Wechselstrom - Dr. F. Raemy

Wechselstrom
Dr. F. Raemy
Wechselspannung und Wechselstrom können stets wie folgt dargestellt werden :
U ( t ) = U 0 cos (! t + "U )
;
I ( t ) = I 0 cos (! t + " I )
1 Widerstand im Wechselstromkreis
Phasenverschiebung: !" = "U # " I = 0
$
" I = "U
U! = R " I !
I ( t ) = I 0 sin (# " t )
$ U ( t ) = R " I 0 sin (# " t )
$ U0 = R " I 0
2 Kapazität im Wechselstromkreis
Phasenverschiebung: !" = "U # " I = # $2
dQ
dt
= I ! = I ( t ) = C dU
dt
U ( t ) = U 0 cos (" # t ) = U 0 sin (" # t + $2 )
% I ( t ) = &C # " #U 0 sin (" # t ) = &I 0 sin (" # t ) = I 0 sin (" # t + $ )
Wechselstrom R, L, C
1
% RC =
1
" #C
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3 Induktivität im Wechselstromkreis
Phasenverschiebung: !" = "U # " I =
U ( t ) = L dIdt
$
2
[ L ] = VsA = H
I ( t ) = I 0 sin (! " t + #2 ) = I 0 cos (! " t )
$ U ( t ) = L " ! " I 0 cos (! " t + #2 ) = U 0 sin (! " t + # )
$ RL = ! " L
ZUSAMMENFASSUNG
Û
; Û, Î : Scheitelwerte
2
Wechselspannung:
U = Û sin (! t + "U ) ; U eff =
Wechselstrom:
I = Î sin (! t + " I ) ; I eff =
effektive Leistung
P = UI cos (! I " !U ) = U eff I eff cos (! I " !U )
lmpedanz eines Widerstandes R: Z =
Û
Î
=
U
I
=R
lmpedanz einer Kapazität C
Z=
Û
Î
=
U
I
=
lmpedanz einer Spule
Z=
Û
Î
=
U
I
=! "L
Wechselstrom R, L, C
Î
; U eff , I eff : Effektivwerte
2
1
! "C
2
L : Induktivität
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4 Resonanzkreise
4.1 Serienresonaz
1 &
#
Z = R2 + % ! L "
(
$
! C'
2
! L"
1
!C
;
tan ()1 " ) 2 ) =
;
# 1
&
tan ()1 " ) 2 ) = R %
" ! C(
$! L
'
R
4.2 Parallelresonanz
1
=
Z
1 #
1 &
+ %! L "
(
2
R $
! C'
2
4.3 Resonanzfrequenz des ungedämpften Schwingkreises
fres =
1
2! LC
5 DAS WECHSELSTROMVERHALTEN VON WIDERSTAND,
KAPAZITÄT UND INDUKTIVITÄT
5.1 Experimente:
Wir betrachten den folgenden Versuchsaubau und führen für R, C und L diesen Versuch drei Mal
durch, um das Verhalten der Elemente bei verschiedenen Frequenzen zu erfahren.
5.2 Beschreibung
Der Wobbelfunktionsgenerator erzeugt Schwingungen, deren Frequenz man von Hand einstellen kann
oder deren Frequenz proportional zur Zeit ansteigen. Im ersten Fall können Amplituden für eine
bestimmte Frequenz verglichen werden, im zweiten Fall kann das Frequenzverhalten der drei
Elemente R, C und L studiert werden. Das Signal des Wobbelfrequenzgenerators wird am Eingang E
auf den Kabelbahnhof geschaltet. Der Anschluss K wird für die externen Komponente R, C oder L
verwendet.
5.3 Der Schalter S
Der Schalter S ermöglicht in der ersten Position die Messung der Spannung am Innenwiderstand
Ri = 100 ! ohne die Komponenten am Anschluss K. Der Anschluss K ist kurzgeschlossen.
In der zweiten Schalterstellung wird auf dem Kanal 1 (CH 1) die Spannung über dem Widerstand
Ri = 100 ! zugänglich, die proportional zum Strom durch den Innenwiderstand und somit auch zum
Wechselstrom R, L, C
3
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Strom in R, C und L ist. Ist die Wobbelfrequenz ausgeschaltet, wird die konstante Frequenz aus einem
Frequenzmesser abgelesen oder aus der Periode der Schwingung am Oszillographen bestimmt.
Damit ergibt sich das prinzipielle Schaltbild jeweils für R, C und L:
5.4 Die Messung von R, L und C
Wir schalten den Trigger des Oszillographen auf im Falle einer Spektralmessung auf TRIGGER
NORMAL, CH 1, LF. Die Anfangsfrequenz F1 die Endfrequenz F2 und die Sweeprate SR werden am
Frequenzgenerator in dieser Reihenfolge eingestellt. Die Sweeprate SR bestimmt die Zeit pro Einheit
auf dem Oszillographen. Bei einer SR = 1 muss die Zeit pro Einheit auf 0.1 s eingestellt werden. Dann
ist pro Sweep das gesamte Sprektrum mit Anfangsfrequenz F1 und Endfrequenz F2 sichtbar.
5.4.1 Beobachtungen
1) An K ein Widerstand
2) An K eine Kapazität
3) An K eine Induktivität
5.4.2 Beschreibung des Zusammenhanges U und I
UR = R ! IR
Q = C !U
dQ
dU
= IC = C !
dt
dt
UL = L !
1
" IC
! "C
I C ( f ) = konst
UL = ! " L " IL
dI
dt
daraus folgt:
UR = R ! IR
I R ( f ) = konst
" U R ( f ) = konst
Wechselstrom R, L, C
UC =
# UC ( f ) $
I L ( f ) = konst
# UL ( f ) $ f
1
f
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Damit können aus den Amplituden-Messungen des Oszillographen die Proportionalitätskonstanten R,
C und L bestimmt werden.
I R = I Ri = I 0 sin (! t )
U C ( t ) = U 0C sin (! t )
U R = RI 0 R sin (! t )
U 0 R = RI 0 R " U 0 Ri = Ri # I 0 Ri
" I C ( t ) = U 0C ! # C cos (! t )
# U ( t ) = LI 0 L ! " cos (! " t )
" I 0C = U 0C ! # C
# U 0 sp = L " I 0 L " !
I 0C = I 0 Ri
I 0 L = I 0 Ri
I 0 Ri = I 0 R
$
U0R
=
U 0 Ri
R=
U0R
U 0 Ri
R
Ri
" I 0 Ri =
C=
Ri
I ( t ) = I 0 sin (! " t )
U 0 Ri
Ri
= U 0C ! # C
U 0 Ri
U 0C # Ri # !
=
U 0 Ri
U 0C # Ri # 2$ # f
# I 0 Ri =
L=
U 0 Ri
Ri
U 0 L " Ri
U Ri " !
=
= L " I 0L " !
U 0 L " Ri
U Ri " 2$ " f
5.4.3 Beispiele: Messung R, C und L durch Spannungs- und Frequenzmessung
Widerstandsbestimmung
Nominalwert: 50 !
!f
U 0 Ri = 1, 0 V
Kapazitätsbestimmung:
Nominalwert 100 nF
f = 20 kHz
U 0 Ri = 5, 35 ! 0, 5 V
Induktivitätsbestimmung
U 0 R = 0, 5 V
U 0C = 4, 3 ! 0, 5 V
U 0 L = 1, 7 V
Ri = 100 "
U0
# R = R Ri = 50 "
U 0 Ri
Ri = 100 "
U 0 Ri
#C =
= 99, 9 nF
U 0C Ri !$
Ri = 100 !
U 0 Ri
" L = L = 4, 2 $10 %5 VsA
U 0 Ri #
f = 225 kHz
U 0 Ri = 2, 85 V
6 Kombinationen von Kapazität und Induktivität und Messung
der Resonanzfrequenz
6.1 Versuchsaufbau
Parallelschaltung einer Kapazität und einer Induktivität: Die Resonanzfrequenz kann direkt aus der
Oszillographen - Darstellung abgelesen werden, wenn die maximale Frequenz F2 des SweepGenerators bekannt ist.
Es werden jedoch wesentlich genauere Resultate erzielt, wenn die Resonanzfrequenz durch den
direkten Vergleich beider Signale Kanal 1 und Kanal 2 mit Hilfe der Lissajous-Figur erfolgt. Im
Resonanzfall gilt, dass die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gleich Null ist. Weil
die Lissajous-Figur sehr sensibel auf Veränderungen der Phasenlage reagiert, drängt sich diese
Methode geradezu auf, um die Resonanzfrequenz genau zu bestimmen.
!L =
1
!C
" fres =
( 2# )
1
2
LC
"
$% = 0
Im Resonanzfall gilt für die Lissajous-Figur, dass diese eine schiefe Gerade im x-y-System des
Oszillographen ist. Die manuelle Einstellung der Frequenz auf diese Situation ist sehr einfach.
Wechselstrom R, L, C
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Bestimmung der Resonanzfrequenz und daraus die Kapazität C oder Induktivität L:
fres =
1
2! LC
"
C=
( 2! )
1
2
f #L
2
$
L=
( 2! )
1
2
f 2 #C
6.2 Vorgehen
Der Wobbel-Frequenzgenerator wird auf Wobbeln gestellt und kontrolliert, ob im Bereich zwischen
der Anfangsfrequenz F1 und Endfrequenz F2 ein Maximum der Amplitude auf dem Oszillographen
sichtbar ist. Wenn eine Resonanz auftritt, dann wird die Wobbelfunktion ausgeschaltet und manuell
die beobachtete Resonanzfrequenz unter zu Hilfenahme der Lissajous-Figur eingestellt. Die LissajousFigur zeigt im Resonanzfall eine schiefe Gerade.
6.3 Auditiver Vergleich Computersignal und analog erzeugtes Signal
Es ist hinreichend bekannt, dass das Ohr ein idealer Frequenzanalysator ist. Wir ersetzten die
Rogowskispule durch einen Lautsprecher. Wir wollen uns das Ohr als Messorgan zu Nutze machen.
Wir vergleichen die Frequenz aus der analogen Schaltung mit der Frequenz, aus dem Computer. Die
Resonanzfrequenz gibt eine typische Schwebung.
Wechselstrom R, L, C
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