5 Kreisbewegung und Rotation

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5
Kreisbewegung und Rotation (rotación, la)
A1:
Nenne Beispiele für kreisförmige Bewegungen und Drehungen aus dem Alltag!
A2:
Nenne die grundlegenden Bewegungsformen die kennst!
1
Abb.1: Turmspringer
A3:
Beschreibe die Unterschiede der Bewegungen in Abb.1.
A4:
Durch welche physikalischen Größen wird eine Translation beschrieben?
5.1
Die Bewegung auf der Kreisbahn, Drehwinkel
A1:
Beobachte den Sekundenzeiger auf deiner Uhr und beschreibe die Bewegung der
Zeigerspitze.
Wir beobachten, wie sich starrer Körper um eine feste Drehachse dreht.
Abb.1: Die Position eines kreisenden Massenpunktes wird durch seinen Abstand r von der
Drehachse und durch den Drehwinkel φ beschrieben.
A2:
Beschrifte die Abb.1 dementsprechend!
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2
Die Angabe des Drehwinkels erfolgt häufig im Bogenmaß:
A3:
Zeichne in den Einheitskreis (r = 1E) einen beliebigen Winkel φ und versuche eine
Beziehung zwischen Bogenmaß und Gradmaß herzustellen! U = 2.π.r
Abb. 2:
A4:
Einheitskreis
Schreibe in die Tabelle die fehlenden Werte ein!
Gradmaß
Bogenmaß
360°
2π
180°
1°
π/2
1
Der von einem kreisenden Punkt zurückgelegte Kreisbogen b ist zum Drehwinkel φ
direktproportional:
b=k.φ
k…Porportionalitätsfaktor
Das heißt das Verhältnis
b
ϕ
= konstant =
2rπ
=r ⇒ b=r.φ
2π
Drehwinkel(ángulo de fase, el):
ϕ=
b
r
φ …Drehwinkel
b…Kreisbogen
r…Radius der Drehbewegung
Einheit: [φ] = rad
Beachte: Der Drehwinkel ergibt sich als Quotient zweier Längen.
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3
A5:
Der Sekundenzeiger einer Uhr ist 15mm, der Minutenzeiger 14mm und der
Stundenzeiger 12mm lang.
Berechne die Länge der Kreisbögen b, die die Zeigerspitzen in einer halben Stunde
zurücklegen!
Schreibe den Drehwinkel φ in Grad und in rad!
A6:
Eine CD hat einen Durchmesser d = 12cm. Die CD dreht sich 7000mal pro Minute.
Berechne den Kreisbogen b, den der äußerste Punkt auf der CD zurücklegt.
Schreibe den Drehwinkel φ in Grad und in rad!
5.1.1 Die gleichförmige Drehung, Winkelgeschwindigkeit (angular
velocity; velocidad angular, la)
A1:
Wiederhole die Begriffe Geschwindigkeit, Betrag der Geschwindigkeit, Richtung der
Geschwindigkeit!
Man spricht von einer gleichförmigen Drehung, wenn bei der Drehung des Körpers
der Betrag der Geschwindigkeit gleich bleibt.
Die Änderung des Drehwinkels wird durch die Winkelgeschwindigkeit ω
beschrieben.
Winkelgeschwindigkeit:
Winkel g eschwindigkeit =
ω=
Änderung des Drehwinkels
dazu benötigte Zeit
∆ϕ
∆t
ω…Winkelgeschwindigkeit
∆φ…Änderung des Drehwinkels
∆t…dazu benötigte Zeit
A2:
Leite die Einheit von ω her!
Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Maß für die Schnelligkeit einer
Drehbewegung.
Für die gleichförmige Drehung gilt ω = konst.
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4
Für manche Anwendungen ist es wichtig die Zeitdauer T für eine Umdrehung
anzugeben. Dazu erhalten wir aus der Definition der Winkelgeschwindigkeit:
2π
T
T ....Dauer einer Umdrehung
ω=
T=
2π
ω
A3:
Berechne die Winkelgeschwindigkeit einer rotierenden Spule eines elektrischen
Generators, die 6mal pro Sekunde eine volle Drehung ausführt.
A4:
Eine Wäscheschleuder rotiert mit 1400 Umdrehungen pro Minute.
Berechne die Winkelgeschwindigkeit ω und T!
A5:
Berechne die Winkelgeschwindigkeit des Sekunden-, Minuten- und Stundenzeigers!
A6:
Berechne die Winkelgeschwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne
(rErdbahn=1,5.1011m)! Gib die dazugehörige Umdrehungsdauer in s an!
A7:
Berechne die Winkelgeschwindigkeit eines am Erdäquator mit der täglichen
Erddrehung mitrotierenden Punktes! ( rErde = 6370 km)
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5
5.1.2 Die Bahngeschwindigkeit (velocidad (el) de la órbita) eines
rotierenden Körpers
Die Geschwindigkeit der Erde lässt sich aus dem zurückgelegten Weg und der dazu
benötigten Zeit berechnen. Wir sprechen von der so genannten Bahngeschwindigkeit
der Erde.
Abb.1:Metallteile werden beim Schneiden tangential weggescleudert!
A1:
Beschrifte die Abb.2!
Abb.2: Die Bahngeschwindigkeit wird auch Tangentialgeschwindigkeit genannt.
A2:
Vervollständige!
v=
∆s
=
∆t
=
= r.ω
Bahngeschwindigkeit:
v=r.ω
v…Bahngeschwindigkeit
r…Radius der Kreisbahn
ω…Winkelgeschwindigkeit
A3:
Bestimme die Einheit der Bahngeschwindigkeit!
Bei der gleichförmigen Drehung bleibt der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant!
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6
A4:
Berechne die Bahngeschwindigkeit eines Punktes am Äquator!
A5:
Berechne die Winkelgeschwindigkeit des Autoreifens eines PKWs, der mit einer
Geschwindigkeit v = 130 km/h fährt. (r = 35cm)! Wie viele Umdrehungen pro
Sekunde führt der Autoreifen aus?
5.1.3 Die Zentripetalkraft (fuerza (la) centrípeta) und
Zentripetalbeschleunigung(aceleración (la) centrípeta)
A1:
Wiederhole den Begriff der Trägheit!
A2:
Versuche mit dem Fahrrad eine Kurve ohne Neigung zu fahren!
A3:
Lass einen Körper an einer Schnur um dich kreisen und beschreibe die Kraft,
die du spürst!
Um einen Körper von seiner gradlinigen Bahn auf eine Kreisbahn abzulenken, ist wegen
der Trägheit eine Kraft normal zur gradlinigen Bahn notwendig. Diese Kraft wirkt immer
zum Zentrum der Kreisbahn (zur Drehachse) hin und heißt Zentripetalkraft.
A4:
Abb.4:
Zeichne eine Massenpunkt der sich auf der Kreisbahn bewegt ein. Zeichne weiters die
Richtungen der Bahngeschwindigkeit, der Zentripetalkraft und
Zentripetalbeschleunigung dieses Massenpunkts ein!
Wirkt auf einen Körper mit der Masse m normal zur Bahngeschwindigkeit
r
r
v eine Kraft F , so wird der Körper in diese Richtung beschleunigt.
Zentripetalkraft (fuerza (la) centrípeta):
F=
m.v 2
r
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F…Betrag der Zentripetalkraft
m…Masse
v…Geschwindigkeit
r…Radius
Die Zentripetalkraft ist stets zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet. Sie wächst mit
dem Quadrat der Geschwindigkeit.
A5:
Leite die Einheit der Zentripetalkraft in Basiseinheiten her!
A6:
Überlege welche Beziehung für die Zentripetalbeschleunigung (aceleración (la)
centrípeta) gilt?
A7:
Setze für den Betrag der Bahngeschwindigkeit v = r.ω ein!
A8:
Zwei Rennautos fahren Seite an Seite in eine Kurve.
Vergleiche die Zentripetalkräfte
a.
bei gleicher Winkelgeschwindigkeit
b.
bei gleicher Bahngeschwindigkeit!
A9:
Nenne Beispiele, wo im täglichen Leben Zentripetalkräfte auftreten!
A10:
Mit einem Karussell wird eine Person mit der Masse von 60 kg auf einer
Kreisbahn von etwa 6m bewegt. Das Karussell benötig für eine Umdrehung die
Zeit T = 4s.
Welche Zentripetalkraft wirkt auf die Person?
A11:
Ein Auto fährt durch eine Kurve, deren Radius r = 15 m beträgt.
Welche Zentripetalbeschleunigung (aceleración (la) centrípeta) muss auf das
Auto wirken, wenn die Kurve mit 30, 60 und 120 km/h durchfahren wird!
A12:
Berechne die Zentripetalbeschleunigung (aceleración (la) centrípeta) auf ein
Teilchen des Reifenprofils bei einer Geschwindigkeit v = 100 km/h!
(Reifenradius r = 25 cm)
A13:
Der Mond umkreist die Erde in einer Entfernung von etwa 380 000 km und
braucht für einen Umlauf etwa 27 Tage. Wie groß ist die
Zentripetalbeschleunigung (aceleración (la) centrípetades) Mondes?
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A14:
Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung (aceleración (la) centrípeta) auf ein
Wäschestück in einer Wäscheschleuder, die mit 1400 Umdrehungen pro
Minute rotiert. (r = 10 cm)?
A15:
Auch beim Paartanz gilt das 3. Newton´sche Axiom.
Überlege, was sich über die Bahnradien bei Tanzenden mit unterschiedlichen
Massen sagen lässt.
Abb.5: Paartanz
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5.2
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Der Drehimpuls (angular momentum; impulso o ímpetu angular, el)
5.2.1
Der Drehimpuls im abgeschlossenen System
Eine Drehung wird durch den Radius, durch die Geschwindigkeit und durch die Lage
der Drehbahn bestimmt.
Versuch1:
Die Versuchsperson sitzt am Drehschemel und zieht bei langsamer Rotation
die Gewichte zum Körper.
A1:
Beobachte den Versuch und beschreibe den Versuchsverlauf! (Skizze!)
Für einen Massenpunkt gilt: Die Bahngeschwindigkeit nimmt zu, wenn sich der Radius
verkleinert.
m . v1 . r 1 = m . v2 . r 2
Drehimpuls (impulso o ímpetu angular, el)
L = m .v. r
L…Drehimpuls(impulso o ímpetu angular, el )
m…Masse(masa, la)
v…Bahngeschwindigkeit(velocidad (la) de la órbita)
Einheit: [L] = J.s
A2:
Leite die Einheit des Drehimpulses in Basiseinheiten her!
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Beispiele von Drehimpulsen
in J.s
Kreisbahn der Erde um die Sonne
Erdrotation
Autoreifen ( bei ca. 100 km/h)
Auto-CD
Planck´sches Wirkungsquantum h
3.1040
6.1033
1.102
1.10-2
6,6.10-34
A3:
Rechne nach, ob der angegebene Wert für den Drehimpuls der Bewegung der Erde
um die Sonne richtig ist. (r = 150 Mio km, mE = 6. 109 Pkg)
Die Drehbewegung lässt sich besser beschreiben, wenn Vektoren verwendet werden!
A4:
10
Beschrifte die Abbildung!
Abb1. : Die Orientierung des Drehimpulsvektors hängt vom Drehsinn ab.
Der Drehimpuls ist ein Vektor:
r
r r
L = mr × v
Für gleichförmig bewegte Körper – auf sie wirkt keine Kraft – gilt der
Impulserhaltungssatz.
Für kreisende Körper gilt die Erhaltung des Drehimpulses:
Satz von der Erhaltung des Drehimpulses
In einem abgeschlossenen System bleibt der Drehimpuls konstant.
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r
L = konst.
r
∆L = 0
r
L...Drehimpulsvektor(impulso o ímpetu angular, el)
r
∆L...Änderung des Drehimpulsvektors
A5:
Nenne Beispiele zur Drehimpulserhaltung und erkläre diese!
Versuch 2:
Führe Drehschemelversuche durch, die die Drehimpulserhaltung zeigen!
A
DieVersuchsperson sitzt auf einem ruhenden Drehschemel und hält ein Rad in
den Händen. Sie versetzt das Rad in Drehung. Beschreibe was passiert!
B
Ein sich drehendes Rad wird der Versuchsperson von außen in die Hände
gegeben. Beschreibe was passiert!
C
Ein sich drehendes Rad wird der Versuchsperson von außen in die Hände
gegeben und die Versuchsperson kippt die Drehachse. Beschreibe was
passiert!
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5.2.2 Das Trägheitsmoment(momento de inercia, el)
Beispiel: Schwungrad
Wir betrachten ein rotierendes Schwungrad und stellen es uns aus vielen kleinen
Massenpunkten vor.
Abb.1: Schwungrad
A1:
Berechne den Betrag des Drehimpuls des Schwungrads
Trägheitsmoment(momento de inercia, el)
Für einen Massenpunkt: I = m.r2
I….Trägheitsmoment(momento de inercia, el)
m...Masse(masa, la)
r.....Radius(radio, el)
Einheit:[I] = kg.m2
12
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Daraus folgt, dass die Trägheit bei einer Drehbewegung, nicht nur von der Masse abhängt
sondern auch von der Entfernung!
A2:
Leite die Formel L = I.ω her!
A3:
Der Drehimpuls ist eine vektorielle Größe. Wie muss die Formel L = I.ω
vektoriell geschrieben aussehen?
A4:
Welche Richtung hat die Winkelgeschwindigkeit in den beiden Drehungen?
Beispiel:
Neutronenstern
Die meisten Sterne rotieren wie unsere Sonne langsam um die Achse. Der Drehimpuls ist
durch L = I.ω gegeben. Es kann vorkommen dass ein solcher Stern unter der eigenen
Gravitationskraft zusammenfällt. Sein Radius verkleinert sich von Millionen Kilometer
auf ungefähr 10km.
A5:
Wie wird sich der Stern nun verhalten?
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5.2.3 Das Drehmoment (momento, el
A1:
14
(de torsión))
Beschreibe, wie sich ein starrer Körper bewegt, wenn auf ihn zwei parallele, entgegen
gesetzt orientierte Kräfte wirken!
Wie bewegt sich der Körper wenn die Kräfte im Massenmittelpunkt angreifen?
Abb1: Drehung eines starren Körpers
Solche Bewegungen treten im Alltag häufig auf:
Der Hebel
Abb2: Hebel
A2:
Welcher Arm ist der Lastarm welcher der Kraftarm?
A3:
Vergleiche die Arbeit W die links bzw. rechts verrichtet wird!
Daraus folgt das Hebelgesetz (principio (el) de equilibrio de momentos):
Last mal Lastarm = Kraft mal Kraftarm
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Abb.3: Eine Kraft wirkt auf eine Drehscheibe die drehbar gelagert ist.
A4:
Beschrifte die Abbildung.
A5:
Welcher Zusammenhang gilt zwischen l, r und φ?
Drehmoment
M = F. l
M…Drehmoment(momento, el (de torsión))
F….Kraft(fuerza, la)
l…Hebelarm(planca,la)
A6:
Gib die Einheit des Drehmoments in Basiseinheiten an!
Das Drehmoment ist eine vektorielle Größe!
Als Vektor geschrieben:
r r r
M = r×F
r…ist der Abstand vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft.
A7:
Zeichne jeweils eine angreifende Kraft den Drehpunkt und die Orientierung des
Drehmoments ein!
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A8:
Nenne Situationen aus dem Alltag, in denen Drehmomente auftreten!
A9:
Gib Beispiele für Hebel als „Kraftübersetzer“ aus dem Alltag an!
A10: Wo treten Drehmomente und Hebel beim Fahrrad auf?
A11: Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt für die Leistung P = M .ω.
In einem Autoprospekt steht bei 3600 Upm hat das Auto ein Drehmoment
M = 200 Nm.
Berechne ω der Kurbelwelle und die Leistung des Motors!
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5.3 Die Rotationsenergie (energía de rotación, la)
Versuch:
Energierad oder Jojo
Wir vergleichen die Bewegung eines frei fallenden und eines abrollenden
Jojo.
Abb.1: Jojo
A1:
Skizziere und beschreibe den Versuch!
A2:
Überlege:
Das fallende und das abrollende Jojo erreichen beide das Ende der
Schnurlänge.
Welcher der beiden Körper hat mehr Energie?
Welche Energieformen treten bei beiden Körpern auf?
A3:
Überlege:
Was geschieht mit der Energie des frei fallenden Jojo, wenn es
am Boden aufprallt?
Was bewirkt die Energie des abrollenden Jojos, wenn die Schnur ganz
abrollt?
A4:
Leite die Formel der Rotationsenergie aus der Formel der kinetischen Energie her!
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Rotationsenergie
Ek = I ⋅
ω2
2
Ek…Rotationsenergie (energía de rotación, la)
I...Trägheitsmoment (momento de inercia, el)
ω...Winkelgeschwindigkeit (velocidad angular, la)
Versuch:
Ein Hohlzylinder und ein massengleicher voller Zylinder mit gleichen
Abmessungen rollen eine schiefe Ebene hinunter!
Erkläre das unterschiedliche Verhalten!
5.4
Rotierende Bezugssysteme (sistema (el) de referencia)
A1:
Was ist ein Inertialsystem (sistema (el) inercial)?
Versuch:
Eine Versuchsperson fährt mit dem Fahrrad durch die Kurve (Rotierender
Beobachter)!
Eine andere Person beobachtet diesen Vorgang (Ruhender Beobachter).
Abb.1: Radfahrer
A2:
Beschreibe was die beiden Beobachter wahrnehmen!
Ruhender Beobachter
Beispiele:
Kurvenfahrt eines Autos
Rotierender Beobachter
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A3:
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Beschreibe was der ruhende bzw. der rotierende Beobachter wahrnimmt.
Ruhender Beobachter
Rotierender Beobachter
Zentrifuge
Ruhender Beobachter
Rotierender Beobachter
Die Kraft die nach außen auftritt wird als Scheinkraft bezeichnet, da sie nur in einem
rotierenden (beschleunigten) Bezugssystem auftritt. Sie wird durch die Trägheit verursacht.
A4:
Erkläre die Wirkungsweise einer Wäscheschleuder!
A5:
Warum ist die Erdbeschleunigung am Äquator geringer?
A6:
Berechne, ab welcher Umdrehungsgeschwindigkeit die Erde (ab welcher Tageslänge)
das Gewicht am Äquator verschwinden würde!
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A7:
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Vergleiche die entsprechenden physikalischen Größen der Translation und der
Rotation!
Translation
Rotation
r
Weg s
Geschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
r
α=
Masse
Leistung
P = F⋅ v
(v=konstant)
r
ω
Drehimpuls
Rotationsenergie
r
r
Bewegungsgleichung M = I ⋅ α
Leistung P = M ⋅ ω (v=konstant)
t