Geometrische Beweise Allgemeine Tipps zu den Beweisen

Datum:
Abivorbereitungs-Intensivkurs
Geometrische Beweise
Aufgabe 1 *
Gegeben sind zwei Quadrate der Seitenlänge a wie
in nebenstehender Skizze.
R ist Diagonalenschnittpunkt im 1. Quadrat, P ist
Mittelpunkt der Quadratseite.
Zeigen Sie: P Q und P R sind orthogonal.
Aufgabe 2 *
Über einer Strecke AB wird ein Thaleskreis
gezogen. C sei ein beliebiger anderer Punkt des
Kreises. Zeigen Sie mithilfe der Vektorrechnung,
dass der Winkel ∠ACB ein rechter Winkel ist.
Q
R
P
Aufgabe 5 ***
In einem Dreieck ABC ist Mc der Mittelpunkt
der Seite AB. Der Punkt N liegt auf AC und
−→
−−→
es gilt AN = 31 AC. T ist der Schnittpunkt der
Strecken Mc C und N B. In welchem Verhältnis
teilt T diese Strecken?
Aufgabe 3 **
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit γ = 90◦ . T Aufgabe 6 **
teilt die Strecke AB im Verhältnis 1:1. Zeigen Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide mit
Sie mithilfe der Vektorrechnung, dass die Stre- sechs gleich langen Kanten.
Die Punkte M1 , M2 , M3 , M4
cke T C so lang ist wie die Strecken AT und T B.
bezeichnen die Mitten der
Tetraederkanten.
Aufgabe 4 **
M4
M
Weisen Sie nach, dass die
2
In einem Rechteck ABCD ist P der MittelPunkte M1 , M2 , M3 , M4 in
punkt der Strecke BC und Q der Mittelpunkt
einer Ebene liegen.
von CD. S ist der Schnittpunkt von AP und
M3
Weisen Sie nach, dass das
BQ. In welchem Verhältnis teilt S die Strecke
Viereck M1 M2 M3 M4 eine
AP ?
M1
Raute ist.
Außerdem...
... gibt es einige Abiaufgaben zu dem Thema,
z.B. Abi 2005/Aufgabe II 2.2, Abi 2006/Aufgabe II 1.2, Abi 2008/Aufgabe II 2.2
Allgemeine Tipps zu den Beweisen
Geometrische Beweise (siehe auch Beispiel-Arbeitsblatt: Beweise mit Vektoren)
1. Schritt: Skizze incl. Benennungen
2. Schritt: Benenne wichtige Vektoren, so wenige wie möglich, am besten linear unabhängige.
3. Schritt: Drücke die Voraussetzung mit Vektoren aus.
4. Schritt: Drücke die Behauptung mit Vektoren aus. Wenn ein Verhältnis gesucht ist, drücke
−→
−→
es mit Unbekannten aus, z.B. AP = r · AB. Meistens müssen bei zwei linear unabhängigen
Vektoren auch zwei Unbekannte eingeführt werden.
5. Schritt (Beweis bzw. Herleitung): Folgere aus der Voraussetzung die Behauptung bzw. leite
den benötigten Zusammenhang her.
Datum:
Abivorbereitungs-Intensivkurs
$
'
Trickkiste:
• Drücke deine Aussagen komplett mit den im 2. Schritt benannten Vektoren aus.
• geschlossener Vektorzug
• lineare Unabhängigkeit: Aus k~u + m~v = 0 folgt k = m = 0.
• Orthogonalität: ~u ⊥ ~v ist gleichbedeutend zu ~u ◦ ~v = 0.
• Gleiche Länge: |~u| = |~v | bedeutet auch: ~u2 = ~v 2 , denn ~u2 = |~u|2 .
• Parallel und gleich lang sind zwei Seiten, wenn die entspr. Vektoren gleich sind (oder
entgegengesetzt gerichtet).
• Für das Rechnen mit Vektoren gelten alle gängigen Rechenregeln: Kommutativgesetzt, Assoziativgesetz, Distributivgesetz. Damit lassen sich Terme vereinfachen.
• Achsen- oder Punktsymmetrie ausnutzen.
• Manchmal helfen auch ganz andere Überlegungen: Strahlensatz, Satz des Pythagoras,. . .
&
Tipps zu den Aufgaben
Aufgabe 1
• Benenne die Quadratseiten mit ~u und ~v , denn
über sie weißt du einiges.
• Was weiß man über ~u und ~v ?
1. Sie sind orthogonal, also ~u ◦ ~v = 0
2. Sie sind gleich lang, also |~u| = |~v |.
−−→
−→
• Drücke die Vektoren P Q und P R mit ~u und
~v aus und vereinfache.
Aufgabe 2
%
• Geschlossener Vektorzug, z.B. ABSA.
Drücke ihn komplett mit den Vektoren ~u und
~v aus.
• Sortiere in die Form (. . . )~u + (. . . )~v = 0. Verwende die lineare Unabhängigkeit.
• Nach der linearen Unabhängigkeit müssen
beide Klammern (. . . ) vor ~u und ~v 0 sein.
• Bestimme aus den Gleichungen r und s.
• M sei der Mittelpunkt des Thaleskreises. Er Ergebnis: S teilt die Strecke AP im Verhältnis 4:1.
liegt auf AB.
−−→
Benenne die Vektoren z.B. ~u := M B und Aufgabe 5
−−→
Ähnlich wie Aufgabe 4.
~v := M C.
Ergebnis: T teilt die Strecke Mc C im Verhältnis 1:4
• Voraussetzung: |~u| = |~v |, also ~u2 = ~v 2 .
und die Strecke N T im Verhältnis 2:3.
−→ −−→
• Behauptung: Zu zeigen ist: AC · CB = 0.
Aufgabe 6
• Drücke die Behauptung nur mit ~u und ~v aus.
• Benenne drei Tetraederseiten mit ~u, ~v , w.
~
Unter Verwendung der Voraussetzung ~u2 =
2
~v ergibt sich die Behauptung.
• Der Nachweis, dass die vier Punkte in einer
Aufgabe 3
Ebene liegen ist automatisch mit dem Nach−→
−−→
Benenne z.B. ~u := CA, ~v := CB, denn dann weißt
weis der Raute erbracht.
du, dass ~u ◦ ~v = 0.
−−−−→ −−−−→
• Was ist zu zeigen? Zunächst: M1 M2 = M4 M3
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
Aufgabe 4
und M1 M4 = M2 M3 , damit gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind. Da• Benenne die Rechtecksseiten, z.B. mit ~u :=
−−→
−−→
durch ist das Viereck ein Parallelogramm.
AB, ~v := AD.
• Drücke das gesuchte Verhältnis mit Unbe−→
−→ −→
−−→
kannten aus, z.B. AS = r · AP ; BS = s · BQ.
• Damit alle vier Seiten gleich lang sind, muss
−−−−→
−−−−→
z.B. noch gelten |M1 M2 | = |M1 M4 |.
Datum:
Abivorbereitungs-Intensivkurs
Vollständige Induktion
1. Beweisen Sie: Die Summe aller geraden Zahlen bis 2n, ergibt n(n + 1).
2. Zeigen Sie, dass für die n-te Ableitung von f mit f (x) =
3. Die Funktion f ist gegeben durch f (x) =
tung durch die Gleichung
1
.
1+x
f (n) (x) = (−1)n · n! ·
(Anmerkung: n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n.
1
e3x
gilt: f (n) (x) = (−1)n ·
3n
.
e3x
Zeigen Sie, dass für alle n ≥ 1 die n-te Ablei-
1
(1 + x)n+1
gegeben ist.
Lies: ,,n Fakultät”)
4. Stellen Sie eine Vermutung für die (n)-te Ableitung der folgenden Funktion auf und beweisen
Sie diese: fa (x) = ax ex
5. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = sin(2x) − cos(2x). Zeigen Sie mit vollständiger
Induktion, dass für alle n ≥ 1 für die (2n)-te Ableitung von f gilt:
f (2n) (x) = (−4)n · (sin(2x) − cos(2x)).
Außerdem... ... war im Abitur 2008(GTR)/Aufgabe I1.2 eine ähnliche Aufgabe dran. Im AbiÜbungsbuch finden sich auch mehrere zu dem Thema.
Trickkiste Vollständige Induktion
Jede vollständige Induktion ist ein Lückentext, den man nur füllen muss.
Achtung: Ein falsch begründeter Beweis kann auch falsch sein!
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• Induktionsanfang: Zeige die Aussage für n = 1: . . .
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• Induktionsannahme (oder Induktionsvoraussetzung): Angenommen, die Aussage
ist für n = k bereits bewiesen, d.h. . . . (Schreibe die Aussage mit k statt mit n.)
• Induktionsschritt: Schließe von n = k auf n = k + 1.
Zu zeigen: . . . (Schreibe die Aussage mit k + 1 statt n.)
Linke Seite: . . .
Rechte Seite: . . .
Weil die linke und die rechte Seite identisch sind, ist der Induktionsschritt bewiesen.
(Um die linke und die rechte Seite zu berechnen/zu vereinfachen, kann auch Maple
verwendet werden.)
• Damit gilt die Aussage für alle n.
&
%