alle Aufgaben Geometrie 1 - mathe

Gymnasium / Realschule
Aufgaben zum Faßkreisbogen (Randwinkelsatz)
1.
Konstruiere über [PQ] mit PQ = 5 cm einen Faßkreisbogen zum Umfangswinkel
a) ϕ = 50°
b) ϕ = 120°.
2.
Konstruiere (zeichne) die Menge aller Punkte P, von denen aus eine gegebene
Strecke [EF] mit EF = 4,5 cm unter dem Winkel 50° erscheint.
3.
Konstruiere (zeichne) jeweils das Dreieck ABC aus:
a) c = 8 cm;
γ = 60°;
hc = 6 cm
b) a = 8 cm;
α = 62°;
hb = 6,5 cm
c)
r = 4,5 cm; γ = 60°;
hc = 6 cm
d) c = 6 cm;
γ = 56°;
sc = 5,4 cm
e) c = 8 cm;
ha = 7,2 cm; hb = 6,7 cm
γ = 100°
f)
sc = 5 cm; β = 50°;
4.
Ein Mittelpunktswinkel µ ist um 30° größer als ein über demselben Kreisbogen
stehender Umfangswinkel ϕ.
Wie groß sind ϕ und µ ?
5.
Ein Umfangswinkel ϕ und sein Mittelpunktswinkel µ betragen zusammen 210°.
Wie groß sind ϕ und µ ?
6.
Konstruiere (zeichne) ein Parallelogramm ABCD mit α = 60°. Für die Diagonalen
gilt: e = 8 cm sowie f = 5 cm.
7.
Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis c = 6 cm und a = 5 cm.
Verwandle durch Konstruktion dieses Dreieck unter Beibehaltung der Basis in ein
anderes Dreieck, bei dem der Winkel an der Spitze
a) halb so groß
b) doppelt so groß
ist wie der ursprüngliche Winkel an der Spitze.
8.
A, B und C liegen so auf einer Gerade, daß AB = 5 cm und BC = 4 cm ist
(B zwischen A und C).
Konstruiere alle Punkte, von denen ausgleichzeitig [AB] unter 60° und
[BC] unter 30° zu sehen sind.
9.
Ein Haus mit rechteckigem Grundriß ist 20 m lang und 15 m breit.
Es soll so fotografiert werden, daß zwei Seiten unter demselben Sehwinkel 30°
aufs Bild kommen.
Konstruiere den Standort des Fotografen. Wie weit ist er von der Ecke entfernt ?
10.
Konstruiere denjenigen Punkt, von dem aus alle Seiten des Dreiecks ABC mit
a = 7 cm, b = 8 cm, c = 9 cm unter dem gleichen Winkel erscheinen.
GM_AU001****Lösungen 23 Seiten (GM_LU001)
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Gymnasium / Realschule
Aufgaben zum Faßkreisbogen (Randwinkelsatz)
11.
Konstruiere ein Viereck ABCD mit folgenden Eigenschaften:
AB = 3 cm, BC = 2,5 cm, β = 105°, δ = 75°. Außerdem gibt es einen Punkt, von
dem aus alle Seiten des Vierecks unter dem gleichen Winkel erscheinen.
12.
In einen Kreis k ( M ; r = 5 c m ) ist ein Dreieck zu konstruieren mit
a) α = 25°; β = 45°
b) α = 50°; γ = 60°
13.
Eine 20 m breite Hausfront soll von einem gegenüber liegenden, im Abstand von 15 m
parallel verlaufenden Gebäude so fotografiert werden, daß die gesamte Hausfront
gerade auf dem Film zu sehen ist. Das Objektiv der Kamera hat einen Öffnungswinkel
von 40°.
Konstruiere im Maßstab 1 : 250 eine Draufsicht mit den Stellen, von denen aus der
Fotograf gerade die ganze Hausfront auf den Film abgebildet bekommt.
14.
Eine Kreislinie wird durch vier bei einem Umlauf aufeinanderfolgende Punkte A, B, C
und D so geteilt, daß der Bogen BC zweimal, der Bogen CD viermal und der Bogen
DA fünfmal so groß ist wie der Bogen AB.
Berechne die Innenwinkel des Vierecks ABCD.
15.
Bestimme den geometrischen Ort für die Mittelpunkte aller Sehnen, die durch einen
innerhalb eines Kreises ( r = 5 cm ) gegebenen Punkt gehen.
GM_AU001****Lösungen 23 Seiten (GM_LU001)
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Flächenverwandlung - Scherung
1.
Verwandle ein symmetrisches (gleichschenkliges) Trapez ABCD mit a = 7 cm,
c = 3,6 cm, h = 4 cm in
a) ein flächengleiches Rechteck
b) ein flächengleiches Parallelogramm
c) ein flächengleiches Dreieck
2.
Konstruiere zu dem Rechteck ABCD mit a = 7 cm und b = 3 cm ein inhaltsgleiches,
gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis die Diagonale [BD] des Rechtecks ist.
3.
Gegeben ist das Quadrat ABCD mit a = 6 cm. Verwandle durch Konstruktion das
Quadrat in ein flächengleiches Dreieck APD mit P ∈ CD.
4.
Verwandle das gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge 7 cm in ein gleichschenkliges Dreieck mit gleichem Flächeninhalt.
5.
Verwandle ein Trapez mit a = 8 cm, c = 5 cm, ha = 4 cm, α = 50° in ein
flächengleiches, gleichschenkliges Trapez mit derselben Grundseite und Höhe.
6.
Gegeben ist das Parallelogramm ABCD mit A ( - 4 / 1 ), B ( 3 / - 2 ), C ( 6 / 3 ),
D ( - 1 / 6 ). Verwandle das Parallelogramm ABCD in
a) eine flächengleiche Raute AB´CD´ unter Beibehaltung der Diagonalen AC.
b) eine flächengleiche Raute unter Beibehaltung der längeren Parallelogrammseite.
7.
Das rechtwinklige Dreieck ABC mit den
Kathetenlängen a = 4 cm und b = 6 cm
ist in ein flächengleiches, rechtwinkliges
Dreieck mit der neuen Kathetenlänge
b´ = 8 cm umzuwandeln.
8.
Ein Rechteck mit den Seiten a = 7 cm und b = 4 cm soll in ein flächengleiches
Rechteck mit der neuen Seitenlänge a´= 5 cm verwandelt werden. Konstruiere das
neue Rechteck.
9.
Verwandle das Dreieck ABC mit a = 6 cm, b = 7 cm und c = 5 cm in ein flächengleiches Dreieck mit c´= 7 cm und α´ = α.
10.
Verwandle das Dreieck ABC mit [AB] = 8 cm, [AC] = 8,5 cm und α = 50° in ein
inhaltsgleiches Dreieck mit c´ = 6 cm und β´ = β.
11.
Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD mit a = 5 cm, b = 3,5 cm und α = 50°.
Konstruiere durch Scherung ein flächengleiches Parallelogramm mit
a) b´ = 4,5 cm, α´ = 60°
b) a´ = b´ = 4 cm
GM_AU002 **** Lösungen 17 Seiten (GM_LU002)
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Flächenverwandlung - Scherung
12.
Verwandle das Dreieck ABC mit c = 6 cm, a = 7 cm, b = 8 cm in ein flächengleiches
Dreieck mit den Seiten a´ = 8,5 cm und b´ = 9,5 cm.
13.
Das Dreieck ABC, gegeben durch a = 5 cm, b = 8 cm, c = 9 cm soll in ein flächengleiches Dreieck verwandelt werden, in dem a´ = 7 cm und γ´ = 60° sind.
14.
Verwandle ein Rechteck mit den Seiten 6 cm und 3 cm in ein inhaltsgleiches, rechtwinkliges Dreieck sodaß eine der Katheten 4,5 cm wird.
GM_AU002 **** Lösungen 17 Seiten (GM_LU002)
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Scherung
1.0
Zeichne in ein Koordinatensystem das Viereck PQRS mit P ( −3 1) ; Q (1 − 2 ) ;
R ( 5 1) und S (1 4 ) .
Platzbedarf: -4 < x < 6
-3 < y < 6
1.1
Weise durch Rechnung nach: das Viereck ist ein Parallelogramm.
1.2
Verwandle das Parallelogramm PQRS in ein flächengleiches Rechteck PQR’S’.
1.3
Es gilt PQ = 5 LE. Berechne PS '
2.0
Gegeben ist das Viereck ABCD mit A ( −4 1) ; B ( 3 − 2 ) ; C ( 6 3 ) ; D ( −1 6 ) .
(ohne Pythagoras).
Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -5 < x < 7
-4 < y < 7
2.1
Weise durch Rechnung nach: Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm.
2.2
Verwandle das Parallelogramm ABCD in eine flächengleiche Raute AB’CD’.
2.3
Berechne die Koordinaten von D’.
3.0
Gegeben ist das Viereck ABCD mit A ( −3 −1) ; B ( 4 −2 ) ; C ( 0 3 ) ; D ( −4 4 ) .
Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -7 < x < 5
-5 < y < 7
3.1
Verwandle das Viereck in ein flächengleiches Dreieck ABE mit x Ε < 0 und y Ε < 0 .
3.2
Verwandle das Dreieck ABE in ein flächengleiches, rechtwinkliges Dreieck A’BE
mit der Hypotenuse [BE] .
4.0
Zeichne in ein Koordinatensystem das Viereck ABCD mit A ( −1 2 ) ; B ( 0 − 3 ) ;
C ( 3 − 1) ; D ( 5 3 ) .
Platzbedarf:
-4 < x < 6
-4 < y < 9
4.1
Zeichne das Dreieck BCE, das den gleichen Flächeninhalt wie das Viereck ABCD hat.
4.2
Berechne die Koordinaten von E.
5.0
Zeichne in ein Koordinatensystem das Viereck PQRS mit P ( −6 1) ; Q ( 0 − 1,5 ) ;
R ( 2 0 ) ; S ( −3 5 ) .
5.1
5.2
Platzbedarf: -7 < x < 6
-8 < y < 7
Verwandle das Viereck in ein flächengleiches Dreieck SPT mit T ∈ [SR .
Zeige durch Rechnung, daß das Viereck PQRS den gleichen Flächeninhalt wie das
Dreieck SPT hat.
GM_AU015 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU015)
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6.0
Gegeben ist das Fünfeck mit A ( −3 1) ; B ( −1 − 5 ) ; C ( 5 − 2 ) ; D ( 3 4 ) ; E ( −1 6 ) .
Zeichne das Fünfeck in ein Koordinatensystem.
6.1
Verwandle das Fünfeck ABCDE in ein flächengleiches Viereck ABCF,
mit xF > 0 und yF > 0 .
6.2
Berechne die Koordinaten von F.
6.3
Zeige algebraisch: das Viereck ABCF ist ein Trapez.
6.4
Verwandle das Trapez ABCF in ein flächengleiches Parallelogramm.
7.
Konstruiere ein Dreieck ABC aus c = 6cm, α = 50 ° und β = 100 ° .
BM; γ=−45°
→ ∆ A’B’C’
Führe folgende Abbildung aus: ∆ ABC ⎯⎯⎯⎯⎯
M = Mittelpunkt von [ AC] .
8.
Gegeben ist das Fünfeck A (1 1,5 ) ; B ( 8 1) ; C (10,5 4 ) ; D ( 8,5 6,5 ) und E ( 0 6 ) .
Verwandle das Fünfeck in ein flächengleiches Dreieck AC’D’.
9.0
Gegeben ist das Dreieck PQR mit P ( −2 4 ) ; Q ( 2 − 1) ; R (1 7 ) .
Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -4 < x < 7
9.1
9.2
-2 < y < 8
Verwandle das Dreieck PQR in ein flächengleiches Dreieck PQR’ mit dem
Winkel R’QP = 90 °
Zeige durch Konstruktion: Es gibt kein rechtwinkliges Dreieck mit [PQ] als Hypotenuse, das den gleichen Flächeninhalt hat wie das Dreieck PQR (kurzer
Begründungssatz).
9.3
Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck, das dem ∆ PQR flächengleich ist und [QR]
als Basis hat.
10.0
Gegeben ist das Dreieck ABC0 mit A ( −2 1) ; B ( 4 − 2 ) und C0 ( 2 5 ) .
Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -3 < x < 6
-3 < y < 7.
10.1
Zeichne das Dreieck ABC 1 mit folgenden Eigenschaften:
C1 ∈ g; g: y = 0,5x + 1 und ∆ ABC 1 hat denselben Flächeninhalt wie ∆ ABC0.
10.2
Berechne die Koordinaten von C1
10.3
Zeichne das Dreieck ABC2, das bei B einen rechten Winkel und den gleichen
Flächeninhalt wie ∆ ABC0 hat.
10.4
Berechne die Koordinaten von C2 und zeige algebraisch: C0 ,C1 und C2 liegen auf
einer gemeinsamen Geraden.
10.5
Zeige durch Rechnung: alle Dreiecke ABC n mit Cn ∈ C0C1 haben den gleichen
Flächeninhalt. Wie groß ist dieser ?
GM_AU015 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU015)
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11.0
Gegeben ist das ∆ABC0 mit A ( −5 2 ) ; B (1 − 4 ) ; C ( 4 − 2 ) .
11.1
Verwandle das ∆ABC0 in ein flächengleiches , gleichschenkliges ∆ABC1
mit der Basis [AB].
11.2
Berechne die Koordinaten von C1 .
11.3
Verwandle das ∆ABC0 in ein flächengleiches, rechtwinkliges ∆ABC2
mit der Hypotenuse [AB].
11.4
Verwandle das ∆ABC0 in ein flächengleiches, rechtwinkliges ∆ABC3
mit der Hypotenuse [AC3].
11.5
Ermittle den Flächeninhalt aller flächengleichen Dreiecke ABCn mit Cn ∈ C1C2
in Abhängigkeit von x cn .
12.
Das Parallelogramm ABCD mit A ( 0 0 ) ; B ( 6 0 ) ; C ( 4 4 ) und D ( −2 4 ) soll
durch Scherung mit der x-Achse als Scherungsachse in eine flächengleiche Raute
verwandelt werden.
Konstruiere die Rauten und gib die Scherungswinkel an.
13.
Die Gerade g mit y =
1
2
x + 1 wird auf die Gerade g’ mit y = x + 2 abgebildet.
x − Achse; ϕ
→ g'
Für die Abbildung gilt: g ⎯⎯⎯⎯⎯
Ermittle den Scherungswinkel .
14.0
Das Dreieck ABC mit A ( 7 / - 2 ) , B ( 9 / 7 ) und C ( 0 / 3 ) wird durch Scherung auf das
x − Achse; ϕ=30°
→ ∆A 'B'C'
Dreieck A’B’C’ abgebildet: ∆ABC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
14.1
Zeichne das Dreieck ABC in ein Koordinatensystem und konstruiere das
Bilddreieck A’B’C’.
Platzbedarf: -2 < x < 10 -3 < y < 8. 1 LE 1 cm
14.2
Berechne die Koordinaten der Bildpunkte A’, B’ und C’.
14.3
Bestimme die Maße der Innenwinkel des Dreiecks ABC.
14.4
Berechne den Flächeninhalt A1 des ∆ABC und A2 des ∆A’B’C’ und bestätige A1 = A2.
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Gymnasium / Realschule
Flächenberechnung Dreieck, Trapez, Parallelogramm
Klasse 8
GM_AU028 **** Lösungen 5 Seiten (GM_LU028)
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GM_AU028 **** Lösungen 5 Seiten (GM_LU028)
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Gymnasium / Realschule
Teilung einer Strecke, Strahlensätze, Vierstreckensatz
Klasse 9
GM_AU029 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU029)
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GM_AU029 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU029)
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22.
23.
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25.
26.
27.
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29.
30.
31.
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32.
In dem gleichschenkligen Trapez ABCD sind gegeben:
AB = 200mm; AD = BC = 120mm; DC = 56mm .
Berechne den Flächeninhalt des schraffierten
Dreiecks.
GM_AU029 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU029)
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Gymnasium
Ähnlichkeitsabbildungen - Dreieck, Parallelogramm
1.
Konstruiere ein Dreieck ABC aus:
AB = c = 4cm ; )ACB = γ = 90° ; BC : AC = a : b = 3 : 5
mit Hilfe des Ähnlichkeitsverfahrens.
Man kann die Konstruktion auch mit Hilfe des Apollonischen Kreises durchführen.
Vergleiche beide Konstruktionen.
2.
Konstruiere ein Dreieck ABC aus folgenden Angaben:
3.
a)
α = 45° ;
β = 30° ;
a + b + c = 10 cm.
b)
α = 60° ;
γ = 22,5° ;
w α = 5,6cm .
c)
β = 120° ;
γ = 15° ;
hc – hb = 3 cm.
d)
α = 60° ;
β = 45° ;
c + sa = 8 cm.
Konstruiere ein Dreieck ABC, von dem gegeben ist:
a)
a:b = 5:3;
b : c = 3 : 6,5;
a + sa = 11,5 cm.
b)
a:c = 4:7;
w γ = 5cm ;
β = 45° .
c)
b:c = 5:4;
ha = 3,7 cm;
β = 60° .
d)
a:b = 5:2;
α = 90° ;
b + c – a = 2,6 cm.
4.
In einem gleichschenkligen Dreieck mit dem Umfang 12 cm verhalten sich die Längen
von Schenkel und Basis wie 5 : 3 . Konstruiere das Dreieck !
5.
Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck, dessen Höhe um 1,5 cm kleiner als die Seite ist !
6.
Konstruiere ein Parallelogramm mit einem Winkel von 60°, wenn das Verhältnis zweier
Seiten 3 : 4 und der Umfang 16 cm beträgt.
7.
Konstruiere ein Dreieck ABC mit α = 70°, β = 50° und Umkreisradius r = 3 cm.
Nutze für die Konstruktion die Ähnlichkeitsabbildungen für Dreiecke.
GM_AU036 **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU036)
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Gymnasium
Einbeschreibungsaufgaben und Berührkreiskonstruktionen
1.
2.
Einem Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 5 cm soll ein gleichseitiges Dreieck EFG so
einbeschrieben werden, dass die Ecken E und F auf [AB] bzw. [AD] liegen und
AE : AF = 3 : 2 gilt.
Einem gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck ABC mit AC = BC = 6 cm ist ein
gleichschenkliges Dreieck einzubeschreiben, dessen Basis zu [BC] parallel ist und
dessen Schenkellänge zur Basis im Verhältnis zweier gegebener Streckenlängen steht.
3.
Einem beliebigen spitzwinkligen Dreieck ist ein Quadrat einzubeschreiben (drei
Lösungen). Wie viele Lösungen gibt es im stumpfwinkligen und rechtwinkligen Dreieck ?
4.
Einem Halbkreis ist
a) ein Rechteck, dessen Diagonale die doppelte Länge einer Rechtecksseite hat,
b) ein Quadrat so einzubeschreiben, dass jeweils eine Seite auf dem Kreisdurchmesser
liegt.
5.
Einem beliebigen spitzwinkligen Dreieck ABC ist ein Parallelogramm einzubeschreiben,
dessen eine Ecke in A liegt und dessen Diagonale durch A mit [AC] den gegebenen
Winkel ϕ einschließt.
6.
Einem Kreissektor mit dem Öffnungswinkel 120° ist ein gleichschenkliges Trapez ABCD
mit CD = BC = AD einzubeschreiben, dessen eine Ecke C im Kreismittelpunkt liegt und
dort einen 120°- Winkel hat.
7.
Einem Kreis ist ein Dreieck einzubeschreiben, dessen Seiten sich wie drei gegebene
Strecken verhalten.
8.
Konstruiere mit Hilfe des Ähnlichkeitsverfahrens einen Kreis, der zwei gegebene
Geraden g und h berührt, eine davon in einem gegebenen Berührpunkt P ∈ g.
9.
Gegeben sind zwei Geraden g und h sowie ein Punkt P ∈ g. Konstruiere einen Kreis,
dessen Mittelpunkt auf g liegt, der durch P geht und h berührt.
10.
Konstruiere einen Kreis, der die Schenkel eines gegebenen Winkels berührt und durch
einen gegebenen Punkt P im Winkelfeld hindurchgeht ! (zwei Lösungen)
11.
Einem Kreissektor soll ein Kreis einbeschrieben werden.
12.
Konstruiere einen Kreis, der eine gegebene Gerade g berührt und durch zwei Punkte P
und Q mit P ∉ g und Q ∉ g hindurchgeht ! Unterscheide dabei die beiden Fälle:
a)
PQ ∩ g = ∅ ,
b)
PQ ∩ g = {S} !
Anleitung: Konstruiere zunächst einen beliebigen Kreis, der die Gerade g berührt und
durch eine zentrische Streckung, welche g auf sich abbildet, in den gesuchten Kreis
übergeht !
GM_AU037 **** Lösungen 5 Seiten (GM_LU037)
1 (1)
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Gymnasium
Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz
(Anwendung, Beweis, Konstruktion)
1.
Berechne aus den jeweils gegebenen Größen die gesuchten Streckenlängen:
Gegeben:
Gesucht:
a)
AB = 2cm ; ZA = 3cm ; ZA ' = 5cm
A 'B'
b)
ZA = 3,5cm ; ZB = 2cm ; BB ' = 4cm
AA ' ; ZB' ; ZA '
c)
AB = 3cm ; AA ' = 2cm ;
ZB − ZA = 1cm
ZA ; ZA ' ; ZB'
entsprechend Bild I
d)
AA ' = 2,5cm ; BB ' = 4cm ;
A 'B ' = 5cm ;
A 'B' = 4,5cm ; ZA ; ZB ; ZA ' ; ZB'
AB = 6cm
In welchen Fällen gibt es mehrere Lösungen ?
Fertige jeweils zur Kontrolle eine maßstabsgetreue Zeichnung an !
2.
In einem Trapez ABCD sind die parallelen Seiten
[AB] und [DC] die sogenannten Grundlinien,
während die Seiten [AD] und [BC] die Schenkel
des Trapezes heißen. Es sei ferner Sa der Schnittpunkt der verlängerten Schenkel und Si der
Diagonalschnittpunkt. AB = 5cm , DC = 3cm .
a)
b)
c)
In welchem Verhältnis teilt Si die beiden
Diagonalen des Trapezes ?
Mit welchen Abbildungsfaktoren bilden die
beiden Streckungen mit den Zentren Si und
Sa die Gerade [AB] auf die Gerade [CD] ab ?
Berechne die Entfernungen ASa , DSa , CSa
und BSa aus AD = 4cm und BC = 3cm !
3.
In einem Trapez teilt der Diagonalschnittpunkt die beiden Diagonalen im Verhältnis 2 :1.
Was lässt sich über die Länge der beiden Grundlinien sagen ? Welche besonderen
Linien stellen die Diagonalen eines solchen Trapezes im Dreieck ABSa (siehe Bild
der Aufg. 2) dar ?
GM_AU038 **** Lösungen 37 Seiten (GM_LU038)
1 (5)
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Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz
(Anwendung, Beweis, Konstruktion)
4.
Nebenstehend ist das Parallelogramm ABCD
gezeichnet. M und N sind die jeweiligen Seitenmitten.
a) Beweise, dass die Geraden MB und NB die
Diagonale [AC] in drei gleiche Teile teilen.
Hinweis: Wende auf die Figur SMABC den Strahlensatz an.
b)
Warum gilt DT MB ?
5.
Für ein Parallelenpaar (p, q) und einen Punkt P außerhalb von p und q gilt:
d (P; p) = 2 cm; d (P; q) = 5 cm.
a) Welchen Abstand hat das Parallelenpaar ? (2 Lösungen)
b) Welche Abbildungsfaktoren erhält man für eine zentrische Streckung mit dem
Zentrum P, die p auf q abbildet ?
6.
Zeige an einem Gegenbeispiel, dass der folgende Satz falsch ist:
Werden die Schenkel eines Winkels von zwei Geraden so geschnitten, dass sich die
ausgeschnittenen Querstrecken verhalten wie die Entfernungen ihrer auf dem einen
Schenkel liegenden Endpunkte vom Winkelscheitel, so sind die schneidenden Geraden
parallel.
7.
Beweise für eine beliebige Gerade g durch den Schnittpunkt Z zweier Geraden g1
und g2: Für alle Punkte P (P ≠ Z ) von g ist das Verhältnis ihrer Abstände von g1
und g2 gleich groß.
Hinweis: Der Satz ist bewiesen, wenn er für zwei beliebige Punkte P und Q auf g zutrifft.
8.
Gegeben sind zwei Geraden g1 und g2, deren Schnittpunkt S außerhalb des
Zeichenblattes liegt, sowie ein Punkt P, der keiner der beiden Geraden angehört.
Konstruiere die Gerade PS ohne Kenntnis von S !
9.
Beweise den folgenden Satz, dessen Voraussetzung und Behauptung in folgender
Form gegeben ist:
Voraussetzung: AB A 'B' (1); Z ∈ AA ' (2);
ZA ' = m ⋅ ZA und A 'B' = m ⋅ AB für m ≠ 0 (3)
Behauptung: Z ∈ BB ' .
10.
Konstruiere durch einen beliebigen Punkt P im Winkelfeld eines gegebenen Winkels
eine Gerade, die aus den Schenkeln zwei Strecken ausschneidet, deren Längen sich
wie 2,5 : 6 verhalten !
11.
Konstruiere durch einen beliebigen Punkt P im Winkelfeld eines gegebenen Winkels
eine Gerade, aus der die Schenkel des Winkels eine Strecke mit dem Mittelpunkt P
ausschneiden !
Anleitung: Ziehe durch P eine Parallele zu einem Schenkel !
12.
Konstruiere durch einen Punkt P im Winkelfeld eines gegebenen Winkels eine Gerade,
aus der die Schenkel eine Strecke ausschneiden, welche durch P im Verhältnis zweier
gegebener Streckenlängen a und b geteilt wird ! (Beachte Aufgabe 11 !)
GM_AU038 **** Lösungen 37 Seiten (GM_LU038)
2 (5)
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Gymnasium
Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz
(Anwendung, Beweis, Konstruktion)
13.
Beweise:
Teilt man die Grundlinien [AB] und [CD] eines Trapezes ABCD von A bzw. C aus im
gleichen Verhältnis, so geht die Verbindungsgerade der Teilungspunkte durch den
Schnittpunkt der beiden Diagonalen [AC] und [BD].
Erstelle zuerst eine Zeichnung mit einem selbstgewählten Teilungsverhältnis.
14.
Konstruiere die Länge x nach der jeweils angegebenen Proportion, wobei die
gegebenen Zahlen als Streckenmaßzahlen, bezogen auf die Längeneinheit 1 cm,
angenommen werden:
a)
4 : 3 = 8 : x ; b)
6 : x = 2,5 : 4 ;
c)
x : 3,5 = 4 : 7 ;
d)
9:2 = x:1.
Überprüfe jeweils den Messwert für die gesuchte Streckenmaßzahl x durch Rechnung !
15.
a, b und c seien vorgegebene Streckenlängen.
Konstruiere jeweils die Streckenlänge x, die folgende Proportionen erfüllt:
I)
x:a = b:c;
II)
a:x = b:c;
III) b : a = x : c .
Drücke jeweils die Maßzahl von x durch die Maßzahlen von a und b aus, wenn für c die
Längeneinheit gewählt wird !
16.
Wie kann man eine Strecke konstruieren, deren Maßzahl
a) dem Produkt,
b) dem Quotienten der Maßzahlen zweier gegebener Streckenlängen c und d gleich ist,
bezogen auf die Längeneinheit 1 cm, für c = 4 LE, d = 2 LE ?
Führe die Konstruktion auch für die Längeneinheit 2 cm durch !
17.
In einem Dreieck ABC mit a = 5 cm, b = 7 cm und dem Winkel γ = 50° teilt ein Punkt T
die Seite [AC] innen im Verhältnis AT : TC = 3 : 2 ( T ∈ [ AC]) . Konstruiere Punkt T !
Welche Angaben in der Aufgabe sind für die Lage von T ohne Bedeutung ?
18.
Durch einen festen Punkt P außerhalb einer gegebenen Geraden AB sollen zwei
zueinander senkrechte Geraden gelegt werden, welche die Strecke [AB] innen und
außen im gleichen Verhältnis teilen.
19.
Die Seite [AC] eines Dreiecks ABC wird durch w β in Teilstrecken mit ATi = 5cm und
CTi = 2cm zerlegt. Berechne die Seitenlängen BC und AB , wenn AB − BC = 6cm
beträgt !
20.
21.
Konstruiere ein Dreieck ABC mit AB = c , BC = a , AC = b aus:
a)
b)
c = 5 cm;
b = 6 cm;
b:a = 2:1;
a:c = 2:5;
wγ = 3,5cm .
sb = 4,5cm .
c)
a = 6,5 cm;
b:c = 1:3;
ha = 2cm
( 2 Lösungen).
Von einem Dreieck ABC ist bekannt: a = 6 cm, sa = 7,5 cm; sb : sc = 5 : 2.
Konstruiere das Dreieck !
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Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz
(Anwendung, Beweis, Konstruktion)
22.
Gegeben sind die Punkte A, B mit AB = 7cm . Konstruiere die Menge aller Punkte P
mit dem Entfernungsverhältnis 7 : 9 von A und B soweit die Heftseite dies zulässt !
Beachte, dass der äußere Teilpunkt Ta für die Konstruktion unzugänglich ist !
23.
Wo liegen alle Punkte, von denen aus zwei Strecken [AB] und [BC] auf der Geraden AC
jeweils unter gleichem Sehwinkel erscheinen ? Konstruiere für AB = 4,5 cm und
BC = 2,5 cm die gesuchte Punktmenge. Gib nun einen Punkt P an, von dem aus der
gemeinsame Sehwinkel je 45° beträgt.
24.
Gegeben ist eine Strecke [AB] mit AB = 7cm .
a) Zeichne den Kreis des Apollonius für das Entfernungsverhältnis 2 : 5 .
b) Berechne den Radius des Apollonischen Kreises sowie die Entfernung des
Kreismittelpunktes von B.
25.
Auf der Verlängerung einer gegebenen Strecke [AB] liegt der Punkt M.
Es sei AM = a und BM = b gegeben. Ein Kreis um M soll [AB] innen und außen im
gleichen Verhältnis teilen.
a)
Drücke ATi , BTi , ATa und BTa durch a, b und r aus.
b)
Zeige, dass folgendes gilt: r = a ⋅ b .
Konstruiere r !
26.
Von einem Punkt P werden die beiden
Tangenten an einen Kreis mit dem Mittelpunkt M gezogen. Die Gerade PM schneidet
den Kreis in den Punkten A und B und die
Berührsehne im Punkt Q.
Beweise, dass A, B, Q, P harmonische Punkte sind.
Hinweis: Berührsehne ist die Verbindungsstrecke der beiden
Tangentenberührungspunkte.
27.
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit AB = 8cm , BC = 7cm , AC = 4cm .
a) Konstruiere den inneren Punkt T, der [CB] im Verhältnis 2 : 3 teilt.
b) Die Parallele durch T zu AB schneidet AC in R; RB ∩ AT = {S} .
Gib das Verhältnis TS : SA an, ohne die Einzelstrecken zu berechnen.
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Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz
(Anwendung, Beweis, Konstruktion)
28.
Zu einer gegebenen Strecke [AB] mit der Länge a und dem gegebenen
Streckungsfaktor m > 0 wird das äußere Zentrum Za und das innere Zentrum Zi einer
S(Za ; m)
S(Zi ; −m)
Streckung so konstruiert, dass A →
B und A 
→ B gilt.
a) Konstruiere die Streckzentren für a = 7 cm und m = 0,4.
b) Berechne ZiB und BZa zuerst für den konstruierten Fall und dann allgemein für
beliebiges a und m.
c) Zeige, dass Zi Za = a ist, wenn man m = 2 − 1 setzt.
29.
Löse die Aufgaben a) bis c) durch Konstruktion!
Bilde einen Kreis um M mit Radius r = 4 cm durch zentrische Streckung mit dem
Zentrum Z und dem Faktor m für folgende Fälle ab:
a)
ZM = 5cm ;
m= 2
5
b)
ZM = 3cm ;
m= −2
3
c)
Ein Punkt P des gegebenen Kreises soll in einen festen Punkt P‘ abgebildet
werden mit P'M = 4cm , P'P = 5cm und ImI = 0,5 (2 Lösungen).
30.
Konstruiere die gemeinsamen Tangenten zweier Kreise mit der Strecke [M1 M2] und
den Radien r1, r2 für folgende Fälle:
M1M2 = 6cm ,
r1 = 3 cm,
r2 = 4 cm;
a)
b)
M1M2 = 4cm ,
r1 = 2 cm,
c)
M1M2 = 8cm ,
r1 = r2 = 3 cm;
d)
M1M2 = 3cm ,
r1 = 4 cm,
r2 = 4 cm;
r2 = 1 cm.
31.
Zwei Kreise mit den Mittelpunkten M1 und M2 schneiden sich in A und B.
Der Schnittpunkt der gemeinsamen Außentangenten sei Za. Verbinde einen der beiden
Kreisschnittpunkte, z.B. A, mit Za und zeige, dass AZa einen der beiden Winkel halbiert,
welchen die Geraden M1A und M2A miteinander einschließen !
32.
Drei Kreise mit den Radien r1, r2 und r3, deren Mittelpunkte auf einer gemeinsamen
Geraden liegen, berühren sich gegenseitig von außen und haben ein gemeinsames
Außentangentenpaar.
a) Konstruiere drei solche Kreise, wenn r1 = 1 cm und r2 = 2 cm gelten soll !
b) Zeige, dass für die drei Radien gilt: r2 = r1 ⋅ r3 .
(Betrachte eine geeignete zentrische Streckung und ihre Umkehrabbildung.)
33.
Gegeben sind zwei Kreise mit den Radien r1 = 4 cm und r2 = 3 cm, die sich von außen
berühren. Konstruiere alle Geraden, aus denen von beiden Kreisen je eine Sehne von
5 cm Länge herausgeschnitten wird.
Hinweis: Wo liegen die Mittelpunkte aller Sehnen mit 5 cm Länge in einem gegebenen Kreis ?
34.
Von einem Punkt P außerhalb eines Kreises sind die beiden Tangenten an den Kreis
gezeichnet. Konstruiere mit Hilfe einer geeigneten zentrischen Streckung einen Kreis,
der die beiden Tangenten und den gegebenen Kreis berührt. (2 Lösungen !)
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Ähnlichkeit
1. Das Dreieck ∆ ABC mit b = 5 cm, hb = 2 cm und γ = 75° wird durch eine Ähnlichkeitskonstruktion auf das Dreieck ∆ A 'B'C' abgebildet. Die Fläche von ∆ A 'B'C' ist 9,8 cm2 .
Wie groß sind b ' , hb' γ ' ?
2. Gegeben sind die Dreiecke ∆ ABC mit A ( - 5 / - 2 ) , B ( 0 / - 3 ) , C ( 4 / 1 ) sowie
∆ RST mit R ( - 9 / - 4 ) , S ( - 10/ 1 ) , T ( - 6 / 5 ) .
Entscheide durch Rechnung oder zeichnerisch ob die Dreiecke ∆ ABC und ∆ RST
zueinander ähnlich sind.
3. Im Dreieck PQR nach nebenstehender Skizze
schneidet die Symmetrieachse a der Strecke [PQ]
die Dreieckseite [QR] im Punkt S.
[QS] = 2 cm, [PQ] = 2 3 cm
a) Begründe, warum ∆ PQR zu ∆ PQS ähnlich ist.
b) Berechne die Strecke [QR]
GM_AU045_01
4. a) Zwei ähnliche Vierecke haben die Flächeninhalte A = 50 cm2 und A ' = 112,5 cm2 .
Der Umfang des ersten Vierecks ist u = 45 cm.
Berechne u’.
b) Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie 81 : 25.
Ihre Umfänge unterscheiden sich um 16 cm.
Berechne die Umfänge u und u’.
5. Gegeben ist das Dreieck ABC mit AC = b = 3 cm und BC = a = 6 cm .
Im Dreieck ABC schneidet die Winkelhalbierende w γ die Seite [AB] im Punkt D.
Der Flächeninhalt des Teildreiecks DBC beträgt 9 cm2 .
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
6. Das Quadrat PQRS mit der Seitenlänge a ist gegeben.
Die beiden Geraden PS und QU schneiden sich im Punkt T.
a) Begründe die Ähnlichkeit von ∆ PQT zu ∆ QRU
b) Berechne in Abhängigkeit von a die Länge der
Strecke PT wenn RU = 3 a
4
GM_AU045_02
GM_AU045 **** Lösungen 20 Seiten (GM_LU045)
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Ähnlichkeit
7. Gegeben ist das Viereck ABCD mit den
Streckenlängen:
AD = 7,5 cm , BD = 9 cm , BC = 10,8 cm .
Die Winkel ) BAD und ) BDC sind gleich groß.
a) Begründe die Ähnlichkeit der beiden
Teildreiecke unter Verwendung des
entsprechenden Ähnlichkeitssatzes.
b) Berechne AB wenn CD = 7,7 cm ist.
GM_AU045_03
8. Das nebenstehend skizzierte rechtwinklige Dreieck
ist gegeben mit AC = s sowie AB = s / 2 .
a) Welche Dreiecke sind zueinander ähnlich ?
Begründe mit Hilfe der Ähnlichkeitssätze.
b) Berechne die Streckenlängen
AD , BC , DE und BD für s = 8 cm
Stelle jeweils zunächst einen allgemeinen Ansatz auf.
GM_AU045_04
9. ABCD ist ein Quadrat der Seitenlänge a,
EFGH ist ein Rechteck.
Gegeben ist außerdem: AF = a 5
2
a) Warum sind die Dreiecke zueinander
ähnlich ?
b) Berechne den Flächeninhalt des
Rechtecks EFGH
GM_AU045_05
10. Einem rechtwinkligen Dreieck ist ein
Quadrat einbeschrieben.
Die Katheten des Dreiecks haben ein Seitenverhältnis von 2,5 : 1.
Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 3 cm.
a) Konstruiere die Figur ohne vorher die
Kathetenlängen zu berechnen
b) Berechne die Kathetenlängen
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GM_AU045_06
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Ähnlichkeit
11. Gegeben ist nebenstehende Figur mit
AD = 4 cm und DB = 8 cm .
Der Flächeninhalt des Dreiecks ADE
ist 6 cm2 .
Berechne den Inhalt des Trapezes.
GM_AU045_07
12. Im Rechteck ABCD wird von der Ecke A
und von der Ecke C jeweils das Lot auf die
Diagonale [BD] gefällt.
Für die Seitenlängen gilt: a = 4 cm, b = 3 cm
a) Berechne die Länge z = RS
b) In welchem Verhältnis teilt das Lot von A
die Diagonale [BD] ?
GM_AU045_08
13. An einem Turm in Sydney (siehe nebenstehende Skizze)
wird von der Spitze bis zum Boden ein Stahlseil für
eine Lichterkette montiert.
Gegeben sind: a = 45 m, b = 12 m, c = 110 m.
Berechne x.
GM_AU045_09
14. Berechne in nebenstehender Abbildung
die Streckenlängen f, g, h
sowie den Inhalt der schraffierten Fläche.
Das Dreieck ABC ist gleichseitig.
GM_AU045_10
GM_AU045 **** Lösungen 20 Seiten (GM_LU045)
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Ähnlichkeit
15. a) Begründe, daß ϕ = β ist.
b) Wie lang ist die Seite [AB] ?
GM_AU045_11
16. In welchem Verhältnis teilt S die Diagonale [AC]
des Rechtecks ABCD ?
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks MBCS.
GM_AU045_12
17. In ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten
8 cm und 4 cm soll, wie in der Skizze gezeigt,
ein Rechteck einbeschrieben werden dessen
Seitenlängen im Verhältnis 3 : 1 stehen.
Konstruiere das gesuchte Rechteck.
(2 Lösungen)
GM_AU045_13
18. Einem Dreieck ABC mit AB = 10 cm , AC = 6 cm
und BC = 8,5 cm soll ein Quadrat einbeschrieben
werden.
Bedingungen:
- je eine Ecke des Quadrats liegt auf [AC] bzw. [BC]
- eine Quadratseite fällt mit [AB] zusammen.
Konstruiere Dreieck und Quadrat.
GM_AU045_14
19. Zeichne über der Strecke AB = 10 cm einen Halbkreis
Beschreibe dem Halbkreis ein Quadrat ein.
20. Gegeben ist das Dreieck ABC mit AB = 8 cm , AC = 5 cm und BC = 6,5 cm .
Dem Dreieck ist ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 2,5 : 1 einzubeschreiben;
die längere Rechteckseite liegt auf [AB].
GM_AU045 **** Lösungen 20 Seiten (GM_LU045)
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Kreis und Kreisteile
Klassen 9 / 10
- Aufgaben Teil 1 Am Ende der Aufgabensammlung finden Sie eine Formelübersicht
1.
a) Gib das Bogenmaß 2,312 im Gradmaß an.
11 
b) Gib das Bogenmaß
im Gradmaß an.
9
c) Gib das Gradmaß 144° im Bogenmaß als Bruchteil von  an.
d) Gib das Gradmaß 2600° im Bogenmaß auf 2 Dezimalstellen an.
2.
Der Umfang eines Kreises in Meter und der Flächeninhalt des Kreises in Quadratmeter
stimmen im Zahlenwert überein. Berechne den Radius des Kreises.
3.
Eine Kreisscheibe wird entlang ihres Umfangs mit einer dünnen Schnur der Länge
80 cm umfasst. Eine zweite, kleinere Scheibe wird durch eine zweite Schnur, die
10 cm kürzer ist, umfasst.
Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt der kleineren Scheibe geringer als der
Inhalt der größeren Scheibe ?
4.
Die Differenz der Umfänge zweier Kreise beträgt 6  , die Differenz der Flächen beträgt
18  . Berechne die Radien beider Kreise.
5.
Berechne den Radius eines Kreises, dessen Umfang gleich der Differenz der Umfänge
zweier Kreise mit den Flächeninhalten A 1  49  und A 2  16  ist.
6.
Der griechische Geschichtsschreiber Thukydides hat die Behauptung aufgestellt, dass
sich die Flächen kreisförmiger Inseln genauso verhalten wie die Zeiten, die man zu
ihrer Umschiffung benötigt.
Könnte diese Behauptung stimmen ?
7.
Von einem Kreisausschnitt ( = Kreissektor) kennt man die Bogenlänge b = 6 cm und
den Radius r = 8 cm.
Berechne den Sektorwinkel  und den Flächeninhalt des Kreissektors.
8.
Von einem Kreisausschnitt ( = Kreissektor) kennt man den Radius r = 8,5 cm und
den Flächeninhalt A  155 cm2 .
Berechne den Sektorwinkel  und die Bogenlänge des Kreisausschnitts.
RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1)
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Kreis und Kreisteile
Klassen 9 / 10
- Aufgaben Teil 1 9.
Ein Kreissektor mit dem Radius r hat den Umfang U = 3r.
Berechne den Sektorwinkel  im Grad- und im Bogenmaß, und stelle eine Formel für
die Fläche des Sektors in Abhängigkeit von r auf.
10.
Gegeben sei ein Kreis k1 mit dem Umfang U1  8  .
a) Bestimme Radius r1 und Flächeninhalt A1 des Kreises k1 .

.
4
Wie groß muß der Radius von k 2 sein, damit der Flächeninhalt A 2 des Sektors
b) Der Kreissektor A 2 eines zweiten Kreises k 2 hat den Sektorwinkel x 
doppelt so groß wird wie der Inhalt von k1 ?
Hinweis zu den Rechnungen:
In den einzelnen Rechenschritten ist Runden nicht erlaubt !
11.
Berechne den Radius r eines Kreises, dessen Fläche der eines Sektors von 72° in
einem Kreis mit dem Radius R gleich ist.
12.
Eine Pizzeria verkauft Pizzen in drei Größen: 15 cm, 20 cm und 30 cm Durchmesser.
Die kleinste kostet 6 EUR. Wie teuer wären die anderen Pizzen (derselben Sorte),
wenn sich der Preis nur nach der Fläche richtete ?
13.
Für welchen Sektorwinkel sind Kreisbogen und Radius eines beliebigen Kreissektors
gleich lang ?
14.
Wie viel Grad hat der Mittelpunktswinkel bei einem Kreisbogen, dessen Länge gleich
dem Durchmesser des Kreises ist ?
(Skizze ! Auf 1 Stelle nach dem Komma runden)
15.
Ein Kreissektor hat einen Sektorwinkel von 27° und eine Bogenlänge von
1,5 cm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Kreises.
16.
Berechne den Radius r und den Sektorwinkel  (im Bogenmaß) eines Kreissektors,
dessen Umfang U = 10 cm und dessen Flächeninhalt A  6 cm2 beträgt.
17.
Der Umfang eines Kreises (Radius r) ist gleich dem Umfang eines Kreissektors mit
gleichem Radius r. Berechne im Gradmaß den Sektorwinkel  des Kreissektors.
Runde auf 2 Dezimalstellen nach dem Komma !
RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1)
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Kreis und Kreisteile
Klassen 9 / 10
- Aufgaben Teil 1 18.
Der Flächeninhalt eines Kreisausschnitts mit dem Radius r = 6 cm beträgt 2  cm2 .
Wie groß ist der Mittelpunktswinkel  ?
19.
Die Läufer A und B sollen einen Wettlauf auf einer kreisförmigen Bahn starten.
Die Kreisbahn von Läufer A hat einen Durchmesser von 38m. Die Kreisbahn von
Läufer B ist größer, sie hat zur Bahn von Läufer A einen konstanten Abstand von 1m.
A läuft genau eine Runde. Damit beide bis zum Ziel gleich weit laufen, muß der
Startpunkt von B um einen bestimmten Winkel  vorverlegt werden.
Berechne diesen Winkel  (Skizze !)
20.
Mit einem dünnen Faden kann man ein 15 cm breites und 30 cm langes Rechteck
genau umspannen. Um wie viel Prozent ist die Fläche eines Kreises größer, den man
mit dem Faden auch genau umspannen kann ?
21.
Bei einer Filmspule mit Durchmesser 180 mm hat die innerste Windung vom Mittelpunkt
M den Abstand 30 mm.
a) Wie lang ist die äußerste Windung ?
b) In welchem Abstand von M ist die Länge einer Windung doppelt so lang wie
die innerste Windung ?
22.
Eine Ziege ist an einer Stange mit einem Seil festgebunden. Sie weidet alles ab, was
sie erreichen kann. Am ersten Tag ist die Leine 3 m lang.
Um wie viel Meter muss man sie von je einem Tag zum folgenden verlängern, damit
die Ziege jeden Tag gleich viel Fläche abweiden kann ?
23.
Berechne Umfang und Flächeninhalt des farbig
markierten Bereichs in nebenstehendem Bild.
r
R
24.
Um einen 2 m tiefen kreisrunden Springbrunnen
mit einer Wasserfläche von ca. 20 m2 soll ein
Kiesweg von 1 m Breite angelegt werden.
Welche Fläche hat der Kiesweg ?
Welche Angabe ist zur Lösung nicht notwendig ?
RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1)
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Klassen 9 / 10
- Aufgaben Teil 1 25.
Die eingezeichnete Strecke hat die Länge 4 cm.
Berechne die Kreisringfläche.
26.
Um den Umfang einer Kugel (d = 8 cm)
wird - gedanklich - eine Schnur gelegt.
Man verlängert sie um 1 m und legt
sie so um die Kugel, dass sie überall
gleichen Abstand hat.
a) Berechne den Abstand t zwischen
Schnur und Kugel.
b) Nun wird - wiederum gedanklich entlang des Äquators eine Schnur
um die Erde gelegt, die dann ebenfalls
um 1 m verlängert wird und als
konzentrischer Kreis um die Erdkugel
an jeder Stelle gleichen Abstand zum
Äquator hat. Der Äquator ist als idealer
Kreis anzunehmen.
Könnte man die Kugel mit ihren 8 cm
Durchmesser unter der Schnur hindurchrollen ?
27.
Bei einem Kreisring mit dem Flächeninhalt A1  164  cm2
unterscheiden sich die Radien des äußeren und des
inneren Kreises um genau 2 cm.
a) Berechne diese beiden Radien.
b) Um den Kreisring wird ein Kreis gezogen.
Welchen Radius r muss dieser Kreis aufweisen,
wenn die Flächen A1 und A2 gleich groß sein
sollen ?
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Klassen 9 / 10
- Aufgaben Teil 1 28.
Zeige rechnerisch, dass die
Kreisfläche (unten) und der
Kreisring (oben) gleichen
Flächeninhalt haben.
30.
Der Sektor OMA hat denselben
Inhalt wie das Quadrat MAUS.
Berechne den Sektorwinkel  .
32.
Berechne Inhalt und Umfang der
farbigen Figur in Abhängigkeit von a.
RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1)
29.
In der folgenden Figur sind die
Größen r1  12 cm, r 2  9 cm
  135 gegeben.
Berechne den Inhalt der farbigen
Fläche.
31.
Die Flächeninhalte von Kreissektor
und einbeschriebenem Quadrat
sind gleich. Wie groß ist in diesem
Fall der Sektorwinkel  ?
33.
Berechne Inhalt und Umfang der
farbigen Figur in Abhängigkeit von a.
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Klassen 9 / 10
- Aufgaben Teil 1 34.
Bestimme Umfang und Flächeninhalt der farbigen Figur in
Abhängigkeit von a.
35.
Berechne den Inhalt der farbigen
Fläche in Abhängigkeit von r.
36.
Bestimme Umfang und Flächeninhalt der farbigen Figur in
Abhängigkeit von a.
37.
Bestimme Umfang und Flächeninhalt der farbigen Figur in
Abhängigkeit von h (das Dreieck
ist gleichseitig).
38.
Bestimme Umfang und Flächeninhalt der farbigen Figur in
Abhängigkeit von a.
39.
Bestimme den Flächeninhalt der
farbigen Figur in Abhängigkeit von a.
Die Radien der Kreise sind gleich
groß. Das Dreieck ist rechtwinklig.
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- Aufgaben Teil 1 40.
Bestimme Umfang und Flächeninhalt der schraffierten Figur in
Abhängigkeit von a.
41.
Bestimme Umfang und Flächeninhalt der farbigen Figur in
Abhängigkeit von a.
42.
Bestimme Umfang und Flächeninhalt der farbigen Figur in
Abhängigkeit von a.
43.
Bestimme Umfang und Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
44.
Zeige, dass die schraffierte Fläche
und das Dreieck ABC gleichen
Inhalt haben.
45.
Bestimme Umfang und Inhalt
der farbigen Fläche in
Abhängigkeit von a.
RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1)
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Kreis und Kreisteile
Klassen 9 / 10
- Aufgaben Teil 1 46.
Bestimme Umfang und Inhalt
der farbigen Figur in
Abhängigkeit von a.
47.
Bestimme Umfang und Inhalt
der farbigen Fläche in
Abhängigkeit von a.
48.
Bestimme den Flächeninhalt der farbigen Figur in
Abhängigkeit von a.
49.
Bestimme den Inhalt
der farbigen Fläche in
Abhängigkeit von a.
50.
Bestimme das Verhältnis der
Radien der beiden Kreise.
51.
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von r.
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- Aufgaben Teil 1 52.
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von r.
53.
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
54.
Bestimme Umfang und Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
55.
In einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel  ist ein Kreis einbeschrieben. Wie viel Prozent des Sektors
bedeckt die Kreisscheibe für
  120 ?
56.
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
M ist Mittelpunkt der Strecke [AB]
57.
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
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Kreis und Kreisteile
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- Aufgaben Teil 1 58.
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
60.
Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a.
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59.
10 (14)
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
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Formelsammlung
Kreis, - Sektor, - Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
1.
Definitionen
Es werden folgende Symbole verwendet:
2.
r
Kreisradius

Sektorwinkel in Grad
d
s
h
Kreisdurchmesser
Sehnenlänge
Segmenthöhe
x
Sektorwinkel in rad
Sektorwinkel = Mittelpunktswinkel
Formeln
Kreis
Kreisradius
Fläche
Umfang
A  r2
U  2 r
d2
A
4
U  d
Bogenlänge
Sehnenlänge
r U
2
r
A

Bogenlänge / Sehnenlänge
b  2r

360
b rx
s  2 r sin

2
s  2 r sin x
2
Kreisausschnitt - Kreissektor
Umfang
Fläche
A  r2

360
U  b  2r
br
2
A  r2 x
2
A
RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1)
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Formelsammlung
Kreis, - Sektor, - Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
Kreisabschnitt - Kreissegment
Kreisradius
Fläche
2



A  r 
 sin  
2  180

s
r
2 sin



A  1 r 2 
 s r  h  
2
180


2
2
rh s
2 8h
A  1 b r  s  r  h  
2
r
2
A  r  x  sin x 
2
s
2 sin x
2
Sehnenlänge
Segmenthöhe

s  2 r sin
2
hr 1
2
h  2r  h 
s2
4r 2  s2
s  2 r sin x
2
Kreisring
Außendurchmesser
Fläche

A   R2  r 2

A   D2  d2
4

4A
 d2

D

Innendurchmesser
d
D2 
Umfang
4A

U  2  R  r 
Kreisringausschnitt
Fläche

A   R2  r 2

 360



A   D2  d2

4
360

RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1)

12 (14)
R
2
D

r2 x
2
2

 d2 x
8
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Formelsammlung
Kreis, - Sektor, - Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
Umrechnung / Definition Gradmaß ( ° )  Bogenmaß (rad)
Die Länge des Kreisbogens ist: b  2 r 

360

Umgeformt ergibt sich: b 
r 180
Das zu einem Winkel  gehörende Verhältnis b : r
nennt man Bogenmaß x des Winkels  ,

, mit der Einheit 1 Radiant (1 rad).
xb
r 180
Hat der Kreisradius r die Länge 1 (Einheitskreis), so ist die
Länge des Kreisbogens b das Bogenmaß x des Winkels 
x = b (für r = 1LE).
Wird ein Winkel im Bogenmaß angegeben, so wird dieser
Winkel mit arc  oder x bezeichnet.
Beispiel: x  2,3 oder arc    / 2
In Schulbüchern sind auch Angaben zu lesen wie:
  3 oder   3 
Dies bedeutet, die Winkelgröße ist im Bogenmaß
angegeben.
Umrechnungen:
o 
x
x  180
 57,29578  x

o  
 0,01745  o
180
180
 57,29578


1 
rad  0,01745 rad
180
1rad 
RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1)
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Kreis, - Sektor, - Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
Gleichseitiges Dreieck
Fläche
Pythagoras :
A  1 ah  1 a  a 3
2
2 2
a 2  h2  a
2
2
Aa 3
4

2
2
h2  a 2  a
4
h
3 a2
4
ha 3
2
RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1)
14 (14)
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Kreis und Kreisteile
Klassen 9 / 10
- Aufgaben Teil 2 Am Ende der Aufgabensammlung finden Sie eine Formelübersicht
61.
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von r.
62.
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
63.
Berechne r in Abhängigkeit von a
so, dass die schraffierten Flächen
außerhalb des Kreises den gleichen
Inhalt haben wie die schraffierten
Flächen innerhalb des Kreises.
64.
Berechne x in Abhängigkeit von r
so, dass die schraffierte Fläche
außerhalb des Kreises den gleichen
Inhalt hat wie die zwei schraffierten
Flächen innerhalb des Kreises.
65.
Bestimme den Inhalt der schraffierten
Fläche in Abhängigkeit von a.
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
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Klassen 9 / 10
- Aufgaben Teil 2 66.
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
67.
Bestimme den Inhalt
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
68.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von c.
69.
Zeige: Die beiden Flächenstücke
A 1 und A 2 haben gleichen Inhalt.
70.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Flächen
A 1 und A 2 in Abhängigkeit von a.
71.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von R.
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
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- Aufgaben Teil 2 72.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche
in Abhängigkeit von r.
73.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
74.
Die beiden sichelförmigen Möndchen
über den Katheten haben zusammen
denselben Inhalt wie das rechtwinklige
Dreieck. Zeige dies.
75.
Die von drei Halbkreisen begrenzte
Fläche (Schustermesser des
Archimedes) hat denselben Inhalt
wie die Kreisfläche. Zeige dies.
76.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche
in Abhängigkeit von a.
77.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
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- Aufgaben Teil 2 78.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche
in Abhängigkeit von a.
79.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
80.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche
in Abhängigkeit von a.
81.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
82.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche
in Abhängigkeit von a.
83.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
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- Aufgaben Teil 2 84.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche
in Abhängigkeit von a.
85.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Flächen A1 und
A2 in Abhängigkeit von a.
86.
Bestimme jeweils den Inhalt der
schraffierten Flächen A1, A2, A3
und den Umfang der Figur
in Abhängigkeit von a.
87.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche
in Abhängigkeit von a.
( D ABC ist gleichseitig)
88.
Bestimme x in Abhängigkeit
von a und r.
89.
Bestimme H in Abhängigkeit
von D und x.
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
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- Aufgaben Teil 2 90.
Bestimme r in Abhängigkeit von R.
91.
Bestimme r in Abhängigkeit von a.
92.
Bestimme r in Abhängigkeit von a.
93.
Bestimme R und r in Abhängigkeit
von a.
94.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche
in Abhängigkeit von a.
95.
Berechne die Radien der drei
inneren Kreise bzw. Kreisbögen
in Abhängigkeit von a.
Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a.
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
6 (13)
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Klassen 9 / 10
- Aufgaben Teil 2 96.
Berechne den Radius r in
Abhängigkeit von a.
Bestimme den Inhalt der schraffierten
Fläche in Abhängigkeit von a.
97.
Berechne den Radius r in
Abhängigkeit von a.
Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a.
98.
Berechne die Radien R, r und r1
in Abhängigkeit von a.
Bestimme den Inhalt der schraffierten
Fläche in Abhängigkeit von a.
99.
Berechne den Radius r in
Abhängigkeit von a.
Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a.
101.
Berechne den Kreisradius
in Abhängigkeit von a.
Bestimme Inhalt und Umfang
der schraffierten Fläche in
Abhängigkeit von a.
100. Berechne den Radius R des
großen Kreises in Abhängigkeit
von a.
Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a.
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
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- Aufgaben Teil 2 102.
Bestimme den Radius r in
Abhängigkeit von a.
Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a.
103.
Berechne den Radius R in
Abhängigkeit von a.
Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a.
104. Berechne den Radius R in Abhängigkeit von a.
Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche
in Abhängigkeit von a.
105. Berechne die Radien R und r in
Abhängigkeit von a.
Bestimme den Inhalt der schraffierten
Fläche in Abhängigkeit von a.
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
106.
8 (13)
Berechne den Umfang und den
Flächeninhalt der eiförmigen Figur
in Abhängigkeit von a.
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- Aufgaben Teil 2 107. Nebenstehende Abbildung zeigt ein
Rollenlager. Das Lager besteht aus
einem inneren Ring und einem
äußeren Ring. Dazwischen sind
16 Rollen gleicher Größe regelmäßig
angeordnet.
Wie groß ist der Abstand x zwischen
zwei Rollen ? Berechne zuerst
allgemein, anschließend mit den
gegebenen Zahlenwerten.
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
9 (13)
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Kreis, - Sektor, -Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
1.
Definitionen
Es werden u.a. folgende Symbole verwendet:
2.
r
Kreisradius
j
Sektorwinkel in Grad
d
s
h
Kreisdurchmesser
Sehnenlänge
Segmenthöhe / Dreieckshöhe
x
Sektorwinkel in rad
Formeln
Kreis
Kreisradius
Fläche
Umfang
=
A r 2p
=
U 2p r
d2 p
=
A
4
=
U dp
Bogenlänge
Sehnenlänge
=
r
=
r
U
2p
A
p
Bogenlänge / Sehnenlänge
j
360°
j
b =rp
180°
j
b=U
360°
b = 2rp
s = 2 r sin
j
2
Kreisausschnitt - Kreissektor
Fläche
A = r 2p
A=
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
j
360°
br
2
10 (13)
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Kreis, - Sektor, -Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
Kreisabschnitt - Kreissegment
Fläche
Kreisradius
2
j
æ
ö
A = r çp
- sin j ÷
2 è 180°
ø
r=
2 sin
j
æ
ö
A = 1 çr 2 p
- s (r - h ) ÷
2è
180°
ø
A = 1 éëb r - s (r - h )ùû
2
Sehnenlänge
s = 2 r sin
s
j
2
2
r=h+ s
2 8h
Segmenthöhe
j
2
h=r- 1
2
4r 2 - s2
h ( 2r - h )
s=2
Kreisring
Außendurchmesser
Fläche
(
A = p R2 - r 2
)
A = p D2 - d2
4
(
D=
)
4A
+ d2
p
Innendurchmesser
d=
D2 -
4A
p
Kreisringausschnitt
Fläche
(
A = p R2 - r 2
j
) 360
°
j
A = p D 2 - d2
4
360°
(
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
)
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Kreis, - Sektor, -Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
Umrechnung / Definition Gradmaß ( ° ) Û Bogenmaß (rad)
Die Länge des Kreisbogens ist: b = 2 r p
j
360°
pj
umgeformt ergibt sich: b =
r 180°
Das zu einem Winkel j gehörende Verhältnis b : r,
nennt man Bogenmaß x des Winkels j
pj
x=b=
mit der Einheit 1 Radiant (1 rad)
r 180°
Hat der Kreisradius r die Länge 1 (Einheitskreis), so ist die
Länge des Kreisbogens b das Bogenmaß x des Winkels j
b = x ( für r = 1)
Wird ein Winkel im Bogenmaß angegeben, so wird dieser
Winkel mit arc j oder x bezeichnet, z.B.:
x = 2,3 oder arc j = p / 2
In Schulbüchern ist auch folgende Angabe zu lesen:
a = 3 oder j = 3 p
bedeutet, die Winkelgröße ist im Bogenmaß angegeben
Umrechnungen:
jo =
x × 180°
» 57,29578° × x
p
jo × p
x=
» 0,01745 × jo
180°
180°
» 57,29578°
p
p
1° =
rad » 0,01745 rad
180°
1rad =
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
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Kreis, - Sektor, -Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
Gleichseitiges Dreieck
Fläche :
Pythagoras :
A = 1 ah = 1 a × a 3
2
2 2
a 2 = h2 + a
2
2
A=a 3
4
()
2
2
h2 = a 2 - a
4
h=
3 a2
4
h= a 3
2
RM_AU033_Teil2 **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil2)
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Kreis, - Sektor, - Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
Klassen 9 / 10
- Aufgaben Am Ende der Aufgabensammlung finden Sie eine Formelübersicht
1.
a) Leite eine Formel her für den Umfang eines Kreises bei gegebener Fläche.
b) Wieviel mal größer wird der Umfang eines Kreises, wenn man die Fläche
von 2 m2 auf 8 m2 vergrößert ?
2.
Aus einem kreisförmigen Blech mit dem Umfang 1,50 m soll ein möglichst großes
quadratisches Blechstück herausgeschnitten werden.
a) Berechne den Radius und die Fläche des kreisförmigen Bleches.
b) Berechne die Fläche des herausgeschnittenen quadratischen Bleches.
c) Wie hoch ist der Abfall in Prozent ?
3.
Aus dem nebenstehenden Kreissektor wird
ein Kegel geformt.
Wie groß sind Mantelfläche und Volumen ?
4.
Der mittlere Abstand der Erde von der Sonne beträgt etwa 150 Millionen km.
m
a) Wie lange benötigt das Licht von der Sonne bis zur Erde ? (c = 3,00 ⋅ 108 S )
b) Die Erde umläuft die Sonne annähernd auf einer Kreisbahn. Berechnen Sie ihre
Geschwindigkeit auf dieser Bahn in Kilometer pro Sekunde.
c) Die Erdkugel dreht sich auch um ihre eigene Achse (die durch Nord- u. Südpol
verläuft). Berechnen Sie die Geschwindigkeit eines Menschen am Äquator in
km/h, wenn der Erdradius dort ca. 6378 km beträgt.
5.
Ein Zebra läuft mit sechs Kilometern in der Stunde durch die Steppe.
Welche Kreisfläche könnte es in acht Stunden umrunden (gleiche Geschwindigkeit
vorausgesetzt) ?
6.
Im Fantasialand gibt es Schallplatten mit 7,2‘‘ Radius, die am äußeren Rand mit
einer Relativgeschwindigkeit von 95,8 cm/s von einer Nadel abgetastet werden.
Mit wie vielen Umdrehungen in der Minute wird die Platte abgespielt ?
(1‘‘ = 1 Zoll = 2,54 cm)
RM_AU034 **** Lösungen 20 Seiten (RM_LU034)
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- Aufgaben 7.
Einem Kreis ist ein gleichseitiges Dreieck
umbeschrieben.
a) Berechne den Kreisradius r.
Hinweis:
Die Seitenhalbierenden eines
gleichseitigen Dreiecks teilen
sich im Verhältnis 1 : 2.
b) Welchen Flächeninhalt hat das schraffierte
Flächenstück ?
(Ausführliche Rechnung !)
8.
a) Licht legt in der Sekunde 3,0 ⋅ 108 m zurück. Der Abstand zwischen Sonne
und Mars beträgt 2,28 ⋅ 1011 m.
Wie lang ist das Licht der Sonne bis zum Mars unterwegs ?
b) Der Mars umkreist die Sonne.
Wie lang ist der Weg einer Umkreisung und wie groß ist die Geschwindigkeit
des Mars, wenn er dafür 686,7 Tage braucht ?
9.
Wie groß ist die gerasterte Fläche, wenn
die Maße des Rechteckes 16 x 12 sind ?
(Die Mittelpunkte der Kreise sind angegeben)
10.
Für welchen Mittelpunktswinkel α ist in der nebenstehenden Figur der Umfang des Kreissektors
gerade so groß wie der Umfang des gleichschenkligrechtwinkligen Dreiecks ?
11.
Berechne den Radius r eines Kreises, dessen Fläche der eines Sektors von 72° in
einem Kreis mit dem Radius R gleich ist.
RM_AU034 **** Lösungen 20 Seiten (RM_LU034)
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Kreis, - Sektor, - Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
Klassen 9 / 10
- Aufgaben 12.
Gegeben ist das nebenstehende gleichschenklig
rechtwinklige Dreieck mit dem Schenkel s.
Berechne den Umfang und die Fläche der
schraffierten Figur in Abhängigkeit von s.
13.
Berechne Inhalt und Umfang der in nebenstehender
Abbildung schraffierten Fläche !
14.
Der Scheibenwischer eines Autos dreht sich um jeweils 105°. Das Wischerblatt ist
50 cm lang, sein inneres Ende 15 cm vom Drehpunkt entfernt. (Skizze !)
Berechne übersichtlich,
a) wie groß (in m2) die Fläche ist, die gewischt wird und
b) wie lang (in m) der Rand der gewischten Fläche ist !
15.
Berechne den Flächeninhalt der abgebildeten
symmetrischen Figur in Abhängigkeit von a.
(Zerlege dazu die Figur in sinnvolle Teilflächen.
Die eingekreisten Punkte sind Mittelpunkte
von Kreisbögen.)
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Kreis, - Sektor, - Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
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- Aufgaben 16.
Berechne den Mittelpunktswinkel α eines Kreisausschnitts (Radius r), dessen
Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der
Seitenlänge r ist. Gib α auch im Bogenmaß an.
17.
Berechne den Flächeninhalt und
den Umfang der schraffierten
Fläche.
18.
Berechne den Flächeninhalt
und den Umfang der
schraffierten Fläche.
19.
Berechne den Flächeninhalt und den
Umfang der schraffierten Fläche für
α = 60°.
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- Aufgaben 20.
Das Quadrat ABCD habe die Kantenlänge a.
Wie viel Prozent der Fläche des Quadrates
sind schraffiert ?
21.
a) Berechne den Flächeninhalt der schraffierten
Fläche in Abhängigkeit von a und b.
b) Berechne b für a = 5 cm.
c) Berechne mit den Werten aus (2) den
Flächeninhalt der schraffierten Fläche.
22.
Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC
mit der Seitenlänge a = 5 cm und ein
Bogen BC. (siehe Zeichnung)
Berechne den Flächeninhalt der
schraffierten Fläche.
23.
Berechne den Flächeninhalt der schraffierten
Figur
a) für a = 6 cm
b) allgemein in Abhängigkeit von a.
Vereinfache möglichst weit ohne
Taschenrechner.
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- Aufgaben 24.
Berechne Umfang und Flächeninhalt
der schraffiert gekennzeichneten Figur:
25.
Berechne die schraffierte Fläche im
gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck
mit der Hypotenuse 2 b.
26.
Berechne die im gleichseitigen Dreieck
schraffierte Fläche, wenn der Radius
eines kleinen Kreises ein Drittel der
Seitenlänge a des Dreiecks beträgt.
27.
Wie lang muß die Strecke [AC] sein, damit der
Flächeninhalt der schraffierten Figur 10 cm2
beträgt ?
(auf zwei Stellen nach dem Komma runden)
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- Aufgaben 28.
Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a.
Berechne die Fläche und den Umfang der
schraffierten Figur in Abhängigkeit von a.
29.
In nebenstehender Figur ist ein
gleichseitiges Dreieck ABC mit der
Seitenlänge a gegeben.
a) Bestimme die Höhe h im
gleichseitigen Dreieck.
b) Berechne in Abhängigkeit von a
den Umfang der schraffierten Figur.
c) Berechne in Abhängigkeit von a
den Flächeninhalt der schraffierten
Figur.
30.
Das gleichschenklig - rechtwinklige Dreieck ABC hat
die Kathetenlänge BC = a .
Der Punkt M halbiert [BC] und ist der Mittelpunkt
p , der [AB] in N schneidet.
eines Kreisbogens BC
p.
Dieser Punkt N ist der Mittelpunkt des Kreisbogens AB
Berechnen Sie jeweils in Abhängigkeit von a
a) den Umfang
b) den Flächeninhalt
des schraffierten Flächenstücks.
31.
Gegeben sei die nebenstehende Figur.
Berechne in Abhängigkeit von r:
a) den Flächeninhalt der schraffierten Fläche.
b) den Umfang U der schraffierten Fläche.
Die Ergebnisse sind soweit wie möglich
zu vereinfachen.
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Kreis, - Sektor, - Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
1.
Definitionen
Es werden folgende Symbole verwendet:
2.
r
Kreisradius
ϕ
Sektorwinkel in Grad
d
s
h
Kreisdurchmesser
Sehnenlänge
Segmenthöhe
x
Sektorwinkel in rad
Formeln
Kreis
Fläche
Umfang
Kreisradius
A = r2π
U = 2π r
r= U
2π
d2π
A=
4
U = dπ
Bogenlänge
Sehnenlänge
r=
A
π
Bogenlänge / Sehnenlänge
ϕ
360°
ϕ
b =rπ
180°
ϕ
b=U
360°
b = 2rπ
s = 2 r sin
ϕ
2
Kreisausschnitt - Kreissektor
Fläche
A = r2π
A=
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ϕ
360°
br
2
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Kreisabschnitt - Kreissegment
Fläche
Kreisradius
2
ϕ
⎛
⎞
− sin ϕ ⎟
A = r ⎜π
2 ⎝ 180°
⎠
r=
2 sin
ϕ
⎛
⎞
− s (r − h) ⎟
A = 1 ⎜r 2 π
2⎝
180°
⎠
A = 1 ⎡⎣b r − s ( r − h ) ⎤⎦
2
Sehnenlänge
s = 2 r sin
s
ϕ
2
2
r=h+ s
2 8h
Segmenthöhe
ϕ
2
h=r− 1
2
4r 2 − s2
h ( 2r − h )
s=2
Kreisring
Fläche
Außendurchmesser
A = π (R 2 − r 2 )
D=
A = π (D 2 − d 2 )
4
Innendurchmesser
d=
4A
+ d2
π
D2 −
4A
π
Kreisringausschnitt
Fläche
(
A = π R2 − r 2
ϕ
) 360
°
ϕ
A = π D 2 − d2
4
360°
(
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9 (10)
)
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Formelsammlung
Kreis, - Sektor, - Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge)
Umrechnung / Definition Gradmaß ( ° ) ⇔ Bogenmaß (rad)
Die Länge des Kreisbogens ist: b = 2 r π
ϕ
360°
πϕ
Umgeformt ergibt sich: b =
r 180°
Das zu einem Winkel ϕ gehörende Verhältnis b : r,
nennt man Bogenmaß x des Winkels ϕ
πϕ
x=b=
mit der Einheit 1 Radiant (1 rad)
r 180°
Hat der Kreisradius r die Länge 1 (Einheitskreis),so ist die
Länge des Kreisbogens b das Bogenmaß x des Winkels ϕ
x = b (für r = 1LE)
Wird ein Winkel im Bogenmaß angegeben, so wird dieser
Winkel mit arc ϕ oder x bezeichnet.
Umrechnungen:
ϕo =
x=
x ⋅ 180°
≈ 57,29578° ⋅ x
π
ϕo ⋅ π
≈ 0,01745 ⋅ ϕo
180°
180°
≈ 57,29578°
π
π
1° =
rad ≈ 0,01745 rad
180°
1rad =
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10 (10)
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Realschule / Gymnasium (7./8. Klasse)
Winkel an sich schneidenden und an parallelen Geraden
Winkelsumme im Dreieck und Viereck
In den Aufgaben (und Lösungen) werden die folgenden Winkelbezeichnungen verwendet:
Scheitelwinkel
Nebenwinkel
Innenwinkel
Außenwinkel
F - Winkel
Z - Winkel
E - Winkel
RM_AU035 ****Lösungen 12 Seiten (RM_LU035)
(Stufenwinkel)
(Wechselwinkel)
(Ergänzungswinkel- oder Nachbarwinkel)
1 (7)
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2 (7)
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3 (7)
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4 (7)
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7 (7)
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Realschule / Gymnasium
Strahlensätze, Vierstreckensatz
Klasse 9
1.
Berechne x und y.
Zeichnung nicht maßstabsgetreu
Es gilt: [BC] || [DE]
2.
Berechne x und y !
Zeichnung nicht maßstabsgetreu,
Es gilt: BC II DF, BE II CF
3.
Berechne x und y !
Zeichnung nicht maßstabsgetreu,
Es gilt: QT II RS
RM_AU036 **** Lösungen 3 Seiten (RM_LU036)
1 (2)
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Realschule / Gymnasium
Strahlensätze, Vierstreckensatz
Klasse 9
4.
Berechne die Entfernung zwischen Turm und Person für die Länge l1 des Stabes.
Berechne sodann, in welcher Entfernung vom Körper ein Stab mit der Länge l2
gehalten werden müsste, wenn sonst alle Maße gleichblieben.
5.
Auf einem Dia ist ein Turm 2,8 cm groß.
Das Dia ist 5,5 cm von der Lampe und
132 cm von der Leinwand entfernt.
Wie groß erscheint der Turm auf der
Leinwand ?
6.0
Berechne jeweils x und y. Zeichnungen sind nicht maßstabsgetreu !
6.1
6.2
6.3
[EB] II [DC]
[AB] II [ED]
RM_AU036 **** Lösungen 3 Seiten (RM_LU036)
2 (2)
[CB] II [FD] und
[CE] II [AD]
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Gymnasium / Realschule
Übungen Geometrie - Zeichnen im Gitternetz
Klasse 5
Für die Aufgaben Nr. 2 bis 9 wird ein beschriftetes Gitternetz folgender Größe
benötigt:
Rechtsachse (x-Achse): 8 Längeneinheiten
Hochachse (y-Achse):
8 Längeneinheiten
1 LE 1 cm
1.
Zeichne ohne Gitternetz:
a) Die Gerade g steht senkrecht auf der Geraden h und ein (beliebiger) Punkt P ∈ g.
b)
AB = 4,5 cm und [BC] ⊥ [AB].
c)
AB = 5cm und PQ = 6 cm . AB & PQ , der Abstand beträgt 2 cm.
d) CD = 5cm , M ist der Mittelpunkt von CD . [AB] ⊥ [CD] und M ∈ [AB].
2.
Zeichne in ein Gitternetz die Punkte A ( 3 / 3 ) , B ( 6 / 4 ) , R ( 2 / 4 ) , S ( 5 / 1 ) ein.
Die Gerade AB schneidet die Hochachse (y-Achse) in P und die Gerade RS schneidet
die Rechtsachse (x-Achse) in Q.
Nenne die Gitterzahlen von P und Q.
3.
Trage in ein Gitternetz die Punkte A ( 0 / 3 ) , B ( 8 / 1 ) , P ( 6 / 5 ) , Q ( 5 / 7 ) ein.
Zur Geraden [AB] gibt es je eine Senkrechte durch P und Q. Zeichne sie ein.
Wie groß ist der Abstand zwischen P und Q (in mm gemessen) ?
4.
Welchen Abstand haben die Punkte R ( 2 / 8 ) und S ( 7 / 3 ) von der Geraden PQ mit
P(0/3), Q(8/7) ?
5.
Gegeben sind die Punkte A ( 7 / 4 ) , C ( 1 / 6 ) , D ( 3 / 2 ) .
Das Viereck ABCD ist ein Quadrat.
Zeichne den fehlenden Punkt B und gib seine Koordinaten (Gitterzahlen) an.
6.
A ( 2 / 4 ) und C ( 8 / 4 ) sind die gegenüber liegenden Ecken eines Quadrates.
Zeichne das vollständige Quadrat mit den fehlenden Eckpunkten B und D.
Welche Koordinaten (Gitterzahlen) haben die Ecken B und D ?
7.
Gib an welche Aussagen richtig sind:
a) QR ⊥ [PQ]
b) PQ ⊥ [QR]
c)
d)
e)
f)
QP] ⊥ QR
PQ & QR
Q ∈ [PR]
RQ ⊥ PQ
RM_AU037 **** Lösungen 7 Seiten (RM_LU037)
g) AB ⊥ [ST]
h) AB ⊥ [ST
i) AB ⊥ ST]
j) AB & ST
k) T ∈ [TS]
l) AB ⊥ [TS
1 (2)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
TU II [AB]
[AB] II RS]
P ∈ [AB]
TU ∩ AB = { T }
[SR II [AB]
[AT II US]
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Gymnasium / Realschule
Übungen Geometrie - Zeichnen im Gitternetz
Klasse 5
8.
Zeichne im Koordinatensystem (Gitternetz) die Punkte A ( 3 / 1 ) , C ( 6 / 7 ) , F ( 0 / 4 )
und die Gerade g = FC !
a) Zeichne die Parallele p zu g durch A. Welchen Abstand hat p von g ?
b) Das Rechteck ABCD liegt so, daß D auf g liegt. Bestimme die Eckpunkte B
und D und zeichne das Rechteck.
Wie lang sind die Seiten [AB] und [BC] ?
9.
Gegeben sind die Punkte A ( 3 / 2 ) , B( 7 / 4 ) und C ( 8 / 8 ) .
a) Zeichne die Strecken a = [AB] und b = [BC].
b) Zeichne die Parallele zu a durch C.
Zeichne die Parallele zu b durch A.
Wo liegt der Schnittpunkt D der beiden Parallelen ?
c) Bestimme die Gesamtlänge aller entstandenen Strecken !
RM_AU037 **** Lösungen 7 Seiten (RM_LU037)
2 (2)
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