Haushalte

Einleitung
I
Modell über die Entscheidungen von Haushalten
(Konsumenten, Individuen, Wirtschaftssubjekte, Menschen)
I
Gesetz der Nachfrage: Nachfragekurven haben eine negative
Steigung, d.h. wenn der Preis steigt, fällt die nachgefragte
Menge
I
analytisches Ziel: ein Modellrahmen, der es ermöglicht, diese
Beobachtung zu replizieren
I
I
Beginnen dazu auf der Mikroebene“, d.h. bei Individuen
”
Hauptfrage: Wie treffen Individuen Entscheidungen?
I
Anders formuliert: Wovon hängen Entscheidungen ab?
I
Vorhersage von (aggregierten) Entscheidungen, vor allem
Nachfrage nach Gütern
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Präferenzen
Modellierung der Haushaltstheorie auf Basis der Vorlieben eines
Individuums
eine Alternative besteht aus einer Liste von möglichen Mengen
aller Güter, die einer Person zur Auswahl stehen:
(Menge an Fischen, Menge an Semmeln, . . . , Menge an Autos,
Quadratmeter der Wohnung, . . . , Kinobesuche) =
(x1 , x2 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn )
Präferenzen einer Person bestimmen, welches von zwei solchen
Güterbündeln eine Person besser findet, für alle Paarkombinationen
von möglichen Bündeln, ausgedrückt durch ‘”“
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Annahmen über Präferenzen (1)
eine Vergleichbarkeit besteht zwischen allen Güterbündeln x, y ∈ X
(X ist die Menge der Alternativen), auf Basis der binären Relation
, ist mindestens so gut wie“; sie heißt rational“, wenn sie
”
”
vollständig und transitiv ist
Annahme 1: Vollständigkeit
Zwei Güterbündel lassen sich immer ordnen, durch eine der
Relationen:
a. x y , x ist besser als (wird bevorzugt gegenüber) y
b. x y , x ist mindestens so gut wie y
c. x ∼ y , es herrscht Indifferenz bei der Wahl zw. x und y
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Annahmen über Präferenzen (2)
Annahme 2: Transitivität
Aus x y und y z folgt x z.
Zur Vermeidung solcher
Reihungen:
x y z x y ...
Entscheidung wäre nie möglich! Ich nehme y , weil y z; oder
”
nein, x, weil x y , oder noch besser, z, weil z x; warte, ich
nehme y , weil y ist besser als z, oder doch . . .
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Wozu Annahmen über Präferenzen?
Wozu sind diese Annahmen nötig? Ist das nicht logisch“?
”
Problem: hinter menschlichen Entscheidungen läßt sich zwar oft
eine Ratio“ finden, aber nicht immer. Ein kleines Beispiel zur
”
Illustration (Bsp. von Kahnemann & Tversky, 1979; s. Kreps, 1990,
S.20):
Verantwortlicher Arzt erfährt von Grippeepidemie, die im nächsten
Winter bevorsteht. 2 verschiedene Fragestellungen wurden zwei
verschiedenen Gruppen vorgelegt:
Fragestellung A
I
I
600 sterben
2 mögliche Impfprogramme:
1. 400 überleben, oder
2. 0 mit p = 1/3 und 600 mit
p = 2/3.
Fragestellung B
I
I
600 sterben
2 mögliche Impfprogramme:
1. 200 sterben mit Sicherheit, oder
2. 600 sterben mit p = 1/3 und 0
sterben mit p = 2/3.
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Wozu Annahmen über Präferenzen?
Mehrheitsantwort unter medizinischen Fachleuten: Programm 1 bei
Formulierung 1, Programm 2 bei Formulierung 2 – obwohl kein
Unterschied. (Anm.: Das Problem entsteht dadurch, dass man aus
dem Versuch schließt, dass auch ein und die selbe Person
unterschiedliche Entscheidungen treffen könnte unter rational
betrachtet gleichen Bedingungen.)
Die Frage: Wie treffen Menschen ihre Entscheidungen“ scheint
”
noch nicht geklärt. Prognosen sind oft sehr schlecht möglich.
Aktuelles Feld, das sich mit solchen Fragen im Bereich der
Ökonomie und Psychologie beschäftigt: Behavioural Economics“.
”
Zusammenfassend: Solche Fälle ( Framing“) und andere von
”
Irrationalität schließen wir aus unserer Theorie aus; hoffen, dass sie
selten sind.
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Weitere Annahmen über Präferenzen (1)
Wenn ein Gut gut“ ist, dann ist es immer besser, mehr davon zu
”
haben. Es gibt keine Sättigung mit einem Gut.
Annahme 3: Monotonie
Wenn y ≥ x, d.h. mindestens ein Element in y ist größer als in x,
dann gilt y x.
Die Indifferenzmenge eines Güterbündels ist die Menge aller
Güterbündel, die gleich gut ist: y ∈ X : y ∼ x. Dann kann man die
Menge aller Güterbündel, die mindestens so gut sind, den Namen
Über-Niveau-Menge“ 1 geben, definiert als y ∈ X : y x.
”
1
upper contour set, upper level set;
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Weitere Annahmen über Präferenzen (2)
Annahme 4: Konvexität
Die Über-Niveau-Menge eines jeden Güterbündels x ist konvex:
wenn y x und z x, y 6= z, dann ist, für ein α ∈ (0, 1),
αy + (1 − α)z x.
D.h. Mischungen von Güterbündeln werden bevorzugt gegenüber
extremen“ Güterbündeln.
”
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Präferenzen und Nutzenfunktion
Wenn diese Annahmen gelten (plus Stetigkeit der
Präferenzordnung), dann können die Präferenzen einer Person
durch eine Funktion dargestellt werden, die Nutzenfunktion“
”
genannt wird. Das ist sehr praktisch für analytische Zwecke, z.B.
Herleitung einer Nachfragefunktion xi = xi (pi ) für ein Gut xi .
Die Nutzenfunktion u ordnet jedem Güterbündel eine Rangzahl zu:
u : X → R. Die Rangzahl spiegelt die Präferenzen insofern wider,
dass einem besseren Bündel ein höherer Wert zugeschrieben wird:
x y ⇔ u(x) > u(y ).
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Beispiel
Wegen Monotonie ist schon klar, dass Bündel in B schlechter sind
als Bündel in A. Die Präferenzen einer Person sagen uns, wie a, b
und c in Relation zu e stehen. Z.B. kann die Person solche
Präferenzen haben: a ∼ c ∼ e. Die drei Bündel sind gleich gut,
liegen in der gleichen Indifferenzmenge, und haben den gleichen
Nutzen“, also Wert der Nutzenfunktion. Der Indifferenzmenge
”
entspricht eine Indifferenzkurve: u(x) = ū.
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Indifferenzkurve
Eine einzelne Indifferenzkurve, die ein konstantes Nutzenniveau
aufweist.
Für eine Person ist es das beste, wenn sie von allen möglichen
Güterbündeln das beste auswählt. Das ist jetzt äquivalent zu dem
Ziel, einen möglichst großen Nutzen zu haben, ein möglichst hohes
Nutzenniveau zu erreichen. Welche Bündel sind möglich?
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Cobb-Douglas-Nutzenfunktion (1)
Allgemein:
U(x, y ) = Ax α y β .
Spezieller, mit A = 1, α = 1, und β = 1:
U(x, y ) = x · y .
Z.B. konstantes Nutzenniveau von U(x, y ) = Ū = 100, alle
Kombinationen (x, y ), die die entsprechende Person gleich gut
findet.
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Cobb-Douglas-Nutzenfunktion (2)
U(x, y )
U(x, y )
Ū
⇒ 100
⇔y
=
=
=
=
=
xy
Ū
100
xy
100
x
Z.B. x Nahrungsmittel, y Kleidung; bestimmter Trade-off möglich,
aber etwas von beidem nötig. Mischungen immer besser.
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Austauschbarkeit (1)
Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen immer gleich hoch
(z.B. 100). Eine gewisse Menge von x kann ausgetauscht werden
gegen y , ohne dass der Nutzen weniger wird.
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Austauschbarkeit (2)
Das Verhältnis, zu dem man x und y gegeneinander austauschen
kann, ohne dass sich der Nutzen verändert, wird als Marginale
Rate der Substitution bezeichnet. Analog zur RTS in der
Produktionstheorie gilt auf einer Niveaulinie:
∂U
∂x
MRSi,j = − ∂Uj
∂xi
Die MRS entspricht der Relation der Grenznutzen. Grenznutzen
steht für die Veränderung des Nutzens bei einer kleinen
”
Veränderung der Menge des Gutes“:
MUi (x) =
∂U(x)
.
∂xi
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Bsp.: U(x1 , x2 ) = (x1 x2 )1/2
Nutzen werde beschrieben durch
die Funktion
U(x1 , x2 ) = (x1 x2 )
1/2
Grenznutzen ist dann:
MU1 =
.
∂U
1/2
= 1/2x1−0.5 x2 .
∂x1
Nutzen wenn ein Gut konstant,
nämlich x2 ; abnehmender
Grenznutzen von x1 .
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Beschränkungen der Konsummenge (1)
Die Wahlmöglichkeiten können durch alle Arten von Bedingungen
limitiert werden. Dann muss man die Theorie verkomplizieren und
anpassen:
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Beschränkungen der Konsummenge (2)
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Budgetbeschränkung (1)
Zurück zum Problem des Wirtschaftens: Mittel sind beschränkt,
für den Haushalt das Budget“, w . Die Beschränkung ist:
”
X
w≥
pi xi .
L
Gesamtausgaben für Bündel x bei Preisen p dürfen Budget
(Einkommen) w nicht überschreiten. Solange mehr von einem Gut
bevorzugt wird, wird das Budget ausgeschöpft (gilt wegen
Monotonieannahme für Präferenzen). Anmerkung: bei
intertemporaler Betrachtung (Lebenszeit) sinnvoll.
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Budgetbeschränkung (2)
Achsen: gesamtes Budget für ein Gut: x1 = w /p1 . Die Steigung ist
wieder eine Austauschrate: wieviel von Gut 2 muss ich aufgeben,
um (bei konstantem Einkommen, w ) eine Einheit mehr von Gut 1
kaufen zu können; − pp12 , Verhältnis der beiden Preise, wird
Marginal Rate of Transformation (MRT) genannt.
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Budgetbeschränkung (3)
Veränderung eines Preises:
Bei Verdoppelung p1 halbiert sich die Menge, die mit w gekauft
werden kann; Wirkung auf Steigung.
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Budgetbeschränkung (4)
Veränderung des Einkommens:
Verdoppelung des Ek führt zu Verdoppelung des Leistbaren. Preise
gleich → Steigung gleich.
Was passiert wenn sich Einkommen und alle Preise verdoppeln?
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Budgetbeschränkung (5)
Auch für die B. gilt: bei Anwendungen muss man an kompliziertere
Zusammensetzungen denken. Etwa:
Preis des Konsumguts sei 1; Lohnrate für die ersten 8 Stunden ist
s0 , steigt bei Überstunden auf s1 , und ab einem Einkommen von M
fallen Steuern auf das Einkommen zum Steuersatz t an.
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Entscheidung unter Nebenbedingung
Wie kann Nutzen u(x) möglichst groß werden, gegeben Güterpreise
p und Einkommen w ?
Budget liegt fest bei w . Alles darauf und darunter ist leistbar. Je
weiter ein Nutzenniveau (Indifferenzkurve) weg vom Ursprung,
desto besser. Höchstes leistbares Nutzenniveau ist das Optimum.
Dort ist MRS = MRT
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Analytische Auffindung des Optimalen Bündels
Steigung der Nutzenfunktion = Steigung der Budgetbeschränkung
MRS = MRT
∂U
∂xi
− ∂U
∂xj
=−
pi
pj
MUi
pi
=
MUj
pj
MUj
MUi
=
pi
pj
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Analytische Auffindung des Optimalen Bündels
Interpretation: sei MUi /pi > MUj /pj ; dann kann man i erhöhen
um dxi ; das kostet dxi · pi , also muss man von j aufgeben
i
; das erhöht den Nutzen, weil
dxj = − dxpi ·p
j
pi
MUi dxi + −
pj
dxi MUj > 0
MUi >
pi
MUj
pj
MUi /pi > MUj /pj
lose in Worten: die letzte konsumierte Einheit von jedem Gut muss
pro Geldeinheit im Optimum gleich viel nutzen“;
”
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Rechenbeispiel
Bsp.: Cobb-Douglas Nutzenfkt.
U(x, y ) = x α y β .
Optimales Bündel liegt dort, wo Steigung von Budgetgerade und
Nutzenfunktion gleich sind, also wo gilt MRS = MRT.
α y β y −β+1
αx α−1 y β
MUx
αy
= − α β−1 = −
=−
MUy
β x α x α−1
βx
βx y
αy
px
px
α
= − ⇔ px x = py y
MRS = − ⇔ −
py
βx
py
β
MRS = −
Die Bedingung für einen Tangentialpunkt ist festgelegt, fehlt nur
noch das Niveau, gegeben durch die Einkommenshöhe. Aus der
Budgetbeschränkung Y = px x + py y wird durch ersetzen von px x:
Y =
α
py y + py y
β
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Rechenbeispiel
α
py y + py y
β
α
Y = py y
+1
β
Y β
y =
= y ∗ = y (Y , px , py ).
py α + β
Y =
Das errechnete y ∗ ist die optimal gewählte Menge von Gut y , und
da die Individuen rational sind, werden sie diese Menge wählen. Sie
hängt im Allgemeinen vom Einkommen und von den Preisen aller
Güter ab, und stellt die individuelle Nachfragefunktion dar. (Das
bei C-D-Nutzenfunktion die Nachfrage nicht vom Preis des
anderen Gutes abhängt, ist ein Spezialfall.)
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Graphisches Beispiel
Ein Individuum gibt das Budget für 2 Güter aus, Bier und Wein.
Bierpreis sei ursprünglich pb0 = 12, pb sinkt dann.
Abbildung zeigt, wie sich
Optimum wegen
Preisänderung ändert.
Nachfrage nach Bier steigt,
wenn der Preis sinkt.
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Veränderung des Einkommens Graphisch
Zusammenhang zwischen
Einkommen, w , und Konsum
von Bier.
Nachfragekurve:
Zusammenhang zwischen Preis
und der Nachfrage.
Engelkurve: Zusammenhang
zwischen Einkommen und
Konsum.
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Güterklassifikation
Normalerweise gilt für die Nachfrage nach einem Gut wenn das
Budget steigt:
∂xi (w , p)
≥ 0.
∂w
i ist dann ein normales Gut. Kann aber auch sein, dass die
Nachfrage sinkt mit steigendem Budget (Einkommen):
∂xi (w , p)
< 0,
∂w
dann wird i ein inferiores Gut genannt. Zum Beispiel: Kartoffel,
öffentliche Verkehrsmittel.
Normale Nachfrage macht Sinn bei aggregierten Gütergruppen:
Nahrung, Kleidung, Behausung. Auf disaggregierter Ebene ist es
aber sehr plausibel, dass Güter mit niedriger Qualität bei höherem
Einkommen ersetzt werden.
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Mischform
Mischung aus Inferiorität und Normalität möglich. Bsp. Hamburger
vs. alle anderen Güter.
Zuerst ist mehr Hamburger
besser, aber wenn das
Einkommen einen bestimmten
Wert erreicht, dann nimmt die
Nachfrage nach Hamburgern
ab – Substitute für Hamburger
werden gekauft.
Zshg direkt ablesbar: zuerst
steigt x1 mit w , dann sinkt es.
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Einkommens- und Substitutionseffekt (1)
Zu interessanter Einsicht führt folgende Fragestellung: Was
passiert genau mit der Nachfrage nach einem Gut, etwa x1 , wenn
sich sein Preis, p1 , ändert? 2 Effekte:
1. Substitutionseffekt: Gut
wird relativ billiger. Bei
konstant gehaltenem
Nutzen verändert sich die
Nachfrage, da sich die
optimale Zusammensetzung
ändert. Bewegung auf einer
Indifferenzkurve U = U.
2. Einkommenseffekt:
Kaufkraft steigt. Durch die
Verbilligung eines Gutes
erweitert sich die Menge
der leistbaren Bündel.
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Einkommens- und Substitutionseffekt (2)
Relativ billigeres Gut wird mehr konsumiert, und reales Einkommen
steigt, also wird noch mehr vom (normalen) Gut konsumiert.
Anwendung: Konsumentenpreisindex (Inflation). Z.B. bestehe der
Warenkorb aus Wohnen und Kleidung. Im Jahr darauf, t = 2,
steigt der Preis von Wohnen. Wieviel höher sind die Kosten um
nicht schlechter gestellt zu sein bei den neuen Preisen?
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Einkommens- und Substitutionseffekt (3)
Kosten von Gut 1 sind gestiegen, das ursprüngliche Nutzenniveau
ist nicht mehr erreichbar bei konstantem Budget.
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Einkommens- und Substitutionseffekt (4)
Notwendige Erhöhung des Budgets um das alte Bündel wieder zu
erreichen ist die Gerade die durch das ursprünglich konsumierte
Bündel geht.
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Einkommens- und Substitutionseffekt (5)
Aber bei dem neuen Preisverhältnis und dem kompensierten
Budget würde man garnicht mehr das alte Bündel kaufen, sondern
substituieren und ein höheres Nutzenniveau erreichen.
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Einkommens- und Substitutionseffekt (6)
Der Ausgabenanstieg, der den Konsumenten kompensiert, ist also
niedriger als durch den Konsumentenpreisindex unterstellt.
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Rechenbeispiel, Fortsetzung
Für die C-D-Nutzenfunktion u(x, y ) = x α y β haben wir bereits die
Nachfrage nach y für eine Person mit Budget Y = px x + py y
ausgerechnet:
Y β
y (Y , px , py ) =
py α + β
Die Nachfrage nach x findet man jetzt z.B. durch Einsetzen in die
Einkommens-Konsum-Kurven-Gleichung (entspricht dem
Expansionspfad in der Produktionstheorie), s. S. 27:
x=
α py Y β
α py y ∗
y ⇒x =
β px
β px py α + β
⇒ x(Y , px , py ) =
Y α
px α + β
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Rechenbeispiel, Fortsetzung
Sei α = 0, 5, β = 0, 5.
Nachfrage nach x, bei Y = 10:
Engelkurve für x, bei px = 1:
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Berechnung des individuellen Arbeitsangebots
Ziel: ist die Formulierung eines Modells, in dem das Arbeitsangebot
eines Individuums hergeleitet werden kann.
Mittel: Erklärung der Entscheidung zwischen Konsum, C , und
Freizeit, N, zwischen denen das Individuum seine Zeit aufteilen
muss. Einkommen und dadurch Konsum entsteht erst, wenn ein
Teil der Freizeit als Arbeitszeit verwendet wird. Tag wird aufgeteilt
in:
24 = H + N,
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Individuelles Arbeitsangebot
Der Nutzen kommt entweder durch Freizeit, N, oder ein
aggregiertes Konsumgut, C . Die Nutzenfunktion ist also
U(C , N).
Wie bringt man das mit Arbeit/Einkommen in Zusammenhang?
Arbeitszeit bedeutet Einkommen, Y , durch Stundenlohn, w , mal
Arbeitszeit, H.
Y = wH.
Mit dem Einkommen können Konsumgüter gekauft werden. Das
aggregierte Gut kostet pro Stück p. Gespart wird nichts
(Lebenszeitmodell). Konsum, C , ist somit:
C = Y /p.
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Individuelles Arbeitsangebot
Fassen wir das in einer Budgetbeschränkung zusammen, die, so wie
die Nutzenfunktion, von C und N abhängt: dazu ersetzen wir H
durch Y /w , und Y durch pC :
p
+ N.
w
Wie ermittelt man die optimale, nutzenmaximierende Kombination
aus Arbeitszeit und Freizeit? Graphisch, so:
24 = C
Und rechnerisch:
(Tangential-)Bedingung für
Maximum,
MRS = −w /p.
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Individuelles Arbeitsangebot
Gemeinsam durch Budgetbeschränkung (Zeitkontingent) und
Tangentialbedingung können wir alles ausrechnen, wonach wir
gefragt haben:
I
Die optimale Menge an Freizeit: N ∗ = N(w )
I
Die optimale Menge an Arbeitszeit: H ∗ = 24 − N ∗ , also der
Rest des Tages. Beachte: das ist die Arbeitsangebotsfunktion,
denn sie drückt aus, wieviel Arbeitsstunden bei einem
bestimmten Lohn w gewählt (angeboten) werden. Eine
Umformulierung macht das deutlicher:
H ∗ = H(w ) = 24 − N(w ).
I
Konsumniveau läßt sich vom Einkommen ableiten:
C ∗ = w · H ∗ = Y ∗.
Diesen Überlegungen folgend, ein Rechenbeispiel.
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Beispiel: Individuum mit CD-Nutzenfunktion
Verwenden wir wieder eine Cobb-Douglas Nutzenfunktion, diesmal
mit den Wahlmöglichkeiten C und N, und mit A = 2, α = 1/2 und
β = 1/2:
U(C , N) = AC α N β
= 2C 1/2 N 1/2
Die Budgetbeschränkung haben wir schon formuliert, und eine
Umformung (für unten):
p
24 = C + N
w
w
C =
(24 − N)
p
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CD-Nutzenfunktion
Für die Optimalitätsbedingung brauchen wir:
2C 0,5 0, 5N −0,5
C
MUN
=−
=−
MUC
2 · 0, 5C −0,5 N 0,5
N
dC
w
MRT =
=−
dN
p
MRS = −
woraus wir berechnen können:
MRS = MRT
w
w
C
− = − ⇔C =N .
N
p
p
(1)
Das ist wiederum die Gleichung für alle Tangentialpunkte. Die
Budgetbeschränkung legt das Niveau fest, berechenbar durch
Einsetzen von C in die Beschränkung.
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CD-Nutzenfunktion
N
w
w
=
(24 − N)
p
p
N = 12
Überraschendes Resultat: N ∗ , und wegen H(w ) = H ∗ = 24 − N ∗
auch H ∗ , hängt nicht vom Lohn ab!
Ein Individuum mit einer solchen
Nutzenfunktion arbeitet immer
gleich viel. Grund: mit mehr
Stundenlohn müsste es für das
gleiche Konsumniveau weniger
arbeiten, aber auch die Erhöhung
des Konsums bringt mehr Nutzen,
und führt hier dazu, dass mehr
konsumiert wird. (Graphik:
p = 1.)
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Was passiert wenn sich Lohn ändert?
Das Ergebnis hängt von der Wahl der Nutzenfunktion (bzw. den
Präferenzen) ab. Beobachtbar ist oft ein positiver Zusammenhang
zwischen Lohnsatz w und Arbeitsangebot H ∗ :
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Weitere Erhöhung des Lohns
Arbeitsangebot geht
möglicherweise
schließlich zurück, wenn
Lohn weiter steigt.
Also:
Niedriger Lohn:
zusätzliche
Konsummöglichkeiten
erhöhen Nutzen star,
Verzicht auf Freizeit.
Höherer Lohn: Freizeit
wird rar, und
Konsumniveau ist
bereits sehr hoch,
weniger Arbeitszeit
zugunsten mehr Freizeit.
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