Formelsammlung
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Formelsammlung M1 Bewegung auf einer Geraden Geschwindigkeit vx = dx dt Beschleunigung ax = dvx dt = ẋ = v̇x Spezielle Ort-Zeit-Funktionen: ax 2 t 2 + vx0 t + x0 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (ax = const) x= Harmonische Schwingung x = xm cos(ωt + α) Kreisfrequenz ω = 2πf = M2 2π T Bewegung in der Ebene Kreisbewegung: Kreisbogen s = ϕr Bahngeschwindigkeit v = ϕ̇r = ωr Tangentialbeschleunigung at = ϕ̈r = αr Radialbeschleunigung ar = ω 2 r = M3 v2 r Bewegungsgleichung Grundgesetz der Mechanik ~ = m~ F a Fx = max Impuls p ~ = m~ v R ~ dt ∆~ p= F px = mvx Kraftstoß px2 − px1 = Rt2 Fx dt t1 M4 Arbeit, Energie, Leistung R ~ d~ F r ~ d~ F r = Fs ds = F cos αds Arbeit längs des Weges W = Verschiebungsarbeit W 0 = −W = ∆Ep Potentielle Energie Ep (~ r ) − Ep (~ r0 ) = − R~r ~ d~ F r ~ r0 m 2 v 2 Kinetische Energie Ek = Leistung P = Energieerhaltungssatz der Mechanik Ek (v) + Ep (~ r ) = E0 = const dW dt ~~ =F v = Fs v Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 2 Potentielle Energien spezieller Kräfte: Gewichtskraft Fz = −mg Ep = mgz Federkraft Fx = −kx Ep = Gravitationskraft 2 Fr = −G mr1 m 2 Ep = −G m1rm2 M5 k 2 x 2 Impulserhaltungssatz P Impulserhaltungssatz mk~ vk = p ~0 = const k Massenmittelpunkt P mk ~ rk P mk k ~ rM = = ~0 Pp t mk k +~ r0 k m1 v1 + m2 v2 = m1 v10 + m2 v20 Gerader Stoß Geschwindigkeiten zweier Körper nach dem Stoß: vollkommen unelastisch v0 = m1 v1 +m2 v2 m1 +m2 vollkommen elastisch v10 = (m1 −m2 )v1 +2m2 v2 m1 +m2 v20 = (m2 −m1 )v2 +2m1 v1 m1 +m2 max = Fx + ux dm dt Bewegungsgleichung bei veränderlicher Masse M6 Bewegung im Zentralfeld Gravitationskraft r 2 ~ ~ = −G m1 m F r2 r Coulomb-Kraft ~ = F Drehimpuls ~ =~ L r × m~ v Flächensatz dA dt 1 Q1 Q2 ~ r 4πε0 r 2 r L 2m = = const Bewegung im Gravitationsfeld: Drehimpuls L = mrv sin α = const Energie E= Bahnformen E>0 E=0 E<0 m 2 v 2 E=− a3 T2 3. Keplersches Gesetz 3 = 0 − G mm = const r Hyperbel Parabel Ellipse 3 G2 m2 0m 2L2 G (m0 4π 2 Kreis + m) = const M7 Statik ~ =~ ~ M r×F Drehmoment M = F r sin α Gleichgewicht: ~k = ~0 F Starrer Körper P System mit einem Freiheitsgrad dEp (x) dx ~ k = ~0 M =0 > 0 stabil d2 Ep (x) = 0 indifferent dx2 < 0 labil Stabilitätskriterium M8 P Rotation starrer Körper Winkelgeschwindigkeit ω= dϕ dt Winkelbeschleunigung α= dω dt Grundgesetz ~ = M Feste Achse ~ dL dt MA = JA α Drehimpuls LA = JA ω Impulsmoment Arbeit ~ =~ L r × m~ v R W = MA dϕ Leistung P = MA ω Kinetische Energie Ek = Drehimpulserhaltungssatz P JA 2 ω 2 LAk = const k R r 2 dm Trägheitsmoment JA = Satz von Steiner JA = JS + ms2 Spezielle Trägheitsmomente: Vollzylinder JS = 1 mr 2 2 Vollkugel JS = 2 mr 2 5 Hohlkugel (dünnwandig) JS = 2 mr 2 3 Stab (dünn) JS = 1 ml2 12 MA = −Dϕ Drehmoment einer Drillachse Schwingungsdauer: Physikalisches Pendel T = 2π Drehschwingung T = 2π 4 q JA mgs q JA D L = mrv sin α M9 Beschleunigtes Bezugssystem Allgemeine Trägheitskraft ~ = −m~ F a Zentrifugalkraft ~Z = m(~ F ω×~ r) × ω ~ Coriolis-Kraft ~C = 2m(~ F v×ω ~) M 10 Spezielle Relativitätstheorie 0 0 qx +vt 2 1−( v c) Lorentz-Transformation x= Längenkontraktion ∆x = ∆x0 Zeitdilatation ∆t = Additionstheorem der Geschwindigkeiten ux = q 1− t= ¡ v ¢2 c 0 q ∆t 2 1−( v c) u0x +v 1+ u0x v 2 qc c+v c−v Doppler-Effekt des Lichtes (Annäherung) f0 = f Bewegungsgleichung ~ = F d (m~ v) dt Bewegte Masse m= q m0 2 1−( v c) Energie-Masse-Beziehung Energie-Impuls-Beziehung E = mc2 p E = c (m0 c)2 + p2 Kinetische Energie Ek = (m − m0 )c2 M 11 FZ = mω 2 r Äußere Reibung Haftreibung FR ≤ µ0 Fn Gleitreibung FR = µFn Rollreibung FR = 5 µ0 F r n t 0 + v x0 q c2 2 1−( v c) M 12 Verformung fester Körper Hookesches Gesetz: Dehung ∆l l Kompression ∆V V Scherung γ= Querkontraktion ∆b b = σ E σ= Fn A p = −K τ G τ = Ft A = −µ ∆l l E = 3K(1 − 2µ) = 2G(1 + µ) Zusammenhang der elastischen Konstanten Biegung eines Balkens R η 2 dA Flächenmoment 2. Grades JF = Biegungspfeil (Last am Ende) δ= l3 3EJF ϕ= 2l MA πGr 4 F Torsion eines Zylinders: Drillwinkel Knickung eines Stabes: Eulerscher Grenzwert M 13 FE = π 2 EJF l2 Ruhende Flüssigkeiten und Gase F A Druck p= Schweredruck p = %gh Barometrische Höhenformel p = p0 e − M 14 %0 gz p0 Strömung der idealen Flüssigkeit dV dt Kontinuitätsgleichung Av = Bernoullische Gleichung p + %gz + %2 v 2 = p0 = const M 15 = I = const Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung (Newton) dv FR = ηA dh Stokessches Gesetz FR = 6πηrv Hagen-Poiseuillessches Gesetz FR = 8πηlv Widerstandsgesetz FR = c %2 v 2 A Reynoldssche Zahl Re = 6 %lv η W1 Harmonische Schwingungen Differentialgleichung ẍ + ω02 x = 0 Ort-Zeit-Funktion x = xm cos(ω0 t + α) Kreisfrequenz ω0 = 2πf0 = 2π T0 Periodendauer verschiedener Systeme: Federschwingung T0 = 2π q m k Mathematisches Pendel T0 = 2π q l g Physikalisches Pendel T0 = 2π q JA mgs Drehschwingung T0 = 2π q JA D Elektrischer Schwingkreis √ T0 = 2π LC W2 Gedämpfte Schwingungen Differentialgleichung ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = 0 Ort-Zeit-Funktion für δ < ω0 x = xA e−δt cos(ωt + α) Abklinggesetz x(t+T ) x(t) Verhältnis der Maximalausschläge xi+n xi Logarithmisches Dekrement Λ = δT Federschwingung ω02 = W3 ω 2 = ω02 − δ 2 = e−δT = e−nδT k m δ= r 2m Erzwungene Schwingungen Fm m Differentialgleichung ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = Ort-Zeit-Funktion (eingeschwungener Zustand) x = xm cos(ωt − α) Amplitude xm = √ cos(ωt) Fm m 2 −ω 2 )2 +4δ 2 ω 2 (ω0 Äußere Erregung Fm m = ξm ω02 Innere Erregung Fm m = ξm m ω2 m Phasendifferenz tan α = 7 0 2ωδ 2 −ω 2 ω0 W4 Wellenausbreitung Wellenfunktion η(x, t) = ηm cos(ωt ∓ kx + α) Wellenzahl k= 2π λ Kreisfrequenz ω= 2π T Phasengeschwindigkeit c= ω k = λ T Wellengleichung 1 ∂2η c2 ∂t2 = ∂2η ∂x2 W5 = 2πf = λf Schallwellen Schallgeschwindigkeit: Longitudinalwellen: c= q κ p% = Flüssigkeiten c= q K % Dünner Stab c= q E % Festkörper c= q G % Gespannte Saite c= q σ % Gase √ κR0 T Transversalwellen: Schallfeldgrößen: Schallausschlag ξ(x, t) = ξm cos(ωt − kx + α) Schallschnelle v= Dichteänderung ∂ξ ∆% = −% ∂x Schalldruck Schallstrahlungsdruck ∆pW = %c ∂ξ ∂t ³ ´2 ∆pS = % ∂ξ ∂t Mittlere Energiedichte w = ∆pS = Schallintensität I= Schallleistung P S = IAS ³ ´ L = 10 lg II dB 0 ³ 0´ LN = 10 lg II phon Schallpegel Lautstärke ∂ξ ∂t % 2 v 2 m % 2 v c 2 m 0 Dopplereffekt: f 1− v c Bewegte Quelle (Annäherung) f0 = Bewegter Beobachter (Annäherung) ³ f0 = f 1 + sin α = Mach-Kegel 8 c v v0 c ´ I 0 = 10−12 W m2 T1 Kalorimetrie, thermische Ausdehnung Längenausdehnung l = l0 (1 + α∆T ) Volumenausdehnung V = V0 (1 + γ∆T ) Wärmebilanz P Wärme Q = m c∆T Umwandlungswärme Q=mq T2 Qauf = P Qab Wärmeausbreitung Wärmeleitung Q̇ = λ Al ∆T Wärmeübergang Q̇ = αA∆T Wärmedurchgang Q̇ = kA∆T 1 k Wärmedurchgangskoeffizient T3 γ = 3α = P i li λi + P j 1 αj Zustandsänderungen, Erster Hauptsatz der Thermodynamik Ideales Gas: Thermische Zustandsgleichung pV = mR0 T = νRT Kalorische Zustandsgleichung Ausdehnungsarbeit U = m cV T R W = pdV Erster Hauptsatz Q = ∆U + W ∆U = Q + W 0 Poissonsche Gleichung pV κ = const Zusammenhang der Konstanten κ= Enthalpie H = U + pV Entropie ∆S = S2 − S1 = cp cV R 0 = cp − cV R2 1 S2 − S1 = mcV ln Entropieänderung beim idealen Gas 9 dQ T ³ T2 T1 ´ + mR0 ln ³ V2 V1 ´ T4 Carnotscher Kreisprozess Wirkungsgrad Qh +Qt Qh η= = Th −Tt Th Leistungsverhältnis: Wärmepumpe εW = |Qh | |Qh |−|Qt | = Th Th −Tt Kältemaschine εK = |Qt | |Qh |−|Qt | = Tt Th −Tt T5 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Entropieänderung im abgeschlossenen System beim: irreversiblen Prozess ∆S > 0 reversiblen Prozess ∆S = 0 T6 Gaskinetik q µv 2 − 2k µv 2 BT = πk8µ e B T 2kB T √ vW = 2R0 T q v = π8 R0 T p √ v 2 = 3R0 T dN N dv Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung: Wahrscheinlichste Geschwindigkeit Mittelwert der Geschwindigkeit Wurzel aus dem Mittelwert des Geschwindigkeitsquadrates 1 0 NA Molekülmasse µ= Boltzmann-Konstante kB = R0 µ Teilchendichte n= N V Druck p= 1 nµv 2 3 Teilchenstrom durch eine Fläche dN dt = A nv 4 Mittlere kinetische Energie der Translation eines Teilchens Ek = 1 µv 2 2 Gleichverteilungssatz µ 2 v 2 Mittlere freie Weglänge Λ= Mittlere Stoßfrequenz fS = 10 = % µ = = f k2B T 4 √ 1 2 2πr0 n v Λ 3 k T 2 B U = N f k2B T E1 Gleichstromkreis Elektrische Stromstärke I= dQ dt Stromdichte j= I A Elektrische Leistung P =U I Elektrische Arbeit W =QU Ohmsches Gesetz I= Widerstand eines Drahtes R = %el Al Faradaysches Gesetz m = α0 Q U R j = κE Kirchhoffsche Gesetze: P Knotenpunktsatz Ik = 0 k P Maschensatz Uem = P m Reihenschaltung von Widerständen Ik Rk k R= P Rk Uk ∼ Rk 1 Rk Ik ∼ k 1 R Parallelschaltung von Widerständen E2 = P k Elektrisches Feld 1 Q1 Q2 4πε0 r 2 Coulombsches Gesetz F = Elektrische Feldkraft ~ =QE ~ F Potentielle Energie ∆Ep = Q ∆ϕ Elektrisches Potential ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = − Rs2 Es ds s1 Kapazität C= Q U Plattenkondensator C = ε0 εr A d Kugelkondensator C = 4πε0 r0 Zylinderkondensator C= 2πε “ 0 l” r ln r2 1 C = P C= P 1 Reihenschaltung von Kapazitäten Parallelschaltung von Kapazitäten k 1 Ck Ck k Zusammenhang ¯R ¯ U = ¯ Es ds¯ Spannung - Elektrische Feldstärke Plattenkondensator U =Ed H Dn dA = Q Elektrische Verschiebung - Ladung ~ = ε0 εr E ~ = ε0 E ~ +P ~ D Elektrische Verschiebung 11 1 Rk E3 Magnetisches Feld Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen parallelen Drähten F = Durchflutungsgesetz I= µ0 l I I 2πr 1 2 H Hs ds Lange Spule H = NI l Gerader Draht H = I 2πr ~ = µ0 µr H ~ = µ0 H ~ +M ~ B R Φ = Bn dA Magnetische Flussdichte Magnetischer Fluss Lorentz-Kraft: Bewegte Ladung ~ =q~ ~ F v×B Stromdurchflossener Leiter ~ = I ~l × B ~ F Bewegte Ladung - Stromfluss E4 qv=I l Induktion Induzierte Spannung Ui = − dΦ dt Induzierte Feldstärke im bewegten Leiter ~i = ~ ~ E v×B Selbstinduktion Ui = −L dI dt Induktivität der langen Spule L= µ0 µr N 2 A l Maxwellsche Gleichungen H R ~ r = I + d Dd ~ A ~ Hd~ dt H ~ A ~=Q Dd H Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c= 12 1 √ ε 0 µ0 R ~ r = − d Bd ~ A ~ Ed~ dt H ~ A ~=0 Bd E5 Wechselstromkreis Stromstärke I = Im sin(ωt) Spannung (auf die Stromstärke bezogen) U = Um sin(ωt + ϕ) Effektivwerte Ieff = Wirkleistung P = Ueff Ieff cos ϕ Scheinleistung PS = Ueff Ieff Blindwiderstände XL = ωL Im √ 2 Ueff = XC = U √m 2 1 ωC Scheinwiderstand und Phasenwinkel: Reihenschaltung q Z = R2 + (ωL − 1 2 ) ωC Parallelschaltung q 1 1 = + (ωC − Z R2 1 2 ) ωL tan ϕ = 1 ωL− ωC R ¡ tan ϕ = −R ωC − Ohmsches Gesetz Ieff = 13 Ueff Z 1 ωL ¢ O1 Reflexion, Brechung, Dispersion c cn Brechzahl n= Brechungsgesetz n sin α = n0 sin α0 Grenzwinkel der Totalreflexion sin αG = Mittlere Dispersion ϕ = nF − nC Abbesche Zahl v= nD −1 nF −nC Abbildungsgleichung 1 f 1 a Abbildungsmaßstab β0 = O2 Dünne Linse O3 Spiegel O4 Dicke Linse = n0 n 1 a0 + y0 y 0 = − aa Brennweitenberechnung: Dünne Linse 1 f = ³ n n0 Dicke Linse 1 f = ³ n n0 ´³ 1 −1 − r1 ´³ 1 −1 − r1 Hohlspiegel f = r 2 Sphärische Fläche 1 f = ³ n0 n ´ −1 Zwei dünne Linsen 1 f = O5 Auge, optische Vergrößerung O6 Optische Geräte Definition der Vergrößerung Γ= 1 f1 + 1 f2 σm σo Normalvergrößerung optischer Instrumente: Lupe Γ0 = S f Mikroskop Γ0 = t S fOb fOk Fernrohr Γ0 = fOb |fOk | 14 1 r − d f1 f2 1 r2 ´ 1 r2 ´ + (n−n0 )2 nn0 · d r1 r2 O7 Interferenz und Beugung Phasendifferenz - Gangunterschied ∆ϕ 2π Gangunterschied am Gitter (bei senkrechtem Einfall) ∆s = d sin α Beugungsmaxima am Gitter (bei senkrechtem Einfall) sin αm = m λ d Auflösungsvermögen λ δλ = mN Überlappungsfreier Wellenlängenbereich (von λ bis λ + ∆λ) λ ∆λ =m Beugungsminima am Einzelspalt sin αm = m λb 1. Beugungsminimum an einer Kreisblende sin α0 = 0, 61 · Durchmesser des Beugungsscheibchens in der Brennebene einer Linse δ = 1, 22 · Optische Weglänge s = nl Phasensprung bei Reflexion an optisch dichteren Medien ∆ϕ = π 15 = ∆s λ λ f r (m = 0, ±1, ±2, . . .) (m = ±1, ±2, . . .) λ r S1 Welle-Teichen-Dualismus Plancksche Beziehung E = hf De-Broglie-Beziehung p= Einsteinsche lichtelektrische Gleichung hf = Compton-Effekt ∆λ = λC (1 − cos ϑ) Compton-Wellenlänge λc = Heisenbergsche Unschärferelation ∆x∆p ≥ S2 h λ me 2 v 2 + WA h me c ~ 2 ~= h 2π Atomhülle Frequenz der Lichtquanten hf = En2 − En1 Bohrscher Elektronenbahnradius rn = Energieterme En = − RhZ n2 Rydberg-Frequenz R= Energieterme der Alkaliatome E = − (n∗Rh +al )2 Auswahlregel ∆l = ±1 Bohrsches Magneton µB = Moseleysches Gesetz f = R(Z − b1 )2 ε0 h2 n2 me e2 πZ 2 me e4 3 8ε2 0h e~ 2me ³ 1 n2 1 − 1 n2 2 ´ Besetzungsfolge im Periodensystem: 1s - 2s - 2p - 3s - 3p - 4s - 3d - 4p - 5s - 4d - 5p - 6s - erstes 5d-Elektron - 4f übrige 5d-Elektronen - 6p - 7s - erstes 6d-Elektron - 5f S3 Quantenmechanik d2 Ψ dx2 ∞ R Schrödinger-Gleichung (zeitunabhängig) = − 2m [E − Ep (x)]Ψ ~2 Ψ2 dx = 1 ( 0 − x0 < x < x 0 Ep (x) = V x < −x0 ; x > x0 Normierungsbedingung −∞ Kastenpotential Eigenwertgleichung tan ϕ = ϕ= r³ ´ 2 a ϕ −1 − cot ϕ = r³ ´ 2 √ √ 2mE x0 ~ a= Zahl der Eigenwerte N = int 16 ¡ 2a ¢ π +1 a ϕ 2mV ~ x0 −1 S4 Atomkern √ 3 A Kernradius rK = r0 Kernmasse mK = mA − Z · me Massenzahl Atomare Masseneinheit A=Z+N ¡ ¢ 1 mA 12 u = 12 6 C Relative Atommasse Ar = Massendefekt ∆m = Z · mp + N · mn − mK Bindungsenergie EB = −∆mc2 Aktivität = λN A = − dN dt Zerfallsgesetz N = N0 e−λt Halbwertzeit T 21 = Freigesetzte Reaktionsenergie (Ruhemasseänderung ∆m0 ) E = −∆m0 c2 17 mA u ln 2 λ Konstanten m3 kg s2 Gravitationskonstante G = 6, 672 59 · 10−11 Normalfallbeschleunigung g = 9, 806 65 Mittlerer Erdradius rE = 6 370 km Mittlerer Sterntag d∗ = 86 164, 09 s Erdmasse mE = 5, 976 · 1024 kg Mittlerer Erdbahnradius r0 = 149, 6 · 106 km Sonnenmasse mS = 1, 989 · 1030 kg Solarkonstante S = 1, 367 Boltzmann-Konstante kB = 1, 380 650 3 · 10−23 Avogadro-Konstante NA = 6, 022 136 7 · 1023 mol−1 0 NA = 6, 022 136 7 · 1026 R = 8, 314, 51 J mol·K R0 = 8 314, 51 J Mr kg·K α = 1, 036 427 2 · 10−5 mol As α0 = 1, 036 427 2 · 10−8 Mr kg As Elektrische Feldkonstante ε0 = 8, 854 187 817 · 10−12 Magnetische Feldkonstante µ0 = 4π · 10−7 Lichtgeschwindigkeit (Vakuum) c = 299 792 458 Elementarladung e = 1, 602 176 462 · 10−19 As Ruhemasse des Elektrons me = 9, 109 381 88 · 10−31 kg Gaskonstante Elektrochemisches Äquivalent m s2 kW m2 J K 1 Mr kg As Vm Vs Am m s = 5, 485 799 · 10−4 u Ruheenergie des Elektrons m e c2 = 510, 998 9 keV Ruhemasse des Protons mp = 1, 672 621 58 · 10−27 kg = 1, 007 276 46 u Ruhemasse des Neutrons = 1, 674 927 16 · 10−27 kg mn = 1, 008 664 92 u Nukleonenradius r0 = 1, 2 · 10−15 m Atomare Masseneinheit u = 1, 660 538 73 · 10−27 kg uc2 = 931, 494 014 MeV Spezifische Elektronenladung e me = 1, 758 820 174 · 1011 Plancksches Wirkungsquantum h = 6, 626 068 76 · 10−34 Js Compton-Wellenlänge λC = 2, 426 310 215 · 10−12 m Rydberg-Frequenz R = 3, 289 841 960 · 1015 s−1 Bohrsches Magneton µB = 9, 274 009 · 10−24 Am2 Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5, 670 4 · 10−8 Bezugssehweite S = 25 cm 18 W m2 K 4 As kg Einheiten Beziehungen zwischen einigen SI-Einheiten m s2 N = kg · J =N·m W = J s Pa = Ω = C V F = Wb =V·s T = Wb m2 N m2 H = Wb A V A rad = m m S = Ω−1 Bq = s−1 C =A·s Hz = s−1 =V·A Umrechnungen von SI-fremden Einheiten 1 kp = 9, 806 65 N 1 cal = 4, 186 80 J 1 atm = 101 325, 0 Pa 1 eV = 1, 602 176 462 · 10−19 J 1 at = 98 066, 5 Pa 1 PS = 735, 498 75 W 1 bar = 105 Pa 1u = 1, 660 538 73 · 10−27 kg 1 Torr = 133, 322 4 Pa 1G = 10−4 T 1 mm Ws = 9, 806 65 Pa 1 Oe = 1P = 10−1 Pa · s 1 Mx = 10−8 Wb 1 Å = 10−10 m 1 Gb = 1◦ π ) rad = ( 180 T (0 ◦ C) = 273, 15 K 103 A 4π m 10 4π A Einige Vorsätze von Einheiten Atto a = 10−18 Deka da = 101 Femto f = 10−15 Hekto h = 102 Pico p = 10−12 Kilo k = 103 Nano n = 10−9 Mega M = 106 Mikro µ = 10−6 Giga G = 109 Milli m = 10−3 Tera T = 1012 Zenti c = 10−2 Peta P = 1015 Dezi d = 10−1 Exa E = 1018 19
