PHYSIK II Serie 3, Musterlösung

PHYSIK II
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
Herbstsemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
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Serie 3, Musterlösung
1. Induktion
Iind
a)
Es fliesst nur dann ein Strom durch die Drahtschleife,
wenn sich der Fluss durch die Drahtschleife ändert.
Dies ist beim Eintritt ins Magnetfeld und beim Austritt aus dem Magnetfall der Fall. Aufgrund der konstanten Geschwindigkeit ist dort die Flussänderung
und somit der induzierte Strom konstant.
a
0
4
6
8
10
x
a
b) Wir betrachten die Situation beim Eintritt der Drahtschleife ins Magnetfeld:
, magn. Fluss: F = B · a · v · t =⇒ Uind = −a · v · B
Induzierte Spannung: Uind = − ∂F
∂t
.
Mit dem Ohm’schen Gesetz folgt der induzierte Strom: Iind = − a·v·B
R
Analog berechnet sich der induzierte Strom beim Austritt aus dem Magnetfeld.
Die Stromrichtung lässt sich aus der Lenz’schen Regel bestimmen, das induzierte Magnetfeld muss der Flussänderung entgegenwirken. Beim Eintritt ins Magnetfeld fliesst der
Strom demnach im Uhrzeigersinn, beim Austritt im Gegenuhrzeigersinn.
H
R Rein mathema∂
~
~ ·dS
~ gewinnen.
tisch lässt sich diese Information auch aus der Gleichung E ·d~r = − ∂t B
~ ist durch die Rechte-Hand-Regel gegeben.
Die Umlaufrichtung von d~r bezüglich dS
2. Spule mit Metallring
a) Magnetfeld einer Spule: B(t) = I(t) · N · µ0
~
~ =−∂B
∇×E
∂t
b) Induktionsgesetz von Faraday:
Z
~ · dA
~=
∇×E
A
I
~ · d~s = 2πR · E(R, t) = −
E
C
2
|E(R, t)| =
=⇒
∂ ~ ~
B dA = +πR2 N I0 µ0 ω sin(ωt)
∂t
A
=⇒
c)
Z
E(R, t) =
RN ωI0 µ0
· sin(ωt)
2
!2
RN ωI0 µ0
· sin(ωt)
2
|E(R, t)|2
t
=
(RN ωI0 µ0 )2
8
1
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3. Plattenkondensator
~
~
~ = j + ∂ E vereinfacht sich im Vakuum zu
a) Die vierte Maxwellgleichung c2 ∇ × B
ε0
∂t
~
∂E
2
~
~
c ∇ × B = ∂t . Mit ihr können wir das B-Feld aus dem elektrischen Feld bestimmen. Für
den Plattenkondensator gilt: E = Vd .
c
2
ZZ
~ dS
~ n = c2
∇×B
I
S
~ d~s = c2 B · 2πr =!
B
Γ
ZZ
S
1 ∂V (t)
dS =
d ∂t
=⇒
b)
i. V (t) = V0
⇒
(
B(r, t) =
1 ∂V (t)
d ∂t
πR2 · d1 ∂V∂t(t)
( r ∂V (t)
2dc2 ∂t
R2 ∂V (t)
2drc2 ∂t
πr2 ·
r<R
r≥R
r<R
r≥R
B(r, t) = 0
ii. V (t) = V0 · sin(ωt)
⇒
B(r, t) =
r·V0 ω
·
2dc2
R2 ·V0 ω
2drc2
cos(ωt) r < R
· cos(ωt) r ≥ R
c) Wir betrachten den Fall des zeitlich nicht konstanten Potenzials und mitteln über eine
Periode T :

r·V0 ω 2 1
Zt+T

·2
r<R
2
2dc
1
2
2
hB 2 (r)it =
B 2 (r, t) dt =
 R ·V02ω · 1 r ≥ R
T
2drc
t
2
4. Energiedichte
~
a) Bei ebenen Wellen gilt zwischen dem elektrischen Feld und dem B-Feld
die Beziehung
√
~
~
k×
E
1
~ =
~ = |E|
~ = 0 µ0 |E|.
~ Damit ist
B
und es ist |B|
ω
c
Z T
E
D
E
1
1
1 D ~ 2
2~ 2
2
2
~
0 E + 0 c B )
= 0 E
= ε0 E0
sin2 (k z − ω t)dt = 0 E02
huit =
2
T 0
2
t
t
mit T = 2π
. Durch Umformen erhalten wir die folgenden Ausdrücke, die zum obigen
ω
äquivalent sind:
r
r D
1 E0 · B0
1 0
0 ~ ~ E
huit = 0 √
=
E0 · B0 =
|E| |B| .
2
0 µ0
2 µ0
µ0
t
~ senkrechte) Einheitsfläche pro Einheitszeit
b) Der mittlere Energietransport durch eine (zu S
ist gegeben durch:
r
D E
D
E
1 D ~ ~ E
1 µ0
2
~
~
~
|S| = 0 c | E × B | = 0
|E| |B| =
huit = c huit .
0 µ0
µ0 0
t
t
t
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c) Die Energieausstrahlung aus dem Volumen V ist
I
Z
~ d~σ = ∇ · S
~ dV = 0 , da S
~ = −0 c2 E B ~ey .
S
∂V
V
5. Hall-Effekt
a) Die freien Elektronen bewegen sich entgegengesetzt zur Stromrichtung, d.h. entlang der
negativen y-Richtung. Mit Hilfe der ’rechten-Hand-Regel’ sehen wir, dass die Lorentzkraft
entlang der positiven x-Achse zeigt. Somit werden Elektonen in diese Richtung abgelenkt,
~
und zwar solange bis die Ladungsverteilung ein E-Feld
erzeugt, das die Lorentz-Kraft
genau kompensiert. Die Ladungen verteilen sich also wie in der Skizze bereits durch ’+’
~
und ’-’ angedeutet wurde. Wir nehmen an, dass das B-Feld
auch im Inneren der Probe
~
homogen ist und damit muss auch das E-Feld homogen sein. Wir können dann die HallSpannung wie folgt berechnen:
Z
UH = −
~ · d~l = E a
E
Weiter ist die Stromdichte (wir betrachten nur die Beträge, da die Richtungen aus der
Geometrie klar sind):
j = qnv
I = j ac
⇒ I = qnvac
!
FL = q v B = q E
Also
qvB =
UH
I
B=q
nac
a
⇔ UH =
BI
ncq
b) Einsetzen der Zahlenwerte in (1) liefert für den Kupferfilm UH = 0.625 µV und
c) für das Germanium-Plättchen UH = 2.2 mV.
3
(1)
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6.
Schwingkreis
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Wenn wir die Maschenregel für den Stromkreis mit dem umgestellten
Schalter anwenden, erhalten wir eine Differenzialgleichung für den Strom I(t):
˙ − RI(t) − 1
⇐⇒ −LI(t)
C
UL + UR + UC = 0
Z t
0
0
= 0
Q0 +
I(t ) dt
¨ −
=⇒ −I(t)
Mit den Grössen β ≡
R
2L
und ω02 ≡
1
LC
(2)
0
R˙
1
I(t) = 0
I(t) −
L
LC
erhalten wir folgende allgemeine Lösungen:
I(t) = e−β·t [C1 cosh(Γt) + C2 sinh(Γt)] ,
I(t) = e−β·t [C1 + C2 t] ,
I(t) = e−β·t [C1 cos(ωt) + C2 sin(ωt)] ,
.
falls Γ2 = β 2 − ω02 > 0
falls
ω02 − β 2 = 0
.
falls ω 2 = ω02 − β 2 > 0
’Starke Dämpfung’
’Kritische Dämpfung’
’Schwache Dämpfung’
Die Konstanten C1 und C2 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen I(t = 0) = 0 und
˙ = 0) = −UC (0)/L = U0 /L. Die Anfangsbedingung für I(t)
˙ erkennen wir zum Beispiel an
I(t
Gleichung (2). Damit lauten die Lösungen in den drei Fällen wie folgt:
U0
sinh(Γt)
ΓL
U0
I(t) = e−β·t · t
L
−β·t U0
I(t) = e
·
sin(ωt)
ωL
I(t) = e−β·t ·
4