Datum: Abivorbereitungs-Intensivkurs Geometrische Beweise Aufgabe 1 * Gegeben sind zwei Quadrate der Seitenlänge a wie in nebenstehender Skizze. R ist Diagonalenschnittpunkt im 1. Quadrat, P ist Mittelpunkt der Quadratseite. Zeigen Sie: P Q und P R sind orthogonal. Aufgabe 2 * Über einer Strecke AB wird ein Thaleskreis gezogen. C sei ein beliebiger anderer Punkt des Kreises. Zeigen Sie mithilfe der Vektorrechnung, dass der Winkel ∠ACB ein rechter Winkel ist. Q R P Aufgabe 5 *** In einem Dreieck ABC ist Mc der Mittelpunkt der Seite AB. Der Punkt N liegt auf AC und −→ −−→ es gilt AN = 31 AC. T ist der Schnittpunkt der Strecken Mc C und N B. In welchem Verhältnis teilt T diese Strecken? Aufgabe 3 ** Gegeben ist ein Dreieck ABC mit γ = 90◦ . T Aufgabe 6 ** teilt die Strecke AB im Verhältnis 1:1. Zeigen Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide mit Sie mithilfe der Vektorrechnung, dass die Stre- sechs gleich langen Kanten. Die Punkte M1 , M2 , M3 , M4 cke T C so lang ist wie die Strecken AT und T B. bezeichnen die Mitten der Tetraederkanten. Aufgabe 4 ** M4 M Weisen Sie nach, dass die 2 In einem Rechteck ABCD ist P der MittelPunkte M1 , M2 , M3 , M4 in punkt der Strecke BC und Q der Mittelpunkt einer Ebene liegen. von CD. S ist der Schnittpunkt von AP und M3 Weisen Sie nach, dass das BQ. In welchem Verhältnis teilt S die Strecke Viereck M1 M2 M3 M4 eine AP ? M1 Raute ist. Außerdem... ... gibt es einige Abiaufgaben zu dem Thema, z.B. Abi 2005/Aufgabe II 2.2, Abi 2006/Aufgabe II 1.2, Abi 2008/Aufgabe II 2.2 Allgemeine Tipps zu den Beweisen Geometrische Beweise (siehe auch Beispiel-Arbeitsblatt: Beweise mit Vektoren) 1. Schritt: Skizze incl. Benennungen 2. Schritt: Benenne wichtige Vektoren, so wenige wie möglich, am besten linear unabhängige. 3. Schritt: Drücke die Voraussetzung mit Vektoren aus. 4. Schritt: Drücke die Behauptung mit Vektoren aus. Wenn ein Verhältnis gesucht ist, drücke −→ −→ es mit Unbekannten aus, z.B. AP = r · AB. Meistens müssen bei zwei linear unabhängigen Vektoren auch zwei Unbekannte eingeführt werden. 5. Schritt (Beweis bzw. Herleitung): Folgere aus der Voraussetzung die Behauptung bzw. leite den benötigten Zusammenhang her. Datum: Abivorbereitungs-Intensivkurs $ ' Trickkiste: • Drücke deine Aussagen komplett mit den im 2. Schritt benannten Vektoren aus. • geschlossener Vektorzug • lineare Unabhängigkeit: Aus k~u + m~v = 0 folgt k = m = 0. • Orthogonalität: ~u ⊥ ~v ist gleichbedeutend zu ~u ◦ ~v = 0. • Gleiche Länge: |~u| = |~v | bedeutet auch: ~u2 = ~v 2 , denn ~u2 = |~u|2 . • Parallel und gleich lang sind zwei Seiten, wenn die entspr. Vektoren gleich sind (oder entgegengesetzt gerichtet). • Für das Rechnen mit Vektoren gelten alle gängigen Rechenregeln: Kommutativgesetzt, Assoziativgesetz, Distributivgesetz. Damit lassen sich Terme vereinfachen. • Achsen- oder Punktsymmetrie ausnutzen. • Manchmal helfen auch ganz andere Überlegungen: Strahlensatz, Satz des Pythagoras,. . . & Tipps zu den Aufgaben Aufgabe 1 • Benenne die Quadratseiten mit ~u und ~v , denn über sie weißt du einiges. • Was weiß man über ~u und ~v ? 1. Sie sind orthogonal, also ~u ◦ ~v = 0 2. Sie sind gleich lang, also |~u| = |~v |. −−→ −→ • Drücke die Vektoren P Q und P R mit ~u und ~v aus und vereinfache. Aufgabe 2 % • Geschlossener Vektorzug, z.B. ABSA. Drücke ihn komplett mit den Vektoren ~u und ~v aus. • Sortiere in die Form (. . . )~u + (. . . )~v = 0. Verwende die lineare Unabhängigkeit. • Nach der linearen Unabhängigkeit müssen beide Klammern (. . . ) vor ~u und ~v 0 sein. • Bestimme aus den Gleichungen r und s. • M sei der Mittelpunkt des Thaleskreises. Er Ergebnis: S teilt die Strecke AP im Verhältnis 4:1. liegt auf AB. −−→ Benenne die Vektoren z.B. ~u := M B und Aufgabe 5 −−→ Ähnlich wie Aufgabe 4. ~v := M C. Ergebnis: T teilt die Strecke Mc C im Verhältnis 1:4 • Voraussetzung: |~u| = |~v |, also ~u2 = ~v 2 . und die Strecke N T im Verhältnis 2:3. −→ −−→ • Behauptung: Zu zeigen ist: AC · CB = 0. Aufgabe 6 • Drücke die Behauptung nur mit ~u und ~v aus. • Benenne drei Tetraederseiten mit ~u, ~v , w. ~ Unter Verwendung der Voraussetzung ~u2 = 2 ~v ergibt sich die Behauptung. • Der Nachweis, dass die vier Punkte in einer Aufgabe 3 Ebene liegen ist automatisch mit dem Nach−→ −−→ Benenne z.B. ~u := CA, ~v := CB, denn dann weißt weis der Raute erbracht. du, dass ~u ◦ ~v = 0. −−−−→ −−−−→ • Was ist zu zeigen? Zunächst: M1 M2 = M4 M3 − − − − → − − − − → Aufgabe 4 und M1 M4 = M2 M3 , damit gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind. Da• Benenne die Rechtecksseiten, z.B. mit ~u := −−→ −−→ durch ist das Viereck ein Parallelogramm. AB, ~v := AD. • Drücke das gesuchte Verhältnis mit Unbe−→ −→ −→ −−→ kannten aus, z.B. AS = r · AP ; BS = s · BQ. • Damit alle vier Seiten gleich lang sind, muss −−−−→ −−−−→ z.B. noch gelten |M1 M2 | = |M1 M4 |.