegeben sind.
c) Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit folgenden Maßen? (Erkennen der
ganzzahligen pythagoräischen Tripel.)
35
Verwandte Sätze Die beiden folgenden Sätze stehen in enger Verbindung
zum Satz des Pythagoras.
Höhensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der
Höhe h (auf die Hypotenuse) flächeninhaltsgleich mit dem aus beiden Hypotenusenabschnitten p und q gebildeten Rechteck (Abb. 2.40):
h2 = p · q.
Begründung: Man zeichne einen Thaleskreis mit Radius r und einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck.
Trägt man die Höhe h auf die Hypotenuse sowie die
Verbindungsstrecke M C ein, ensteht ein kleineres
rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse r. Die zweite Kathete nennen wir d. Des Weiteren teilt h die
Hypotenuse des großen Dreiecks in die Abschnitte
q = r + d und p = r − d.
Im kleinen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:
h2 = r2 − d2
bin.F ormel
=
BewHoehensatz.png
(r + d) · (r − d) =
p · q.2.39: Begründung
Abb.
des Höhensatzes
Hoehensatz.png
Abb. 2.40: Höhensatz
Kathetensatz.png
Abb. 2.41: Kathetensatz
Kathetensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über
einer Kathete flächeninhaltsgleich mit dem aus Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt gebildeten Rechteck (Abb. 2.41):
a2 = p · c und b2 = q · c.
36
Begründung: (Abb. 2.42) Die Dreiecke ABE und ACE haben die gleiche Fläche, da sie die Grundseite AE und die Höhe AC gemeinsam haben. Die Dreiecke ABE und AF C sind kongruent (SWS). Die Dreiecke AF H und AF C
sind flächengleich, da sie die Grundseite AF und die Höhe AH gemeinsam
haben. Damit haben wir gezeigt, dass die halbe Fläche des Kathetenquadrats
über b den gleichen Flächeninhalt hat wie die Hälfte des Hypotenusenrechtecks q · c.
Für die andere Kathete erfolgt der Nachweis analog.
BewKathetensatz1.png
BewKathetensatz2.png
BewKathetensatz3.png
BewKathetensatz4.png
Abb. 2.42: Beweis des Kathetensatzes
Beispiele: a) Wie kann man aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat
konstruieren und umgekehrt?
Man verlängere zunächst die längere Rechteckseite AB
in eine Richtung um die Länge der kürzeren Rechteckseite
AD und erhalte die Strecke AE. Dann konstruiere man
die Mitte der Strecke und schlage um den Mittelpunkt
Wurzelschnecke.png
einen halben Thaleskreis mit AE als Durchmesser. Verlängert man AD in Richtung des Thaleskreises erhält man
den Schnittpunkt F . Die Seite des gesuchten Quadrates ist
AF . Vervollständige das Quadrat.
Abb. 2.43:
b) Konstruktion von Wurzeln (1):
Wurzelschnecke
Mit dem Satz des Pythagoras kann man solch eine Wurzelschnecke (Abb. 2.43) zeichnen, mit der man (theoretisch)
die Quadratwurzeln aller natürlichen Zahlen zeichnerisch darstellen könnte.
c) Konstruktion von Wurzeln (2):
Eine andere Methode Wurzeln zu konstruieren liefern Kathetenund Hö√
hensatz. Mit folgender Zeichnung (Abb. 2.44) können wir 6 konstruieren.
Dafür entscheiden wir uns für eine Darstellung der 6 als Produkt von 2 und
3 (auch andere Produktdarstellungen sind möglich). Die Faktoren 2 und 3
übernehmen die Funktion der Hypotenusenabschnitte p und q. Wir zeichnen
37
daher eine Strecke der Länge 2 + 3 = 5 und schlagen um deren Mittelpunkt
einen Thaleskreis. Die Lotstrecke h hat aufgrund des Höhensatzes die Länge
√
6.
√
√
Der Kathetensatz zeigt uns Strecken mit Längen 15 und 10 als Produkt
von Hypotenusenlänge 5 mit p und q.
KonstruktionvonWurzeln1.png
KonstruktionvonWurzeln2.png
Abb. 2.44: Konstruktion von Wurzeln
Aufgabenbeispiele:
a) Es sollen fehlende Dreiecksseiten und verschiedene Flächeninhalte berechnet werden (NW S. 155, 157 A15, 174).
b) Angabe der Sätze mit abweichenden Bezeichnungen eines gegebenen Dreiecks.
c) Erkennen eines der Sätze in gegebenen Zeichnungen.
d) Erkennen eines der Sätze bei Umformulierungen der Aussagen.
Test
Hier werden den Aufgabenbeispielen entsprechende Fragen und Aufgaben
abgeprüft, bevor mit Einheit 2 begonnen werden kann.
38
3
3.1
Trigonometrische Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
Inhaltliche Vorgaben und Ziele
In der folgenden Einheit werden die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sowohl über den Einheitskreis als auch über rechtwinklige Dreiecke eingeführt. Es wird auf ein tiefgreifendes Verständnis des Zusammenhangs dieser zwei Definitionen als zwei Aspekte des selben Sachverhalts
hingearbeitet. Die Teilnehmer sollen den sicheren Umgang mit den Winkelfunktionen in verschiedenen Zusammenhängen lernen. So werden einerseits
theoretische Eigenschaften und Zusammenhänge dargestellt und angewandt,
andererseits auf die Verwendungsmöglichkeit von Sinus, Kosinus und Tangens
für Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck eingegangen. Diese ausführliche
Beleuchtung der verschiedenen Aspekte könnte in einer weiteren Einheit, welche jedoch nicht Teil der vorliegenden Arbeit sein wird, auch den Zugang zu
den trigonometrischen Funktionen in der Analysis erleichtern.
3.2
Hinweise zu dieser Einheit
Innerhalb dieser Einheit werden zwei alternative Lernwege vorgestellt. Zunächst handelt es sich um den abstrakteren, wenn auch mit Beispielen illustrierten Zugang zu dem Thema der Winkelfunktionen. Anschließend wird
für die Abschnitte (1) bis einschließlich (6) eine Alternative dargelegt, die
den Versuch eines exemplarischen, anschaulicheren Zugangs zu diesem Thema darstellt. Hier stehen die zahlreichen anwendungsbezogeneren Beispiele
im Vordergrund. Ein Springen zwischen beiden Varianten ist nicht vorgesehen. Allerdings sollte es im Nachhinein möglich sein, auch den anderen Weg
zu bearbeiten. Nach Schritt (6) des alternativen Weges muss die Einheit bei
Schritt (7) des abstrakten Zugangs fortgesetzt werden, wobei sich das Beispiel „Riesenrad“ gut als Motivation für Abschnitt (7) „Sinus, Kosinus und
Tangens auf dem gesamten Einheitskreis“ eignet. Im exemplarischen Weg
ist die eigenständige Bearbeitung der Fragestellungen von besonderer Bedeutung. Daher sollen die jeweils zu den Fragen gegebenen Antworten nicht
direkt im Lerntext stehen, sondern erst auf Wunsch des Teilnehmers (evtl.
eine nach der anderen) angezeigt werden. So hat er/sie genügend Zeit, über
die Probleme nachzudenken und eigene Lösungsansätze zu finden.
39
3.3
Einheit 2: Trigonometrische Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
Über diese Einheit
Nun wird es um die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens gehen. Wir werden mittels verschiedener Definitionsansätze herausfinden, worum es sich dabei handelt. Anschließend werden alle wichtigen Eigenschaften und Zusammenhänge der trigonometrischen Funktionen und ihr
Nutzen für Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken vorgestellt.
Innerhalb dieser Einheit gibt es für die Schritte (1) bis (6) zwei mögliche
Lernwege. Der eine stellt einen abstrakteren der andere einen exemplarischen
Zugang zu dem Thema der Winkelfunktionen dar. Zwischen den beiden Wegen kann nicht gewechselt werden, d. h. wenn man sich für einen der beiden
entschieden hat, muss dieser bis einschließlich Schritt (6) fortgesetzt werden.
Ab Schritt (7) gibt es wieder nur einen Weg.
(1)
Ähnliche rechtwinklige Dreiecke
Rechtwinklige Dreiecke, die in einem weiteren Winkel, hier ϕ, (und damit in
beiden weiteren) übereinstimmen, sind ähnlich. Des Weiteren sind durch diesen Winkel die Verhältnisse zweier Seiten des Dreiecks eindeutig bestimmt;
jedem Winkel ϕ ist ein bestimmtes Seitenverhältnis zugeordnet und umgekehrt. Diese Erkenntnis ist zentral für unser weiteres Vorgehen. Begründen
kann man sie mit Hilfe der Strahlensätze.
Es macht demnach Sinn, rechtwinklige Dreiecke in Abhängigkeit von einem
ihrer spitzen Winkel zu betrachten, hier ϕ. Die Kathete, die diesem Winkel
gegenüber liegt, heißt Gegenkathete. Die dem Winkel ϕ anliegende Kathete
heißt Ankathete (Abb. 3.23).
Beispiel: (Abb. 3.2) Diese beiden Dreiecke haben in γ bzw. γ 0 einen rechten
Winkel. Sie stimmen auch in einem und aufgrund der Winkelsumme in beiden anderen Winkeln überein mit α = α0 = 38,66◦ und β = β 0 = 51,34◦ . Für
40
Abb. 3.2: Beispiel
Abb. 3.1: Gegenkathete und
Ankathete
die Seitenverhältnisse gilt (in LE):
a
b
=
4
5
=
2
2,5
=
a0
b0
b
c
=
5
6,4
=
2,5
3,2
=
b0
c0
c
a
=
6,4
4
=
3,2
2
=
c0
.
a0
Die beiden Dreiecke sind ähnlich. Um dies zu belegen, reicht entweder die
Angabe der gleichen Winkel oder eines gleichen Seitenverhältnisses. ?
Aufgabenbeispiele: Mögliche Aufgaben nach diesem Abschnitt beziehen
sich auf die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken und auf die neue
Bezeichnung der Dreiecksseiten.
Denkbar sind Fragen wie:
a) Gib das Seitenverhältnis xy des folgenden Dreiecks an (Abbildung eines
Dreiecks mit Bezeichnungen der Seiten und durch Skalierung erkennbare
Seitenlängen).
b) Welche der Dreiecksseiten stehen im Verhältnis 25 ? (Abbildung eines Dreiecks mit Bezeichnungen der Seiten und durch Skalierung erkennbare Seitenlängen).
c) Welche Seitenverhältnisse sind gleich? Was sagt uns das über die Winkel? Welche Winkel sind gleich? (Abbildung verschiedener rechtwinkliger
Dreiecke, darunter ähnliche).
d) In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c ist ein Seitenverhältnis gegeben. Berechne die anderen Seitenverhältnisse (Lösung mit Satz des Pythagoras).
41
z. B. ab = 32 .
√
13
2
Dann: 1. c2 = a2 + b2 = ( 32 b)2 + b2 = 13
b
⇒
c
=
b.
9
3
2. die anderen Seitenverhältnisse können angegeben werden mit:
√
√
b
2
3
13
und
13. (vlg. LS10, S. 139)
=
13
c
13
a
c
=
e) Es sollten die Begriffe Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete an einem
anderen Dreieck wiederholt werden. Hierzu sollen jeweils die Bezeichnungen der gestrichelten Seiten angegeben werden (Abb. 3.3): Gegenkathete
von β, Hypotenuse, Ankathete von α, Gegenkathete von θ und Ankathete
von γ.
Abb. 3.3: Aufgabe e)
(2)
Abb. 3.4: rechtwinkliges Dreieck
am Einheitskreis
Rechtwinkliges Dreieck im Einheitskreis
Wie verändern sich nun Gegen- und Ankathete, wenn der Winkel ϕ seine
Größe ändert? Und wie verändern sich die Seitenverhältnisse? Dazu lassen
wir die Hypotenuse des Dreiecks gleich (hier gleich 1 LE) und verändern nur
den Winkel ϕ.
Dies können wir leicht erreichen, wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck im
Einheitskreis betrachten. Mittelpunkt des Einheitskreises ist der Ursprung
des Koordinatensystems. Bei der Betrachtung beschränken wir uns auf den
ersten Quadranten:
Die Hypotenuse ist der Radius mit Endpunkt P auf dem Einheitskreis,
der zugehörige spitze Winkel ist ϕ. Die Ankathete von ϕ ist der zu P gehörige
x-Achsenabschnitt x, die Gegenkathete die Parallele zum entsprechenden yAchsenabschnitt y (Abb. 3.4).
42
Lassen wir P nun die Kreislinie entlangwandern, durchläuft der Winkel
ϕ die Werte zwischen 0◦ und 90◦ bzw. im Bogenmaß 0 und π (0◦ < ϕ < 90◦ ),
und auch die Katheten verändern sich entsprechend 3 .
(3)
Sinus und Kosinus
Dann wird für die Koordinaten des Punktes P
auf dem Einheitskreis definiert (Abb. 3.5):
y = sin ϕ,
x = cos ϕ.
Doch wo sind in dieser Definition die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck geblieben?
Scheinbar haben wir neue Bezeichnungen für
die Seitenlängen erfunden. Betrachten wir je- Abb. 3.5: Sinus und Kosinus
doch die Voraussetzungen noch einmal genau- am Einheitskreis
er: die Hypotenuse sollte Länge 1 haben! Das
heißt, wir können Sinus und Kosinus auch folgendermaßen schreiben, ohne
etwas an der Definition zu verändern:
„Gegenkathete“
y
=
,
1
„Hypotenuse“
„Ankathete“
x
.
cos ϕ = =
1
„Hypotenuse“
sin ϕ =
„Gegenkathete“ meint hierbei die Länge der Gegenkathete etc.
Da alle rechtwinkligen Dreiecke, die außerdem noch im Winkel ϕ übereinstimmen, ähnlich sind, sind auch alle entsprechenden Seitenverhältnisse gleich
groß, weshalb dieser Zusammenhang für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt.
In rechtwinkligen Dreiecken gilt bekannter Weise der Satz des Pythagoras.
Damit können wir eine sehr wichtige Eigenschaft von Sinus und Kosinus folgern:
(sin ϕ)2 + (cos ϕ)2 = 12 = 1.
In Worten:
Die Quadrate des Sinus- und Kosinuswertes eines Winkels haben zusammen
immer die Summe 1.
3
Hier sollte ein interaktiver Einheitskreis (oder zunächst nur der 1. Quadrant desselben)
stehen, an dem der Punkt P auf dem Kreis bewegt und gleichzeitig die Veränderung des
Winkels ϕ und der Katheten beobachtet werden kann.
43
Wichtig ist die Erkenntnis, dass es sich bei der Definition von Sinus und Kosinus über die Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks genau um die
selbe Sache wie bei den Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis
handelt.
Beachte: Da die Hypotenuse stets die längste Seite eines rechtwinkligen
Dreiecks ist, können Sinus und Kosinus nur Werte kleiner oder gleich 1 annehmen.
Beispiel: Betrachten wir erneut die beiden ähnlichen rechtwinkligen Drei2
5
4
= 3,2
= 0,625 und cos α = 6,4
= 2,5
= 0,78125.
ecke. Es gilt: sin α = 6,4
3,2
Tragen wir nun ein zu diesen ebenfalls ähnliches Dreieck mit Winkel α =
38,66◦ am Ursprung auf oben beschriebene Weise in den Einheitskreis ein,
können wir diese beiden Werte leicht ablesen (ein entsprechend feines Gitternetz vorausgesetzt) (Abb. 3.6).
?
Abb. 3.6: Beispiel
(4)
Abb. 3.7: Tangens am Einheitskreis
Tangens
Der Tangens ist nun (worauf der Name hindeutet) ein Maß für die Länge eines Tangentenabschnitts, nämlich der zur y-Achse parallelen rechten
Kreistangente x = 1 am Einheitskreis (Abb. 3.7). Wiederum aufgrund der
Ähnlichkeit entspricht der Tangens dem Verhältnis von Gegenkathete und
Ankathete und wird folglich definiert als
tan ϕ =
tan ϕ
y
sin ϕ
= =
,
1
x
cos ϕ
44
x, cos ϕ 6= 0.
Der Kotangens ist der Kehrwert des Tangens mit cot ϕ =
wird jedoch seltener verwendet.
1
tan ϕ
=
cos ϕ
.
sin ϕ
Er
Beispiel: Für die Beispieldreiecke gilt:
tan β =
5
2,5
0,78125
=
=
= 1,25.
4
2
0,625
?
Hieran erkennt man: der Tangens kann Werte größer 1 annehmen.
Die Funktionen (aus analytischer Sicht handelt es sich tatsächlich um
Funktionen) Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens heißen Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen. Aufgrund der Definition sind ihre
Werte unabhängig von der Lage des Dreiecks, so verändern sie sich auch bei
einer Drehung im Einheitskreis nicht (Abb. 3.8).
(5)
Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte
Wenn man für einen gegebenen Winkel Sinus-,
Kosinus-, Tangens- oder auch Kotangenswert
bestimmen möchte, hat man zwei Möglichkeiten:
1) entsprechende Wertetabellen
2) Taschenrechner
Abb. 3.8: Drehung im
Beide Möglichkeiten helfen ebenfalls weiter, Einheitskreis
wenn man umgekehrt den Wert einer Winkelfunktion kennt und die Größen des entsprechenden Winkels herausfinden
möchte.
Zu 1): Ein und dieselbe Tabelle bietet die Möglichkeit, sowohl nach den Werten der Winkelfunktionen als auch nach den Winkelgrößen zu suchen, je
nachdem, ob man sich an den Zeilen oder Spalten der Tabelle orientiert.
Zu 2): Zur Berechnung der trigonometrischen Funktionen verwendet man die
Tasten sin, cos, tan. Der Kotangens ist auf vielen Taschenrechnern nicht
verfügbar. Handelt es sich um einen Winkel im Gradmaß, muss der Taschenrechner auf DEG geschaltet sein. Zur Berechnug der Winkelgröße dienen
die Tasten sin−1 , cos−1 , tan−1 (gelesen: Arkussinus, Arkuscosinus, Arkustangens).
45
Sinnvoll ist, sich einige markante Werte zu merken. In diesem Zusammenhang sind bestimmte Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen hilfreich.
Dazu später.
Aufgabenbeispiele: Sinnvolle Übungen zu den letzten drei Abschnitten
können folgende sein:
a) Ablesen der Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte bestimmter Winkel am
bereits erwähnten interaktiven Einheitskreis bzw. Berechnung mit dem
Taschenrechner.
b) Bestimmen der Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte über die Seitenverhältnisse von rechtwinkligen Dreiecken.
c) Bestimmung von Winkeln aus gegebenen Sinus-, Kosinus- und Tangenswerten.
(6)
Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken
Die trigonometrischen Funktionen bilden die Basis aller Berechnungen, die
auf Winkelmessung beruhen. Insbesondere helfen sie bei Bestimmungsproblemen am rechtwinkligen Dreieck, die sonst nur durch Konstruktionen gelöst
werden können. Kennt man außer dem rechten Winkel eine Seite und ein
weiteres Bestimmungsstück (noch eine Seite oder einen Winkel), so können
alle übrigen Stücke des Dreiecks berechnet werden.
Hierzu benötigen wir den Satz des Pythagoras und den Winkelsummensatz.
Für die Berechnungen wird in den Beispielen ein Taschenrechner verwendet.
Beispiele: a) Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel γ, Kathete a = 3 LE und α = 30◦ , gesucht sind b, c, hc , p, q und β (Abb.
3.27).
Nach dem Winkelsummensatz ist α + β =
90◦ ⇒ β = 60◦ . Weiter ist sin α = aq = ac , Abb. 3.9: Beispiel a)
woraus folgt
q = a · sin α = 3 ·
1
3
a
1
= LE und c =
= 3 : = 6 LE.
2
2
sin α
2
46
Dann ist p = c − q = 92 LE. Die Höhe und die Seiten b können mit dem Satz
des Pythagoras ermittelt werden:
√
3
3
⇒ hc =
LE
a2 = q 2 + h2c ⇒ h2c = a2 − q 2 = 27
4
2
√
und
a2 + b2 = c2 ⇒ b2 = c2 − a2 = 27 ⇒ b = 3 3 LE.
Bei Aufgaben dieser Art gibt es verschiedene Möglichkeiten, die fehlenden
Stücke zu berechnen.
b) Auch wenn andere Stücke des Dreiecks bekannt sind, können die übrigen
ermittelt werden. Hierzu nutzt man z. B. aus, dass durch die Höhen weitere
rechtwinklige Dreiecke im gegebenen Dreieck entstehen:
Bekannt seien von einem Dreieck γ = 90◦ , hc = 7, wγ = 9 LE. Berechne
alle Seiten und übrige Winkel.
Konstruiert man dieses Dreieck, ergeben sich zwei kongruente Möglichkeiten,
da man nicht weiß, auf welcher Seite der Höhe sich die Winkelhalbierende
befinden soll. Ebenso können alle Teile des Dreiecks rechnerisch ermittelt
werden, wobei jedoch die Reihenfolge mit der man die Winkel α und β bzw.
die Seiten a und b bezeichnet, über den Umlaufsinn des Dreiecks entscheidet.
Sei δ der Winkel, der von Höhe und Winkelhalbierender gebildet wird. Dann
können alle Winkel wie folgt ermittelt werden:
7
hc
=
wγ
9
◦
β = 45 − δ = 6,06◦
cos δ =
⇒
⇒
δ ≈ 38,94◦
⇒
α = 90◦ − β ≈ 83,94◦ .
Nun werden die Seiten mittels der Seitenverhältnisse berechnet:
cos β =
hc
b
⇒
cos α =
hc
a
⇒
sin α =
a
c
⇒
oder alternativ Pythagoras:
7
≈ 7,04 LE
cos(6,06◦ )
7
a=
≈ 66,33 LE
cos(83,94◦ )
66,33
c=
≈ 66,7 LE
sin(83,94◦ )
p
c = 66,332 + 7,042 ≈ 66,7 LE.
b=
47
?
Aufgabenbeispiele: Zwei weitere Beispiele
für Berechnungen:
a) Bekannt seien γ = 90◦ , wα = 8 LE, α = 50◦ .
Wie groß sind a, b, c und β?
Mit dem Winkelsummensatz wissen wir:
β = 40◦ .
Berechnung der Seiten:
b
α
Abb. 3.10: Beispiel b)
⇒ b = cos 25◦ · 8 ≈ 7,25 LE
cos( ) =
2
wα
b
cos 25◦ · 8
cos α =
⇒ c=
≈ 11,28 LE
c
cos 50◦
a2 = c2 − b2 ≈ 63,23 (Pythagoras) ⇒ a ≈ 7,95 LE.
b) Ein gleichschenkliges Dreieck habe Höhe h = 3 LE und Scheitelwinkel
β = 52◦ (Abb. 3.10). Gesucht seien Seitenlängen und Flächeninhalt.
Im Dreieck DBA gilt:
tan
b
β
= 2
2
h
und
cos
β
h
= .
2
s
Es folgt
β
= 2 · 3 · tan 26◦
2
3
=
cos 26◦
b = 2h · tan
s=
h
cos β2
Der Flächeninhalt berechnet sich mittels A =
4,39 FE.
1
2
⇒
b ≈ 2,93 LE.
⇒
s ≈ 3,34 LE.
·b·h =
1
2
· 6 · tan 26◦ · 3 ≈
Weitere Aufgaben umfassen alle möglichen verschiedenen Kombinationen von
bekannten Dreiecksstücken (z. B. in LS10, S. 142, S. 147, S. 148).
(7)
Sinus, Kosinus und Tangens auf dem gesamten Einheitskreis
Wir erinnern uns, dass Winkelgrößen nicht nur im Gradmaß, sondern auch
im Bogenmaß angegeben werden können. Deshalb kann man die Winkelfunktionen selbstverständlich ebenso für Winkel im Bogenmaß definieren.
(Zu beachten ist hierbei nur, dass bei Berechnungen mit dem Taschenrechner
48
zwischen den Einstellungen DEG für Gradmaß und RAD für Bogenmaß gewählt werden muss.)
Sinus und Kosinus sind auch definiert, wenn man den Punkt P über den
ersten Quadranten des Einheitskreises hinaus weiterbewegt, d. h. die Drehung des zugehörigen Radius um den Ursprung betrachtet. Der Winkel ϕ
liegt dann allerdings nicht mehr im Dreieck.
So bestimmt jeder Winkel 0 ≤ ϕ < 2π bzw. 0◦ ≤ ϕ < 360◦ seine Sinusund Kosinuswerte (Abb. 3.12).
Mit dieser Überlegung lässt sich leicht erkennen, was in den Fällen ϕ = 0
Abb. 3.12: Außerhalb des 1.
Quadranten
Abb. 3.11: Besondere Werte
oder ϕ = π/2 etc. passiert: ist z. B. ϕ = 0 liegt der Radius zum Punkt P (1, 0)
auf der x-Achse, im Fall ϕ = π/2 liegt der Radius zum Punkt P (0, 1) auf
der y-Achse, zusammengefasst ergibt dies
sin 0 = sin π = cos(π/2) = cos(3π/2) = 0
sin(π/2) = cos 0 = 1
sin(3π/2) = cos π = −1
tan 0 = tan π = 0.
Für ϕ = π/2 und ϕ = 3π/2 ist der Tangens nicht definiert, da dort der
Kosinus den Wert 0 annimmt und anschaulich der Radius parallel zur rechten
Kreistangente des Einheitskreises liegt, beide also keinen Schnittpunkt haben
(Abb. 3.11).
Zusammenfassend gilt: Sinus und Kosinus können nur Werte zwischen −1
und 1 annehmen, der Tangens wird beliebig groß und beliebig klein.
49
Was ist mit Winkeln außerhalb des Bereichs [0,2π)? Auch für negative Winkel und solche, die größer oder gleich 2π (360◦ ) sind, sind Sinus, Kosinus und
Tangens definiert. Dazu später.
Aufgabenbeispiele: Ab diesem Abschnitt sollten sowohl Aufgaben mit Winkeln im Bogenmaß als auch Winkeln im Gradmaß angeboten werden, evtl.
mit einem Schwerpunkt auf dem Bogenmaß, da dieses in der Schule seltener
verwendet wird, ein routinierter Umgang damit jedoch erforderlich ist.
a) Bestimmen aller Winkel 0◦ ≤ α ≤ 360◦ ohne Taschenrechner, für die gilt:
sin α = sin 10◦ ,
cos α = cos 150◦ , etc.
b) Ablesen von Winkeln am Einheitskreis , für die gilt:
sin α = 0,8,
cos α = −0,3,
√
tan α = 1, 3, etc.
c) Berechnen von Werten der Winkelfunktionen für gegebene Winkel.
d) Berechnen der Winkel aus gegebenen Werten der Winkelfunktionen.
e) Für welche Winkel α ist:
• sin α positiv und cos α negativ und umgekehrt?
• sin α ≤ 0,5 und cos α negativ?
• tan α ≤ 1 und cos α positiv?
• cos α = sin α
Weitere Aufgaben dieser Art finden sich z. B. bei LS10 S. 165, S. 167, S. 173,
S. 187.
(8)
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
Genauere Betrachtung des rechtwinkligen
Dreiecks im Einheitskreis führt uns zu einer
Reihe von wichtigen Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens.
Folgende Beziehung zwischen dem Sinus und
dem Kosinus eines Winkels ϕ haben wir bereits
gesehen. Sie folgt aus dem Satz des Pythagoras und wird Der trigonometrische Pythagoras
genannt (Abb. 3.13):
sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
50
Abb. 3.13: trigonometrischer
Pythagoras
Häufig wird diese kürzere Schreibweise sin2 ϕ anstelle von (sin ϕ)2 verwendet.
Betrachtet man entweder die x- oder die y-Achse als Symmetrieachse, lassen
sich aus diesen zwei Abbildungen folgende Beziehungen erkennen (Abb. 3.14,
3.15):
sin(π − ϕ) = sin ϕ
cos(π − ϕ) = − cos ϕ
tan(π − ϕ) = − tan ϕ
und
sin(−ϕ) = − sin ϕ
cos(−ϕ) = cos ϕ
tan(−ϕ) = − tan ϕ.
Da α = 90◦ − β erhält man durch Vertauschen der Bezeichnungen:
sin ϕ = cos(π/2 − ϕ)
cos ϕ = sin(π/2 − ϕ)
1
tan(π/2 − ϕ) =
,
tan ϕ
(ϕ 6= 0, π/2).
Abb. 3.15: 180◦ − ϕ
Abb. 3.14: −ϕ
Beispiel: Vor allem der trigonometrische Pythagoras eignet sich für Term-
51
vereinfachungen.
p
p
1 + cos β · 1 − cos β
p
= (1 + cos β)(1 − cos β)
p
= 1 − cos2 β
q
= sin2 β
= ± sin β
?
Aufgabenbeispiele:
a) An dieser Stelle können weitere Termvereinfachungen wie im Beispiel geübt werden:
cos σ
sin2 σ + cos2 σ
1
cos σ
= sin σ + cos σ ·
=
=
.
sin σ +
tan σ
sin σ
sin σ
sin σ
b) Des Weiteren können einfache Aufgaben angeboten werden, mit Hilfe derer die Beziehungen eingeprägt werden können. So kann z. B. gefragt werden:
• Welche der gegebenen Werte sind gleich sin(−25◦ )?
Antwort: sin(25◦ ), sin(155◦ ), sin(205◦ ).
• Welche dieser gegebenen Beziehungen stimmt nicht?
• Gelten in jedem Dreieck mit γ = 90◦ die Beziehungen sin α = cos β
und cos α = sin β?
• Man bestimme cos α bzw. sin α ohne den Winkel selbst
zu bestimm√
√
1
3
ten (ohne Taschenrechner): sin α = 5 , sin α = 4 5, cos α = 13 2,
5
cos α = 13
.
(9)
Besondere Werte
Mit Hilfe der uns jetzt schon bekannten Beziehungen zwischen Sinus und
Kosinus können wir einige besondere Werte ermitteln.
1) Bereits bekannt ist:
sin 0 = sin π = cos π/2 = cos 3π/2 = 0
sin π/2 = cos 0 = 1
sin 3π/2 = cos π = −1.
52
2) Wegen cos 45◦ = sin 45◦ > 0 und cos2 45◦ + sin2 45◦ = 1 ist
1
cos 45◦ = sin 45◦ = √ .
2
3) (Abb. 3.16) Am gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge 1 erkennt man
1
cos 60◦ = sin 30◦ = .
2
Begrï¿ 12 ndung: Die Winkel des gleichseitigen Dreiecks sind α = β = γ =
60◦ . Trägt man z. B. die Höhe hc ein, die zugleich Winkelhalbierende von
γ und Mittelsenkrechte zu c ist, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck mit
Hypothenusenlänge 1 und den Winkeln α = 60◦ und γ2 = 30◦ .
4) Aus 3) erhalten wir wegen cos2 60◦ + sin2 60◦ = 1 folgende Werte
√
3
◦
◦
sin 60 = cos 30 =
.
2
Zusammenfassend haben wir folgende Werte erhalten:
α
0◦ = 0
30◦ =
cos α
1
sin α
0
1
2
tan α
0
√1
3
√
(10)
3
2
π
6
45◦ =
√
2
2
√
2
2
1
π
4
60◦ =
1
2
π
3
90◦ =
π
2
0
√
3
2
1
√
3
Additionstheoreme
Für die Summe zweier Winkel α und β gelten folgende Additionstheoreme:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
Begrï¿ 12 ndung: (Abb. 3.17, 3.18, 3.19) Seien Pα und Pβ die Punkte auf dem
Einheitskreis mit den Koordinaten (cos α, sin α) bzw. (cos β, sin β), die zu
den Winkeln α und β gehören. Dreht man nun den Punkt Pβ um α, erhält
man den Punkt
Pα+β (cos(α + β), sin(α + β)).
53
Abb. 3.16: zu 3
Abb. 3.17: Additionstheoreme 1
Diese Koordinaten setzen sich jedoch aus den Teilstücken cos α cos β−sin α sin β
bzw. sin α cos β+cos α sin β zusammen, was man an den jeweiligen rechtwinkligen Dreiecken im 2. und 3. Bild erkennen kann. So kommt z. B. sin α sin β im
3. Bild folgendermaßen zustande: der im grünen Dreieck eingetragene Winkel
ist
90◦ − α − (90◦ − (α + β)) = β
und die Hypotenuse hat Länge sin α. Also ist die Gegenkathete von β gleich
sin β sin α.
Abb. 3.19: Additionstheoreme 3
Abb. 3.18: Additionstheoreme 2
Mit Hilfe der Additionstheoreme kann man dann auch Werte wie cos(2α)
oder sin(α/2) berechnen und somit aus den Hauptwerten sukzessive immer
mehr Werte erhalten. Auf diese Weise können Tabellen für die Winkelfunktionen erstellt werden. Heute greift man stattdessen gerne auf Taschenrech54
ner oder Computer zurück. Doch auch diese benötigen bestimmte Verfahren,
wenn auch andere, zur Berechnung der Winkelfunktionswerte.
Beispiele:
a) Der Sinuswert für 75◦ kann folgendermaßen berechnet werden.
sin 75◦ = sin(30◦ + 45◦ )
= sin 30◦ · cos 45◦ + cos 30◦ · sin 45◦
√
√ √
1
2
3
2
+
·
= ·
2 2
2
2
√
1 √
= ( 2 + 6)
4
b) So geht man bei cos(2α) vor:
cos(2α) = cos(α + α)
= cos α · cos α − sin α · sin α
= cos2 α − sin2 α
= 1 − sin2 α − sin2 α
= 1 − 2 sin2 α
?
Aufgabenbeispiele: Hier gibt es verschiedene kleine Beweise wie in Beispiel
b), die man mit Hilfe der Additionstheoreme durchführen kann.
Auf folgende Weise kann die Beziehung
sin(α + β + γ) = sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ
+ cos α cos β sin γ − sin α sin β sin γ
gezeigt werden:
sin(α + β + γ) = sin(α + (β + γ))
= sin α cos(β + γ) + cos α sin(β + γ)
= sin α · (cos β cos γ − sin β sin γ)
+ cos α · (sin β cos γ + cos β sin γ)
= sin α cos β cos γ − sin α sin β sin γ
+ cos α sin β cos γ + cos α cos β sin γ.
Für weitere Aufgaben sei z. B. auf LS10, S. 170 verwiesen. Das Berechnen
von weiteren Werten wie in Beispiel a) ist eine weniger sinnvolle Übung, da
hierbei auf den Taschenrechner zurückgegriffen werden kann.
55
(11)
Winkel außerhalb [0,2π)
Kommen wir zur Drehung des Radius mit Endpunkt P auf dem Einheitskreis zurück. Dann gibt es außer den Drehungen um Winkel 0 ≤ ϕ < 2π
Drehungen mit negativem Drehwinkel (Drehungen mit dem Uhrzeigersinn)
und Drehungen um mehr als eine ganze Drehung (ϕ > 2π). In beiden Fällen
können jedoch nur Punkte des Einheitskreises „getroffen“ werden, die schon
zu einem Polarwinkel ϕ ∈ [0, 2π) gehören (vgl. „Addition von Winkeln“). Also müssen wir uns nur Fragen, wie dann die Winkelfunktionen für Winkel
außerhalb [0, 2π) zu denen innerhalb [0, 2π) in Beziehung stehen.
Für negative Drehwinkel haben wir dies bereits getan. Zur Erinnerung:
sin(−ϕ) = − sin ϕ
cos(−ϕ) = cos ϕ
tan(−ϕ) = − tan ϕ.
Für Winkel 0 ≤ ϕ < 2π gilt (Abb. 3.20):
sin(ϕ + k · 2π) = sin ϕ
cos(ϕ + k · 2π) = cos ϕ
tan(ϕ + k · π) = tan ϕ
(k ∈ Z).
Diese Periodizität lässt sich jedoch leichter mit den trigonometrischen Funktionen in der Analysis erklären.
Aufgabenbeispiele: Wie bei den Beziehungen der Winkelfunktionen handelt es sich um bloße Wiederholung der erläuterten Zusammenhänge zwecks
Einprägung. So ist erneut eine mögliche Art der leichten Übung die Angabe
von Winkeln, die den gleichen Wert der angegebenen Winkelfunktion besitzen:
sin 36◦ =? = sin 396◦ = − sin(−36◦ ),
1
cos(−π/5) =? = cos π/5 = cos 2 π,
5
2π
2π
5π
tan
=? = − tan(− ) = tan
3
3
3
(12)
etc.
Sehr kleine Winkel
Für die meisten ist der Umgang mit Winkeln im Bogenmaß nicht so vertraut
wie mit Winkeln im Gradmaß. Das Bogenmaß weist jedoch in manchen Situationen deutliche Vorteile auf, wie z. B. bei sehr kleinen Winkeln.
56
Abb. 3.21: Sinus und Bogen des
Einheitskreises
Abb. 3.20: übervolle Winkel
Am Einheitskreis kann folgender Zusammenhang beobachtet werden:
sin ϕ ≤ ϕ ≤ tan ϕ.
Für sehr kleine Winkel verschwindet dieser Unterschied und Bogenmaß, Sinus
und Tangens stimmen ungefähr überein (Abb. 3.21):
sin ϕ ≈ ϕ ≈ tan ϕ.
Dass der Sinus und der Tangens bei Winkeln kaum größer Null gleich sind,
lässt sich an folgender Überlegung erkennen: da wir wissen, dass der Kosinus
des Winkels gegen 1 strebt, wenn dieser gegen Null geht, wissen wir auch
tan ϕ
= cos ϕ → 1
sin ϕ
(ϕ → 0),
was eben die Gleichheit von Tangens und Sinus bedeutet.
Beispiele: Betrachten wir einige Winkel:
a) α = 1◦ =
π
180
≈ 0,017453 mit
sin
π
≈ 0,017452 und
180
tan
π
≈ 0,017455.
180
Nur, wenn man auf die sechste Nachkommastelle genau rundet, gibt es
noch einen Unterschied zwischen dem Bogen und seinen Sinus- und Tangenswerten. Dieser ist in vielen Zusammenhängen klein genug, um vernachlässigt werden zu können.
57
b) β = 5◦ =
π
36
≈ 0,08727 mit
π
π
sin
≈ 0,08716 und tan
≈ 0,08749.
36
36
Hier besteht schon bei der vierten Nachkommastelle ein Unterschied.
c) γ = 10◦ =
π
18
≈ 0,17453 mit
π
π
≈ 0,17365 und tan
≈ 0,17633.
sin
18
18
Auch dieser Unterschied bereits bei der dritten Nachkommastelle ist nach
einer Physiker-Faustregel gerade noch vertretbar.
?
Aufgabenbeispiele: Um die erläuterte Gleichheit zu verinnerlichen, könnte
ein Vergleich von Winkel im Bogenmaß und seinem Sinus- bzw. Tangenswert
bei weiteren kleinen Winkeln erfolgen und z. B. die Nachkommastelle abgefragt werden, auf die gerundet werden muss, um einen Unterschied zwischen
den Werten zu erkennen.
(13)
Weiterführende Aufgaben
Hier sollen Aufgaben zur gesamten Einheit vorgestellt werden, die über das bloße Wiederholen und Einüben des behandelten Stoffes hinausgehen.
• Teilt eine Seitenhalbierende oder eine
Winkelhalbierende ein Dreieck in zwei
flächengleiche Teildreiecke? Wenn ja,
warum?
(Die Aussage trifft auf die Seitenhalbierende zu.
Abb. 3.22: weiterführende
Begrï¿ 21 ndung: Wir betrachten das Drei- Aufgabe
eck ABC mit Seitenhalbierende sa (Abb.
3.22). Das Dreieck hat Flächeninhalt A = c · hc mit hc = a · sinβ. Das
Teildreieck mit Seiten c, sa und a/2 hat die gleiche Grundseite c. Es
muss demnach nur gezeigt werden, dass seine Höhe h = 12 · hc . Die Höhe
h ist Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks und damit ist h = a2 · sin β.
Daraus folgt die Behauptung.)
• Sind ähnliche rechtwinklige Dreiecke mit zwei gleichen Seiten kongruent?
• Warum folgt aus a2 = c · p und h2 = p · q nicht, dass das Dreieck ABC
in γ einen rechten Winkel hat (KK, S. 116)?
58
Test
In dem Test sollen zum einen die Definitionen und Aussagen der Sätze abgefragt werden. Zum anderen sollten einfache Fragen und Rechenaufgaben wie
in den jeweiligen Aufgaben vorkommen. Wichtig erscheint auch die Abfrage
einiger markanter Werte und Beziehungen der Winkelfunktionen.
3.4
(1)
Alternativer Zugang zu trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
Einstiegsbeispiel „Kistenstapel“
Schreinerlehrling Max soll aufräumen. Die folgenden dreieckigen Kisten gehören zu verschiedenen Kistenstapeln, bei denen alle kleineren Kisten in die
nächst größere gestapelt werden können 4 (Abb.). Welche Kisten gehören zu
dem gleichen Stapel? Nach welchen Kriterien hat Max wohl die Kisten sortiert? Was gilt für die Kisten eines Stapels? (Antworten:
• sie haben die gleiche Form.
• sie sind unterschiedlich groß.
• sie haben verschiedene Lagen.
• sie haben alle die gleichen Winkel.)
Nun schauen wir uns die Seitenverhältnisse a : b, a : c und b : c der verschiedenen rechtwinkligen Dreieckskisten an:
4
Für die verschiedenen Aufgaben dieses Einstiegsbeispiels werden jeweils Abbildungen
der „Dreieckskisten“, also Dreiecke mit erkennbaren, den Angaben in den Aufgabenstellungen entsprechenden Seitenlängen, benötigt. Auf diese wurde hier aus Platzgründen verzichtet. An der jeweiligen Stelle gibt es einen Vermerk darauf, dass dort eine Abbildung
stehen sollte.
59
Stapel 1 (α = 30◦ ) a : c
b:c
a:b
88,3
102
= 0,866
51
88,3
= 0,578
= 0,5
69,3
80
= 0,866
40
69,3
= 0,577
36
72
= 0,5
62,4
72
= 0,867
36
62,4
= 0,577
25
50
= 0,5
43,3
50
= 0,866
25
43,3
= 0,577
=1
Dreieck 1
51
102
Dreieck 2
40
80
Dreieck 3
Dreieck 4
= 0,5
Stapel 2 (α = 45◦ )
Dreieck 1
100
141,4
= 0,707
100
141,4
= 0,707
100
100
Dreieck 2
80
113,1
= 0,707
80
113,1
= 0,707
80
80
=1
Dreieck 3
60
84,9
= 0,707
60
84,9
= 0,707
60
60
=1
Dreieck 4
30
42,4
= 0,708
30
42,4
= 0,708
30
30
=1
Dreieck 1
17,1
50
= 0,342
47,0
50
= 0,94
17,1
47
= 0,364
Dreieck 2
13,7
40
= 0,343
37,6
40
= 0,94
13,7
37,6
= 0,364
Dreieck 3
10,3
30
= 0,343
28,2
30
= 0,94
10,3
28,2
= 0,365
Stapel 3 (α = 20◦ )
Was stellen wir fest? Gibt es dafür eine Erklärung? (Antworten:
• bei jedem Stapel sind entsprechende Verhältnisse gleich groß.
• bei unterschiedlichen Stapeln sind entsprechende Verhältnisse nicht unbedingt gleich groß.
• es hängt von dem Stapel (damit von den spitzen Winkeln) ab, welche
Seitenverhältnisse die Dreiecke aufweisen.
• die Dreiecke eines Stapels sind ähnlich.
• ähnliche rechtwinklige Dreiecke haben die gleichen spitzen Winkel.
• ähnliche rechtwinklige Dreiecke haben die gleichen Seitenverhältnisse.)
60
Überlege, welche der folgenden rechtwinkligen Dreieckskisten zu dem Stapel
mit einer Dreieckskiste mit Hypotenuse a = 15 cm und Kathete c = 7,5 cm
passt und vergleiche deine Vermutung danach mit ihren Abbildungen:
Hypotenuse a Kathete b
4 cm
Dreieck 1
Dreieck 2
√
17 5 cm
Dreieck 3
5m
Dreieck 4
26 14 cm
Kathete c
c:a
3 cm
1
2
√
2,5 3 m
13,125 cm
(Antwort: : Dreiecke 2, 3 und 4 gehören in den Stapel. (Abb.))
Nun soll Max zu dieser Kiste (Hypotenuse b = 50 cm, Kathete a = 28,7 cm
und Kathete c = 41 cm) 4 kleinere Kisten bauen. Gib ihre Maße an?
(Antwort: Alle weiteren Dreiecke müssen die Seitenverhältnisse ab = 0,574, cb =
0,82, ac = 0,7 haben.)
Als letzte Aufgabe hat Max die Anweisung, einen Kistenstapel zu bauen, bei
dem die längste Seite der kleinsten Kiste c = 25 cm lang ist und der Winkel
α = 40◦ . Reichen diese Angaben? Wie kann Max vorgehen, um die übrigen
Längen zu ermitteln?
Wenn wir wüssten, in welchem Seitenverhältnis die Katheten zur Hypotenuse bei einem rechtwinkligen Dreieck mit spitzem Winkel α = 40◦ stehen,
könnten wir die beiden Katheten wie oben berechnen. Wie wir das Seitenverhältnis herausfinden können, werden wir nun sehen.
Wir haben bisher Folgendes herausgefunden: rechtwinklige Dreiecke, die in
einem spitzen Winkel (und wegen dem Winkelsummensatz in beiden) übereinstimmen, haben die gleichen Seitenverhältnisse. Diese Dreiecke sind ähnlich. Einem bestimmten Winkel können also eindeutige Seitenverhältnisse
zugeordnet werden und umgekehrt (Abb. 3.23). Daher bekommen diese Seitenverhältnisse eigene Namen:
„Gegenkathete“
,
„Hypotenuse“
„Ankathete“
,
cos α =
„Hypotenuse“
„Gegenkathete“
sin α
tan α =
=
,
„Ankathete“
cos α
sin α =
cos α 6= 0.
Abb. 3.23:
rechtwinkliges Dreieck
mit Bezeichnungen
61
Mit Hilfe dieser Winkelfunktionen können wir Max schnell helfen:
a
= sin α
c
b
= cos α
c
TR
⇒
a = sin 40◦ · 25 = 16,1 cm
⇒
b = cos 40◦ · 25 = 19,2 cm
TR
Die Werte für sin 40◦ ≈ 0,643 und cos 40◦ ≈ 0,766 liefert ein Taschenrechner
(oder eine Wertetabelle). Damit weiß Max, wie die kleinste Kiste aussieht.
Bei allen weiteren Kisten müssen die Seiten auch im Verhältnis ac = 0,643
und cb = 0,766 stehen.
Welche spitzen Winkel hat eine Kiste mit a = 10 cm, b = 8 cm und c = 6 cm,
die den rechten in α hat? Ein Taschenrechner liefert mit den Tasten sin−1
und cos−1
c
6
b
8
= arccos
= arcsin = arcsin
≈ 53,13◦ ⇒
a
10
a
10
c
6
b
8
arcsin = arcsin
= arccos = arccos
≈ 36,87◦ ⇒
a
10
a
10
arccos
β = 53,13◦
α = 36,87◦
Als Probe können wir rechnen 53,13◦ + 36,87◦ = 90◦ .
(2)
Weitere Beispiele
Leitern a) Aus Sicherheitsgründen sollen
Leitern in einem Winkel von etwa 15◦ an die
Wand gestellt werden. Welchen Abstand d von
der Wand sollte danach eine 5 m lange Leiter
am Boden aufweisen?
Antwort: Es gilt sin 15◦ = d5
⇒
d =
5 · sin 15◦ ≈ 1,294. Der Abstand sollte also etwa 1,30 m betragen (vgl. NW10, S. 149).
Schuppendach.png
b) Eine Leiter lehnt in einer Höhe von 3,75 m
unter einem Winkel von 37◦ an einer Hauswand. Wie lang ist die Leiter und wie weit ist
ihr Fußpunkt vom Haus entfernt?
Antwort: Die Leiter ist ungefähr
3,75 m
4,70 m(≈ cos
) lang und ihr Abstand zum Abb. 3.24: Schuppendach
37◦
Haus beträgt 2,83 m (≈ tan 37◦ · 3,75 m).
62
Schuppendach Es soll ein Geräteschuppen folgendermaßen an ein Haus
angebaut werden: (Abb. 3.24) Das Dach soll 50 cm vorstehen und die gleiche Neigung von 36◦ wie das Hausdach haben. Vorhandene Balken von 3,5 m
Länge sollen für die Dachfläche verwendet werden. Wie breit kann der Schuppen sein (b) und wie hoch ist das Dach an der höchsten Stelle (a)?
Antwort:
a
= sin 36◦
⇒
a ≈ 1,76 m
3m
b
= cos 36◦
⇒
b ≈ 2,43 m.
3m
Der Schuppen wird 1,76 m breit und sein Dach 2,43 m hoch (vgl. NW10,
S. 147).
Flugzeugstart Der Pilot eines Passagierflugzeugs muss besonders direkt
nach dem Start darauf achten, dass eine Steigung von 23% nicht überschritten wird. Die Steigung von 23% = 0,23 wird als Quotient von Höhen- und
Horizontalunterschied berechnet (vgl. [7]) :
Höhenunterschied
.
Horizontalunterschied
Der Pilot stellt jedoch nur das Steigungsmessgerät im Cockpit ein, welches
angibt, welcher Winkel zwischen Flugstrecke und Horizontale gebildet werden
soll. Ist eine Einstellung von 16◦ zulässig oder nicht?
Antwort:
tan 16◦ ≈ 0,2867 = 28,67 %
Steigung =
Eine Steigung von 16◦ wäre folglich zu stark, wenn nicht der tatsächliche
Ansteigwinkel aufgrund von Windrichtung, -stärke und Luftdruck geringer
wäre. Bei einem um 3◦ kleineren tatsächlichen Ansteigwinkel ergibt sich eine
Steigung von
tan 13◦ ≈ 0,2309 = 23,09 %.
Schatten a) Ein 2 m langes Sonnensegel ist mit einer Neigung von 32◦
befestigt. Wie lang ist der Schatten, den es bei vertikaler Sonneneinstrahlung
auf den Boden wirft?
Antwort: Die Länge l des Schattens berechnet sich als l = cos 32◦ · 2 ≈ 1,696.
Der Schatten ist demnach ungefähr 1,70 m lang.
b) Wie lang ist der Schatten eines 18 m hohen Fahnenmastes, wenn die Sonne
ca. 52◦ über dem Horizont steht?
18 m
≈ 14,06 m
Antwort: Die Länge l des Schattens lässt sich als l = tan
52◦
ermitteln.
63
Steigung a) Um wie viele Meter steigt eine
Straße mit dem Steigungswinkel α = 3,2◦ bei
einer Fahrstrecke von f = 600 m an?
Antwort: Der Höhenunterschied beträgt
sin 3,2◦ · 600 m ≈ 33,49 m.
Strassensteigung.png
b) Radrennfahrer überwinden bei Bergetappen
Pässe mit bis zu 18% Steigung. Könnten die
Radfahrer schwarze Skipisten mit 22◦ bis 29◦ Gefälle überwinden?
Antwort: Es ist arctan 0,18 ≈ 10,2◦ . Das bedeutet, dass Skipisten um mehr
als das Doppelte steiler als das für Radfahrer überwindbare Gefälle sind.
Abb. 3.25: Straßensteigung
Skiflugschanze (vgl. [7]) In Oberstdorf befindet sich eine der höchsten
Skiflugschanzen der Welt. Sie hat eine Anlauflänge von 113 m und eine Neigung von 39◦ . In welcher Höhe starten die Skiflieger ?
≈ 71,11. Es wird ein Höhenunterschied von 71,11 m
Antwort: Es ist sin113
39◦
überwunden.
Um wie viele Meter wurde die Anlaufbahn im zweiten Durchgang aufgrund zu hoher Weiten im ersten Durchgang verkürzt, wenn die Sportler nun
aus einer Höhe von 67,97 m starten?
m
Antwort: Wegen 67,97
= 108,00 m, wurde die Anlaufbahn also im zweiten
sin 39◦
Versuch um 5 m verkürzt.
Höhe eines Turms In welcher waagerechten Entfernung vom Fußpunkt
erscheint die Turmspitze des Straßburger Münsters (h = 142 m) unter einem
Höhenwinkel von 12◦ ?
Antwort: Da tan14212◦ ≈ 668,06 handelt es sich etwa um eine Entfernung von
668 m.
Zugbrücke Wie lang muss die Kette einer 13,7 m langen Zugbrücke sein,
wenn sie mit der Burgmauer einen Winkel von 43◦ einschließt?
13,7 m
Antwort: Die Kette muss sin
≈ 20,09 m lang sein (vgl. [7]).
43◦
Breite eines Flusses
a) Um die Breite eines Flusses zu ermitteln, wurde an einem Flussufer eine
Strecke 95 m abgesteckt und an einem der Enden der Visierwinkel α = 36◦
gemessen. Wie breit ist der Fluss?
64
Antwort: Wir erhalten eine Breite von etwa tan 36◦ · 95 m ≈ 69 m (vgl.
[7]).
b) Ein 40 m hoher Turm ist 64 m vom Ufer eines Flusses entfernt. Vom
Aussichtspunkt 8 m unter der Turmspitze aus erscheint die Flussbreite
unter dem Sehwinkel α = 4,8◦ . Wie breit ist der Fluss an dieser Stelle
(Abb. 3.26)?
Antwort: Wir ermitteln zunächst den Winkel β mit
64 m
= 2 ⇒ β ≈ 63,4◦ .
32 m
Demnach beträgt die Entfernung vom Fuß des Turmes zum weiter entlegenen Flussufer 32 m · tan 68,2◦ ≈ 80 m. Der Fluss ist folglich 16 m breit.
tan β =
BreiteeinesFlusses.png
Abb. 3.26: Breite des Flusses
b)
(3)
Abb. 3.27: rechtwinkliges Dreieck mit
Hypotenusenabschnitten
Beispiele an rechtwinkligen Dreiecken
Anstatt Dreiecke zu konstruieren, können wir jetzt viele unbekannte Stücke
berechnen.
a) Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel γ, Kathete
a = 3 cm und α = 30◦ . Wie groß sind b, c, h, p, q und β (Abb. 3.27)?
Antwort: Winkelsummensatz: α + β = 90◦ ⇒ β = 60◦ ,
sin α = aq ⇒ q = a · sin α = 3 cm · 21 = 1,5 cm,
√
3 3
Pythagoras: a2 = q 2 + h2 ⇒ h2 = a2 − q 2 = 27
⇒
h
=
cm ≈ 2,6 cm,
4
2
a
a
sin α = c ⇒ c = sin α = 3 cm : 1/2 = 6 cm,
√
Pythagoras: a2 + b2 = c2 ⇒ b2 = c2 − a2 = 27 ⇒ b = 3 3 cm ≈ 5,2 cm,
p = c − q = 92 cm = 4,5 cm.
65
b) Auch wenn andere Stücke des
Dreiecks bekannt sind, können die
anderen ermittelt werden, hierzu
nutzt man z. B. aus, dass durch die
Höhen weitere rechtwinklige Dreiecke im gegebenen Dreieck entstehen:
Schauen wir uns die Vorgaben γ =
90◦ , hc = 7 m, wγ = 9 m an. Gesucht seien alle Seiten und übrige
Winkel.
Antwort: Konstruiert man dieses Abb. 3.28: b)
Dreieck, ergeben sich zwei kongruente Möglichkeiten, da man nicht weiß, auf welcher Seite der Höhe sich die
Winkelhalbierende befinden soll. Ebenso können alle Teile des Dreiecks rechnerisch ermittelt werden, wobei jedoch die Reihenfolge mit der man die Winkel α und β bzw. die Seiten a und b bezeichnet, über den Umlaufsinn des
Dreiecks entscheidet.
Sei δ der Winkel, der von Höhe und Winkelhalbierender gebildet wird. Dann
können alle Winkel wie folgt ermittelt werden:
7
hc
=
⇒ δ ≈ 38,94◦
wγ
9
β = 45◦ − δ = 6,06◦ ⇒ α = 90◦ − β = 83,94◦
cos δ =
⇒
Nun werden die Seiten mittels der Seitenverhältnisse berechnet:
hc
b
hc
cos α =
a
a
sin α =
c
7m
≈ 7,04 m
cos(6,06◦ )
7m
⇒ a=
≈ 66,33 m
cos α
66,33
⇒ c=
≈ 66,7
sin(83,94◦ )
p
oder alternativ Pythagoras: c = (66,33 m)2 + (7,04 m)2 ≈ 66,7 m.
cos β =
(4)
⇒ b=
Aufgabenbeispiele
Es gibt unzählige zu den Beispielen ähnliche Aufgaben. Die folgenden Ideen
werden teilweise ohne Lösung vorgestellt:
66
a) Ein Güterzug kann höchstens eine Steigung von ca. 4% überwinden. Wie
groß ist der Steigungswinkel α? Auf welcher Länge l muss ein Bahndamm
vor einer Brücke aufgeschüttet werden, die 20 m hoch ist?
b) Unter welchem Höhenwinkel ϕ sieht man aus 0,8 km Entfernung die Spitze
des Kölner Doms (h = 157 m)? (Variante: Entsprechende Aufgabe zum
Aachener Dom.)
c) Einem Beobachter erscheint ein 60 m breites Gebäude unter einem Sehwinkel von 18,4◦ . Wie weit steht er vom Gebäude entfernt?
d) Von einem Dreieck mit γ = 90◦ , wα = 8 cm und α = 50◦ wollen wir die
Seitenlängen und den Winkel β berechnen.
Antwort: Mit dem Winkelsummensatz wissen wir: β = 40◦ .
Berechnung der Seiten:
b
α
cos( ) =
2
wα
b
cos α =
c
Pythagoras: a2 = c2 − b2 ≈ 63,23
⇒ b = cos 25◦ · 8 ≈ 7,25 cm
cos 25◦ · 8
≈ 11,28 cm
cos 50◦
⇒ a ≈ 7,95 cm
⇒ c=
e) Von einem gleichschenkligen Dreieck mit Höhe h = 3 m und Scheitelwinkel β = 52◦ wollen wir die Seitenlängen und den Flächeninhalt bestimmen.
b
Antwort: Im Dreieck DBA gilt:
tan β2 = h2
⇒
b = 2h · tan β2 = 2 · 3 · tan 26◦ ⇒ b ≈ 2,93 m
cos β2 = hs ⇒ s = cosh β = cos326◦ ⇒ s ≈ 3,34 m
2
A = 21 · b · h = 12 · 6 m · tan 26◦ · 3 m ≈ 4,39 m2
(5)
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
Wenn man verschiedene Winkelgrößen in den Taschenrechner eingibt, kommen folgende gerundete Werte heraus:
ϕ
0◦
10◦
20◦
30◦
40◦
45◦
50◦
60◦
70◦
80◦
90◦
sin ϕ
0
0,174
0,342
0,5
0,643
0,707
0,766
0,866
0,94
0,985
1
cos ϕ
1
0,985
0,94
0,866
0,766
0,707
0,643
0,5
0,342
0,174
0
tan ϕ
0
0,176
0,364
0,577
0,839
1
1,192
1,732
2,747
5,671
67
∧
Betrachte folgenden interaktiven Einheitskreis (1 LE = 10 cm)im 1. Quadranten5 . Was beobachtest du, wenn du den Punkt P auf der Kreislinie entlangbewegst.
Welcher Zusammenhang besteht mit den tabellierten Werten? (Antworten:
• Der x-Achsenabschnitt und die Parallele zum y-Achsenabschnitt des
Punktes P bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Radius des Kreises als Hypotenuse.
• Die Länge der Hypotenuse bleibt gleich.
• Das rechtwinklige Dreieck mit dem Tangentenabschnitt der Tangente
x = 1 als Kathete ist ähnlich zum ersten Dreieck.
• Die Sinuswerte geteilt durch 10 entsprechen der y-Koordinate des Punktes P .
• Die Kosinuswerte geteilt durch 10 entsprechen der x-Koordinaten des
Punktes P .
• Die Länge des Tangentenabschnittes der Tangente x = 1 entspricht den
Tangenswerten.
Schaue dir nun einmal die Wertetabelle noch einmal genauer an und bedenke
dabei besonders folgende Fragen:
• Entdeckst du einen Zusammenhang zwischen Sinus- und Kosinuswerten? (Antwort: sin ϕ = cos(90◦ − ϕ) und cos ϕ = sin(90◦ − ϕ))
• Warum gibt es keinen Wert für tan 90◦ ? (Antwort: Die Verlängerung des
Radius des Einheitskreises hat keinen Schnittpunkt mit der Kreistangente, beide sind parallel. Daher ist der Tangentenabschnitt unendlich
lang.)
• Kann der Tangenswert durch Sinus- und Kosinuswerte ausgedrückt werden? Konzentriere dich dabei zunächst auf die Fälle ϕ = 0◦ , 45◦ , 90◦ .
sin ϕ
.)
(Antwort: tan ϕ = cos
ϕ
Wie sieht die Situation bei einem Kreis mit anderem Radius (z. B. r = 5 cm)
aus 6 ?
5
Hier muss ein interaktiver Einheitskreis hinzugefügt werden.
Hier muss entsprechend ein interaktiver Kreis mit verändertem Radius hinzugefügt
werden.
6
68
(6)
Überlegungen am Riesenrad
Der Aufhängepunkt einer Gondel
des Riesenrads startet im Punkt G.
Das Riesenrad hat einen Durchmesser von 60 m und den Abstand 1 m
von der Einstiegsplattform. In welcher Höhe h über der Einstiegsplattform befindet man sich je nach
Drehwinkel?
Riesenrad.png
Nachdem sich das Riesenrad z. B.
um 55◦ gegen den Uhrzeigersinn gedreht hat, stellt sich die Situation
wie folgt dar: Der Punkt G befindet
sich 31 m über der Plattform. Hinzu
kommen sin 55◦ · 30 m ≈ 24,57m.
Die Gondel befindet sich demnach
in einer Höhe von 55,57 m.
Abb. 3.29: Riesenrad
Betrachten wir als nächstes die Drehungen um 120◦ und um 235◦ :
Im ersten Fall befindet sich die Gondel in 31 m + sin 120◦ · 30 m ≈ 56,98 m
Höhe. Im zweiten gilt: 31 m + sin 235◦ · 30 m ≈ 5,43 m. Die folgende Tabelle
zeigt weitere (gerundete) Werte:
ϕ
100◦
115◦
140◦
160◦
180◦
200◦
220◦
240◦
260◦
300◦
sin ϕ
0,985
0,906
0,643
0,342
0
-0,342
-0,643
-0,866
-0,985
-0,866
h
60,54
58,19
50,28
41,26
31,00
20,74
11,72
5,02
1,46
28,4
Die Fortsetzung dieser Einheit beginnt nun mit (7) Sinus, Kosinus und Tangens auf dem gesamten Einheitskreis.
69
4
4.1
Trigonometrische Funktionen am allgemeinen
Dreieck
Inhaltliche Vorgaben und Ziele
In dieser Einheit werden der Kosinus- und Sinussatz aus den Erkenntnissen
der letzten Einheit über rechtwinklige Dreiecke hergeleitet und ihre Aussagen
vorgestellt. Es wird exemplarisch erläutert, auf welche Weise sie zur (eindeutigen) Bestimmung eines beliebigen Dreiecks verwendet werden können, wobei
die Kongruenzsätze wieder aufgegriffen werden. Über ausführliche Beispiele
und Aufgaben wird auf ein tieferes Verständnis der Relevanz für Berechnungen an allgemeinen Dreiecken sowie den routinierten Gebrauch der Sätze
abgezielt.
4.2
Hinweise zu dieser Einheit
Sowohl zum Kosinus- als auch zum Sinussatz gibt es ein Beispiel, das ihre
Anwendung verdeutlicht. Nach beiden Sätzen sind entsprechende Übungsaufgaben sinnvoll. Wichtiger ist jedoch das anschließende Üben von vermischten
Aufgaben, bei denen die Teilnehmer im Voraus nicht wissen, welcher Satz ihnen bei der Lösung weiterhilft. Dies soll in Abschnitt (3) geschehen.
Die „Fragen zum Nachdenken“ sind als fakultative Möglichkeit für diejenigen gedacht, die sich noch ausführlicher mit dem Thema beschäftigen
möchten. Bei der Realisierung in ILIAS sollten daher Tipps zum Lösungsweg, wenn überhaupt, nur Schritt für Schritt angegeben werden. Wird die
Lösung direkt mitgeliefert, verfehlen sie ihren Sinn.
4.3
Einheit 3: Trigonometrische Funktionen am allgemeinen Dreieck
Über diese Einheit
Wie helfen einem nun die Winkelfunktionen bei nicht-rechtwinkligen Dreiecken weiter? Man benutzt einen einfachen, ebenso genialen Trick: indem
man eine Höhe in das allgemeine Dreieck einzeichnet, erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke, deren schon bekannte Eigenschaften auf das allgemeine
Dreieck übertragen werden können. Dies soll in der vorliegenden Einheit geschehen.
Mit Hilfe der im Folgenden erläuterten Sätze Sinussatz und Kosinussatz, können die Berechnungen, die wir zunächst an rechtwinkligen Dreiecken
durchgeführt haben, auf beliebige Dreiecke ausgeweitet werden. Es können
70
also bei drei Angabenelementen die weiteren errechnet und nicht nur konstruiert werden. Wie man dies macht, werden Sie in Beispielen und Aufgaben
sehen.
(1)
Kosinussatz
Betrachten wir ein spitzwinkliges Dreieck mit Höhe hc (wir könnten genauso
gut eine andere Höhe auswählen), dessen Seiten und Winkel bekannt seien
(Abb. 4.1). Die Höhe teilt die gegenüberliegende Seite c in zwei Teilstrecken cα
und cβ . (Wie bei einem stumpfwinkligen Dreieck vorgegangen werden muss,
sieht man in Abb. 4.2). Drücken wir nun diese Strecken und die Höhe durch
Abb. 4.2: stumpfwinkliges Dreieck
mit Höhe hc
Abb. 4.1: spitzwinkliges Dreieck mit
Höhe hc
bereits Bekanntes aus, indem wir ausnutzen, dass sie zu zwei rechtwinkligen
Dreiecken gehören:
hc = a sin β,
cβ = a cos β,
cα = c − cβ = c − a cos β.
Nach Pythagoras gilt:
c2α + h2c = b2
⇒ (c − a cos β)2 + (a sin β)2 = b2
⇒ c2 + a2 (cos2 β + sin2 β) −2ac cos β = b2 .
|
{z
}
=1
Diesen Zusammenhang zwischen den Seiten eines allgemeinen Dreiecks nennt
man den
Kosinussatz: In jedem Dreieck ABC gilt:
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos α
b2 = c2 + a2 − 2ca · cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ
71
Zu den beiden anderen Formeln gelangt man, wenn man von einer andere
Höhe ausgeht.
Der Kosinussatz nochmal in Worten:
Das Quadrat über einer Dreiecksseite ist gleich der Summer der Quadrate der
beiden anderen Dreiecksseiten, wenn man von dieser das doppelte Produkt
der anderen Seitenlängen mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels abzieht.
Wie sich leicht erkennen lässt, ist der Kosinussatz eine Verallgemeinerung des
Satzes des Pythagoras, d. h. der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des
Kosinussatzes. (Ist z. B. in der ersten Formel α der rechte Winkel, so ist
cos α = 0 und wir erhalten den Satz des Pythagoras.)
Mittels dieses Satzes können nun bei einem beliebigen Dreieck bei bestimmten Kombinationen von mindestens drei bekannten Stücken die weiteren berechnet werden, so wie hier bei zwei Seiten und deren eingeschlossenem Winkel.
Beispiel: Gegeben seien α = 45◦ , b = 3 LE, c = 4 LE. Wie groß sind a, β
und γ?
Wendet man zweimal den Kosinussatz an, erhält man
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
√
⇒ a = 32 + 42 − 2 · 3 · 4 · cos 45◦ ≈ 2,83 LE
und weiter für den Winkel β
a2 + c 2 − b 2
2ac
◦
⇒ β = 48,47
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
⇒
⇒
cos β ≈ 0,663
cos β =
Der Winkelsummensatz liefert γ = 86,53◦ (SW, S. G50).
?
Aufgabenbeispiele: Hier sind alle Aufgaben möglich, die zu den Kongruenzsätzen SSS und SWS passen. Dies sollte jedoch an dieser Stelle noch nicht
erwähnt werden, da es erst in (3) weiter ausgeführt wird.
z. B. geg.: a = 9,7 LE, b = 14,2 LE, c = 12,3 LE;
ges.: α, β, γ (SW, S. G51).
72
Wende zweimal den Kosinussatz an:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
⇒
und
cos α =
b 2 + c 2 − a2
258,84
=
2bc
349,32
⇒
cos β =
a2 + c2 − b2
43,74
=
2ac
238,62
α ≈ 42,18◦
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
⇒
⇒
β ≈ 79,44◦ .
Damit ist γ ≈ 58,38◦ (Winkelsummensatz).
?
(Weitere Berechnungen dieser Art sind z. B. in LS10, S. 192 und in SW10,
S. G51 zu finden.)
(2)
Sinussatz
Bereits bekannt ist, wie man die Fläche eines beliebigen Dreiecks errechnet:
1
· „Grundseite“ · „Höhe“
2
aha
bhb
chc
=
=
=
2
2
2
bc sin α
ca sin β
(1) ab sin γ
=
=
=
.
2
2
2
A=
Leichte Umformungen führen uns zu der Erkenntnis, dass in jedem Dreieck
das Verhältnis zweier Seiten(längen) gleich dem Verhältnis der Sinuswerte
ihrer Gegenwinkel ist:
a
sin α
=
,
b
sin β
b
sin β
=
,
c
sin γ
c
sin γ
=
.
a
sin α
Weitere Vereinfachung führt zum
Sinussatz:
a
b
c
=
=
.
sin α
sin β
sin γ
In Worten:
Das Verhältnis von Seitenlängen und Sinus der gegenüberliegenden Winkel
ist in jedem Dreieck konstant.
73
Genauer ist das Verhältnis gleich dem
Durchmesser 2r des Umkreises des Dreiecks.
Die Begründung liefert der Umfangs- und
= sin γ, wie
Mittelpunktswinkelsatz mit c/2
r
an Abb. 4.3 zu sehen ist:
Auch der Sinussatz erweist sich bei Berechnungen an beliebigen Dreiecken als nützlich,
z. B. wenn wie im folgenden Beispiel eine
Seite und zwei Winkel des Dreiecks bekannt Abb. 4.3: Sinussatz
sind.
Beispiel: Bekannt seien von einem Dreieck α = 30◦ , β = 80◦ , a = 5 LE,
gesucht werden γ, b und c.
Mit dem Winkelsummensatz ist γ = 70◦ .
Nach zweimaliger Anwendung des Sinussatzes folgt:
und
b
a
=
sin α
sin β
a
c
=
sin α
sin γ
5 · sin 80◦
≈ 9,85 LE
sin 30◦
5 · sin 70◦
⇒ c=
≈ 9,40 LE
sin 30◦
⇒ b=
?
(SW, S. G48).
Aufgabenbeispiele: Hier sind alle Aufgaben möglich, die zu den Kongruenzsätzen WSW/SWW und SSW gehören (z. B. SW10, S. G49 und LS10,
S. 189). Bei letzterem ist erneut darauf hinzuweisen, dass bei Angabe des der
kürzeren Seite gegenüberliegenden Winkels kein eindeutiges Dreieck festlegbar ist.
(3)
Berechnungen an allgemeinen Dreiecken
Bei rechtwinkligen Dreiecken brauchten wir zur eindeutigen Festlegung zwei
weitere Stücke, davon mindestens eine Seite. Bei nicht-rechtwinkligen Dreiecken benötigen wir demnach drei Angaben, wobei mindestens eine davon
wieder eine Dreiecksseite sein muss. In zwei Beispielen haben wir schon gesehen, wie wir vorgehen können, wenn zwei Winkel und eine Seite bzw. zwei
Seiten und ein Winkel gegeben sind.
Die Zusammenfassung der verschiedenen Fälle haben wir schon in den Kongruenzsätzen kennengelernt.
74
Will man nun alle weiteren Stücke eines Dreiecks rechnerisch und nicht zeichnerisch bestimmen, verwendet man dabei im Wesentlichen den Satz des Pythagoras, den Winkelsummensatz, den Sinussatz und den Kosinussatz. Das
Vorgehen soll anhand zweier Kongruenzsätze ausgeführt werden.
Kongruenzsatz WSW: Wir gehen davon aus, dass wir von einem beliebigen
Dreieck eine Seite und die zwei anliegenden Winkel kennen, hier a, β und γ.
Dann bringt uns der Winkelsummensatz den dritten Winkel α = 180◦ −β −γ.
Weiterhin gilt in diesem Dreieck der Sinussatz mit sina α = sinb β = sinc γ . Umformen liefert
b=
a
· sin β
sin α
und c =
a
· sin γ.
sin α
Das Dreieck ist folglich eindeutig bestimmt.
Kongruenzsatz SSW: Der Satz besagt, dass der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sein muss. Wieso?
Schauen wir uns zunächst den anderen Fall an. Es seien bekannt a, b mit a < b
und α. Da der größere Winkel immer der größeren Seite gegenüberliegt, ist
α
β > α und damit 0◦ < β < 180◦ . Mit dem Sinussatz gilt sin β = b · sin
. Dann
a
gibt es drei Fälle:
1) sin β > 1 ⇒ keine Lösung
⇔ a < b · sin α
2) sin β = 1 ⇒ β = 90◦ , d. h. eine Lösung
⇔ a = b · sin α
3) sin β < 1 ⇒ zwei Lösungen, da 0◦ < β < 180◦ , β 6= 90◦ ⇔ a > b · sin α.
Nun sei der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben, hier a, b
mit a > b und α. Dann wissen wir, dass β < α sein muss. Wir folgern weiter,
dass β ein spitzer Winkel sein muss. Denn wäre β ≥ 90◦ , könnte α aufgrund
der Winkelsumme nicht mehr größer sein.
Bei der Berechnung von β treten die gleichen Fälle wie oben auf, die nun
nacheinander untersucht werden:
zu 1) Es kann nicht a < b · sin α sein, da sin α < 1 und b < a. Es gibt demnach mindestens eine Lösung.
zu 2) Dies ist ein Widerspruch zu β < 90◦ .
zu 3) Wenn β < 90◦ , liefert sin β < 1 eine eindeutige Lösung. Es sind demnach keine zwei Dreiecke möglich.
Dann kann γ = 180◦ − α − β ermittelt werden. Für die Berechnung von c
können entweder Sinus- oder Kosinussatz Verwendung finden:
p
a
· sin γ = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ.
c=
sin α
75
Das Dreieck kann im zweiten Fall eindeutig bestimmt werden, im ersten kann
es keine, eine oder zwei Lösungen geben. Vergleichen Sie die Erläuterungen
nochmals mit den Konstruktionen solcher Dreiecke.
Beispiel: a) Von einem Dreieck seien a = 16 LE, wγ = 12 LE und γ = 65◦
bekannt. Berechne die fehlenden Seiten und Winkel (LS10, S. 195).
In dem Hilfsdreieck (Abb. 4.4) mit Seiten wγ , a und cβ können wir zweimal den Kosinussatz anwenden:
γ
c2β = a2 + wγ2 − 2 · a · wγ · cos( ) ≈ 76,14
2
2
2
cβ + a − wγ2
cos β =
≈ 0,673
2 · cβ · a
⇒
cβ ≈ 8,73 LE,
⇒
β ≈ 47,7◦ .
Mit dem Winkelsummensatz erhalten wir anschließend α = 180◦ − 47,7◦ −
65◦ = 67,3◦ . Mit dem Sinussatz erhalten wir die Seiten b und c mit
b=
a
a
· sin β ≈ 12,83 LE und c =
· sin γ ≈ 15,72 LE.
sin α
sin α
Damit ist das Dreieck eindeutig bestimmt.
b) Es seien die Seiten a = 5 LE und b = 8 LE
bekannt sowie der Winkel β = 29◦ . Berechne die Länge der Seitenhalbierenden sc , den
Umfang U und den Flächeninhalt A des Dreiecks.
Bspax.png
Zunächst ermitteln wir α mittels Sinussatz:
sin α =
a · sin β
≈ 0,303
b
⇒
α ≈ 17,64◦ .
Abb. 4.4: Beispiel a)
Damit ist γ = 180◦ − 29◦ − 17,64◦ = 133,36◦ .
Weiter liefert der Kosinussatz
p
c = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ ≈ 12 LE.
Der Umfang U beträgt demnach a + b + c = 5 LE + 8 LE + 12 LE = 25 LE.
Durch erneute Anwendung des Kosinussatzes erhalten wir
r
c
c
sc = a2 + ( )2 − 2 · a · ( ) · cos β ≈ 2,92 LE.
2
2
76
Die Berechnung des Flächeninhalts erfolgt mit dem Sinussatz:
A=
ab · sin γ
≈ 14,54 FE.
2
?
Aufgabenbeispiele: a) An dieser Stelle stehen gemischte Übungen zu Berechnungen an beliebigen Dreiecken, bei denen Sinus- und Kosinussatz verwendet werden (z. B. LS10, S. 189-195). Besonders interessant sind solche
Aufgaben, bei denen z. B. Winkelhalbierende oder Höhen bekannt sind (z. B.
b = 4,5 LE, c = 5 LE, hc = 3 LE oder c = 160 m, ha = 91 m, wβ = 97 m,
LS10, S. 192).
b) Abfragen der Aussagen von Sinus- und Kosinussatz mit anderen Bezeichnungen oder Formulierungen.
c) Es seien drei Angabenelemente eines Dreiecks gegeben. Es soll entschieden
werden, mit welchem Satz man ein weiteres Element errechnen kann.
d) Fragen zum Nachdenken:
• „Sind ähnliche Dreiecke mit zwei gleichen Seiten kongruent?“ (Nein.
Gegeben seien zwei ähnliche Dreiecke mit Seiten a, b und c bzw. a0 , b0
und c0 . Angenommen, es gelte b0 = a und c0 = b, dann ist zu zeigen
a0 = c. Aufgrund der Ähnlichkeit gilt dann
a
b
=
a0
b0
und
a
c
=
a0
c0
⇔
a
b
=
a0
a
und
a
c
=
a0
a
⇔
a0 =
a2
b
und a0 =
a2
c
2
2
⇒ b = aa0 und c = aa0
und damit
b = c.
Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, da das Dreieck nicht gleichschenklig sein sollte.)
• „Sei S der Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Sind die Teildreiecke ABS,
BCS und CSA flächeninhaltsgleich? (Ja. Mit Hilfe des Sinussatzes
zeigt man, dass für die Höhe h eines Teildreiecks gilt h = 31 · hc . Dafür
benötigt man, dass S jede Schwerelinie im Verhältnis 2 : 1 teilt.)
• „Jede Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis
der anliegenden Seiten (KK, S. 118).“ (Ja. Beweis mit Sinussatz.)
• „Kann man ein Dreieck aus gegebenem Flächeninhalt und zwei Seitenlängen stets eindeutig konstruieren (KK, S. 119)?“ (Ja. Beweis mit
Sinussatz und Kongruenzsatz SWS.)
77
Test
In dem Test sollen zum einen die Aussagen der Sätze abgefragt werden. Zum
anderen sollten einfache Fragen und Rechenaufgaben wie in den jeweiligen
Aufgaben vorkommen.
78
5
5.1
Anwendungen von trigonometrischen Funktionen
Inhaltliche Vorgaben und Ziele
In dieser Einheit werden möglichst realistische Anwendungen der trigonometrischen Funktionen aus verschiedenen Bereichen vorgestellt. Hierbei kann
es nicht darum gehen, tiefere Einblicke in die jeweiligen Fachgebiete oder
einen vollständigen Überblick über die Anwendungsbereiche der Trigonometrie zu geben. Vielmehr soll einerseits die Relevanz und der Nutzen dieses mathematischen Themenbereiches für Naturwissenschaften, Technik und Alltag
verdeutlicht werden. Andererseits wird darauf hingezielt, die Teilnehmer mit
der Methode der Modellierung von Sachverhalten und der Rückinterpretation
der Ergebnisse vertraut zu machen. Dies stellt eine unverzichtbare Fertigkeit
in den meisten naturwissenschaftlichen Studienfächern dar und wird auch
als wichtiges Element von Mathematikunterricht in der Oberstufe angesehen
(vlg.[3]). Hierbei ist die Erkenntnis der Vereinfachung und Idealisierung, die
bei der Modellierung vorgenommen werden muss, sowie die Trennung von
Wirklichkeit und Modell von besonderer Bedeutung.
5.2
Hinweise zu dieser Einheit
In diesem Abschnitt werden einige Anwendungen des bisher behandelten
Stoffes vorgestellt. Manche werden durch geeignete Zahlenbeispiele illustriert,
bei anderen wurde hier aus Platzgründen darauf verzichtet. Zahlenbeispiele
sollten jedoch bei jeder Anwendung zumindest fakultativ, evtl. auch als Aufgabe, zur Verfügung stehen.
Die Komplexität der Anwendungen verlangt die knappe Erläuterung gewisser
Vorkenntnisse aus anderen Fachbereichen. Des Weiteren wird an bestimmten
Stellen auf verwendete Fakten hingewiesen, deren Verwendung ohne nähere
Begründung und Erklärung geschehen muss.
An entsprechenden Stellen gibt es Anmerkungen zum Modellcharakter jeweiliger Annahmen.
5.3
Einheit 4: Anwendungen der trigonometrischen Funktionen
Über diese Einheit
In dieser Einheit werden Sie einige interessante Anwendungen der trigonometrischen Funktionen kennenlernen. Dafür werden zum Teil Kenntnisse aus
79
anderen Bereichen der Mathematik oder andereren Fachrichtungen benötigt, die im Verlauf der vorausgegangenen Selbstlerneinheiten nicht behandelt
wurden. Daher werden Sie einige Erläuterungen zu den jeweiligen Themengebieten finden, die Ihnen das Verständnis der Situation erleichtern sollen.
Teilweise müssen wir bestimmte Fakten jedoch auch einfach hinnehmen, da
die Komplexität ihrer Begründung den Rahmen sprengen würde. Dies soll Sie
jedoch nicht davon abhalten, andere Quellen zur Vertiefung hinzuzuziehen,
falls Sie ein Beispiel oder Themengebiet besonders interessiert.
In einigen Beispielen werden wir uns ebenfalls mit dem Modellcharakter
einiger Lösungswege auseinandersetzen. Sucht man eine realistische Fragestellung zu beantworten, geht man für gewöhnlich auf eine bestimmte Weise
vor. Zunächst muss man die gegebenen Informationen in ein möglichst passendes mathematisches Modell überführen. Dabei sind unweigerlich Vereinfachungen und Idealisierungen von Nöten. Danach kann im mathematischen
Modell eine Lösung ermittelt werden, welche abschließend zur Beantworung
der ursprünglichen Fragestellung in die Realität rückinterpretiert werden
muss. Hierbei darf nie außer Acht gelassen werden, welche Idealisierungen
und Vereinfachungen bei der Modellbildung vorgenommen worden waren.
(1)
Anwendungen bei ebenen Figuren
Die Verwendung der trigonometrischen Funktionen für Berechnungen an ebenen Figuren, vor allem Polygonen, sind zahlreich. Hier seien zwei Beispiele
unterschiedlicher Natur herausgegriffen. Weitere Aufgaben zu diesem Thema
findet man z. B. in NW10, S. 150 (Schnittwinkel von Diagonalen, Flächeninhalt des Parallelogramms etc.) und LS10, S. 150, S. 155.
Es werden Kenntnisse aus der Kreisgeometrie wie Flächeninhalt von Kreisausschnitten vorausgesetzt.
Fläche und Umfang des regelmäßigen n-Ecks
a) Betrachten wir einen Kreis mit Radius r, der Umkreis eines regelmäßigen
n-Ecks ist (Abb. 5.1). Die Fläche und der Umfang des n-Ecks können in
Abhängigkeit von n berechnet werden, wozu wir eines der gleichschenkligen Teildreiecke mit Basis s zur Hilfe nehmen und die Höhe h eintragen.
◦
und es gilt
Dann ist der Winkel ϕ = 180
n
s
= r · sin ϕ,
h = r · cos ϕ.
2
Damit ist die Fläche des einbeschriebenen n-Ecks (n ≥ 3)
s
nr2
360◦
∗
2
2 sin(2ϕ)
=
sin(
).
A = n · · h = nr sin ϕ cos ϕ = nr
2
2
2
n
80
umbeschriebenesnEck.png
Abb. 5.1: einbeschriebenes n-Eck
Abb. 5.2: umbeschriebenes n-Eck
Für den Umfang gilt:
U = n · s = 2nr sin ϕ = 2nr sin(
180◦
).
n
(zu *: Hier wird ein weiteres Additionstheorem verwendet:
sin 2α = 2 sin α cos α.
Begrï¿ 12 ndung: (Abb. 5.3) Das rechtwinklige Dreieck ABC mit Hypotenusenlänge 1 hat die Fläche A1 = 21 sin α cos α. Dieses wird an Seite AB gespiegelt, so
dass das doppelt so große (gleichschenklige) Dreieck ACC’ entsteht mit Fläche
A2 = sin α cos α.
⇒ A2 =
1 · sin 2α
= sin α cos α = 2A1 .)
2
b) Betrachten wir nun das n-Eck, welches den Kreis mit Radius r als Inkreis
hat (Abb. 5.1). Für die Schenkel k und die Basis t des gleichschenkligen
Teildreiecks gilt:
r
t
k=
,
= r tan ϕ.
cos ϕ
2
Somit folgt für Fläche und Umfang des regelmäßigen n-Ecks (n ≥ 3):
t
180◦
· r = nr2 tan ϕ = nr2 tan(
),
2
n
180◦
U = n · t = 2nr tan ϕ = 2nr tan(
).
n
A = n·
(vgl. WK S. 107/108, NW10 S. 154, LS10 S. 149,154).
81
Abb. 5.3: sin(2α)
Abb. 5.4: Schnitt zweier Kreise
Schnitt zweier Kreise (Abb. 5.4) Gegeben seien die Kreise mit Mittelpunkten M1 und M2 und der gemeinsamen Sehne s. Die Mittelpunktswinkel
α1 und α2 dieser Sehne seien bekannt.
a) Wie groß sind die Radien r1 und r2 ? Hier gibt es zwei Wege:
1. Seien βi (i = 1, 2) die Winkel, die die Sehne s mit r1 bzw. r2 einschließt.
Dann ist
s
sin αi
=
sin βi
ri
(Sinussatz)
⇒
ri =
s · sin βi
,
sin αi
i = 1,2.
2. Betrachtet man das rechtwinklige Dreieck mit Mi SB ergibt sich
ri =
s/2
, i = 1,2.
sin(αi /2)
Die Gleichheit zeigt man wie folgt für i = 1,2:
s · sin βi
s · sin(90◦ − αi /2) ∗
s · cos(αi /2)
s
=
=
=
sin αi
sin αi
2 · sin(αi /2) cos(αi /2)
2 · sin(αi /2)
s/2
.
=
sin(αi /2)
b) Für die Berechnung des Zentralabstands d (Abstand der beiden Mittelpunkte) gibt es ebenfalls zwei Möglichkeiten:
82
1. Betrachten wir das Dreieck M1 AM2 liefert der Kosinussatz
q
d = r12 + r22 − 2 · r1 · r2 · cos(β1 + β2 ).
2. In den Dreiecken M1 SB und M2 SB kann der Satz des Pythagoras
angewendet werden:
r
r
s
s
d = d1 + d2 = r12 − ( )2 + r22 − ( )2 .
2
2
Hier kann die Gleichheit mittels der Additionstheoreme gezeigt werden.
c) Der Flächeninhalt AV des Vierecks M1 AM2 B berechnet sich als
AV =
1
· s · d.
2
d) Die gemeinsame Fläche A der beiden Kreise setzt sich aus den von der
Sehne s abgetrennten Kreisabschnitten der jeweiligen Kreise zusammen.
Deren Fläche wird folgendermaßen als Differenz der Kreisausschnitte K1
(mit Mittelpunkt M1 ) und K2 (mit Mittelpunkt M2 ) und den Dreiecken
AMi B, i = 1,2 ermittelt:
Der Flächeninhalt K1 und K2 der Kreisausschnitte ist gegeben durch (ohne Begründung)
αi
,
i = 1, 2.
Ki = πri2 ·
360◦
Damit ergibt sich insgesamt:
A = (πr12 ·
1
α2
1
α1
− · s · d1 ) + (πr22 ·
− · s · d2 ).
◦
◦
360
2
360
2
Zahlenbeispiel : s = 306 mm, α1 = 89,4◦ , α2 = 118◦ (LS10, S. 154)
a) β1 = 45,3◦ , β2 = 31◦ , r1 = 217,5 mm, r2 = 178,5 mm
b) d = 246,5 mm, d1 = 154,6 mm, d2 = 91,9 mm
c) AV = 37 714,5 mm2
d) A = 13 255,95 mm2 + 18 747,6 mm2 = 32 003,55 mm2
(weiteres Beispiel: LS10, S. 197).
83
(2)
Anwendungen zur Raumgeometrie
In diesem Abschnitt werden die für geometrische Körper benötigten Begrifflichkeiten und Kenntnisse über deren Volumen und Oberfläche vorausgesetzt
und nicht näher erläutert.
Quadratische Pyramide Bekannt seien die Seitenlänge a der Grundfläche der Pyramide und der Neigungswinkel α der Seitenflächen (Abb. 5.5).
Bei der Berechnung werden verschiedene rechtwinklige Dreiecke innerhalb
des Körpers betrachtet.
Die Höhe h wird dann als Gegenkathete von α berechnet mit h = tan α · a2 .
Die Strecken d und s erhalten wir nacheinander mit dem Satz des Pythagoras:
r
r
a 2
a
a
d = 2( ) = √
und s = h2 + ( )2 .
2
2
2
Der Neigungswinkel β der Kanten k kann folgendermaßen ermittelt werden:
tan β =
h
tan α
= √ .
d
2
(vgl. LS10, S. 155)
Abb. 5.5: quadratische Pyramide
Abb. 5.6: Drehkegel
Verebnung eines Drehkegels Bei Abwicklung geht ein Drehkegel mit
Radius r, Höhe h und halbem Öffnungswinkel α in einen Kreissektor mit
dem Radius s und dem Mittelpunktswinkel ω (im Bogenmaß) über (Abb.
5.6). Diesen kann man in Abhängigkeit von α2 bestimmen:
84
Die Bogenlängen vom Basiskreis des Kegels und vom Kreissektor stimmen
überein
⇒
2πr = sω
r
=sin α
s
⇒
ω = 2π sin α
ω = 2π
r
s
bzw. im Gradmaß ω ◦ = 360◦ sin α
(vgl. WK S. 106).
Raumdiagonale eines Quaders (Abb. 5.7) Man zeige, dass für die Winkel zwischen der Raumdiagonalen r eines Quaders und den Kanten a, b und
c gilt (LS10, S. 200):
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Die Kantenlängen a, b und c seien bekannt.
Zunächst werden die Flächendiagonalen f1 , f2 und f3 durch die Kantenlängen ausgedrückt, mit denen sie jeweils ein rechtwinkliges Dreieck bilden (Satz
des Pythagoras):
√
√
√
f1 = a2 + b2 , f2 = c2 + b2 , f3 = a2 + c2 .
Wir erhalten die drei rechtwinkligen Dreiecke HGB, HBD und HBE für
die gilt:
b
c
a
cos α = , cos β = , cos γ = .
r
r
r
p
Es ist weiterhin r = f1 2 + c2 . Daraus folgt
cos2 α + cos2 β + cos2 γ
a2 b 2 c 2
= 2+ 2+ 2
r
r
r
a2 + b 2 + c 2
=
r2
2
a + b2 + c 2
=
f 1 2 + c2
=1
(mit f12 = a2 + b2 ).
85
Abb. 5.7: Raumdiagonale Quader
Abb. 5.8: Walmdach
Walmdach Ein Walmdach ist eine Dachform, bei der die Dachflächen auf
allen Seiten, d.h. auch auf den Giebelseiten in bestimmten Winkeln geneigt
sind. Je nachdem, welche Größen des Daches bekannt sind, können andere
berechnet werden, wobei die Winkelfunktionen und der Satz des Pythagoras
benötigt werden.
a) Wie groß ist der umbaute Raum (=Volumen) des Daches? Wie groß sind
die mit Dachpfannen zu bedeckenden Dachflächen? Bekannt seien die
Breite a und die Länge b des Hauses sowie die Neigungswinkel α und
β.
Wir beschreiben das Walmdach mathematisch als Prisma mit dreieckiger
Grundfläche, von dem an beiden Enden der gleiche Tetraeder abgeschnitten wurde (Abb. 5.8). Die Abbildung zeigt die Bezeichnungen, die wir zur
besseren Orientierung einfügen.
• Volumen VP des Prismas:
Im Dreieck BDE gilt h = a2 tan α. Damit ist die Fläche des Dreiecks
ABD gegeben durch A1 = ah
.
2
Das Volumen des Prismas mit dieser Grundfläche und Länge b ist
dann VP = A1 · b.
Volumen VT des Tetraeders:
An dem rechtwinkligen Dreieck CDE erkennt man d = tanh β
⇒
f = b − 2d.
Das Volumen des Tetraeders ABCD ist damit VT = A13· d .
Gesamtvolumen:
V = A1 · b − 2
A1 · d
2d
= A1 · (b − )
3
3
86
• Fläche des Dreiecks ABC: A2 = ai2 mit i = cosd β Trapezfläche: AT =
f +b
· j mit j = sinh α Gesamtfläche: A = 2 · A2 +2 · AT = 2 · ( ai2 + f +b
· j)
2
2
Der umbaute Raum ist demnach V und die Dachfläche A.
b) Es soll der umbaute Raum des Daches, die zu bedeckende Dachfläche und
die Größe des Zimmers in Quadratmetern ermittelt werden. Alle Dachflächen schließen mit dem Zimmerboden einen 45◦ -Winkel ein. Das Dach ist
4,60 m hoch und der Dachfirst 7,25 m lang.
Als Modell des Daches bedienen wir uns einem Prisma P mit dreieckiger Grundfläche an die zwei Tetraeder T angebaut werden. Wir bedienen
uns abermals der Abbildung mit folgenden Bezeichnungen (Abb. 5.8). Die
bekannten Größen sind demnach: α = β = 45◦ , f = 7,25 m, h = 4,60 m.
• Volumen VP r des Prismas:
Da der Winkel α = 45◦ ist, ist die Grundfläche des Prismas ein
gleichschenkliges Dreieck mit Hypotenuse j und den Katheten h und
a
, woraus folgt a2 = h = 4,6 m.
2
Es ergibt sich:
1
VP r = ( · h · 2h) · f = h2 · f = 153,41 m3 .
2
Volumen VP y der beiden Tetraeder:
Auch im Tetraeder ist ein gleichschenkliges Dreieck zu finden mit
Hypotenuse i und den Katheten h und w, woraus folgt w = h =
4,60 m.
Durch „Zusammenschieben“ der beiden Tetraeder erhält man eine
Pyramide mit quadratischer Grundfläche und Höhe h mit Volumen:
VP y =
4
1
· 4h2 · h = h3 ≈ 129,78 m3 .
3
3
Zusammen erhält man das Gesamtvolumen von 153,41 m3 +129,78 m3 =
283,19 m3 .
• Für die zwei Rechtecksflächen des Prismas mit Länge f und Breite
i gilt:
√
AR1 = f · i = f · 2h2 = 47,1975 m2 .
Die Fläche der vier kongruenten dreieckigen Seiten der Pyramide
beträgt
1
AD = · d · 2h = 29,946 m2 .
2
87
Für die Gesamtfläche ergibt sich F = 2 · 47,1975 m2 + 4 · 29,946 m =
214,179 m2 .
• Das Rechteck mit Seiten a und b hat Fläche AR2 = a · b = (f +
2h) · 2h = 151,34 m2 .
Damit ist der umbaute Raum 283,19 m3 und die zu bedeckende Dachfläche
214,179 m2 groß. Das Zimmer hat eine Fläche von 151,34 m2 .
c) Ein Walmdach sei 9,8 m breit, 13,2 m lang, 3,10 m hoch und habe die
Firstlänge 8 m. Welche Neigung haben die Dachflächen und wie lang sind
die Dachkanten?
Mit den Bezeichnungen des Modells (Abb. 5.8) sind die folgenden Größen bekannt: a = 9,8 m, b = 13,2 m, h = 3,10 m und f = 8 m. Gesucht
werden α und β.
• Wegen tan α =
3,1
2,6
h
1
a
2
=
3,1
4,9
ergibt sich α ≈ 32,3◦ . Wegen tan β =
ist der Winkel β ≈ 50◦ .
h
b−f
2
=
• Die Kanten k haben Länge
r
r
1
1
b−f 2
) + h2 + ( a)2 ≈ 6,35.
k = i2 + ( a)2 = (
2
2
2
Dann ist der Neigungswinkel der trapezförmigen Dachfläche etwa 32,3◦ und
der der dreieckigen Dachfläche 50◦ groß. Die Dachkanten haben Länge 6,35 m
(vgl. WK S. 105, LS10 S. 155, S. 121).
(3)
Anwendungen aus Physik und Technik
Kräfte Zunächst benötigen wir etwas Hintergrundwissen aus der Physik.
Die Begriffe der Kraft und der trägen Masse bilden die Grundlage der klassischen Mechanik und sollen nun knapp erläutert werden.
Die Kraft ist die Größe, die eine Beschleunigung eines Körpers verursacht.
Dabei findet die Beschleunigung in die gleiche Richtung statt, in die die Kraft
wirkt. In unserer Alltagsvorstellung entspricht die Kraft einem Ziehen oder
Schieben. Die Einheit der Kraft ist 1 Newton (N). Dies entspricht der Kraft,
die aufgebracht werden muss, um einen Körper der Masse 1 kg mit 1 m/s2
zu beschleunigen.
Dabei ist die (träge) Masse m eines Körpers seine Eigenschaft, sich einer
Beschleunigung zu widersetzen. Umso größer die Masse eines Körpers, umso
mehr Kraft muss für eine bestimmte Beschleunigung aufgebracht werden. Die
Einheit der Masse ist 1 Kilogramm (kg).
88
Eine physikalische Größe, die wie die Kraft
sowohl einen Betrag als auch eine Richtung
im Raum besitzt, nennt man Vektor. Größen
wie Masse, Temperatur oder Abstand, die nur
einen Betrag, aber keine Richtung besitzen,
heißen Skalare. Vektoren lassen sich graphisch Abb. 5.9: Kräfte
durch Verschiebungspfeile darstellen, wobei die
Richtung des Pfeils in die Richtung zeigt, in die die Kraft wirkt, und seine
Länge proportional zu seinem Betrag ist. Vektoren können mit Skalaren multipliziert werden und nach den Regeln der Vektoraddition addiert werden.
Greifen z. B. zwei verschieden Kräfte an einem Teilchen an, ist man an ihrer
Summe interessiert (Abb. 5.9):
Heben sich entgegengerichtete Kräfte auf, d. h. sind sie in der Summe 0,
spricht man von einem Kräftegleichgewicht. In diesem Fall bleibt der Körper
in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
Die Kraft, mit der wir in unserem täglichen Leben am häufigsten in Kontakt
kommen, ist die Erdanziehungskraft. Sie wird als Gewichtskraft G 7 eines Körpers bezeichnet. Lassen wir einen Gegenstand fallen, wird er mit 9,81 m/s2
zur Erde beschleunigt. Diese Erdbeschleunigung g ist für alle Körper gleich.
Damit schreiben wir die Gravitationskraft
G = m · g.
Liegt ein Gegenstand wie z. B. ein Buch auf einem anderen Gegenstand, z. B.
einem Tisch, so drückt seine Gewichtskraft das Buches nach unten gegen
den Tisch. Der Tisch übt eine aufwärts gerichtete Kraft auf das Buch aus,
die genau der Gewichtskraft entspricht. Kräfte wie diese, die senkrecht zur
Oberfläche von Gegenständen wirken, heißen Normalkräfte.
Liegt ein Gegenstand auf einer schiefen Ebene spielen die Normalkraft und
die so genannte Hangabtriebskraft eine wichtige Rolle. Die Hangabtriebskraft
wirkt parallel zur Oberfläche. Sie wächst bei größerem Neigungswinkel der
Ebene. Die Normalkraft hingegen nimmt bei größerem Winkel ab (vgl. Tipler
2000, S. 43ff. und S. 71ff.). (Weitere Aufgaben zum Thema Kräfte findet man
z. B. bei WK, S. 113 (Kosinussatz) oder S. 116).
Schiefe Ebene 1) Ein 100 kg schweres Fass soll eine Rampe mit Neigungswinkel α = 30◦ hoch gerollt werden (Abb. 5.10). Welche Kraft F ist dazu
nötig (Reibung vernachlässigt)8 ?
7
Dabei bezeichnen G, F etc. jeweils die Beträge der entsprechenden Kraft. Ihre Richtung geht daraus nicht hervor.
8
Dies ist eine Vereinfachung des dargestellten Sachverhalts.
89
Auf das Fass wirkt seine Gewichtskraft G, die sich aus seiner Masse m und
der Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 zusammensetzt:
G = m · g = 100 kg · 9,81 m/s2 = 981 kg · m/s2 = 981 N.
Parallel zur Rampe wirkt die Hangabtriebskraft H, welche durch die aufgewendete Kraft F kompensiert werden muss, damit das Fass die Rampe
hinaufgerollt werden kann.
Im Modell ergeben sich das rechtwinklige Dreieck der Rampe und das rechtwinklige Dreieck der Kräfte G und H. Beide sind ähnlich. Der Winkel β ist
daher gleich dem Neigungswinkel α. Es gilt:
H = F = G · sin α = 981 N · sin 30◦ = 490,5 N.
Dies bedeutet, dass eine Kraft F von 490,5 N aufgewendet werden muss, um
das 100 kg schwere Fass die Rampe hinaufzurollen.
Betrachten wir noch eine andere Kraft in der gleichen Situation: die Normalkraft oder Druckkraft ist eine andere Komponente der Gewichtskraft und
wirkt senkrecht zur schiefen Ebene (Abb. 5.11). Wie groß ist diese?
Das Modell der schiefen Ebene wird um den Vektorpfeil N erweitert. Wir
erhalten ein Rechteck mit den Seiten N und H, welches von der Diagonalen
G in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt wird. Daher ergibt sich
N = cos 30◦ · 981 N = 849,6 N.
Die Normalkraft ist also im gegebenen Fall 849,6 N groß.
2) Nun ein weiteres Beispiel zum Vergleich: Wie groß sind Hangabtriebskraft
Abb. 5.10: Schiefe Ebene 1
Abb. 5.11: Schiefe Ebene 2
und Normalkraft bei dem gleichen Fass auf einer Rampe mit geringerem
Neigungswinkel α = 21,8◦ ?
Das Modell der schiefen Ebene liefert wiederum
H = sin 21,8◦ · 981 N = 364,3 N,
N = cos 21,8◦ · 981 N = 910,8 N.
90
Damit ist die Normalkraft hier 910,8 N groß und die Hangabtriebskraft 364,3 N.
Man erkennt: bei einem kleineren Winkel von 21,8◦ ist die Hangabtriebskraft
geringer als im ersten Fall mit einer Neigung von 30◦ . Die Normalkraft ist im
zweiten Fall größer (vgl. WK S. 103, LS S. 198).
Keilkräfte Treibt man einen symmetrischen Keil mit Spitzwinkel α mit
der Kraft F in eine Unterlage, so wirken senkrecht auf die Wände die Normalkräfte F1 und F2 , die die Unterlage auseinandertreiben (Abb. 5.12). Die
Abbildung modelliert diese Situation wie folgt: der Keil lässt sich als gleichschenkliges Dreieck mit Scheitelwinkel α darstellen. Wir erkennen zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke mit Kathete F/2, Hypotenuse F1 bzw. F2 und
spitzem Winkel α/2. Daher lassen sich F1 und F2 wie folgt berechnen:
F1 = F2 =
F
F/2
α =
sin 2
2 sin α2
Auch hieran erkennt man, dass die Normalkräfte mit kleiner werdendem Winkel α steigen.
Zahlenbeispiel : F = 1 000 N, α = 5◦
⇒
F1 = F2 =
1 000 N
= 11.462,8 N.
2 · sin 2,5◦
Wann ist F1 = F ? Bei einem Winkel mit sin α/2 = 1/2, also einem Winkel
α = 60◦ gilt diese Gleichheit (vgl. WK S. 104).
Abb. 5.13: Fliehkräfte
Abb. 5.12: Keilkräfte
Fliehkräfte (Abb. 5.13) Wenn z. B. ein Motorrad mit der Geschwindigkeit
91
v um eine Kurve fährt, muss es sich in einem bestimmten Winkel zur Seite
neigen, um nicht von der Fliehkraft F aus der Bahn geworfen zu werden.
Hierbei habe das Motorrad das Gewicht G und die Kurve den Radius r. Die
2
Fliehkraft berechnet sich durch F = m ·r v . Dann gilt
tan α =
F
mv 2 1
v2
=
·
= .
G
r mg
gr
Der Neigungswinkel ist folglich unabhängig von der Masse des Motorrads.
Zudem muss die Reibungskraft größer als die Fliehkraft sein.
Zahlenbeispiel : Bei einer Kurve mit Radius r = 70 m und einer Fahrtge) muss sich der Fahrer in
schwindigkeit von 72 km/h = 20 m/s (Faktor 13 000
600
◦
einem Winkel von α ≈ 30 zur Straße neigen, da
tan α =
400 m2 /s2
(20 m/s)2
=
≈ 0,58.
9,81 m/s2 · 70 m
686,7 m2 /s2
Kennt man Radius und Neigungswinkel, kann man auf die Geschwindigkeit
rückfolgern: α = 15◦ , r = 10 m
p
√
⇒ v = tan α · gr = tan 15◦ · 9,81 m/s2 · 10 m = 5,1 m/s ≈ 18 km/h.
Asymmetrische Rinne Eine Kugel liege auf einer asymmetrischen Rinne,
die zur einen Seite um α = 30◦ und zur anderen um β = 50◦ geneigt ist. Die
Kugel habe eine Gewichtskraft von 600 N. Wie groß sind die Normalkräfte
F1 und F2 (LS10, S. 201)?
(Abb. 5.14) Betrachten wir das Dreieck, das von F, F2 und der Parallelen
zu F1 aufgespannt wird. Aufgrund der Wechselwinkelbeziehung wissen wir,
dass es die Winkel α = 30◦ , β = 50◦ und γ = 110◦ (Winkelsummensatz) hat.
Damit kann der Sinussatz benutzt werden:
sin α
F2
=
F
sin γ
F1
sin β
=
F
sin γ
sin α
300 N
·F =
· ≈ 319,25 N,
sin γ
sin 110◦
sin β
sin 50◦
⇒ F1 =
·F =
· 600 N ≈ 489,12 N.
sin γ
sin 110◦
⇒ F2 =
Die Normalkräfte haben die Größen F1 = 489,12 N und F2 = 319,25 N.
Keilriemen Gegeben seien die Radien r und R der Keilriemenscheiben sowie ihr Zentralabstand d. Wie lang ist der Riemen (Länge L) (Abb. 5.15)?
92
Abb. 5.15: Keilriemen
Abb. 5.14: asymmetrische Rinne
Es wird ein Trick benötigt, den man „sehen“ muss (erinnert man sich noch
an die Konstruktion einer gemeinsamen Tangente an zwei Kreise, fällt das
„Sehen“ leichter): durch Parallelverschiebung des gemeinsamen Tangentenstücks t der beiden Kreise
p erhält man ein rechtwinkliges Dreieck, in dem
mit Pythagoras folgt t = d2 − (R − r)2 . Den Winkel ϕ erhält man mittels
sin ϕ = (R−r)
. Damit ergibt sich
d
π
π
L = 2 · [R( + ϕ) + t + r( − ϕ)]
2
2
als Zusammensetzung aus dem Kreisbogen zum Winkel π2 + ϕ am großen
Kreis, dem Tangentenstück und dem Kreisbogen zum Winkel π2 − ϕ am kleinen Kreis (vgl. WK, S. 104).
Zahlenbeispiel : Es seien die beiden Radien R = 40 cm, r = 25 cm und der
Zentralabstand d = 100 cm bekannt (LS10, S. 198).
Dann berechnet sich die Länge des gemeinsamen Tangentenstücks t als
p
√
t = d2 − (R − r)2 = 1002 − 152
und damit der Winkel ϕ als
√
t
1002 − 152
cos ϕ = =
≈ 0,989
d
100
⇒
(⇒
ϕ ≈ 0,148 ≈ 8,51◦ ).
√
π
π
+ arccos(0,989)) + 1002 − 152 + 25( − arccos(0,989))]
2
2
≈ 406,39 cm
L = 2 · [40(
93
Damit beträgt die Länge des Riemens etwa 406,39 cm.
Unzugänglicher Radius Es soll der Radius R eines Drehzylinderteils ermittelt werden. Dazu werden drei gleich dicke Rundstäbe mit bekanntem
Durchmesser d hineingelegt und der Höhenunterschied h zwischen den beiden äußeren und dem tiefer liegenden mittleren Stab gemessen.
(Abb. 5.16) Man sieht sofort R = r + d2 . Die Berechnung von r stellt sich
jedoch als ein wenig schwieriger dar. Da der Abstand von den Mittelpunkten
M1 und M2 gleich d ist, kann am rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse d
und den Katheten h und 2s der Abstand s von M1 zu M3 bestimmt werden
√
als s = 2 · d2 − h2 .
Weiter ist der Kreis mit Radius r der Thaleskreis zum Dreieck M1 M2 S. Bei
M1 liegt ein rechter Winkel und der Höhensatz führt zu:
s
( )2 = h(2r − h)
2
⇔
2hr =
s2 + 4h2
4
⇔
r=
s2 + 4h2
.
8h
Daraus folgt
√
d
(2 d2 − h2 )2 + 4h2 d
R=r+ =
+
2
8h
2
4d2 d
d2 + dh
=
+ =
8h
2
2h
d
(d + h).
=
2h
(Als zweite Möglichkeit kann s aus der Gesamtbreite b der Stäbe errechnet werden
mit
r
r
s
(b − d)2
s = b − d ⇒ h = d2 − ( )2 = d2 −
.
2
4
Dieser Weg ist jedoch weniger zuverlässig, da sich ein Messfehler bei b stärker auf
h auswirkt.)
Der unbekannte Radius R des Drehzylinderteils kann also mittels
ermittelt werden (vgl. WK S. 124).
d
(d
2h
+ h)
Brechungsgesetz Physikalisches Hintergrundwissen: (Abb. 5.17) Wenn ein
Lichtstrahl auf die Grenze zweier verschiedener Medien trifft, wird ein Teil
des Lichtes reflektiert, der andere Teil geht in das andere Medium über, wobei
sich jedoch die Richtung des Strahls ändert. Dieses Phänomen wird Brechung
94
Abb. 5.17: Brechungsgesetz
Abb. 5.16: unzugänglicher
Radius
genannt. Grund dafür ist, dass das Licht in jedem Medium eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit hat. Geht ein Lichtstrahl von einem optisch dünneren (z. B. Luft) in ein optisch dichteres Medium (z. B. Wasser) über, so ist
der Einfallswinkel größer als der Brechungswinkel (roter Lichtstrahl). Dies
funktioniert auch umgekehrt (grüner Lichtstrahl). Dabei verhalten sich die
Winkel gemäß dem Snelliusschen Brechungsgesetz :
n1 · sin α = n2 · sin β
mit den jedem Medium eigenen Brechzahlen n1 , n2 . Die Brechzahl von Luft
ist 1,00 und die des Wassers 1,33.
Alle Lichtstrahlen werden (zumindest teilweise) ins Wasser gebrochen. Umgekehrt (nur, wenn Licht von einem Medium mit größerer Brechzahl in ein
Medium mit kleinerer Brechzahl übergeht) gibt es jedoch einen kritischen
Winkel β0 (gelber und blauer Lichtstrahl), ab dem kein Licht mehr vom
Wasser durch die Oberfläche gelangt sondern komplett reflektiert wird. Dieser Winkel ergibt sich für einen Maximalwert 1 von sin α:
1,33
1
=
sin β
1,00
⇒
sin β0 =
1,00
1,33
⇒
β0 ≈ 48,8◦ .
Dieses Phänomen wird Totalreflektion genannt (Tipler, S. 1032ff., WK S. 126).
Zahlenbeispiel : (vgl. NW10, S. 152) Wie groß ist der Brechungswinkel, wenn
ein Lichtstrahl unter einem Winkel von α = 45◦ auf die Grenze zwischen Luft
und Wasser fällt?
1,00
sin β =
· sin 45◦
1,33
95
Der Brechungswinkel beträgt also rund 32◦ .
Mit welchem Winkel muss das Licht einfallen, damit es mit einem Brechungswinkel β = 30◦ im Wasser gebrochen wird?
sin α = 1,33 ·
1
2
Das Licht muss unter einem Winkel von 41,7◦ einfallen.
In welchem Fall gilt α + β = 90◦ ?
Es ist β = 90◦ − α
sin α
1,33
=
◦
sin(90 − α)
1,00
sin α
1,33
=
cos α
1,00
1,33
tan α =
1,00
α = 53,1◦ ⇒ β = 36,9◦ .
⇒
⇔
⇔
⇒
Bei einem Einfallswinkel von 53,1◦ bilden Einfalls- und Brechungswinkel zusammen einen rechten Winkel (Weitere Beispiele in SW10, S. G33).
Landeanflug Wir werden uns nun mit dem
Landeanflug von Flugzeugen, Drachenfliegern
und Vögeln beschäftigen, obwohl letztere im
eigentlichen Sinne keine technische oder physikalische Anwendung darstellen. Mathematisch
betrachtet kann jedoch dasselbe Modell verwendet werden. An dieser Stelle ist erneut dar- Abb. 5.18: Landeanflug
auf hinzuweisen, dass das Modell starken Vereinfachungen unterliegt. So werden z. B. Wetter- und Windbedingungen ausgeblendet und es wird angenommen, die Flugbahn verlaufe geradlinig.
Flugzeug (WK S. 121, NW10, S. 151) Beim Landeanflug aus h =
35 000 Fuß ≈ 11 km Höhe mit einer durchschnittlichen Bodengeschwindigkeit (ground speed ) von vG = 540 km/h braucht ein Verkehrsflugzeug 20 min
um auf Meeresniveau zu sinken. Dann können wir den durchschnittlichen
Sinkwinkel ermitteln (Abb. 5.18):
Die zurückgelegte Bodenstrecke s beträgt s = 540 km/h · 31 h = 180 km. Für
den Sinkwinkel α gilt:
tan α =
h
11 km
=
s
180 km
96
⇒
α ≈ 3,5◦ .
Kennen wir umgekehrt die Fluggeschwindigkeit v = 300 km/h und den
durchschnittlichen Sinkwinkel von α = 8◦ , so werden ground speed vG und
das durchschnittliche Sinken pro Minute vS wie folgt berechnet:
Betrachtet man wiederum einen Zeitabschnitt von 20 min, so legt das Flugzeug eine Flugstrecke f = 100 km zurück.
⇒
cos 8◦ =
s
100 km
⇒
s = 95,1 km
⇒
vg = 285,3 km/h
und
300 km/h = 5 000 m/ min
⇒
sin 8◦ =
h
5 000 m
⇒
vS = 695,86 m/ min.
Drachenflieger und Fallschirmspringer Ein Drachenflieger startet in einer Höhe h = 85 m mit einem Sinkwinkel von α = 8◦ . Wie groß sind Flugweite s und Gleitstrecke f (NW10, S. 151)?
h
s
h
sin α =
f
tan α =
85 m
= 604,81 m
tan 8◦
85 m
⇒ f=
= 610,75 m,
sin 8◦
⇒ s=
d. h. mit einem Gleitflug von 610,75 m überwindet der Drachenflieger eine
Distanz von 604,81 m.
Aus welcher Höhe h muss der Drachenflieger starten, um die gleiche Flugweite s = 604,81 m bei einem kleineren Sinkwinkel von α = 7◦ zu erreichen?
Er muss aus h = tan 7◦ · 604,81 m = 74,26 m starten.
Gleitzahl von Vögeln (NW10, S. 151) Auch bei Vögeln können Gleitwinkel
betrachtet werden. Hierbei gibt die sogenannte Gleitzahl das Verhältnis von
Höhenverlust und horizontal gemessener Flugstrecke an. (Diese wird ebenfalls bei Flugzeugen als Maß für ihre Gleitfähigkeit verwendet.)
Bei einem Start aus 80 m Höhe können mittels Tangens bzw. Sinus aus den
folgenden Gleitzahlen Gleitwinkel und Flugweite bestimmt werden, siehe Tabelle 5.19:
(4)
Anwendungen aus der Geographie
Seewölbung Die Oberfläche von Meeren und großen Seen ist sichtbar gekrümmt (Abb. 5.20). Die Länge L des Sees ist die Verbindung der zwei End97
Vogel
Gleitzahl
α
Flugweite
Kondor
1 : 34
1,68
2 728,76 m
Bussard
1 : 15
3,81
1 205,95 m
Möwe
1 : 14
4,09
1 121,65 m
Taube
1:9
6,34
724,45 m
Spatz
1:6
9,46
486,74 m
Abb. 5.20: Seewölbung
Abb. 5.19: Gleitzahl von Vögeln
punkte A und B entlang der Wasseroberfläche, die Wölbung w ihr Unterschied zur geradlinigen Verbindung dieser beiden Punkte. Wie wird die Wölbung berechnet? Und welche Höhe h muss ein Turm am Ufer haben, damit
man bis zur Mitte des Sees sehen kann?
Der Erdradius R beträgt rund 6370 km. Damit berechnet sich der halbe
Mittelpunktswinkel im Bogenmaß durch
L
L/2
=
.
R
2R
Aus den rechtwinkligen Dreiecken NMB und OMC erhält man
R
M N = R · cos , M C =
,
cos woraus die Wölbung und die Turmhöhe
L
)
w = R − M N = R · (1 − cos
2R
1
und
h = MC − R = R · (
− 1)
L
cos 2R
=
folgen.
Zahlenbeispiel : Der Bodensee hat eine Länge von ca. 63,5 km,
63,5
⇒ w = 6 370 · (1 − cos
) ≈ 0,07913 und
12 740
1
h = 6 370 · (
− 1) ≈ 0,07913.
cos 1263,5
740
98
Die Wölbung des Bodensees ist also etwa 79,13 m groß und die Turmhöhe
bei solch kleiner Wölbung fast identisch (vgl. WK S. 121).
Breiten- und Längenkreise Die Breitenund Längenkreise auf der Erde werden mit
Winkelgrößen angegeben z. B. 50◦ nördlicher
Breite oder 23◦ östlicher Länge. Diese Winkel werden für die Breitenkreise bezüglich des
Äquators (nullter Breitengrad) und für die
Längenkreise bezüglich des Nullmeridians, der
durch Greenwich, Großbritannien, verläuft, gemessen. 9
a) Der Äquator hat eine Länge von ca.
40 000 km. Wie kann man die Länge der an- Abb. 5.21: Der Breitengrad
deren Breitenkreise ermitteln?
Sei ϕ der nördliche oder südliche Breitengrad. Wir rechnen mit einem Erdradius von R = 6 371 km (Abb. 5.21). Sei r der Radius des entsprechenden
Breitenkreises. Dann ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit spitzem Winkel ϕ, Ankathete r und Hypotenuse R und es kann gerechnet werden
r = R · cos ϕ.
Die Länge des Breitenkreises ist damit gleich 2πr.
Zahlenbeispiel : Aachen liegt bei ca. 50,78◦ nördlicher Breite. Wie lang ist der
entsprechende Breitenkreis?
Die Länge ermittelt sich als
2πr = 2 · π · R · cos ϕ = 2 · π · 6 371 km · cos 50,78◦ ≈ 25 311 km.
b) Interessant ist auch die Entfernung von zwei Punkten auf der Erdkugel.
Welcher ist der kürzeste Weg von Stadt X nach Stadt Y , wobei beide auf
dem gleichen Breitenkreis liegen? Die Differenz ihrer Längengrade sei der
Winkel λ.
Wenn wir meinen, der kürzeste Weg sei „immer geradeaus“, also entlang des
Breitenkreises, spielt uns unsere Vorstellung und vor allem die Projektion der
Kugeloberfläche auf ebene Landkarten einen Streich. Der kürzeste Weg auf
einer Kugel führt immer über einen sogenannten Großkreis. Hierbei handelt
9
Anmerkung: In dieser Anwendung wird die Erde zu einer Kugel mit festem Radius
und Umfang idealisiert. In Wirklichkeit ist sie jedoch an den Polen abgeflacht und Radius
und Umfang variieren leicht.
99
es sich um einen Kreis mit größtmöglichem Radius auf einer Kugeloberfläche.
Sein Mittelpunkt fällt mit dem Mittelpunkt der Erde zusammen und er hat
denselben Durchmesser. Längenkreise und Äquator sind demnach Großkreise,
bei den Breitenkreisen handelt es sich um Kleinkreise.
Auf die etwas aufwändigeren Berechnungen können wir an dieser Stelle leider
nicht näher eingehen.
Landvermessung Seit Jahrhunderten ist die Trigonometrie bei der Landvermessung (Geodäsie) ein unentbehrliches mathematisches Werkzeug. Hierbei unterscheidet man u. a. zwischen den Methoden des Vorwärtseinschneidens oder Vorwärtsschritts und des Rückwärtseinschneidens oder Rückwärtsschritts. Zur Vermessung von Winkeln im Gelände benötigt man ein geeignetes Gerät, z. B. einen Theodolit. Das Vorwärtseinschneiden soll kurz vorgestellt werden.
Vorwärtseinschneiden nach zwei Punkten Hierbei soll die unzugängliche Strecke
CD gemessen werden (Abb. 5.22). Die
Strecke AB sei bekannt. Die Punkte C
und D werden von dort aus angepeilt,
um die Winkel α, β, γ und δ zu messen.
Dann kann z. B. wie folgt vorgegangen werden:
Die Winkel und ζ werden mittels Winkelsummensatz errechnet: = 180◦ − β − γ − α und Abb. 5.22:
ζ = 180◦ − α − β − δ. Der Sinussatz liefert im Vorwärtseinschneiden
AB
AC
= sin(β+δ)
die Länge der
Dreieck ABC mit sin
ζ
AB
AD
Strecke AC und im Dreieck ABD mit sin
= sin
die Länge der Strecke AD.
β
Damit folgt mit dem Kosinussatz
q
2
2
CD = AC + AD − 2 · AC · AD · cos γ.
Höhe eines Berges Hier wird auf ähnliche Weise die Höhe eines Berges
(oder auch Turmes) bestimmt. Es werden zwei Varianten vorgestellt (Abb.
5.23):
1. Es wird eine beliebige Strecke s abgesteckt, von deren Endpunkten X
und Y man freie Sicht auf den Berg hat. In Punkt X werden die Winkel
100
δ zur Bergspitze und zwischen Fußpunkt des Berges und der Strecke s
gemessen. Im Punkt Y wird der Winkel ϕ zwischen s und Fußpunkt des
Berges ermittelt.
Mathematisch ausgedrückt ergeben sich die Dreiecke XY F und XF H.
Von XY F kennen wir zwei Winkel ( und ϕ) sowie eine Seite s. Damit
schließen wir ψ = 180◦ − − ϕ, woraus folgt sin ψ = sin( + ϕ). Mit dem
Sinussatz gilt im Dreieck XY F nun:
s
x
=
sin ϕ
sin ψ
⇒
x = s·
sin ϕ
.
sin( + ϕ)
Vom rechtwinkligen Dreieck XF H kennen wir den Winkel δ und die
Strecke x. Es gilt:
h
= tan δ
x
⇒
h = x · tan δ.
Die Höhe des Berges ist demnach h = x · tan δ.
2. In beliebigen Punkten A und B mit Abstand s werden die Winkel α und
β zur Bergspitze gemessen.
Mathematisch formuliert betrachten wir das Dreieck ABC mit Höhe hc =
h und das rechtwinklige Dreieck mit Hypotenuse x und Kathete h.
Von ABC kennen wir die Seite s sowie die Winkel α und (180◦ −β). Damit
ist auch Winkel γ = 180◦ − α − (180◦ − β) berechenbar. Mit dem Sinussatz
folgt im Dreieck ABC:
s
· sin β.
x=
sin γ
Im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich h = sin α · x.
Zahlenbeispiel : Es werden folgende Daten gemessen: α = 30,11◦ , β =
35,25◦ und s = 200 m.
Es ergibt sich γ = 180◦ − 30,11◦ − (180◦ − 35,25◦ ) = 5,14◦ . Dann ist
h = sin α · x = sin 30,11◦ ·
200
· sin 35,25◦ = 646,35.
sin 5,14◦
Der Berg ist folglich 646,35 m hoch
(vgl. WK, S. 115, LS10, S. 200).
Laser-Triangulationsprinzip beim Diskuswurf Seit den Olympischen
Sommerspielen in München 1972 werden bei Leichtathletikveranstaltungen
101
Abb. 5.23: Höhe eines Berges
Abb. 5.24: Diskuswurf
Wurf- und Sprungweiten nicht mehr mit dem Maßband gemessen, sondern indirekt durch Triangulationsverfahren ermittelt. Diese Verfahren wurden ständig weiterentwickelt, so dass bei den Olympischen Sommerspielen in Sydney
2000 eine neue, genauere und schnellere Generation der Geräte zum Einsatz
kommen konnte. Das Prinzip soll am Beispiel des Diskuswurfes erklärt werden:
(Abb. 5.24) Der Werfer wirft aus einem Wurfkreis mit Mittelpunkt M und
dem international vorgeschriebenen Radius von 2,5 m. Der Diskus muss in
einem markierten Sektor, der vom Wurfkreismittelpunkt mit 34,92◦ abgeht,
landen, damit der Versuch als gültig gewertet wird.
Vor dem Wettkampf wird nun ein sogenannter Tachymeter so an einem Ort
T in der Nähe des Wurfkreises aufgebaut, dass man von dort aus freie Sicht
auf den Aufschlagpunkt hat. Dann werden bestimmte Basisdaten gemessen:
• die Länge der Strecke M T und
• der Winkel β, den die Strecke M T mit der Normalen zur idealen Wurfrichtung bildet.
Während des Wettkampfes steckt dann der Wettkampfrichter eine Zielmarke
Z an der Aufschlagstelle des Diskus in den Boden und der Wettkampfvermesser peilt diese grob mit dem Fernrohr des Gerätes an. Automatisch ermittelt
der Tachymeter die Distanz ZT , indem er innerhalb von 1-2 Sekunden hunderte von Malen die Zeit misst, welche ein gesendeter Laser-Lichtimpuls bis
zur Zielmarke und zurück benötigt. Hierbei werden beeinflussende Parameter wie Luftfeuchtigkeit, Temperatur und Helligkeit mit einbezogen. Es wird
ebenfalls der Winkel α gemessen, wozu der Winkel β benötigt wird.
102
Schließlich wird nach dem Kosinussatz die Länge der Strecke M Z berechnet,
von der der Radius des Wurfkreises abgezogen wird um die Wurfweite w zu
erhalten:
q
2
2
M Z = M T + T Z − 2 · M T · T Z cos α.
Damit ist die Wurfweite w = M Z − 2,5 m.
(vgl. [6])
(5)
Anwendungen aus der Astronomie
In der Astronomie finden die Winkelfunktionen z. B. bei der Berechnung
von Durchmessern oder Entfernungen von Planeten sowie ihren Sehwinkeln
Anwendung (vgl. WK, S. 120ff., NW, LS).
Morgen- bzw. Abendstern Wir wollen
den Grund dafür näher beleuchten, dass
der Planet Venus Morgen- bzw. Abendstern
heißt.
Die Bahnellipsen der Planeten um die Sonne liegen, mit Ausnahme der des Plutos,
fast in einer Ebene, genannt Ekliptik. Die
Bahnellipsen von Venus und Erde sind beinahe kreisförmig. Ihre mittleren Abstände
von der Sonne betragen 108 Millionen Kilometer bzw. 150 Millionen Kilometer10 . Die
sogenannten unteren Planeten des Sonnen- Abb. 5.25: Morgen- bzw.
systems, also Venus und Merkur, die inner- Abendstern
halb der Erdbahn um die Sonne kreisen, stehen nie am Nachthimmel. Befinden sie sich zwischen Erde und Sonne (untere
Konjugation) oder von der Erde aus gesehen hinter der Sonne (obere Konjugation) sind sie nicht sichtbar. Ansonsten kann man die Venus entweder kurz
vor Sonnenaufgang im Osten oder kurz nach Sonnenuntergang im Westen
wahrnehmen. Bei maximalem Sehwinkel, unter dem man von der Erde aus
Sonne und Venus sieht, ist diese am besten sichtbar. Den maximalen Sehwinkel ermittelt man wie folgt:
(Abb. 5.25) Zeichnet man in die Tangente (eine der Tangenten) von der Erde
an die Umlaufbahn der Venus, erkennt man das rechtwinklige Dreieck ET S.
10
Man beachte, dass die Realität im Modell an verschiedenen Stellen abermals vereinfacht dargestellt wird: die Bahnen lägen in einer Ebene, die Bahnen seien kreisförmig mit
festem Radius. Des Weiteren werden die Planeten als punktförmig angenommen.
103
Der Winkel α ermittelt sich als
sin α =
TS
108
=
= 0,72
150
ES
⇒
α ≈ 46◦ .
Bei günstigen Wetterverhältnissen kann die Venus bei dieser größten Elongation sogar am Taghimmel beobachtet werden (vgl. WK, S. 122).
Stundenlanger Sonnenuntergang Bei Transatlantikflügen kann es passieren, dass die Sonne stundenlang am Horizont „stehenbleibt“ oder sich sogar
kurzfristig „rückwärts bewegt“. Auf welchem Breitenkreis genügt die Reisegeschwindigkeit eines Flugzeugs von ungefähr 800 km/h, damit sich beim Flug
Richtung Westen der Sonnenstand nicht ändert?
Innerhalb von 24 Stunden nimmt die Sonne von einem festen Punkt auf
der Erde aus betrachtet wieder eine vergleichbare Position ein. Die Bahngeschwindigkeit v0 eines Punktes am Äquator (mit Länge 40 000 km) berechnet
sich daher wie folgt:
40 000 km
= 24 h
v0
⇒
v0 ≈ 1 667 km/h.
Fliegt ein Flugzeug mit dieser Geschwindigkeit über dem Äquator von Osten
nach Westen, ändert sich der Sonnenstand nicht. Allerdings fliegen die meisten Passagierflugzeuge deutliche langsamer als v0 , welches über der Schallgeschwindigkeit liegt.
Daher suchen wir einen Breitenkreis, der entsprechend kleineren Umfang hat.
800
= 0,48
Der Radius r des zugehörigen Breitenkreises muss um den Faktor 1667
kleiner sein als jener des Äquators. Es muss also gelten r = 0,48R. Wir hatten
bereits gesehen (s. Breitenkreise), dass sich der Radius eines Breitenkreises
mittels r = R · cos ϕ ermitteln lässt. Aus cos ϕ = 0,48 folgt, dass entlang des
Breitenkreises von ϕ = 61,3◦ nördlicher oder südlicher Breite geflogen werden muss. Das Ergebnis passt zu der Tatsache, dass die Flugroute bei Flügen
von Europa nach Nordamerika über die Südspitze Grönlands verläuft. Diese
liegt in den entsprechenden Breitengraden (vgl. WK, S. 132).
104
6
Zusammenfassung und Ausblick
Im Verlauf der Arbeit habe ich einen umfassenden Überblick über die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens am rechtwinkligen und allgemeinen Dreieck gegeben. Für die Realisierung der interaktiven Lerneinheit, an der ich mich gerne persönlich beteilige, bleiben noch
wenige Fragen offen, auf die ich nun kurz eingehen möchte.
Einheiten 2 und 3 beschäftigen sich mit den Eigenschaften von Winkelfunktionen sowie den zentralen Sätzen Sinus- und Kosinussatz. Besonderen
Wert habe ich dabei auf die Darstellung der Zusammenhänge am Einheitskreis gelegt. Als entsprechende Grundlage wurde in Einheit 1 das nötige
Basiswissen aus der Dreiecksgeometrie aufbereitet sowie in allen Einheiten
detaillierte Beispiele, Übungsaufgaben und Tests vorgestellt. Diese bedürfen
für eine Umsetzung in der Lernumgebung ILIAS noch einer Vervollständigung. Es müssen weitere Aufgaben gefunden und Tests zusammengestellt
werden. Die aufgeführte Schulbuchliteratur sollte dies erleichtern. Zudem
bleibt die Entscheidung offen, in welcher Form Musterlösungen für weiterführende Aufgaben und Fragen zum Nachdenken gegeben werden können.
Auch diese könnten sicherlich um weitere Fragen bereichert werden.
Einheit 4 gibt einen kurzen Einblick in die Anwendungsbereiche der Trigonometrie in naturwissenschaftlichen Disziplinen. Hierbei erschienen mir die
Vielfältigkeit der Beispiele und die knappe Thematisierung des Modellbegriffs
besonders wichtig. Noch nicht geklärt ist, welche der Beispiele in ILIAS als
Beispiele, welche als Aufgaben verwendet werden. Der Erweiterung um zusätzliche Aufgaben oder Beispiele aus anderen Bereichen sind keine Grenzen
gesetzt.
Die Auswahl an Abbildungen ist in allen Einheiten ebenfalls nicht erschöpfend. Besonderes Augenmerk sollte darauf gelegt werden, die Interaktivität der Lernumgebung zu nutzen.
Ganz ausgeblendet wurden in dieser Arbeit die trigonometrischen Funktionen in der Analysis, die die Lerneinheiten zum Thema Trigonometrie vervollständigen dürften. Damit wird der Schulstoff der Oberstufe zu diesem
Thema mit einbezogen. Hierbei sollte besonderer Wert auf die sinnvolle Verknüpfung der bisherigen Erkenntnisse mit den analytischen Eigenschaften
der Funktionen gelegt werden. Auch hier sind viele Möglichkeiten für Anwendungsbeispiele gegeben.
Somit hoffe ich, einen sinnvollen Beitrag zu der Aufnahme der Lerneinheiten Trigonometrie in die Online-Kurse zum Vorkurs Mathematik im Sommer
2009 geleistet zu haben.
105
Literaturverzeichnis
Schulbuchreihen (Klasse 5 bis 10)
LS: Lambacher Schweizer – Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium – Ausgabe Nordrhein-Westfalen, Ernst Klett Verlag GmbH,
Stuttgart 1996.
NW: Neue Wege – Arbeitsbuch für Gymnasien, Druck A, Schroedel Verlag,
Braunschweig 2004.
SW: Schmitt Wohlfahrt – Mathematikbuch – Ausgabe GN, Bayrischer Schulbuchverlag, München 1986-1990.
Weitere Quellen
GL: Glaeser, Georg: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, 2. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag (Elsevier
GmbH), München 2007.
WK: Glaeser, Georg: Der mathematische Werkzeugkasten – Anwendungen in Natur und Technik, 2. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag
(Elsevier GmbH), München 2006.
[1]: Kaminski, Jennifer A./Sloutsky, Vladimir M./Heckler, Andrew F.: „Learning Theory – The Advantage of Abstract Examples in Learning Math“, Science Magazine, 25. April 2008: 454–455,
<http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/sci;320/5875/454>
(14.10.2008).
KK: Koecher, Max/Krieg, Aloys: Ebene Geometrie, 2. neu bearb. und
erw. Aufl., Springer Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 2000.
[2]: Krieg, Aloys/Verhulst, Ferdinand/Walcher, Sebastian:
„›Lieve Maria‹ – Niederländische Studenten beschweren sich über den
Mathematikschulunterricht“, Mitteilungen der Deutschen MathematikerVereinigung 16/2008: 16–18.
[3]: Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II – Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen – Mathematik, Ritterbach Verlag, Frechen 1999.
[4]: Tipler, Paul A.: Physik, 3. korrigierte Aufl., Spektrum Verlag, Heidelberg–Berlin–Oxford 2000.
106
[5]: Vom Lehn, Brigitta: „Rechnen kann befreiend sein“, Welt am Sonntag – Welt online, 11. Mai 2008, <http://www.welt.de/wams_print/
article1985008/Rechnen_kann_befreiend_sein.html> (14.10.2008).
[6]: o.A.: „Weitenmessung in Rekordzeit“, Reporter, Das Magazin der Leica
Geosystems 45, 2000: 4–7, <http://www.leica-geosystems.com/re
porter/reporter_45/reporter45_de.pdf> (19.08.2008).
[7]: Aufgabenblatt aus dem Internet <http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/sm
art/gym/j09neu/dreieck/dreiecka/dreiecka.pdf> (14.10.2008).
107
Selbstständigkeitserklärung:
Ich versichere, dass ich die schriftliche Hausarbeit - einschließlich beigefügter
Zeichnungen, Kartenskizzen und Darstellungen - selbstständig verfasst und
keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Alle
Stellen der Arbeit, die dem Wortlaut oder dem Sinne nach anderen Werken
entnommen sind, habe ich in jedem Fall unter Angabe der Quelle deutlich
als Entlehnung kenntlich gemacht.
Datum:
Unterschrift:
108