Elektronische Grundschaltungen

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Kapitel 4
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Elektronische
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Scope
In diesem Kapitel werden wir folgende Themen behandeln:
• Widerstandsschaltungen (Reihen- und Parallelschaltung)
• Der unbelastete Spannungsteiler
• Kondensatorschaltungen (Reihen- und Parallelschaltung)
• Transistorschaltungen
Da du jetzt die Grundlagen der Elektronik im vorangegangenen
Kapitel kennengelernt hast, besteht der nächste logische Schritt im
Zusammenfügen mehrerer Bauteile zu einer Schaltung. Damit es
für den Anfang nicht zu schwierig wird, werde ich dir einige elektronische Grundschaltungen zeigen, für die meist nur sehr wenige
Bauteile erforderlich sind. In den späteren Kapiteln zu den Arduino-Projekten wird die Komplexität natürlich etwas zunehmen,
aber du kannst auf den hier gezeigten Grundlagen auf jeden Fall
aufbauen. Dieses Kapitel soll kein Kompendium elektronischer
Grundschaltungen darstellen, sondern der Fokus liegt auf dem Verständnis der Arduino-Projekte. Erforderlichenfalls findest du
nähere Erläuterungen im Rahmen der entsprechenden Projekte.
Keine Sorge, alles Notwendige wird stets erläutert.
Widerstandsschaltungen
Ein einzelner Widerstand in einem einfachen Stromkreis arbeitet
als Strombegrenzer. Den Elektronen, die sich durch den Widerstand quälen, wird das Durchqueren dieses Bauteils mehr oder
minder schwer gemacht. Das Prinzip ist recht einfach zu verstehen.
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Stelle dir eine große Menschenmenge vor, die sich für ein Musikkonzert durch einen kleinen 2 Meter breiten Eingang zwängen
muss, um in das Innere der Veranstaltungshalle zu gelangen. Da
reiben sich die Körper aneinander und es kommt zu einem verlangsamten Strom der Menschenmassen. Das ist natürlich eine recht
schweißtreibende Angelegenheit und es wird viel Wärme abgegeben. Und auf jeden Fall geht es langsamer voran, als wenn der Eingang z.B. 10 Meter breit wäre.
Reihen- und Parallelschaltungen
Was passiert eigentlich, wenn wir mehrere Widerstände in einer
bestimmten Konstellation zusammenschalten? Das muss ja in
irgendeiner Weise einen Einfluss auf den Gesamtwiderstand haben.
Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an.
Die Reihenschaltung
Wenn wir zwei oder mehrere Widerstände hintereinander schalten,
dann sprechen wir von einer Reihenschaltung. Es liegt in der Natur
der Sache, dass der Gesamtwiderstand umso höher wird, je mehr
Einzelwiderstände sich hintereinander befinden. Der Gesamtwiderstand ist hierbei gleich der Summe der Einzelwiderstände. Nehmen
wir einmal an, es wären die folgenden 3 Widerstände hintereinander geschaltet:
Der Gesamtwiderstand errechnet sich dann wie folgt:
Ich hätte gerne einmal deine Meinung bezüglich des Stromes
gehört, der durch die Widerstände fließt. Was denkst Du, wie es
sich mit diesem verhält? Gehen wir dabei einmal davon aus, dass
der Strom von links nach rechts durch die Widerstände fließt.
Nun, der Strom müsste hinter jedem Widerstand geringer werden. Je
weiter rechts ich hinter jedem Widerstand messen würde, desto
geringer ist der Strom.
98 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kapitel 4: Elektronische Grundschaltungen
Tja Ardus, das stimmt nicht ganz. Der erste Teil deiner Aussage ist
korrekt, denn jeder einzelne Widerstand verringert den Stromfluss.
Dennoch wird im gesamten Stromkreis nur ein einziger Strom zu
messen sein, der an jeder Stelle gleich ist. Schauen wir uns das in
einer Schaltung an.
Abbildung 4-1
Eine Reihenschaltung von 3 Widerständen in einem Stromkreis
Welche Werte sind in dieser Schaltung bekannt und welche sind
unbekannt, so dass sie berechnet werden müssen?
Bekannt: U, R1, R2 und R3
Unbekannt: Iges, U1, U2 und U3
Da du jetzt weißt, dass in einer Reihenschaltung der Strom I an
jeder Stelle konstant ist, kannst du die folgende Formel verwenden:
Wenn du nun die Werte einsetzt, erhältst du folgendes Ergebnis:
Da du jetzt einen Strom I=2mA ermittelst hast, der durch alle Bauteile fließt, kannst du auch den Spannungsabfall an jedem einzelnen Widerstand berechnen. Die allgemeine Formel hierfür lautet
folgendermaßen:
Die Lösungsgleichungen sehen dann wie folgt aus:
Widerstandsschaltungen ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 99
Wenn du alle Teilspannungen (U1, U2, U3) addierst, muss wieder
die Gesamtspannung U herauskommen.
Der Spannungsabfall über einem Bauteil wird mit einem Pfeil
gekennzeichnet und weist in Stromrichtung von Plus nach Minus.
Das könnte für dich wichtig sein
Am Widerstand mit dem höchsten Wert fällt auch die höchste
Spannung ab.
Die Parallelschaltung
Bei einer Parallelschaltung befinden sich zwei oder mehr Bauteile
nebeneinander. Der Strom, der an einer solchen Schaltung
ankommt, teilt sich in mehrere Zweige auf.
Es verhält sich hier wie bei einem Flusslauf, der sich an einer Stelle
teilt und nach ein paar Kilometern wieder vereint wird. Der
Gesamtwiderstand errechnet sich wie folgt:
Das Ergebnis für den Gesamtwiderstand Rges lautet folgendermaßen:
Rges = 666,67
Werden mehr als zwei Widerstände parallel geschaltet, dann musst
du die Formel um die entsprechende Anzahl von Summanden
erweitern:
100----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kapitel 4: Elektronische Grundschaltungen
Eine Schaltung mit zwei parallel geschalteten Widerständen sieht
wie folgt aus:
Abbildung 4-2
Eine Parallelschaltung mit zwei
Widerständen
Natürlich fließt in dieser Schaltung auch ein geringer Strom durch
das Messgerät, das die Spannung über den Widerständen misst,
doch das wollen wir hier vernachlässigen. Welche Werte sind in
dieser Schaltung bekannt und welche sind unbekannt, so dass sie
berechnet werden müssen?
Bekannt: U, R1 und R2
Unbekannt: Iges, I1 und I2
Den Gesamtwiderstand haben wir mit 666,67 schon ermittelt. Auf
dieser Grundlage kannst du auch den Gesamtstrom Iges vor der
Verzweigung recht einfach berechnen. Hier noch einmal zur Erinnerung:
Die Lösung lautet:
Wie ermittelst du jedoch die Teilströme I1 und I2? Das ist recht
simpel, denn du kennst den Widerstand jedes Teilzweiges und die
Widerstandsschaltungen ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 101
Spannung, die an jedem Widerstand anliegt, nicht wahr? Wenn
sich Bauteile parallel zueinander befinden, dann fällt an jedem einzelnen die gleiche Spannung ab. In unserem Fall die 9V der Batterie. Dann lass uns mal rechnen:
Wenn du beide Teilströme I1 und I2 addierst, was mag dann wohl
herauskommen? Richtig, der Gesamtstrom.
Was sich vorne (also in der Abbildung links) verzweigt, wird am
Ende wieder zusammengeführt und bildet die Summe der Teile.
Das könnte für dich wichtig sein
Sind mehrere Widerstände parallel geschaltet, dann ist der
Gesamtwiderstand kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.
Hier ein Tipp hinsichtlich der Widerstandsgrößen. Wenn du zwei
Widerstände mit gleichen Werten parallel anschließt, dann ist der
Gesamtwiderstand genau die Hälfte des Einzelwiderstandes.
Rechne es doch einfach mal nach.
Der Spannungsteiler
In vielen Fällen möchte man nicht unbedingt mit der vollen
Betriebsspannung von +5V arbeiten, um diverse Bauteile mit Spannung zu versorgen. Da du ja jetzt gelernt hast, dass Widerstände
dazu genutzt werden, um z.B. Ströme zu verringern, möchte ich
dich mit einer Schaltung vertraut machen, die der Reihenschaltung
von Widerständen gleicht. Die folgende Schaltung wird unbelasteter Spannungsteiler genannt.
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Abbildung 4-3
Der unbelastete Spannungsteiler
Auf der linken Seite haben wir die Versorgungsspannung U = +5V
an den beiden Widerständen R1 und R2 anliegen. Auf der rechten
Seite befindet sich der Abgriff U2, der sich parallel zum Widerstand
R2 befindet. Wir greifen quasi eine Spannung zwischen den beiden
Widerständen ab. Ein Teil der Versorgungsspannung fällt über R1
und der andere über R2 ab. Zur Berechnung der Spannung an U2
kannst du folgende Formel nutzen:
Hey stopp mal! Kannst du mir mal bitte erklären, wie du auf diese
Formel gekommen bist? Das ist mir irgendwie überhaupt nicht klar.
Ok, Ardus, kein Problem. Ich kann dir die Formel mittels einer Verhältnisgleichung plausibel machen. Ich stelle der anliegenden Spannung die entsprechenden Widerstände gegenüber. Die Spannung U
liegt an den Widerständen R1 und R2 an und U2 lediglich am
Widerstand R2. Demnach können wir folgende Verhältnisgleichung aufstellen:
Wenn du diese Formel nach U2 umstellst, erhältst du die o.g. Formel. Unter Umständen wollen wir die Schaltung aber möglichst
flexibel gestalten und nicht für jeden gewünschten Spannungswert U2 die Widerstände austauschen. Aus diesem Grund verwenden wir ein Bauteil, dass uns die Möglichkeit gibt, den
Widerstandswert schnell nach unseren Vorstellungen anzupas-
Widerstandsschaltungen ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 103
sen. Das Bauteil kennst du schon. Es heißt Potentiometer. Es verfügt über 3 Anschlüsse und einen Drehknopf in der Mitte, mit
dessen Hilfe sich der Widerstandswert in den gegebenen Grenzen
justieren lässt. Der mittlere Anschluss ist intern mit dem Schleifer
verbunden. Je nach Potentiometereinstellung kann der Widerstand dort abgegriffen werden. Schau dir die folgende Abbildung
an. Sie zeigt das Schaltbild eines Potentiometers, das der Schaltung des Spannungsteilers sehr ähnelt.
Abbildung 4-4
Der variable Spannungsteiler
mittels Potentiometer
Abbildung 4-5
Der variable Spannungsteiler
mittels Potentiometer
Der Schleifer des Potentiometers ist Pin 2 in der Schaltung. Wenn
der Schleifer nach oben wandert, verringert sich der Widerstandswert zwischen Pin 1 und Pin 2 in dem Maße, in dem er sich zwischen Pin 2 und Pin 3 vergrößert. Wir können das Potentiometer
als zwei sich ändernde Widerstände ansehen, mit einem Schleifer
als Teiler, der die beiden Widerstände aufteilt. Die beiden folgenden Schaltungen zeigen das Verhalten des Potentiometers und die
resultierenden Wiederstände R1 und R2.
104----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kapitel 4: Elektronische Grundschaltungen
In der linken Schaltung siehst Du, dass der Widerstand R1 kleiner
als R2 ist. Das bedeutet, dass wir an R2 die größere Spannung messen werden, die ja auch die Ausgangsspannung U2 ist. Das ist
eigentlich ganz logisch, denn wenn der Schleifer des Potentiometers
an Pin 2 immer weiter nach oben wandert, kommt er irgendwann
mit der Versorgungsspannung +5V in Berührung, die dann am
Ausgang zur Verfügung steht. Umgekehrt wird die Ausgangsspannung immer kleiner, wenn der Schleifer des Potentiometers weiter
nach unten in Richtung Masse wandert. Wenn er dort angekommen ist, liegen am Ausgang 0V an. Wir werden dieses Verhalten
nutzen, um z.B. die analogen Eingänge des Mikrocontrollers mit
variablen Spannungswerten zu versorgen, die beispielsweise über
einem LDR oder NTC abfallen. Wie, du weißt nicht mehr, was
diese Abkürzungen bedeuten? Dann blättere noch einmal ein Kapitel zurück und mache dich schlau!
Kondensatorschaltungen
Kondensatoren dienen als Ladungsspeicher und wirken im Gleichstromkreis wie eine Unterbrechung. Es fließt nur während des Aufladezyklus ein Ladestrom, der umso mehr abnimmt, je mehr der
Kondensator geladen ist. Dieser wiederum stellt am Ende dann eine
nicht mehr zu überwindende Hürde für die Elektronen dar.
Reihen- und Parallelschaltungen
Genau wie Widerstände kannst du auch Kondensatoren in unterschiedlichen Konstellationen zusammenschalten. Wir werden uns
hier, da wir im Moment ausschließlich mit Gleichstrom arbeiten,
nur auf die Kapazität konzentrieren und nicht auf den Widerstand.
Ja, ein Kondensator hat ebenfalls einen Widerstand, der bei Wechselstrom frequenzabhängig ist. Kondensatoren verhalten sich
bezüglich ihrer Kapazitäten bei Reihen- bzw. Parallelschaltungen
genau entgegengesetzt zu Widerständen mit ihren Werten.
Die Reihenschaltung
Wenn du zwei oder mehr Kondensatoren in Reihe schaltest und die
Gesamtkapazität ermitteln möchtest, kannst du hierzu die Formel
zur Berechnung des Gesamtwiderstandes in einer Parallelschaltung
verwenden.
Kondensatorschaltungen ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 105
Die Formel zur Berechnung der Gesamtkapazität lautet wie folgt:
Die Parallelschaltung
Werden zwei oder mehr Kondensatoren parallel geschaltet, dann
kannst du die Formel für die Reihenschaltung bei Widerständen
verwenden, um die Gesamtkapazität zu ermitteln.
Die Formel zur Berechnung der Gesamtkapazität lautet folgendermaßen:
Du kannst die Parallelschaltung dieser beiden Kondensatoren leicht
verstehen, und du wirst sofort erkennen, warum sich die Gesamtkapazität aus der Summe der beiden Einzelkapazitäten zusammensetzt. Ich habe die Kondensatorplatten durch die blauen Punkte
einfach miteinander verbunden. Dadurch wurden die Platten entsprechend vergrößert, so dass in der Summe eine Kapazität aus beiden Einzelkondensatoren entstanden ist.
Das Ergebnis wäre in diesem Fall
Cges = C1 + C2 = 22pF + 22pF = 44pF.
Also, wenn wir nur eine Gleichstrombetrachtung bezüglich der Kondensatoren durchführen, ist mir aber nicht ganz klar, wo derartige
Bauteile zum Einsatz kommen.
106----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kapitel 4: Elektronische Grundschaltungen
Vielleicht erinnerst du dich an die Stellen aus dem Elektronik-Kapitel, in denen ich erläutert habe, dass Kondensatoren u.a. zur Spannungsglättung und -stabilisierung eingesetzt werden. Kommen wir
doch kurz auf die Spannungsstabilisierung zu sprechen. Wenn ein
Mikrocontroller an seinen zahlreichen Ausgängen sehr viele Verbraucher wie z.B. Leuchtdioden oder Motoren versorgen muss, die
möglicherweise alle zur gleichen Zeit aktiviert werden, dann kann
es schon zu kurzen Einbrüchen der Versorgungsspannung kommen. Damit sich das nicht unmittelbar auf die Versorgung des
Mikrocontrollers auswirkt und hier vielleicht eine Unterversorgung
entsteht, so dass dieser seine Arbeit einstellt oder einen Reset
durchführt, werden sogenannte Stützkondensatoren verwendet. Sie
werden parallel zu den beiden Anschlüssen von VCC (Voltage of
Common Collector = Positive Versorgungsspannung) bzw. Masse
des Controllers direkt neben dem Pins platziert. Ein Elektrolytkondensator von z.B. 100µ F speichert die Spannung und hält diese
bei Einbrüchen eine Weile aufrecht. Es handelt sich quasi eine USV
(Unterbrechungsfreie Stromversorgung) im Millisekunden Bereich.
Transistorschaltungen
Transistoren können sowohl Schaltelement als auch als Verstärker
sein. Die einfachste Transistorschaltung weist einen Basiswiderstand und einen Verbraucher mit Vorwiderstand im Kollektorstromkreis auf und arbeitet als kontaktloser elektronischer
Schalter. Wir werden den Transistor vorwiegend als Schalter einsetzen, so dass ich auf eine entsprechende Erläuterung seiner Verwendung als Verstärker aus Platzgründen verzichte.
Abbildung 4-6
Ein NPN-Transistor als Schalter
Transistorschaltungen --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 107
Diese Schaltung hat sowohl einen Steuerstromkreis (links von der
Basis) als auch einen Arbeitsstromkreis (rechts von der Basis). Sehen
wir uns doch diese beiden Stromkreise einmal genauer an.
C
CE-Strom
Abbildung 4-7
Steuer- und Arbeitsstromkreis
fließen gemeinsam durch den
Transistor
B
E
BE-Strom
Der Steuerstrom IB fließt über die Basis-Emitter-Strecke (BE) des
Transistors, wohingegen der Arbeitsstrom IC über die KollektorEmitter-Strecke (CE) fließt. Zwar wollte ich auf die Verwendung
des Transistors als Verstärker nicht eingehen, doch folgende Formel ist vielleicht interessant, denn mit ihrer Hilfe kannst du die
Stromverstärkung berechnen, die hier mit dem Buchstaben B angegeben ist:
Bei den in diesem Beispiel verwendeten Werten für Kollektor- bzw.
Basisstrom wird der Stromverstärkungsfaktor B = 6000 ermittelt. In
vielen Datenblättern wird der Stromverstärkungsfaktor B auch als
hFE angeführt. Die Verstärkung schont quasi den Ausgangspin des
Mikrocontrollers, der nur einen geringen Strom liefern muss, um
dann eine größere Last (z.B. Relais, Motor oder Lampe) anzusteuern, die erheblich mehr Strom benötigt, damit das betreffende Bauteil korrekt arbeiten kann. Wenn du den Schalter schließt, liegen
am Vorwiderstand ca. +5V Betriebsspannung an. Der Transistor
schaltet durch und die Basis-Emitter-Spannung beträgt ca. +0,7V,
so dass die zuvor im gesperrten Zustand hochohmige KollektorEmitter-Strecke niederohmig wird und der Arbeitsstrom fließen
kann.
Hmm, wenn ich mir diese Schaltung anschaue, dann frage ich mich,
warum die Leuchtdiode über einen Transistor angesteuert wird und
nicht direkt über den Schalter. Macht das denn Sinn?
108----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kapitel 4: Elektronische Grundschaltungen
Was soll ich sagen, Ardus. Du hast ja Recht, denn diese Schaltung
soll dir lediglich zeigen, wie Steuer- und Arbeitsstromkreis zusammenarbeiten. Um lediglich eine Leuchtdiode anzusteuern, ist das
hier alles ein wenig oversized und nicht unbedingt notwendig.
Wenn du aber einen Verbraucher hast, der sehr viel Strom zieht,
den der Ausgang des Mikrocontrollers jedoch nicht in der Lage ist
zu liefern, dann benötigst du eine Schaltung ähnlich der hier
beschriebenen. Erinnere dich an die Spezifikationen unseres Mikrocontrollers, der an einem einzigen Ausgang maximal 40mA zur Verfügung stellen kann. Alles, was darüber liegt, zerstört den
Controller. Du hast in deiner Bastelkiste vielleicht ein Relais, das
jedoch mit einer Spannung von 12V betrieben werden muss. Da
das Arduino-Board jedoch maximal 5V liefern kann, gibt es hier ein
Problem. Aber wer sagt uns denn überhaupt, dass wir lediglich eine
einzige Stromquelle verwenden müssen? Du kannst mit zwei separaten Stromkreisen arbeiten. Hier ein Beispiel:
Was fällt uns auf? Nun, wir haben auf der linken Seite die +5V
Spannungsversorgung des Arduino-Boards und auf der rechten
Seite die des Relais mit +12V. Beide sind eigenständige und unabhängige Stromquellen, die jedoch ein gemeinsames Massepotential
haben müssen. Die beiden in der Schaltung gezeigten GND
(Ground)-Punkte sind miteinander verbunden.
Abbildung 4-8
Der Arduino-Mikrocontroller steuert
über einen Transistor ein Relais an
(Treiberschaltung).
Transistorschaltungen --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 109
Achtung
Du darfst auf keinen Fall – ich wiederhole – auf keinen Fall die
beiden Versorgungsspannungspunkte +5V und +12V miteinander verbinden! Das kracht auf jeden Fall und es wird mindestens der Mikrocontroller zerstört.
Diese Diode, die sich parallel zum Relais befindet und sich Freilaufdiode nennt, bereitet mir noch ein paar Kopfschmerzen. Wozu ist die
denn gut?
Da muss ich ein wenig ausholen, Ardus. Damit ein Relais arbeiten
kann und die Kontakte bei einem Stromfluss geschlossen werden,
bedarf es einer Spule, die ein Magnetfeld erzeugt und einen Anker
bewegt. Eine Spule wird in der Elektronik auch als Induktivität
bezeichnet. Diese Induktivität hat eine besondere Fähigkeit. Wenn
durch den sehr langen Draht der Spule ein Strom fließt, wird
dadurch ein Magnetfeld erzeugt. Soweit nichts Neues. Dieses Magnetfeld bewirkt jedoch nicht nur das Anziehen des Ankers, sondern
induziert in der Spule selbst eine Spannung. Dieser Vorgang wird
Selbstinduktion genannt. Die Spule zeigt uns dabei ein gewisses
Maß an Widerspenstigkeit, denn die Induktionsspannung ist so
gerichtet, dass sie einer Änderung immer entgegen wirkt. Wenn ich
eine Spule mit Strom versorge, versucht die Selbstinduktionsspannung, der eigentlichen Spannung entgegen zu wirken. Die eigentliche Spulenspannung baut sich erst langsam auf. Schalten wir
dagegen den Strom wieder ab, dann bewirkt die Änderung des
Magnetfeldes eine Induktionsspannung, die dem Spannungsabfall
entgegen wirkt und um ein vielfaches höher sein wird, als die
ursprüngliche Spannung. Das ist nun genau das Problem, dem wir
uns gegenüber sehen. Das Einschalten mit der leichten Verzögerung stellt kein Risiko für die Schaltung und dessen Bauteile dar.
Beim Abschalten jedoch muss dem extrem unerwünschten Nebeneffekt der überhöhten Spannungsspitze (>100V) in irgendeiner
Weise entgegengewirkt werden, damit die Schaltung anschließend
noch zu gebrauchen ist. Die Überlebenschancen für den Transistor
sind anderenfalls wirklich winzig. Aus diesem Grund wird eine
Diode parallel zum Relais platziert, um die Spannungsspitze zu blocken bzw. den Strom in Richtung Spannungsquelle abzuleiten.
110----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kapitel 4: Elektronische Grundschaltungen
Abbildung 4-9
Die Freilaufdiode schützt den
Transistor vor Überspannung.
Wird der Transistor im linken Schaltbild durchgesteuert, dann
zieht das Relais ein wenig verzögert an, so dass sich die gezeigten
Potentiale an der Diode einstellen, Plus an Kathode und Minus an
Anode. Das bedeutet, dass die Diode in Sperrrichtung arbeitet und
sich die Schaltung so verhält, als wenn die Diode nicht vorhanden
wäre. Wenn wir jedoch den Transistor mit Masse anschalten, fungiert er als Sperre, und durch die Änderung des Magnetfeldes der
Spule stellen sich die gezeigten Potentiale ein, Plus an Anode und
Minus an Kathode. Die Diode arbeitet in Durchlassrichtung und
leitet den Strom in Richtung Spannungsversorgung ab. Der Transistor bleibt verschont.
Transistorschaltungen --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 111