Übungsblatt 1

PDGL MSE
SS13
Übungsblatt 1
Rechenaufgaben
Aufgabe 1 (Lösung von einfachen PDGL)
Lösen Sie die folgenden partiellen Differentialgleichungen, indem Sie diese gegebenenfalls
durch geeignete Substitutionen auf gewöhnliche Differentialgleichungen zurückführen.
Verwenden Sie zur Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungen Techniken, die Sie
bereits im vorherigen Semester kennengelernt haben.
a) uxy − ux = 0
b) x2 uxx + 2xux − 2u = 0
c) uyy + 6uy + 13u = 4ey
d) ux + uy + uxy + u = 0
Aufgabe 2 (Plane Strain)
Es soll die Deformation eines Körpers Ω ∈ R3 mit den Lamé-Konstanten λ und µ unter
Einwirkung der Volumenkraft f = (f1 , f2 , f3 )T mit Hilfe der linearen Elastizitätstheorie
beschrieben werden. Dazu wird das Verschiebungsfeld u = (u1 , u2 , u3 )T so bestimmt, dass
gilt (vgl. Folien zu Kapitel I.1):


∂σ11 /∂x1 + ∂σ12 /∂x2 + ∂σ13 /∂x3
(1)
−div σ = − ∂σ21 /∂x1 + ∂σ22 /∂x2 + ∂σ23 /∂x3  = f in Ω,
∂σ31 /∂x1 + ∂σ32 /∂x2 + ∂σ33 /∂x3
wobei
(2)
σ = λ tr(ε)I + 2µε
der linearisierte Spannungstensor und ε der linearisierte Verzerrungstensor ist,
1 ∂ui ∂uj
ε = (εij )i,j=1,2,3 =
.
+
2 ∂xj
∂xi i,j=1,2,3
Um die Dimension und damit die Komplexität des Problems zu reduzieren, geht man
für geeignete dicke Körper davon aus, dass ein Querschnitt parallel zur (x1 , x2 )-Ebene
konstant in x3 -Richtung verläuft, und dass die auftretenden Kräfte nur in diesen Schnitten
wirken und ebenfalls unabhängig von der x3 -Richtung sind.
a) Geben Sie an, welche Annahmen Sie für das Verschiebungsfeld u = (u1 , u2 , u3 )T
treffen können.
1
Abgabe: 14.04.2013
Die Vereinfachung aus Teilaufgabe a) führt auf ein ebenes lineares Elastizitätsproblem und
wird ebener Verzerrungszustand genannt. In den nächsten Schritten soll dieses Modell aus
dem 3D-Modell hergeleitet werden.
b) Bestimmen Sie, welche Komponenten des Verzerrungstensors ε gleich Null sind.
c) Bestimmen Sie mit Hilfe von Teilaufgabe b), dem Hookschen Gesetz (2) und Gleichung (1) die ebene partielle Differentialgleichung:
! ∂u1
∂u2
∂u1
∂u2
∂
∂
((λ
+
2µ)
+
λ
)
+
(µ
+
µ
)
f
∂x1
∂x1
∂x2
∂x2
∂x2
∂x1
= 1
∂u1
∂u2
∂u2
∂u1
∂
∂
f2
(µ
+µ )+
((λ + 2µ)
+λ )
∂x1
∂x2
∂x1
∂x2
∂x2
∂x1
Bemerkung: Üblicherweise sind bei Anwendungsproblemen nicht die Lamé-Konstanten
λ und µ, sondern das Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl ν vorgegeben.
Die Beziehungen zwischen diesen Größen sind im Falle des ebenen Verzerrungszustands
(plain strain) gegeben durch (vgl. Folien zu Kapitel I.1):
λ=
E
Eν
und µ =
.
(1 + ν)(1 − 2ν)
2(1 + ν)
Quiz
Aufgabe 3 (Bestimmung des PDGL-Typs)
Gegeben seien die folgenden PDGL.
a) uxx + 6uxy + 5uyy + 3ux − 2uy + u = cos(x)
b) uxx + 4uxy + 4uyy + cos(x)ux + 5u = 0
c) uxy + (xy)uyy + ux = ex
2 +y 2
d) (1 + x2 )uxx + (1 + y 2 )5uyy + 5ux + 3u = cos(u)
e) (1 −
u2x
)uxx
a2
+ (2 uxau2 y )uxy + (1 −
u2y
)uyy
a2
=0 a>0
Welche der folgenden Begriffe können Sie den jeweiligen PDGL zuordnen?
i) homogen/inhomogen
ii) linear/nichtlinear
iii) elliptisch/parabolisch/hyperbolisch
2
Abgabe: 14.04.2013
Modellierung
Aufgabe 4 (Skin-Effekt)
Bei wechselnder Polarität des Stromflusses kann man beobachten, dass sich auch das Magnetfeld verändert und im Leitermaterial Wirbelströme erzeugt, die dem Erzeugerstrom
entgegengerichtet sind und diesen in der Mittelachse des Leiters abschwächen.
Das den Strom umgebende Magnetfeld wirkt sich so aus, dass die Elektronen in der Mitte
des Leiters von mehr Feldlinien umschlossen werden als die Elektronen weiter außen. Bei
Wechselstrom induziert das wechselnde Magnetfeld im Inneren des Leiters eine höhere
Gegenspannung (Gegendruck) als am Rand.
In der Leitungsmitte ist die Gegenspannung also am größten, was zu einer Verdrängung
des Stromes an den Rand führt. Das wirkt wie eine Verringerung des wirksamen Leiterquerschnitts, sodass sich die Impedanz (Scheinwiderstand) des Leiters vergrößert. Je
höher die Frequenz ist, desto stärker ist dieser Effekt, bis bei hohen Frequenzen nur noch
ein dünner Bereich an der Oberfläche den größten Teil des Stromes führt. Dieser Effekt
soll nun mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen:
ρ
∇·E= , ∇·H=0
ǫ
∇ × E = −µ∂t H
∇ × H = j + ǫ∂t E
simuliert werden. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
a) Zeigen Sie für ein zweifach differenzierbares Vektorfeld


 
u1 (x, y, z)
x
u : R3 → R3 , y  7→ u2 (x, y, z)
u3 (x, y, z)
z
die folgende Gleichung:
∇ × (∇ × u) = ∇ (∇ · u) − ∆u.
Die Schreibweise ∆u bedeutet, dass der Laplace-Operator komponentenweise auf
u1 , u2 und u3 angewandt wird.
b) Leiten Sie mit Hilfe von a) und dem ohmschen Gesetz j = σE (σ ≡ const., elektrische
Leitfähigkeit) für ρ = 0 die folgenden Wellengleichungen her:
∂ 2E
∂E
ǫµ 2 + σµ
− ∆E = 0
∂t
∂t
∂ 2H
∂H
ǫµ 2 + σµ
− ∆H = 0
∂t
∂t
(3)
c) Liegt an einem Leiter eine Wechselspannung mit der Frequenz ω an, so wählt man
zur Berechnung des E−Feldes im Leiter den folgenden komplexen Ansatz (zeitharmonische Felder):
E = Ec eiωt .
3
Abgabe: 14.04.2013
Zeigen Sie, dass sich die Wellengleichung (3) für ein planares Ec −Feld d.h.
Ec = (0, 0, Ec )T , j = (0, 0, j)T auf die folgende Gleichung reduziert:
1
− ∆Ec + iωσ − ω 2 ǫ Ec = 0.
µ
d) Lösen Sie die Gleichung aus c) mit Hilfe der MATLAB-PDE-TOOLBOX. Verwenden
Sie die folgenden Werte σ = 57 · 106 S/m, µ = 4π · 10−7 N/A2 , ω = 50 Hz und
ǫ = 8.8 · 10−12 As/V m. Wählen Sie als Berechnungsgebiet einen Kreis mit Radius
1
106 V /m, Ec = σj .
R = 0.1 m mit der Dirichlet-Randbedingung Ec = 57
e) Variieren Sie die Werte für σ und µ. Wie wirkt sich dies auf die die Stromdichte j
aus? Was bedeutet dies für die Produktion von elektrischen Leitungen?
4
Abgabe: 14.04.2013