Wiederholungsbeispiele zur Vektorrechnung – 6. Klasse 1) Von
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Dr. Arnulf Schönlieb, Wiederholungsbeispiele zur Vektorrechnung, 6. Klasse Wiederholungsbeispiele zur Vektorrechnung – 6. Klasse 1) Von einem Parallelogramm sind drei Eckpunkte gegeben. Berechne den vierten Eckpunkt! a) A (-1, 2), B (0, 3), C (7, -1) b) A (-4, -3), B (1, 5), D (1, 13) c) A (2, 3), C (3, -1), D (5, 1) d) B (-1, -10), C (2, 7), D (-5, -1) [a)D (6, -2), b) C(6, 21), c) B(4, 5), d) A(-8, -18) 2) Von einer Strecke PQ kennt man einen Endpunkt und den Mittelpunkt M. Berechne den anderen Endpunkt! a) P (-2, 3), M (1, 2) b) Q (4, 5), M (-1, -3) [a) Q(4, 1), b) P(-6, -11)] 3) Suche Punke auf der Geraden durch A und B, die von B dreimal so weit entfernt sind wie von A! a) A (4, 2), B (8, -6) b) A (-1, -3), B(7, -5) [a) P1(5, 0), P2(2, 6), b) P1(1, -7/2), P2(-5, -2), Skizze! Es muss 2 Lösungen geben!] 4) Zeige: Die Verbindungsstrecken der Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten sind parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese! [Anleitung: Bilde die Vektoren der gesuchten Verbindungstrecken und vergleiche mit dem Richtungsvektor der dritten Seite!] 5) Vom Dreieck ABC kennt man zwei Eckpunkte und den Schwerpunkt. Berechne den fehlenden ckpunkt! a) S (2, 1), B (4, -3), C(3, 3) b) S (-1, 2), A (5, 1), C (-7, 5) [a) A(-1, 3), b) B(-1, 0)] 6) P, Q und R seien die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks. Kannst Du anschaulich begründen, warum die Dreiecke ABC und PQR denselben Schwerpunkt haben! [Anleitung: Wiederhole die Eigenschaften der Schwerlinien und de Schwerpunkts!] 7) Von einem Parallelogramm ABCD kennt man A (1, 0), B (7, 3), C (9, 6). Berechne die Koordinaten des Eckpunkts D, die Mittelpunkte der Parallelogrammseiten und des Diagonalenschnittpunkts! [D (3, 3), MAB (4, 3/2), MBC (8, 9/2), MAD (2, 3/2), MCD (6, 9/2), M(5, 3)] 8) Von einem Parallelogramm kennt man den Mittelpunkt M(-2, 1) und die Punkte A(-5, 1) und B(-1, -3). Berechne die Koordinaten von C und D! [C(1,1), D(-3, 5)] 9)Ist das Dreieck ABC gleichschenklig? a) A(-4, -5), B(4, 1), C(-2 9) [ja!] b) A(-1, -6), B(5, 5), C(2, 6) [nein!] 10) Von einem Parallelogramm kennt man A(4, 1), C(8, 5) sowie M2(4, 5) als Mittelpunkt der Seite BC. Berechne die Eckpunkte B und D sowie den Mittelpunkt M und außerdem die Längen der Diagonalen! [B(0, 5), D(12, 1), M(6, 3), d1=AC= 32 , d2= BD= 160 ] 11) Von einem Parallelogramm kennt man C(-4, -1), D(-12, 9) sowie den Punkt M1(-16, 6) als Mittelpunkt der Strecke AD. Berechne die Eckpunkte A, B, den Mittelpunkt M sowie die Längen der Diagonalen! [A(-20, 3), B(-12, -7), M(-12, 1), d1=AC= 272 , d2= BD=16] 12) Bestimme die parameterfreie Form der Geraden g aus folgenden Angaben: a) g [P (3, -4), Q (2,-5)] b) g[ P (1, -7), k= -3/2 ] c) g[P(-4, 6), d= 1] 3 [Lösungen: a) x – y = 7, b) y= - /2 · x – 11/2 c) y= -5/4 · x +1] 13) Stelle für die folgenden Geraden eine Gleichung in Parameterform auf! a) g: y=-4/3x+9 b) g: 3 x - 5 y = 10 c) g durch P(7, -3) mit d= -2 [a) X = (0, 9) + s · (3, -4), b) X=(0, -2) + s · (5, 3), c) X= (0, -2) + s · (7, -1)] 14) Untersuche durch Zeichnung und Rechnung, ob die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen! Wenn ja, gib drei Parameterdarstellungen dieser Geraden an! a) A (-2, 1), B (0, 3), C (1, 4) b) A (1, 1), B (4, 1), C (7, 2) c) A (0, 3), B (-1,3), C (5, 3) [a) ja, b) nein, c) ja ] 15) Die Geraden g, h und i bilden ein Dreieck. Bestimme die Eckpunkte und die Längen der Seiten! g: X = (2, 3) + r (1, 1) h: X = (5, 6) + s (-1, 1) i: X = (4, 11) + t (-1, -3) [A(1, 2), B(3, 8), C(5, 6)] 1 Dr. Arnulf Schönlieb, Wiederholungsbeispiele zur Vektorrechnung, 6. Klasse 16)Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Geraden und zeichne sie! a) g: X = (1, 1) + t ( 2, 4) h: y = 2 x - 1 [zusammenfallend] b) g: X = (2, -5) + s ( 1, 1) h: X = ( 3, -4) + s (2, -8) [S (3, -4] c) g: X = (2, 2) + t (2, -6) h: X = (5, 8) + s (2, 2) [S (5/4, 17/4] 17) Von einem Rechteck kennt man A(-1, 2) und B(7, 8). Bestimme die fehlenden Eckpunkte, wenn das Rechteck a) halb so lang wie breit sein soll! b) doppelt so lang wie breit sein soll! [a) C(-5, 24), D(-13, 18) bzw. C1(19, -8), D1(11,-14), b) C(4, 12), D(-4, 6) bzw. C1(10, 4), D1(2,-2) 18) Bestimme die Eckpunkte des Quadrats über der Strecke C(-3/-2), D(0/3) und berechne seinen Umfang und Flächeninhalt! [A(-5, 6), B(-8, 1), A1(5, 0, B1(2, -5)] 19) Bestimme die Gleichung einer Geraden g durch P(-1, 3) und Q(-4, 2). Liegt R(1, 1) auf dieser Geraden? Bestimme S(5, y), sodass S auf g liegt. [g: x – 3y = -10, R nicht auf g, S(5, 5) auf g] 20) Bringe die Geraden g und h auf parameterfreie Form und gib sie in der Form f(x) = kx + d an! g: X = (2, -3) + t (2, -5) h: X= (3, -1)+ s (3, -4) [g: y = - 5/2 x + 2, h: y= - 4/3 x +3] Zeichne g und h möglichst genau und bestimme ihre gegenseitige Lage! [Schnittpunkt bei S(-6/7, 29/7)] 21) g: X=(1, 1)+ t(3, -2) a) Bestimme die Parameterform einer Geraden h normal zu g durch P(4, 4)! [X=(4, 4) + s · (2, 3)] b) Bestimme die Parameterform einer Geraden i parallel zu g durch Q(4, 4)! [X=(4, 4) + s · (3, -2)] 22) Durch den Schnittpunkt der Geraden g: X = (7, -1) + t (4, -3) und h: X = (3, 2) + s (3, 1) ist eine Gerade mit der Steigung k=5/4 zu legen! Berechne die Gleichung dieser Geraden! 23) Von einem Dreieck kennt man A(4, 1), B(-2, 9). Die Seite a hat die Steigung k1= 8/3 , die Seite b hat die Steigung k2= 2/3. Berechne die Gleichungen der Schwerlinien! 24) a) Bestimme die Gleichungen der Trägergeraden des Dreiecks A(-4, 5), B(3, -4), C(6, 6). b) Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks! c) Stelle die Gleichungen der Schwerlinien des Dreiecks auf und zeige, dass der Schwerpunkt auf allen drei Schwerlinien liegt! [a) Seite a: -10x + 3y = -44, Seite b: -x + 10y = 54, Seite c: 9x + 7y = -1, b) S(5/3, 7/3), c) sa: 8x + 17y = 53, sb: 19x + 4y = 41, sc: -11x + 13y = 12] 25) Für zwei zueinander parallele Geraden in R2 sind folgende Zusammenhänge zutreffen / nicht zutreffend: • ihre Richtungsvektoren sind immer gleich lang □ ja □ nein • beide Geraden haben (bis auf das Vorzeichen) gleiche Richtungsvektoren □ ja □ nein • beide Geraden enthalten einen gemeinsamen Punkt □ ja □ nein • beide Geraden enthalten unendlich viele gemeinsame Punkte □ ja □ nein • die beiden Geraden haben keinen Punkt gemeinsam □ ja □ nein 26) Die beiden Geraden g: X =(1, 2) + s · (1, -4) und h: X=(4, -1) + t · a sind zueinander parallel. □ a =(4, 1) □ a =(1/4, -1) □ a =(-1/4, 1) □ a =(-1, 4) 27) g: X=(2, -1) + s · (1, 1) und h: y = x – 3) sind zwei Geraden in R2. □ g und h sind parallel □ g und h schneiden einander □ g und h sind identisch 2
