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Normalverteilte Zufallsvariablen
Andreas Pechtl
Eigenschaften von normalverteilten Zufallsvariablen
Linare Transformation von Zufallsvariablen
Es sei X : (W; A ) ® R eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion FX : R ® R und
FX ( x ) = P[ X £ x ] . Unter einer linearen Transformation der Zufallsvariablen X versteht man
eine Zufallsvariable Z : (W; A ) ® R , die eine Darstellung der Art Z = s × X + m , m ,s Î R ,
s ¹ 0 , gestattet. Es gilt folgender Satz.
LEMMA 1. Für positive Werte s besteht zwischen der Verteilungsfunktion FZ : R ® R von
Z = s × X + m und der Verteilungsfunktion FX für alle z Î R folgender Zusammenhang,
æ z -m ö
(E-1) FZ ( z ) = FX ç
÷.
è s ø
Gilt umgekehrt die Beziehung (E-1) zwischen zwei Zufallsvariablen X und Z , so gibt es
D
eine zu X verteilungsgleiche Zufallsvariable X * , X = X * , derart, daß Z = s × X * + m ist.
BEWEIS. Offenbar folgt aus Z = s × X + m
z -m ù
æ z -m ö
é
FZ ( z ) = P[Z £ z ] = P ê X £
= FX ç
÷.
ú
s û
è s ø
ë
Gilt umgekehrt (E-1) und setzen wir X *:=
Z -m
, so folgt für alle Werte x Î R
s
éZ -m
ù
FX ( x ) = FZ (s × x + m ) = P[Z £ s × x + m ] = P ê
£ x ú = FX * (x ) ,
ë s
û
also die Verteilungsgleichheit von X und X * .
BEMERKUNG. Für negative Werte s existiert eine zu (E-1) analoge, jedoch etwas
kompliziertere Beziehung. Dabei wird die Funktion F X ( x ) := P[ X < x ] benötigt. Während
eine Verteilungsfunktion FX stets rechtsseitig stetig mit linksseitigen Grenzwerten ist, ist die
zugehörige Funktion F X stets linksseitig stetig mit rechtsseitigen Grenzwerten, und es gilt
F X ( x ) = lim FX (x ) .
x ­x
Für alle Werte s < 0 und alle Werte z Î R folgt dann
z -m
é
FZ ( z ) = P[Z £ z ] = P ê X ³
s
ë
z -m
ù
é
ú = 1 - Pê X < s
û
ë
ù
æ z -m ö
ú = 1- FX ç s ÷ .
û
è
ø
2
Normalverteilte Zufallsvariablen
Die Standardnormalverteilungsfunktion
ì x2 ü
× expí- ý , x Î R , ist eine positive, gerade und stetige
2 ×p
î 2þ
Funktion, deren uneigentliches Integral ò f 0,1 ( x ) × dx existiert, i. e., für alle x Î R ist
Die Funktion f 0,1 ( x ) :=
1
xÎR
ò f (x ) × dx < ¥ . Da
f 0,1 (- x ) = f 0,1 ( x ) , und es gilt 0 <
0 ,1
ò f (x ) × dx = 2 × ò f (x ) × dx .
0 ,1
Weiterhin
0 ,1
xÎR
f 0,1 eine gerade Funktion ist, gilt
xÎR
ergibt
sich
unmittelbar
wegen
x >0
ì x2 ü
ì x2 ü
expí- ý £ x × expí- ý für alle Werte x ³ 1
î 2þ
î 2þ
0<
ò
f 0,1 ( x ) × dx = 2 ×
xÎR
f 0,1 ( x ) × dx £ 2 ×
x >0
1
= 2×
ò
ò f (x ) × dx +
0 ,1
x =0
1
f 0,1 ( x ) × dx +
ò
x =0
ì x2 ü
x
×
exp
í- ý × dx =
ò
2 × p x >1
î 2þ
2
×
ì 1ü
× expí- ý < ¥ .
2 ×p
î 2þ
2
Der konkrete Nachweis
ò f (x ) × dx = 1
ist technisch aufwendiger und wird an dieser Stelle
0 ,1
xÎR
nicht geführt. Aufgrund dieser Eigenschaften der Funktion f 0,1 ist die Integralfunktion
x
(E-2) F0,1 (x ) :=
ò
f 9,1 (w) × dw =
w = -¥
eine
Verteilungsfunktion.
ì w2 ü
exp
ò íî- 2 ýþ × dw , x Î R ,
2 ×p w=-¥
x
1
×
Diese
Verteilungsfunktion
Standardnormalverteilungsfunktion bezeichnet, die Funktion
Dichtefunktion mit
F0,1
wird
als
f 0,1 ist ihre zugehörige
d
F0,1 ( x ) = f 0,1 ( x ) .
dx
Mit W0,1 bezeichnen wir im folgenden eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, i. e., W0,1
ist eine Zufallsvariable, deren Verteilungsfunktion F0,1 ist. Für den Erwartungswert EW0,1
und die Varianz V (W0,1 ) von W0,1 gilt
(E-3) EW0,1 = 0 ,
(E-4) V (W0,1 ) = 1 .
BEWEIS. Offenbar ist EW0,1 =
ò w × f (w) × dw = 0 ,
0 ,1
wÎR
da w a w × f 0,1 (w) eine ungerade
Funktion ist. Hieraus ergibt sich ferner durch partielle Integration
V (W0,1 ) = E(W0,1 - EW0,1 ) = EW02,1 =
2
òw
wÎR
2
× f 0,1 (w) × dw =
ò f (w) × dw = 1 .
0 ,1
wÎR
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Normalverteilte Zufallsvariablen
BEMERKUNG. Da
f 0,1 eine gerade stetige Funktion ist, gilt die Symmetriebeziehung
P[W0,1 £ x ] = P[W0,1 ³ - x ]. Hieraus ergibt sich sofort, daß mit W0,1 auch - W0,1 wegen
P[- W0,1 £ x ] = P[W0,1 ³ - x ] eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.
Normalverteilte Zufallsvariablen
DEFINITION. Eine Zufallsvariable Wm ,s 2 heißt normalverteilt mit den Parametern m ,s Î R ,
wenn es eine Darstellung
(D-1) Wm ,s 2 = s × W0,1 + m
gibt, wobei W0,1 eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.
BEMERKUNG. Da mit W0,1 auch - W0,1 eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, kann
der Parameter s ohne Beschränkung der Allgemeinheit als nicht negativ angenommen
werden. Gemeinhin wird der Fall s = 0 einer zur Konstanten entarteten normalverteilten
Zufallsvariable ausgeschlossen.
LEMMA 2. Eine Zufallsvariable X ist genau dann normalverteilt mit den Parametern
m Î R ,s Î R + , wenn ihre Verteilungsfunktion FX = Fm ,s 2 mit
Fm ,s 2 (x ) =
ì ( w - m )2 ü
exp
ò í- 2 ×s 2 ý × dw
2 ×p ×s w= -¥
î
þ
1
x
×
ist.
BEWEIS. Durch die Substitution v =
w -m
ergibt sich für alle Werte z Î R die Gleichung
s
z -m
Fm ,s 2 (z ) =
s
ì (w - m )2 ü
ì v2 ü
1
æ z -m
×
=
×
× ò expíexp
dw
í- ý × dv =F0,1 ç
2 ý
ò
2 ×p ×s w= -¥
2 ×p w= -¥
è s
î 2×þ
î 2 ×s þ
1
z
ö
÷.
ø
Diese Gleichung ist aber gerade die Beziehung (E-1), so daß die Aussage von Lemma 2 eine
unmittelbare Konsequenz aus Lemma 1 ist.
BEMERKUNG. Die Verteilung einer normalverteilten Zufallsvariablen Wm ,s 2 ist durch die
Parameter m und s 2 eindeutig bestimmt, wie bereits aus der Definition (D-1) zu erkennen
ist. Die Interpretation dieser beiden Parameter als Erwartungswert EWm ,s 2 und Varianz
(
V Wm s, 2
)
wird
im
nachstehenden
Korollar
nachgewiesen.
In
der
wahrscheinlichkeitstheoretischen Literatur wird jedoch meist Lemma 2 zur Definition einer
normalverteilten Zufallsvariable verwendet.
KOROLLAR. Es gelten die Beziehungen
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Normalverteilte Zufallsvariablen
(E-5) EWm ,s 2 = m ,
(
)
(E-6) V Wm ,s 2 = s 2 .
(
)
BEWEIS. (E-5) folgt unmittelbar aus (E-3). Aus (E-5) folgt dann V Wm ,s 2 = s 2 × EW02,1 , und
(E-6) folgt aus (E-4).
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