1 Teil 4 Grundlagen der Wechselstromtechnik PTS

1
PTS
Teil 4
Grundlagen der
Wechselstromtechnik
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
2007/08
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Inhaltsverzeichnis
Der Wechselstrom (AC).............................................................................5
Periodendauer T....................................................................................5
Frequenz f............................................................................................6
Maximalwert Û......................................................................................6
Arithmetische Mittelwert Ü.....................................................................6
Effektivwert U.......................................................................................6
Scheitelfaktor ks ..................................................................................6
Sinusgrößen............................................................................................7
Mathematische Betrachtung am Kreis......................................................7
Zusammenhang Frequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz.....................9
Frequenz (f) – Wellenlänge ().................................................................9
Einige Frequenzen und Wellenlängen..................................................10
Arithmetische Mittelwert......................................................................11
Quadratische Mittelwert (U) – Root Mean Square – RMS).........................14
Arbeitsschritte der Ermittlung des quadratischen Mittelwertes einer
gegebenen Funktion y...................................................................14
Physikalische Deutung des quadratischen Mittelwertes (Effektivwert).....17
Formfaktor (F).................................................................................19
Scheitelfaktor Fs .............................................................................19
Zeigerdarstellung sinusförmiger Wechselgrößen......................................21
Allgemeine mathematische Betrachtung.............................................21
Keine Phasenverschiebung.............................................................23
Phasenverschiebung um den Winkel ...............................................23
Negative Phasenverschiebung = Nacheilung (mathematisch negativ)
...............................................................................................24
Wiederholungsfragen.................................................................25
Widerstände im Wechselstromkreis....................................................26
Zählpfeile im Wechselstromkreis.....................................................26
Der ohmsche Widerstand...............................................................26
Der induktive Widerstand (Spule)...................................................30
Der kapazitive Blindwiderstand (Kondensator)..................................34
Zusammenfassung........................................................................36
Zusammenfassen der Bauelemente R, L und C in einer Schaltung......42
Addition von Sinuskurven .................................................................43
Addition von 2 Sinusschwingungen, die in Phase sind (gleicher
Nulldurchgang).............................................................................43
Komplexe Rechnung und Darstellung ......................................................46
Darstellung komplexer Zahlen ..............................................................47
Komponentenform...........................................................................47
Polarform........................................................................................48
Zeigerlänge – Betrag – Argument – Winkel .....................................48
Rechenoperationen mit komplexen Zahlen .........................................48
Addition und Subraktion................................................................48
Addition...................................................................................48
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3
Subtraktion...............................................................................49
Multiplikation............................................................................50
Subtraktion...............................................................................51
Kehrwert von komplexen Zahlen (Inversion).................................53
Kontrollfragen zum Thema (Überprüfen Sie sich selbst).................54
Schaltungen von R, L und C..............................................................54
Reihenschaltung von einem ohmschen und einem induktiven Widerstand
(R und L)........................................................................................54
Darstellung in Versorform (Polarform).............................................55
Ohmscher Widerstand R.............................................................55
Induktive Widerstand (Blindwiderstand) XL ..................................56
Kapazitive Widerstand (Blindwiderstand) XC ................................56
Reihenschaltung eines ohmschen mit einem induktiven Widerstandes. 56
Der Scheinwiderstand (Z)..............................................................60
Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes (R) mit einem
kapazitiven Widerstand ©..............................................................63
Reihenschaltung von einem ohmschen (R), induktiven(XL) und
kapazitiven Widerstand (XC)..........................................................66
Zeigerdiagramme......................................................................67
Parallelschaltung von einem ohmschen und einem induktiven
Widerstand .................................................................................73
Parallelschaltung eines ohmschen mit einem kapazitiven Widerstand . 75
Gemischte Schaltungen von Wechselstromgrößen.............................79
Ersatzschaltungen............................................................................83
Gemischte Schaltungen.................................................................87
Parallel-Reihenschaltung.............................................................87
Reihen-Parallelschaltung.............................................................88
Beispiel.......................................................................................89
Wechselstromleistung..........................................................................90
Wirkleistung (P)...............................................................................90
Blindleistung (Q)..............................................................................94
Induktivität .................................................................................94
Kapazität (XC)..............................................................................97
Scheinleistung – Leistungsfaktor........................................................99
Blindstromverbraucher................................................................105
Maßnahmen zur Reduktion des Blindstromes..................................105
Blindstromkompensation.................................................................105
Wiederholungsfragen.............................................................................113
Dreiphasen-Wechselstrom......................................................................122
Erzeugung einer Dreiphasen-Wechselspannung.....................................122
Sternschaltung – symmetrische Last....................................................124
Sternschaltung – unsymmetrische Last.............................................129
Ein Außenleiter fällt aus..................................................................130
Nähere Betrachtungsweise der Leiterspannungen (Außenleiter)...........131
Unsymmetrische Last (Impedanz)....................................................135
Dreieckschaltung -symmetrische Last...............................................139
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Dreiphasenstrom-Leistung...............................................................141
Literaturliste.........................................................................................144
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Der Wechselstrom (AC)
Wechselstrom (AC) ist jener Strom, der in den Versorgungsnetzen vorherrscht. In der Technik ist er
neben dem Gleichstrom eine wesentliche Größe.
Bei Gleichstrom fließt der Strom im Leiter in gleicher Richtung und Stärke.
I
Zeitlicher Verlauf eines Gleichstromes (DC)
0
t
Beim Wechselstrom hingegen ändert sich der Strom in seiner Stärke und auch in seiner Richtung
über die Zeit.
Maximalwert Î
I
+ Wechsel
0
t
T
Zeitlicher Verlauf eines
sinusförmigen Wechselstromes
- Wechsel
1 Periode
Der Strom ändert ständig seine Richtung – periodenweise. Eine Periode wird durch einen Plus- und
einen Minuswechsel gebildet.
Die Größen ändern (elektr. Spannung u(t) als Funktion der Zeit, i(t) ) sich entsprechend einer
wiederholenden Sinusfunktion mit der Periodendauer T.
Grundlage für die gesamte Wechselstromtechnik sind die Sinussignale.
Periodendauer T
Die Kurve wiederholt sich beim Wechselstrom jeweils nach der Zeit T. T wir als Schwingungsdauer
oder Periodendauer bezeichnet und in Sekunden angegeben.
[T] = s
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Frequenz f
Die Anzahl der Hin-und Hergehenden Bewegung (Perioden) pro Zeit bezeichnet man als Frequenz.
Der Kehrwert der Periodendauer wird als Frequenz f bezeichnet und in Hertz (Hz) angegeben.
1
T
Heinrich Hertz, deutscher Physiker lebte von 1857 – 1894.
Wechselspannungen in Europa werden mit f = 50 Hz verwendet, wobei man sofort die
Periodendauer errechnen kann:
f=
1
1
=
= 0,02 s ----> 50 bedeutet 50 Änderungen pro Sekunde (s). Das Ergebnis sagt
f
50
aus, dass bei 50 Hz eine Periode 0,02 s (20 ms) benötigt.
2
Die ÖBB fährt mit einer Frequenz f = 16
Hz.
3
1
-1
1 Hz =
1 = s .
s
T=
Maximalwert Û
Der Maximalwert wird auch als Scheitel-bzw. Spitzenwert bezeichnet. Er stellt die größte
Auslenkung während einer Periode (Elongation – Amplitude – y-Auslenkung) in Richtung der yAchse (Ordinate) dar.
Arithmetische Mittelwert Ü
Dieser Wert gibt den Gleichspannungsanteil der Mischgröße an. Mischgrößen entstehen, wenn einer
Wechselspannung eine Gleichspannung überlagert (addiert) wird. Mathematisch lässt er sich durch
Aufsummieren der positiven und negativen Flache über einer Periode errechnen.
Die beiden Flächenanteile (pos. und neg.) innerhalb einer Periode sind gleich groß. Daher gilt, dass
Ü = 0V ist, weil sich beide Flächenanteile aufheben.
Effektivwert U
Mathematisch ist der Effektivwert der quadratisch zeitliche Mittelwert einer Wechselspannung.
Ein Gleichstrom mit einem Effektivwert des Wechselstromes, verursacht in einem Widerstand
dieselben Wärmeverluste wie der Wechselstrom selbst.
Scheitelfaktor ks
ks =
Scheitelwert
= € 2 = 1,414 bei sinusförmigem Verlauf der Kurve
Effektivwert
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Ein Beispiel:
Welchen Spitzenwert (Maximalwert – Scheitelwert) hat eine Wechselgröße mit einem
Scheitelfaktor ks = 1,8 und einem Effektivwert U = 1V?
ks =
Scheitelwert
-----> Umformen nach Scheitelwert Û.
Effektivwert
Û = ks . Ueff
Û = 1,8 . 1 V
Û = 1,8 V
Sinusgrößen
Sinusgrößen können durch Rotation eines Zeigers im Koordinatensystem veranschaulicht werden.
U
Ordinate
Betrachtung im Einheitskreis – r = 1
900
Umlaufrichtung
U
U
1800
a
u
00
3600
Winkel
Abszisse
2700
a
900
Winkel
0
180
0
360
2700
Mathematische Betrachtung am Kreis
Der Kreisumfang beträgt 2rp. Ein Umlauf entspricht winkelmäßig 3600 bzw. den Umfang des
Kreises. Er benötigt dafür die Zeit T (Periodendauer).
Weg
s
s
Die Umfangsgeschwindigkei (v =
=
=
)
Zeit
t
T
2r •
Der Weg s = 2rp ------> vu =
wenn man nun das Gleichungssystem durch den Radius
T
vu
2r •
dividiert, erhält man
=
beim rechten Term kürzt sich r heraus.
Tr
r
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vu
2•
=
T
r
Nun betrachte wir den linken Term einheitenmۥig.
m
s
[v] =
[r] = m
Einsetzen der Einheiten:
m
s
m
1
es ergibt sich ein Doppelbruch, der durch Multiplikation mit dem
Kehrwert des zweiten Bruches aufgel‚st wird:
m
.
s
1
=
m
1
= s-1
s
vu
die gleiche Einheit wie die Frequenz f hat f =
r
Dieser Quotient wir auch als Kreisfrequenz (ƒ) bezeichnet.: Formelzeiche ƒ.
Daraus kann man erkennen, dass
2•
T
2•
T
vu
=
r
ƒ=
[ƒ] =
1
= s-1 .
s
1
= s-1
s
Nun ver€ndern wir ein wenig die Formel f„r die Kreisfrequenz:
ƒ=
1
. 2… wir k‚nnen erkennen, dass
T
1
die Frequenz f ist und k‚nnen daher auch schreiben
T
€ = f.2•
Jetzt k‚nnen wir noch erkennen, dass 2… der Bogen des Einheitskreises bei 3600 ist, also der volle
Umfang, wobei 2… keine L€ngeneinheit hat.
Statt Bogen sagt man auch den lateinischen Begriff †arcus‡. Der Kreisbogen bei einem bestimmten
2 •‚
Der Winkel wird jetzt im Bogenma•
Winkel ˆ wird dann so geschrieben: arcus ˆ 0 =
3600
ausgedr„ckt, wobei die Einheit 1 Radiant ‰ kurz 1 rad ist. Darunter versteht man, dass die
Bogenl€nge und der Radius exakt 1 betr€gt. Das ist bei 57,2950 der Fall. (Wir sprechen hier immer
vom Zentriwinkel).
Wie erh€lt man diesen Wert? Man muss aus der Gleichung den Winkel ˆ errechnen:
ˆ =
arcus ‚.360
=
2•
3600
= 57,2950
2•
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Zusammenhang Frequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz
Allgemein ist das Verh€ltnis des Weges s zur Zeit t als Geschwindigkeit v definiert.
Weg
s
v=
=
Zeit
t
m
s
Bei der Drehbewegung verh€lt es sich €hnlich. Hier ist die so genannte Winkelgeschwindigkeit, wie
man sie bei der Drehbewegung bezeichnet, das Verh€ltnis von Winkel (ˆ) und Zeit: Der Weg ist der
Winkel, den der Zeiger bei der Drehung „berstreicht. Das Formelzeichen ist †ƒ‡ (Omega).
[v] =
Winkel
=
Zeit
10
[ƒ]=
s
ƒ =
‚
t
Daraus errechnet sich der Winkel ˆ: ˆ = ƒ.t ‰ Zeitachse (Abszisse)
Eine volle Umdrehung des Zeigers mit ˆ = 2… entspricht einer Periode t = T. Daraus ergibt sich der
2•
1
1
Ausdruck: 2 … = ƒ .t ------> ƒ =
----> ƒ =
. 2… und
= f . Nun k‚nnen wir f„r
T
T
T
ƒ folgenden Ausdruck schreiben: ƒ = 2. … .f
Wenn wir das obige rechtwinkelige Dreieck betrachten, erkennen wir als Hypothenuse den
Maximalwert (Zeiger) Š und die Gegenkathete vom Winkel ˆ als den Momentanwert u der
Spannung (beispielsweise).
Wir wenden nun die Winkelfunktionen sin bzw. cos bzw. tan an.
sin ˆ =
Gegenkathete
=
Hypothenuse
u
Uƒ
u = Š. sin ˆ f„r ˆ setzen wir ƒ .t ein.
u = Š. sin ƒ .t
Die Kreisfrequenz in
1
oder s-1 ergibt sich dann folgender ma•en
s
2•
.
T
Bei der Betrachtung des Wechselstromes wird die Winkelgeschwindigkeit ƒ als Kreisfrequenz
angesehen.
Beispielsweise bei f = 50 Hz ist ƒ = 2. … .f = 2. … . 50 s-1 = 100 … . s-1 = 314,16 s-1.
ƒ = 2. … .f =
Frequenz (f) – Wellenlänge ( ‹ )
Elektrische Signale breiten sich in Form elektromagnetischer Wellen aus. Eine Welle ist eine Hinund Herbewegung. Der Weg, den die Welle in einer Periode zur„cklegt, bezeichnet man als
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Wellenl€nge ( ‹ ). Die Ausbreitungsgeschweindigkeit elektgromagnetischer Wellen entspricht
ungef€hr jener der Lichtgeschwindigkeit †c‡.
c=
Weg
Der Weg ist die Wellenl€nge ‹ ---> c =
Zeit
„
= ‹ .
T
1
T
1
ist die Frequenz f, daher c = ‹ .f. Aus diesem Ausdruck lassen sich Frequenz und
T
Wellenl€nge bestimmen.
Einige Frequenzen und Wellenlängen
f
€
Art der Welle
900; 1800 MHz
0,33; 0,166 m
Mobilfunk GSM
47 ..68 MHz
174 ..223MHz
470 .. 582 MHz
610 ..960 MHz
6,38 ..4,41 m
1,72 ..1,35 m
0,64 ..0,52 m
0,49 ..0,31 m
VHF
VHF
UHF
UHF
37.1013 ‰ 46.1013 Hz
46.1013 ‰ 57.1013 Hz
57.1013 ‰ 61.1013 Hz
61.1013 ‰ 71.1013 Hz
71.1013 ‰ 83.1013 Hz
83.1013 ‰ 22.1014 Hz
80.1014 ‰ 52.1018 Hz
11.1018 ‰ 60.1019 Hz
15.1021 ‰ 15.1023 Hz
0,81 ‰ 0,65 Œm
0,65 ‰ 0,53 Œm
0,53 ‰ 0,49 Œm
0,49 ‰ 0,42 Œm
0,42 ‰ 0,36 Œm
0,36 ‰ 0,14 Œm
37500 ‰ 5,77 pm
27 ‰ 0,50 pm
0,02 ‰ 0,0002 pm
rot (sichtbares Licht)
gelb (sichtbares Licht)
gr„n (sichtbares Licht)
blau (sichtbares Licht)
violett (sichtbares Licht)
UV
R‚ntgenstrahlung
Gammastrahlung (Radium)
H‚henstrahlung
Einige Beispiele:
Die Signale des ersten k„nstlichen Erdsateliten erfolgten auf einer Tr€gerfrequenz f = 40,002 MHz.
Wie lang ist die Wellenl€nge ‹?
‹ =
c
=
f
2,997925.108 m/ s
= 0,074944378. 108-6 m = 0,074944378. 102 m = 7,494 m
40,002.106
Wie gro•e ist die Wellenl€nge des ORF-Programmes •1 im Raumn Wien bei einer Frequenz von 92
MHz?
‹ =
c
=
f
2,997925.108 m/ s
= 0,03258 . 102 m = 3,26 m
92.106
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Arithmetische Mittelwert
Der arithmetische Mittelwert wird auch als linearer Mittelwert bezeichnet. Gebildet wird er, in dem
„ber eine volle Periode (Volle Umdrehung) T die Fl€che zwischen dem Funktionsgrafen y(t) und
der x-Achse (Zeitachse t) in ein fl€chengleiches Rechteck umgewandelt wird.
y
y(t) - Funktionsgraf
Rechteckfl€che A
+
0
y
t
T
1 Periode
Der Fl€cheninhalt des Rechteckes errechnet sich durch T.y
Die Gesamtfl€che ergibt sich, in dem der Inhalt der negativen Fl€che vom Inhalt der positiven
Fl€che subtrahiert wird.
Integralm€•ig k‚nnte eine exakte Bestimmung der Gesamtfl€che eruiert werden, in dem man die
Kurvenfl€che in winzig kleine Teilfl€chen (Rechtecke) zerlegt und diese aufsummiert, was ja die
Integralrechnung tut.
_
y=
T
1
y †t ‡ dt Dieser Ausdruck gilt f„r alle Grafen. †Sigma‡ steht f„r
…
0
T
Aufsummieren . Man kann nat„rlich jedes Integral auch durch das Summenzeichen ‰
Summe ersetzen.
_
y=
1
T
ˆ
n
i=1
y i †‰t ‡ , wobei T in n-gleiche t-Intervalle der Breite Žt geteilt wird.
Die weitere mathematische Betrachtungsweise w„rde den Rahmen sprengen. In den Bereich der
Polytechnischen Schule (PTS) w„rde diese mathematische •berlegung in den
Mathematikunterricht nicht hineinfallen.
Beim arithemischen Mittelwert einer Sinuskurve (linear) bis zu 2… (volle Umdrehung ‰ 1 Periode)
ist die Summe der positiven und negativen Halbfl€chen gleich Null (0). Beide Fl€chen sind
deckungsgleich ‰ der Fl€cheninhalt der positiven ist gleich dem Fl€cheninhalt der negativen Fl€che.
Bei jeder Wechselgr‚•e sind die positiven und negativen Fl€chen gleich gro• und haben daher den
Mittelwert Null. Sie m„ssen aber nicht deckungsgleich sein. Wichtig ist, dass der lineare
(arithmetische Mittelwert eben Null sein muss.
Wenn also der arithmetische Mittelwert Null (0) ist, bezeichnet man diese Gr‚•e als Mischgr‚•e
(Mischspannung, Mischstrom,....)
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sin ˆ ‰ Funktionswert
in rad
1,2000
1,0000
0,9397
0,9848 1,0000
0,8660
0,8000
0,7660
0,6428
0,6000
0,5000
0,4000
0,3420
0,1736
0,2000
ˆ
0,0000
0,0000
Wenn man die gebildeten Teilfl€cheninhalte aufsummiert bis 900 und dann verdoppelt, entspricht
das einer ganzen Halbschwingung. Durch Division mit 3600 erh€lt man dann den arithmetischen
Mittelwert. Žˆ. ˆ sin ‚=10. †0,1763Š0,3420Š0,5Š.....0 ,9848‡=52,149
Verdoppeln der Fl€che = 2. 52,149 = 104,298
Diesen Wert dividieren wir durch 3600
104.298
Arithmetische Mittelwert (y) =
= 0,289
3600
Beispiel einer Einweggleichrichtung (1 Diode)
u
Maximalwert (Š)
0
…
2…
ƒt
1 Periode entspr€che
1T
Aritmetische Mittelwert von y
(•)
Liniendiagramm f„r eine
Einweggleichrichtung (Funktionskurve)
Wir erkennen, das die Fl€che einer Sinushalbschwingung (1 Periode) der doppelten Amplitude (yRichtung) entspricht. Mit Hilfe der Integralrechnung w€re es mathematisch kein Problem, den
Fl€cheninhalt zu berechnen.
Ein kleiner Ausblick:
Wir m„ssen den Fl€cheninhalt, den der Funktionsgraf mit der x-Achse einschlie•t, von 0 bis … mit
Hilfe des Aufsummieren (integrieren) ermitteln. (Siehe Mathematikbuch Integralrechnung-nicht
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Lehrstoff der Polytechnischen Schule Mathematik).
Nur f„r Lehrende gedacht:
…
…0 U ‹max.sin‚ d ‚ = Š.(-cos ˆ) ‘ = - Š(-1-1) = - Š (-2) = + 2 Û
0
U-max = Š
•
Durch Aufsummieren der kleine Rechteckfl€chen ergibt sich dieser Wert „ber eine Periode.
U .2 … = 2.Š / dividieren durch 2
U
… = Š -----> das w€re die Fl€che A Rechteckfl€che entspricht halbe Sinusfl€che
_
A = 2Š wobei ja A = y.T ist. (siehe oben)
Daraus l€sst sich nun der arithmetische Mittelwert der Einweggleichrichtung ermitteln:
1
. Š = 0,318309 Û er entspricht ca. 30% der Amplitude. Stimmt ca. mit dem obigen Wert
•
(Summenbildung von Teilfl€chen) „berein.
•=
Zweiweggleichrichtung (4 Dioden beispielsweise)
Liniendiagramm des Funktionsgrafen ‰
Sinuskurve (Zweiweggleichrichtung)
u
Maximalwerte von u (Š)
0
2…
ƒt
1 Periode T
Aritmetischer
Mittelwert •
Man erkennt deutlich, dass der arithmetische Mittelwert (Fl€cheninhalt) • doppelt so gro• wie jener
bei der Einweggleichrichtung ist.
Daher ist die obige Formel leicht zu ver€ndern: • =
2
. Š = 0,636619772 Š hier sind es ca. 64%
•
der Amplitude.
Beide arithmetischen Mittelwerte bezeichnet man als Gleichrichtwerte.
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Auch Ströme und Leistungen können arithmetische Mittelwerte haben.
Beispielsweise zeigt ein Drehspulmessgerät immer den aritmetischen Mittelwert an. Daher zeigt das
Drehspulinstrument immer bei reinen Wechselspannungswerten Null an. Erst durch einen
Gleichrichter (Messwertgleichrichter) ist es möglich, dass das Messgerät den richtigen
Spannungswert anzeigt.
Beachten sollte man, dass bei geringen Abweichungen der Sinuskurve, die Anzeige nicht mehr
exakt ist.
Beim Wechselstrom findet immer ein Schwingungstransport statt, während beim reinen
Gleichstrom tatsächlich Ladungen transportiert werden.
Aus diesem Grunde ist es schwierig, den Wechselstrom anschaulich zu beschreiben, weil der
arithmetische Mittelwert Null ist und der Scheitelwert einer sinusförmigen Wechselspannung
jeweils nur für einen Augenblick vorhanden und daher messbar ist.
Aus dieser Überlegung ist es sinnvoll, einen anderen Mittelwert zu suchen und auch zu finden.
Quadratische Mittelwert (U) – Root Mean Square – RMS)
Berechnung – Vorgangsweise
1. Herkömmliche Ermittlung des arithmetischen (linearen) Mittelwert
2. Quadrieren des Ergebnisses ----> nur mehr positive Halbwellen
3. Aus diesen den arithmetischen Mittelwert berechnen
4. Radizieren – Das Ergebnis ist der so genannte Effektivwert – der quadratische Mittelwert.
Bei der Angabe einer Wechselgröße ist immer der Effektivwert gemeint, den zu veranschaulichen
etwas kompliziert ist. (Ueff, Ieff,.....)
Wir beginnen mit dem aritmetischen Mittelwert und quadrieren die Funktion
Erweiterungsstoff – nich für Polytechnische Schule – Mathematik – nur für Lehrende gedacht.
T
1
Y=
y 2 †t ‡ dt , wobei der y-Wert eine Wechselgröße darstellt (U, I,...) - Y ist der
…
0
T
Funktionswert der Funktion und T = 2p (denke an das Bogenmaß)
Arbeitsschritte der Ermittlung des quadratischen Mittelwertes einer gegebenen Funktion y
Œ
Œ
Œ
Die bekannte Funktion y quadrieren ------------> y2
den arithmetischen Mittelwert errechnen ------> y2
Radizieren -------------------------------------------> Y =
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€y
2
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Ein einfaches Beispiel soll den Vorgang veranschaulichen.
Es soll der quadratische Mittelwert (Effektivwert) vom folgenden Spannungsverlauf ermittelt
werden:
u in Volt V
Rechteckiger Spannungsverlauf
A1
30
2ms
T
t
t in Millisekunden ms
5
A2
Aus dem Spannungsverlauf erkennen wir, dass die Periode T = 4 ms beträgt, die Spannungen 30 V
und 5 V betragen.
1.Schritt: Arithmetischen Mittelwert (U) berechnen:
U=
A1‹ A2
=
T
30V.2ms‹5V.2ms
=
4ms
60Vms‹10Vms
=
4ms
50Vms
= 12,5 V
4ms
Die negative Fläche wird von der positiven Fläche (A1 – A2) subtrahiert und durch die
Periodendauer (T) dividiert.
2.Schritt: Ermittlung des Effektivwertes
Πzuerst das Quadrat der Funktion (u) bilden.
Œ Er ergeben sich dann 2 positive Flächen (A1 , A2)
Πdiese werden dann addiert und durch die Periodendauer T dividiert = arithmetischer
Mittelwert der quadratischen Funktion
A1
u2
900 V
A2
30.30
t
T
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5.5
25 V
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T = 4 ms (weiterhin
2
2
Πu1 = 30.30 = 900 V
2
2
u2 = 5.5 = 25 V
Œ Fl€chen bilden und addieren:
A1 = 900 V2 . 2 ms = 1800 V2 ms
A2 = 25 V2 . 2 ms = 50 V2 ms
A = 1800 V2 ms + 50 V2 ms = 1850 V2 ms
Œ Nun bilden wir den arithmetischen Mittelwert der positiven Fl€chen = Division durch T
A1 Š A2
1800 V 2 msŠ50V 2 ms
1850 V 2 ms
u =
=
=
= 462,5 V2
T
4 ms
4 ms
Um jetzt V zu berechnen m„ssen wir nur mehr das Ergebnis radizieren:
2
Œ
€ u2
=
€ 462,5 V 2
= 21,51 V (=U) -----> U = 21,5 V
Der Effektivwert (quadratische Mittelwert) dieser Spannung (30 V) beträgt demnach 21,5 V.
Bei einem sinusf‚rmigen Spannungsverlauf ist es etwas komplizierter.
Auch hier ist eigentlich derselbe Weg einzuschlagen:
Ideal ist es aber, mit der Amplitude 1 zu beginnen. Dann bilden wir das Quadrat von
sin ˆ ------> sin2 ˆ bis ˆ = 800.
Wertetabelle:
ˆ
sin ˆ
sin2 ˆ
10
0,1736
0,0301
20
0,3420
0,1169
30
0,5000
0,2500
40
0,6427
0,4131
50
0,7660
0,5868
60
0,8660
0,7500
70
0,9396
0,8830
Nun bilden wir wieder die Summe (bis 800 der Sinuswerte) und erhalten 3,992
Diesen Summenwert multiplizieren wir mit 100 (Žˆ) und dividieren dann durch die viertel Periode
(900). Wir erhalten den linearen Mittelwert von sin2 ˆ
10 0 .3 ,9992
= 0,44435 Dieser arithmetische Mittelwert ist in jeder Viertelperiode gleich.
90 0
Nun gilt es noch zu radizieren.
y=
Yeff =
€ 0,44435
= 0,66659 (quadratische Mittelwert der Funktion sin ˆ)
Das wäre der Effektivwert einer Sinusschwingung mit der Amplitude 1.
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2007/08
17
Für einen sinusförmigen Wechselstrom gilt daher
i = Î . sin a
Scheitelwert – Maximalwert Î
a
Momentanwert i
i
Hypothenuse
Die Hypothenuse ist der Maximalwert.
sin a =
Für den Strom wäre demnach der Effektivwert (quadratische Mittelwert) I = 0,66659 . Î
Das ist aber ein Näherungswert. Exakt zu bestimmen wäre er mit der Differentialrechnung, der wäre
demnach ca. 0,707 Î
Bei der Wechselspannung verhält sich das genau so:
U = 0,707.Û
Der Effektivwert (quadratische Mittelwert) einer sinusförmigen Wechselgröße beträgt ca.
70% des Maximalwertes (Scheitelwert, exakt :
U=
1
.Û
€2
U=
1. € 2
.Û
€2.€2
U=
€2
. Û für die sinusförmige Wechselspannung
2
€ 2 . Î für den sinusförmigen Wechselstrom.
I=
2
Physikalische Deutung des quadratischen Mittelwertes (Effektivwert)
Der quadratische Mittelwert erzeugt in einem ohmschen Widerstand die gleiche Wärmemenge, wie ein gleich
großer Gleichstrom. Das bedeutet, dass ein Gleichstrom und der Effektivwert dieselbe Leistung (P) abgeben
P = IG2 . R = I2 . R (=
1
. Î2 . R
2
Dreheisen-Messgeräte zeigen immer den Effektivwert an.
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18
Einige Beispiele:
Für den gegebenen Stromverlauf mit einer Amplitude (Maximalwert) Î = 1,8 A soll der quadratische Mittelwert
(Effektivwert), der arithmetische Mittelwert berechnet werden.
i
1,8 A
0
t
5T/6
T/6
T=
T=
T
5T
1T
6
6
4T
2T
=
6
3
€2
a) Effektivwert I: I =
2
. Î
I = 0,707 . 1,8 A
I=
€
1
2T
.1,8 2 A2 .
T
3
I=
€
3,24 A2 .2 T =
3T
€
6,48 A =
3
€ 2,16 A2
= 1,46 A
b) Arithmetische Mittelwert (ohne Quadrat)
I=
1
. (1,8A .
T
I=
1.1,8 A.2
=
3
2T
) ------nur eine Fläche – T kürzt sich weg
3
3,6
= 1,2 A
3
Ein weiteres Beispiel
Von einer sinusförmigen Spannung sind Effektiv und Maximalwerte gegeben. Ergänzen Sie die Tabelle:
Warum muss man sinusförmig angegeben?
U in V
2
8
12
40
110,29
379,65
7,07
Û in V
2,82
11,31
16,97
56,57
156
537
10
U = 0,707.Û
Û=
U
=
0,707
U = 0,0707 . 156 V = 110,29 V
2V
= 2,82 V
0,707
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19
Warum sinusförmig? Wegen der Zusammenhänge, sonst gelten sie nicht:
Û = Ueff .
Ueff =
€2
Und
U max
€2
Was bedeutet die Angabe 230V/50 Hz?
230 V ist der Effektivwert der Wechselspannung von einer Frequenz f = 50 Hz.
Ueff = 230 V
Formfaktor (F)
Der Kurvenverlauf der Wechselpannung kann mit dem Formfaktor besser beurteilt werden. Er ist
das Verhältnis von Effektivwert und arithmetischer Mittelwert (Gleichrichtwert) der pulsierenden
Gleichspannung.
F=
U
•
U
U = 0,707 . Û
U = 0,637 . Û oder
2
. Û Zweiweggleichrichtung einer sinusförmigen Wechselspannung
•
0,0707. Uƒ
0,637. Uƒ
F = 1,11
F=
Scheitelfaktor Fs
Um den Scheitelwert zu erhalten, muss der Effektivwert einer Spannung (Strom) mit einem
bestimmten Wert multiplizieren.
Fs =
Ueff =
Maximalwert
=
Effektivwert
Uƒ
U eff
U max
€2
U max
Fs = U max ----> Umax kürzt sich weg und es bleibt € 2 = 1,414 hängt von der Kurvenform der
€2
Wechselspannung ab.
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20
Einige Beispiele:
Ein Akkumulator hat eine Kapazität von 66 Ah. Er wird über ein Ladegerät mit einer 2-WegGleichrichtung aufgeladen. Der Maximalstrom (Amplitude) Î = 8A.(Imax)
Es ist die Ladezeit zu ermitteln.
a) Der arithmetische Mittel bei 2-Weg-Gleichrichtung beträgt:
I=
2
. Imax
•
I=
2
.8A
•
I = 5,09 A --- dieser Strom muss in einer best Zeit (Aufladezeit) t eine Ladung von 66 Ah
transportieren ------>
Q = I .t
t=
Q
=
I
66 Ah
= 12,96 h
5,09 A
Zusammenfassende Überlegungen
Nochmals Der Effektivwert einer Wechselspannung gilt nur für Sinusspannungen.
Der arithmetische Mittelwert bei jedem Wechselstrom ist Null, weil so definiert
Uss ist die gesamte Amplitude – also 2 .Umax – bei einem Oszilloskop - Gesamtauslenkung
Umax = U .
€2
-----> Uss = 60 V . 2 .
€2
= 169,70 V bei einer Sinusspannung zB von U = 60 V.
Wieviele mm würde die Ablenkung ausmachen, wenn eine Gleichspannung von 2V eine Ablenkung
von 1mm hervorruft.
2V
– 1mm
169,70V
- x mm
____________________
2V : 169,70V = 1mm : x mm
2V.x mm = 169,70V . 1 mm
x=
169,70 Vmm
2V
= 84,85 mm ----> ist die Ablenkung
Ein weiteres Beispiel
Wie groß ist der arithmetische Mittelwert einer Dreieckspannung u = 30 V und einer drittel-Periode
von 10 ms?
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21
u
A1
30 V
t
10 ms
T = 10 ms . 3 = 30 ms
A1 = (Dreiecksfläche =
30A.10ms
= 150 Vms
2
3A1 = 150 . 3 = 450 V ms
U=
450V ms
= 15 V
30 ms
Zeigerdarstellung sinusförmiger Wechselgrößen
Allgemeine mathematische Betrachtung
Allgemein betrachten wir eine physikalische Größe mit sinusförmigen Verlauf (y-Verlauf).
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22
y
Hypothenuse = Zeiger ‰ ’ ‰ dreht sich
gegen den Uhrzeigersinn ‰ math. positiv
ƒ
y
ƒ
t
Kathete = Momentanwert der
physikalischen sinusf‚rmigen Gr‚•e
ƒt
Wir erkennen ein rechtwinkeliges Dreieck, in dem wir die trigonometrischen Funktionen anwenden
k‚nnen.
Der Zeiger dreht sich gegen den Uhrzeigersinn in mathematisch positivem Sinn. Wenn man diese
Bewegung in Richtung der x-Achse (t-Achse bzw. im Bogenma• ƒ t-Achse) ausbreitet, entsteht
eine sinusf‚rmige Kurve.
‚
Denken Sie noch an den Begriff Winkelgeschwindigkeit (ƒ) =
-----> ˆ = ƒ .t
t
Der zeitliche Momentanwert (y-Projektion ‰ Gegenkathete zum Winkelweg (ƒ) ist f„r jeden
Zeitpunkt t eines drehenden Strahles (Zeigers) mit der L€nge ’ (= Amplitude) eine Projektion auf
die y-Achse.
Gegenkathete
=
Hypothenuse
y = sin ƒ . Hypothenuse
sin ƒ =
y
Hypothenuse
Hypothenuse = ’ (Amplitude ‰ Maximalwert ‰ Scheitelwert)
y = sin € . •
In der Elektrotechnik bezeichnet man einen Strahl mit gleich bleibender L‚nger (•), der mit
ƒ entgegen gesetzt dem Uhrzeigersinn sich dreht, einen Zeiger, wobei die L‚nge des Zeigers
als Amplitude (•) bezeichnet wird.
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23
Keine Phasenverschiebung
y
’
45, 00°
’
y = ’.sin ƒt
’
2…
ƒt
t=0
…
ƒt
Zeigerdiagramm
Liniendiagramm
Wir erkennen hier, das die Kurve (Phase) nicht verschoben ist. Sie beginnt im Ursprung bzw. geht
durch den Ursprung.
Sinusdarstellung : y = ’.sin ƒ t
Phasenverschiebung um den Winkel
Ž
y
ƒ
y
’
t=0
y = ’.sin (ƒt + “)
’
“
t0 = 0
“
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…
2…
ƒt
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24
Sinusdarstellung: y = •.sin (€t + ƒ)
Mathematisch positive Verschiebung ---> Voreilung
Negative Phasenverschiebung = Nacheilung (mathematisch negativ)
Sinusdarstellung: y = •.sin (€t „ ƒ)
Der Zeiger beginnt bei einem negativen Anfangswinkel “ .
Der Vorteil dieser •berlegungen liegt darin, dass man sinusf‚rmige Gr‚•en addieren bzw.
subtrahieren kann.
Nochmals sei erw€hnt, dass 2… (volle Umdrehung des Zeigers) = ƒT ist, wobei ƒ die
‚
Winkelgeschwindigkeit ist und ƒ =
-----> ˆ = ƒ T ist.
T
ƒ =
2•
(Wiederholung)
T
T
(= t0 = t)
4
Demnach w€re eine Verschiebung der Sinuskurve um
T
•
2•
.
=
also im Winkelma• 900. ---->Der Nullphasernwinkel “ ist jener Winkel,
T
4
2
den der Zeiger bei t0 hat. Der Winkel zwischen den Zeigern ” und Š bleibt immer gleich.
ƒt=
Einige Beispiele
U
i
Umlaufrichtung
”
Ordinate
”
u
Š
Der Strom ist gegen„ber der
Spannung um “ verschoben
Š
“
“
Abszisse
Winkel
Winkel
i
Wir erkennen, dass der Strom seinen Maximalwert fr„her erreicht als die Spannung. “ bezeichnet
man den Phasenverschiebungswinkel
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25
Š
”
“
“
”
Š
In beiden Zeigerdiagrammen erreicht der Strom fr„her seinen Maximalwert (Scheitelwert) als die
Spannung. Beide Darstellungen sind gleichwertig. Man sagt, der Strom eilt der Spannung um den
Winkel “ voraus.
Wichtig ist die relative Lage der beiden Zeiger ” und Š. Alle Zeiger drehen sich mit ƒ gegen den
Uhrzeigersinn also mathematisch positiv. (gedacht - denken).
Wiederholungsfragen
Was ist ein Zeiger?
Die Projektion eines Zeigers auf die y-Achse gibt ________________ an.
Was gibt der Nullphasenwinkel an?
Wie gro• darf der Nullphasenwinkel eigentlich sein?
Wie gro• ist der Nullphasenwinkel folgender Sinusschwingungen?
Œ y = ’.sin ƒ t
0
Œ y = ’.sin ( ƒ t + 40 )
0
Œ y = ’.sin ( ƒ t ‰ 80 )
Es ist der Strom i = ” . sin ƒt gegeben. Die Spannung eilt dem Strom um 450 nach, also verschoben.
Wie schreibt man die Spannungsschwingung u auf?
Woran erkennt man in einem Liniendiagramm und in einem Zeigerdiagramm die
Phasenverschiebung?
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26
Lösung
An den Nulldurchg€ngen (x-Achse) und
am Winkel zwischen den beiden Zeigern (Strom un d Spannung)
u = Š. sin (ƒt ‰ 450)
Ein Zeiger ist ein konstanter Strahl, der mit einer Geschwindigkeit ƒ
entgegen dem Uhrzeigersinn sich dreht.
Den Momentanwert
1. “ = 00
2. “ = 400
3. “ = - 800
Widerstände im Wechselstromkreis
Es gibt im Wechselstromkreis nicht nur den ohmschen Widerstand, sondern auch noch
Kondensatoren (Kapazit€t) und Spulen (Induktivit€t), die auch einen gewissen Widerstand haben.
Im Gleichstromkreis gibt es nur einen Widerstand, den ohmschen Widerstand R (Wirkwiderstand).
Zählpfeile im Wechselstromkreis
i
AC
(+)
R
u
(-)
Der ohmsche Widerstand
Wir betrachten nun einen ohmschen Widerstand im Gleichstromkreis (DC) und im
Wechselstromkreis (AC).
Dazu soll uns ein Versuch, den wir mit einem Simulationsprogramm (Electronic Workbanche)
durchf„hren, dienen.
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27
Software „Electronic Worknache“
DC
Wir verwenden für unsere Messung eine Spannungsquelle von 10 V DC , ein Messgerät für den
Strom und einen 100 O – Widerstsand.
Deutlich erkennen wir, dass das Amperemeter einen Strom i von 100 mA (0,1A) anzeigt.
Hinweis: Ideal wäre es, wenn ein Dreheiseninstrument sowohl für Gleich- als auch Wechselstrom
zur Verfügung stünde.
Nun führen wir den selben Versuch durch. Nur an Stelle der Gleichspannungsquelle verwenden wir
nun eine Wechselspannungsquelle.
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28
AC
Auch können wir am Messgerät einen Strom von ca. 100 mA (0,1 A) ablesen.
Das ohmsche Gesetz gilt auch in diesem Fall: R =
U
=
I
10V
= 100 O
0,1 A
In beiden Fällen ist der Widerstand gleich, wobei das für den Wechselstrom bedingt gilt. Es werden
ja, wie oben bemerkt, nur Effektivwerte angezeigt.
Wieso bedingt? Spielt die Frequenz eine besondere Rolle. Sie sehen, dass bei der Spannungsquelle
die Frequenz und die Temperatur angegeben ist.
Was passiert, wenn wir die Frequenz verändern? Es hat sich gezeigt, dass bei sehr hohen
Frequenzen der Widerstand zunimmt. Die Ursache ist die Stromverdrängung, die man Skineffekt
bezeichnet. Der Strom wäre kleiner und der Widerstand größer bei einer Wechselstrommessung.
Auch die Stromdichte ist nicht mehr konstant und die Messgeräte würden auch versagen.
Mit einem Zweikanaloszilloskop kann man nur das Liniendiagramm der Spannung und des Stromes
aufnehmen.
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Wie verhalten sich bei der Messung der beiden sinusf‚rmigen Kurven die Spannung und der Strom.
u
i
Š
ƒ
i
u
”
”
Š
…
0
ˆ
t0 = 0
Zeigerdiagramm
ƒt
t0 = 0
Liniendiagramm
Wir erkennen deutlich, dass die Sinuskurve der Spannung und jener des Stromes nicht
gegeneinander verschoben sind. Man spricht von keiner Phasenverschiebung. Der
Nullphasenwinkel ist Null.
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30
Die Momentanwerte von u und i sind ------->
u=
i=
u
i
Û
€2
Î
€2
Wenn wir jetzt wieder das ohmsche Gesetz anwenden ergibt sich folgender Ausdruck:
Û
Û.sin †•‡ t
Û
€2 = U
R=
=
=
Î.sin †•‡t
Î
I
Î
€2
Im Wechselstromkreis bezeichnet man den ohmschen Widerstand als Wirkwiderstand wie beim
Gleichstrom DC, der sich folgendermaßen bestimmen lässt:
Der Widerstand kann sowohl aus den Momentanwerten, Scheitelwerten (Maximalwerte) oder
Effektivwerten von Strom und Spannung bestimmt werden.
R=
u
=
i
Û
=
Î
U
I
Der Reziprokwert heißt demnach Wirkleitwert G
1
G=
Der Leitwert wird in Siemens angegeben.
R
Im idealen Fall ist der Widerstand unabhängig von der Frequenz f.
R
Die Frequenz darf aber nicht sehr hoch sein .
Denken Sie an den Skineffekt.
t
Der induktive Widerstand (Spule)
Wir betrachten eine Drahtwicklung (Spule) nicht als ideal, darunter verstehen wir, dass der ohmsche
Widerstand (Drahtwicklung) berücksichtigt wird.
Ein Versuch soll Klarheit verschaffen:
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31
Wir messen am Amperemeter einen Strom von 10 mA bei einer Induktivität von 100 mH
a)
DC
(Millihenry-mH)
Nun bauen wir dieselbe Schaltung auf und schließen sie an eine Wechselspannungsquelle an.
Die Frequenz setzen wir auf 100 Hz
b)
Wir lesen am Amperemeter einen Strom von 12,57 mA ab. Der Strom wird kleiner und der
Gesamtwiderstand größer.
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Wie sieht es aus, wenn die Induktivität verändert wird?
Deutlich ist abzulesen, dass der
Strom kleiner geworden ist,
wenn die Induktivität größer
wird
AC
Zusammenfassend kann man sagen, dass bei DC- und AC- Messung es zu unterschiedlichen
Ergebnissen kommt.
Bei AC misst man einen kleineren Strom als bei DC. Der Widerstand hat zugenommen. Auch bei
Frequenzänderungen ändert sich der Widerstand. Wir erkennen, dass der Strom kleiner geworden
ist. Bei Erhöhung der Induktivität steigt ebenso der Widerstand.
Bei der Gleichstrommessung wird nur der ohmsche Widerstand der Spule gemessen, während bei
Wechselstrom der ohmsche Anteil zum induktiven auch vorhanden ist. Durch den Wechselstrom
kommt es auch zu einen magnetischen Wechselfluss (siehe Grundlagen der Gleichstromtechnik)
innerhalb der Spule. Es entsteht eine Selbstinduktionsspannung, die bei Gleichstrom beim Ein- und
Ausschalten wirksam wird, aber bei Wechselstrom zu einer Phasenverschiebung und zu einer
Verringerung des Widerstandes führt (Drosselspule oder Drossel).
Selbstinduktionsspannung u = N.
‰•
(zeitliche Änderung des magnetischen Flusses --->
‰t
‰i
‰t
N: Wicklungsanzahl
L: Induktivität
=L.
Der Strom eilt der Spannung um 900 nach.
Wenn beispielsweise der Widerstand R einer Kupferspule Null wäre, dann wäre eigentlich nur der
Blindwiderstand XL vorhanden. Den Wirkwiderstand (erwärmt sich) vernachlässigen wir.
Das würde zu folgendem mathematischen Ausdruck führen:
U
angegeben in Ohm ( O ). Der Blindwiderstand erwärmt sich nicht, daher ist
I
keine Wirkleistung festzustellen.
AC:
XL =
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33
u
i
u
Š
ƒ
Š
i
”
”
t0 = 0
…
0
2…
ˆ = ƒt
t0 = 0
Wir wollen nun bei einem sinusf‚rmigen Verlauf die Induktionsspannung u an einer Spule
ermitteln:
i = ” . sin ƒ t
In die obige Gleichung eingesetzt: u = L.
di
=L
dt
d.Î.sin†•‡t
= ƒL ” cos ƒt
dt
Dieser Ausdruck m„sste
differenziert werden.
Mit Hilfe der Differentialrechnung erh€lt man dann ” . ƒ . cos ƒt (Erweiterungsstoff f„r Lehrende)
Es ergibt einen Kosinusverlauf, wie man im Liniendiagramm sehr sch‚n sehen kann.
u = Š . cos ƒ t
Vergleichen wir beide Ergebnisse:
ƒ L ” cos ƒ t = Š . cos ƒ t ----> k„rzen durch cos ƒ t
ƒL”=Š
Û
= ƒ L = XL -----> Formel für den Blindwiderstand (Spule)
Î
Eine Sinuskurve des Stroms ruft eine Cosinuskurve der Spannung hervor, wobei der Strom
um 900 der Spannung nacheilt.
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34
Der kapazitive Blindwiderstand (Kondensator)
Zur besseren Erklärung schließen wir, wie bei der Spule vorher, einen Kondensator jeweils an eine
Gleichspannung- und Wechselspannungsquelle an.
a)
Fast kein Strom
b)
Es fließt dauernd
Strom
Wir erkennen wiederum ein unterschiedliches Verhalten. Zu bemerken wäre, dass bei Gleichspannung das
Amperemeter kurz ausschlägt. Es fließt kurzzeitig ein Ladestrom. Sobald der Kondensator geladen ist, fließt kein
Strom mehr, I = 0 und R =
U
----> 8 (unendlich). Der Kondensator sperrt Gleichstrom. Exakt nicht ganz,
I
weil durch das parallel geschaltete Voltmeter (Innenwiderstand) ein kleiner Strom fließt, der unwesentlich ist.
Bei Wechselspannung wird ständig die Richtung geändert und es fließt dauernd Strom. Es liegt ein bestimmter
Widerstand vor, der sich mit ändernder Frequenz und Kapazität ändert. Frequenz und Widerstand verhalten sich
direkt proportional, wobei die Kapazität und der Widerstand sich indirekt proportional verhalten.
Da der Kondensator keine störende Anteile (ohmsche Anteile) wie die Spule hat, kann man auf dem Oszilloskop
eine exakte Phasenverschiebung von 900 beobachten. Der Strom eilt der Spannung um 900 voraus. Wir sprechen
von einer idealen Kapazität.
Wir versuchen wie bei der Spule den vorauseilenden Strom bestimmen, wobei die Differentialrechnung eine
wertvolle Hilfe liefert.
Wie beim Induktionsgesetz u = L.
i = C.
di
(für Induktivitäten) schreiben wir nun die Beziehung für Kapazitäten:
dt
du
‰u
Oder i = C.
Bei Änderung der Kondensatorspannung ändert sich auch die
dt
‰t
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35
Kondensatorladung ------> Ladungs€nderung ‰ Spannungs€nderung ------> ŽQ = C . Žu
‰Q
.
‰t
Wenn Ladung bewegt wird, entsprich das einem elektrischen Strom: i =
Bei gleichm€•igen sinusf‚rmigen •nderungen muss die Differenzialrechnung helfen.
Differentialausdruck = i = C .
du
dt
(d: Differentiale)
Kein Stoff f„r den
Mathematikunterricht an
der Polytechnischen
Schule
Eine sinusf‚rmige Spannung hat einen cosinusf‚rmigen Strom zu Folge.
u = Š . sin ƒ t ( ˆ )
i=C.
du
=C.
dt
dÛ.sin†•‡t
dt
= C . Š . ƒ . cos ƒ t ( ˆ )
differenziert
Kein Stoff im
Mathematikunterricht der
Polytechnischen Schule)
Ohne Beweis: Š . ƒ . cos ƒt (ˆ)
Der Cosinusverlauf des Stroms wird dann so angeschrieben: i = ” . cos ƒt
Nun setzen wir wieder beide Gleichungen gleich:
/ k„rzen durch (cos ƒ t)
C . Š . ƒ . cos ƒ t ( ˆ ) = ” . cos ƒ t
C.Š. ƒ
= ” / dividieren durch ”
Û .C •
=1
/ dividieren C.ƒ
Î
Û
1
=
= XC ‰ der Blindwiderstand
Î
C. •
u
i
u
ƒ
i
Š
”
”
Š
90,00–
Zeigerdiagramm
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0
t0 = 0
…
2…
ƒt (ˆ)
t0 = 0
Liniendiagramm
2007/08
36
Ein Beispiel
Es soll ein Strom bei einer Spannung von 10 V (Effektivwert) an einem Kondensator mit 1 ŒF = 10 ‰ 6 F berechnet
werden. f = 50 Hz
Das Zeigerdiagramm mit den Effektivwerten sollgezeichnet werden.
Ma•stab:
1 cm = 5V
1 cm = 20 mA
I = U . ƒ C = 10 V . 2….50 Hz . 10-6 F = 3,14 mA
I
U
f = 50 Hz
XC ist ebenfalls frequenzabh€ngig, entgegengesetzt wie bei der Spule.
XC =
1
=
2†•‡. f.C
1
.
2†•‡.C
1
1
-----> y = k .
= Hyperbel
f
x
Xc
XC =
1
•.C
f
Wir erkennen, dass bei steigender Frequenz der Widerstand XC sinkt. Wenn f gegen — geht, wird XC Null.
Zusammenfassung
Wir pr€gen uns ein, dass bei einem ohmschen Widerstand (R) keine Phasenverschiebung auftritt,
bei einem induktiven (L) Widerstand eine Phasenverschiebung auftritt und bei einem kapazitiven
(C) auch eine Phasenverschiebung auftritt, wobei beim induktiven Widerstand (kein
Wirkwiderstand) der Strom der Spannung um 900 nacheilt und beim kapazitiven der Strom der
Spannung um 900 voreilt.
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2007/08
37
U
R
i
Strom und Spannung in Phase
I
u
Zeigerdiagramm
U
L
i
u
ca. 900
I
Zeigerdiagramm
C
U
i
. 900
u
Zeigerdiagramm
I
Œ
Œ
Œ
Bei R ----> I und U in Phase
Bei L -----> I eilt der Spannung um 900 nach -Phasenverschiebung – keine Wirkleistung
Bei C -----> I eilt der Spannung um 900 vor – Phasenverschiebung – keine Wirkleistung
Wiederholungsbeispiele
Œ
Œ
Œ
Œ
Œ
Œ
Œ
Œ
Œ
Œ
Œ
Œ
Hängt der ohmsche Widerstand von der Frequenz ab?
Wie verhält sich eine Spule (Drosselspule) im Wechselstromkreis?
Entsteht an einem Blindwiderstand Wärme?
Warum entsteht an einem Blindwiderstand keine Wärme?
Warum erzeugt ein Kondensator bei Gleich- bzw. Wechselspannung keine Wärme?
Nennen Sie die Formel für den induktiven Blindwiderfstand:
Nennen Sie die Formel eines kapazitiven Blindwiderstandes:
Was bedeuten die Formelzeichen bei beiden Formeln?
Gegeben sei eine Induktivitär L = 5 H und Frequenzen 100, 200, 300 und 400 Hz
‘ Zeichnen Sie die Kurve für XL bei allen Frequenzen:
Eine Spule liegt an Wechselspannung 220V/50 Hz. Durch sie fließt ein Strom I = 25 mA.
‘ Berechnen Sie die Induktivität L bei Vernachlässigung des Gleichstromwiderstandes
(ideal)
Eine Spule mit gegebener Induktivität L = 5 mH hat einen idealen Widerstand XL = 628 O.
‘ Welche Frequenz wird gemessen?
Welchen Anfangs- und Endwert ist der Widerstand einer Spule XL (Kurzwellenspule) ,
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
2007/08
38
2
3
MHz bis 5
MHz ?
3
4
Eine R„ckkoppelungsspule, welche f„r Kurzwellen verwendet wird, soll f„r eine
Wellenl€nge ‹ = 30 m mit einem Blindwiderstand XL = 200 ˜ versehen werden.
‘ Berechnen Sie die Induktivit€t L
Erstellen Sie eine Kurve eines kapazitiven Blindwiderstandes von Frequenzen von 100, 200,
300 und 400 Hz.
welche eine Induktivit€t L = 2 Œ H bei einem Bereich von 16
Œ
Œ
L‚sung:
H€ngt der ohmsche Widerstand von der Frequenz ab? Nein
Wie verh€lt sich eine Spule (Drosselspule) im Wechselstromkreis?
Gro…er Widerstand sperrt Wechselstrom
Entsteht an einem Blindwiderstand W€rme? Nein „ wegen
1
Phasenverschiebung „ kein Wirkwiderstand
•†t ‡
Warum entsteht an einem Blindwiderstand keine W€rme? Kein
Wirkwiderstand
Warum erzeugt ein Kondensator bei Gleich- bzw. Wechselspannung
keine W€rme? Weil kurzfristig Ladungen verschoben werden „
bei Gleichstrom
Bei Wechslestrom flie…t dauern Strom R (f, C)
XC =
Nennen Sie die Formel f„r den induktiven Blindwiderfstand: X L = €L
Nennen Sie die Formel eines kapazitiven Blindwiderstandes: X C = 1/€C
€: Kreisfrequenz = 2†f
XC kapazitive Blindwiderstand
XL induktive Blindwiderstand
L Induktivit‚t
C Kapazit‚t
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
2007/08
39
Geg.: L = 5 H - 400
H
f = 100, 200, 300,
400 Hz
XL
14
L
12
Frequenz wird erh‚ht, der
Blindwiderstand XL nimmt zu.
10
8
a) L = 5H, f = 100
Hz
XL = •.L = 2…f . L
= 2….100 Hz . 5 H
XL = 3141,59 O
b) L = 5 H
f = 200 Hz
XL = •.L = 2…f .L =
2….200 Hz . 5 H
XL = 6283,18 O
6
4
2
100
200
f [Hz]
400
300
[k˜]
Geg.:
AC U = 220 V
f = 50 Hz
I = 25 mA = 25 .10-3 A
c) L = 5 H
XL = 2…f .L
= 2….300 Hz . 5H
f = 300 Hz
XL =
9424,77 O
Ges.: L
XL = •L = 2‚f . L
XL =
L=
U
=
I
XL
=
•
220V = 8,8 . 103 ˜ = 8800 ˜ = 8,8 kO
25.10‹3 A
XL
2†•‡ f
=
8800 ’
=
2.†•‡ 50Hz
8800 ’
= 28,01 H
314,15 Hz
Geg.:
L = 5 mH = 5.10-3 H
XL (Blindwiderstand) = 628 ˜
Ges.: f
XL = ƒ L = 2 … f . L
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2007/08
40
f=
628 ’
3
‹3 = 19,98 . 10 Hz = 19,98 kHz
2†•‡5.10
XL
=
2†•‡ L
Geg.:
L = 2 ΠH = 2.10-6 H
2
2
MHz = 16.
. 106 Hz
f1 = 16
3
3
3
3
f2 = 5
MHz = 5.
. 106 Hz
4
4
Ges.:
XL am Anfang
XL am Ende
XLA = ƒ .L = 2…f . L = 2….16
XLA = 2….
50
3
2
106 Hz . 2.10-6 H
3
2.100H = 209,43 ˜
3
. 106 Hz . 2.10-6Hz =
4
23
XLE = 2 … ..
. 2.100Hz = 72,25 ˜
4
XLE = 2 … ..5
Geg.:
C = 5 ΠF = 5 . 10-6 F
f = 100, 200, 300, 400 Hz
Ges.:
XC
Kurve
XC =
1
=
†•‡ C
1
2†•‡ fC
XC =
1
= 0,00031831 . 106 ˜ = 318,3 ˜
2†•‡100Hz.5.10‹6
1
1
=
†•‡ C
2†•‡ fC
1
6
XC =
‹6 = 0,000079577 . 10 ˜ = 79,57 ˜
2†•‡400Hz.5.10
Mit den Frequenzen 200, 300 Hz gehen sie analog vor, um die Kurve zu zeichnen.
XC =
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2007/08
41
XC
800
700
600
500
XC
Hyperbel
400
300
200
100
100
200
300
f
[Hz]
400
Wir erkennen, dass bei steigender Frequenz der Blindwiderstand XC abnimmt.
Eindeutig ist hier eine
Phasenverschiebung zwischen
Spannung und Strom
festzustellen -I eilt der Spannung
vor.
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2007/08
42
Der Strom eilt nach
Phasenverschiebung
Zusammenfassen der Bauelemente R, L und C in einer Schaltung
Wir erinnern uns an das 2. Kirchhoffsche Gesetz
ˆU
i
=0
Wir erstellen eine Reihenschaltung von R, L und C und legen eine Wechselspannung von 380 V an.
Dann messen wir jeweils die abfallenden Spannungen an den 3 Bauteilen sowie den Strom, der
durch die Schaltung fließt (ElektronicWorkbench).
Zu beachten ist, dass hier ein Simulationsprogramm verwendet wird (ElektronicWorkbench) .
Daher können die Messergebnisse nicht genau mit der praktischen Messung übereinstimmen.
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43
Wie lesen folgende Werte ab:
I = 73,67 mA
UR = ca. 219,7 V
ΠUL = ca. 290,2 V
ΠUC = ca. 596,0 V
Wie ist das zu erklären: Die Summe der Spannungen ergibt 1105,9 V (Addition)
Œ
Œ
Die Vermutung liegt hier nahe, dass die 3 Teilspannungen nicht in Phase sind.
Addition von Sinuskurven
Addition von 2 Sinusschwingungen, die in Phase sind (gleicher
Nulldurchgang)
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44
u1
u2
u1 = Û1 . sin ƒ t ( ˆ )
u2 = Û2 . sin ƒ t ( ˆ )
Wir wenden das Kirchhoffsche Gesetz an:
ˆ u=0
----> u1 + u2 ‰ u = 0
In unserem Beispiel w€re das:
Û1 = 2 V
Û2 = 4 V
f = 50 Hz
Wir setzen in die obige Formel ein:
u1 = 2V. sin ƒ t ( ˆ )
u2 = 4V. sin ƒ t ( ˆ )
u = 2V. sin ƒ t ( ˆ ) + 4V. sin ƒ t ( ˆ ) / sin ƒ t herausheben
u = sin ƒ t (2 V + 4 V)
u = sin ƒ t 6 V
u = 6 V sin ƒ t ( ˆ )
ƒ ist die Kreisfrequenz = 2…f
u = 6 V sin (2 … f t )
f„r die Frequenz von 50 Hz setzen wir jetzt ein.
u = 6 V sin (2 … . 50 t )
Im Zeigerdiagramm, mit der jede Sinusschwingung durch einen umlaufenden Zeiger dargestellt
werden kann, ist es anschaulich m‚glich, diese grafische Addition zu zeichnen, w€hren das im
Liniendiagramm etwas komplizierter ist.
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2007/08
45
Š1
Š2
Š
Û1 + Û2 = Û
Es werden einfach die zwei Zeiger (Pfeile / Vektoren) grafisch addiert, wobei hier die grafische
und arithmetische Addition ident sind.
Nicht ident ist es bei einer Phasenverschiebung von 2 Sinusschwingungen
Nehmen wir einmal an, dass die erste Sinuskurve gegen„ber der zweiten voreilt.
u1 = Û1 . sin ( ƒ t + “ ) “ ist der Phasenverschiebungswinkel (Abstand zwischen den beiden
Nulldurchg€ngen der beiden Sinuskurven.
u2 = Û2 . sin ƒ t ( ˆ )
Die resultierende Schwingung (Momentanwerte) ist demnach u = Š . sin (ƒt + “r)
Wie sieht das zeichnerisch aus?
“r
Resultierender Phasenwinkel
“
F1
Fr
F2
Resultierender Zeiger
Summenzeiger
grafische Addition
An dieser Stelle passe ich jetzt,
und ich werde dies an anderer
Stelle fortsetzen.
Bei n€herer Betrachtungsweise sto•en wir jetzt auf rechnerische Grenzen. Daher kommen wir zu
einer neuen mathematischen Ansicht unseres Problems.
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46
Komplexe Rechnung und Darstellung
(Erweiteru8ngsstoff – für Lehrende – nicht für den Mathematikunterricht an der Polytechnischen
Schule)
Die Zahlenbereiche sind in der Mathematik folgendermaßen festgelegt:
Ganze Zaheln (+, -) (Z)
Rationale Zahlen (Q)
Irrationale Zahlen
v2, p, e (Eulersche Zahl) = 2,718
Imaginäre Zahlen
v-4, v-1 = j
Reelle Zahlen
Komplexe Zahlen
a + bj; 2,5 + j2
Imaginäre Zahlen sind Wurzeln aus negativen
Zahlen
-1 bezeichnet man in der Mathematik als imaginäre Einheit „i“. In der Elektrotechnik wird das i
als „j“ bezeichnet, um Verwechslungen auszuschließen.
Ein ekomplexe Zahl besteht aus einem reellen Teil und einem imaginären Teil
+j
y-Achse
imaginäre Achse
Gaußsche Zahlenebene
(3/2,5)
-x
x-Achse
reelle Achse
-j
Die dargestellte Zahl in der Gaußschen Zahlenebene wäre demnach 3 + j2,5 komplex dargestellt.
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47
Carl Friedrich Gauß (1777 -1855) war ein großer deutscher Mathematiker
Darstellung komplexer Zahlen
a)
Z = a + jb
0
+j
Komponente
b)
Z = Z.ejf
Komponenten sind unterstrichen und
bestehen aus einem Realteil Re(Z) und
einem imaginären Teil Im(Z)
Komponente
f
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen ergibt sich für den Realteil
Re(Z) = Z . cos f ----> Warum?
cos f =
Ankathete
=
Hypothenuse
“† Z ‡
Z
“ (Z) = Z . cos f
Genauso verfährt man mit dem imaginären Teil:
Gegenkathete
Im(Z) = Z . sin f ---> weil sin f =
=
Hypothenuse
”† Z ‡
Z
Komponentenform
Z = a + jb
Z = “ (Z) + j.Im(Z)
Z = Z.cos f + j Z.sin f
Z = Z.(cos f + j sin f )
a, “ (Z) , Z.cos f - Reale Teil von Z
b, Im(Z) , Z.sin f – Imaginäre Teil
Z = Betrag von Z ------------------> Z herausheben
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48
Polarform
In der Polarform wird der Zeiger durch Betrag (Zeigerlänge – Pythagoras) und Winkel (Argument)
angegeben. Den Zusammenhang zwischen Polar- und Komponentenform lieferte Euler in seiner
Gleichung. (Leonard Euler 1707 – 1783 großer Schweizer Mathematiker):
e +-jf = cos f +- j sin f
Z = Z . ejf
Exponentialform
Z = Betarg (Zeigerlänge) von Z
Z=Zsf
Versorform
f = der Winkel von Z
Zeigerlänge – Betrag – Argument – Winkel
Z = va2 + vb2
f = arctan
b
a
Rechenoperationen mit komplexen Zahlen
Addition und Subraktion
Addition
+j
Z1 + Z2
+jb
In der Mathematik gibt es ähnliche
grafische Additionen (Vektoraddition)
Z1
Z2
+a
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49
Subtraktion
+j
+jb
Z1
Z2
+a
-Z1
-jb
Es wird der negative Zeiger addiert.
Z2 + (-Z1)
Wie sieht das arithmetisch aus?
Zahlen: Z1 = a1 + jb1
Addition:
Z2 = a2 + jb2
Z1 + Z2 = (a1 + a2) + (jb1 + jb 2) ------> j herausheben
Z1 + Z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)
Subtraktion:
Z1 - Z2 = (a1 - a2) + (jb1 - jb2) ------> j herausheben
Z1 - Z2 = (a1 - a2) + j(b1 – b2)
Dazu einige Beispiel zur Übung
Es sind zwei komplexe Zahlen gegeben:
Z1 = 3,5 + j2,5
Z2 = 1,5 – j1
Bilden Sie die Addition und Subtraktion:
a) Addition:
Z1 + Z2 = (3,5 + j2,5) + (1,5 – j1)
Z1 + Z2 = (3,5 + 1,5) + j(2,5 -1)
Z1 + Z2 = 5 + j1,5
b) Subtraktion:
Z1 - Z2 = (3,5 + j2,5) - (1,5 - j1)
Z1 - Z2 = (3,5 - 1,5) + j(2,5 +1)
Z1 -- Z2 = 2 + j3,5
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50
Bilden Sie von zwei komplexen Zahlen die Differenz und stellen Sie sie in Exponential- und
Versorform dar.
Z1 = -2,5 + j3
Z2 = 1,5 + j4,5
Z1 - Z2 = (-2,5 + j3) - (1,5 + j4,5)
Z1 - Z2 = (-2,5 - 1,5) + j(3 -4,5)
Z1 -- Z2 = - 4 + (-j1,5)
Z1 -- Z2 = - 4 – j1,5
zeigt in den III. Quadranten
Betrag:
Z=
Winkel :
€ 4 2Š1,52
€ 16Š2,25 •
€ 18,25
=
= 4,27
‹1,5
+0,375 f = 20,550 -----> 1800 + 20,550 = 200,550
‹4
arctan f =
Versorform:
=
Z=Zsf
Z = 4,27 s200,550
Exponentialform:
Z = Z.ejf
Z = 4,27 .ej200,55
Multiplikation
Bei der Multiplikation eigent sich sehr gut die Versorform. Das Argument (Winkel) ergibt sich aus
der Summe der beiden Winkel.
+j
Z1 . Z2 = Z1 . Z2 s(f 1 + f 2)
Z = Z1 . Z2
Z2
f
79,33°
66,80°
-
f2
Z1
0
+
f1
12,53°
-j
Z2
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Z1 (Betrag)
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51
Subtraktion
Hier werden die Winkel (Argumente) subtrahiert.
+j
Z2
f2
66,80°
Z1
0
-
+
f1
12,53°
-j
-54,27°
Z = Z1 : Z2
Z1 : Z2 = Z1 : Z2 s(f 1 - f 2)
f
Z1 : Z2 =
Z1
s (f 1 - f 2)
Z2
Dazu ein Beispiel
Es sind zwei komplexe Zahlen gegeben:
Komponentendarstellung
Z1 = 0,5 – j1
Z2 = 0,75 + j0,5
Ermittelen sie jeweils:
ΠDas Produkt
Πden Quotienten zweier komplexer Zahlen
Produkt:
Zuerst müssen beide komplexen Zahlen in die Versorform (Polarform) umgewandelt werden.
Allgem. Z = Z s f
Z1 =
€ 0,52Š†‹1‡2
tan f =
Zur Erinnerung: Z = Betrag der Zahl
=
€ 0,25Š1
=
€ 1,25
= 1,118
‹1
= - 2 -----> f 1 = - 63,430
0,5
Z1 = 1,118 s – 63,430
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52
Z2 =
€ 0,752Š†0,5‡2
tan f =
=
€ 0,5625Š0,25
0,5
= 0,666 -----> f
0,75
Z2 = 0,90138 s
2
=
€ 0,8125
= 0,90138
= 33,660
33,660
Z1 . Z2 = 1,118 . 0,90138 s (- 63,430 + 33,660 )
Z1 . Z2 = 1,007 s – 29,770
Quotient
Z1 = 1,118 s – 63,430
Z1 : Z2 =
Z2 = 0,90138 s 33,660
1,118–‹63,430
= 1,2403 s (- 63,430 – 33,660 )
0,90138–33,660
Z1 : Z2 = 1,2403 s – 97,090
Multiplikation: Der Zeiger hat die Länge von 1,007 und hat einen negativen Winkel (im
Uhrzeigersinn) von – 29,770 .
Division: Der Zeiger hat einen Länge von 1,24 und einen negativen Winkel (Uhrzeigersinn)
von – 97,090.
Nun ist es möglich, diese Zeiger zu zeichnen.
Einige Wiederholungsbeispiele
Zwei komplexe Zahlen sind in Versorform (Polarform) angegeben.
Z1 = 2,5 s300
Z2 = 1,5 s750
Ermitteln Sie den Quotienten und wandeln Sie das Ergebnis in die Komponentenform um.
Œ
Œ
Bildung des Quotienten
Umwandeln in die Komponentenform
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2007/08
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Z1 : Z2 =
2,5–30 0
= 1,666 s(300 – 750)
0
1,5–75
Z1 : Z2 = 1,666 s- 450
Komponentenform allgemein
Z = Z ( cos f + j sin f )
Z = 1,666 ( cos (-450) + j sin (-450)
Z = 1,666 ( + 0,707 + j( - 0,707)
Z = - 1,1778 – j 1,1778
Kehrwert von komplexen Zahlen (Inversion)
Bei der Bildung des Kehrwertes einer komplexen Zahl, ist auchg die Anwendeung der Polarform
(Versorform) günstiger.
Z=Z sf
1: Z = Y
1
-1
1 = Y -----------------> Y = Z ---------->
Z
1
=
Z1
1
=
Z –Ž
1
s- f
Z
Grafisch entspricht das einer Spiegelung um die x-Achse
+j
-
0
+
12,53°
-j
-12,53°
Dazu ein Beispiel
Bilden Sie die Inversion (Kehrwert) der gegebenen komplexen Zahl Z = 25 – j10
ΠUmwandeln in die Polarform (Versorform)
Πdann bildet man die Inversion
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Versorform allgemein: Z = Z s f
€ a 2Šb2
Z=
=
Zur Erinnerung: Z ist der Betrag des Zeigers Z
€ 25 2Š†‹10‡2
€ 625Š100
=
=
€ 725
= 26,925
Winkel bestimmen:
‹10
b
=
= - 0,4 ------------------> f = -21,800
tan Ž =
a
25
Z = 26,925 s- 21,800
Bildung des Kehrwertes:
Y=
1
s-f
Z
Y=
1
s - (-21,800)
26,925
Y = 0,0371 s 21,800)
Kontrollfragen zum Thema (Überprüfen Sie sich selbst)
Œ
Œ
Œ
Œ
Woraus besteht eine komplexe Zahl?
Wie können komplexe Zahlen dargestellt werden?
Welche Darstellungsform ist für die Grundrechnungsarten (Addition, Subtraktion,
Multiplikation und Division) besonders gut geeignet?
Wie wird die Inversion dargestellt?
Schaltungen von R, L und C
Reihenschaltung von einem ohmschen und einem induktiven
Widerstand (R und L)
Zunächst wollen wir uns nochmals die Zeigerdarstellungen (Zeigerdiagramm) der einzelnen
Bauteile ins Gedächtnis rufen.
ΠBeim ohmschen Widerstand (R) liegt der Spannungszeiger mit dem Stromzeiger in Phase.
Er zeigt in die positive Richtung der x-Achse(reelle Achse)
I
U
+j
R
U
R
UR I
-
F = 00
Keine
Phasenverschiebung
+
-j
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55
Œ
Beim induktiven Widerstand zeigt der Spannungszeiger der an der Spule abfallenden
Spannung (UL) in die imaginäre Richtung (y-Achse) und ist gegenüber dem Strom um 900
voreilend (Phasenwinkel) – ideal betrachtet
I
+j
Imaginäre Achse
U
XL
U
L
Phasenverschiebung um +900
UL
I
-
+
+ 90,00°
-j
Œ
Beim Kondensator als Widerstand (XC) ist der Zeiger der abfallenden Spannung in der
negativen Richtung der imaginären Achse (y-Achse) dem Strom um 900 nacheilend.
I
+j
Imaginäre Achse
U
XC
U
C
Phasenverschiebung um -900
I
-j
UC
+
- 900
Auch hier gilt das ohmsche Gesetz (siehe Grundlagen der Gleichstromtechnik).
Darstellung in Versorform (Polarform)
Ohmscher Widerstand R
Wir verwenden nur mehr die Zeigerdarstellung – Denken Sie an das Zeigerdiagramm
I = I s00
UR = UR s00
R=
UR
=
I
U R–00
I–0
0
=
UR
s(00 – 00)= R
I
Der ohmsche Widerstand besitzt nur einen positiven Realteil R:
R=R
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Induktive Widerstand (Blindwiderstand) XL
Ideal betrachtet – ohne den Widerstand des Spulenwicklungsdrahtes
I = I s0
0
0
UL = UL s90
XL =
XL =
UL
UL
U L –90 0
=
=
0
I
I
I –0
UL
s900 = j.XL
I
s(900 – 00)=jXL
Der komplexe induktive Widerstand besitzt nur einen positiven imaginƒren Teil XL:
XL = j.XL = j.€L
Kapazitive Widerstand (Blindwiderstand) XC
I = I s00
ULC = UC s-900
XC =
XL =
XL = -
UC
U C –‹900
=
=
I
I –00
UC
s-900 =jXC
I
UC
I
s(-900 – 00)=jXC
UC
s900 =jXC
I
Der komplexe kapazitive Widerstand besitzt nur einen negativen imaginƒren Teil X C:
X C = j.X C = - 1/ €C= 1/j€C
Reihenschaltung eines ohmschen mit einem induktiven Widerstandes
Wie wollen nun die Reihenschaltung eines ohmschen und eines induktiven Widerstandes (Spule)
untersuchen. Vorerst sei nochmals bemerkt, dass bei einer Reihenschaltung alle Widerstände von
gleichen Strom durchflossen werden. Alle Spannungsabfälle werden auf einen gemeinsamen Strom
I bezogen, wobei I (Strompfeil - Zeiger) im Regelfall immer horizontal gezeichnet wird.
Wenn wir das Zeigerdiagramm zeichnen, gilt es immer nur für eine bestimmte Frequenz f.
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U
G
AC
R
U
R
L
UL
Z
Scheinwiderstand bzw.
Impedanz (Z)
Zuerst zeichnen wir das Zeigerdiagramm für die beiden abfallenden Spannungen UR und UL. Für
den gemeinsamen Strom zeichnen wir einfach (willkürlich) eine horizontale Richtung.
I und U am ohmschen
Widestand R
UR
UL I und U am induktiven
Widerstand XL.
900
I
I
Wir wissen bereits, dass beim induktiven Widerstand die Spannung dem Strom um 900 vorauseilt.
Nun fassen wir beide Spannungen UR und UL zu einem gemeinsamen Zeigerdiagramm zusammen.
Spannungsabfälle UR und UL.
UL
UR
900
I
Wir bilden die resultierende (geometrische Addition der beiden Spannungspfeile), welche die
Gesamtspannung (Summenspannung) ist und gleich der Generatorspannung (G) ist.
UR
UL
900
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f Phasenverschiebungswinkel
U
UR
I
Der Phasenverschiebungswinkel ist
immer zwischen U und I.
2007/08
58
Die Teilspannungen sind immer geometrisch zu addieren und der Phasenwinkel wird immer
zwischen der Spannung U (Summenspannung) und I (gemeinsamer Strom) gemessen.
Ein Beispiel
Es flie•t durch eine Spule (L) ein Wechselstrom von 500 mA. Die Induktivit€t L betr€gt 200 mH
und der ohmsche Widerstand hat einen Wert von 50 ˜ .
Wie gro• ist die Summenspannung U und der Phasenverschiebungswinkel “ ?
Gegeben:
I = 500 mA
L = 200 mH
R = 50 ˜
f = 50 Hz
Gesucht:
U
“
Œ
Œ
Œ
Die Widerst€nde berechnen R, XL
Spannungsabf€lle ermitteln
Zeichnen des Zeigerdiagramms
XL = ƒ .L
ƒ ‰ Kreisfrequenz (2 … f)
XL = 2 … f.L
XL = 2 … . 50 Hz . 200.10-3 H
XL = 62831,85 . 10-3 ˜
XL = 62,83 ˜
R = 50 ˜
Spannungsabf€lle berechnen
UR = I . R
UL = I . XL
UR = 500 . 10-3 A . 50 ˜
UR = 25000 . 10-3 V
UR = 25 V
UL = 500 . 10-3 A . 62,83 ˜
UL = 31415 . 10-3 V
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UL = 31,42 V
Nun kann man das Zeigerdiagramm zeichnen. Wir müssen noch einen Maßstab festlegen.
1V entspricht 1 mm
1 A entspricht 100 mm
I = 500 mA
500 mA entsprechen 50 mm
UL = 31,42 V
31,42 V entsprechen ca. 31,42 mm
UR = 25 V
25 V entsprechen 25 mm
U
U
L
f
51,49°
UR
I
Wir lesen die Zeigerlänge von U ab : 40,14 mm
U = 40,14 mm das entspricht bei einem Maßstab von 1mm – 1 V
U = 40,14 V
Was wäre, wenn die Gesamtspannung U, R, der Phasenwinkel und die Induktivität L gegeben wäre
und die Teilspannungen UR und UL grafisch zu ermitteln wäre?
Wir sehen, dass U, UL und UR ein rechtwinkeliges Dreieck bilden. U ist die Hypothenuse, UL und
UR sind die Katheten. Wir drehen das Dreieck so, dass U in horizontaler Richtung zeigt. Darauf
errichten wir den so genannten Thaleskreis (Thales von Milet lebte von 624 v. Chr. Bis 546 v. Chr.,
griech. Mathematiker, Naturphilosoph und Astronom).
Phasenwinkel
f
Thaleskreis
U/2 als Mittelpunkt
U
UR
UL
51,48°
I
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60
Arithmetische Vorgangsweise:
Wir sehen, dass die Zeiger (Pfeile) UR, UL und U ein rechtwinkeliges Dreieck bilden.
Wir erkennen sofort, dass U2 = UR2 + UL2 ist (Lehrsatz von Pythagoras ‰ Pythagoras von Samos
lebte von 570 v. Chr. Bis 510 v. Chr., griechischer Philosoph, Mathematiker und
Naturwissenschaftler).
Wenn wir U bestimmen wollen, m„ssen wir auf beide Seiten radizieren
U = € U 2R ŠU 2L
Den Phasenverschiebungswinkel k‚nnen wir mit Hilfe der Winkelfunktionen ermitteln.
sin “ =
UL
U
oder cos “ =
UR
oder tan “ =
U
UL
UR
Nun wollen wir unser voriges Beispiel auf diese Art und Weise rechnen:
UL = 31,42 V
UR = 25 V
U=
€U
2
R
ŠU 2L =
€ 31,422 Š252
=
€ 987,22Š625
=
€ 1612,22
= 40,15 V
Der Phasenverschiebungswinkel errechnet sich durch einer der Winkelfunktionen
UL
31,42
=
= 0,7825 --------> “ = 51,490 (arcsin) Taschenrechner Taste sin-1)
40,15
U
UR
25
cos “ =
=
= 0,6226 -------> “ = 51,4880 (arccos) Taschenrechner Taste cos-1)
40,15
U
UL
31,42
tan “ =
= 1,2568 --------> “ = 51,490 (arctan) Taschenrechner Taste tan-1 )
=
25
UR
sin “ =
Sie sehen, dass bei allen Winkelfunktionen dasselbe Ergebnis zu erwarten ist.
Der Scheinwiderstand (Z)
Wie wir gesehen haben ist U (Z) ungleich der arithemtischen Summe von R und XL. Z(U) ™ R + XL
U = € U 2R ŠU 2L in diese Formel ersetzen wir nun die Spannungswerte unter Anwendung des
ohmschen Gesetzes (siehe Grundlagen der Gleichstromtechnik).
UR = I . R und UL = I . XL
U2 = UR2 + UL2
(I . Z)2 = (I . R)2 + (I . XL)2 wir quadrieren jede Variable
I2 . Z2 = I2 . R2 + I2 .XL2
I2 herausheben
2
2
2
2
2
I . Z = I (R + XL )
k„rzen durch I2
Z2 = R2 + XL2
radizieren auf beide Seiten
2
2
2
Z = € R Š X L = € R Š†•‡ L2 in Ohm (˜).
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61
Nun können wir das Widerstandsdreieck maßstäblich konstruieren.
Widerstandsdreieck
Z
X
L
Für die Reihenschaltung
von R und XL.
f
R
Auch hier sind die Winkelfunktionen anzuwenden:
XL
XL
R
; tan f =
; cos f =
Z
Z
R
Nun können wir das obige Beispiel nochmals mit den neuen Erkenntnissen berechnen.
sin f =
UL = 31,42 V
UR = 25 V
XL = 62,83 O
R = 50 O
Z=
€ R ŠX
2
tan f =
2
L
=
XL
=
R
€ 502 Š62,832
=
€ 2500Š3947,60
=
€ 6447,60
= 80,29 O
62,83
= 1,2566 --------> f = 51,480 (arctan) Taschenrechner Taste tan-1.
50
Z
X
L
51,48°
R
Zwischen Spannung und den Widerständen ist der Phasenverschiebungswinkel gleich groß, weil
sich der Strom herauskürzt
Z lässt sich auch aus den Effektivwerten der Summenspannung und des Gesamtstromes berechnen.
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62
40,15 V
U
=
= 0,0803 . 103 = 80,3 O
I
†500.10‹3 ‡
Z ist die allgemeine Schreibweise für das ohmsche Gesetz für Wechselspannungen.
Z=
U=Z.I
Beispiele
Von einer Impedanz an der Spannung U (Zeiger) ist der Strom I (Stromzeiger) gegeben.
Wie groß sind die Impedanz Z (Zeiger) , die Wirk- und Blindkomponenten.
U = (160 + j 120) V I = 2,5 A € - 200
ΠUmwandeln des Spannungszeigers in die Versorform (Polarform)
ΠImpedanz Z ermitteln
Œ Zerlegen in Real- und Imadinärteil
Umwandeln des Spannungszeigers in die Polarform:
U=
€ 1602 Š1202
arctan =
= € 25600Š14400 = € 40000 = 200 V (Betrag des Spannungszeigers)
120
= 36,860 Taschenrechner Taste tan-1.
160
U = 200 V € 36,860
U
200V–36,860
= 80 O €•f [ 36,860 - (-200)] = 80 O €‚f 56,860
=
0
I
2,5 A–‹20
Da der Winkel positiv ist, ist die Impedanz ohmsch-induktiv.
Z=
Umwandeln in die Komponentenform, damit der Realtei- bzw. der imaginäre Teil abgelesen werden
kann.
Z = Z (cos f + j sin f ) = 80 [cos (56,860) + j sin (56,860)] =
= 80 (0,5466 + j 0,837) = (43,73 + j 66,96) O
Realteil (Wirkteil) R:
Imaginärteil (Blindanteil) XL:
43,73 O
66,96 O
Nun kann man das Widerstandsdreieck zeichnen.
Maßstab:
10 cm entsprechen 10 O
6,7 cm – 66,96 O (XL)
4,3 cm - 43,73 O (R)
Z
XL
56,85°
R
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63
Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes (R) mit einem
kapazitiven Widerstand ©
Wir schalten einen ohmschen Widerstand in Reihe zu einem kapazitiven Widerstand (C –
Kondensator).
Wir wissen, dass Strom und abfallende Spannung am Kondensator (UC) nicht in Phase sind. Der
Strom eilt der Spannung um 900 voraus. Weiters wissen wir schon, dass bei einer Reihenschaltung
alle Widerstände vom gleichen Strom durch flossen werden. Das Zeigerdiagramm zu zeichnen
bedeutet daher keinerlei Probleme.
I
U
G
~
R
UR
C
UC
Z
Zeigerdiagramm der abfallenden Spannungen
UR – UC am gemeinsamen Strom
I
f
UC
Der
Phasenverschiebungswinkel
ist negativ
UR
U
Generatorspannung /
Quellenspannung
Widerstandsdreieck
Realteil
R
f
Z
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XC
Imaginärteil
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64
Wir k‚nnen mit den herk‚mmlichen Methoden die rechnerische L‚sung durchf„hren.
U=
€U
Z=
€ R ŠX
2
2
R
ŠU 2C
2
C
1
------> ƒ ‰ Kreisfrequenz = 2 … .f
†•‡ .C
Zu beachten ist, dass ein Widerstand keinen negativen Wert (physikalischer Unsinn) hat. Das
negative Vorzeichen gibt nur die Richtung des Zeigers an.
XC =
Den Phasenverschiebungswinkel kann man wiederum mit den Winkelfunktionen ermitteln.
UC
oder
U
UC
tan “ =
oder
UR
sin “ =
XC
; cos “ =
Z
XC
R
UR
oder
U
R
Z
Dazu ein Beispiel:
Eine Reihenschaltung eines ohmschen und kapazitiven Widerstandes liegt an einer
Wechselspannung von 220 V und einer Frequenz f = 50 Hz.
Berechnen Sie den gemeinsamen Strom, der durch die Schaltung flie•t und den
Phasenverschiebungswinkel ( “ )
R = 100 ˜
C = 1 ΠF = 1. 10-6 F
Beachten Sie, dass es einen
negativen Widerstandswert nicht
gibt.
1
1
=
†•‡ .C
†2 •‡.50 .1.10‹6
1
1
2
XC2 = (
)2 = (0,003163091.106)2 = ( 3183,09)2
‹6 ) = (
†2 •‡.50 .1.10
314,16.10‹6
Z = € R2Š X 2C = € 1002 Š3183,092 = € 10000Š10132061,95 = € 10142061,95 = 3184,66O
XC =
Z -Blindwiderstand
Gemeinsame Strom
U
220V
I=
=
= 0,06908 A
Z
3184,66’
Phasenverschiebungswinkel
Hier gibt es meherere M‚glichkeiten. Man kann jede Winkelfunktion anwenden. Je nach
vorhandenen Gr‚•en, kann man die dazu geh‚rige Winkelfunktion anwenden. In unserem Fall sind
R und Z gegeben ----> daher wenden wir die Kosinusfunktion an.
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65
R
100’
=
= 0,0314----> arccos (Taschenrechner Taste cos-1) -----> f = 88,20
Z
3184,66’
Die tatsächliche Zeigerrichtung ist aber – 88,20.
cos f =
Beachten Sie nochmals, dass ein Blindwiderstand höchstens 0 ’ haben kann. Er kann aber nicht
negativ sein.
Beispiele
Eine Reihenschaltung, deren Scheinwiderstand (Impedanz) Z = 1 k O = 103 O beträgt, von einem
ohmschen und einem kapazitiven Widerstand mit einem Wert XC = 800 O liegt an einer
Wechslespannung.
Berechnen Sie den ohmschen Widerstand (R) und zeichnen Sie das Zeigerdiagramm.
Maßstab: 1 cm entspricht 100 O
1 cm – 100 O
1 cm – 100 O
x cm- 800 O
x cm - 1000 O
8 cm – 800 O
10 cm – 1000 O
Zeichnerische Lösung
Widerstandsdreieck
Phasenverschiebungswinkel
sin f =
XC
=
Z
800 ’
= 0,8 ----> arcsin (Taschenrechner – Taste sin-1) ---> f = 53,130
1000 ’
f = - 53,130
R = 5,961 cm --->
R = 590 O
R
f = - 53,130
Z
XC
Rechnerische Lösung (Probe)
R
cos f =
---> R = Z . cos f
Z
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R = 1000 . cos (-53,130) = 1000 . 0,6 = 600 O
Ein weiteres Beispiel
Eine Reihenschaltung eines Ohmschen mit einem kapazitiven Widerstand liegt an einer
Wechselspannung. Sie wird von einem gemeinsamen Strom I = 2 mA = 2.10-3 A durch flossen.
C = 60 nF = 60 . 10-9 F
U = 5V
f = 3 kHz = 3.103 Hz
Berechnen Sie den Wirkwiderstand R (Realteil) und den Phasenverschiebungswinkel (f ).
Blindwiderstand XC:
XC =
1
=
†•‡ .C
1
=
†2 •‡ f.C
1
=
†2 •‡3.10‹3 .60.10‹9
1
6
‹6 = 0,000884197.10
1130,97.10
XC = 884, 19 O
Widerstandsdreieck – Aus diesem ist es möglich, den Phasenverschiebungswinkel zu berechnen.
R
f
Z
XC
Zuerst muss noch die Impedanz Z ermittelt werden
5V
U
= 2,5 . 103 O = 2,5 k O
=
I
2.10‹3 A
Phasenverschiebungswinkel:
Z=
sin f =
XC
=
Z
884,19 ’
= 353,676 . 10-3 = 0,35 ---> arcsin (Taschenrechner Taste sin-1)
2,5.103 ’
f = 20,710 ----> f = - 20,710
Wirkwiderstand R – auch hier kann man eine Winkelfunktion anwenden.
cos f =
R
------> R = Z . cos f
Z
R = 2,5 . 103 O . cos (-20,710) = 2,5 . 103 O . 0.935 = 2,3375 . 103 O = 2,33 k O
Reihenschaltung von einem ohmschen (R), induktiven(XL) und kapazitiven Widerstand (XC)
Wie sieht das Zeigerdiagramm dieser Schaltung aus?
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67
I
R
G
~
U
UR
Z
XL
XC
UL
UC
Impedanz
Wir tragen, wie vorher, die einzelnen Zeiger in ein Diagramm auf. Auch beziehen wir alle Zeiger
auf eine gemneinsame Spannung, wie sie bei einer Reihenschaltung vorliegt. Durch alle
Widerstände fließt der gleiche Strom. Die Summe der Teilspannungen entspricht der
Quellenspannung (Generatorspannung) -. Maschenregel nach Kirchhoff, die besagt, dass die
Summe der zugeführten Spannungen gleich der abfallenden Spannungen gleich Null ist.
ˆU
ˆU
=
R
ŠU L ŠU C
-U + UR + UL + UC = 0
Zeigerdiagramme
UL
Da U L > U C ist können wir geometrisch
0
90
UR
U C von U L subtrahieren und bilden den
I
Betrag
0
-90
UC
UL
UL – UC = Ub (>0)
Ub -
| XL – XC | wenn XL > XC
Blindkomponente
UC
U
Z
f
UR
I
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f
R
2007/08
68
Auch hier gelten die üblichen Formeln von oben.
U=
€U
2
R
Š†U L ‹U C ‡2 wenn UL > UC ist.
Im Widerstandsdreieck:
Z=
€ R2Š† X L ‹ X C ‡2 =
€
R2 Š††•‡. L‹
2
1
‡
†•‡. C
Auch hier gelten die Winkelfunktionen:
U L ‹U C
X L ‹X C
oder im Widerstandsdreieck (gleich bedeutend)
U
Z
UR
R
cos f =
oder im Widerstandsdreieck (gleich bedeutend)
Z
U
U L ‹U C
X L ‹X C
oder im Widerstandsdreieck (gleich bedeutend)
tan f =
UR
R
sin f =
Zu beachten ist, dass die Blindwiderstandswerte arithmetisch voneinander subtrahiert werden
können, da sie ja 1800 entgegen gesetzt gerichtet sind. Man nur das richtige Vorzeichen dabei
beachten.
Nochmals sei erwähnt, dass bei einer Reihenschaltung von Widerständen immer der Strom I als
gemeinsame Bezugsgröße gewählt wird.
Die Summenspannung (Gesamtspannung ) U kann in einen Realteil (Wirkomponente) und in einen
Imaginärteil (Blindkomponente) zerlegt werden.
UL
UL – UC = Ub
UL
UC
U
UR
I
f
UR
I
UC
Wir wenden wiederum die Winkelfunktionen an:
UL – UC = Ub
sin f =
Ub
U
Ub = U . sin f
und cos f =
UR
U
UR = U . cos f
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2007/08
69
Beispiel:
Bei einer Drosselspule, die an einer Wechselspannung liegt, wurden folgende Werte bestimmt:
f = 600
U = 20 V
f = 50 Hz
I =5A
Berechnen Sie:
ΠUb = UL = U
ΠUR
ΠXL
ΠL
ΠR
ΠZ
Ub = U . sin f = 20 V . sin (600) = 20 V . 0,866 = 17,32 V
UL
UC
U
U
URb
I
Ub
UR
oder cos f =
in diesem Fall wenden wir die Kosinusfunktion an, weil die
U
U Ein Skizze veranschaulicht das Problem
geforderte Größe UR vorkommt.
sin f =
UR = U . cos f
UR = 20 V . cos (600) = 20 V . 0,5 = 10 V (abfallende Spannung am ohmschen Widerstand R)
Nun können wir den ohmschen Widerstand R bestimmen
R=
UR
=
I
XL =
Ub
=
I
10V
=2 O
5A
17,32V
5A
= 3,46 O
U
20V
=
=4 O
I
5A
Es ist auch möglich, Z auf eine andere Art zu berechnen; und zwar mit Hilfe des
Z=
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2007/08
70
Widerstandsdreiecks.
XL
Z
R
Z=
€ R ŠX
2
2
L
=
€ 2 2Š3,462
=
€ 4Š11,97
=
€ 15,97
= 3,99 ˜
Nun berechnen wir noch L
XL = ƒ .L = 2 … .f.L -----> nach L aufl‚sen
L=
XL
2• f
=
3,46
=
2 •50
3,46
= 0,01101 H = 11,01 mH
314,16
3 Widerst€nde, ein ohmscher, induktiver und ein kapazitiver Widerstand liegen in Reihe an 220V/50
Hz Wechselspannung.
Berechnen Sie die abfallende Spannung UC am kapazitiven Widerstand (XC) und den
Phasenverschiebungswinkel “ .
Alle 3 Widerst€nde liegen am gemeinsamen Strom I
I
R
L
C
I
R = 150 ˜
L=1H
C = 5 ΠF = 5 . 10-6 F
Grafik anfertigen – Zeigerdiagramm:
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2007/08
71
UL
Ub = UL – UC, wenn U L > U C ist.
UC
U
Ub
I
Wenn UC > UL ist, dann UC – U L
Der Betrag wird gebildet.
Œ
Zuerst die Blindwiderst€nde XC und XL bilden ‰ wie aus dem Zeigerdiagramm hervorgeht.:
ƒ (Kreisfrequenz) = 2 … f = 2 … .50 Hz = 314,16 s-1.
XL = ƒ L = 314,16 s-1 . 1 H = 314,16 ˜
XC =
1
=
•.C
1
=
314,16.5.10‹6
1
= 0,000636618 . 106 = 636,62 ˜
1570,8.10‹6
Wir erkennen, dass XC > XL ----->X = ‘ XC – XL ‘ = ‘ 636,62 ˜ ‰ 314,16 ˜ ‘ = 322,45 ˜
X = 322,45 ˜
Œ
Nun zeichnen wir das Widerstandsdreieck
‘XL – XC¦ = X
Z
X
“
R
Œ
Aus dem Widerstandsdreieck k‚nnen wir nun die Impedanz Z und den
Phasenverschiebungswinkel “ bestimmen:
Die Tangensfunktion bietet sich hier an:
X
322,45’
=
= 2,149 ------> arctan (Taschenrechner Taste tan-1) = 65,050
R
150 ’
Da aber XC > XL ist, ist der Phasenverschiebungswinkel negativ. Das bedeutet, dass das
Widerstandsdreieck um 1800 gedreht ist.
tan “ =
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2007/08
72
R
-65,060
X
Z
R
------> nach Z lösen -------> R = Z . cos f -------> Z =
Z
150 ’
cos†‹65,06 0 ‡
cos f =
R
=
cos†Ž ‡
150 ’
= 355 ,74 O
0,42166
Z=
Œ
Jetzt kann mit Hilfe des ohmschen Gesetzes der gemeinsame Strom, der durch alle 3
Widerstände fließt, ermittelt werden
U
220V
=
= 0,62 A
Z
355,74 ’
Ermitteln der abfallenden Spannung UC am kapazitiven Widerstand XC.
I=
Œ
UC = I . XC
UC = 0,62 A . 636,62 O
UC = 393,70 V
Nun lösen Sie ein Beispiel selbstständig:
Eine Reihenschaltung von 3 Widerständen (ohmsche, induktive und kapazitive) liegen an einer
Wechselspannung
R = 2 k O = 2. 103 O
L=1H
f = 500 Hz
Z(Impedanz) = 2,5 k O = 2,5 .103 O
Berechnen Sie die Kapazität C und den Phasenverschiebungswinkel f .
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2007/08
73
I
R
AC
L
C
?
I
Parallelschaltung von einem ohmschen und einem induktiven Widerstand
Spule und ohmscher Widerstand liegen parallel.
I
U – gemeinsame Spannung
U
IR
AC
IL
R
L
Wir wissen bereits, dass bei einem ohmschen Widerstand Strom und Spannung in Phase sind, das
heißt, dass der Phasenverschiebungswinkel Null ist.
Wir zeichnen ein Zeigerdiagramm für die gemeinsame Spannung
U
900
U
IR
IR
f
f
IL
IL
I
Gegenwinkel
sind gleich
groß
Die gemeinsame Spannung U kann man beliebig zeichnen – hier als waagrechten Pfeil. Man könnte
genauso den Spannungspfeil vertikal zeichnen. Wir sehen eindeutig, dass der Strom IL , der durch
den induktiven Widerstand der Spule XL der Spannung um 900 nacheilt.
Der Strom IR ist mit der Spannung in Phase – der Phasenverschiebungswinkel ist Null. IR ist jener
Strom, der durch den ohmschen Widerstand R fließt.
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2007/08
74
U
U
und IL =
-----> aber XL i= ƒ L ------> ƒ ist die Kreisfrequenz = 2 … .f ------->
XL
R
U
IL =
•L
I (Summenstrom) ist mit Pythagoras zu ermitteln: € I 2RŠ I 2L = I
IR =
Mit den verschiedenen Winkelfunktionen ist der Phasenverschiebungswinkel zu ermitteln:
IL
IR
IL
;
cos “ =
;
tan “ =
IR
I
I
Zu beachten ist, dass der Phasenverschiebungswinkel im Uhrzeigersinn (mathematisch negativ)
verl€uft, also von 0 bis -900.
Aus den Winkelfunktionen kann man die Wirkkomponenten (Realkomponente) und die
Blindkomponenten ermitteln: IL = I . sin “ ; IR = I . cos “ .
Sehr gut hat sich bei Parallelschaltungen die Verwendung von Leitwerten erwiesen:
sin “ =
G=
1
R
angegeben in Siemens ‰ S
1
X
B (Blindleitwert) =
Y=
1
Z
in Siemens S
in Siemens S
Widerstandsdreieck ‰ Leitwertdreieck
G
900
“
Y
BL
Auch hier kann mit dem Pythagoras Y ermittelt werden.
Y=
€ G ŠB
2
2
L
Die Winkelfunktionen sind ebenfalls anzuwenden:
sin “ =
G=
1
;
R
BL
;
Y
BL =
cos “ =
1
=
XL
G
;
tan “ =
Y
1
XL = ƒ L
•L
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
BL
G
2007/08
75
Parallelschaltung eines ohmschen mit einem kapazitiven Widerstand
Auch hier halten wir fest, dass beide Widerstände an der gemeinsamen Spannung liegen.
I
IC
IR
U
IC
C
R
AC
I
f
U
IR
Der Strom (Teilstrom) über den ohmschen Widerstand (IR) ist in Phase mit U. Der
Phasenverschiebungswinkel ( f ) ist Null. Der Teilstrom (IC) über den kapazitiven Widerstand eilt
der Spannung um 900 vor, daher wird der Strompfeil nach oben gezeichnet. Der Gesamtstrom I
ergibt sich durch geometrische Addition der Strompfeile IR und IC.
Nun zeichnen wir noch das Widerstandsdreieck mit den Leitwerten G, BC und Y.
Y
BC
f
G
Auch hier können wir das bereits Gesagte anwenden.
I=
€I
2
R
ŠI 2C ; Winkelfunktionen: sin f =
IC
-----> IC = I . sin f ;
I
IR
------> IR = I . cos f
I
cos f =
Auf das Leitwertdreieck angewendet:
sin f =
BC
Y
tan f =
BC
G
Y=
€ G ŠB
2
-----> BC = Y. sin f ;
2
C
;
Y=
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
1
;
Z
cos f =
G=
G
------> G = Y . cos f
Y
1
R
2007/08
76
BC =
1
XC =
XC
BC =
1
.
1
1
ƒ = 2 … .f -------> BC =
•C
1
1
•C
Doppelbruch aufl‚sen:
•C
= ƒ C zu beachten ist, dass “ im Bereich von 00 und +900 liegt.
1
Nun wollen wir das kirchhoffsche Gesetz zur Berechnung parallel geschalteter Impedanzen (Z)
anwenden.
Allgemein gilt bei zwei ohmschen Widerst€nden die Formel f„r den Gesamtwiderstand:
R1ŠR2
1
1
1
1
=
=
kreuzweise
+
------> gemeinsamer Nenner ist R1R2.
R1
R2
R
R
R1 . R2
multiplizieren ----> 1R1.R2 = R(R1 + R2 ) -----> Gleichung nach R l‚sen (umformen)
R1 . R2
R=
-----> genau. Diese Formel wenden wir jetzt auf unsere Leitwertdreieck an.
R1ŠR2
Y
BC
“
G
Y2 = G2 + BC2
12
1 2
1 2
) +(
)
2 =(
R
X
Z
1
1
1
----> gemeinsame Nenner R2X2
2 =
2 +
2
Z
R
X
1
† X 2ŠR2 ‡
=
--------> kreuzweise multiplizieren
Z2
R2 . X 2
R2.X2 = Z2 (X2 + R2) -----------> nach Z2 lösen
Z2 =
Z=
R2 . X 2
-------> radizieren
X 2 Š R2
R.X
------> €hnlich wie bei der Formel mit 2 ohmschen parallelen Widerst€nden.
€ X 2Š R 2
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
2007/08
77
R 1 . R2
R1ŠR2
Ein Beispiel soll diesen Sachverhalt näher bringen:
R=
Es seien 2 Widerstände parallel geschaltet. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand Z (Impedanz)
R = 40 O
Z=
X = 30 O
R.X
=
€ X 2Š R 2
30.40
=
€ 302Š402
1200
=
€ 900Š1600
1200
=
€ 2500
1200
= 24 O
50
Einige Beispiele zur Kontrolle:
Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm einer Reihenschaltung eines ohmschen mit einem kapazitiven
Widerstand
Lösung:
I
f
UR
Wir sehen, dass I der gemeinsamer Strom
ist. Daher liegt eine Reihenschaltung vor.
UX eilt I nach -----> X ein kapazitiver
Widerstand – UX fällt am Kondensator ab.
Es liegt eine Reihenschaltung von R und C
vor.
f
UZ
UX
Gegenwinkel sind gleich groß
Erstellen Sie alle dazugehörigen Formeln.
UZ =
€U
2
R
ŠU 2Z ; sin f =
UX
----> UX = UZ . sin f -----> UZ =
UZ
UX
Ergänzen Sie die
sin †Ž‡
weiteren Winkelfunktionen.
Ermitteln Sie den Scheinwiderstand Z (Impedanz) einer Reihenschaltung von R, L und C:
Lösung:
Z=
€ R Š† X
2
L
‹ X C ‡2
Ermitteln Sie aus dem Stromdreieck einer Parallelschaltung von R und C das Leitwertdreieck:
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2007/08
78
I
L‚sung:
IC
BC
Y
“
“
U
R
IR
U
IR
1
---> R =
---> G =
IR
R
U
U
1
IC
U
XC =
---->
=
= BC
Z=
IC
XC
I
U
Der Phasenwinkel ändert sich nicht.
In welche Teile erfolgt die Komponentenzerlegung?
G=
1
= Y=
Z
I
U
L‚sung:
ΠRealteil
Œ Imagin€rteil
Eine Spule L und ein ohmscher Widerstand sind parallel geschaltet.
Berechnen Sie die Teilstr‚me und den Scheinwiderstand Z (Impedanz) sowie den Gesamtstrom
L = 1,5 H
R = 400 ˜
U = 220 V
f = 50 Hz
L‚sung
Liegen an derselben Spannung U
XL = ƒ L = 2 … .f = 2.3,14.50. 1,5.10-3 = 471,23 ˜ = 0,471,23 ˜
U
U
220
220
IR =
=
= 0,55 A
IL =
=
= 0,466 A
X
R
400
471,23
L
IR
“
IL
“
I
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
2007/08
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I=
€I
Z=
U
=
I
tan “ =
2
R
€ 0,552Š0,4662
Š X 2L =
=
€ 0,3025Š0,21796
=
€ 0,52046
= 0,721 A
220
= 305,13 ˜
0,721
IL
=
IR
0,466
= 0,847 ------> arctan (Taschenrechner Taste tan-1 ) “ = 40,270
0,55
Gemischte Schaltungen von Wechselstromgrößen
Wir wollen nun versuchen eine Parallelschaltung von einer Reihenschaltung eines ohmschen
Widerstandes mit einer Induktivit€t und einer Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes mit
einer Kapazit€t betrachten, also einer gemischten Schaltung.
I
I1
I2
C
L
AC
XC
XL
U
R1
R2
Gegeben:
U (Quellenspannung) = 220 V
f = 50 Hz
C = 10 ΠF = 10.10-6 F
R2 = 100 ˜
R1 = 50 ˜
L = 50 mH = 50.10-3 H
Es sollen die Teilstr‚me I1 und I2 sowie die Verschiebungswinkel, berechnet werden.
Zuerst werden die beiden Reihenschaltungen berechnet.
ΠReihenschaltung von R1 und L.
XL = ƒ L = 2 … .f.L = 2. … .50Hz . 50.10-3 H = 15707,96 . 10-3 ˜ = 15,707 ˜
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2007/08
80
Z
X
L
f
R
Z1 =
€ R ŠX
2
2
L
=
€ 502 Š15,7072
=
€ 2500Š246,71
=
€ 2746,71
= 52,41 O
Den Phasenverschiebungswinkel f :
XL
15,707
=
= 0,2996 ----> TR die Taste sin-1: f = 17,440 .
52,41
Z1
Bedachten Sie, dass der Strom der Spannung um 900 nacheilt.
0
Daher ist der Phasenverschiebungswinkel zwischen U und I negativ: +90
f = - 17,440.
I
sin f =
U
=
Z1
I1 =
Œ
U
220V
= 4,19 A
52,41’
Reihenschaltung von R2 und C
Zunächst beachten Sie wiederum, dass bei der Kapazität der Strom der Spannung um 900 voreilt (900).
Nochmals sei angemerkt, dass bei einer Parallelschaltung alle Widerstände an derselben Spannung
liegen. (Bezugsgröße ist die gemeinsame Spannung).
I
900
U
Zuerst werden die beiden Reihenschaltungswiderstände berechnet, wobei der ohmsche Widerstand
schon gegeben ist.
1
1
1
===•C
2 •. f.C
2.3,14 .50.10.10‹6
= 0,00031831.106 O
XC = -
1
=
3141,592654.10‹6
XC = 318,31 O (es gibt keinen negativen Widerstand)
Mit Hilfe des Widerstanddreiecks ist die Impedanz zu ermitteln.
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2007/08
81
R
Z
XC
f
Z2 =
€ R ŠX
I2 =
U
220
=
= 0,66 A
Z1
333,65
2
2
C
=
€ 1002 Š318,312
=
€ 10000Š101321,256
=
€ 111321,256
= 333,65 O
Berechnen des Phasenverschiebungswinkels f
XC
=Z2
sin f =
Œ
318,31
= - 0,954 ----> TR Taste sin-1: ----> f = 72,550
333,65
Berechnen der Real-und Imaginärteile:
Auch hier hilft das Stromdreieck:
a)Kapazität: in Reihe mit R:
Die Teilströme I1 und I2 werden nun in ihre Komponenten aufgeteilt
IR
f
I2
– Real- und Imaginärteil
IC
IC
----> auflösen nach IC: IC = I2 . sin f .
I2
I R2
cos f =
---> auflösen nach IR2: IR2 = I2 . cos f
I2
sin f =
IC = 0,66 A . sin (72,550) = 0,66 A . 0,95 = 0,63 A (Imaginärteil)
IR2 = 0,66 A . cos(72,550) = 0,66 A . 0,299 = 0,1979 A (Realteil)
I2 = 0,1979 A + j 0,63 A --------------> Komponentendarstellung
b)Induktivität in Reihe mit R
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2007/08
82
Die Teilströme I1 und I2 werden nun in ihre Komponenten aufgeteilt
IL
I1
– Real- und Imaginärteil
f
IR1
IL
-------> auflösen nach IL: IL = I1 . sin f
I1
I R1
cos f =
-----> auflösen nach IR1: IR1 = I1 . cos f
I1
IL = 4,19 A . sin (-17,440) = 4,19 A . -0,299 = - 1,25 A (Imaginärteil)
IR1 = 4,19 A . cos (-17,440) = 4,19 A . 0,954 = 3,99 A (Realteil)
sin f =
I1 = 3,99 A – j 1,25A
Mit Hilfe der Komonenten kann man das Zeigerdiagramm zeichnen
ΠZeigerdiagramm
IC
72,55°
I2
IR2
U = 220 V
I1
IL
17,44°
IR1
Durch geometrische Addition erreicht man den Gesamtstrom über R und über die Blindwiderstände
Œ
IR = IR1 + IR2
IR = 3,99 A + 0,1979 A
IR = 4,1879 A
Ib = I L + I C
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83
Beachten Sie, dass der Pfeil von IL nach unten zeigt und der Pfeil von IC nach oben:
Ib = - 1,25 A +0,63 A
Ib = - 0,62 A Wir erkennen, dass der Blindstrom Ib negativ ist, daher induktiv.
Gesamtstrom I
Der Gesamtstrom errechnet sich durch Anwendung des Pythagoras.
Œ
I=
€I
2
R
Š I 2b =
€ 4,1879 2Š0,62 2
=
€ 17,54Š0,3844
=
€ 17,9244
= 4,23 A
Nun berechnen wir noch den Phasenverschiebungswinkel zwischen I und U.
Ib
‹0,62
=
= - 0,1480 -----> TR: Taste tan-1-------> f = - 8,420.
4,1879
IR
Das heißt, dass der Gesamtstrom I (Zugeführter Strom) gegenüber der Spannung U um 8,420
nacheilend ist.
Auch hier könnte man das Zeigerdiagramm erstellen. Das Gesamtverhalten dieser Schaltung ist
ohmsch-induktiv.
tan f =
Ersatzschaltungen
Wir Sie schon aus den Grundlagen der Gleichstromtechnik wissen, gibt es Ersatzschaltungen, die
das gleiche elektrische Grundverhalten zeigen, wie die ursprüngliche Schaltung.
Es ist daher möglich aus einer Reihenschaltung, in eine gleichwertige Parallelschaltung und
umgekehrt zu verwandeln.
Jede Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes (R) mit einem Blindwiderstand (XS) kann man
in eine gleichwertige Parallelschaltung von RP und XP umwandeln.
Diese Schaltung führt zur gleichen Impedanz (Z) und Phasenverschiebungswinkel ( f )
RP
RR
XR
XP
ZR , f R
=
ZP, f
P
Man beachte, dass bei einer Reihenschaltung alle Verbraucher vom selben Strom (I) durchflossen
werden. Bei einer Parallelschaltung liegen alle Verbraucher an derselben Spannung (U).
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84
U
GP
XR
ZR
f
BP
Y
f
I
RR
G P ist der Leitwert von RP. Y der Leitwert von
Z und BP der Leitwert von XP.
GP =
1
; BP =
RP
1
;Y=
XP
1
Z
Zu beachten ist noch, dass der Phasenverschiebungswinkel bei der Reihenschaltung gleich jener bei
der Parallelschaltung ist: f R = f P.
ZR = ZP = Z -----> cos f R = cos f P = cos f
cos f =
RR
=
ZP
GP
------------------------------------------------> =
YP
Parallelschaltung –
Leitwertedreieck – siehe
Skizze oben
ZP
RP
Reihenschaltung –
siehe Skizze oben
RR
=
Z
Es ist ja ZR = ZP = Z --------------------->
Z
-----> kreuzweise ausmultiplizieren:
RP
RR . RP = Z . Z------------------> RR . RP = Z2 ------> Nun kann jeweils, was eben berechnet werden
Z2
soll RR bzw. RP ermittelt werden. RR =
RP
Genauso verfahren wir mit den Phasenverschiebungswinkel:
sin f
R
= sin f
P
= sin f --------> sin f
setzen wir in die erste Gleichung ein:
R
BP
YP
=
XR
BP
1
1
=
; BP =
YP =
---> jetzt
XP
ZP
ZR
YP
1
XP
1
=
----> auflösen des Doppelbruches:
.
XP
1
ZP
ZP
1
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XR
BP
ZP
XR
Z
=
=
---> da ja wiederum ZR = ZP = Z ist
=
---> auch hier kann
X
ZR
YP
XP
Z
P
nun XR bzw. XP (Imagin€rteil) ermittelt werden, in dem die Gleichung umgeformt wird. Durch
kreuzweises Multiplizieren erh€lt man:
X R . X P = Z2
XR =
Z2
XP
und XP =
Z2
XR
Dies gilt f„r die Umrechnung von Kapazit€ten und Induktivit€ten.
Jede Reihenschaltung kann in eine €quivalente Parallelschaltung umgewandelt werden. Jede
Parallelschaltung kann in eine €quivalente Reihenschaltung umgewandelt werden.
Nun ein Musterbeispiel:
Es sei eine Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes mit einer Induktivit€t gegeben.
Berechnen Sie die gleichnamige Reihenschaltung.
RP = 100 ˜
LP = 0,8 H
f = 50 Hz
RR und LR sowie XR sind gesucht.
RR
LP
Œ
Œ
Zuerst muss XP errechnet werden
XP = ƒ .L ------> ƒ = 2. … .f
XP = 2. … .f.L
XP = 2.3,14.50.0,8
XP = 251,32 ˜
Nun wird die Impedanz (Z) nach der herk‚mmlichen Formel f„r Widerst€nde, die parallel
liegen angewendet.:
R 1 . R2
Allgemein: R =
wobei hier aber die geometrische Addition + Pythagoras
R1 ŠR2
angewendet wird:
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86
Z=
RP . X P
€ R ŠX
2
P
2
P
=
100 ’.251,32 ’
=
€ 100 ’2 Š251,32 ’2
25132
=
€ 10000Š63161,74
25132
=
€ 73161,74
25132
= 92,92 ˜
270,48
Da ja, wie oben schon erw€hnt die Impedanzen gleich sein m„ssen, ZR = ZP = Z , kann man die
gleichbedeutenden Widerst€nde der Reihenschaltung leicht ermitteln.
=
XR
Z
=
XP
Z
2
Z2
Z
und RR =
Nun setzen wir einfach ein.
XR =
XP
RP
8634,13
92,92 2
XR =
= 34,36 ˜
=
251,32
251,32
Z2
8634,13
92,922
=
RR =
=
= 86,34 ˜
100
RP
100
Bei XR muss muss noch die Induktivit€t (LR) der gleichwertigen Reihenschaltung bestimmt werden.
XR = ƒ .LR -------> ƒ = 2. … .f -------> XR = 2. … .f.LR -----> daraus kann nun LR bestimmt werden.
XR
34,36
LR =
=
= 0,109 H
314,16
2. •. f
Sie sehen, wie umfangreich schon diese Rechnungen sind.
Genau so werden wir den umgekehrten Weg gehen. Aus einer Reihenschaltung eine €quivalente
Parallelschaltung ermitteln.
Gegeben sei der ohmsche Widerstand (RR) und der Blindwiderstand (XR) einer Reihenschaltung.
Gesucht sind die €quivalenten Widerst€nde der Parallelschaltung (RP und XP).
RR = 200 ˜ ; XR = 300 ˜
XR
RR
Z
Wir sehen schon jetzt, dass zuerst die Impedanz (Z) ermittelt werden muss:
Œ
Z ermitteln: Dazu verwenden wir zur Anschaulichkeit das Widerstandsdreieck
Z
“
XR
RR
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87
Œ
Z = € R2RŠ X 2R = € 200 2Š300 2 = € 40000Š90000 =
Anwenden der schon bekannten Formeln
1300035,52
Z2
360,562
=
XP =
=
= 433,35 O
300
XR
300
Z2
-----> RP ermitteln (umformen der Gleichung)
RR =
RP
RR . RP = Z2
1300035,52
Z2
360,562
= 650,02 O
RP =
=
=
200
RR
200
€ 130000
= 360,56 O
Gemischte Schaltungen
Parallel-Reihenschaltung
RP
Auch hier geht man analog vor.
R
XP
Œ
Œ
Œ
Zuerst die Impedanz der Parallelschaltung (ZP) ermitteln: ZP =
Z 2P
Umwandeln in Reihenschaltung: RR =
; XR =
RP
Gesamtwiderstand (Rges) ermitteln: Rges = RR + R
RR
XR
RP . X P
€ R ŠX
2
P
2
P
Z 2P
XP
R
Z
Œ
Gesamtimpedanz (Z) ermitteln:
XR
Rges
Z
Z=
€R
2
gesamt
Š X 2R
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88
Reihen-Parallelschaltung
RR
XR
R
Zuerst wird die Reihenschaltung in eine
äquivalente Parallelschaltung mit RP und XP
umgewandelt.
XP
RP
Von RP parallel zu R
wird der
Gesamtwiderstand Rges
R
ermittelt.
Œ
ZR ermitteln:
ZR = € R2RŠ X 2R
Umwandeln in eine äquivalente Parallelschaltung mit den schon bekannten Formeln:
Œ
Z 2R
Z 2R
; XP =
RP =
RR
XR
Gesamtwiderstand der Parallelschaltung der beiden ohmnschen Widerstände (R und RP)
Œ
Rges =
RP . R
RP ŠR
XP
Rges
Œ
Gesamtimpedanz (Z) der vorliegenden Parallelschaltung ermitteln:
Z=
R ges . X P
€R
2
ges
Š X 2P
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2007/08
89
Sie sehen auch hier, dass das Ermitteln bzw. Berechnen und Umwandeln ein komplexer Prozess ist.
Beispiel
Berechnen Sie folgende Schaltung:
C
RR
R = 40 O
XC = 50 O
XL = 35 O
Œ
L
ZR von RR und XC berechnen
ZR = € R2RŠ X 2CR = € 40 2 Š50 2 =
Berechnen Sie die Gesamtimpedanz (Z)
Hinweis: Berechnen Sie zuerst den Leitwert
von Z ---> Y
€ 1600Š2500
=
€ 4100
= 64,03 O
RR
fR
ZR
Œ
Œ
XCR
Z 2R
64,032
RP und XP von XC ermitteln-----> RP =
=
=
RR
40
Z 2R
4100
64,032
und XCP =
=
=
= 82 O
50
X CR
50
Zges der Parallelschaltung ermitteln (von XCP und XL)
4100
= 102,5 O
40
RP
XCP
XPges
XL = 35 O ; XCP = 82 O
XL
1
1
=
= 0,0097 S
RP
102,5
1
1
BCP =
=
= 0,0121 S
X CP
82
G=
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90
1
1
=
= 0,0285 S
XL
35
Bges = -BCP + BL
BL > BCP (Geometr. Addition)
BL =
Leitwertdreieck
GP
RP
f
Bges
Y
Bges
Bges = 0,0285 – 0,0121
Bges =0,0164 S
Y=
€G
2
P
ŠB2ges =
1
=
Y
werden.
Z=
€ 0,00972 Š0,01642
=
€ 0,000094Š0,0002689
=
€ 0,00036296
= 0,019S
1
= 52,49 O Beachten Sie, dass Blindwiderstände geometrisch addiert
0,01905
Wechselstromleistung
Man unterscheidet im Wechselstromkreis 3 Arten von Leistungen:
ΠWirkleistung P
ΠBlindleistung Q
ΠScheinleistung S
Wirkleistung (P)
Wenn ein Verbraucher an eine Steckdose angeschlossen wird, erwärmt er sich. Bei Gleichspannung
wäre die Leistung und die aufgenommene Arbeit schnell errechnet.
Wiederholung:
P = U . I ------> für U eingesetzt --------> P = I . R . I = I2 . R bzw. für I eingesetzt
U
U2
=
U.
R
R
U=I.R
U
I=
R
W = U . I . t = für U eingesetzt ---> I . R . I . t = I2 . R . t -----> für I eingesetzt ---->
U
U2
U.
. t -->=
. t.
R
R
Bei Wechselstrom liegt aber eine sinusförmige Kurve vor. U = 230 V und f = 50 Hz. Es liegt eine
andere Situation vor. Die sinusförmige Wechselspannung hat einen sinusförmigen Wechselstrom zur
Folge, was bedeutet, dass nicht zu jedem Zeitpunkt die gleiche Höhe, wie es in obiger Formel
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2007/08
91
gefordert wird.
Man kann aber trotzdem die gleichen Formeln, die wir schon kennen, anwenden, wenn man die
Augenblickswerte f„r u und i einsetzt, um den Augenblickswert f„r die Leistung p zu erhalten.
Der Augenblickswert (p) ist demnach immer das Produkt der Augenblickswerte von u und i.
p=u.i
Ein Wirkleistmessger€t zeigt den linearen Mittelwert von P an. Der Zeiger kann die raschen
Ver€nderungen des p(t)-Verlaufs der Augenblickswerte nicht folgen.
Bei Sinusform hat eine ohmsche Last : u = Š . sin ƒ t = € 2 . U . sin ƒ t
‚
-----> ˆ = ƒ .t
Zur Wiederholung: ƒ = Kreisfrequenz =
t
Š = Maximal- oder Scheitelwert
Beim Strom ist die Situation €hnlich:
i = ” . sin ƒ t = € 2 . I . sin ƒ t
I und U sind die Effektivwerte.
Damit ist es nun m‚glich den Verlauf der Momentanleistung zu ermitteln:
p = u . i = (ƒ . sin ƒ t) . ( „ . sin ƒ t) ------> ƒ t heraushebenš--> „ . … . ƒ t . (sin2) oder
p=
€2
. U . sin •t .
€2
. I . sin •t -----> •t herausheben -----> 2 . U . I . sin2 €t
Aus der Mathematik wissen wir, dass sin2 ˆ =
†1‹cos[2 ] ‚‡
-----> Die Momentanleistung p
2
€ndert sich zeitlich mit sin2 ƒ t = (1 ‰ cos2 ƒ t).
Wie sieht nun das Leistungsprofil der Momentatleistun †p‡ bei einem Winkel von 300 f„r eine
Periode aus? (bei 1V/1A)
ΠMomentanwerte ermitteln:
u = Š. sin ƒ t
u = Š.sin (300)
u = Š. 0,5
i = ” . sin ƒ t
i = ” . sin (300)
i = ” . 0,5
p = [Š.sin (300)] . [ ” . sin (300)] = 1 V . 1A . 0,5 . 0,5 = 1VA.0,25 = 0,25 W (Watt)
Einige Beispiele:
Bestimmen Sie die Momentanwerte der Leistung bei 200 zu 200 f„r eine Periode.
p = [Š.sin (200)] . [ ” . sin (200)] = 1 V . 1A . 0,342 . 0,342 = 1VA.0,1169 =0,12 W (Watt)
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Beim arithmetischen Mittelwert f€llt der doppelfrequente Anteil (cos 2 ƒ t =0) weg.
•
P
= U . I . (1 ‰ cos2 ƒ t) = U . I = P (Wirkleistung) ---> der Cos-Term wird Null und f€llt
weg.
+p
Î. Û
p=u.i
Û
Î
ˆ = ƒt
Die Leistung (p) bewegt sich zwischen Null (0) und dem Maximalwert Û . Î. Beachten Sie, dass die
Leistung nie negativ wird. Das bedeutet, das in der zweiten H€lfte der Periode der Wert u.i auch
positiv ist.
Der Verbraucher nimmt also Leistung auf, was das Pluszeichen zeigt. Der Stromquelle wird st€ndig
Leistung entnommen. Nach einer Zeit entspricht die Leistungsaufnahme einer mittleren Leistung
P , welche sich aus dem Produkt der Effektivwerte aus U . I ergibt. Diese Leistung wird
Wirkleistung bezeichnet - U(DC) = Ueff (AC) I(DC = Ieff(AC).
Beim Gleichstrom errechnet sich die Leistung mit der selben Formel. Nur hier rechnen wir mit
Effektivwerten von U und I. Man spricht hier auch von einem Wirkstrom Iw -----> P = U . Iw.
Wirkleistung (AC) :
P = U . Iw
Allgemein betrachtet kann kann man sagen, dass die elektrische Arbeit (W) und die Leistung bei
Wechselstrom (AC) und ohmscher Last wie bei Gleichstrom (DC) ermittelt wird, wobei aber f„r die
Spannung und den Strom die Effektivwerte herangezogen werden.
Die mittlere Wirkleistung (P) (=arithmetische Mittelwert) der Leistung (Leistungsschwingung) p =
u.i ist das Produkt der Effektivwerte von Spannung und Strom: P = U . I oder P = Ueff . Ieff.
Zur Ewiederholung: ”, Š
Ueff = U =
Ieff = I =
Û
=Š.
€2
Î
€2
= ”.
1
= Û . 0,707
€2
1
= Î . 0,707
€2
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93
Weiters sollte man noch beachten, welche Verbraucher rein ohmsche sind:
Œ
Œ
Œ
Heizgeräte
Glühlampen
Schichtwiderstände
Diese haben keinen induktiven bzw. kapazitiven Anteil.
Nun ein Musterbeispiel:
Folgende Nenngrößen sind bei einem elektrischen Gerät abzulesen:
U = 110V (das heißt, dass.am Gerät darf nur eine Spannung von 110 V abfallen darf.)
I =2A
Das Gerät soll am Wechselstromnetz betrieben werden U = 230 V-> Maximalspannung Û = 325 V
Û = Ueff . € 2 = 230 . € 2 = 325,269 V
Vorwiderstand
230V
UV
Heizgerät
U heiz = 110 V
Berechnen Sie den Vorwiderstand dieser Schaltung. Für welche Leistung muss er dimensioniert
werden?
UV = 230 V – 110 V
UV = 120 V (fallen am Vorwiderstand ab)
UV
120 V
=
= 60 O
2A
I
Der Vorwiderstand erwärmt sich, wenn Strom hindurchfließt und gibt die Leistung in Wärme ab.
RV =
P = U . I = 120 V . 2 A = 240 W Es fließt ein reiner Wirkstrom.
Bei rein ohmschen Verbrauchern erfolgt die Ermittlung der Leistung wie in der Gleichstromtechnik.
Die Leistung wird in Watt (W) angegeben
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94
Bei induktiven (XL) bzw. kapazitiven (XC) Widerst€nden (Blindwiderst€nde) sieht das ein wenig
anders aus..Man spricht hier von Blindleistung (Q).
Blindleistung (Q)
Um die Blindleistung ermitteln zu k‚nnen, bedarf es den gleichen Vorgang wie vorher bei der
Wirkleistung. Sie erfolgt genauso durch Multiplikation der Momentanwerte.
Induktivität
Wiederholen wir: Bei einer idealen Induktivit€t eilt der Strom i der Spannung u um 900 nach.
U
+900
I
u=U.
i=I.
(U = Ueff)
€ 2 . sin ƒ t
€ 2 . sin ( ƒ t ‰ 900) = I . € 2 . sin ( ƒ t -
•
)=-I.
2
€2
. cos ƒ t
Nun setzen wir wieder in die Leistungsformel f„r die Momentanwerte ein:
p = u . i = (U.
€2
. sin ƒ t) . ( - I .
€2
. cos ƒ t)
p = u . i = - U . I . 2 . sin ƒ t . cos ƒ t (Nachsehen in der Mathematik)
2 . sin ˆ . cos ˆ = sin 2 ˆ (Mathematik ‰ Winkelfunktionen)
p = u . i = - U . I . sin 2 ˆ
Der Momentanwert der Leistung (p) schwingt mit einer negativ beginnenden Sinusschwingung
doppelter Frequenz. Der lineare Mittelwert ist demnach Null. Es ist keine Wirkleistung messbar.
Daher sprechen wir von einer Blindleistung.
Man kann, wenn wir die Kurve zeichnen w„rden, an 4 Stellen die Leistung sofort ablesen. Dort, wo
U bzw. I gleich Null sind (00, 900, 1800, 2700, 3600)
Musterbeispiel:
Wir nehmen die Maximalwerte (Scheitelwerte) als 1 an, der Winkel sei ˆ = ƒ t = 300. Wie gro• ist
hier die Momentanleistung p?
Œ
Momentanwerte ermitteln
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u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (300) = 1 V . 0,5 = 0,5 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (300 ‰ 900) = 1 sin (-600) = 1A .(-0,866) = - 0,866 A
Œ
Momentanleistung berechnen:
p = u . i = 0,5 V . (-0,866A) = - 0,433 W
Wenn man jetzt an mehreren Punkten die Momentanleistung ermittelt, kann man die
Leistungskurve zeichnen.
ZB: ƒ t = 450 Scheitelwerte = 1
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (450) = 1 V . 0,707 = 0,707 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (450 ‰ 900) = 1 sin (-450) = 1A .(-0,707) = - 0,707 A
p = u . i = 0,707 V . (-0,707A) = - 0,5 W
Aufgrund des Kurvenverlaufes kann man erkennen, dass die Leistungskurve st€ndig die Richtung
€ndert. W€hrend einer Halbschwingung ist die Leistung positiv (entspricht Leistungsaufnahme) und
w€hrend der anderen Halbschwingung ist sie negativ (entspricht Leistungsabgabe). Beide
Halbkurven sind gleich gro•. Daher ist die Gesamtleistung „ber eine volle Periode Null (0). Das
w„rde der Mittelwertsbildung entsprechen P = 0. Die Energie schwingt verlustlos zwischen
Stromquelle und Verbraucher hin und her. Wirkarbeit wird also im Verbraucher (Induktivit€t) nicht
verrichtet.
Wir betrachten nun Leistungsab- und aufnahme w€hrend einiger Perioden:
ƒ t = 00
ƒ t = 450
ƒ t = 900
ƒ t = 1350
ƒ t = 1800
ƒ t = 2700
ƒ t = 3600
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (00) = 1 V . 0 = 0 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (00 ‰ 900) = 1 sin (-900) = 1A .(-1) = - 1 A
p = u . i = 0 V . (-1A) = - 0 W (Weder Aufnahme noch Abgabe)
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (450) = 1 V . 0,707 = 0,707 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (450 ‰ 900) = 1 sin (-450) = 1A .(-0,707) = - 0,707 A
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p = u . i = 0,707 V . (-0,707A) = - 0,5 W ( Abgabe)
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (900) = 1 V . 1 = 1 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (900 ‰ 900) = 1 sin (00) = 1A .(0) = 0 A
p = u . i = 1 V . (0A) = 0 W ( Weder Aufnahme noch Abgabe)
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (1350) = 1 V . 0,707 = 0,707 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (1350 ‰ 900) = 1 sin (450) = 1A .(0,707) = 0,707 A
p = u . i = 0,707 V . (0,707A) = 0,5 W ( Aufnahme )
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (2250) = 1 V . (-0,707) = - 0,707 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (2250 ‰ 900) = 1 sin (1350) = 1A .(0,707) = 0,707 A
p = u . i = - 0,707 V . (0,707A) = - 0,5 W (Abgabe )
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (2700) = 1 V . (-1) = -1 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (2700 ‰ 900) = 1 sin (1800) = 1A .(0) = 0 A
p = u . i = - 1 V . (0A) = 0 W (Weder Aufnahme noch Abgabe )
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (3150) = 1 V . (-0,707) = - 0,707 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (3150 ‰ 900) = 1 sin (2250) = 1A .(-0,707) = - 0,707 A
p = u . i = - 0,707 V . (- 0,707A) = 0,5 W (Aufnahme )
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (3600) = 1 V . (0) = 0 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (3600 ‰ 900) = 1 sin (2700) = 1A .(-1) = -1 A
p = u . i = 0 V . (-1A) = 0 W (Weder Aufnahme noch Abgabe )
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Nun k‚nnte man die Leistungskurve (Liniendiagramm) zeichnen. Wir k‚nnen klar erkennen, dass
w€hrend der ersten Viertelperiode die Stromquelle Leistung abgibt. Bei der n€chsten Viertelperiode
die gleiche Leistung wieder aufgenommen wird, welche nach au•en hin nicht in Erscheinung tritt.
Diese Leistung bezeichnet man Blinleistung (Q).
Q = U . Ib
Die Blindleistung ist also das Produkt aus dem Effektivwert der Spannung (U = Ueff) und dem
Blindstrom (Ib)
Wir sprechen von einer Induktivit€t, daher sprechen wir auch von einer induktiven Blindleistung.
Kapazität (XC)
Um die kapazitive Blindleistung zu ermitteln, gehen wir genauso vor. Hier muss man beachten, dass
der Strom der Spannung um 900 voreilt.
I
900
U
Die Momentanleistung ergibt sich wiederum aus dem Produkt der Momentanwerte.
u = U . € 2 . sin ƒ t
i=I.
€2
. sin ( ƒ t + 900) = I .
(U = Ueff)
€2
. sin ( ƒ t +
•
)= I.
2
€2
. cos ƒ t
Nun setzen wir wieder in die Leistungsformel f„r die Momentanwerte ein:
p = u . i = (U.
€2
. sin ƒt) . ( I .
€2
. cos ƒt)
p = u . i = U . I . 2 . sin ƒ t . cos ƒ t (Nachsehen in der Mathematik)
2 . sin ˆ . cos ˆ = sin 2 ˆ (Mathematik ‰ Winkelfunktionen)
p = u . i = U . I . sin 2 ˆ
Der Momentanwert der Leistung (p) schwingt mit einer negativ beginnenden Sinusschwingung
doppelter Frequenz. Der lineare Mittelwert ist demnach Null. Es ist keine Wirkleistung messbar.
Daher sprechen wir von einer Blindleistung.
Man kann, wenn wir die Kurve zeichnen w„rden, an 4 Stellen die Leistung sofort ablesen. Dort, wo
U bzw. I gleich Null sind (00, 900, 1800, 2700, 3600)
Musterbeispiel:
Wir nehmen die Maximalwerte (Scheitelwerte) als 1 an, der Winkel sei ˆ = ƒ t = 300. Wie gro• ist
hier die Momentanleistung p?
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Œ
Momentanwerte ermitteln
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (300) = 1 V . 0,5 = 0,5 V
i = ” . sin ( ƒ t ‰ 900) = 1 . sin (300+ 900) = 1 sin (1200) = 1A .(0,866) = 0,866 A
Œ
Momentanleistung berechnen:
p = u . i = 0,5 V . (0,866A) = 0,433 W
Wenn man jetzt an mehreren Punkten die Momentanleistung ermitteln, kann man die
Leistungskurve zeichnen.
Wir betrachten nun Leistungsab- und aufnahme w€hrend einiger Perioden:
ƒ t = 00
ƒ t = 450
ƒ t = 900
ƒ t = 1350
ƒ t = 1800
ƒ t = 2700
ƒ t = 3600
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (00) = 1 V . 0 = 0 V
i = ” . sin ( ƒ t + 900) = 1 . sin (00 + 900) = 1 sin (+900) = 1A .(1) = 1 A
p = u . i = 0 V . (1A) = 0 W (Weder Aufnahme noch Abgabe)
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (450) = 1 V . 0 = 0,707 V
i = ” . sin ( ƒ t + 900) = 1 . sin (450 + 900) = 1 sin (1350) = 1A .(0,707) = 0,707 A
p = u . i = 0,707 V . (0,707A) = 0,5 W (Aufnahme )
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (900) = 1 V . 0 = 1 V
i = ” . sin ( ƒ t + 900) = 1 . sin (900 + 900) = 1 sin (1800) = 1A .(0) = 0 A
p = u . i = 0,707 V . (0A) = 0 W (Weder Aufnahme noch Abgabe )
u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (1800) = 1 V . 0 = 0 V
i = ” . sin ( ƒ t + 900) = 1 . sin (1800 + 900) = 1 sin (2700) = 1A .(-1) = -1 A
p = u . i = 0V . (-1A) = 0 W (Weder Aufnahme noch Abgabe )
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u = Û. sin ƒ t = 1 . sin (2250) = 1 V . (-0,707) = - 0,707 V
i = ” . sin ( ƒ t + 900) = 1 . sin (2250 + 900) = 1 sin (3150) = 1A .(-0,707) = - 0,707 A
p = u . i = - 0,707 V . (-0,707A) = 0,5 W (Aufnahme )
Zusammenfassend kann man sagen, dass die Wirkleistung jene Leistung ist, die elektrische Energie
in W€rme, mechanische und chemische Energie umwandelt. Die Einheit ist 1 Watt (W).
Die Blindleistung dient zum Aufbau und Abbau elektrischer und magnetischer Felder. Diese werden
wieder an die Versorgungsquelle zur„ckgeliefert. Die Einheit ist grunds€tzlich Watt. Um aber eine
bessere •bersicht zu erhalten wird sie in var (Volt-Ampere-reaktiv) angegeben. Mit reaktiv meint
man den r„ckwirkenden Widerstand.
Q = U . Ib
Scheinleistung – Leistungsfaktor
Wie sieht das bei der so genannten Scheinleistung aus. Dazu sehen wir uns eine Parallelschaltung
von einer ohmschen und einer induktiven Last genauer an. (siehe Seite 93)
I
Iw
U
R
I: Gesamtstrom
IW: Wirkstrom ‰ phmsche Last
Ib
Ib: Blindstrom ‰ induktive Last
XL
XL: Spule
R: Ohmscher Widerstand
U: Quellenspannung (AC)
Beide Verbraucher (Lasten) an einer gemeinsamen Spannung. Der zuflie•ende Strom teilt sich
(Kirchhoff) in IW und IB auf.
Um eine bessere •bersicht zu erhalten, zeichnen wir das Zeigerdiagramm:
Dabei gilt es zu „berlegen, dass der Wirkstrom (IW) und die Spannung (U) in Phase sind, der
Blindstrom (Ib) der Spannung num 900 nacheilt. (Wiederholung).
Es ist unerheblich, ob man die gemeinsame Spannung waagrecht oder senkrecht zeichnet. Wir
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2007/08
100
haben sie senkrecht gezeichnet.
U
IW
I – zufließender Strom
f
450
Ib
Ib ist jener Strom, der
durch die Spule fließt.
Mit Hilfe des Zeigerdiagrammes kann man unter Zuhilfenahme der Winkelfunktionen den
Wirkstrom bzw. Blindstrom ermitteln:
IW
Ankathete
=
-----> IW = I . cos f
Hypothenuse
I
Wie Sie ja wissen, ist die Wirkleistung das Produkt aus Spannung und Wirkstrom:
P = U . IW
P = U . I . cos f angegeben wird die Wirkleistung in Watt (W). Das Wattmeter zeigt die
Wirkleistung an. (bei beliebiger Phasenverschiebung)
cos f = Wirkleistungsfaktor
Genauso verfahren wir mit der Blindleistung (Q).
cos f =
Die Blindleistung (Q) ist das Produkt aus Spannung und Blindstrom (Ib Strom durch die Spule)
sin f =
Gegenkathete
=
HJypothenuse
Ib
-------> Ib = I . sin f
I
Q = U . Ib
Q = U . I . sin f angegeben in var (volt-ampere-reaktiv) – dazu ist ein spezielles Wattmeter
erforderlich.
sin f = Blindleistungsfaktor
Die Gesamtleistung ergibt sich nun aus Wirkleistung und Blindleistung und heißt „Scheinleistung“,
die in VA angegeben wird.
S=U.I
Das Produkt ist nur eine „scheinbare“ nutzbare Leistung. Daher gibt man diese Leistung nicht in
Watt an, sondern in VA (Volt-Ampere).
Sehr häufig wird diese Scheinleistung, wie beispielsweise bei Transformatoren, angegeben. Auch
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2007/08
101
kann man, der besseren •bersicht, ein so genangtes Leistungsdreieck zeichnen, in dem die
Leistungen schnell zu ermitteln sind.
S
Q
“
P
Die Winkelfunktionen sind auch hier anzuwenden.
Dieses Verh€ltnis bezeichnet man als
P
Q
Leistungsfaktor
cos “ =
; sin “ =
S
S
S = U . I ; cos “ = Die Momentanleistung (p) allgemein betrachtet
u = € 2 . U . sin ƒ t (Momentanspannung
I
i = € 2 . I . sin ( ƒ t + “ ) ------> i voreilend
U
i = € 2 . I . sin ( ƒ t - “ ) ------> i nacheilend
Momentanstrom
U
I
p = u.i ------> Momentanleistung
p = ( € 2 . U . sin ƒ t ) . ( € 2 . I .sin ( ƒ t + “ )) -----> f„r den voreilenden Strom
p = ( € 2 . U . sin ƒ t ) . ( € 2 . I .sin ( ƒ t ‰ “ )) ------> f„r den nacheilenden Strom
p = 2.U.I sin ƒ t . sin ( ƒ t + “ )
p = 2.U.I sin ƒ t . sin ( ƒ t ‰ “ )
Zuhilfenahme aus der Mathematik ‰ Winkelfunktionen und Gesetze:
1
[cos ( ˆ ‰ › ) ‰ cos ( ˆ + › )] ergibt sich
2
p = U . I . [cos (+/- “ ) ‰ cos (2 ƒ t +/- “ )]
Mit sin ˆ . sin › =
cos “ (gleich ob plus
oder neg.)
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102
p = U.I cos “ ‰ U.I cos 2( ƒ t +/-
Ž
)
2
Siehe Mathematik ‰
trigonometrische Funktionen
Dieser doppelfrequente Anteil
f€llt weg
Wirkleistung
Zusammenfassend:
Wirkleistung P = U . I . cos “
Scheinleistung S = U . I
S
Q
“
P
Anwendung der Winkelfunktionen und des Pythagoras
sin “ =
Q
-------> Q = S . sin “ oder mit dem Pythagoras: S2 = P2 + Q2 und Q2 = S2 ‰ P2
S
Messung der Scheinleistung (S)
A
U
~
V
Z
Messung der Wirkleistung (P)
Wattmeter
W
U
~
Z
Wenn der Phasenverschiebungswinkel ( “ ) > 0 ------> induktive Blindleistung
Bei “ < 0 ---------------------------------------------------> kapazitive Blindleistung
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103
Ein Beispiel:
Das Typenschild eines Wechselstrommotors zeigt folgende Werte. Die Leistungsangabe ist
unleserlich:
U = 220 V; I = 2 A, cos “ = 0,82
Ist die Wirkleistung zu ermitteln? Ja
P = U . I . cos “
P = 220V . 2A . 0,82
P = 360,8 W = 0, 36 kW -----> das entspricht der aus dem Netz aufgenommenen Wirkleistung des
Motors.. Wenn der Wirkungsgrad 70% ist w€re die aufgenommene Wirkleistung nur 252,56 W.
Auf einem Typenschild eines Motors ist immer die abgegebene Leistung zu lesen.
Ein weiteres Beispiel soll dies veranschaulichen.
Ein Turbogenerator soll 6000 kW Wirkleistung bei einem Leistungsfaktor cos “ = 0,8 abgeben.
Der Wirkungsgrad ( œ ) = 95% = 0,95). Ein Turbogenerator ist ein schnell drehender
Synchrongenerator in einem kalorischen Kraftwerk.
Der Generator muss bei einem Leistungsfaktor von 0,8 folgende Scheinleistung abgeben.
Wir verwenden das Leistungsdreieck:
S
“
Q
P
P
------> umformen nach S. P = S . cos “ -------> S =
S
6000kW
= 7500 kVA
0,8
cos “ =
S=
P
cosŽ
Beachten Sie bitte, dass Generatoren und Tranformatoren immer auf die Scheinleistung (S)
ausgelegt werden.
Die Turbine gibt demnach folgende Wirkleistung ab.
PT =
œ =
PGen
=
—
6000kW
= 6315,78 kW
0,95
P zu
P ab
Ein weiteres Beispiel
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2007/08
104
Ein Generator ist mit 4800 kW und einem Leistungsfaktor cos f = 0,6 belaste,
Wie sind Generator und Turbine bez. der Nennleistung ausgelastet?
P
4800kW
=
= 8000 kVA
cosŽ
0,6
Nun vergleichen wir mit dem Generator aus dem vorigen Beispiel.
S=
SG1 – SG2
8000 kVBA – 7500 kVA
S = 500 kVA
Der Generator hat um 500 kVA Scheinleistung zu viel. Er ist überlastet.
8000kVA
Das wären ca. 106,7 % - also 6% Überlast.
= 1,066 ---> 106,6%
7500kVA
PGen
4800KW
= 5052,63 kW Wenn man jetzt beide
=
0,95
—
Turbinenleistungen vergleicht, ergibt sich ein Prozentsatz von ca. 80%:
Wirkleistung der Turbine: PT =
5052,63 kW
= 0,80 -----> 80% Das sind nur mehr 80% der Nennleistung.
6315,78 kW
Die Turbine (Antrieb) ist nicht überlastet. Der Generator ist mit ca. 6% überlastet. Bei kleinem
Leistungsfaktor gibt die Turbine fast keine Wirkleistung an den Generator ab.
Worin liegt die Ursache für diesen Sachverhalt?
Die Antriebsmaschine gibt in jedem Fall eine mechanische Leistung ab. Diese Abgabe ist nur so
groß, wie eben Wärme, Licht, chemische Energie über Umwegen über den Generator in
Wirkleistung umgewandelt wird. Die Blindleistungen werden nicht berücksichtigt. Der
Generatorstrom ist für die thermische Belastung wichtig. Daher muss der Generator nach dem
Strom, den er abgibt, ausgelegt werden.
Großer Strom setzt großen Querschnitt der Kupferwicklung voraus. Kleiner Strom erfordert einen
kleinen Querfschnitt (einen dünnen Kupferdraht). Genauso gilt das für die Zuleitungen zum
Generator.
Wie wir schon wissen, kann ein großer Strom fließen, ohne dass eine Wirkarbeit im Verbraucher
verrichtet wird (Blindarbeit). Daher genügt es nicht, nur die Wirkleistung eines
Wechselstromerzeugers in kW anzugeben, sondern auch die Blindleistung
Wie schon erwähnt, erfolgt die Leistungsabgabe immer als Scheinleistung (S). Die Scheinleistung
wird in VA bzw. kVA angegeben. Wenn der Leistungsfaktor cos f = 1 ist, ist die Scheinleistung
gleich der Wirkleistung (S = P). Wenn hingegen cos f = 0 ist, ist auch die Wirkleistung Null.
Wenn über den Generator ein höchstzulässiger Strom fließt, entsatehen in der Kupferwicklung
Stromwärmeverluste PV = I2 . R -----> U = I . R ---> einsetzen PV = I . R . I -----> PV = I2 . R. Der
Generator erwärmt sich.
Wo entstehen so genannte Stromwärmeverluste?
ΠWicklungen
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105
Zuleitungen
Dabei ist es nicht relevant, ob es sich um einen Blind- oder Wirkstrom handelt. Wichtig ist immer
der messbare Strom.
Œ
Blindstromverbraucher
Asynchronmotoren
große Anzahl von Leuchtstofflampen
Diese haben einen eigenen Blindleistungszähler.
Œ
Œ
Maßnahmen zur Reduktion des Blindstromes
Œ
Blindstromkompensation (Phasenkompensation)
Blindstromkompensation
Man spricht auch von Phasenkompensation. Worum geht es dabei? Der induktive Blindstrom
erfordert meist
Œ größere Leiterquerschnitte bei den Zuleitungen
‘ Trafos
‘ Generatoren
Diesen könnte man durch einen kapazitiven Blindstrom aufheben. Zentral kann daher die
Kompensation durch Kondensatoren erfolgen.
Sehr häufig wird die Parallelkompensation angewendet. Ein Kondensator ist in der Schaltung
parallel zugeschaltet.
Zuleitungsstrom
I'
I
IC
R
U ~
C
Dem induktiven Verbraucher wird ein
Kondensator parallel zugeschaltet
L
Wir wissen, dass der induktive Strom der Spannung nacheilt ------> Zeigerdiagramm:
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106
U – gemeinsame Spannung
f'
I'
f
Der Zuleitungsstrom, der ursprünglich I
(ohne C) ist, wird auf I' reduziert
IC
I
Ziel ist es, den Zuleitungsstrom bei der Blindstromkompensation zu minimieren..
Genug der Theorie. Ein Beispiel soll diesen Sachverhalt veranschaulichen:
Auf einen Schweißtrafo sind folgende Daten zu lesen:
U = 220 V; f = 50 Hz; I = 10A, cos f = 0,5
Es soll auf cos f = 0,8 kompensiert werden. Zu beachten ist, dass ein Schweißtrafo eine ohmscheinduktive Last darstellt.
ΠWirkstromkomponente von I ermitteln
ΠBlindstromkomponente von I ermitteln
I
f
Iw
Ib
Stromdreieck
Blindstrom – fließt über L
IW
Wirkstrom – fließt über R
------> umformen nach IW
I
f = 600 ins Winkelmaß umrechnen (TR – Taste cos-1)
Iw = I .cos f
Iw = 10 A . 0,5
Iw = 5 A
cos Ž =
Ib
-----> umformen nach Ib
I
Ib = I .sin f
Ib =10 . sin (600)
Ib =10 . 0,8660
Ib =8,66 A
sin f =
Beachte, dass nach der Kompensation der Wirkstrom (IW) gleich bleibt. Der Blindstrom (Ib)
reduziert sich.
Zeigerdiagramm:
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107
IW
“'
Ib '
I'
“ = 600
Ib
IC
I
Auch hier k‚nnen wir nun die Winkelfunktionen anwenden. Sie sehen, wie wichtig die
Zeigerdiagramme sind. Aus diesen kann man die Werte anschaulich herauslesen bzw. berechnen.
Jetzt kompensieren cos “ auf 0,8 -----> cos “ ' = 0,8 ------> TR ‰ Taste cos-1 um “ ' zu
erhalten: “ ' = 36,8690.
ΠBlindanteile der Kompensation ermitteln Ib'
Ib '
Gegenkathete
tan “ ' =
-----> umformen nach Ib' -----> IW . tan “ ' = Ib'
Ankathete
IW
Ib' = tan (36,8690) . IW
Ib' = 0,7499 . 5A
Ib' = 3,749 A
ΠIC ermitteln
IC kann man aus dem Zeigerdiagramm (Pfeiladdition) herauslesen:
Œ
Œ
Œ
IC = Ib – Ib '
IC = 8,66A ‰ 3,749A
IC = 4,911 A
Die Kapazit€t ermitteln
Beachte:
cos “ = Wirkleistungsfaktor
sin “ = Blindleistungsfaktor
IC =
U
= ƒ C . U = 2 … .f . C . U ------> durch umformen erh€lt man C, die Kapazit€t
XC
C=
IC
2 • f.U
=
4,911
=
2 •50.220
4,911
= 0,000071055 F = 71,055 ΠF
69115,03838
Neue Zuleitungsstrom I' ermitteln
Auch hier k‚nnen wir aus dem Zeigerdiagramm die Winkelfunktionen anwenden.
cos “ ' =
IW
-------> umwandeln nach I' (neue Zuleitungsstrom ‰ kompensierter
I'
Zuleitungsstrom)
cos “ ' . I' = IW
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
2007/08
108
I' =
IW
=
cosŽ'
5A
=
cos†36,869‡
5A
= 6,25 A
0,80
Statt 10 A (I) wurde reduziert (kompensiert) auf 6,25 A.
Ein Beispiel aus der Praxis:
Netzanschluss U = 220 V
In einem Haushalt sind folgende Verbraucher vorhanden:
3 Gl„hlampen zu je 60 W -----------> 180W
4 Gl„hlampen zu je 100 W ----------> 400 W
1 Heizhofen mit
1000 W
1 E-Motor f„r AC mit 1000 W; cos “ (Wirkleistungsfaktor) = 0,8; œ (Wirkungsgrad) = 0,75
1 ohmscher-kapazitiver Verbraucher mit 800 W; cos “ (Wirkleistungsfaktor) = 0,5
1kWh kostet • 0,23.Berechnen Sie:
ΠBetriebskosten bei 8 Stunden Betrieb
ΠWelche Stromsicherung muss vorgesehen werden?
Betriebskosten
Beachten Sie, dass der Wechselstromz€hler nur die verbrauchte Wirkarbeit anzeigt. Daher m„ssen
wir zuerst die reine Wirkarbeit ohne Motor berechnen ‰ siehe oben schon ermittelt.
P f„r 3 Gl„hlampen (60W) = 3 . 60
= 180 W
P f„r 4 Gl„hlampen (100W) = 4 . 100
= 400 W
P f„r einen Heizofen (1000w) = 1 . 1000
= 1000 W
P (Wirkarbeit) f„r die ohmsche Last (800 W)
= 800 W
_____________________________________________________
= 2380 W
Summe ( ž P) f„r P
Jetzt die Wirkleistung des E-Motors Beachte:
Bei Gl„hlampen wird die aufgenommene Leistung angeschrieben.
Es muss also Pzu bestimmt werden. Bei Motoren wird immer die abgegebene Wirkleistung
angegeben.
P ab
œ =
-----> umformen nach Pzu
P zu‹Motor
P ab
1000W
=
= 1333,33 W Dem Motor muss eine Leistung von 1333,33 W
0,75
—
zugeführt werden, damit er beinem Wirkungsgrad von 75% einen Wirkleistung von 1000 W
abgeben kann.
Pzu =
Nun ermitteln wir die gesamte Leistung, also die Wirkleistung der Gl„hlampen, Heizofen und
ohmschen Last plus der Wirkleistung des Motors, wobei hier nur die aufgenommene (Pzu)
Wirkleistung der Verbraucher gemeint ist.
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2007/08
109
Œ
Œ
2380 W werden aufgenommen
1333,33 W werden vom Motor aufgenommen
Pges = 2380 W + 1333,33 W
Pges = 3713,33 W Dies ist die gesamte Wirkleistungsaufnahme
Nun ermitteln wir die Betriebskosten
1 kWh kostet € 0,23.Zeit: 8 h
W(elektrische Arbeit) = P . t
W = 3713,33 W . 8h
W = 29706,66 Wh
W = 29,70666 kWh
1 kWh
– € 0,23
29,70666 kWh - ? €
------------------------------29,70666 kWh kosten € 6,83.Stromsicherung
Zuerst zeichnen wir die beiden Leistungsdreieck
Πkapazitiver Verbraucher
Πinduktiver (Motor) Verbraucher
Beachte bitte, dass bei einem kapazitiven Verbraucher (Widerstand) der Strom I der Spannung
voreilt und bei einem induktiven der Strom der Spannung nacheilt.
Wir beginnen mit dem Spannungspfeil. Wie wir die Richtung des Spannungspfeiles festlegen
(senkrecht oder waagrecht) ist gleichgültig.
Erst die Richtung des Spannungspfeiles legt die Richtung des Strompfeiles fest.
Wir legen den Spannungspfeil senkrecht an. Bei kapazitiven Lasten ist der Blindleistungspfeil
negativ und bei induktiven Lasten positiv (Vereinbarung).
Auch einen Maßstab müssen wir festlegen:
Wir wählen für 100 W 3 mm = 0,3 cm
Was wissen wir noch?
U = 220 V
Wirkleistungsfaktor des kapazitiven Verbrachers: cos f kap = 0,5 ---> ermitteln wir den Winkel f
TR – Taste cos-1 -----> f kap = 600
Wirkleistungsfaktor des induktiven Verbrauchers: cos f ind 0 = 0,8 ---> ermitteln wir den Winkel f
TR – Taste cos-1 -----> f ind = 36,8690
Wirkleistungen:
Pkap = 800 W -----> 8 . 0,3 cm = 2,4 cm
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f = 600
Pind(Motor) = 1333,33 W
Direkte Proportionalität
100 W
0,3 cm
1333,33 W ? cm
------------------------------------100 : 1333,33 = 0,3 : x
100 . x = 1333,33 . 0,3
1333,33. 0,3
=
100
x=
399,99
= 3,999 cm ~ 4 cm
100
f = 36,8690
Nun können wir die beiden Leistungsdreiecke zeichnen:
Nochmals sei erwähnt, dass bei kapazitiver Last der Strom der Spannung voreilt.
I
Strom eilt der Spannung vor.
Skap Länge = 48 mm
Scheinleistung
Q kap
f
U
Blindleistung
Ablesen der Länge = 42 mm
Pkap
Nun zeichnen wir das Leistungsdreieck für den Motor (induktive Last). Nochmals sei erwähnt, dass
der Strom bei induktiver Last der Spannung nacheilt. Den Spannungspfeil zeichnen wir waagrecht.
Pind (40 mm)
U
f = 36,8690
Sind (49,97 mm)
Scheinleistung
Qind (29,9 mm)
Blindleistung
I
Mit Hilfe des festgelegten Maßstabes kann man die Werte ablesen und ermitteln.
Œ
Kapazitive Last
100 W
3 mm
?
42 mm
-----------------------------------
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Direkte Proportionalität
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100 : x = 3 : 42
100 . 42 = 3 . x
100 . 42
=
3
Qkap = 1,4 kvar
x=
Œ
4200
= 1400 var (für die kapazitive Blindleistung)
3
Induktive Last
100 W
3 mm
?
29,99 mm
--------------------------------------
Direkte Proportionalität
100 : x = 3 : 29,9
100 . 29,9 = 3 . x
x=
100 . 29,9
=
3
2999
= 999,66 var (für die induktive Blindleistung)
3
Qind = 999,66 var
Ermitteln der Scheinleistung
Es sei erinnert, dass die Scheinleistung in VA angegeben wird
Œ
Kapazitive Last
100 W
3 mm
?
48 mm
----------------------------------------
Direkte Proportionalität
100 : x = 3 : 48
100 . 48 = 3 . x
100 . 48
=
3
Skap= 1600 VA
x=
Œ
4800
= 1600 VA = 1,60 kVA (für die kapazitive Scheinleistung)
3
Induktive Last
100 W
3 mm
?
49,97 mm
---------------------------------------
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100 : x
100 . 49,97
x=
= 3 : 49,97
=3.x
100 . 49,97
=
3
4997
= 1665,66 VA = 1,66 kVA (für die induktive Scheinleistung)
3
Sind = 1665,66 VA
Alle Einzelkomponenten sind nun bekannt. Wir addieren arithmetisch alle Wirkleistungen und
Blindleistung, wobei bei den Blindleistungen immer die Differenz (entgegengesetzte Richtung der
Pfeile) gebildet wird. Die Scheinleistungen werden nur geometrisch addiert
Œ
Qges = Qkap – Qind
Qkap > Qind
Qges = 1400 var – 999,66 var
Qges = 400,34 var
100 W
3 mm
400,34
? mm
---------------------------------
Direkte Proportionalität
100 : 400,34 = 3 : x
100 . x = 400,34 . 3
x=
Œ
400,34 . 3
=
100
1201,02
= 12,0102 mm
100
Sges ermitteln
Dazu benötigen wir nun das Leistungsdreieck
Folgende Informationen kennen wir bereits:
ΠPges
(in Watt W)
ΠQges
( in var )
Pges = Plampen+Ofen+Ohmsche LastKap + Pmotor(induktive)
Pges = 2380 W + 1333,33 W
Pges = 3713,33 W
100 W
3 mm
3713,33
? mm
------------------------------------
Direkte Proportionalität
100 : 3713,33 = 3 : x
100 . x = 3713,33 . 3
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x=
3713,33. 3
=
100
11139,99
= 111,3999 mm
100
Nun zeichnen wir das Leistungsdreieck, um den Gesamscheinwiderstand (Sges)ermitteln zu k‚nnen.
Wir lesen f„r die Gesamtscheinleistung (Sges) die L€nge con 112,03 mm ab. Daraus k‚nnen wir nun
mit Hilfe des gew€hlten Ma•stabes die Gesamtscheinleistung in VA ermitteln.
Sges (112,03 mm)
“kap 6,150
Qges
Pges
Anwendung des Pythagoras
Sges = € P 2ges ŠQ2ges = € 3713,332Š400,342 =
= € 13949091,81 = 3734,84 VA
€ 13788819,69Š160272,1156
=
Jetzt ist es m‚glich aus der Leistungsformel f„r die Scheinleistung, den Strombedar zu ermitteln:
S=U.I
S
3734,84VA
I=
=
= 16,97 A ~ 17 A Das bedeutet, dass wir eine 20 A ‰ Sicherung
U
220 V
ben‚tigen, um den Stromkreis mit allen Verbrauchern abzusichern, weil der Gesamtstrombedarf ca.
17 A ist.
Wiederholungsfragen
Wie lautet die Formel der Frequenz (f) und ihre Einheit?
1
f=
[f] = 1 Hz (Hertz
T
Nennen sie die Formel f„r die Kreisfrequenz (ƒ)
1
ƒ = 2. … .f [ ƒ ] = s-1 oder
s
Wir wird die Wellenl€nge (‹) angegeben?
c
[ ‹ ] = m ; c = Lichtgeschwindigkeit
‹=
f
Nennen Sie die Effektivspannung (allgemein) U = Ueff.
U = quadratische Mittelwert =
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Scheitelwert
=
Scheitelfaktor
Û
; [U] = 1 Volt (V)
Fs
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114
Wie wird der induktive Widerstand XL ausgedr„ckt?
XL = ƒ L = 2. … .f . L ;
[XL ] = 1 ˜ ; L = Induktivit€t in Henry (H)
Nennen Sie den kapaziziven Widerstand XC:
1
=
•C
XC =
1
; [XC ] = 1 ˜ ; C = Kapazit€t in Farad (F).
2. • f C
Wie sehen Zeigerdiagramme folgender Schaltungen aus (Widerstandsdreieck, Leitwertdreieck)?
a)
R
I
XL
Beachte den gemeinsamen Strom (I)
XL
Z
“
Widerstandsdreieck
R
b)
I
R
XC
Beachte den gemeinsamen Strom (I)
R
“
Z
XC
Widerstenadsdreieck
Wie wird die mittlere Wechselstromleistung bestimmt?
Die mittlere Wechselstromleistung ist das Produkt der Effektivwerte von Spannung und
Stromst€rke: p = Ueff . Ieff
Wie sieht die Formel der Blindleistung (Q) aus?
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115
Die Blindleistung ist das Produkt der Effektivwerte von Spannung und Blindstrom /B.
Q = Ueff . Ibeff
Nennen Sie die Einheiten von:
ΠWirkleistung
ΠBlindleistung
ΠScheinleistung
[P] = 1 Watt (1W)
[Q] = 1 var (volt-ampere-reaktiv)
[S] = 1VA (Volt Ampere)
Wie groß ist der Drehwinkel einer sinusförmigen Spannung, wenn der Scheitelwert (Maximalwert)
Û = 5V und der Momentanwert u = -2,5 V beträgt?
Wir zeichnen das Zeigerdiagramm
Erweiterungsstoff
-f 1
-f 2
u = - 2,5V (Momentanwert)
30,00°
Û (Maximalwert - Scheitelwert)
‹u
2,5 V
== - 0,5 ----> TR – Taste sin-1 um den Winkel zu ermitteln: f = - 300
Û
5V
bzw. f 1 = 1800 + 300 = 2100 oder f 2 = 360 – 300 = 3300
sin f =
Zusätzlich sei noch die Größe der beiden Winkel im Bogenmaß gefragt:
arc f
1 =
arc f
2
=
•.‚1
1800
•. ‚2
1800
=
=
•.2100
= 3,66 rad (Bogenmaß)
180 0
•.3300
= 5,76 rad (Bogenmaß)
180 0
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Erkläre den Effektivwert einer Wechselspannung verglichen mit einer Gleichspannung:
Der Effektivwert einer Wechselspannung ist so groß wie eine Gleichspannung mit derselben
Wärmewirkung. Effektivwerte werden wie Gleichwerte als Großbuchstaben bezeichnet. Das
Verhältnis Scheitelwert zu Effektivwert bezeichnet man als Scheitelfaktor. Bei Sinusgrößen hat er
den Wert € 2 = 1,414.
Drehspulmessgeräte zeigen immer Effektivwerte an.
Ueff (U) =
Û
= Û . 0,707 genauso beim Strom Ieff (I)= Î . 0,707
€2
Berechnen Sie den Scheitelwert (Maximalwert – Spannungsfestigkeit) einer 220 V
Wechselspannung, an der ein Verbraucher angeschlossen ist.
Beachten Sie, dass alle Messwerte an der Steckdose Effektivwerte sind.
U = 220 V (Ueff)
Scheitelfaktor =
Û
------> Û = Scheitelfaktor . U ------> Û =
U
€2
. 220 = 311,13 V
Kann man Wechselstrom und Wechselspannung als Zeiger darstellen? Ja
Wie setzt sich die Gesamtleistung (Scheinleistung S) zusammen?
Aus Wirkleistung (P) und Blindleistung (Q).
S
Q
Leistungsdreieck
f
P
Da ein rechtwinkeliges Dreieck vorliegt, kann man den Pythagoras und die Winkelfunktionen
anwenden.
S=
sin f
€ P 2ŠQ 2
(Blindleistungsfaktor) =
cos f (Wirkleistungsfaktor) =
Q
Q
----> Q = S . sin f ------> S =
S
sin Ž
P
P
------> P = S . cos f ------> S =
S
cosŽ
Welche Leistung entsteht bei einem Leistungsfaktor cos f = 1?
Zuerst cos f in Grade angeben - ------------> TR Taste cos-1 ----> f = 00 Da der
Phasenverschiebungswinkel 00 ist, sind Spannung (Momentanwert) und Strom (Momentanwert) in
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117
Phase. Es tritt daher nur Wirkleistung ein.Wirkleistung wird nur „ber einen ohmschen
(Wirkwiderstand) Verbraucher abgegeben.
Erkl€ren Sie den Verlauf der Blindleistung (Momentanwert) bei kapazitiven Verlauf.
Bei rein kapazitiven Verlauf tritt nur Blindleistung auf. Die Leistung hat gegen„ber der Spannung
doppelte Frequenz.
p=u.i
Beachten Sie U = Ueff und I = Ieff .
p = U. € 2 . sin ƒ t . I . € 2 cos ƒ t
p = U . I . 2 sin ƒ t . cos ƒ t
p = U . I . sin 2 ƒ t -------------> siehe Mathematik Winkelfunktionen : 2 sin ˆ . cos ˆ = 2 sin ˆ
Der arithmetische Mittelwert 2 sin ƒ t „ber eine Periode ist Null. Aus diesem Grund ist p = 0.
Erstellen Sie aus dem Stromdreieck das Leistungsdreieck.
I
Ib = I . sin f
“
Iw = I . cos “
S=U.I
Q = U . Ib
Q = U . I . sin f
“
P = U . IW
P = U . I . cos f
Da ein rechtwinkeliges Dreieck vorliegt, kann man die Winkelfunktionen anwenden.
cos “ =
sin “ =
IW
------> IW = I . cos “
I
Ib
-------> Ib = I . sin “
I
Eine Impedanz (Z) liegt an 220 V Wechselspannung.
Z = 100 ˜
Leistungsfaktor cos “ = 0,707 -----------------------------> TR Tatse cos-1 -----> “ = 450.
Berechne:
den Strom I,
die Wirkleistung P,
die Scheinleistung S (Gesamtleistung) und
die Blindleistung Q
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118
Zuerst zeichnen man das Widerstandsdreieck – Zeichenmaßstab festlegen
Z
XC oder XL
f
Da ein rechtwinkeliges Dreieck vorliegt, können
wir die Winkelfunktionen (siehe Mathematik)
verwenden.
R
R
-----> R = Z . cos f
Z
R = 100 O . 0,707
X
= X = Z . sin f oder Pythagoras
Z
X = € Z 2 ‹R2 = € 1002 ‹70,72 =
cos f =
sin f =
R = 70,7 O (Wirkwiderstand)
X=
I=
U
=
Z
€ 10000‹4998,49
=
€ 5001,51
= 70,72 O
220V
= 2,2 A
100 ’
Nun zeichnen wir das Stromdreieck
I
Ib
Da ein rechtwinkeliges Dreieck vorliegt, können
wir die Winkelfunktionen (siehe Mathematik)
verwenden.
f
Pythagoras anwenden
IW
cos f = 0,707
I = 2,2 A
IW
----> IW = I . cos f
I
cos f =
Ib =
€I
2
‹I 2W =
€ 2,2 2‹1,552
IW = 2,2 A . 0,707
=
€ 4,84‹2,4025
IW = 1,55 A
=
€ 2,4375
= 1,56 A
Jetzt ist das Leistungsdreieck zu zeichnen.
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119
Q = S . sin f
S = U.I
f
Pythagoras anwenden
P = S. cos f
P = S . cos f
P = 484 V . 0,707
P = 342,18 W
S=U.I
S = 220 V . 2,2 A
S = 484 VA
Q=
€ S 2‹ P 2
€ 484 2‹342,18 2
=
=
€ 234256‹117087,15
€ 117168,85
=
=342,29 var
Zwei E-Motoren sind an Wechselspannung angeschlossen (U = 380 V) Die
Scheinleistungsaufnahme jedes Motors beträgt 1,5 kVA
S = 1,5 kVA
Der Leistungsfaktor cos f = 0,8.
Berechne die Gesamtstrom(I)-aufnahme. Kann man die beiden Scheinleistungen arithmetisch
addieren? JA, wenn die beiden Scheinleistungspfeile den gleichen Winkel ( f ) haben. Wenn sie
nicht den gleichen Winkel f haben, können sie nicht arithmetisch addiert werden.
S1
S2
Ergebnispfeil S
S = S1 + S2
Es ist auch möglich, beide Scheinleistungen getrennt zu berechnen:
Weg 1:
S1 = 1500 VA
cos f = 0,8
Das Leistungsdreieck ist zu zeichnen.
Motor 2
Motor 1
S1
f1
P1
Q1
f1=f2=f
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S2
Q2
f2
P2
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120
P1
S1
cos f =
S1 = U . I1
S1
=
I1 =
U
P2
S2
cos f =
S2 = U . I2
S2
I2 =
=
U
1500 VA
= 3,94 A
380 V
1500 VA
= 3,94 A
380 V
I = I1 + I2
I = 3,94 A + 3,94 A
Iges = 7,98 A
Weg 2:
S1 = 1500 VA; S2 = 1500 VA ------> arithmetisch addieren, weil f
S = 1500 VA + 1500 VA
S = 3000 VA
cos f = 0,8
S = U . Iges
S
Iges =
=
U
1
= f
2
ist. S = S1 + S2
3000VA
= 7,89 A
380 V
Gegeben sei ein induktiver Verbraucher mit folgenden Werten:
Wirkleistung (PW) = 100 W
Blindleistung (Q) = 75 var
Ermitteln Sie die Scheinleistung (S) [Gesamtleistung]
Beachten Sie, dass bei einer induktiven Last der Strom der Spannung nacheilt.
Zuerst ist das Leistungsdreieck zu zeichnen:
PW
Q
S
f
f
Q
S
PW
Parallelschaltung
Reihenschaltung
nun wenden wir den Pythagoras an, um S zu ermitteln.
S = € P 2W ŠQ 2 =
S = 125 VA
€ 1002 Š75 2
=
€ 10000Š5625
=
€ 15625
= 125 VA
Im Wechselstromkreis ist eine Phasenverschiebung von 700 gemessen worden. Weiters mißt man
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2007/08
121
eine Spannung (U) von 220 V und einen Strom I von 15 A.
Berechnen Sie die Scheinleistung (S), Wirkleistung (PW) und Blindleistung (Q) sowie den
Leistungsfaktor
(cos “ )
cos (700) = cos “ = 0,342
PW
-------> PW = S . cos “ = 3300 VA . 0,342
cos “ =
S
PW = 1128,6 W
S=U.I
S = 220 V . 15 A
S = 3300 VA
Q=
€S ‹P
2
2
W
=
€ 33002 ‹1128,62
=
€ 9616262,04
= 3101 var
Jetzt noch ein Beispiel zur Kompesation mit einem Kondensator.
Ein E-Motor gibt eine Leistung von 5 PS ab. Das steht auf dem Leistungsschild.
Der Wirkungsgrad ( œ ) = 85% = 0,85. Die Stromaufnahme (I) betr€gt 26 A. Der E-Motor liegt an
220 V Wechselspannung.
Ermitteln Sie den Kompesationskondensator bei vollst€ndiger Kompesation.
Beachten Sie, dass 1 PS 736 W entsprechen.
5 PS = 3680 W (Pab)
P ab
P ab
3680
œ =
---------> nach Pzu l‚sen. Pab = œ . Pzu -------> Pzu =
=
= 4329,4 W
0,85
P zu
—
Leistungsdreieck
Q
S
“
PW = Pzu
S=U.I
S = 220 V . 26 A
S = 5720 VA (Scheinleistung ‰ Gesamtleistung)
cos “ =
P zu
=
S
4329,4
= 0,756 ---------> TR ‰ Taste cos-1 -----> “ = 40,80
5720
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Wir zeichnen das Kompesationsdreieck
Iw
“'
Ib '
“
IC
I
Anwendung der Winkelfunktionen, um Ib (Blindstrom zu ermitteln.
Ib
------> nach Ib l‚sen.--------> Ib = I . sin “ -------> Ib = 26 A . sin (40,80)
I
Ib = 26 A. 0,653 -----> Ib = 16,98 A
Der Blindstrom entspricht dem Strom durch den
Kondensator Ib = IC. (Vollständige Kompensation)
sin “ =
C=
C=
IC
------> ƒ (Kreisfrequenz) = 2. … .f ---------> f = 50 Hz bei Wechselstrom
U. •
16,98 A
16,98 A
=
= 0,000245677 F = 245,67 ΠF
220V.2.•.50
69115,03
Dreiphasen-Wechselstrom
Erzeugung einer Dreiphasen-Wechselspannung
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
2007/08
123
U1
Spule 2
Drehrichtung
Anker mit
Drahtwicklung
Spule 1
S
N
Die Spulen stehen in
einem Winkel von 1200
zueinander - Linkssystem
U2
U3
Spule 3
Spannung
Schematische Darstellung
der Erzeugung einer Drehspannung
mittels eines Drehstromgenerators
Positiver
Scheitelwert
Zeit
Spitze-Tal-Wert
Negativer
Scheitelwert
Periodendauer T
Eine Spule rotiert (mathematisch positiv) in einem Magnetfeld (homogen) eines
Permanentmagneten. In der Spule wird eine sinusförmige Spannung induziert.
Wenn man 3 Spulen 1200-ig anordnet und in der Mitte ein ein Dauermagneten drehbar anordnet,
entsteht bei Drehung des Magneten ein magnetisches Drehfeld, welches in den 3 Spulen (Stränge)
phasenverschobene Wechselspannungen induziert.
In den 3 um 1200 versetzt angeordneten Spulen werden Wechselspannungen induziert, die um 1200
gegeneinander verschoben sind.
Wenn sich ein Pol des Dauermagneten an einer Spule vorbei bewegt, werden die Maximalwete
(Scheitelwerte) erreicht, weil die Flussänderungsgeschwindigkeit hier am größten ist. Der Nordpol
induziert eine positive und der Südpol eine negative Induktionsspannung.
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U1
U2
U3
120,00°
120,00°
90
180
270
360
120,00°
1200
Zeigerdiagramm
1200
1200
Liniendiagramm
Die Stranganfänge der Spulen werden mit U1, V1, W1 und die Strangenden mit U2, V2 und W2
bezeichnet.
Bei der hier verteilten Energie sind nur 4 Leitungen notwendig und nicht sechs, wie es den
Anschein hat. Das macht eine Zusammenschaltung von 3 Strängen notwendig. Diese
Zusammenschaltung bezeichnet man Verkettung.
Aus dieser Verkettung ergeben sich 2 Schaltungsarten:
ΠSternschaltung
ΠDreieckschaltung
Sternschaltung – symmetrische Last
U1
Sternpunkt
U2
W2
Betrachtung bei Nichtverkettung
V2
W1
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V1
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U1 U 2
60,00–
W2
W1
V1
V2
Alle drei Widerst€nde (Spulen / Str€nge) sind
gleich gro•, daher ist f„r jeden Winkel (“ oder
ƒt im Bogenma•) - jeder Zeitpunkt ‰ die
geometrische Summe der Spannungen Null.
Bei ohmscher Belastung sind die Str‚me in
den Str€ngen mit den Spannungen in Phase.
F„r ƒt = …/2 (“ = 900) ist die Summe der drei
Str‚me Null. Es handelt sich hier um
Augenblickswerte (i1 + i2 + i3 = 0
Daher ist in den 3 Leitern, die von U2, V2 und W2 ausgehen, die Summe der Str‚me Null. U2, V2 und
W2 k‚nnen daher zu einem Leiter, den Mittelpunktsleiter (Neutralleiter) zusammen gefasst werden
(verkettet). Erzeuger und Verbraucher sind in Stern geschaltet. Im Neutralleiter flie•t kein Strom.
Der Neutralleiter (N-Leiter) wird als Mittelpunkleiter, U1, V1 und W1 werden als Au•enleiter (L1, L2
und L3) bezeichnet.
Durch diese Verkettung von U2, V2 und W2 des Generators ist aus drei unabh€ngigen
Wechselstromkreisen die so genannte Sternschaltung entstanden.
Messbare Gr‚•en sind:
ΠStrangspannungen : U1, U2, U3
Œ Au•enleiterspannungen: U12, U23, U31
Der Maschenumlauf fu•t auf das
2. Kirchhoffsche Gesetz, welches
besagt, dass die Summe (ž) der
L1
I1
Spannungen in einer
geschlossenen Netzmasche Null
ist.
U1
U1
R1
U12
N
L2
U3
IN
I2
U2
R3
U2
R2
U3
U 23
L3
I3
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126
Außenleiterspannung ist die Spannung zwischen den
Außenleitern (L1, L2 und L3).
Strangspannung (U12 , U23, U31) ist die Spannung an den
Strängen
L1
U1
U 12
U2
Maschenregel – Umlaufsinn:
U 1 + (-U2) = U 1 – U 2
N
L2
Die Außenleiterspannung ist geometrische Differenz der Strangspannungen, da es sich ja um
Wechselgrößen handelt.
Sinnvoller ist die geometrische Subtraktion mit Hilfe des Zeigerdiagramms, wobei man mit den
Effektivwerten arbeitet.
U2
120,00°
N
U1
120,00°
Durch Parallelverschiebung der
Pfannungspfeile kann man eine geometrische
Subtraktion durchführen.
120,00°
U3
U3
U 12
N
U1
-U2
U1
U2
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U2
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127
Nun wollen wir den Sachverhalt ein wenig aus mathematischer Sicht betrachten.
L2
U12
1200
U 12
2
L1
U2
600
300
U1
N
Wir erkennen eindeutig ein rechtwinkeliges Dreieck, in dem wir die Winkelfunktionen
(Beziehungen) anwenden können.
U 12
2 ------> wir lösen den Doppelbruch auf.
U1
0
cos (30 ) =
cos (300 ) . U1 =
U1 =
U1 =
U 12
2.cos30
0
U 12
--------> nach U1 auflösen ------> 2 . U1 . cos (300) = U12
2
-------> cos (300) = 0,866 --------> 2. 0,866 = 1,732 ----->
€3
U 12
--------> Nun ist es möglich, die Außenleiterspannung U12 zu ermitteln.
€3
U12 = U1 .
€3
Genauso kann man U23 und U31 ermitteln.
U23 = U2 .
€3
€3
und U31 = U3 .
€3
Wird als Verkettungsfaktor bezeichnet.
Bei der Sternschaltung stimmen Außenleiterstrom und Strangstrom überein
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128
Wenn beispielsweise die Strangwiderstände jeweils 100 O betragen und die Starngspannungen
jeweils 230 V betragen, sind die Ströme folgendermaßen zu ermitteln:
U1
230V
= 2,3 A
=
100 ’
R
U2
230V
= 2,3 A
=
100 ’
R
U3
230V
=
= 2,3 A
100 ’
R
I1 =
I2 =
I3 =
Da eine rein ohmsche Belöastung vorliegt, sind die Ströme mit den Strangspannungen in Phase.
(Phasenverschiebungswinkel f = 00).
Da eine symmetrische Belastung vorliegt – die geometrische Summe der Außenleiterströme
(Strangströme) Null ist, ergibt sich ein geschlossenes gleichseitiges Dreieck. IN = 0. Daher kann bei
symmetrischer Belastung (Alle Widerstände , Scheinwiderstände gleich) der N-Leiter
vernachlässigt werden.
Beachten Sie, dass der N-Leiter nicht als Nullleiter bezeichnet wird. (Verwechslungsgefahr).
Nun ein Beispiel zum besseren Verständnis:
Geg.: R = 115 O ; XL (induktive Last)= 115 O ; U1 = U2 = U3
Ermitteln Sie den Strom im Neutralleiter (IN)
Œ
Zunächst ermitteln wir den Scheinwiderstand (Z) – Widerstandsdreieck zeichnen.
Z
XL
f
R
€ R ŠX
2
Z=
Œ
2
L
=
€ 1152Š115 2
=
€ 26450
= 162,63 O
Zeichnen der Sternschaltung (Zeigerdiagramm)
U2
120,00°
U1
I1 = I2 = I3
120,00°
120,00°
U3
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U1
=
Z
I1 = I2 = I3 =
Œ
U2
=
Z
U3
=
Z
230V
= 1,41 A
162,63 ’
Jetzt muss noch der Phasenverschiebungswinkel (f ) ermittelt werden
cos f =
R
=
Z
115 ’
= 0,707 -----> TR – Taste cos-1 -----> f = 44,990
162,63 ’
Beachten Sie, dass bei einer induktiven Last der Strom der Spannung nacheilt. Die
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung beträgt 44,990. Der Strom eilt der Spannung
um 44,990 nach.
Sternschaltung – unsymmetrische Last
Bei einer unsymmetrischen Last sind die Strangwiderstände unterschiedlich groß. Durch diesen
Zustand sind die Strangströme unterschiedlich groß. Im N-Leiter fließt plötzlich Strom.
An jedem Strang liegt aber die Strangspannung von 230 V
U 12
U1 = U2 = U3 =
= 230 V. Dadurch kann man die einzelnen Strangströme ermitteln.
€3
R1
I1
L1
U12
L2
U 23
L3
R2
I2
U 31
R3
I3
U1
U2
N
U3
IN
R1 = 100 O; R2 = 230 O; R3 = 57 O Es können die einzelenen Ströme ermittelt werden.
I1 =
I2 =
I3 =
U1
230V
=
= 2,3 A
100
’
R1
U2
230V
=
= 1,0 A
230
’
R2
U3
230V
=
= 4,03 A
57 ’
R3
Die Strangströme sind verschieden groß, weil die Belastung unsymmetrisch ist. Die Widerstände
sind ungleich groß.
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I2
L2
I2
I3
U 12
IN
L1
U2
U1
I1
U 23
N
Mit Neutralleiter
U3
U31
Zeigerdiagramm
I3
Es tritt ein Strom im Neutralleiter auf.
L3
+j
N
+
Wenn bei einer unsymmetrsichen Belastung kein Neutralleiter angeschlossen ist, bleiben die
Außenleiterspannungen (U12, U23, U31) konstant. Die Widerstände bestimmen die Strangspannungen
(U1, U2, U3). Aus diesem Grund wird der Sternpunkt (N) verschoben.
Beachten Sie aber, dass eine unsymmetrische Belastung ohne Neutralleiter vermieden werden soll,
da am Strang mit der geringsten Belastung Überspannungen auftreten können.
Ein Außenleiter fällt aus
Wie sieht es aus, wenn bei einer Sternschaltung ein Außenleiter aus irgendeinem Grund ausfällt.?
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L1
R2
I2
L2
U2
U 23
R3
I3
L3
IN
N
I2 =
U2
; I3 =
R2
stromlos
R1
U3
R3
U3
IN = geometrische Summe von I2 und I3.
Die beiden restlichen Stränge bilden eine Reihenschaltung. Durch beide Widerstände (R2 und R3)
fließt derselbe Strom -----> I2 = I3.
Nähere Betrachtungsweise der Leiterspannungen (Außenleiter)
Die Leiterspannungen folgen bez. Betrag und Richtung aus der komplexen Anwendung heraus den
2. Kirchhoffschen Regeln.
Die Summe aller Spannungen ist Null. Sehen wir uns das näher an.
+j
U1N
U31
U12
U 12
Zeigerdiagramm
U 1N
N
+
U 2N
U 3N
U 2N
U23
Wir wenden nun das 2. Kirchhoffsche Gesetz an: (3 Dreiecke)
U12 + U2N – U1N = 0
U23 + U3N – U2N = 0
U31 + U1N – U3N = 0
Das gleiche wende wir auf die beiden anderen Dreiecke an.
------> daraus lässt sich die Außenleiterspannung ermitteln.
U12 = -U2N + U1N ------------>U12 = U1N - U2N
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U23 = -U3N + U2N ------------>U23 = U2N - U3N
U31 = -U1N + U3N ------------>U31 = U3N – U1N
Wir erkennen ein gleichseitiges Dreieck, welches im Zeigerdiagramm durch die Leiterspannungen
U12, U23 und U31 gebildet wird. Geometrisch erkennen wir den Zusammenhang zwischen
Sternspannung (U1N, U2N und U3N) und Leiterspannung (U12, U23 und U31).
U1 =
U1 =
U 12
2.cos†300 ‡
-------> cos (300) = 0,866 --------> 2. 0,866 = 1,732 -----> € 3
U 12
--------> Nun ist es möglich, die Außenleiterspannung U12 zu ermitteln.
€3
U12 = U1 .
€3
Allgemeine betrachtet:
U = Ustern .
€3
U: Leiterspannungen
Ustern: jeweilige Sternspannung
€ 3 : Verkettungsfaktor
Beispiel im Drehstromsystem:
Wenn U = 400 V beträgt, ist die Sternspannung um den Verkettungsfaktor kleiner:
Ustern(U1) =
U 12 †U ‡ Leiterspannung
=
€3
400V
= 230,9 V ~ 231 V.
€3
+j
U1N
U12
90,00°
+
120,00°
0
210
U 3N
-300 Oder
U 2N
3300
00 U 23
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Linkssytem
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In Versorform ausgedrückt:
U1N = U1N € 900 = 231 V € 900
U2N = U2N € -300 = 231 V € -300
U3N = U3N € 2100 = 231 V € 2100
Leiterspannungen in Versorform
U 12 = U12 (U) € 1200 = 400 V €•‚00
U 23 = U23 (U) € 00 = 400 V €00
U 31 = U31 (U) € 2400 = 400 V €2400
Die Art der Schaltung und die Art des Netzes bestimmen die Spannungen an der Impedanz (Last).
Die Spannung an der Last wird Strangspannung und der zugehörige Strom Strangstrom bezeichnet.
Zur Festigung:
Bei symmetrischer Last (Sternschaltung) gilt:
Œ
Œ
Œ
Œ
Z1 = Z2 = Z3
U1 = U2 = U3 = Ustrang (U1N, U2N, U3N) = Strangspannungen
I1 = I2 = I3 = I (Strangströme)
IN = I 0 = 0
Man könnte die symmetrische Sternschaltung als dreifache Einphasenschaltung, welche einen
gemeinsamen Rückleiter hat, bezeichnen und diese auch rechnerisch erfassen.
Ein Beispiel soll diesen Sachverhalt veranschaulichen.
Es liegt ein Drehstromsystem, welches eine symmetrische Sternschaltung darstellt, vor.
U (Außenleiterspannung) = 400 V
Z1 = Z2 = Z3 = 80 O € 600
Berechnen Sie die Ströme und zeichnen Sie das Zeigerdiagramm:
+j
U1N
N
U3N
Œ
+
U2N
Spannungssystem festlegen:
U1N = 213 V € 900
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134
U2N = 213 V € -300
U3N = 213 V € 2100
Œ
Jetzt berechnen wir die Leiterstr‚me, wobei wir das ohmsche Gesetz anwenden.
U 1N
231V–900
=
= 2,8875 A € (900 ‰ 600) = 2,89 A € 300
0
Z1
80 ’–60
Dasselbe nun mit den beiden anderen Strangstr‚men:
0
U 2N
= 231V–‹30 = 2,8875 A €(-300 ‰ 600) = 2,89 A € -900
I2N (I2) =
Z2
80 ’–600
I1N (I1) =
I3N (I3) =
U 3N
=
Z3
231V–2100
= 2,8875 A € (2100 ‰ 600) = 2,89 A € 1500
0
80 ’–60
Wir erkennen sofort, dass alle drei Strangstr‚me gleich gro• sind, aber die Richtung anders.
Œ
Zeichnerische Darstellung
I1
I3
I3
I2
Geometrische Addition ‰ Das
Ergebnis w€re im math. Sinne
der Nullvektor. --> IN = I0 = 0
I2
I1 + I2 + I3 = 0
Nun wollen wir bei gegeben Strangstr‚men die Strangspannungen berechnen.
Z1 = Z2 = Z3 = 100 ˜ € 00 oder nur 100 Ÿ
I1 = I2 = I3 (Strangstr‚me) = 0,577 A
Wir wenden das ophmsche Gesetz an:
U1N (U1) = I1N (I1) . Z1 = 0,577A .100 Ÿ = 57,7 V
Da die Strangspannungen gleich sind (symmetrisches System) gilt U1N = U2N = U3N
Leiterspannung = Sternspannung . Verkettungsfaktor
U (U12, U23, U31) = Ustern . € 3 = 57,7 V . € 3 = 99,93 V
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135
U = U12 = U23 = U31 = 99,93 V. (Außenleiterspannungen)
Unsymmetrische Last (Impedanz)
Bei einer unsymmetrischen Last (Impedanz) sind die Widerstände in den Strängen nicht gleich. Es
tritt ein IN (Neutralleiterstrom) auf. Man spricht von einem 4-Leitersystem. Auch hier sinbd die
Strangspannungen um 1200 zeitlich versetzt. Durch die unterschiedlichen Impetanzen ergeben sich
auch verschieden Leiterströme. Der Betrag und der Phasenverschiebunhswinkel sind nicht gleich.
Die Summe der Leiterströme ist ungleich Null (I1 + I2 + I3 ƒ 0)
+j
90,00°
120,00°
+
Ustrang = Ustern
U1
Z1
L1
U2
Z2
U3
Z3
L2
L3
N
IN
U1 = U1N
U2 = U2N
U3 = U3N
IN € 0
Wenn der Neutralleiter im 4-Leiter-Netz unterbrochen wird, wird der Verbraucher zerstört, weil IN €
0 ist.
Durch die unterschiedlichen Impedanzen sind auch die Strangströme ungleich: I1 € I2 € I3.
Auch in diesem Fall kann man das System als 3 Einphasensystem betrachten, welches einen
gemeinsamen Rückleiter besitzt und berechnet werden kann.
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2007/08
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Ein Beispiel soll dies veranschaulichen.
3 0, 1 7°
+j
V€
21 0
0
Es liegt ein 4-Leiter-Netz mit unsymmetrischer Belastung (Impedanz) vor. Berechne die
Strangströme und zeichnen Sie das Zeigerdiagramm.
Z1 = 50 O € 200; Z2 = 60 O € -700; Z3 = 80 O € 700;
ΠWir legen das Spannungssystem fest. (Erinnere Dich? - oben dargestellt)
U1N = 231 V € 900
N
3N
U
=2
31
U1N
U3N
+
U 2N
U2N = 231 V € -300
Œ
Die Leiterströme berechnen wir mit dem ohmschen Gesetz:
U 1N
I1 (I1N) =
=
Z1
U 2N
I2 (I2N) =
=
Z2
= 3,85 A € 400
I3 (I3N) =
Œ
U 3N
=
Z3
231V–900
= 4,62 A € (900 – 200) = 4,62 A € 700
0
50 ’–20
231V–‹30 0
= 3,85 A € (-300 –(- 700) = 3,85 A € (-300 + 700) =
0
60 ’–‹70
231V–2100
= 2,887 A € (2100 - 700) = 2,887 A € 1400
80 ’–70 0
Nun können wir das Zeigerdiagramm zeichnen.
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2007/08
137
I3
I2
S
Q
I1
Geometrische Addition der
Zeiger (Strangströme)
I3
P
I2
ca. -1040
IN = I0
Die Summe aller Ströme ist Null -----> I1 + I2 + I3 + IN = 0 -------> IN = - (I1 + I2 + I3 )
IN = - (4,62 A € 700 + 3,85 A € 400 +2,887 A € 1400 )
Um besser rechnen zu können, ist es bei der Addition zweckmäßig, in der Komponentendarstellung
zu rechnen.
Erinnern Sie sich noch? Wie kann man von der Versorform in die Komponentenform umwandeln?
I1: Z = Z.(cos f + j sin f ------> allgemeine Impedanz
I1 = I1 (cos f + j sin f ) = 4,62(cos 700 + j sin 700) = 4,62 (0,34 + 0,93) = 1,57 A + j 4,30 A
I2 = I2 (cos f + j sin f ) = 3,85(cos 400 + j sin 400) = 3,85 (0,76 + 0,64) = 2,93 A + j 2,46 A
I3 = I3 (cos f + j sin f ) = 2,89(cos 1400 + j sin 1400) = 2,89 (-0,76 + 0,642) = -2,20 A + j 1,855 A
Jetzt kann man die arithmetische Addition durchführen.
IN = - [(1,57 A + j 4,30 A) + (2,93 A + j 2,46 A) + (-2,20 A + j 1,855 A)] =
IN = -[(1,57A + 2,93A – 2,20A) + j(4,30 + 2,46 + 1,855)]
IN = - (2,3 A + j 8,61) = - 2,3 – j 8,615
Jetzt wandeln wir wieder in die Polarform um
1
L1
L1
2
L2
L3
Œ
3
L2
L3
Zunächst den Betrag ermitteln:
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138
Anwendung des Pythagoras: I =
= € 79,51 = 8,92 A
€ a 2Šb2
=
€ 2,3 2Š8,612
=
€ 5,29Š74,218
=
1 2 00
, 0°
Jetzt muss nur mehr der Phasenverschiebungswinkel (Tangens) ermittelt werden. Dazu
verwenden wir die Winkelfunktionen
‹8,615
arctan f =
= 3,745----> TR Taste tan-1 ----> f = 75,300 -----> liegt im III.
‹2,3
Quadranten
Œ
Z = 8,92 A € -75,300
Versuchen Sie es selbst:
Von einer unsymmetrischen Sternschaltung mit ohmscher Last (4-Leiter-System) mit einer
Spannung U = 400V sind folgende Ströme bekannt:
I1 = 3,5 A
I2 = 4,6A
I3 = 2,4 A
Berechnen Sie die Widerstände und den Neutralleiterstrom.
Lösung:
Die Ströme haben gleiche Phasenlage, weil eine ohmsche Last vorliegt. Daher kann auch der
Neutralleiterstrom ermittelt werden.
I1 = 3,5 A € 900
I2 = 4,6A € -300
I3 = 2,4 A € 2100
R1 =
R2 =
R3 =
U 1N
=
I1
U 2N
=
I2
U 2N
=
I2
231V
= 66 O
3,5 A
231V
= 50,3 O
4,6 A
231V
= 96,3 O
2,4 A
IN = - (I1+I2+I3)
IN = -(3,5 A € 900 + 4,6A € -300 +2,4 A € 2100 ) = 1,91 A € 1800
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2007/08
139
Dreieckschaltung -symmetrische Last
Die Leiterspannungen (U) sind gleich den Strangspannungen. Die Leiterströme (Außenleiterströme)
S
Q
P
verzweigen sich in 2 Strangströme. Die Strangströme sind jeweils um 1200 verschoben.
I1
L1
Istr1 = I12
U31 = U
Ustr1
U12 = U
I3
L3
L2
U23 = U
I2
Bei symmetrischer Belastung sind die Strangströme um den Verkettungsfaktor (
I1 = I12
+j
I2 = I23
) kleiner.
Außenleiteröme
I3 = I31
I1
I3
€3
90,00°
120,00°
+
I2
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2007/08
140
IStr
IStr
IStr
IStr
IStr
I3/2
Zeigerdiagramm der Ströme
300
cos Ž=
I3 = I31
Außenleiterstrom
30,00°
Ankathete
Hypothenuse
Wir können wieder die Winkelfunktionen anwenden. Es liegt ein rechtwinkeliges Dreieck vor.
I3
I3
2
cos 300 =
------> Doppelbruch auflösen: cos 300 =
----> nach I3 auflösen.
I Str
2.I Str
1
0
2.IStr . cos 30 = I3 -------> 2.IStr . 0,866 = I3 -------> I3 = 1,732 . Istr -----> I3 = € 3 . IStr.
Damit ist es möglich, bei symmetrischer Last die Außenleiterströme zu bestimmen.
(Z1 = Z2 = Z3)
U = Ustr
Leiterspannung
Ustr =
Stranspannung
I = I1 = I2 = I3 (Außenleiterströme) = € 3 . Istr.
I
Leiterstrom (Außenleiter)
Istr
Strangstrom
Dazu ein Anschauungsbeispiel:
Ein Dreileiter-Drehstromnetz hat eine Leiterspannung von 400 V/ 50 Hz. Es besitzt drei
Wirkwiderstände von je 44 O . Eine Dreieckschaltung liegt vor.
Berechnen Sie die Strangspannungen, Strangströme und die Leiterströme:
Œ
Œ
Œ
Ustr1 = Ustr2 = Ustr3 = 400 V
U Str
Istr1 = Istr2 = Istr3 =
=
RStr
Berechne die Leiterströme
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
400V
= 9,09 A
44 ’
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I1 = I 2 = I 3 =
€3
. Istr =
€3
. 9,09 = 15,75 A
Dreiphasenstrom-Leistung
Die gesamte Drehstromleistung ist die Summe der drei Strangleistungen. Bei symmetrischer
Belastung ist sie das 3-fache der Strangleistung.
Beachten Sie aber, dass bei ungleicher Belastung die Scheinleistungen nur geometrisch addiert
werden sollen.
Erinnern Sie sich noch an das Leistungsdreieck
S = U . I ------>
Scheinleistung
S = U . I . €3
Q = --------->
Blindleistung
Q = sin f . S . € 3
P = ---------->
Wirkleistung
P = cos f . S . € 3
Jetzt muss man noch den Verkettungsfaktor € 3 berücksichtigen.
Dazu ein Beispiel:
F Phasenverschiebungswinkel
Ein Drehstrommotor nimmt an einer Leiterspannung von 400 V bei einem Wirkleistungsfaktor von
0,87 einen Strom von 11,2 A auf.
Berechnen Sie die Gesamtleistung (P) die Blindleistung (Q) und die gesamte Scheinleistung (S).
cos f = 0,87
Œ
Œ
Œ
P = € 3 cos f . S . = € 3 . 0,87 . U . I = € 3 . 0.87 . 400 V . 11,2 A = 6750, 84 W
cos f = 0,87 -----> TR Taste cos-1 f = 29,540 -----> sin f = 0,493
Q = sin f . U . I . € 3 -------> Q = 0,493 . 400 . 11.2 . € 3 = 3825,72 var
S = U . I . € 3 = 400 V . 11,2 A . € 3 = 7759,58 VA
Bei symmetrischer Belastung in Stern- bzw. Dreieckschaltung:
Bei unsymmetrischer Belastung in Stern / Dreieckschaltung muss man zusätzlich die geometrische
Addition beachten (Pythagoras)
P = Pstr1 + Pstr2 + Pstr3
Pstr1 = Ustr1 . Istr1 . cos f
U Str1
Istr1 =
Z Str1
Pythagoras
S = € ˜ P 2Š˜ Q 2
Istr
Ustr
cos f
U
I
S
Strangstrom
Strangspannung
Wirkleistungsfaktor
Leiterspannung (Außenleiter)
Leiterstrom (Außenleiter)
Gesamtscheinleistung
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
Symmetrische Last: Stern oder Dreieck
P = 3 . Pstr
P = v3 . S . cos f
Pstr = Ustr . I . cos f
Q = v3 . S . sin f
S = v3 . U . I
Bei Stern ->Dreieck
PDreieck = 3 . Pstern
SDreieck = 3 SStern
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Q
sin f
cos f
Pstern
PDreieck
Sstern
SDreieck
Zstr
Gesamtblindleistung
Blindleistungsfaktor
Leistungsfaktor
Wirkleistung in Sternschaltung
Wirkleistung in Dreieckschaltung
Scheinleistung in Sternschaltung
Scheinleistung in Dreieckschaltung
Strangscheinwiederstand
Ein weiteres Übungsbeispiel:
Drei gleich große Wirkwiderstände (50 O ) liegen in Sternschaltung an einem Drehstromnetz 400
V.
Berechnen Sie
Πden Strangstrom
Πden Leiterstrom
Πdie Strangwirkleistung
Πdie gesamte Wirkleistung
Strangstrom:
Istr =
U Str
=
RStr
400V
= 4,61 A
€ 3.50 ’
Leiterstrom:
I = Istr = 4,62 A ------> weil alle drei Wirkwiderstände gleich groß sind (symmetrische Last)
Strangwirkleistung:
Pstr = Ustr . Istr =
400V
. 4,61 A = 1064,63 W
€3
Gesamtwirkleistung
P = 3 . Pstr = 3. 1064,63 W = 3193,90 W
Denken Sie an das Leistungsdreieck:
Scheinleistung = U . I
f
P
cos f =
S
Q
sin f =
S
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
Blindleistung
Wirkleistung = U . I . „3
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Praktisches Beispiel:
In einer Schaltanlage werden an einem 400 V-Drehstromnetz folgende Werte gemessen:
U = 382 V
I = 115,4 A
cos f = 0,8 ---------> f = 36,870
Berechnen Sie:
Πdie Scheinleistung (S)
Πdie Wirkleistung (P)
Πdie Blindleistung (Q)
Πdie elektrische Arbeit (W) in 8 Stunden
Scheinleistung (S):
S = U . I . € 3 (Verkettungsfaktor)
S = 382 V . 115,4 A . € 3 = 76353,65 VA
Wirkleistung (P)
P = S . cos f = 76353,65 VA . 0,8 = 61082,92 W
Blindleistung (Q)
Q = S . sin f ------> ACHTUNG zuerst umrechnen sin (36,870) = 0,6
Q = 76353,65 VA . 0,6 = 45812,30 var
Elektrische Arbeit (W)
W = P . t = 61082,92 . 8 = 488663,36 Wh = 488,66 kWh
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
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Literaturliste
Rechenbuch Elektrotechnik; Europaverlag; 14. Auflage
Grundlagen der Elektrotechnik, Verlag Oldenburg; Deimel, Hasenzagl, Krikava, Rihswurm, Seiser
Mechatronik Grundstufe; Bildungsverlag Eins; Elpers, Meyer, Meyer, Marquart, Nabbefeld,
Skornitzke, Willner, Ruwe.
Der leichte Einstieg in die Mechatronik, Franzis-Verlag; Bo Hanus
Grundkenntnisse Elektrotechnik; Handwerk und Technik;Dieter Baumann, Klaus Beuth, Rudolf
Glass, Richard Hanebuth, Eugen Huber, Peter Jordan, Roland
Poppe, Wolfgang Schmidt, Herbert Werner, Alfred Wunderlin.
Fachkunde Elektrotechnik; Europa-Verlag; 20. Auflage, 1994; Tech. OL Peter Bastian, DI(FH)
Hans-Ulrich Braugner, DI Päd. Jürgen Manderla, Prof. DI
Hans Albrecht Schwarz, DI (FH) Otto Spielvogel, Prof. Dr.
Günter Springer, DI Gwl. Frank-Dieter Stricker, DI (FH) Klaus
Tkotz, Fachstudienrat Franz Wilde.
Praxisbuch Metall-Elektro; Verlag Jugend & Volk (Bohmann); Thomas Gnedt, Johann Krafczyk,
Josef Lidinger, Karl Semrad; ISBN 3-7002-1434-0
Technisches Seminar Elektro; Verlag Jugend & Volk (Bohmann); Dr. Franz Neufingerl, DP Ing.
Thomas Gnedt, DP SR Johann Krafczyk; ISBN 3-7002-1334-4
Dipl. Päd. SR Johann Krafczyk
2007/08