THz-Spektroskopie zur Bestimmung von Plasmaparametern

THz-Spektroskopie
zur Bestimmung von
Plasmaparametern
Masterarbeit
im Studiengang
„Master of Science“
im Fach Physik
an der Fakultät für Physik und Astronomie
der Ruhr-Universität Bochum
von
Steffen Marius Meier
aus
Hattingen
Bochum, Sommersemester 2011
An experiment is a device to make Nature speak intelligibly.
After that one has only to listen.
George Wald
„The molecular basis of visual excitation“
Nobel Lecture, December 12, 1967
1. Gutachter: Prof. Dr. Uwe Czarnetzki
2. Gutachter: Prof. Dr. Martina Havenith-Newen
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Motivation
1
I
3
Terahertz-Time-Domain-Spektroskopie (THz-TDS)
2 Terahertz – Grundlagen
5
2.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Erzeugung und Detektion von THz-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.1
Erzeugung von THz-Pulsen mit photoleitenden Antennen . . . . . .
7
2.2.2
Detektion von THz-Pulsen mit photoleitenden Antennen . . . . . .
9
2.2.3
Aufbau von photoleitenden Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Methode zur Datenanalyse einer THz-TDS-Messung
13
3.1
Grundkonzept der Datenauswertung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2
Die komplexe Dielektrizitätszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3
Der Etaloneffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1
Erklärung des Etaloneffekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.2
Entfernung des Etaloneffekts nach Naftaly und Miles . . . . . . . . 19
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
21
4.1
Aufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2
Untersuchung der Systemeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.1
Zeitliche Verschiebung des THz-Pulses bei Benutzung der Mess- und
Kontrollsoftware
4.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.2
Einfluss der Raumbeleuchtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.3
Einfluss der Divergenz des Laserstrahls . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Untersuchung verschiedener Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.1
Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
i
Inhaltsverzeichnis
4.3.2
Vergleich von feuchter und trockener Luft . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.3
Messungen an Plexiglas
4.3.4
Untersuchung von Vakuumfenstermaterialien (z-cut-Quarz und BK-7) 39
4.3.5
Messung an einem Silizium-Wafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II Anwendung von THz-TDS in der Plasmaphysik
45
5 Aufbau einer induktiv gekoppelten magnetischen Multipol-Entladung (Bucket
Source)
47
5.1
Entladungsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2
Instandsetzungsarbeiten an der Entladungskammer . . . . . . . . . . . . . 50
5.3
Messung und Simulation des statischen Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . 51
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen 53
6.1
6.2
Allgemeine Plasmagrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.1
Die Plasmafrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.2
Induktive Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.3
Magnetisierte Plasmen und magnetischer Einschluss . . . . . . . . . 55
Wellen in kalten Plasmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2.1
Dispersionsrelation, komplexe Dielektrizitätszahl und komplexer Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3
ii
6.2.2
Unendlich ausgedehntes Plasma ohne Stöße . . . . . . . . . . . . . 59
6.2.3
Unendlich ausgedehntes Plasma mit Stößen . . . . . . . . . . . . . 61
6.2.4
Plasmen in einem äußeren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.5
Anwendung auf den vorhandenen Versuchsaufbau (Bucket-Source) . 70
Abschätzung des Einflusses von Plasmagrößen auf TDS-Messungen . . . . 72
6.3.1
Induktive Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3.2
Stöße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3.3
Ionen-Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.4
Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.5
Plasmaprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3.6
Magnetfeldgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Inhaltsverzeichnis
7 Messaufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers
79
7.1
Umbau des THz-TDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2
Justierung des THz-TDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3
Problematik bei der Justierung und Defekt der Antennen . . . . . . . . . . 84
8 Fazit und Ausblick
89
Abbildungsverzeichnis
94
Literaturverzeichnis
97
iii
1 Einleitung und Motivation
Der Begriff Plasma stammt vom griechischen Wort πλασµα, welches „Gebilde“ bedeutet. Bei einem Plasma handelt es sich um ein (teilweise) ionisiertes Gas, das besondere
Eigenschaften aufweist und in dem kollektive Effekte auftreten.
Über 99 % der sichtbaren Materie im Universum befindet sich im Plasmazustand [1].
Allein deshalb ist die Untersuchung von Plasmen interessant und wichtig. Aber auch in
vielen Bereichen des alltäglichen Lebens, in der Industrie und der Wissenschaft finden sie
Anwendung.
Um Plasmen zu untersuchen und verstehen zu können, benötigt man diagnostische Methoden. Die Diagnostik von Laborplasmen erfolgt meist mithilfe von Langmuir-Sonden
oder optischen Methoden, wie z.B. Laserdiagnostiken oder optischer Emissionsspektroskopie. Bei dichteren Plasmen und vor allem Mikroplasmen stoßen gerade Sonden an ihre
Grenzen, da ihre Größe oft nicht verringert werden kann und so das Plasma durch die
Messung stark gestört wird. Lasergestützte Diagnostiken sind ideal, weil sie nicht invasiv
sind und mit ihnen ein direkter Zugriff auf viele Plasmagrößen möglich ist, ohne viele
Annahmen machen zu müssen. Die optische Emissionsspektroskopie bietet einen relativ
einfachen Versuchsaufbau, benötigt aber für die quantitative Auswertung der Messdaten
eine sehr komplexe Theorie. Durch Vereinfachungen lässt sie sich für einen eingeschränkten Parameterbereich bzw. für Relativmessungen anwenden.
Aufgrund ihrer Messempfindlichkeit bieten Diagnostiken im fern-infraroten Bereich des
elektromagnetischen Spektrums (FIR) schon lange die Möglichkeit Plasmaparameter zu
bestimmen. So wurden z.B. bereits Fourier-Transform-Infrarot-Spektroskopie (FTIR) und
FIR-Laser-Interferometrie [2] für die empfindliche und zeitaufgelöste Elektronendichtemessung eingesetzt. Im Gegensatz zu FIR-Lasern bietet die Terahertz-Time-DomainSpektroskopie (THz-TDS) einen besonderen Zugang zu Plasmaparametern, da nicht nur
monochromatisches Licht, sondern ein breitbandiger Strahlungspuls verwendet wird. Neben der Elektronendichte können die Stoßfrequenz und die Dielektrizitätsfunktion bestimmt werden. Vor allem aber die hohe Zeitauflösung im Sub-Nanosekunden-Bereich
1
1 Einleitung und Motivation
ermöglicht detaillierte Untersuchungen des Plasmas, z.B. während der Zündungsphase
oder im After-Glow. In vielen anderen Bereichen wird sie bereits verwendet und findet
nun auch in der Plasmaphysik Anwendung. Bisher wurden allerdings nur sehr wenige
Untersuchungen mit dieser Methode durchgeführt [3, 4].
Ziel dieser Arbeit ist die Erprobung eines Terahertz-Time-Domain-Spektrometers und die
Anwendung der THz-TDS auf ein Plasma.
Aus diesem Grund gliedert sich diese Arbeit in zwei Teile. In Teil I werden die Grundlagen
der THz-TDS und die Methode der Analyse aus den Messdaten erklärt, gefolgt von der
Erprobung des vorhandenen Systems. Teil II behandelt den Aufbau der Plasmaentladung,
die Theorie zur Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Plasma und beschreibt den
Umbau des THz-TDS zur Anwendung am Plasma.
Damit werden alle erforderlichen Grundlagen und Vorarbeiten für Messungen am Plasma
erarbeitet und detailliert erklärt.
2
Teil I
Terahertz-Time-Domain-Spektroskopie
(THz-TDS)
3
2 Terahertz – Grundlagen
In diesem Kapitel wird auf die Grundlagen der Terahertz -Technologie und -Spektroskopie
(THz) eingegangen. Neben den grundlegenden Eigenschaften von THz-Strahlung und ihrer
Bedeutung für die Industrie und Wissenschaft werden ihre Erzeugung und Detektion sowie
das Konzept der THz-Time-Domain-Spektroskopie erklärt.
2.1 Einleitung
Der Begriff Terahertz-Strahlung beschreibt einen Teil des elektromagnetischen Spektrums
im Frequenzraum. Er liegt zumeist, abhängig von der jeweiligen Definition des Frequenzbereichs, zwischen dem Infraroten und dem Bereich der Mikrowellen, vgl. Abbildung 2.1.
In den meisten Fällen spricht man im Bereich zwischen 0,1 THz und 10 THz von THzStrahlung oder auch – in Analogie zur Röntgenstrahlung (x-rays) – von T-rays, womit er
zum größten Teil im Ferninfraroten (FIR) liegt. Lange Zeit war dieser Bereich aufgrund
fehlender Technologie für die Wissenschaft nicht zugänglich, weshalb auch heute noch
häufig von der THz-Lücke, engl. THz-gap, gesprochen wird.
1 THz entspricht einer Wellenlänge von etwa 300 µm und einer Photonenenergie von ca.
4,14 meV. Sehr viele interessante und komplexe Wechselwirkungen zwischen Strahlung
und Materie sowie energetische Übergänge im Bereich einiger meV können mittels THzSpektroskopie untersucht werden.
In den 1950er Jahren wurde die Spektroskopie im FIR durch die Entwicklung der FourierTransform-Infrarot-Spektroskopie (FTIR) interessant und technisch umsetzbar [5]. In den
vergangenen 30 Jahren wurden neue spektroskopische Methoden entwickelt. Grundlage
hierfür bildet die Entwicklung zur Erzeugung und zeitaufgelösten Messung des elektrischen
Feldes eines ultrakurzen Strahlungspulses im FIR. Diese Methode wird als TerahertzTime-Domain-Spektroskopie, kurz THz-TDS, bezeichnet und findet in vielen Bereichen
Anwendung. So können bspw. in der Festkörperphysik Halbleiter oder Phononen in kristallinen Festkörpern [6], in der Chemie der Einfluss von Wasser auf die Dynamik von
Biomolekülen [7, 8] oder in der Plasmaphysik die Formung von Partikeln in staubigen
5
10
-4
10
10
10
6
-2
-3
10-2
10
10
5
-1
10
10
10-1
4
0
10
10
100
3
1
10
10
101
2
2
10
10
102
1
3
10
10
XUV
NIR
MIR
FIR
µ-wave
THz
UV
Visible
2 Terahertz – Grundlagen
103
0
4
10
104
-1
10
5
Frequency
[THz]
Wavelength
[µm]
Wavenumber
-1
[cm ]
Abbildung 2.1: Übersicht des elektromagnetischen Spektrums
Plasmen [9–11] untersucht werden. Doch auch in der Industrie, der Medizin und der Sicherheitstechnik findet THz-Spektroskopie immer mehr Anwendung. So können durch
bildgebende Verfahren Kontrollprozesse durchgeführt und Diagnosen gestellt werden. Ein
besonderes Augenmerk liegt auf der Bestimmung der Elektronendichte und der Stoßfrequenz in einem Plasma mittels THz-TDS [3, 4], da es durch diese Arbeit vorbereitet und
nachfolgend durchgeführt werden soll.
2.2 Erzeugung und Detektion von THz-Strahlung
Zur Erzeugung von elektromagnetischer Strahlung im THz-Bereich gibt es viele Möglichkeiten. So können sowohl Laser als auch nichtlineare Medien oder beschleunigte Elektronen
als kontinuierliche (cw) oder gepulste Quellen verwendet werden [12]. Als THz-Emitter aus
der Gruppe der Laser sind FIR-Gas-Laser [2,13,14], Quanten-Kaskaden-Laser und der von
Bründermann et. al. entwickelte p-Germanium-Laser [15] zu erwähnen, welche alle kontinuierliche Strahlung erzeugen. CW-Betrieb ist sowohl bei nichtlinearen Medien als auch
bei der Elektronenbeschleunigung möglich. Die Erzeugung von breitbandigen THz-Pulsen
ist vorwiegend durch Femtosekunden-Laser bestimmt, weshalb die Entwicklung entsprechender Quellen zeitlich stark mit der Entwicklung des Ti:Saphir-fs-Lasers korrelierte.
Eine sehr wichtige Quelle im Bereich der THz-TDS sind photoleitende Dipol-Antennen,
6
2.2 Erzeugung und Detektion von THz-Strahlung
deren Benutzung erstmals von Grischkowsky et al. 1989 [16] beschrieben wurde.
Bei der Detektion können wie bei der Erzeugung sowohl nichtlineare Kristalle als auch
photoleitende Antennen verwendet werden.
Da sowohl die Erzeugung als auch die Detektion des breitbandigen THz-Pulses in dem
in dieser Arbeit verwendeten THz-Time-Domain-Spektrometer mithilfe von photoleitenden Antennen, engl. photoconductive antenna (PCA), geschieht, konzentrieren sich die
folgenden Absätze auf die Vorstellung dieser Methode.
2.2.1 Erzeugung von THz-Pulsen mit photoleitenden Antennen
Grundlage der Arbeit mit photoleitenden Antennen sind Laserpulse mit einer Länge von
bis zu einigen hundert Femtosekunden. Die Antennen bestehen aus einem Halbleitersubstrat, auf das zwei Metallelektroden aufgebracht wurden. Auf die möglichen Antennenstrukturen wird weiter unten im Abschnitt 2.2.3 näher eingegangen. An die Elektroden
wird eine Gleichspannung, der sog. DC Bias angelegt. Dieser liegt meist in der Größenordnung von einigen 10 V. Trifft nun ein fs-Laserpuls auf das Halbleitersubstrat, können
Elektronen aus dem Valenz- in das Leitungsband des Halbleiters angeregt werden, wodurch freie Ladungsträger in Form von Elektronen und Löchern entstehen, die durch den
angelegten Bias in Richtung der Elektroden beschleunigt werden, was zu einem Strom zwischen den Elektroden führt. Da die Beweglichkeit der positiven Ladungsträger deutlich
kleiner als die der Elektronen ist, wird der Strom vorwiegend durch Elektronen bestimmt.
Die Lebensdauer der Ladungsträger ist sehr kurz – meist unter einer Pikosekunde – und
führt schon zu Beginn des Stromflusses zum Verlust von Ladungsträgern. Die Beschleunigung von Elektronen und Löchern im Halbleitersubstrat führen zu einer charakteristischen
Strahlung im THz-Bereich. Aufgrund der Anregung durch fs-Laserpulse und die kurze
Lebensdauer handelt es sich dabei um ultrakurze und sehr breitbandige Strahlungspulse. Eine schematische Darstellung einer PCA als THz-Transmitter ist in Abbildung 2.2
gezeigt.
Die Strahlungserzeugung mit PCAs kann durch die Oszillation eines hertzschen Dipols
mit einer Frequenz von ν =
ω
2π
beschrieben werden und soll nun kurz dargestellt werden:
Das elektrische Feld eines oszillierenden Dipols ist gegeben durch [17]:
1
1
ik
eikr
2
ikr
~
E=
+ [3~n(~n · p~) − p~] 3 − 2 e
k (~n × p~) × ~n
,
(2.1)
4πǫ0
r
r
r
R
wobei c die Lichtgeschwindigkeit, p~ = ρ(~x)~x dV das elektrische Dipolmoment mit der
Ladungsträgerdichte ρ(~x), ~n der Einheitsvektor in Beobachtungsrichtung, r die Distanz
7
2 Terahertz – Grundlagen
DC bias
Abbildung 2.2: Schematische Darstellung eines THz-Transmitters
vom Dipol und k =
ω
c
der Betrag des Wellenvektors sind. Die zeitliche Entwicklung des
elektrischen Dipolmoments kann durch eine Fourieranalyse gefunden werden [5]. Das elektrische Feld senkrecht zur Beobachtungsrichtung folgt somit aus der Fouriertransformation
der Gleichung (2.1):
1
1
1
1
p(tr ) + 2 ṗ(tR ) + 2 p̈(tr ) sin(θ),
Eθ (r, θ, t) =
4πǫ0 r3
r c
rc
(2.2)
wobei θ der Winkel zwischen dem Dipolvektor und der Beobachtungsrichtung und tr =
t−
r
c
die retardierte Zeit sind. Die Fokusgröße des Lasers auf dem Halbleitersubstrat
beträgt in der Regel um 5...20 µm, soll als Größe des Dipols d angenommen werden
und ist im Vergleich zur THz-Wellenlänge λTHz sehr klein. Da der Abstand r vom Dipol
seinerseits sehr groß gegenüber der Wellenlänge ist, ist es nur notwendig das Fernfeld zu
betrachten. Mit den Annahmen r ≫ λTHz ≫ d folgt nun für das elektrische Feld des
Dipols und somit auch das elektrische Feld des THz-Pulses [5, 12]:
µ0 sin(θ) d2
~
[p(tr )]~eθ .
ETHz =
4π r dt2r
(2.3)
Durch Differenzieren des Dipolmoments, Verwendung der Kontinuitätsgleichung und partieller Integration erhält man schließlich, dass das elektrische Feld des THz-Pulses proportional zur zeitlichen Ableitung des Photostroms zwischen den Elektroden der Antenne
ist:
ETHz (t) ∝
8
d
IPC (t).
dt
(2.4)
2.2 Erzeugung und Detektion von THz-Strahlung
Weitergehend eignet sich das Drude-Modell zur Beschreibung dieses Ladungsträgertransports der angeregten Elektron-Loch-Paare mithilfe einiger Ratengleichungen. Dies kann
bspw. in [5, 12] nachvollzogen, soll aber in dieser Arbeit nicht weiter behandelt werden.
Bei der Erzeugung von THz-Pulsen durch photoleitende Antennen sind ebenfalls die Form
der Elektroden und das verwendete Halbleitermaterial für die Eigenschaften des erzeugten
Pulses entscheidend. Der Einfluss dieser Faktoren wird weiter unten im Abschnitt 2.2.3
kurz behandelt.
2.2.2 Detektion von THz-Pulsen mit photoleitenden Antennen
Zur spektroskopischen Anwendung gehört nicht nur die Erzeugung, sondern auch die
Detektion von ultrakurzen THz-Pulsen. Die Verwendung von PCA als Empfänger ist
sehr ähnlich zu der als Sender. Durch fs-Laserpulse werden im Halbleiter wieder freie
Ladungsträger in Form von Elektron-Loch-Paaren erzeugt. Allerdings liegt in diesem Fall
keine äußere Spannung an. Die Kraft auf die Ladungsträger wird durch das elektrische Feld
der THz-Strahlung ausgeübt. Der Strom zwischen den beiden Elektroden kann gemessen
werden; er hängt von der Stärke des elektrischen Feldes ab und liegt meist im Bereich von
einigen Nanoampere. Eine schematische Darstellung einer PCA als THz-Receiver ist in
Abbildung 2.3 gezeigt.
Wie schon im Abschnitt 2.2.1 erwähnt, ist die Lebensdauer der im Halbleiter erzeugten
Ladungsträger sehr kurz. Sie ist deutlich kürzer als die Breite des THz-Pulses, wodurch
der Empfänger nur für einen kurzen Zeitraum für das elektrische Feld des THz-Pulses
empfindlich geschaltet wird. Man spricht dabei von der Gatebreite oder einfach dem Gate
Lock-In
Amplifier
I→U
Amplifier
Abbildung 2.3: Schematische Darstellung eines THz-Receivers
9
2 Terahertz – Grundlagen
des Detektors. Dies erlaubt eine zeitaufgelöste Messung des elektrischen Feldes des THzPulses. Der gemessene Strom ist eine Faltung des elektrischen Feldes des THz-Pulses und
der Leitfähigkeit des Halbleitermaterials [12]:
J(t) =
Z
t
−∞
σS (t − τ )ETHz (τ )dτ.
(2.5)
Eine Faltung zweier Größen entspricht einem Produkt dieser im Fourierraum, sodass aus
Gleichung (2.5) folgt:
ˆ = σ̂S (ν)ÊTHz (ν).
J(ν)
(2.6)
Es ist zu erkennen, dass der gemessene Photostrom am Empfänger proportional zum elektrischen Feld des THz-Pulses ist: J(ν) ∝ ETHz (ν). Wird nun der Zeitpunkt des Auftreffens
des Laserpulses zeitlich bzgl. des THz-Pulses verändert (z.B. durch die Verwendung einer
Delay Line), kann dessen zeitlicher Verlauf abgetastet und so vermessen werden. Wichtig
zu erwähnen ist, dass niemals das elektrische Feld eines einzelnen Pulses gemessen wird,
sondern es sich aufgrund der hohen Repetitionsrate des Lasers um eine Mittelung sehr
vieler Pulse handelt.
Wie bei den Sender-Antennen spielen auch bei Empfängern die Elektrodenform und das
verwendete Halbleitermaterial eine Rolle.
2.2.3 Aufbau von photoleitenden Antennen
Photoleitende Antennen bestehen aus einem Halbleiterwafer, auf den zwei metallische
Elektroden zur Erzeugung der Dipolstruktur aufgebracht wurden. Für das Halbleitermaterial können je nach Anwendungsgebiet z.B. bei niedrigen Temperaturen hergestelltes
Indium-Gallium-Arsenid (LTG-InGaAs) und LTG-GaAsSb verwendet werden. Für Frequenzen im Bereich von 100...150 THz kommen sogar organische Kristalle wie DAST
zum Einsatz [5]. Entscheidend ist meist eine hohe Durchbruchspannung und eine möglichst kurze Lebensdauer der Ladungsträger, woraus sich eine große Frequenzbandbreite
ergibt. Aus diesem Grund wird häufig bei niedrigen Temperaturen hergestelltes GalliumArsenid (LTG-GaAs) mit einer Ladungsträgerlebensdauer von einigen hundert fs [5, 12]
gewählt. Auch in dieser Arbeit werden Antennen mit LTG-GaAs als Halbleitermaterial
verwendet.
Doch nicht nur die Wahl des Wafermaterials spielt eine Rolle für die Antenne. Form und
Abstand der aufgebrachten Elektroden beeinflussen ebenfalls die Eigenschaften, z.B. die
10
2.2 Erzeugung und Detektion von THz-Strahlung
Abbildung 2.4: Antennenstruktur in Form einer Spirale [18]
a) stripline
b) dipole
c) offset dipole
Abbildung 2.5: Schematische Darstellung von Antennenstrukturen
Frequenzbandbreite, des erzeugten THz-Pulses. Es werden viele Antennendesigns erprobt,
die u.a. zu einer Vergrößerung der Frequenzbandbreite führen sollen. Ein Beispiel dafür ist
in Abbildung 2.4 dargestellt. Ihre Herstellung ist aber meist sehr aufwendig und aufgrund
der geringen Stückzahl kostenintensiv. Drei häufig verwendete Strukturen sind schematisch in Abbildung 2.5 dargestellt. Abbildung 2.5 a) zeigt die sogenannte stripline, die nur
aus den parallel verlaufenden Elektroden besteht. Verringert man den Abstand der beiden Elektroden in der Mitte durch eine Dipolstruktur wie in Abbildung 2.5 b) zu sehen,
verringert sich die Frequenzbandbreite, während sich die Ausgangsleistung erhöht [12].
Eine einfache weitere Veränderung der Dipolstruktur stellt der versetzte Dipol dar, vgl.
Abbildung 2.5 c). In großer Stückzahl werden kommerziell vor allem Stripline- und Dipolantennen vertrieben. Daher wird in dieser Arbeit sowohl für die Transmitter- als auch
die Receiver-Antenne die einfache Dipolstruktur verwendet.
11
3 Methode zur Datenanalyse einer
THz-TDS-Messung
In diesem Kapitel wird die allgemeine Methode zur Auswertung einer THz-TDS-Messung
im Detail beschrieben. Ziel ist die Bestimmung und Berechnung des reellen Brechungsindexes und des Absorptionskoeffizienten.
3.1 Grundkonzept der Datenauswertung
Ausgangspunkt der Datenauswertung sind die aus einer THz-TDS-Messung gewonnenen
Messdaten. Wie bereits in Kapitel 2 beschrieben, wird das elektrische Feld des THzPulses in seiner zeitlichen Entwicklung vermessen. Für das elektrische Feld kann eine
Kombination aus vielen ebenen Wellen verschiedener Frequenzen
Z Z
E(t, z) =
E0 T̃ exp {i (ωt + kz)}dk dω
(3.1)
mit Ausbreitung in z-Richtung angenommen werden. Dabei sind ω = 2πν die Kreisfrequenz und k die Wellenzahl der Welle. Der Faktor T̃ ist der Gesamttransmissionskoeffizient, also das Produkt aus allen auftretenden Transmissionskoeffizienten, und ist wie folgt
definiert:
T̃ =
N
Y
Ti→i+1 .
(3.2)
i=1
Wobei die Einzeltransmissionskoeffizienten nach der Fresnelgleichung über die reellen Brechungsindizes der Medien gegeben sind:
Ti→i+1 =
2ni+1
.
ni + ni+1
(3.3)
Wird bspw. eine Probe untersucht, die von Luft umgeben ist, hat der Gesamttransmissionkoeffizient die Form: T̃ = TLuft→Probe · TProbe→Luft . Mithilfe der Fourier-Transformation
13
3 Methode zur Datenanalyse einer THz-TDS-Messung
(FT) kann das gemessene Signal aus dem Zeit- in den Frequenzraum umgerechnet werden.
Man erhält somit:
E(ω, z) = E0 (ω)T̃ exp {ikz} .
(3.4)
Die schnelle Fourier-Fransformation (FFT) ist direkt mit einem kommerziell erhältlichen
Auswertungsprogramm wie Origin durchführbar. Als Ergebnis erhält man die Amplitude
und die Phase als Funktion der Frequenz. Die FFT-Amplitude stellt das Spektrum des
gemessenen Signals dar, aus welchem bereits Absorptionslinien ermittelt werden können.
Des Weiteren kann die maximale Frequenz aus der Darstellung der Amplitude als Funktion
der Frequenz abgelesen werden. Sie entspricht der höchsten Frequenz, bei der die FFTAmplitude noch nicht in das Grundrauschen übergegangen ist.
Um aber weitergehende Informationen über einen Stoff zu erhalten, müssen zwei Messungen durchgeführt werden. Die erste Messung ist eine Referenzmessung (Ref) in Abwesenheit des Materials, während die zweite Messung eine Probenmessung (Sam1 ) in
Anwesenheit des Materials ist. Man erhält also nach der Fouriertransformation beider
Messungen:
Referenz :
Probe :
ERef (z, ω) = E0 (ω)T̃Ref exp {ikRef z} ,
ESam (z, ω) = E0 (ω)T̃Sam exp {ikSam z} .
(3.5)
(3.6)
Nun führt man den komplexen Brechungsindex2 n̂ = n + iκ ein, wobei n der bekannte
reelle Brechungsindex und κ der Extinktionskoeffizient, der die Absorption beschreibt,
sind. Zwischen der Wellenzahl und dem komplexen Brechungsindex besteht folgender
Zusammenhang:
k=
n̂ω
.
c
(3.7)
Setzt man nun Gleichung (3.7) in die Gleichungen (3.5) und (3.6) ein, so erhält man die
elektrischen Felder in Abhängigkeit des Brechungsindexes und des Extinktionskoeffizienten:
κRef (ω)ω
nRef (ω)ω
z exp −
z ,
Referenz : ERef (z, ω) = E0 (ω)T̃Ref exp i
c
c
nSam (ω)ω
κSam (ω)ω
Probe : ESam (z, ω) = E0 (ω)T̃Sam exp i
z exp −
z .
c
c
1
2
(3.8)
(3.9)
lang: Sample
Bei der Definition des komplexen Brechungsindexes wird in der Literatur auch häufig ein Minuszeichen
verwendet: n̂ = n − iκ.
14
3.1 Grundkonzept der Datenauswertung
Für den Quotienten der fouriertransformierten E-Felder ergibt sich:
n
o
n
o
nSam (ω)ω
κSam (ω)ω
E
(ω)
T̃
exp
i
z
exp
−
z
0
Sam
c
c
ESam (ω)
n
o
n
o .
=
ERef (ω)
E (ω)T̃ exp i nRef (ω)ω z exp − κRef (ω)ω z
0
Ref
c
(3.10)
c
Der Quotient der fouriertransformierten E-Felder entspricht einer Amplitude Ǎ und einer Phasenverschiebung (∆φ), wobei Ǎ =
AFFT,Sam
AFFT,Ref
der Quotient der durch die FFT be-
rechneten Amplituden und (∆φ) = φFFT,Sam − φFFT,Ref die Differenz der durch die FFT
berechneten Phasen sind:
ESam (ω)
≡ Ǎei(∆φ)
ERef (ω)
=
E0 (ω)T̃Sam exp
(3.11)
n
i nSamc(ω)ω z
o
exp
n
− κSamc(ω)ω z
o
n
o .
E0 (ω)T̃Ref exp i nRefc(ω)ω z exp − κRefc(ω)ω z
n
o
(3.12)
An dieser Stelle ist zu erkennen, dass aus der gesamten Propagationslänge z beider Wellen
nur die Dicke d der untersuchten Probe für die weiteren Rechnungen wichtig sind. Alle
weiteren Terme sind bei beiden Wellen identisch und kürzen sich in der Rechnung weg.
Dies geschieht auch bei den Transmissionskoeffizienten; die identischen Faktoren entfallen.
⇒
ESam (ω)
≡ Ǎei(∆φ)
(3.13)
ERef (ω)
ωd
ωd
T̃Sam
(κSam (ω) − κRef (ω)) exp i
(nSam (ω) − nRef (ω)) .
exp −
=
c
c
T̃Ref
| {z }
T
(3.14)
Durch Vergleich der Formeln (3.13) und (3.14) erhält man Gleichungen für die Amplitude
und die Phasenverschiebung:
ωd
Ǎ = T exp −
(κSam (ω) − κRef (ω)) ,
c
ωd
(nSam (ω) − nRef (ω)) .
(∆φ) =
c
(3.15)
(3.16)
Diese Gleichungen können einfach nach dem reellen Brechungsindex n und dem Extinktionskoeffizienten κ umgestellt werden:
c
T
+ κRef (ω),
κSam (ω) =
ln
ωd
Ǎ
(∆φ)c
nSam (ω) =
+ nRef (ω).
ωd
(3.17)
(3.18)
15
3 Methode zur Datenanalyse einer THz-TDS-Messung
Der Extinktionskoeffizient κ hängt über κ =
αc
2ω
mit dem Absorptionskoeffizienten α
zusammen, sodass sich abschließend ergibt:
T
2
αSam (ω) = ln
+ αRef (ω),
d
Ǎ
(∆φ)c
nSam (ω) =
+ nRef (ω).
ωd
(3.19)
(3.20)
Mithilfe der Gleichungen (3.19) und (3.20) lassen sich nun die gewonnenen Messdaten
auswerten und so der Brechungsindex und der Absorptionskoeffizient der untersuchten
Medien bestimmen.
Für die Datenauswertung ist es wichtig die Größen κRef (ω) bzw. αRef (ω) und nRef (ω)
der Referenzprobe zu kennen. Daher ist es von Vorteil eine Referenzmessung durchzuführen, bei der diese Größen entweder schon ausreichend bekannt oder leicht zu ermitteln
sind. So kann bspw. für eine Referenzmessung im Vakuum angenommen werden, dass
es zu keiner Absorption kommt, d.h. αRef (ω) = 0, und der Brechungsindex gleich eins,
nRef (ω) = 1, ist. Damit vereinfachen sich die Formeln und Rechnungen.
Beispiele für eine Messung des THz-Pulses und der durch FFT gewonnenen Phase und
Amplitude sind in Abbildung 3.1 zu sehen.
16
3.1 Grundkonzept der Datenauswertung
Detector Current [a.u.]
a)
4
3
2
1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Time [ps]
b)
Amplitude [a.u.]
0,1
0,01
1E-3
0
1
2
3
4
5
4
5
Frequency [THz]
c)
200
Phase [rad]
150
100
50
0
0
1
2
3
Frequency [THz]
Abbildung 3.1: Beispiele für eine THz-TDS-Messung und daraus berechneter FFTAmplitude und -Phase: a) gemessener THz-Puls; b) FFT-Amplitude;
c) FFT-Phase
17
3 Methode zur Datenanalyse einer THz-TDS-Messung
3.2 Die komplexe Dielektrizitätszahl
Aus den zuvor ermittelten Verläufen für n und κ und dem daraus resultierenden komplexen
Brechungsindex
n̂ = n + iκ
hα ci
(∆φ)c
Sam
+ nRef + i
=
ωd
2ω
(3.21)
kann nun auch die komplexe Dielektrizitätszahl berechnet werden. Allgemein gilt: ǫ̂r µ̂r =
n̂2 . Hier wird allerdings µ̂r = 1 angenommen.
ǫ̂r = n̂2
(3.22)
⇔ ǫ′r + iǫ′′r = n2 − κ2 + i2nκ
⇒ ǫ′r = n2 − κ2
∧
ǫ′′r = 2nκ
(3.23)
(3.24)
3.3 Der Etaloneffekt
3.3.1 Erklärung des Etaloneffekts
Bei der Messung von Proben mit planparallelen Flächen kommt es zum sog. Etaloneffekt. Trifft eine elektromagnetische Welle auf die Probe, so treten, wie in Abbildung 3.2
schematisch dargestellt, Mehrfachreflexionen innerhalb der Probe auf und führen zu einer
zeitlichen Verzögerung jeweils eines Teils des THz-Pulses.
Durch diese Verzögerungen treten in der Messung „Echos“ des (ersten) Hauptpulses mit
abnehmender Stärke auf. Ist die Dicke d der Probe so groß, dass die zeitliche Verschiebung
der verzögerten Pulsanteile außerhalb des gewählten Messbereiches liegt, haben die PulsEchos keinen Einfluss auf die Auswertung der Messdaten. Ist die Probe allerdings dünn,
so können mehrere dieser Nachpulse innerhalb des Messbereichs liegen, womit sich bei der
Auswertung Probleme ergeben. Bei der FFT-Amplitude ist eine periodische Schwingung
zu erkennen. Ein Beispiel für das Auftreten dieses Effekts ist bei der Messung an einem
Silizium-Wafer in Abschnitt 4.3.5 dargestellt.
Um diesen Effekt herauszufiltern, können die Messdaten bspw. geglättet oder gefiltert
werden. Nachteil dieser Methoden ist meist, dass es zu einem Verlust von Frequenzdaten bzw. einer Reduzierung der Frequenzauflösung kommt. Für Messungen an nicht stark
absorbierenden und nicht stark dispersiven Medien, bei denen die Puls-Echos nicht mit
dem Hauptpuls überlappen, haben Naftaly und Miles [19] deshalb einen Algorithmus zur
18
3.3 Der Etaloneffekt
n(ω)
E1
r1·E1
E2=t1·E1
ET1=t2·t1·E1
E3=r3·E2
t3·E3
E4=r2·E3
ET2=t2·r2·r3·t1·E1
d
Abbildung 3.2: Schematische Darstellung der Reflexion bei einer Probe mit planparallelen
Grenzflächen (Etaloneffekt)
Reduzierung des Etaloneffekts aus den Messdaten vorgestellt. Es kommt dabei weder
zu einer Beeinträchtigung der Frequenzauflösung noch zur Verfälschung von Absorptionspeaks. Der Algorithmus wurde bei der Messung an einem Silizium-Wafer im Rahmen
dieser Arbeit getestet, siehe dazu Abschnitt 4.3.5, und zeigte eine deutliche Reduzierung
des aufgetretenen Effekts. Im folgenden Abschnitt wird auf diesen Algorithmus daher kurz
eingegangen.
3.3.2 Entfernung des Etaloneffekts nach Naftaly und Miles
Die Beschreibung des Algorithmus zur Entfernung des Etaloneffekts nach Naftaly und
Miles bezieht sich ausschließlich auf die angegebene Veröffentlichung [19].
Das gemessene elektrische Feld des THz-Pulses inklusive der durch die Probe verursachten
Puls-Echos kann wie folgt dargestellt werden:
A(t) = A0 (t) ∗
∞
X
i=0
ai δ(t − ti ),
(3.25)
wobei A(t) die zeitabhängige Amplitude des THz-Pulses, A0 (t) die Amplitude des Hauptpulses und δ die Diracsche Deltafunktion darstellen. Die Werte für die Maxima ai und
deren zeitliche Position ti können direkt aus den gemessenen THz-TDS-Daten entnommen
werden. Zur Berechnung des E-Feldes im Frequenzraum E(ν) durch Fouriertransforma-
19
3 Methode zur Datenanalyse einer THz-TDS-Messung
tion F, kann es aufgrund des Faltungstheorems als Produkt des wahren THz-Feldes und
der Fouriertransformation des Delta-Funktion-Sets betrachtet werden:
#
"
X
ai δ(t − ti ) .
E(ν) = F [A(t)] = F [A0 (t)] · F
(3.26)
i=0
Zur Berechnung des fouriertransformierten Delta-Funktion-Sets F [
P
i=0
ai δ(t − ti )] muss
ein Datensatz mit der gleichen Anzahl an Datenpunkten erzeugt werden, wie in der Messung vorhanden. An die zeitlichen Positionen des Hauptpulses und der Nachpulse werden
Delta-Funktionen mit einer Amplitude des jeweiligen Pulses gesetzt.
Um das wahre Spektrum zu erhalten, wird das gemessene Spektrum durch jenes des
erstellten Delta-Funktion-Sets dividiert und mittels eines Faktors normiert.
Etrue (ν) = F [A0 (t)] = E(ν) ·
F[
P
M
,
i=0 ai δ(t − ti )]
(3.27)
wobei M der normierende Faktor bzgl. des Mittelwerts der Fouriertransformation des
Delta-Funktion-Sets ist.
20
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
Bei dem in dieser Arbeit verwendeten THz-Time-Domain-Spektrometer handelt es sich
um ein TERA K8-NL Terahertz Kit der Firma Menlo Systems GmbH. Als Laser steht
ein wellenlängenabstimmbarer Ti:Saphir-Femtosekundenlaser Mira 900 und als Pumplaser
ein dioden-gepumpter Nd:YVO4 -Laser Verdi V-18 mit einer Wellenlänge von 532 nm und
einer maximalen Ausgangsleistung von 18 W zur Verfügung. Beide Laser stammen von der
Firma Coherent. Der Aufbau des TDS-Systems wird im folgenden Abschnitt beschrieben.
Bei Lieferung befand sich das System, wie in Abbildung 4.1 zu sehen, in einer kompakten
Box, in der es direkt betrieben werden konnte. Aufgrund der kompakten Größe kann hier
auch von einem Table-Top-System gesprochen werden. Die Messelektronik sowie die Messund Kontrollsoftware stammen ebenfalls von der Firma Menlo Systems GmbH.
Alle in diesem Kapitel vorgestellten Messungen wurden in der zuvor beschriebenen TableTop-Konfiguration durchgeführt.
Abbildung 4.1: Aufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers als Table-Top-System bei
Auslieferung
21
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
4.1 Aufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers
Alternativ zu dem in dieser Arbeit verwendeten System ist es ebenfalls möglich das THzSignal mithilfe von elektro-optischem Sampling (EOS) zu detektieren oder eine andere
Form der Delay Line einzusetzen. Besonders schnelle und stabile Messungen können durch
Systeme mit faser-gekoppelten Antennen ohne mechanische Delay Line durchgeführt werden.
In Abbildung 4.2 ist schematisch der Aufbau des verwendeten THz-Time-Domain-Spektrometers dargestellt. Der Strahl des fs-Lasers läuft zunächst über zwei Justierspiegel (M1,
M2) durch eine λ/2-Verzögerungsplatte (HWP) und wird so zirkular polarisiert. Im polarisierenden Strahlteilerwürfel (PBSC) wird die horizontal polarisierte Komponente des
Lichts transmittiert und gelangt über drei weitere Spiegel (M3, M4, M5) zum TransmitterModul, in dem sich eine photoleitende Antenne befindet. Dort wird das THz-Signal, wie in
Abschnitt 2.2.1 beschrieben, erzeugt. Mit zwei TPX-Linsen (L1, L2) wird die THz-Welle
kollimiert bzw. nach dem Durchlaufen der Messstrecke wieder fokussiert. Die senkrecht
polarisierte Komponente des Lasers wird im Strahlteilerwürfel in Richtung der Delay Line
reflektiert und durchläuft dann eine λ/4-Verzögerungsplatte (QWP). Durch den Spiegel der
Delay Line (M6) wird der Strahl in sich zurück reflektiert, durchläuft ein weiteres Mal die
Verzögerungsplatte und ist aus diesem Grund nun horizontal polarisiert. Das Licht kann
den Strahlteilerwürfel ungehindert durchdringen und gelangt über zwei weitere Spiegel
(M7, M8) zum Receiver-Modul. Die Größe der Dipolstruktur der beiden Antennen beträgt 5 µm. Die drei Irisblenden (IR1, IR2, IR3) dienen fast ausschließlich der Justage.
Wird das System versetzt oder ändert sich das Pointing des Lasers sehr stark, kann das
Spektrometer so sehr schnell wieder justiert werden. Je nach Divergenz des verwendeten
Lasers kann seine Eingangsleistung mithilfe der ersten Irisblende leicht reguliert werden.
Dies ist wichtig, weil die Antennen bei zu hoher optischer Leistung zerstört werden können.
Wie in Abschnitt 2.2.2 beschrieben, wird am Receiver-Modul das THz-Signal detektiert.
Durch Verfahren der Delay Line wird der Gangunterschied zwischen den Laserstrahlen
geändert. Die Zeit, zu der der Detektor durch das Auftreffen des Lasers empfindlich geschaltet wird, kann also verändert werden, was die Abtastung des zeitlichen Verhaltens
des THz-Pulses erlaubt. Zusätzlich befindet sich an der Delay Line ein Shaker, mit dem
man durch Anlegen eines Sinussignals den Spiegel (M6) der Delay Line um seine Ruheposition herum auslenken kann. Dies ermöglicht eine schnelle Abtastung des THz-Pulses,
22
4.1 Aufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers
Ti:Sapphire
fs-laser
M2
M1
IR1
HWP
Delay Line
M6
QWP
IR3
PBSC
M7
IR2
M4
M3
Receiver
Module
Transmitter
Module
THz
M5
L1
M8
L2
Abbildung 4.2: Schematischer Aufbau eines THz-TDS
der so für die Optimierung des Signals auf einem Oszilloskop dargestellt werden kann.
Da der im Empfänger induzierte Strom im Bereich von einigen nA liegt, ist es notwendig
Lock-In-Technik einzusetzen. Um den Lock-In-Verstärker zu verwenden, wird der Bias der
Sender-Antenne über ein Rechtecksignal mit einer Frequenz im kHz-Bereich moduliert.
23
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
4.2 Untersuchung der Systemeigenschaften
Bevor das System aus der Table-Top-Konfiguration für den Betrieb mit Plasma umgebaut wurde, musste das System ausgiebig getestet werden. In diesem Abschnitt werden
Ergebnisse vorgestellt, die spezifische Systemeigenschaften behandeln.
4.2.1 Zeitliche Verschiebung des THz-Pulses bei Benutzung der Mess- und
Kontrollsoftware
Die Mess- und Kontrollsoftware ist ein mit LabView erstelltes Computerprogramm, über
das sowohl der Schrittmotor der Delay Line manuell gesteuert als auch eine Messung
automatisch durchgeführt werden kann.
Zwischen den beiden vorliegenden Programmversionen 2.712 und 2.732 zeigten sich Unterschiede während aufeinander folgender Messungen. Daraufhin wurden Messungen mit
beiden Programmversionen durchgeführt und auch mögliche Ursachen für die aufgetretenen Abweichungen (z.B. die Höhe des Motorstroms) überprüft.
Dazu wurde die jeweilige Programmversion gestartet und der Schrittmotor initialisiert.
Es wurden passende Einstellungen bzgl. der Integrationszeit, Schrittweite des Schrittmotors zwischen zwei Messpunkten und der Empfindlichkeit gewählt. Der Messbereich wurde
sinnvoll eingestellt und auf den Schlupf des Motors geachtet. So wurden einige Messungen direkt hintereinander durchgeführt. Alle Einstellungen und das Vorgehen bei jeder
Messung waren bei der Verwendung beider Programmversionen identisch.
Das Ergebnis ist in Abbildung 4.3 dargestellt, wobei a) die Messungen mit Version 2.712
und b) die mit Version 2.732 zeigt. Die Verschiebung des Pulses zu späteren Zeiten ist
bei Programmversion 2.732 deutlich zu erkennen, während es bei Programmversion 2.712
nahezu keine Verschiebung gibt. Eine sehr kleine Verschiebung ist einzig zwischen der
ersten und der zweiten Messung zu erkennen. Gleiche Ergebnisse zeigten sich auch für
höhere Motorströme. Eine zeitliche Verschiebung des Pulses kann neben einer Veränderung
auch zu einem Vorzeichenwechsel der FFT-Phase führen.
Fazit:
Eine Verwendung der Programmversion 2.732 ist nicht ratsam, da es bei aufeinander
folgenden Messungen zu einer zeitlichen Verschiebung des THz-Pulses zu späteren Zeiten
kommt. Da bei der Programmversion 2.712 keine Pulsverschiebung auftritt, wurde für alle
weiteren Messungen diese Version verwendet.
24
4.2 Untersuchung der Systemeigenschaften
a)
5
No. 1
Detector Current [a.u.]
No. 2
No. 3
4
No. 4
3
2
1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Time [ps]
b)
5
No. 1
Detector Current [a.u.]
No. 2
No. 3
4
No. 4
3
2
1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Time [ps]
Abbildung 4.3: Untersuchung der zeitlichen Verschiebung des THz-Pulses bei unterschiedlichen Programmversionen: a) Version 2.712 ; b) Version 2.732
25
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
4.2.2 Einfluss der Raumbeleuchtung
Durch Einschalten des Shakers an der Delay Line kann der THz-Puls schnell zeitlich abgetastet und auf dem Oszilloskop beobachtet werden. Das Sinussignal dient dabei als Trigger. Dabei konnten Störungen des Signals in Form eines sehr starken Rauschens durch die
beiden eingeschalteten Lampen der Raumbeleuchtung (links und rechts oberhalb des Systems) auf dem Oszilloskop beobachtet werden. Vermutlich führt die Frequenz von 50 Hz
der Wechselspannung zu einer Beeinflussung der Photoströme in den Antennen oder der
Signale in den Antennenkabeln. Daher wurde untersucht, wie stark der Einfluss der Raumbeleuchtung auf durchgeführte Messungen ausfällt. Die Ergebnisse für zwei verschiedene
Integrationszeiten sind in Abbildung 4.4 dargestellt.
Bei einer Integrationszeit von 0,3 ms ist der Einfluss der beiden Lampen deutlich zu
erkennen. Der Einfluss spielt allerdings schon ab 30 ms Integrationszeit keine erkennbare Rolle mehr. Für sehr präzise Messungen ist die Integrationszeit meist eine bis zwei
Größenordnungen höher, sodass die Raumbeleuchtung für diese Messungen nicht weiter
berücksichtigt werden muss. Dennoch wurden die meisten der vorgestellten Messungen
bei ausgeschalteter Beleuchtung durchgeführt.
26
4.2 Untersuchung der Systemeigenschaften
a)
7
no lamp
Detector Current [a.u.]
6
1lamp (left)
1lamp (right)
5
2 lamps
4
+3
3
2
+1
1
0
-1
-1
-2
-3
-3
-4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Time [ps]
b)
7
no lamp
6
1 lamp
Detector Current [a.u.]
5
2 lamps
4
+3
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Time [ps]
Abbildung 4.4: Untersuchung des Einflusses der Raumbeleuchtung bei Integrationszeiten
von a) 0,3 ms ; b) 30 ms
27
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
4.2.3 Einfluss der Divergenz des Laserstrahls
Der Ti:Saphir-Femtosekunden-Laser besitzt am Strahlausgang einen Durchmesser von ca.
1 mm. Seine Divergenz beträgt etwa 2 mrad, was über eine Strecke von zwei Metern
schon zu einer erheblichen Aufweitung des Strahls führt. Der Einfluss der Divergenz des
Laserstrahls auf die Stärke des erzeugten THz-Pulses wurde ebenfalls untersucht. Dazu
befand sich das TDS am Ende des Lasertisches in einer Entfernung von etwa zwei Metern vom Laser. Zunächst wurde der Strahl durch zwei langbrennweitige Linsen und einen
Zwischenfokus kollimiert und das THz-System so justiert, dass ein möglichst starker Puls
erzeugt wurde, wie er in Abbildung 4.5 zu sehen ist. Nach dieser Messung wurden die Linsen entfernt und das System unter den neuen Bedingungen erneut justiert, vgl. ebenfalls
Abbildung 4.5. Es ist ein Absinken der Amplitude des THz-Signals bei zunehmender Divergenz des Lasers zu erkennen. Dies könnte daran liegen, dass die Linse, die den Laser im
Antennenhalter auf die Antennenstruktur fokussiert, einen kleinen Durchmesser hat und
es dadurch zu Abschattungen und so zu einem Leistungsverlust kommt. Für Messungen
in größerer Entfernung zum Laser empfiehlt sich daher der Einsatz der zwei Linsen, um
den Laserstrahl zu kollimieren und so die Stärke des THz-Pulses zu erhöhen. Eine weitere
Möglichkeit besteht in der Verwendung eines Pinholes – ein kleines Loch als Raumfilter –
an der Position des Zwischenfokus, um auf diese Weise den Einfluss durch Schwankungen
des sogenannten Beam-Pointings drastisch zu reduzieren. Ändert sich das Beam-Pointing,
so kann sich der Fokus auf der PCA verschieben und dazu führen, dass die Dipolstruktur
nicht mehr getroffen wird.
4
collimated
Detector Current [a.u.]
not collimated
3
2
1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Time [ps]
Abbildung 4.5: Untersuchung des Einflusses der Divergenz des Lasers auf die Stärke des
THz-Pulses
28
4.3 Untersuchung verschiedener Materialien
4.3 Untersuchung verschiedener Materialien
Neben den Grundeigenschaften des THz-Time-Domain-Spektrometers wurden ebenfalls
einige Materialien untersucht. Einige der in diesem Kapitel vorgestellten Ergebnisse sind
aus Messungen bei feuchter Luft (relative Luftfeuchtigkeit von > 46 %) entstanden. Im
Verlauf dieser Arbeit wurde ein Luftfilter mit integriertem Aktivkohlefilter verwendet,
um die Labordruckluft zu entfeuchten und von evtl. noch vorhandenem Restöl zu befreien. Nach Installation des Filtersystems waren ebenfalls Messungen bei einer relativen
Luftfeuchtigkeit von < 10 % möglich.
In den folgenden Abschnitten wird zunächst die Fehlerabschätzung erklärt und dann auf
die einzelnen Messungen genauer eingegangen.
4.3.1 Fehlerbetrachtung
Nach Durchführung der FFT kann die Phasenverschiebung (∆φ) = φSam − φRef berechnet
werden. Unter Annahme eines nur linear von der Frequenz abhängenden Brechungsindex-
es wird nun der lineare Teil von (∆φ) angefittet. Während der folgenden Auswertung
ist darauf zu achten, dass der Frequenzbereich, für den die ermittelten Werte gültig sind,
durch den zuvor gewählten Bereich des linearen Fits festgelegt wurde. Sichere Schlüsse auf
den Verlauf von Größen außerhalb dieses Bereichs können nicht gezogen werden. In Kapitel 3 wurde die Formel (3.16) für die Phasenverschiebung in Abhängigkeit der Frequenz
hergeleitet:
d
(∆φ) = 2π (nSam (ν) − nRef (ν)) ν,
{z
}
| c
(4.1)
S
wobei ω = 2πν ist, S = 2π dc (nSam (ν) − nRef (ν)) die Steigung der hier angepassten Ge-
raden darstellt und nRef (ν) = 1 für Luft angenommen wird. Nach Umstellen der Formel
erhält man für den frequenzunabhängigen Brechungsindex:
nSam =
Sc
+ nRef .
2πd
(4.2)
Ist die Dicke d der Probe bekannt oder zuvor ebenfalls gemessen worden, kann der Brechungsindex ausgerechnet werden. Um den Fehler der berechneten Größe zu ermitteln,
müssen zunächst die fehlerbehafteten Messgrößen identifiziert werden: S, d und nRef . Die
Unsicherheit ∆S für die Steigung S ergeht aus der Anpassung der linearen Funktion an
die FFT-Phasendifferenz. Sie liegt typischer Weise bei unter 1 %. Zur Unsicherheit der
29
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
Probendicke d trägt nicht nur eine direkte Messunsicherheit, sondern auch eine kleine
Verdrehung der Probe bezüglich der THz-Welle bzw. der optischen Achse bei. Bei einer
Verdrehung der Probe um einige Grad verlängert sich der von der elektromagnetischen
Welle im Medium zurückgelegte Weg. Der Gesamtfehler für d wird daher auf ∆d = 0,02d
nach oben abgeschätzt. Eine weitere mögliche Fehlerursache liegt in der Parallelität der
Probenflächen. Sind die Flächen nicht genau parallel, so ändert sich die Dicke über die
Breite der Probe und führt zu weiteren Abweichungen. Diese sind allerdings schwer abzuschätzen und werden daher im Folgenden vernachlässigt. Die Abweichung des verwendeten
Brechungsindexes für Luft vom Literaturwert ist sehr gering. Dennoch wird eine maximale Abweichung von ∆nRef = 0,0003nRef angenommen. Mit gaußscher Fehlerfortpflanzung
ergibt sich für die Unsicherheit von nSam :
s
2
c 2
Sc
(∆S)2 +
(∆d)2 + (∆nRef )2 .
∆nSam =
2πd
2πd2
(4.3)
Für den Absorptionskoeffizienten wurde ebenfalls eine Formel in Kapitel 3 hergeleitet:
T
2
+ αRef (ν).
(4.4)
αSam (ν) = ln
d
Ǎ
In diesem Fall stellen Ǎ, T , d und αRef (ν) die fehlerbehafteten Größen dar, wodurch sich
mit gaußscher Fehlerfortpflanzung ergibt:
s
2
2
2
2
T
2
2
2
2
∆α =
(∆Ǎ)2 + (∆αRef )2 .
ln
(∆T ) +
(∆d) +
2
d
dT
dǍ
Ǎ
(4.5)
Die systematischen Fehler wirken sich vor allem auf den Quotienten Ǎ der FFT-Amplituden,
der von der betrachteten Frequenz abhängt, aus, was nur schwer abzuschätzen ist. Daher wird eine Abweichung von 10 % für die Fehlerbetrachtung von  angenommen. Der
Absorptionskoeffizient der Referenz wird αRef (ω) = 0 angenommen und in der Fehlerrechnung nicht weiter betrachtet. Somit ergibt sich für die zu berechnende Unsicherheit:
s
2
2
2
2
T
2
2
2
2
(∆d) +
ln
(∆T ) +
∆α =
(∆Ǎ)2 .
(4.6)
2
d
dT
Ǎ
dǍ
T ist dabei der Quotient der Transmissionskoeffizienten von Proben- und Referenzmessung
und hängt nach der Fresnelgleichung von den Brechungsindizes der Referenz (hier Luft)
und der Probe ab. Für die hier behandelten Fälle besitzt er folgende Form:
T =
30
4nSam nLuft
.
(nLuft + nSam )2
(4.7)
4.3 Untersuchung verschiedener Materialien
Auch hier ergibt sich eine Unsicherheit:
q
4|nSam − nLuft |
n2Sam (∆nLuft )2 + n2Luft (∆nSam )2 .
∆T =
(nLuft + nSam )3
(4.8)
Der so berechnete Fehler kann nun zur weiteren Berechnung in Gleichung (4.6) eingesetzt
werden, wobei der Fehler für den Brechungsindex der Probe aus obiger Formel (4.3)
bestimmt wird.
4.3.2 Vergleich von feuchter und trockener Luft
Durch die Möglichkeit Vergleichsmessungen zwischen trockener und feuchter Luft durchführen zu können, wurde der Einfluss von hoher Luftfeuchtigkeit und somit der Absorption der THz-Strahlung durch Wasser untersucht. In Abbildung 4.6 ist die Messung der
THz-Pulse bei hoher und niedriger relativer Luftfeuchtigkeit dargestellt. Das starke Nachschwingen des elektrischen Feldes, das bei hoher Luftfeuchtigkeit klar zu erkennen ist,
konnte durch die Verwendung von trockener Luft fast vollständig reduziert werden.
4
46 % r.H.
low r.H.
Detector Current [a.u.]
3
2
1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Time [ps]
Abbildung 4.6: Messung der THz-Pulse bei feuchter und trockener Luft
Durch die schnelle Fouriertransformation erhält man nun die Amplitude und die Phase der gemessenen Pulse als Funktion der Frequenz. Beides ist in Abbildung 4.7 zu sehen. Ausgehend von der Annahme einer linear von der Frequenz abhängigen Dispersion
n(ν) ∝ ν, kann aus der FFT-Phase eine deutliche Erweiterung des brauchbaren Frequenz-
bereiches abgelesen werden. Während die untere Grenzfrequenz bei beiden Messungen die
gleiche ist, erhöht sich die obere Grenzfrequenz von 1,4 THz bei hoher Luftfeuchtigkeit
auf fast 5 THz bei niedriger Luftfeuchtigkeit. Betrachtet man nun diese Frequenzen in
31
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
a)
250
46 % r.H.
low r.H.
Phase [rad]
200
5.0 THz
150
100
50
1.4 THz
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Frequency [THz]
b)
46 % r.H.
low r.H.
Amplitude [a.u.]
0,1
0,01
1.4 THz
5.0 THz
1E-3
1E-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Frequency [THz]
Abbildung 4.7: a) FFT-Phase ; b) FFT-Amplitude bei hoher und niedriger relativer
Luftfeuchtigkeit
der FFT-Amplitude, so erkennt man, dass die ermittelten 5 THz etwa der maximalen
Frequenz beider Messungen entsprechen. Es wird somit deutlich, dass bei geringer relativer Luftfeuchtigkeit eine stabilere und störungsfreiere Messung möglich ist. Dies wird
außerdem durch die in der FFT-Amplitude der Messung bei hoher Luftfeuchtigkeit sichtbaren Absorptionen unterstützt. Aus der Datenbank der NASA [20] wurden mögliche
Absorptionslinien im Bereich zwischen 0,5 und 3,0 THz herausgesucht und den vorliegenden Absorptionsdips zugeordnet. Abbildung 4.8 zeigt das Ergebnis. Viele Absorptionsdips
in der FFT-Amplitude konnten den molekularen Linien von Wasser zugeordnet werden.
Das Verschwinden der Absorptionen mit sinkender Luftfeuchtigkeit spricht für die richtige
Zuordnung der einzelnen Linien.
32
4.3 Untersuchung verschiedener Materialien
46 % r.H.
5x
H O : NASA
2
low r.H.
Amplitude [a.u.]
0,1
0,01
1E-3
1E-4
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Frequency [THz]
Abbildung 4.8: Zugeordnete Absorptionslinien
46 % r.H. (4step)
46 % r.H. (10step)
Amplitude [a.u.]
0,1
0,01
1E-3
1E-4
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Frequency [THz]
Abbildung 4.9: Vergleich der FFT-Amplituden aus Messungen mit unterschiedlichen
Schrittweiten
Eine Vergleichsmessung mit größerer Schrittweite der Delay Line zeigt eine gute Reproduzierbarkeit der zuvor beschriebenen Ergebnisse, vgl. Abbildung 4.9. Allerdings scheinen die
Absorptionen oberhalb von 3 THz nicht reproduzierbar zu sein, weshalb zuvor auch keine Zuordnung zu möglichen Absorptionslinien durchgeführt wurde. Während unterhalb
von 2,5 THz die Absorptionen sowohl in ihrer Frequenz als auch ihrer Stärke reproduzierbar sind, zeigen sich oberhalb bereits Abweichungen. Eine mögliche Ursache ist die
größere Schrittweite bei der Vergleichsmessung, durch die es evtl. zu diesen Abweichungen
kommt. Dennoch ist nochmals zu bemerken, dass eine qualitative Reproduzierbarkeit der
Messdaten bis zu 3 THz möglich war.
33
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
4.3.3 Messungen an Plexiglas
Die hier vorgestellten Messungen an Plexiglas wurden bei hoher Luftfeuchtigkeit durchgeführt, da zu diesem Zeitpunkt noch keine Versorgung mit Trockenluft bestand.
Vermessen wurde Plexiglas mit planparallelen Flächen und einer Dicke von d = 3,9 mm.
Abbildung 4.10 zeigt die Referenzmessung ohne und die Probenmessung mit Plexiglas.
Das Plexiglas wird bei der Messung möglichst senkrecht in den THz-Strahl eingebracht.
Zum einen konnte so der optische Weg durch das Medium besser vermessen werden und
zum anderen spielt der Etaloneffekt bei der Probendicke keine Rolle, da mögliche Pulsreflexionen außerhalb des Messbereiches liegen. Durch den höheren Brechungsindex von
Plexiglas bewegt sich der THz-Puls langsamer im Medium als durch Luft, wodurch er
zeitlich im Vergleich zum Referenzpuls verzögert wird. Dies ist ebenfalls in Abbildung
4.10 zu erkennen.
5
Air (Ref)
Plexiglas, d = 3,9 mm
Detector Current [a.u.]
4
3
2
1
0
-1
0
5
10
15
20
25
30
Time [ps]
Abbildung 4.10: Gemessene Referenz- und Probenpulse bei der Messung an Plexiglas
(d = 3,9 mm)
Nach Durchführung aller Rechnungen aus Abschnitt 4.3.1 erhält man die in Abbildung
4.11 dargestellten Ergebnisse.
Es ist ebenfalls möglich den Verlauf der Phasendifferenz mit dem Programm Origin zu
differenzieren und die Steigung jedes Punktes für S einzusetzen. Bei einem linearen Verlauf der Phasendifferenz und ohne große Störungen liefert auch diese Methode – ohne eine
durchgeführte Glättung der Kurve – ein vergleichbares Ergebnis für den Brechungsindex
n. Beide Möglichkeiten zur Berechnung des Brechungsindexes aus den Messdaten können
in Abbildung 4.11 a) beispielhaft verglichen werden, wobei bei der zweiten Methode auf
34
4.3 Untersuchung verschiedener Materialien
Plexiglas, d = 3,9 mm
a)
Plexiglas, d = 3,9 mm (from Fit)
2,00
Index of refraction n
1,75
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
Frequency [THz]
Absorption coefficient [1/mm]
b)
Plexiglas, d = 3,9 mm (n from Fit)
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
Frequency [THz]
Abbildung 4.11: Brechungsindex (a) und Absorptionskoeffizient (b) von Plexiglas
(d = 3,9 mm)
35
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
die Berechnung des Fehlers verzichtet wurde. Auch bei anderen Messungen ist die Berechnung des Brechungsindexes auf diese Weise möglich. Für die weiterführenden Rechnungen
werden allerdings die Ergebnisse aus der linearen Regression verwendet, da sie gut mit den
Ergebnissen der zweiten Methode übereinstimmen, aber im Vergleich dazu kein Rauschen
aufweisen.
Das Ergebnis für den Brechungsindex liegt bei n = 1,572±0,012. Bis auf einen Faktor von
< 4 deckt sich der ermittelte Absorptionskoeffizient mit den Ergebnissen von Fischer [21].
Da sowohl der Brechungsindex n als auch der Absorptionskoeffizient α von der Zusammensetzung des Plexiglases abhängen und unbekannt waren, konnte kein detaillierterer
Vergleich durchgeführt werden. Die Werte für α liegen bei niedrigen Frequenzen leicht
unterhalb von Null. Dies kann zum einen in der Wahl des Absorptionskoeffizienten der
Referenzprobe αRef = 0 begründet liegen, der genau einem negativen Offset entgegenwirken würde. Gerade bei hoher Luftfeuchtigkeit ist die Absorption einiger Spektrallinien
sehr stark, wie es bereits in Abschnitt 4.3.2 diskutiert wurde. Zum anderen liegen die
negativen Werte sehr dicht an der unteren Detektionsgrenze, wodurch sich bei der Auswertung Fehler ergeben könnten.
Zur weiteren Untersuchung der Leistungsfähigkeit des verwendeten Systems wurde erneut
Plexiglas vermessen. Diesmal allerdings mit einer Dicke von d = 5,6 mm. Im folgenden
Schritt wurden zwei Platten derselben Dicke gleichzeitig in einen Halter gespannt, sodass
möglichst keine Luft mehr zwischen den Platten vorhanden war. Folglich lag so eine Probendicke von d = 11,2 mm vor. Wie bereits bei der Messung zuvor kommt es auch hier zu
einer zeitlichen Verzögerung des THz-Pulses in Anwesenheit der Probe und Abhängigkeit
ihrer Dicke, vgl. Abbildung 4.12.
Die Auswertung liefert für die Brechungsindizes einen Wert von n = 1,599 ± 0,011 für die
dünnere und n = 1,606 ± 0,011 für die Probe doppelter Dicke. Die beiden Werte stimmen
also überein. Die Bestimmung des Brechungsindexes ist unabhängig von der Dicke und
der starken Absorption der Probe. Die Ergebnisse für die Absorptionskoeffizienten sind
in Abbildung 4.13 a) aufgetragen. Da für (∆φ) jeweils eine andere obere Grenzfrequenz
existiert – die untere ist in beiden Fällen identisch – , unterscheiden sich die für die
lineare Regression verwertbaren Frequenzbereiche. Dies ist in Abbildung 4.13 a) ebenfalls
gekennzeichnet. Dennoch fällt auf, dass die Verläufe des Absorptionskoeffizienten in dem
Bereich, für den die Regression bei der doppelten Probendicke nicht mehr gilt (etwa
0,5 THz bis 1,0 THz), nicht stark voneinander abweichen. Betrachtet man nur den für
36
4.3 Untersuchung verschiedener Materialien
5
Air (Ref)
4
Plexiglas, d = 5,6 mm
Detector Current [a.u.]
Plexiglas, d = 11,2 mm
3
2
1
0
-1
-2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Time [ps]
Abbildung 4.12: Gemessene Referenz- und Probenpulse bei der Messung an Plexiglas
(d = 5,6 mm und d = 11,2 mm)
beide Dicken gültigen Bereich (Abbildung 4.13 b)), so sieht man auch hier eine gute
Übereinstimmung der ermittelten Größen. Die Ergebnisse, sowohl für den Brechungsindex
als auch für den Absorptionskoeffizienten, sind also bei gleichem Material unterschiedlicher
Dicke reproduzierbar.
37
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
Plexiglas, d = 5.6 mm
Absorption coefficient [1/mm]
a)
Plexiglas, d = 11.2 mm
2,5
both
only
samples
d = 5.60 mm
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
Frequency [THz]
Plexiglas, d = 5.6 mm
Absorption coefficient [1/mm]
b)
Plexiglas, d = 11.2 mm
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-0,1
-0,2
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
Frequency [THz]
Abbildung 4.13: α von Plexiglas unterschiedlicher Dicke (d = 5,6 mm und d = 11,2 mm):
a) vollständiger Frequenzbereich, b) für beide Dicken gültiger Bereich
38
4.3 Untersuchung verschiedener Materialien
4.3.4 Untersuchung von Vakuumfenstermaterialien (z-cut-Quarz und BK-7)
Im späteren Verlauf des Experiments sollen Messungen an einem Plasma durchgeführt
werden. Das Plasma befindet sich in einem Niederdruckgefäß, weshalb der optische Zugang
nur über Fenster möglich ist. In der Literatur werden für THz-Anwendungen verschiedene
Fenstermaterialien empfohlen. Dazu gehören unter anderem Siliziumfenster und sogenannte z-cut- oder c-cut-Quarzfenster. Bei diesen Fenstern ist der Quarzkristall senkrecht zu
seiner z-Achse geschliffen, was zu einer deutlich besseren Transmission elektromagnetischer
Strahlung im THz-Bereich führt. Eine schematische Darstellung der Quarzkristallachsen
ist in Abbildung 4.14 zu sehen.
Für das verwendete Experiment stehen 2 der beschriebenen z-cut-Quarzfenster mit einer
Dicke von d = 3 mm und einem Sichtdurchmesser von D = 32 mm zur Verfügung. Zum
Vergleich wurde ein üblicherweise verwendetes BK7-Fenster mit gleicher Dicke und gleichem Sichtdurchmesser ebenfalls vermessen. Die hier vorgestellten Messungen wurden in
trockener Luft mit einer relativen Luftfeuchtigkeit < 10 % durchgeführt.
Für die Brechungsindizes ergeben sich folgende Werte:
nz−cut = 1,961 ± 0,019,
nBK7 = 2,286 ± 0,026.
(4.9)
(4.10)
Der ermittelte Wert für den Brechungsindex von z-cut-Quarz liegt nahe am Literaturwert
von nz−cut,Lit = 2,1. Der Absorptionskoeffizient aus beiden Messungen ist in Abbildung
4.15 a) dargestellt. Bei dem BK7-Fenster zeigt sich ein sehr starkes Rauschen oberhalb
der für den Fit gültigen Frequenz. Ein solches Fenster ist sichtlich ungeeignet für den
Einsatz mit einem THz-TDS. Im für beide Fenster gültigen Frequenzbereich zeigen sich
große Abweichungen zwischen den beiden Fenstermaterialien, vgl. Abbildung 4.15 b). Der
Anstieg des Absorptionskoeffizienten mit zunehmender Frequenz für das z-cut-Quarz ist
geringer als der des BK7. Die Werte für z-cut-Quarz konnten durch eine weitere Messung
reproduziert werden. Bei allen Messungen zeigt sich ein Offset der Messwerte, der durch
den Verlauf der FFT-Amplituden bei Proben mit hoher Transmission zustande kommen
könnte. Ein Beispiel dafür ist in Abbildung 4.8 zu sehen. Die FFT-Amplitude der Referenzmessung (in der Abbildung: Messung bei niedriger relativer Luftfeuchtigkeit) verläuft
unterhalb der Probenmessung, was zu einem negativen Absorptionskoeffizienten führt.
Das Auftreten des Offsets wird nach dem Umbau des Systems, nach dem sich ein Großteil
der Messstrecke im Vakuum befindet, weiter untersucht.
39
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
Abbildung 4.14: Achsen des Quarzkristalls (SiO2 ) [22]
40
4.3 Untersuchung verschiedener Materialien
z-cut quartz window (Fit)
a)
BK7 window (Fit)
5
only z-cut-quartz
Absorption coefficient [1/mm]
both windows
4
3
2
1
0
-1
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
Frequency [THz]
z-cut quartz window (Fit)
Absorption coefficient [1/mm]
b)
BK7 window (Fit)
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Frequency [THz]
Abbildung 4.15: Absorptionskoeffizient von z-cut-Quarz und BK7: a) großer Frequenzbereich, b) für beide Materialien gültiger Frequenzbereich
41
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
4.3.5 Messung an einem Silizium-Wafer
Wie bereits in Abschnitt 3.3.2 beschrieben, wird im Folgenden kurz der Erfolg des von
Naftaly und Miles vorgestellten Algorithmus zur Entfernung des Etaloneffekts [19] am Beispiel eines Silizium-Wafers gezeigt. Vermessen wurde ein Si-Wafer der Dicke d = 0,40 mm.
Aufgrund der sehr geringen Dicke der Probe ist die zeitliche Verzögerung der an der
Grenzfläche im Inneren des Wafers reflektierten Teilpulse so gering, dass sie innerhalb
des Messbereiches liegen und damit auch einen erheblichen Einfluss auf die folgende Auswertung haben. In Abbildung 4.16 sind die aufgenommenen Referenz- und Probenpulse
aufgetragen. Mit jeweils abnehmender Peakhöhe können drei Pulsreflexionen identifiziert
werden. Die Pulse sind äquidistant, weshalb innerhalb des Messbereiches eine weitere
Reflexion vermutet wurde. Bei genauer Betrachtung des entsprechenden Bereichs konnte allerdings aufgrund des Signal-zu-Rausch-Verhältnisses kein weiterer Puls identifiziert
werden. Die weitere Auswertung erfolgte also nur unter Berücksichtigung des Hauptpulses
und seiner drei nachfolgenden Reflexionen. Das Vorgehen entsprach dem in Abschnitt 3.3.2
beschriebenen Algorithmus. Das konstruierte Delta-Funktion-Set wird in der graphischen
Darstellung der Ergebnisse als Delta4-Set bezeichnet, weil dort vier Delta-Funktionen
eingehen. In Abbildung 4.17 sind die Amplituden der einzelnen Komponenten der Prozedur dargestellt. Die Original-Amplitude entspricht der durch FFT berechneten Amplitude
des gemessenen Signals. Sie zeigt eine überlagerte starke harmonische Schwingung. Ausgehend von den bisher durchgeführten Messungen an anderen Materialien ist der Einfluss
der Pulsreflexionen in der Probe sehr stark und erklärt die Notwendigkeit einer Prozedur zur Entfernung eben dieses Effekts. Ebenfalls aufgetragen ist die FFT-Amplitude
des Delta4-Sets. Ihr Maximum liegt im Vergleich zur Original-Amplitude sehr niedrig;
sie spiegelt allerdings in der Periodizität die überlagerte harmonische Schwingung in der
Amplitude des gemessenen Pulses wider. Mit der FFT-Amplitude des Delta4-Sets kann
nun die Original-FFT-Amplitude des gemessenen Signals korrigiert werden, wie ebenfalls
in Abbildung 4.17 dargestellt. Berechnet man mit dem ursprünglichen Signal und seiner Korrektur jeweils den Absorptionskoeffizienten des Silizium-Wafers, so kann man eine
klare Verbesserung erkennen, vgl. Abbildung 4.18.
Durch die verwendete Prozedur wurde der Etaloneffekt nicht vollständig, aber zum Großteil entfernt. Ebenfalls ist zu erkennen, dass es keinen Verlust von Frequenzinformationen
gab. Üblicherweise würde sich dies durch eine niedrigere maximale Frequenz bemerkbar
machen. Dies ist aber nicht der Fall; der Verlauf der korrigierten Amplituden folgt dem
42
4.3 Untersuchung verschiedener Materialien
4,0
Air (Ref)
3,5
Detector Current [a.u.]
Si-Wafer (Sam)
main pulse
3,0
2,5
2,0
etalon reflections
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Time [ps]
Abbildung 4.16: Gemessene Referenz- und Probenpulse bei der Messung eines Si-Wafers
0,1
Si Wafer (Sam) - Original
Delta4-Set
Si-Wafer (Sam) - Corrected
Amplitude [a.u.]
by Delta4-Set
0,01
1E-3
1E-4
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Frequency [THz]
Abbildung 4.17: FFT-Amplituden
während
der
Prozedur
zur
Entfernung
des
Etaloneffekts
43
4 Erprobung des THz-Time-Domain-Spektrometers
4
Si Wafer (Sam) _ Original
Absorption coefficient [1/mm]
Si Wafer (Sam) _ corrected by Delta4-Set
3
2
1
0
-1
-2
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
Frequency [THz]
Abbildung 4.18: Absorptionskoeffizienten vor und nach Entfernung des Etaloneffekts
mittleren Verlauf der Original-Amplitude. Die ablesbare maximale Frequenz ist in beiden
Fällen identisch (Abbildung 4.17).
Es wurde gezeigt, dass der von Naftaly und Miles vorgestellte Algorithmus auch hier zu
einer deutlichen Verminderung des Etaloneffekts führt. Sollte bei zukünftigen Messungen
im Plasma dieser Effekt auftreten, so kann die hier erprobte Prozedur evtl. angepasst
und/oder (direkt) verwendet werden.
44
Teil II
Anwendung von THz-TDS in der
Plasmaphysik
45
5 Aufbau einer induktiv gekoppelten magnetischen
Multipol-Entladung (Bucket Source)
5.1 Entladungsaufbau
Das ursprüngliche Design des Entladungsgefäßes stammt von Maurmann et al. [23] aus
dem Jahr 2000. Die Entladung wurde zunächst über eine direkt geheizte LanthanhexaboridKathode (LaB6 ) betrieben und im Rahmen der Dissertation von Tatiana Babkina [24] für
den ICP-Betrieb umgebaut.
Der schematische Aufbau des Entladungsgefäßes ist in Abbildung 5.1 dargestellt. Es besteht aus einem 33 cm hohen Zylinder mit einem Innendurchmesser von 15 cm. Auf drei
Ebenen befinden sich jeweils vier kreuzförmig angeordnete CF40-Flansche. Die oberen
Flansche dienen dem Gaseinlass, während die unteren Flansche mit den Vakuumpumpen
verbunden sind. Für die Gasversorgung werden ein Massflow-Controller und ein passendes Steuergerät verwendet. Bei den Vakuumpumpen handelt es sich um eine MembranVorpumpe und eine Turbomolekularpumpe, mit denen ein Enddruck im Bereich von
10−5 Pa erreicht wird. Zwischen der Kammer und den Vakuumpumpen ist ein Plattenventil angebracht, das für das Abpumpen geöffnet werden kann. Während des Experiments
wird es geschlossen und der Druck über einen Bypass und ein von Hand regelbares Ventil
kontrolliert. Auf der mittleren Flanschebene verschließen jeweils zwei z-cut-Quarz- und
BK7-Fenster die Kammer. Dabei liegen sich Fenster gleicher Materialien direkt gegenüber.
So können auf dieser Ebene THz-Spektroskopie, Emissionsspektroskopie und andere optische Diagnostiken durchgeführt werden.
Am unteren Ende schließt sich die Kammer kegelförmig und endet ebenfalls in einem
CF40-Flansch. Dort sind zwei Druckmessgeräte angeschlossen. Mit dem einen Messgerät
kann über eine Kaltkathoden- und Pirani-Messung ein weiter Druckbereich erfasst werden und dient somit der Überwachung des Drucks während der Abpumpphase und des
Nicht-Betriebs der Entladung. Eine gasartunabhängige kapazitive Messung ist mit dem
47
5 Aufbau einer induktiv gekoppelten magnetischen Multipol-Entladung (Bucket Source)
a)
matching
gas inlet
vacuum
pump system
pressure
measurement
b)
magnetic yoke
magnet
column
Abbildung 5.1: Schematische Darstellung der Entladungskammer: a) vertikaler Schnitt
ohne Magnete, b) horizontaler Schnitt mit Magneten
48
5.1 Entladungsaufbau
Abbildung 5.2: Schematische Darstellung einer Doppelspiralantenne mit zwei Windungen
pro Spirale
zweiten Gerät im Druckbereich während des Experiments möglich. Ein BK7-Fenster dient
zur Beobachtung des Plasmas entlang der z-Achse des Zylinders.
Am oberen Ende der zylindrischen Kammer ist ein Quarztopf in die Kammer eingehängt.
In den Quarztopf wird von oben die Spule für die induktive Kopplung eingebracht. Es
handelt sich bei der Spule um eine Doppelspiralantenne mit jeweils zwei Windungen pro
Spirale, wie sie in Abbildung 5.2 schematisch dargestellt ist. Sie ist direkt mit der MatchBox verbunden, die die Anpassung der Ausgangsimpedanz des RF-Generators an die Impedanz des Plasmas über regelbare Kapazitäten vornimmt. Der verwendete RF-Generator
liefert eine Frequenz von 13,56 MHz und eine maximalen Ausgangsleistung von 1,2 kW.
Der vertikale Abstand zwischen Quarztopf und der Beobachtungsebene liegt bei 4 cm.
Die magnetische Konfiguration (Abbildung 5.3) wird durch acht magnetische Säulen (magnet column) realisiert, die radialsymmetrisch mit radial-alternierender Polarität vertikal
entlang der äußeren Wand des Entladungsgefäßes verlaufen, vgl. Abbildung 5.1. Aufgrund
der Magnetfeldkonfiguration wird die Entladung oftmals als Multi-cusp- oder Multipolentladung bezeichnet; es ist aber auch der Begriff Bucket Source geläufig. In speziellen
Halterungen befinden sich in jeder Säule neun Päckchen mit jeweils fünf Samarium-CobaltMagneten (SmCo217). Am kegelförmigen unteren Teil der Kammer wird die Säulenstruktur mit jeweils zwei Magnetpäckchen pro Säule fortgesetzt. Der magnetische Fluss auf der
Oberfläche eines Päckchens wurde mit einer Hall-Sonde gemessen und beträgt etwa 350
mT. Die Magnetfeldlinien außerhalb der Kammer werden durch Stahljoche geschlossen.
Es sind spezielle Messing-Kühlkanäle (Flachkantrohre) mit einer Gesamtdicke von 2 mm
49
5 Aufbau einer induktiv gekoppelten magnetischen Multipol-Entladung (Bucket Source)
Abbildung 5.3: Schematische Darstellung der Magnetfeldkonfiguration in der Bucket
Source [24]
und einer Wandstärke von 0,5 mm zwischen der Kammerwand und den magnetischen
Säulen befestigt. Als Kühlwasser wird deionisiertes Wasser verwendet, welches über einen
Wärmetauscher gekühlt wird.
5.2 Instandsetzungsarbeiten an der Entladungskammer
Teil dieser Arbeit war es die Bucket Source wieder soweit herzurichten, dass Experimente
damit durchgeführt werden können. Während der letzten Jahre befand sich das Experiment außer Betrieb.
Zunächst wurde die Kammer komplett demontiert und das Entladungsgefäß mittels Sandstrahlen und mechanischem Schleifen innen und außen gereinigt. Beschädigte Magnete
wurden ersetzt und die Magnethalterungen erneuert bzw. in Stand gesetzt. Die Kühlkanäle wurden komplett durch geringfügig dickwandigere ersetzt. Der Quarztopf, in dem
sich die Antenne für die induktive Kopplung befindet, musste von Metallbeschichtungen
mithilfe von Königswasser und Diamantschleifpaste gereinigt werden. Um bei niedrigen
Drücken und niedriger Leistung ein automatisches Matching zu gewährleisten, wurde ein
Kondensator in der Match-Box ersetzt.
Aus Langmuir-Sonden-Messungen und optischer Emissionsspektroskopie (OES) ist bekannt, dass die Elektronentemperatur um kB Te ≈ 4 eV und die Elektronendichte im
Bereich von ne ≈ 1012 cm−3 liegen [25].
50
5.3 Messung und Simulation des statischen Magnetfeldes
100
80
measurement 1
flange
measurement 2
(wall)
simulation (x20)
|B| [mT]
60
flange
40
(window)
chamber
center
20
0
-5
0
5
10
15
position [cm]
Abbildung 5.4: Messung und Simulation des Magnetfeldes innerhalb der Kammer
5.3 Messung und Simulation des statischen Magnetfeldes
Mit einer Hallsonde wurde das Magnetfeld innerhalb der Kammer in radialer Richtung
durch die Mitte eines Beobachtungsflansches gemessen. Die Hallsonde war dabei auf einem Mikrometertisch montiert. Zunächst wurde das Magnetfeld von außen nach innen
über die Mitte hinweg gemessen. Aus technischen Gründen konnte das Feld nur bis zu
2 cm vor der gegenüberliegenden Wand gemessen werden. Zur Kontrolle wurde ebenfalls
von innen nach außen gemessen. Die beiden Messungen sind in Abbildung 5.4 dargestellt
und stimmen gut überein. Dies gilt auch für den Vergleich mit der 2000 von Maurmann et
al. [23] durchgeführten Messung beim Bau der Kammer. Darüber hinaus wurde von Dr.
Tsanko Tsankov ein 3D-Modell der Flanschebene im Programm COMSOL erstellt und
das Magnetfeld simuliert. Das Ergebnis ist ebenfalls in Abbildung 5.4 zu sehen. Bis auf
einen Skalenfaktor, der aus der für die Simulation geschätzten Magnetisierung der Magnete zustande kommt, stimmt auch die Simulation sehr gut mit der durchgeführten Messung
überein. Die Stärke des magnetischen Feldes in der Beobachtungsebene ist ebenfalls der
Simulation entnommen und in Abbildung 5.5 zu betrachten.
Die Messung des Magnetfeldes direkt vor der Wand ergab einen Wert von 120 mT, was
nur etwa der Hälfte des von Maurmann et al. [23] gemessenen Wertes entspricht. Die Abweichung könnte durch die freihändig durchgeführte Messung und die dickeren Kühlkanäle
zu erklären sein.
51
5 Aufbau einer induktiv gekoppelten magnetischen Multipol-Entladung (Bucket Source)
Abbildung 5.5: Simulation
des
Beobachtungsebene
52
Magnetfeldes
innerhalb
der
Kammer
in
der
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von
THz-TDS auf Plasmen
6.1 Allgemeine Plasmagrundlagen
Unter einem Plasma versteht man ein (teilweise) ionisiertes quasineutrales makroskopisches System, in dem kollektive Effekte auftreten. Es handelt sich also um ein Gasgemisch
aus Elektronen, Ionen und Neutralteilchen. Unter Quasineutralität versteht man, dass die
Anzahl der positiven und negativen Ladungen gleich sind und es demnach nach außen
hin neutral erscheint. Des Weiteren werden Ladungen im Plasma nach einer bestimmten
Strecke λD , der Debye-Länge, vollständig abgeschirmt. Um eine Probeladung bildet sich
eine Kugel mit dem Radius
r
ǫ0 kB Te
,
(6.1)
ne e 2
außerhalb derer die Probeladung nicht mehr wahrnehmbar ist. ǫ0 sei die elektrische FeldλD =
konstante, kB die Boltzmannkonstante, Te die Elektronentemperatur, ne die Elektronendichte und e die Elementarladung. Eine Kugel mit diesem Radius wird Debye-Sphäre
genannt. Im Gegensatz zu einem neutralen Gas, können durch die freien Ladungsträger
im Plasma z.B. Ströme entstehen, die wiederum ein Magnetfeld induzieren. Die entstandenen Felder beeinflussen auch Teilchen in größerer Entfernung, während in einem neutralen
Gas nur die Beeinflussung des nächsten Stoßpartners möglich ist.
Durch die Existenz der fernwirkenden Felder treten im Plasma auch Wellenphänomene
auf. Bei den Wellen kann es sich sowohl um elektromagnetische als auch elektrostatische
als auch akustische Wellen handeln. Für jede Welle kann eine Dispersionsrelation hergeleitet werden, die die Ausbreitung der Wellen im Plasma beschreibt. Diese Dispersionsrelationen sind nicht nur für im Plasma erzeugte Wellen, sondern auch für von außen ins
Plasma eingestrahlte Wellen gültig, weshalb sie für die Verwendung eines Terahertz-TimeDomain-Spektrometers auch von Bedeutung sind. Genauer wird darauf in Abschnitt 6.2
eingegangen. Aufgrund der besonderen Eigenschaften des Plasmas unterscheidet es sich
von anderen Materialien.
53
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
6.1.1 Die Plasmafrequenz
Ein Phänomen im Plasma lässt sich wieder auf die Existenz freier Ladungsträger zurückführen. Es kommt zu einer Oszillation im Plasma mit der sogenannten Plasmafrequenz.
Stellt man sich ein quasineutrales Plasma vor, dessen Elektronen durch eine externe Kraft
kurzzeitig in eine Richtung ausgelenkt werden, so stellt sich eine rückstellende Kraft ein.
Die Elektronen schwingen zurück und über ihre Ausgangslage hinweg, worauf sich erneut eine Rückstellkraft aufbaut, die sie in Richtung ihrer Ausgangslage beschleunigt. Es
kommt zu einer Oszillation der Elektronen. Diese Bewegung lässt sich durch eine Differentialgleichung beschreiben und so auch die Frequenz der Schwingung bestimmen:
ωp =
s
ne e 2
,
ǫ0 m e
(6.2)
wobei me die Elektronenmasse ist.
Dies gilt ebenfalls für die Bewegung der Ionen. Allerdings ist ωIon ≪ ωElektron , weshalb sie
in den meisten Fällen vernachlässigt wird.
Im weiteren Verlauf dieser Arbeit ist die Plasmafrequenz der Elektronen in jeder vorgestellten Wellenausbreitung im Plasma von Bedeutung.
6.1.2 Induktive Kopplung
Da es sich bei der in Abschnitt 5.1 beschriebenen Plasmaentladung um ein induktiv gekoppeltetes Plasma, engl. inductively coupled plasma (ICP), handelt, wird hier der Mechanismus der induktiven Kopplung kurz erläutert. Der Begriff induktive Kopplung begründet sich in der Art, wie das Plasma erzeugt wird. An eine Spule, die sich bei dem
in dieser Arbeit verwendeten Versuchsaufbau in einem Quarztopf, der als Dielektrikum
dient, im Inneren des Entladungsgefäßes befindet, wird mit einem RF-Generator eine sinusförmige Spannung angelegt. Aufgrund der Freigabe dieser Frequenz und ihrer höheren
Harmonischen durch die International Telecommunication Union (ITU) liegt die Frequenz
des Spannungssignals bei 13,56 MHz. Die angelegte Spannung führt zu einem Stromfluss
durch die Antenne. Nach den Maxwellgleichungen induziert der erzeugte Strom ein zeitlich
veränderliches magnetisches Feld, welches im Plasma ein dem angelegten Feld entgegengerichtetes, torusförmiges E-Feld erzeugt [26, 27]. Schon vorhandene Elektronen werden
dort beschleunigt. Es kommt dann aufgrund der sinusförmigen Schwingung zweimal pro
RF-Periode zur Heizung des Plasmas.
54
6.1 Allgemeine Plasmagrundlagen
B-field
IA
E-field
Ipl
Abbildung 6.1: Schematische Darstellung der induktiven Kopplung
Allerdings kann es bei der Kopplung mit einer Spule gerade bei niedrigen Leistungen
zu einer anderen Form der Plasmaerzeugung kommen. Der bisher beschriebene Fall entspricht dem sogenannten H-Mode. Das Plasma wird induktiv mithilfe des induzierten
magnetischen und elektrischen Feldes aufrecht erhalten. Bei niedrigen Leistungen wirkt
die Antenne aber mehr wie eine Elektrode eines Kondensators und erzeugt so mit der
geerdeten Gefäßwand ein kapazitiv gekoppeltes Plasma (CCP). Dieser Betriebszustand
wird als E-Mode bezeichnet. Erhöht man die Leistung, so kommt es zu einem Übergang
zwischen E- und H-Mode. Die Einkopplung von Energie in das Plasma ist beim Betrieb
im H-Mode effektiver, was auch beim Übergang zwischen den beiden Modes durch einen
schlagartigen Anstieg der Lichtintensität deutlich wird. In einem induktiv gekoppelten
Plasma, welches im H-Mode betrieben wird, liegt die Elektronendichte im Regelfall eine
Größenordnung über der eines kapazitiv gekoppelten Plasmas.
Um die gewählte Leistung ins Plasma einkoppeln zu können, bedarf es noch der Anpassung
der Impedanz des Plasmas und der Antenne an die Ausgangsimpedanz des RF-Generators
von 50 Ω. Dazu dient die Match-Box. In ihr befinden sich zwei regelbare Kapazitäten, von
denen eine parallel zum RF-Generator (CLoad ) und eine in Reihe mit der Antenne (CTune )
geschaltet ist. Da die Antenne bereits eine Induktivität darstellt, ist im Anpassnetzwerk
keine weitere erforderlich. Ein Schaltbild des Anpassnetzwerkes ist in Abbildung 6.2 dargestellt.
6.1.3 Magnetisierte Plasmen und magnetischer Einschluss
In nicht-magnetisierten Plasmen ergeben sich die Teilchenbewegungen allein aus Stößen
unter den Teilchen und den Feldern, die durch die geladenen Teilchen selbst entstehen.
Legt man allerdings von außen ein zusätzliches magnetisches Feld an, wie es bei dem
in Abschnitt 5.1 beschriebenen Versuchsaufbau vorhanden ist, so werden die Teilchenbe-
55
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
CTune
RF Generator
LAntenna
CLoad
Abbildung 6.2: Schaltbild des Anpassnetzwerkes (Match-Box)
wegungen der Elektronen und Ionen stark beeinflusst. Sie erfahren, zunächst ausgehend
von einem homogenen Magnetfeld, eine Kraft in Form der magnetischen Komponente der
Lorentzkraft:
~ .
FL,B = q ~v × B
(6.3)
Dabei sind q die Ladung und v die Geschwindigkeit des Elektrons bzw. Ions.
Daraus folgt direkt, dass sich die Teilchen in einer Gyrationsbewegung um die Magnetfeldlinien herum bewegen. Der Radius dieser Bewegung wird Lamorradius rL =
die Kreisfrequenz meist Zyklotronfequenz ωc =
|q|B
m
mv⊥
|q|B
und
genannt. v⊥ ist die Geschwindigkeits-
komponente senkrecht zum Magnetfeld und m die Teilchenmasse. Vernachlässigt man
Stöße und andere Einflüsse, so können die geladenen Teilchen sich nicht senkrecht zum
Magnetfeld hin zu anderen Feldlinien bewegen. Sie sind an eine Feldlinie gebunden.
Ändert sich die Dichte der Feldlinien oder sind sie gekrümmt, so erfahren Elektronen und
Ionen eine weitere Kraft, die zu einer Ablenkung und so zu einer Änderung der Gyration
von einer Kreis- zu einer elliptischen Bewegung. Die genaue Form der Drift wird später
in Abschnitt 6.3.6 mathematisch beschrieben, wenn ihr Einfluss auf THz-TDS-Messungen
im Plasma diskutiert wird. Dennoch ist ein Effekt, der bei größer werdender Feldstärke
auftritt, für den vorhandenen Versuchsaufbau von großer Bedeutung. Es handelt sich
dabei um den Effekt des magnetischen Spiegels, der zu einem Einschluss der geladenen
Teilchen in der Entladungskammer führt.
Ein magnetischer Spiegel ist ein Gebiet, in dem sich die Magnetfeldstärke erhöht. Ein
Teilchen bewegt sich aus einer Region mit schwachem Magnetfeld auf den magnetischen
Spiegel zu. Das Magnetfeld wird kontinuierlich stärker und die Geschwindigkeitskomponente parallel zum Magnetfeld verkleinert sich. An einem bestimmten Punkt wird es dann
56
6.1 Allgemeine Plasmagrundlagen
reflektiert und bewegt sich wieder vom Spiegel weg. Um den Mechanismus genauer verstehen zu können, wird eine adiabatische Invariante, das magnetische Moment, eingeführt.
Das magnetische Moment ist eine Konstante der Bewegung und ist definiert als [1,28,29]:
µB =
1
2
mv⊥
2
B
.
(6.4)
Bewegt sich ein geladenes Teilchen nun auf den magnetischen Spiegel zu, so erhöht sich
B. Da µB aber konstant bleiben muss, erhöht sich somit auch die Geschwindigkeit der
Gyrationsbewegung senkrecht zum magnetischen Feld v⊥ . Da von außen keinerlei Energie
zugeführt oder Kraft ausgeübt wird, gilt ebenfalls das Prinzip der Energieerhaltung. Er2
, so muss sich auf der anderen
höht sich also die Energie der senkrechten Bewegung 12 mv⊥
Seite die Energie der Bewegung parallel zum Magnetfeld 21 mvk2 verringern. Das bedeutet,
dass das Teilchen durch das stärker werdende Magnetfeld eine ihm entgegengesetzte Kraft
erfährt und abgebremst wird. An einem bestimmten Punkt ist das Magnetfeld so stark,
dass die Geschwindigkeitskomponente des Teilchens parallel zum Magnetfeld null wird:
vk = 0. Das Teilchen kann nicht weiter in das stärker werdende Magnetfeld vordringen
und wird reflektiert.
Allerdings werden nicht alle Teilchen reflektiert. Ob ein Teilchen reflektiert wird, hängt
von seinem Auftreffwinkel auf den magnetischen Spiegel ab. Daher wird ein pitch-Winkel
θ definiert:
tan(θ) =
⇒ sin(θ) =
v⊥
vk
r
B
,
BR
(6.5)
(6.6)
wobei BR die Stärke des Magnetfeldes zum Zeitpunkt der Reflexion ist. Sei nun BM die
maximale Magnetfeldstärke im Inneren des Spiegels, so können zwei Fälle unterschieden
werden:
1. sin(θ) >
2. sin(θ) ≤
q
q
B
BM
Teilchen werden reflektiert,
B
BM
Teilchen werden nicht reflektiert.
Im ersten Fall wird die maximale Stärke von B im Spiegel nicht erreicht, bevor das Teilchen
reflektiert wird, während im zweiten Fall die maximale B-Feld-Stärke nicht ausreicht, um
das Teilchen zu reflektieren. Der Winkel θ definiert also einen Verlustkegel. Es zeigt sich bei
weiter gehender Betrachtung, dass die Verluste geringer werden, je größer die Änderung
des Magnetfeldes zum Maximalwert im Spiegelinneren ist.
57
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
Der magnetische Einschluss im vorhandenen Versuchsaufbau begründet sich zum einen in
dem Effekt des magnetischen Spiegels an den Stellen der Wand des Entladungsgefäßes,
an denen sich die Magneten befinden, und zum anderen darin, dass sich die Teilchen in
allen weiteren Bereichen nicht senkrecht zu den Magnetfeldlinien bewegen können. Durch
Stöße können bei beiden dieser Effekte Verluste auftreten. Dass an den Stellen der Wand,
hinter denen sich die Magneten befinden, ein höherer Teilchenstrom auf die Wand trifft,
war beim Reinigen der Kammer sichtbar, da sich dort die Wand dunkel verfärbt hatte.
Folge des magnetischen Einschlusses in der Bucket Source sind um eine Größenordnung
höhere Dichten als bei einer Standard-ICP (ne ≈ 1011 ) und die Möglichkeit die Entladung
im H-Mode bei niedrigeren Drücken zu betreiben.
6.2 Wellen in kalten Plasmen
Die Grundlagen der Terahertz-Time-Domain-Spektroskopie wurden bereits in Kapitel 2
und die Auswertung der gewonnen Messdaten in Kapitel 3 im Detail beschrieben. Dies
kann nicht ohne Weiteres auf Messungen in einem Plasma angewendet werden. Vor allem
die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen im Plasma, welche durch die Dispersionsrelation beschrieben wird, spielt eine entscheidende Rolle. In diesem Abschnitt wird
auf die Ausbreitung von Wellen in einem Plasma näher eingegangen und unter verschiedenen Bedingungen, wie z.B. dem Vorhandensein eines äußeren Magnetfeldes, der komplexe
Brechungsindex berechnet. Das betrachtete Plasma wird jeweils als kalt angenommen,
weil hier sowohl Druckgradienten als auch Diffusionsterme vernachlässigt werden können.
Es wird dabei vom einfachsten Fall ausgegangen und dann werden schrittweise die Bedingungen modifiziert. Das Vorgehen zielt dabei auf die spätere Anwendung in der Bucket
Source (Kapitel 5) ab. Die hier vorgestellten Rechnungen und Ergebnisse wurden anhand
von Lehrbüchern wie [29, 30] überprüft. Weiterführende Rechnungen sind ebenfalls dort
zu finden.
6.2.1 Dispersionsrelation, komplexe Dielektrizitätszahl und komplexer
Brechungsindex
Für die Dispersionsrelation von elektromagnetischen Wellen gibt es unterschiedliche Darstellungsformen. Eine sinnvolle Möglichkeit ist die Darstellung der Kreisfrequenz ω in
Abhängigkeit der Wellenzahl k: ω = ω(k). Aus der Dispersionsrelation lassen sich leicht
58
6.2 Wellen in kalten Plasmen
die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit der Welle berechnen:
ω
,
k
∂ω
Gruppengeschwindigkeit: vgr =
.
∂k
Phasengeschwindigkeit: vph =
(6.7)
(6.8)
Des Weiteren lassen sich die Wellenzahl und damit die Dispersionsrelation und die komplexe Dielektrizitätszahl ineinander umrechnen:
p ω
ǫ̂r .
c
k=
Der allgemeine Fall k =
√
(6.9)
ǫ̂r µ̂r ωc wird in der Plasmaphysik nur zur Beschreibung von
Hochtemperatureffekten verwendet [30]. In den meisten Fällen (und für die praktische
Anwendung) wird µ̂r = 1 angenommen.
Aus der komplexen Dielektrizitätszahl lässt sich nun der komplexe Brechungsindex über
die bekannte Beziehung n̂2 = ǫ̂r berechnen.
Für den einfachen Fall eines Vakuums lautet die Dispersionsrelation ω = ck, woraus
sich für die Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit und für die
Dielektrizitätszahl eins ergibt.
6.2.2 Unendlich ausgedehntes Plasma ohne Stöße
Als Erstes wird ein unendlich ausgedehntes Plasma betrachtet. Das Plasma sei homogen
und die Ionen und Neutralteilchen befinden sich in Ruhe. Außerdem werden sowohl Stöße
als auch andere äußere Kräfte vernachlässigt. Unter diesen Annahmen wechselwirkt eine
elektromagnetische Welle nur mit den beweglichen Elektronen, deren Bewegungsgleichung
die folgende Form besitzt:
~
me~r¨ = −eE.
(6.10)
~ das Netto-E-Feld aus
e sei die Elementarladung, me die Masse eines Elektrons und E
der Summe eines internen Feldes, das durch die freien Elektronen erzeugt wird, und eines
externen Feldes.
Unter der Annahme einer ebenen Welle ergibt sich die Lösung der Bewegungsgleichung:
~r =
e ~
E.
me ω 2
(6.11)
59
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
~ die LeitfäRechnet man nun die Stromdichte ~j und mit dem ohmschen Gesetz ~j = σ E
higkeit σ aus
2
~
~j = −ne e~r˙ = −ne e~v = −i ne e E,
(6.12)
me ω
ne e 2
,
(6.13)
σ = −i
me ω
wobei ne die Elektronendichte ist, so kann direkt die komplexe Dielektrizitätszahl ermittelt
werden:
ωp2
σ
ne e 2
ǫ̂r = 1 − i
=1−
= 1 − 2.
(6.14)
ǫ0 ω
ǫ0 m e ω 2
ω
Für die Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten ergeben sich:
1
c > c,
(6.15)
vph = q
ω2
1 − ωp2
r
ωp2
vgr = 1 − 2 c < c.
(6.16)
ω
Man erkennt, dass die Phasengeschwindigkeit größer ist als die Lichtgeschwindigkeit. Dies
liegt am reellen Brechungsindex des Plasmas n =
ck
,
ω
der kleiner als eins ist.
Bei der Berechnung des komplexen Brechungsindexes n̂ = n + iκ aus der komplexen
Dielektrizitätszahl können zwei Fälle unterschieden werden:
1.
ǫ̂r < 0
⇒
ω < ωp ,
2.
ǫ̂r > 0
⇒
ω > ωp .
Für Fall 1 verschwindet der reelle Teil von n̂, während sich κ =
q
ωp2
ω2
− 1 ergibt. Wellen mit
Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz werden vom Plasma nicht transmittiert. Diese
Grenze wird cut-off genannt. Da die Plasmafrequenz von der Elektronendichte abhängt,
kann die Existenz eines cut-offs zur Berechnung einer kritischen Dichte nc genutzt werden.
Man berechnet also gerade die Elektronendichte, für die die Plasmafrequenz gleich der
Frequenz der eingestrahlten elektromagnetischen Welle ist:
ω 2 = ωp2
(6.17)
2
nc e
ǫ0 m e
ǫ0 m e
⇒ nc = 2 ω 2 .
e
⇒ ω2 =
60
(6.18)
(6.19)
6.2 Wellen in kalten Plasmen
Für Fall 2 verhält es sich genau entgegengesetzt. κ verschwindet und der reelle Brechungsindex wird damit:
n=
r
1−
ωp2
.
ω2
(6.20)
Die Welle wird also ungehindert vom Plasma transmittiert. Da die Frequenz bei der
Verwendung des THz-Bereichs des elektromagnetischen Spektrums immer größer als die
Plasmafrequenz ist, liegt die Transmission der Welle bei jeder Messung vor.
6.2.3 Unendlich ausgedehntes Plasma mit Stößen
Der in Abschnitt 6.2.2 betrachtete Fall enthält die Annahme eines idealen Plasmas, in dem
sich die Ionen und Neutralteilchen in Ruhe befinden und sich die Elektronen ungehindert
bewegen können. Eine ungehinderte Bewegung entspricht allerdings nicht der Realität.
Aufgrund der Anwesenheit von Ionen und Neutralteilchen gibt es auch Wechselwirkung
der Elektronen mit eben diesen Teilchen. Dabei handelt es sich um Stöße, die zu einer
Impulsänderung der Elektronen durch Ionen oder Neutralteilchen führen. Um diesen Effekt zu beschreiben, wird die Bewegungsgleichung (6.10) um einen Reibungsterm mit der
Stoßfrequenz νe erweitert:
~ − νe me~r˙.
me~r¨ = −eE
(6.21)
Die Ionen und Neutralteilchen seien auch in diesem Fall weiterhin in Ruhe. Für oszillierende Felder lassen sich die Zeitableitungen substituieren
∂
∂t
Lösung der Differentialgleichung:
~r =
~
eE
.
me ω(ω − iν)
→ iω. So erhält man die
(6.22)
Folgt man nun den gleichen Schritten wie in Abschnitt 6.2.2, so erhält man für die komplexe Dielektrizitätszahl:
ǫ̂r = ǫ̂′r + iǫ̂′′r
ωp2
ν ωp2
= 1− 2
−i
.
ω + ν2
ω ω2 + ν 2
(6.23)
(6.24)
Die Berechnung des komplexen Brechungsindexes gestaltet sich etwas anspruchsvoller und
wird daher hier kurz allgemein skizziert. Für eine komplexe Zahl z = x + iy ist der Winkel
61
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
in der komplexen Zahlenebene durch ϕ = arctan
y
x
z ergeben sich damit zwei Lösungen:
n ϕo
p
√
z = |z| exp i
2
p
∨
√
z=
gegeben. Für die Quadratwurzel aus
n ϕ
o
|z| exp i
+π .
2
(6.25)
Da die weiter gehenden Rechnungen für beide Lösungen analog verlaufen, wird sich im
Folgenden auf die erste Lösung beschränkt. Die komplexe e-Funktion wird mithilfe der
eulerschen Formel eiα = cos(α) + i sin(α) umgeschrieben und mit den trigonometrischen
Formeln,
ϕ
r
1 − cos(ϕ)
,
2
2
r
ϕ
1 + cos(ϕ)
cos
=±
,
2
2
sin
=±
(6.26)
(6.27)
der halbe Winkel in einen vollen Winkel umgerechnet. Das Minuszeichen aus diesen Formeln wird vernachlässigt, da es zum gleichen Ergebnis führt wie die zweite Lösung der
Quadratwurzel von z. Durch den Winkel ϕ ist ein Arkustangens das Argument der Sinusund Kosinusfunktionen. Mit einer weiteren Umrechnungsformel,
cos (arctan(a)) =
1
,
1 + a2
lässt sich der Ausdruck auf eine verwertbare Form bringen:
p
p
1/2
1/2
√
x
1
x
1
2
2
2
2
z=
x +y +
x +y −
+i
2
2
2
2

1
/2
p

Re(√z) = 1 x2 + y 2 + x
2
2
⇒
1/2 .
p
√

Im( z) = 1 x2 + y 2 − x
2
2
(6.28)
(6.29)
(6.30)
Mit diesem Ergebnis lassen sich nun leicht n und κ berechnen:
ωp2
ν ωp2
ǫ̂r = 1 − 2
−i
(6.31)
ω + ν2
ω ω2 + ν 2
{z
} |
{z
}
|
x
−y

 "


2 2 #1/2
1/2

1 2
2
2

ωp
ωp
ν ωp
1


+
+
1− 2
n=
1− 2


2
2
2

2
ω +ν
ωω +ν
2
ω + ν2 
 "

⇒
.
2 2 #1/2
1/2


2
2
2


ωp
ωp
1
ν ωp
1


κ
=
1
−
−
+
1
−


2
ω2 + ν 2
ω ω2 + ν 2
2
ω2 + ν 2 

(6.32)
62
6.2 Wellen in kalten Plasmen
Dieses Ergebnis für den Brechungsindex n entspricht noch nicht der einfacheren von Ando
et al. [3] und Jamison et al. [4] benutzten Formel. Dazu muss noch eine Näherung für
Frequenzen durchgeführt werden, die viel größer sind als die Stoßfrequenz: ν ≪ ω. Daraus
folgt die verwendete Formel:
n≈
s
1−
ωp2
.
ω2 + ν 2
(6.33)
6.2.4 Plasmen in einem äußeren Magnetfeld
Befindet sich das Plasma in einem äußeren Magnetfeld, so reichen die bisher gemachten
Überlegungen nicht aus. In den nachfolgenden Abschnitten wird die Wellenausbreitung
unter Einwirkung eines externen Magnetfeldes untersucht. Dabei bleiben die Felder der
eingestrahlten elektromagnetischen Welle wie zuvor vernachlässigt. Ein weiteres Magnetfeld, das durch eine mögliche induktive Kopplung entsteht, bleibt ebenfalls ohne Berücksichtigung. Dessen Einfluss wird weiter unten in Abschnitt 6.3.1 diskutiert.
Neben dem bisher in die Bewegungsgleichung integrierten Reibungsterm, der die Stöße
repräsentiert, wird zur Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Elektronen und dem
äußeren Magnetfeld B0 die magnetische Kraft auf bewegte Ladungsträger eingefügt:
~ − νe me~v − e~v × B0 .
me~v˙ = −eE
(6.34)
~ 0)
Wellenausbreitung parallel zum Magnetfeld (~k k B
Aufgrund der etwas leichteren Rechnungen, wird zunächst die Ausbreitung parallel zu
einem äußeren Magnetfeld betrachtet. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann die
~ 0 = B0~ez . Wird nun die ZeitRichtung des Magnetfeldes in z-Richtung gelegt werden: B
ableitung erneut substituiert, so ergibt sich folgendes
eB0
vy
(iω + ν) vx +
m
eB0
vx +(iω + ν) vy
−
m
(iω + ν) vz
Gleichungssystem:
e
Ex ,
me
e
= − Ey ,
me
e
= − Ez .
me
=−
(6.35)
Man erkennt, dass die dritte Gleichung nicht mit den anderen beiden gekoppelt ist, was einer möglichen Ausbreitung senkrecht zum Magnetfeld oder einer Raumladungsoszillation
entspricht [30]. An dieser Stelle wird sie daher zunächst vernachlässigt. Überführt man die
x- und y-Komponenten des E-Feldes in die Darstellung eines zirkular polarisierten Feldes
63
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
und führt analoge Rechnungen wie schon in den Abschnitten 6.2.2 und 6.2.3 durch, so
erhält man die komplexe Dielektrizitätszahl der sogenannten Zyklotronwellen [30]:
ωp2 ν
ωp2 (ω ± ωc )
−i
ǫ̂r = 1 −
ω[(ω ± ωc )2 + ν 2 ]
ω[(ω ± ωc )2 + ν 2 ]

( 
2 2 1/2

2 (ω±ω )
2ν
ω
ω

c
p
p
1
1

1
−
1−
+
+
n
=

2
ω[(ω±ωc )2 +ν 2 ]
ω[(ω±ωc )2 +ν 2 ]
2

⇒
( 2 2 1/2


ωp2 ν
κ = 1 1 − ωp2 (ω±ωc )
1

1−
−
+

2
2
2
2
2
ω[(ω±ωc ) +ν ]
ω[(ω±ωc ) +ν ]
2

ωc =
eB0
me
(6.36)
ωp2 (ω±ωc )
ω[(ω±ωc )2 +ν 2 ]
ωp2 (ω±ωc )
ω[(ω±ωc )2 +ν 2 ]
)
1/2
)1/2
.
(6.37)
ist dabei die Elektronzyklotronfrequenz.
Wellenausbreitung unter einem beliebigen Winkel und speziell senkrecht zum
~ 0)
Magnetfeld (~k ⊥ B
Die bisher betrachteten Probleme konnten durch das Lösen linearer Gleichungen oder
zweier gekoppelter Gleichungen behandelt werden. Im vorliegenden Versuchsaufbau findet allerdings keine Wellenausbreitung parallel zum äußeren Magnetfeld statt. Aufgrund
der Feldkonfiguration innerhalb der Entladungskammer gibt es einen Winkel zwischen
~ 0 . Um eine adäquate Lösung dieses Problems
dem Wellenvektor ~k und dem Magnetfeld B
zu erhalten, ist die Lage des verwendeten Koordinatensystems von großer Bedeutung.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird eine Wellenausbreitung in z-Richtung angenommen. Des Weiteren soll der Vektor des Magnetfeldes in der y-z-Ebene liegen und mit
dem ~k-Vektor den Winkel θ einschließen. Zur besseren Anschauung ist das verwendete
Koordinatensystem in Abbildung 6.3 schematisch dargestellt.
Das Magnetfeld ergibt sich damit zu:


0


~

B0 = B0  sin(θ) 
.
(6.38)
cos(θ)
Alle weiteren Annahmen aus Abschnitt 6.2.4 bleiben erhalten.
Es wird erneut das Kreuzprodukt in der Bewegungsgleichung (6.34) ausgerechnet und das
resultierende Gleichungssystem aufgestellt:
64
6.2 Wellen in kalten Plasmen
x
Ex
Ez
k
z
Ey
y
θ
By
Bz
B
Abbildung 6.3: Verwendetes Koordinatensystem
(iω + ν)
eB0
e
eB0
cos(θ) vy −
sin(θ) vz = −
Ex ,
me
me
me
e
+ (iω + ν) vy
= −
Ey ,
me
e
+ (iω + ν) vz = −
Ez .
me
vx +
eB0
cos(θ) vx
me
eB0
sin(θ) vx
me
−
(6.39)
Die Geschwindigkeit ~v kann analog zum Vorgehen in Abschnitt 6.2.2 über die Beziehung
~j = −ne e~v in die Stromdichte umgerechnet werden:
(iω + ν)
−ωc cos(θ) jx + (iω + ν) jy
ωc sin(θ)
ne e 2
Ex ,
me
ne e 2
=
Ey ,
me
ne e 2
=
Ez .
me
jx + ωc cos(θ) jy − ωc sin(θ) jz =
jx
+ (iω + ν) jz
Im gleichen Schritt wurde wie in Abschnitt 6.2.4 die Zyklotronfrequenz ωc =
(6.40)
eB0
me
verwen-
det. Da es sich hier um ein System aus drei gekoppelten Gleichungen handelt, reicht die
bisher verwendete Betrachtungsweise nicht mehr aus. Aus diesem Grund wird nun statt
einer skalaren Darstellung eine Betrachtung mithilfe von Tensoren eingeführt. Dies betrifft in erster Linie die Leitfähigkeit und die Dielektrizitätszahl, wobei der Begriff „Zahl“
hier eher unpassend ist. Ein Tensor wird in den folgenden Rechnungen durch einen Dop←
→
pelpfeil gemäß T und eine komplexe Größe weiterhin mit einem Dach gemäß ĉ kenntlich
gemacht.
65
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
Schreibt man nun das obige Gleichungssystem in Matrixschreibweise

   
iω + ν
ωc cos(θ) −ωc sin(θ)
jx
Ex
   
me 
−ω cos(θ) iω + ν
 jy  = Ey  ,
0
   
ne e 2  c
ωc sin(θ)
0
iω + ν
jz
Ez
(6.41)
→
ˆ aus dem Ohmschen Gesetz identifizieren:
kann man den inversen Leitfähigkeitstensor ←
σ
←
→
ˆ −1 · ~j = E
~
σ
(6.42)


iω + ν
ωc cos(θ) −ωc sin(θ)


−1
m
e
←
→
ˆ
−ωc cos(θ) iω + ν
.
⇒ σ
=
0

ne e 2 
ωc sin(θ)
0
iω + ν
(6.43)
Die Einträge der Matrix werden der Übersichtlichkeit halber zusammengefasst und die
Matrix nach dem Gauß-Jordan-Algorithmus invertiert. Das Ergebnis ist der Leitfähigkeitstensor der Form:

iω + ν
−ωc cos(θ)


(iω + ν)2 + ωc2 sin2 (θ)

ne e 2
1
←
→
ˆ

ω
cos(θ)
c
σ =
iω + ν
me (iω + ν)2 + ωc2 

2

ωc sin(θ) cos(θ)
−ωc sin(θ)
iω + ν
ωc sin(θ)



sin(θ) cos(θ)

.

iω + ν

2
2
2
(iω + ν) + ωc cos (θ) 
ωc2
iω + ν
(6.44)
Jede Komponente des Tensors kann in allgemeiner Form geschrieben werden und zeigt
dabei an, auf welche Raumrichtungen sich der jeweilige Eintrag bezieht:


σ̂xx σ̂xy σ̂xz

←
→
ˆ =
σ̂yx σ̂yy σ̂yz  .
σ


σ̂zx σ̂zy σ̂zz
(6.45)
Die in Abschnitt 6.2.2 benutzte Formel (6.14) wird ebenfalls in die Tensor-Schreibweise
überführt, um sie im folgenden Schritt anwenden zu können:
←
→
ˆ
σ
←
→
←
→
ˆ
ǫr = 1 − i
.
ǫ0 ω
(6.46)
←
→
Die Einheitsmatrix bzw. der Einheitstensor wird ebenfalls mit dem Doppelpfeil als 1
geschrieben, damit der Matrixcharakter der Formel deutlich wird. Durch Einsetzen des
66
6.2 Wellen in kalten Plasmen
berechneten Leitfähigkeitstensors in diese Gleichung wird der Dielektrizitätstensor berechnet. Im dargestellten Ergebnis wurden einige Parameter für eine bessere Übersicht
zusammengefasst und die Plasmafrequenz bereits eingesetzt:
ωp2
,
α=
ω
β = iω + ν,
γ 2 = (iω + ν)2 + ωc2 ,
(6.47)
(6.48)
(6.49)

ωc cos(θ)
ωc sin(θ)
β
iα
−iα

 1 − iα γ 2
γ2
γ2




2
2
2
2
β + ωc sin (θ)
ωc sin(θ) cos(θ) 
ωc cos(θ)

←
→
ˆ
(6.50)
ǫr = −iα
1 − iα
−iα
.


γ2
βγ 2
βγ 2


 ωc sin(θ)
ωc2 sin(θ) cos(θ)
β 2 + ωc2 cos2 (θ) 
−iα
1
−
iα
iα
γ2
βγ 2
βγ 2
Dieses Ergebnis lässt sich auf alle Ausbreitungsrichtungen bzgl. des externen Magnetfeldes

anwenden. Der in Abschnitt 6.2.4 behandelte Fall ist ebenfalls in diese allgemeine Form
eingeschlossen. Für die vorhandene Magnetfeldkonfiguration in der Bucket Source beträgt
der Winkel zwischen Wellenvektor und Magnetfeldrichtung unter optimalen Bedingungen
θ = 90 ◦ . Unter dieser Annahme vereinfacht sich der Dielektrizitätstensor:


β
ωc
1 − iα 2
0
−iα 2

γ
γ 


2
2
β
+
ω


←
→
c
ˆ
ǫr = 
0
0
1 − iα

2


βγ

ωc
β
0
1 − iα 2
iα 2
γ
γ


2
ωp2
ωp
iω + ν
ωc
0
−i
1 − i ω (iω + ν)2 + ω 2
ω (iω + ν)2 + ωc2 


c
2


ωp 1


=
0
0
1−i

ω
iω
+
ν


2
2
 ωp

ωp
ωc
iω + ν
i
0
1−i
2
2
2
2
ω (iω + ν) + ωc
ω (iω + ν) + ωc


ǫ̂⊥ 0 iǫ̂x



= 0
ǫ̂k 0 
.
−iǫ̂x 0 ǫ̂⊥
(6.51)
(6.52)
(6.53)
In den Einträgen dieser Matrix können drei unterschiedliche Dielektrizitätszahlen ǫ̂⊥ , ǫ̂x
und ǫ̂k identifiziert werden. Die Bezeichnung der drei Komponenten wird erst in den folgen-
den Überlegungen ersichtlich und wurde an dieser Stelle vorweggegriffen. Welche Bedeutung diese Dielektrizitätszahlen haben, kann durch Betrachtung der Maxwell-Gleichungen
67
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
und des Wellenvektors hergeleitet werden. Ausgehend von zeitlich oszillierenden Feldern
und einer ebenen Welle lassen sich die zeitlichen Ableitungen, wie bereits in Abschnitt
6.2.3, substituieren:
~
~ = − ∂B
∇×E
∂t
~
~ = µ0~j + 1 ∂ E
∇×B
c2 ∂t
→
ˆ · E.
~
~j = ←
σ
~ = −iω B,
~
⇒∇×E
(6.54)
~ = µ0~j + i ω E,
~
⇒∇×B
c2
(6.55)
(6.56)
Die Bildung
der
von
Rotation
Gleichung (6.54) und Verwendung der Vektoridentität
~ =∇ ∇·E
~ − ∆E
~ führt zu:
∇× ∇×E
~ = −iω∇ × B
~
∇× ∇×E
2
~ − ∆E
~ =ω
∇ ∇·E
c2
!
←
→
ˆ
σ
←
→
~
1 −i
·E.
ωǫ0
|
{z
}
ω2 ~
= −iωµ0~j + 2 E,
c
(6.57)
(6.58)
←
ˆ
ǫ→
r
~ ∝E
~ 0 exp(i~k · ~r) lässt
Ausgehend von einem oszillierenden elektrischen Feld der Form E
sich die Gleichung in Abhängigkeit des Wellenvektors ~k schreiben. Auf der linken Seite
der Gleichung (6.58) ergibt der erste Summand ein tensorielles Vektorprodukt (dyadisches
Produkt), während der zweite Summand das Quadrat des Wellenvektors k 2 = kx2 + ky2 + kz2
liefert. Da die Einheitsmatrix das neutrale Element der Multiplikation darstellt, kann der
zweite Summand darum ergänzt werden, um eine einheitliche Matrixschreibweise herzustellen:
ω2 ←
←
→ ~
→
ˆ ~
−~k~k + k 2 1 E
0 = 2 ǫr · E 0 .
c
(6.59)
Das dyadische Produkt liefert einen Tensor, dessen Komponenten nach der Rechenvorschrift
~a~b = ai bj
ij
(6.60)
gebildet werden. Beide Seiten der Gleichung können nun ausgerechnet werden und liefern
ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen. Zwei dieser Gleichungen sind miteinander
gekoppelt, während die dritte alleine steht. Im nachfolgenden Ergebnis ist bereits berücksichtigt, dass sich die elektromagnetische Welle in z-Richtung ausbreitet, also kx = ky = 0
68
6.2 Wellen in kalten Plasmen
gilt:
x : kz2 Ex =
ω2
c2
(ǫ̂⊥ Ex + iǫ̂x Ez ) ,
ω2
ǫ̂ E ,
c2 k y
y : kz2 Ey =
z:
0
=
ω2
c2
(6.61)
(ǫ̂⊥ Ez − iǫ̂x Ex ) .
Die erste und dritte Gleichung sind miteinander gekoppelt, da in beiden Gleichungen
sowohl das elektrische Feld in x- als auch in z-Richtung auftritt. In der zweiten Gleichung existiert nur das elektrische Feld in y-Richtung und damit in Richtung des äußeren
Magnetfeldes. Daraus wird direkt ersichtlich, dass die Dielektrizitätszahl ǫ̂k für den Fall
gilt, indem das elektrische Feld parallel zum äußeren Magnetfeld liegt. Diese propagierende Welle wird O-Welle, engl. ordinary wave, genannt. In einem Plasma lässt sie sich
anschaulich durch die Bewegung der Elektronen im äußeren Magnetfeld verdeutlichen.
Die Elektronen sind an das äußere Magnetfeld gebunden. Sie gyrieren um die Magnetfeldlinien, können sich aber nur parallel zu ihnen bewegen. Eine Bewegung senkrecht zu
den Magnetfeldlinien ist nicht möglich. Trifft nun eine elektromagnetische Welle auf das
Plasma, deren elektrisches Feld parallel zum äußeren Magnetfeld liegt, so können die Elektronen entlang der Magnetfeldlinien dem E-Feld der Welle ungehindert folgen, wodurch
die Welle durch das Plasma transmittiert wird.
Im Falle einer anderen Ausrichtung des elektrischen Feldes bzgl. des äußeren Magnetfeldes, beschreiben die beiden gekoppelten Gleichungen die Transmission der Welle. Eine
solche Welle wird X-Welle, engl. extra-ordinary wave, genannt. Als anschauliches Beispiel
wird hier eine senkrechte Ausrichtung gewählt; das E-Feld zeigt also in x-Richtung. Die
Elektronen können sich nicht senkrecht zu den Magnetfeldlinien bewegen, aber durch das
~ ~
~ × B-Drift
~
zusätzliche elektrische Feld, kommt es zur E
: ~vE×B = E×2B . Diese bewirkt einen
B
Strom in z-Richtung, wodurch es zu einer Ladungstrennung kommt. Diese Ladungstren-
nung bewirkt ein weiteres elektrisches Feld in z-Richtung, also in Ausbreitungsrichtung
~ × B-Drift,
~
der Welle. Durch dieses Feld kommt es erneut zur E
die dieses Mal allerdings
einen Strom und eine Ladungstrennung in x-Richtung erzeugt. Es bildet sich ein elektrisches Feld aus, das in der gleichen Richtung liegt, wie das Feld der eingestrahlten Welle,
sich aber in seiner Phase um 180
◦
unterscheidet. (Diese Beschreibung ist nicht vollstän-
dig genau und dient nur der Anschauung.) Abhängig von der Frequenz des oszillierenden
~ × B-Drift
~
E-Feldes ist die E
effektiver oder weniger effektiv. Bei Frequenzen, niedriger als
die Zyklotronfrequenz ω ≪ ωc , ist sie effektiver als bei größeren Frequenzen. Die Ursache
hierfür liegt darin, dass es einige Gyrationsperioden benötigt, bevor die Drift merkbare
Auswirkungen auf die Elektronen hat. Bei einem langsam oszillierenden elektrischen Feld
69
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
ist die Anzahl der Umdrehungen pro Zeitintervall größer als bei einem schnell oszillierenden Feld. Es wird somit klar, dass die Dielektrizitätskonstanten ǫ̂⊥ und ǫ̂x nur im Falle
einer Nicht-Parallelität von äußerem Magnetfeld und elektrischem Feld auftreten. Sie sind
aber in jedem Fall gekoppelt.
6.2.5 Anwendung auf den vorhandenen Versuchsaufbau (Bucket-Source)
In Abschnitt 6.2.4 wurde die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in einem magnetisierten Plasma theoretisch untersucht. Die so gewonnenen Erkenntnisse müssen nun
auf den bestehenden Versuchsaufbau angewendet werden.
Polarisation des Magnetfeldes
Eine wichtige Frage stellt sich nach der gegenseitigen Lage des äußeren permanenten
Magnetfeldes und des elektrischen Feldes der THz-Welle. Die Polarisation des Magnetfeldes wurde bereits in Abschnitt 5.1 beschrieben: Es verläuft horizontal. Die Welle breitet
sich also senkrecht zum Magnetfeld aus, weshalb dieser Fall in Abschnitt 6.2.4 ausführlich diskutiert wurde. Die Polarisation des E-Feldes der THz-Welle ist von der Lage der
Dipol-Antennen abhängig. Das E-Feld entsteht zwischen der Dipolstruktur und aufgrund
des Aufbaus einer photoleitenden Antenne, vgl. Abschnitt 2.2.3, und somit senkrecht zur
Stripline. Die Striplines der Antennen sind bei dem in dieser Arbeit verwendeten TDS
senkrecht in die Antennenhalter eingebaut. Das elektrische Feld der THz-Welle ist also
ebenfalls horizontal polarisiert. Ausgehend von optimalen Bedingungen vereinfacht sich
die Betrachtung auf den Fall von parallelem E- und B-Feld bzw. der O-Welle. Die Dielektrizitätskonstante entspricht damit der in Abschnitt 6.2.3 bereits ausgerechneten:
ωp2
ωp2 1
ν ωp2
= 1− 2
−i
.
(6.62)
ǫ̂k = 1 − i
ω iω + ν
ω + ν2
ω ω2 + ν 2
Der Vorteil liegt nicht nur in der übersichtlicheren Formel, sondern auch darin, dass die
Magnetfeldstärke B0 für die Analyse nicht bekannt sein muss. Für den komplexen Brechungsindex ergibt sich die bereits aus Abschnitt 6.2.3 bekannte Form:
 "

2 2 #1/2
1/2
1 2
2
2
ωp
ωp
1
ν ωp
n=
+
+
,
1− 2
1− 2
2
2
2
2
ω +ν
ωω +ν
2
ω + ν2 

 "
2 2 #1/2
1/2
1 2
2
2
ωp
ωp
ν ωp
1
−
+
.
1− 2
1
−
κ=
2
ω + ν2
ω ω2 + ν 2
2
ω2 + ν 2 
70
(6.63)
(6.64)
6.2 Wellen in kalten Plasmen
100
10
n = 10
e
11
n = 10
negative phase shift [rad]
10
e
cm
cm
-3
12
n = 10
e
-3
13
n = 10
e
cm
cm
-3
-3
1
0,1
0,01
1E-3
1E-4
0,1
1
10
Frequency [THz]
Abbildung 6.4: Erwartete Phasenverschiebung ohne Berücksichtigung von Stößen
(d = 15 cm)
Erwartete Phasenverschiebung
Für das Experiment ist es von Vorteil die Größenordnung der Phasenverschiebung in
Abhängigkeit der Elektronendichte zu kennen. Der reelle Brechungsindex als Funktion
der Phasenverschiebung wurde bereits in Kapitel 3 behandelt:
nSam (ω) =
(∆φ)c
+ nRef (ω).
ωd
(6.65)
Für die Abschätzung dieser Größe werden keine Stöße angenommen, wodurch sich der
reelle Brechungsindex auf die einfachste Form, vgl. Abschnitt 6.2.2, reduziert. Damit ergibt
sich für die erwartete Phasenverschiebung:
s
(∆φ)(ne ) =
ne e 2
−1
ω2 −
ǫ0 m e
!
d
.
c
(6.66)
Für verschiedene Dichten ist die erwartete Phasenverschiebung für einen Plasmadurchmesser von 15 cm in Abbildung 6.4 aufgetragen. Mit den so ausgerechneten Werten für die
Phasenverschiebung bei verschiedenen Dichten kann auch eine Darstellung des erwarteten
Brechungsindexes in Abhängigkeit der Elektronendichte erzeugt werden. Für die gleiche
Auswahl an Elektronendichten sind die erwarteten Werte für den reellen Brechungsindex
in Abbildung 6.5 zu sehen.
71
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
1,02
10
n =10
e
11
n =10
Index of refraction n
e
cm
cm
-3
12
n =10
e
-3
13
n =10
e
cm
cm
-3
-3
1,00
0,98
0,96
0,1
1
10
Frequency [THz]
Abbildung 6.5: Erwarteter reeller Brechungsindex ohne Berücksichtigung von Stößen
(d = 15 cm)
6.3 Abschätzung des Einflusses von Plasmagrößen auf
TDS-Messungen
In diesem Kapitel wurden bisher die wichtigsten Eigenschaften der Wellenausbreitung im
Plasma hergeleitet und auf den bestehenden Versuchsaufbau projiziert. Dennoch wurden in den Betrachtungen viele Phänomene innerhalb des Plasmas vernachlässigt. Im
Folgenden werden beispielhaft einige mögliche weitere Einflüsse auf die Eigenschaften
der Wellenausbreitung im Plasma genannt und ihr Einfluss auf zukünftig durchgeführte
TDS-Messungen abgeschätzt.
6.3.1 Induktive Kopplung
Wie in Abschnitt 6.2.4 gezeigt, können magnetische Felder einen großen Einfluss auf die
Wellenausbreitung im Plasma haben. Zusätzlich zum äußeren Magnetfeld, das durch die
verwendeten Permanentmagnete erzeugt wird, gibt es das oszillierende magnetische Feld
der induktiven Kopplung. Auch dieses Feld kann mit der THz-Welle wechselwirken und
muss daher abgeschätzt werden. Da die Oszillation mit einer Frequenz von 13,56 MHz
stattfindet und damit viel langsamer abläuft als ein THz-Puls mit einer Länge von etwa
1 ps, ist nur die maximale Stärke des Feldes, nicht aber seine Oszillation für eine THzWelle von Bedeutung. Mithilfe des Biot-Savart-Gesetzes lässt sich das Magnetfeld der Doppelspiralspule als Funktion des durch sie fließenden Stroms berechnen. Dies wurde bereits
in der Arbeit von Victor Kadetov [27] behandelt. Als Maximalwert aller Magnetfeldkom-
72
6.3 Abschätzung des Einflusses von Plasmagrößen auf TDS-Messungen
ponenten in einem Abstand von 4 cm ergibt sich ein Wert von etwa 0,1
Gs
A
= 10−5
T
.
A
Unter der Annahme einer Stromstärke von I = 10 A ergibt sich daraus eine Magnetfeldstärke von BIC = 10−4 T.
Das durch die Permanentmagneten erzeugte magnetische Feld liegt in der Größenordnung
von B = 10−1 T. Das Magnetfeld der Antenne ist im Vergleich sehr klein und kann daher
vernachlässigt werden.
6.3.2 Stöße
In den Rechnungen in Abschnitt 6.2 wurden Stöße im Plasma berücksichtigt, da sie zu
einer Änderung des Brechungsindexes und zu Absorption führen. Wie groß der Einfluss
der Stöße ist, wird im Folgenden betrachtet. Zur Abschätzung der Stoßfrequenz in einem
Argon-Plasma wurde zunächst der Ratenkoeffizient bei einer Neutralgastemperatur von
T = 300 K der Phelps Datenbank [31] entnommen. Der angegebene Wert für elastische
Stöße liegt im Bereich von k = 10−13
m3
.
s
Um daraus die Stoßfrequenz zu berechnen, kann
die Neutralgasdichte bei gleicher Temperatur und einem Druck von 10 Pa aus dem idealen
Gasgesetz abgeschätzt werden und liefert etwa: n = 1021 m−3 .
Für die Stoßfrequenz erhält man damit eine Größenordnung von ν = 108 s−1 = 102 MHz.
Sie ist kleiner als die Plasmafrequenz ωp und viel kleiner als die Frequenz ω der eingestrahlten THz-Welle.
Entwickelt man Formel (6.62) für
ν
ω
≪ 1 bis zur zweiten Ordnung und berechnet den
reellen Brechungsindex n und den Extinktionskoeffizienten κ wie in Abschnitt 6.2.3 beschrieben, so erhält man:
 s
1

1−
n≈
2
 s
1
κ≈
1−
2
⇒
1/2
2
ω
1
1 ωp2
p 
,
+
+
1− 2
≈1−
2
ω
2 ω2
1/2
2 2
2
2
2
ω2
ωp
ωp
ν ωp
1
 ≈ 1 ν p,
+
−
1
−
ω2
ω ω2
2
ω2
2 ω ω2
ωp2
ω2
2
κ
ν
≈ .
1−n
ω
ν ωp2
ω ω2
2
(6.67)
(6.68)
(6.69)
Der Einfluss der Stöße im Plasma ist also sehr klein, führt aber selbst bei der Näherung
zu einer geringen Absorption.
73
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
6.3.3 Ionen-Bewegung
Da die Masse von Ionen und Neutralteilchen im Plasma um einige Größenordnungen höher
liegt als die der Elektronen, wurden sie bisher als statisch bzw. ortsfest angenommen.
Dies entspricht natürlich nicht der Wirklichkeit, sondern stellt nur eine Vereinfachung
dar. Zur Beschreibung der Ionenbewegung kann analog zu den Elektronen eine weitere
Bewegungsgleichung aufgestellt und gelöst werden. Am Beispiel der Plasmafrequenz lässt
sich ein Korrekturfaktor bestimmen:
2
ωp,corr
Da mi ≫ me ist der Quotient
me
mi
=
ωp2
me
1+
mi
.
(6.70)
≪ 1 und kann damit vernachlässigt werden. Eine
Ausnahme besteht, wenn die Frequenz der eingestrahlten elektromagnetischen Welle im
Bereich der Ionen-Zyklotronfrequenz liegt und dann Ionen-Zyklotronresonanz auftritt.
Bei einem maximalen äußeren Magnetfeld von B0 ≈ 0,4 T beträgt die Ionenzyklotronfre-
quenz in einem Argon-Plasma ωc,i ≈ 1 MHz = 10−6 THz und liegt somit unterhalb des
verwendeten Messbereichs. Zum Vergleich: Die Zyklotronfrequenz der Elektronen liegt
mit ωc,e ≈ 7 · 104 MHz = 0,07 THz fast fünf Größenordnungen über der der Ionen und
spielt aber für Messungen ebenfalls keine Rolle.
6.3.4 Temperatur
Ein weiterer Einfluss auf die Dielektrizitätszahl bzw. den komplexen Brechungsindex hat
die Temperatur des Plasmas. Bisher wurde ein kaltes Plasma angenommen, in dem die
Elektronentemperatur keine Rolle für die Bewegung der Elektronen spielt. Diese Voraussetzung ist aber nicht grundsätzlich gegeben. Im Fall eines warmen Plasmas, in dem
noch keine relativistischen Effekte auftreten, kann es z.B. zu Temperatur- und Dichtegradienten sowie zu weiteren Phänomenen durch die Wechselwirkung zwischen Elektronen
und elektromagnetischen Wellen, wie z.B. Landau-Dämpfung, kommen. Berücksichtigt
man die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion der Elektronen, so erhält man für den in
Abschnitt 6.2.2 vorgestellten einfachsten Fall einen zusätzlichen Korrekturfaktor für die
Dielektrizitätszahl [30]:
ωp2
1− 2
ω
ǫ̂r = .
2
ωp kB T
1+ 2
ω me c2
74
(6.71)
6.3 Abschätzung des Einflusses von Plasmagrößen auf TDS-Messungen
a)
1E-6
T = 300 K:
Temperature Correction Term
1E-7
10
n =10
e
1E-8
12
n =10
e
14
n =10
1E-9
e
cm
cm
cm
-3
-3
-3
1E-10
1E-11
1E-12
1E-13
1E-14
1E-15
1E-16
0
2
4
6
8
10
Frequency [THz]
b)
1E-6
T = 3000 K:
Temperature Correction Term
1E-7
10
n =10
e
1E-8
12
n =10
e
14
n =10
1E-9
e
cm
cm
cm
-3
-3
-3
1E-10
1E-11
1E-12
1E-13
1E-14
1E-15
1E-16
0
2
4
6
8
10
Frequency [THz]
Abbildung 6.6: Temperaturkorrekturfaktoren für a) T = 300 K und b) T = 3000 K
Hierbei ist kB die Boltzmannkonstante. Die Größe des Korrekturterms
ωp2 kB T
ω 2 me c2
ist viel
kleiner als eins da zum einen mit Frequenzen gearbeitet wird, die größer sind als die
Plasmafrequenz ωp < ω, und zum anderen die thermische Energie kB T ebenfalls als klein
gegenüber me c2 angenommen werden kann. In Abbildung 6.6 ist der Korrekturfaktor zur
Veranschaulichung für drei verschiedene Dichten und zwei unterschiedliche Temperaturen
aufgetragen. Für die Temperaturen wurden absichtlich eine niedrige und eine sehr hohe
Temperatur gewählt, um einen möglichst großen Bereich abzudecken. Das Maximum für
hohe Dichten und Temperaturen liegt in der Größenordnung von 10−6 und kann daher
ohne Probleme vernachlässigt werden.
75
6 Grundlagen der Plasmaphysik und Anwendung von THz-TDS auf Plasmen
Ein ähnliches Ergebnis erhält man unter Vernachlässigung der Stöße für die ordentliche
Dielektrizitätszahl aus Abschnitt 6.2.4 [30]. Diese wird für den im Experiment vorherrschenden Fall, in dem das elektrische Feld der Welle parallel zum äußeren Magnetfeld
liegt, zu:
ωp2
1
ǫ̂k = 1 − 2
ω 1 − (kB T/mc2 ) [1 − (ωp2/ω2 )]
ωp2 kB T
ωp2
.
≈ 1− 2 1− 2
ω
ω mc2
(6.72)
(6.73)
Auch hier ist zu sehen, dass der Temperaturkorrekturfaktor sehr klein gegenüber eins ist
und damit vernachlässigt werden kann.
6.3.5 Plasmaprofil
Ebenfalls als sehr wichtiger Faktor wird hier kurz auf das Plasma- oder auch Dichteprofil
eingegangen. Ist ein Plasma homogen und besitzt an jedem Ort die gleiche Dichte, so wie
in allen bisher durchgeführten Rechnungen angenommen, so kann man den Brechungsindex über die gesamte Länge des optischen Weges d als konstant annehmen. Ein solches
homogenes Plasma liegt aber unter Laborbedingungen nicht vor. Hauptursache dafür sind
Verluste an den Wänden. Eine Messung mit dem THz-TDS liefert also ein linienintegriertes Ergebnis. Um dies berücksichtigen zu können, sollte in Kapitel 3 die Gleichung für das
elektrische Feld der ebenen Welle wie folgt modifiziert werden:
Z z
′
′
E(z, ω) = E0 (ω)T̃ exp i
k(ω, z )dz .
(6.74)
0
Das Dichteprofil des Plasmas bzw. k kann entweder durch eine Funktion – bei einer
zylindrischen Entladung z.B. eine Kosinusfunktion – angenommen oder mithilfe einer
Langmuirsondenmessung bestimmt werden. In jedem Fall ist mit einem gewissen Fehler
zu rechnen, der berücksichtigt werden muss.
Das Profil sollte sicherlich im zukünftigen Umgang mit dem THz-TDS ausführlicher diskutiert werden; an dieser Stelle bleibt es jedoch außer Acht.
76
6.3 Abschätzung des Einflusses von Plasmagrößen auf TDS-Messungen
6.3.6 Magnetfeldgradient
Bei genauer Betrachtung der in Abschnitt 6.2.4 dargestellten Rechnungen fällt auf, dass
die Symmetrie des Magnetfeldes in der vorhandenen Entladungskammer keine Berücksichtigung findet. Außerdem ändert sich die Stärke des statischen Magnetfeldes in der
Kammer radial auf der Sichtachse. Es existiert also ein Magnetfeldgradient. Beginnend
an einem Beobachtungsflansch schwächt sich das Magnetfeld zur Mitte hin immer weiter
ab, bis es in der Mitte den sogenannten „X-Punkt“ erreicht, an dem sich alle umliegenden Magnetfelder gegenseitig auslöschen. Über die Mitte hinweg zum gegenüberliegenden
Beobachtungsflansch nimmt die Magnetfeldstärke erneut, diesmal aber mit entgegengesetzter Polarität, zu. Die Elektronen und Ionen erfahren nicht nur eine Gyrationsbewegung
aufgrund des Magnetfeldes, sondern zusätzlich eine Gradient-B-Drift gemäß [28]:
~ 0 × ∇ B0
B
1
2
~v∇B0 = me v⊥
,
(6.75)
2
eB03
wobei v⊥ die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum Magnetfeld ist. Nicht berücksichtigt wurde in dieser Formel die Krümmung des Magnetfeldes, die wiederum zu einem
Driftterm in Abhängigkeit von ∇B führt, der Krümmungsdrift. Zusammengefasst ergibt
sich für alle Driften, die aufgrund der sich ändernden Magnetfeldstärke entstehen, folgende
Gleichung [28]:
~vB0 =
1
1
2
m e v⊥
+ 2 · me vk2
2
2
B~ × ∇ B
0
0
eB03
.
(6.76)
Die Ausbreitungsrichtung der Welle ist aber in jedem Fall, außer im feldfreien Fall am
„X-Punkt“, senkrecht zum Magnetfeld. Das Ergebnis für die ordentliche Welle (O-Welle)
ist nicht abhängig von der Stärke des äußeren Magnetfeldes und sogar identisch mit dem
feldfreien Fall, der in der Mitte der Kammer herrscht. Da bei den geplanten Messungen
gerade diese O-Welle benutzt wird, ist der Magnetfeldgradient auf dem gesamten Weg der
Welle durch das Plasma von keinerlei Bedeutung.
Sollte bei zukünftigen Untersuchungen die Verwendung der außerordentlichen Welle (XWelle) oder ein anderer Winkel zwischen E- und B-Feld von Interesse sein, so muss der
Einfluss des B-Feld-Gradienten und somit auch der aus ∇B entstehenden Driften in die
Überlegungen mit einbezogen und eine Abschätzung über deren Einfluss gemacht werden.
Dies wird im Rahmen dieser Arbeit allerdings nicht weiter behandelt.
77
7 Messaufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers
Sowohl die Grundlagen der THz-Time-Domain-Spektrometrie und der Datenauswertung
als auch die theoretische Anwendung auf ein Plasma wurden bereits diskutiert. In diesem
Kapitel werden der Umbau des vorhandenen Table-Top-Systems, die Durchführung einer
Grundjustierung sowie die dabei aufgetretenen Probleme im Detail beschrieben.
7.1 Umbau des THz-TDS
Die Messungen im Plasma sollen an dem in Kapitel 5 beschriebenen Versuchsaufbau erfolgen. Das vorhandene System war im gelieferten Table-Top-Aufbau nicht dafür geeignet,
weshalb es so umgebaut werden musste, dass Messungen im Plasma möglich sind. Des Weiteren sollte das System dabei möglichst modular bezüglich der Plasmaentladung bleiben,
sodass es für Messungen an einer anderen Entladung nicht erneut umgebaut werden muss.
Aus diesem Grund wurden eine U-förmige Aluminiumplatte und ein passendes höhenverstellbares Gestell gefertigt. Eine zu untersuchende Plasmaentladung kann so mitsamt ihres
Gestells in die Aussparung der Aluminiumplatte hineingefahren und dort entsprechend
ausgerichtet werden. Der endgültige Versuchsaufbau ist schematisch in Abbildung 7.1 zu
sehen. Ein weiterer Vorteil dieser Konstruktion ist die Entkoppelung des Entladungs- und
des Messtisches. So haben Vibrationen der Vakuumpumpen und anderer mechanischer
Teile weniger Einfluss auf das Spektrometer und können die Messungen weniger stark
beeinflussen. Das Table-Top-System wurde nach Fertigstellung aller erforderlichen Teile
demontiert und auf dem U-Tisch wieder aufgebaut. An den beiden Stegen des Tisches
wurden die Antennenhalter und jeweils ein Umlenkspiegel befestigt. Auf der langen Seite
des Tisches befinden sich der Strahlteiler, die Polarisationsfilter, die Delayline und mehrere
Umlenkspiegel.
Beim Aufbau des Systems ist darauf zu achten, dass der optische Weg des Lasers zum
Sender zuzüglich der THz-Strecke dem optischen Weg des Lasers zur Delayline und von
dort zum Empfänger entspricht. Als Ausgangspunkt dient dabei der Strahlteiler. Mathe-
79
7 Messaufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers
Ti:Sapphire
fs-laser
M2
M1
IR1
HWP
QWP PBSC
Delay Line
M6
IR3
IR2
M3
M4
Transmitter
Module
Receiver
Module
THz
M5
M7
THz
L1
L2
M8
Plasma
Abbildung 7.1: Schematische Darstellung des umgebauten THz-TDS
matisch gestaltet sich dies so:
l(Strahlteiler → T ransmitter) + l(T Hz) =
l(Strahlteiler → Delayline) + l(Delayline → Receiver)
(7.1)
Nach erfolgreichem Umbau konnte nun mit einer Grundjustierung fortgefahren werden.
7.2 Justierung des THz-TDS
Der erste Schritt besteht in der Entfernung der Antennen, der Siliziumlinsen und der
Fokussierlinsen aus den Antennenhaltern sowie der TPX-Linsen (L1, L2) vor den Antennen. Die Antenne ist mit der Kontaktplatine und der Siliziumlinse in einer herausnehmbaren Halterung montiert, sodass die Entnahme dieser Komponenten sehr einfach
ist. Die Fokussierlinsen können von der anderen Seite der Halterungen mit einem speziellen Schraubenschlüssel herausgeschraubt werden. Es folgt eine grobe Vorjustierung des
Lasers. Direkt vor den Antennenhalterungen beträgt die Strahlhöhe des Lasers 75 mm.
Es werden beide Laserstrahlen zwischen den jeweils letzten Umlenkspiegeln (M5, M8))
kollinear ausgerichtet. Der Durchgang der Strahlen durch die Antennenhalter sollte mittig
erfolgen. Die Fokussier- und TPX-Linsen werden in den Strahlengang eingebracht. Der
Abstand zwischen Antennenhalter und TPX-Linse wird so gewählt, dass der Laserstrahl
auf der THz-Strecke kollimiert ist. Die Antennen mit den Silizium-Linsen werden wieder
80
7.2 Justierung des THz-TDS
Abbildung 7.2: Foto des Antennenchips
in die Halter eingesetzt. Die Position der Siliziumlinse sollte sich dabei möglichst mittig
auf den Antennen befinden. Vor dem Beleuchten der Antennenstruktur mit dem Laser
muss die Laserleistung vor jeder Antenne überprüft werden. Die Laserleistung darf in diesem Fall einen Wert von 10 mW nicht überschreiten. Sind die Laserleistungen auf beiden
Seiten des Systems nicht gleich groß, so kann mit dem ersten Polarisationsfilter vor dem
Strahlteiler nachjustiert werden. Der Strahlengang verändert sich dadurch nicht; nur die
Aufteilung der Leistungen des ursprünglichen Laserstrahls wird damit gesteuert.
Die Antennenstruktur wird danach mit dem Laser beleuchtet. Legt man nun eine Gleichspannung an die Antennen an, kann ein Photostrom gemessen werden. Es muss als nächstes die Positionierung des Laserfokus auf dem Antennenwafer erfolgen. Allein durch Maximierung des Photostroms kann die Justierung nicht erfolgen, da es auch auf den Randstrukturen des Antennenchips zu einem hohen Photostrom kommen kann, weil sich die
Elektroden dort aufwickeln. Ein Foto des Antennenchips ist in Abbildung 7.2 zu sehen.
Es ist aber möglich eine Reflexion der Antennenstruktur auf einer Papierkarte zu sehen.
Dies kann entweder mit einem IR-Sichtgerät oder teilweise auch mit bloßem Auge geschehen. Die Papierkarte wird so in den Strahlengang eingebracht, dass der Laserstrahl
ungehindert am Rand der Karte vorbei läuft, sie aber für die Reflexion als Schirm dient.
Mithilfe der Fokussierlinse wird die Größe des reflektierten Bildes eingestellt. Über die
vertikale und horizontale Position der Halter kann die Antenne bewegt und so alle An-
81
7 Messaufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers
Abbildung 7.3: Foto einer Struktur auf dem Antennenchip
Abbildung 7.4: Foto der Stripline auf dem Antennenchip
tennenstrukturen sichtbar gemacht werden. Ein Beispiel stellt eines der Kreuze dar, wie
es auch in Abbildung 7.2 bereits zu sehen sind. Die Reflexion eines Kreuzes konnte fotografisch dokumentiert werden, vgl. Abbildung 7.3.
Wird die Stripline getroffen, so sieht man senkrechte Linien, siehe Abbildung 7.4. Um zu
überprüfen, ob es sich tatsächlich um die Stripline handelt, kann sie in vertikaler Richtung
bewegt werden. Verläuft sie über einen großen Bereich senkrecht und knickt nur am oberen
Rand nach links und am unteren Rand nach rechts ab, so ist gesichert, dass die Stripline
vom Laser beleuchtet wird. Wiederholt man die vertikale Bewegung der Antenne langsam,
kann sogar die Dipolstruktur in Reflexion gesehen werden, vgl. Abbildung 7.5.
Konnte die Dipolstruktur bei beiden Antennen gefunden werden, kann die Messung des
82
7.2 Justierung des THz-TDS
Abbildung 7.5: Foto der Dipolstruktur auf dem Antennenchip
Photostroms folgen. Zunächst sollte der Laser wieder auf die Antenne fokussiert werden,
da er zur Betrachtung der Reflexionen zuvor defokussiert wurde. Es wird so das Maximum
des Photostroms gesucht. Als nächstes kann die Position der Antenne relativ zum Laserfokus korrigiert werden. Dabei ist darauf zu achten, dass sie nicht zu stark geändert wird,
da man sonst evtl. wieder eine Randregion mit dem Laserfokus trifft. Die Justierung des
Laserfokus sowie der Vertikal- und Horizontalpositionen der Antennen werden mehrfach
wiederholt, bis ein optimales Ergebnis erreicht ist.
Das THz-TDS kann nun in Betrieb genommen werden. Bei sorgfältig durchgeführter Justierung ist direkt bei der ersten Messung ein schwaches THz-Signal zu erkennen. Die Delay
Line wird an die Position des gemessenen Pulses gebracht und der Shaker eingeschaltet.
Das Signal wird auf einem Oszilloskop gemittelt und dargestellt. Es folgt die Justierung
der Silizium- und TPX-Linsen bis ein möglichst gutes Signal-zu-Rausch-Verhältnis erreicht
wird.
83
7 Messaufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers
7.3 Problematik bei der Justierung und Defekt der Antennen
Schon bei der ersten Inbetriebnahme gestaltete sich das Justieren des Terahertz-TimeDomain-Spektrometers schwierig. Zum einen lag es an der Komplexität selbst und zum
anderen an technischen und mechanischen Besonderheiten des verwendeten Modells. Ein
Augenmerk lag dabei auf den Antennenhalterungen, die vom Fraunhofer Institut für physikalische Messtechnik (IPM) entwickelt wurden, vgl. Abbildung 7.6. Die Halterungen
erlauben eine Justierung der Positionen der Antenne (AH, AV), der Siliziumlinse (SLH,
SLV), des Laserfokus (FL) und der Fokussierlinse (FLH, FLV). Die Positionierung der Antenne selbst geschieht durch Feingewindeschrauben (AH, AV), die allerdings keine Skala
zum Ablesen der absoluten Position besitzen. Nur die Position innerhalb einer Umdrehung
kann abgelesen werden. Dennoch ist diese Skala nur dann hilfreich, wenn die Schrauben in
eine bestimmte Drehrichtung angezogen werden. Dreht man die Schraube in die Gegenrichtung, so reagiert der Halter sehr langsam mit einiger Verzögerung. Die Positionierung
der Siliziumlinse stellt den Anwender vor keinerlei Probleme. Ihre absolute Position ist
an den Skalen zweier Mikrometerschrauben (SLH, SLV) ablesbar und kann ebenfalls gut
reproduziert werden.
Die Position der Fokussierlinse ist nicht reproduzierbar. Die Linse kann sowohl horizontal
als auch vertikal mithilfe zweier Schrauben (FLH, FLV) verstellt werden. In einer Richtung bewegt sich der Schlitten, in dem die Linse gehaltert ist. In der anderen Drehrichtung
reagiert der Schlitten wenig oder gar nicht, sodass er von Hand wieder an die Schraube
geschoben werden muss. Des Weiteren tritt ein so genannter Cross-Talk der horizontalen
und vertikalen Justierrichtung auf. Verändert man bspw. die vertikale Position und stellt
eine Verschlechterung des Signals fest, sodass man die Linse wieder zurück bewegt, so
lässt sich die Position nicht wieder reproduzieren. Erst durch eine Justierung der horizontalen Position lässt sich das ursprüngliche Signal wieder herstellen. Der Begriff Cross-Talk
beschreibt somit sehr gut die Beeinflussung einer Bewegungsrichtung durch die andere.
Diese Schrauben können ohne Einschränkungen fixiert und diese Justiermöglichkeit nicht
weiter benutzt werden.
Durch Drehen der Fokussierlinsenhalterung (FL) kann man außerdem den Abstand der
Fokussierlinse von der Antenne verändern. Das ist wichtig, weil sich abhängig von der
Divergenz des verwendeten Lasers der Fokus an einer anderen Position befindet. Allerdings
wird die Linse dabei nicht nur in ihrem Abstand zur Antenne verändert. Beim Drehen
des Gewindes bewegt sich der Fokus außerdem elliptisch über den Antennenchip. Die
84
7.3 Problematik bei der Justierung und Defekt der Antennen
AV
FLV
SLV
FL
SLH
FLH
AH
Abbildung 7.6: Foto eines verwendeten Antennenhalters
Dipolstruktur hat einen Abstand von 5 µm und ist daher sehr empfindlich gegenüber
Positionsänderungen des Fokus. Es ist möglich, dass das Signal deshalb fast vollständig
verschwindet. Daher ist eine iterative Justierung des gesamten Systems über die Antennenund die Fokusposition unumgänglich.
Schwierig gestaltete sich die Grundjustierung des System nach dem Umbau auf den speziell angefertigten U-Tisch. Zunächst war kein THz-Signal zu finden und selbst bei direktem Gegenüberstellen von Transmitter und Receiver konnte nichts detektiert werden. Der
Grund hierfür war eine Abweichung des Gangunterschieds, wie er im vorangegangenen Abschnitt 7.2 beschrieben wurde. Die optischen Wege zum Sender und zum Empfänder waren
bis auf ca. 1 bis 2 cm genau abgemessen worden. Diese Abweichung konnte problemlos
über die Delay Line ausgeglichen werden. Dennoch wurde kein Puls gefunden, weil er sich
außerhalb des Messbereiches der Delay Line befand. Die Laserpulse, die den Empfänger
empfindlich schalten, kamen zeitlich vor den THz-Pulsen an der Empfängerantenne an.
Erst durch eine erhebliche Verlängerung des optischen Weges auf der Empfängerseite um
mehr als 7,5 cm konnte ein Puls detektiert werden. Der Grund für diese große Abweichung
ist bisher nicht geklärt. Sie könnte durch den im weiteren Test beschriebenen Defekt der
Antennen zustande gekommen sein. Es wird nach dem Einbau der neuen Antennen weiter
untersucht.
85
7 Messaufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers
Abbildung 7.7: Antennenkontakte aus feinen Goldfäden
In den folgenden Wochen wurde versucht das System weiter zu justieren und so das Signalzu-Rausch-Verhältnis zu verbessern. Es konnte jedoch keine nennenswerte Verbesserung
erreicht werden. Die Grundjustierung wurde einige Male wiederholt, brachte jedoch keinen Erfolg. Daraufhin wurde systematisch jeweils nur ein einziger Parameter geändert und
dann eine Messung durchgeführt. Auffällig war, dass sich die ursprüngliche Position in jedem Fall als die beste herausstellte. Bei einem erneuten Justierungsversuch verschwand
das Signal vollständig und konnte nicht reproduziert werden. Die Antennenchips wurden
daraufhin mit einer Lupe untersucht. Bei der Empfängerantenne war zu erkennen, dass
sich die Kontakte – sehr feine Goldfäden (Abbildung 7.7) – gelöst hatten. Bei weiter gehender Betrachtung fiel auf, dass sich beim Bewegen der Siliziumlinse der Antennenchip
selbst mitbewegte. Regulär sollte sich der Antennenchip bei der Justierung der Siliziumlinse gerade nicht bewegen. Beide Antennen wurden wieder in die Halter eingebaut und zur
Reparatur bzw. zur Überprüfung an die Firma Menlo versandt. Die Überprüfung ergab
einen schwerwiegenden Mangel des Klebstoffs, mit dem die Antennenchips in die Kontaktplatine eingeklebt worden waren. Bei der Empfängerantenne hatte er sich komplett
verflüssigt und sich mit der Siliziumlinse verbunden. Dieser Prozess hatte ebenfalls bei der
Senderantenne bereits eingesetzt, war allerdings noch nicht so weit fortgeschritten. Ein
Fehler bei der Handhabung der Antennen konnte ausgeschlossen werden. Menlo säuberte
die Halterungen und tauschte die Siliziumlinsen und die Antennen auf Kulanz aus.
86
7.3 Problematik bei der Justierung und Defekt der Antennen
Eine Erklärung für die Beobachtungen bei der Justierung liefert der aufgetretene Fehler
ebenfalls. Die Signalstärke war in der durch die Grundjustierung festgelegten Position
der Antennen am besten. Versuchte man nun die Siliziumlinsen zu justieren, so bewegte
sich die Dipolstruktur automatisch aus dem Laserfokus, wodurch sich das Signal erheblich
verschlechterte. Eine Justierung über eine Grundjustierung hinaus war also gar nicht erst
möglich.
Zur weiteren Analyse wurden die defekten Antennen von Menlo an den Hersteller, das
Fraunhofer Institut für physikalische Messtechnik (IPM), geschickt. Eine Stellungnahme
ihrerseits bleibt abzuwarten.
Da dieser Fehler erst sehr spät im Laufe dieser Arbeit auftrat, konnten bisher noch keine
Messungen mit den neuen Antennen durchgeführt werden.
87
8 Fazit und Ausblick
In dieser Arbeit wurden die Grundlagen der Terahertz-Time-Domain-Spektroskopie und
der Aufbau eines in Transmission arbeitenden Systems erklärt. Die Eigenschaften des
verwendeten Systems wurden im ersten Schritt eingehend untersucht.
So wurden verschiedene Software-Versionen getestet, da sich diese als teilweise fehlerhaft
erwiesen, Einflüsse von Raumlicht und elektrischen Störungen auf die empfindliche Detektion (Photostrom im nA-Bereich) sowie der Einfluss der Eigenschaften der anregenden
fs-Laserstrahlung systematisch untersucht.
Im zweiten Schritt wurden mit dem System verschiedene Materialien untersucht und die
Ergebnisse mit in der Literatur zu findenden Werten verglichen. Die Messung von Vakuumfenstern, wie sie an der vorhandenen Plasmaentladung verwendet werden, bestätigt die
Verwendbarkeit in einer THz-TDS-Messung. Da es bei Proben mit planparallelen Flächen
zum Etaloneffekt kommen kann, wurde ein dünner Silizium-Wafer untersucht und während der Auswertung ein Algorithmus [19] zur Entfernung eben dieses Effekts mit Erfolg
getestet.
Ein weiterer Bestandteil dieser Arbeit war es, ein bereits vorhandenes Entladungsgefäß zu erneuern und den Versuchsaufbau wieder betriebsbereit zu machen. Der Aufbau
wurde demontiert, das Gefäß und weitere Komponenten gereinigt und, falls erforderlich,
Bauteile erneuert. Mit dieser induktiv gekoppelten magnetischen Multipolentladung ist es
möglich hohe Elektronendichten zu erreichen und das THz-TDS zur Messung eben dieser
einzusetzen.
Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Plasma wurde unter verschiedenen Bedingungen diskutiert und die relevanten physikalischen Größen allgemein hergeleitet. Die
Theorie wurde anschließend für den vorhandenen Versuchsaufbau betrachtet. Dabei mussten vor allem die Existenz eines Magnetfeldes und eine Wellenausbreitung senkrecht zu
diesem berücksichtigt werden. Aufgrund der Parallelität des elektrischen Feldes der THzWelle und des äußeren Magnetfeldes vereinfacht sich die mathematische Beschreibung.
89
8 Fazit und Ausblick
Darüber hinaus wurden weitere Plasmagrößen betrachtet und deren Einfluss auf die Wellenausbreitung und THz-Messungen abgeschätzt. Einige können vernachlässigt werden,
während andere in Zukunft einer genaueren Betrachtung bedürfen.
Für die Durchführung einer THz-TDS-Messung an einem Plasma wurden alle erforderlichen Grundlagen gegeben. Das vorhandene THz-System wurde für die Messungen am
Plasma umgebaut und das Vorgehen zur Durchführung einer Grundjustierung detailliert
beschrieben.
Während der Justierung des Systems trat allerdings ein Defekt an den Antennen auf.
Dies geschah sehr spät im Verlauf dieser Arbeit, weshalb es bislang nicht möglich war
eine Messung im Plasma durchzuführen.
Im Rahmen dieser Arbeit wurden alle Voraussetzungen für Messungen im Plasma geschaffen. Sobald die Antennen repariert und installiert sind und das System justiert ist,
können Messungen durchgeführt werden.
Ausblick
Da der eingehende Test des Systems erhebliche Schwächen der Steuerungssoftware aufzeigte, die vermutlich auf die Tatsache zurückzuführen sind, dass es sich bei dem verwendeten
System erst um das dritte von der Firma Menlo ausgelieferte System dieser Art handelt, ist in Zukunft die Software zu verbessern oder ein neues Programm zu schreiben.
Des Weiteren sollte eine andere Elektronik (Lock-In-Technik) getestet werden, um das
bisher relativ schlechte Signal-zu-Rausch-Verhältnis zu verbessern. Bei neu ausgelieferten
Systemen der Firma Menlo liegt es über eine Größenordnung über dem in dieser Arbeit
erreichten Signal-zu-Rausch-Verhältnis.
Bei der Berücksichtigung von Stößen innerhalb des Plasmas werden sowohl die Phasenverschiebung als auch das Amplitudenverhältnis zur Bestimmung der Elektronendichte
und der Stoßfrequenz benötigt. Daher ist das Schreiben eines Programms, das eine iterative Anpassung der Werte an die gemessenen FFT-Phasen und -Amplituden durchführt,
unumgänglich.
Zur Verbesserung der Stabilität des THz-Signals ist die Installation eines Pinholes als
Raumfilter im Fokus der kollimierenden Linsen zur Reduzierung des Einflusses des LaserPointings empfehlenswert. Die Veränderungen des Laser-Pointings könnten die Ursache
für die unphysikalischen negativen Werte des Absorptionskoeffizienten sein.
90
Die aus Messungen mit der nicht-invasiven Methode der THz-Time-Domain-Spektroskopie
entstandenen Daten für die Elektronendichte im Plasma können zunächst mit anderen
diagnostischen Methoden, wie z.B. Langmuir-Sondenmessungen oder optischer Emissionsspektroskopie, verglichen werden. Darüber hinaus kann sie im Vergleich einen größeren
Messbereich erfassen.
Vor allem sind zeitaufgelöste Messungen während der Zündungsphase und im After-Glow
eines Plasmas möglich, die mit konventionellen Diagnostiken nicht durchgeführt werden
können. Dazu muss das Plasma mit der Frequenz des THz-Signals gepulst werden. Aufgrund der sehr kurzen Dauer eines einzelnen THz-Pulses erreicht man so eine hohe Zeitauflösung im Sub-Nanosekunden-Bereich.
Die Untersuchung von Atmosphärendruck-Plasmen, wie z.B. Mikroplasmen und Plasmajets, ist wegen ihrer besonderen Eigenschaften und speziell dort auftretenden Effekten
allgemein von steigendem Interesse. Aufgrund der dort herrschenden hohen Elektronendichten und der kleinen Dimensionen der Plasmen könnte die Terahertz-Time-DomainSpektroskopie eine der wenigen anwendbaren diagnostischen Methoden darstellen.
91
Abbildungsverzeichnis
2.1
Übersicht des elektromagnetischen Spektrums . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Schematische Darstellung eines THz-Transmitters . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Schematische Darstellung eines THz-Receivers . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Antennenstruktur in Form einer Spirale [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5
Schematische Darstellung von Antennenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1
Beispiele für eine THz-TDS-Messung und daraus berechneter FFT-Amplitude
und FFT-Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2
Schematische Darstellung der Reflexion bei einer Probe mit planparallelen
Grenzflächen (Etaloneffekt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1
Aufbau des THz-Time-Domain-Spektrometers als Table-Top-System . . . . 21
4.2
Schematischer Aufbau eines THz-TDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3
Untersuchung der zeitlichen Verschiebung des THz-Pulses bei unterschiedlichen Programmversionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4
Untersuchung des Einflusses der Raumbeleuchtung bei Integrationszeiten
von 0,3 ms und 30 ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5
Untersuchung des Einflusses der Divergenz des Lasers auf die Stärke des
THz-Pulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.6
Messung der THz-Pulse bei feuchter und trockener Luft . . . . . . . . . . . 31
4.7
FFT-Phase und FFT-Amplitude bei hoher und niedriger relativer Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.8
Absorptionslinien von Wasser bei einer Messung mit hoher relativer Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.9
Vergleich der FFT-Amplituden aus Messungen mit unterschiedlichen Schrittweiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.10 Gemessene Referenz- und Probenpulse bei der Messung an Plexiglas
(d = 3,9 mm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
93
Abbildungsverzeichnis
4.11 Brechungsindex und Absorptionskoeffizient von Plexiglas (d = 3,9 mm) . . 35
4.12 Gemessene Referenz- und Probenpulse bei der Messung an Plexiglas
(d = 5,6 mm und d = 11,2 mm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.13 Absorptionskoeffizient von Plexiglas unterschiedlicher Dicke
(d = 5,6 mm und d = 11,2 mm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.14 Achsen des Quarzkristalls (SiO2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.15 Absorptionskoeffizient von z-cut-Quarz und BK7 . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.16 Gemessene Referenz- und Probenpulse bei der Messung eines Si-Wafers . . 43
4.17 FFT-Amplituden während der Prozedur zur Entfernung des Etaloneffekts . 43
4.18 Absorptionskoeffizienten vor und nach Entfernung des Etaloneffekts . . . . 44
5.1
Schematische Darstellung der Entladungskammer (Bucket Source) . . . . . 48
5.2
Schematische Darstellung einer Doppelspiralantenne mit zwei Windungen
pro Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3
Schematische Darstellung der Magnetfeldkonfiguration in der Bucket
Source [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4
Messung und Simulation des Magnetfeldes innerhalb der Kammer . . . . . 51
5.5
Simulation des Magnetfeldes innerhalb der Kammer in der Beobachtungsebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1
Schematische Darstellung der induktiven Kopplung . . . . . . . . . . . . . 55
6.2
Schaltbild des Anpassnetzwerkes (Match-Box) . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3
Verwendetes Koordinatensystem bei der Berechnung der Wellenausbreitung im Plasma unter einem beliebigen Winkel zum Magnetfeld . . . . . . 65
94
6.4
Erwartete Phasenverschiebung ohne Berücksichtigung von Stößen . . . . . 71
6.5
Erwarteter reeller Brechungsindex ohne Berücksichtigung von Stößen . . . 72
6.6
Temperaturkorrekturfaktoren für T = 300 K und T = 3000 K . . . . . . . 75
7.1
Schematische Darstellung des umgebauten THz-TDS . . . . . . . . . . . . 80
7.2
Foto des Antennenchips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3
Foto einer Struktur auf dem Antennenchip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4
Foto der Stripline auf dem Antennenchip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.5
Foto der Dipolstruktur auf dem Antennenchip . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.6
Foto eines verwendeten Antennenhalters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.7
Antennenkontakte aus feinen Goldfäden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
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[24] Babkina, T. M., Generation of hyperthermal atoms through surface neutralisation,
Dissertation, Ruhr-Universität Bochum (2006)
[25] Siepa, S. L., Bestimmung von Plasmaparametern über optische Spektroskopie an
Argon-Plasmen, Masterarbeit, Ruhr-Universität Bochum, Germany (2011)
[26] Lieberman, M. A.; Lichtenberg, A. J., Principles of Plasma Discharges and
Material Processing, John Wiley & Sons, Inc. (2005)
[27] Kadetov, V. A., Diagnostics an modelling of an inductively coupled radio frequency
discharge in hydrogen, Dissertation, Ruhr-Universität Bochum, Germany (2004)
[28] Boyd, T. J. M.; Sanderson, J. J., The Physics of Plasmas, Cambridge University
Press (2003)
[29] Kegel, W. H., Plasmaphysik – Eine Einführung, Springer (1998)
[30] Heald, M. A.; Wharton, C. B., Plasma Diagnostics with Microwaves, John
Wiley & Sons, Inc. (1965)
[31] Phelps database, URL http://www.lxcat.laplace.univ-tlse.fr
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Danksagung
An erster Stelle danke ich Prof. Dr. Uwe Czarnetzki. Er gab mir nicht nur die Möglichkeit
diese Arbeit an seinem Lehrstuhl zu schreiben, sondern ermöglichte mir auch eine selbstständige und eigenverantwortliche Arbeit an einem neuen Versuchsaufbau.
Ich danke Prof. Dr. Martina Havenith-Newen für die Begutachtung dieser Arbeit.
Ein großer Dank geht an Dr. Dirk Luggenhölscher für die sehr gute Betreuung während
der gesamten Zeit. Er war jederzeit ansprechbar und bei auftretenden Problemen immer
eine große Hilfe.
Dr. Tsanko Tsankov danke ich sehr für die Zeit und die Mühen, die er in die Magnetfeldsimulation gesteckt hat, und für viele hilfreiche fachliche Gespräche und Diskussionen.
Vielen Dank dem gesamten EP5-Team für die angenehme Atmosphäre, die Hilfsbereitschaft sowie das fortlaufende Interesse am Fortschritt meiner Arbeit.
Dem gesamten Technikerteam – Bernd Becker, Frank Kremer, Stefan Wietholt und Thomas Zierow – danke ich für die große Unterstützung und allzeit schnelle Hilfe in technischen
Fragen, vor allem beim Aufbau der Bucket Source.
Ich danke Frau Iris Nikas ganz herzlich für ihre immer fröhliche und freundliche Art und
die Hilfe in außerphysikalischen und verwaltungstechnischen Fragen.
Ich möchte mich außerdem bei Dr. Erik Bründermann vom Lehrstuhl für physikalische
Chemie II bedanken, der mir zu Beginn meiner Arbeit viele Fragen zur technischen Umsetzung und der Verwendbarkeit verschiedener Materialien beantwortet und mir bei einer
sehr interessanten Laborführung einen Einblick in die Anwendung der THz-Spektroskopie
auf einem anderen Fachgebiet gegeben hat.
Anna Muhs danke ich für viele hilfreiche fachliche und freundschaftliche Gespräche und
Diskussionen.
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Danksagung
Ich danke meiner gesamten Familie, die mich immer in jeder erdenklichen Weise unterstützt hat. Sie haben mich jederzeit ermutigt, zeigten großes Interesse am Fortschritt
meines Studiums und standen mir immer mit Rat und Tat zur Seite. Durch ihren Rückhalt konnte ich mich ganz auf mein Studium und vor allem diese Arbeit konzentrieren.
Sarah Siepa danke ich für die gute Zusammenarbeit, viele hilfreiche Diskussionen und
Gespräche und allgemeine Unterstützung.
Zu guter Letzt danke ich meinen Kommilitonen und Freunden für die Begleitung auf
meinem bisherigen Lebensweg und die abwechslungsreiche Zeit während und außerhalb
des Studiums. Stellvertretend seien hier Leif-Sören Buda, Miriam Lange, Franziska Neu,
Renate Wansing und Jan-Patrick Westphal genannt. Bei allen, die ich jetzt nicht genannt
habe, bitte ich um Verständnis. Auch ihnen gehört selbstverständlich mein Dank.
100
Erklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und nur unter Verwendung der angegebenen Quellen und Hilfsmittel verfasst sowie Zitate kenntlich gemacht
habe.
Bochum, 23.09.2011
Steffen Marius Meier
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