Elektromagnetische Feldtheorie Q1-Q4 Q5-Q6 Q7-Q9

Bachelorprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik
Termin Wintersemester 2012/2013
Elektromagnetische Feldtheorie
Dienstag, 26. 02. 2013, 13:00-14:30 Uhr
Name
Vorname
Matrikelnummer
Q1-Q4
Q5-Q6
Q7-Q9
Σ
Zur Beachtung:
• Bitte beantworten Sie die Kurzfragen auf diesen Klausurblättern und die
Rechenaufgaben auf dem separat ausgeteilten Papier. Verwenden Sie für jede
Rechenaufgabe jeweils einen eigenen Bogen.
• Geben Sie auf jedem Bogen Name, Vorname und Matrikelnummer an.
• Ergebnisse ohne Herleitung oder Begründung werden nicht gewertet.
• Die mit einem Stern * gekennzeichneten Teilaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden.
• Diese Angabe besteht aus 13 Blättern.
Hilfsmittelregelung:
Im Rahmen der Prüfung “Elektromagnetische Feldtheorie” ist die Verwendung einer mathematischen Formelsammlung als Hilfsmittel erlaubt. Bei dieser handelt es
sich entweder um “Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik” oder um
“Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler”
oder um “Råde, Westergren: Springers Mathematische Formeln”.
Die zugelassenen Hilfsmittel dürfen keine inhaltlichen Zusätze, Einlagen, Randbemerkungen, Textänderungen oder ähnliches enthalten. Unschiedlich ist es allein, Markierungsstreifen anzubringen und Unterstreichungen und farbliche Hervorhebungen durch
Textmarker vorzunehmen. Der Besitz oder die Benutzung anderer als der zugelassenen
Hilfsmittel ist nicht gestattet.
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Q1 (4 Punkte)
Welche der vier angegebenen Gleichungen sind richtig und welche falsch?
⃗ = ⃗j
divD
⃗ = − ∂ D⃗
divB
∂t
⃗ + ∂ B⃗ = 0
rotE
∂t
⃗ − ∂ D⃗ = ⃗j
rotH
∂t
Richtig
2
2
2
2
F alsch
2
2
2
2
Q2 (3 Punkte)
In einem linearen Material mit den konstanten Materialparametern ε und µ existieren ein
⃗ r) und ein Magnetfeld H(⃗
⃗ r). Berechnen Sie die elektromagnetische
elektrisches Feld E(⃗
Energiedichte welmag innerhalb des Materials.
Q3 (3 Punkte)
Eine extensive Größe X(V ) hat im Volumen V die Volumendichte x(⃗r, t) und die Stromdichte J⃗x (⃗r, t). Wie lautet die allgemeine Bilanzgleichung in differenzieller Form für x(⃗r, t)?
Geben Sie die Bedeutung der einzelnen Größen an.
2
Q4 (2 Punkte)
⃗ r, t) und das skalare elektromagnetische Potential
Gegeben sind das Vektorpotential A(⃗
Φ(⃗r, t) in einem Gebiet Ω.
⃗ r, t) und das elektrische Feld E(⃗
⃗ r, t)?
Wie berechnen sich das Magnetfeld B(⃗
Q5 (6 Punkte)
Im Folgenden wird das elektrostatische Randwertproblem für die Halbebene y > 0 im
R2 (!) betrachtet (siehe Skizze). Die Permittivität in der oberen Halbebene ist konstant;
ε = ε0 . Der Rand der Halbebene bei y = 0 ist geerdet.
e0
y
x
Für diese Geometrie ist die Greensche Funktion bekannt:
G(⃗r, ⃗r ′ ) =
1
|⃗r − ⃗r ′ |
· ln
2πε0
|⃗r − ⃗r ′∗ |
Dabei bezeichnet ⃗r ′∗ = S⃗r ′ den an der Geraden y = 0 gespiegelten Punkt ⃗r ′ :
S(x⃗ex + y⃗ey ) = x⃗ex − y⃗ey
3
*a) Zeigen Sie, dass die angegebene Greensche Funktion die homogene DirichletRandbedingung am gesamten Rand des Gebiets (d.h. bei y = 0 und für ⃗r → ∞)
erfüllt.
*b) Am Ort ⃗rq = a · ⃗ey befindet sich nun eine Punktladung Q. Stellen Sie diese Punktladung mit Hilfe der δ-Funktion als Raumladungsdichte ρ(⃗r) dar.
c) Berechnen Sie aus der Greenschen Funktion G(⃗r, ⃗r ′ ) und der Raumladungsdichte
ρ(⃗r) das elektrostatische Potential Φ(⃗r) für eine Punktladung Q bei ⃗rq = a⃗ey in
der zweidimensionalen Halbebene. Alternativ können Sie Φ(⃗r) auch direkt aus der
Greenfunktion ableiten.
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Q6 (8 Punkte)
Ein elektronisches Bauelement besteht aus Bereichen unterschiedlicher Materialien. Aufteilung, Abmessungen sowie die relevanten Materialparameter (elektrische Leitfähigkeit σ,
spezifischer Widerstand ρ, Permittivität ε) können der folgenden Abbildung entnommen
werden:
a
r=0
Û
3a
r=0
s=0
e = eiso
s = s1
s = 2s1
a
a
a
Zwischen der linken Klemme und der geerdeten rechten Klemme liegt die Wechselspannung Û mit der Kreisfrequenz ω an. An der restlichen Berandung des Bauelements gilt
die homogene Neumann-Randbedingung für das elektrische Potential. Das Bauelement
soll nun durch ein Kompaktmodell mittels Ersatzschaltbild beschrieben werden.
*a) Welche wesentliche Eigenschaft muss für einen Bereich des Bauelements gelten, damit er als Knoten beschrieben werden kann?
*b) Zeichnen Sie ein Ersatzschaltbild für das Bauelement.
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c) Berechnen Sie die komplexe Gesamtimpedanz Z des Bauelements in Abhängigkeit
von a, σ1 , εiso und ω. Das Ergebnis muss nicht weiter vereinfacht werden!
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Q7 (5 Punkte)
Gegeben sind die unten dargestellten periodischen Stromverläufe i1 (t) und i2 (t) mit der
identischen Periodendauer T , wobei I1 und I2 Konstanten sind.
i1
I1
t
0
0
T
2
T
3T
2
2T
*a) Geben Sie einen mathematischen Ausdruck für den Stromverlauf i1 (t) im Zeitintervall 0 ≤ t ≤ T an.
b) Berechnen Sie den Effektivwert Ieff,1 des periodischen Stromverlaufes i1 (t).
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c) Berechnen Sie den Effektivwert Ieff,2 des Stromverlaufes i2 (t). Wie groß muss der
Strom I2 in Abhängigkeit von I1 sein, damit der Effektivwert Ieff,2 gleich dem
Effektivwert Ieff,1 ist?
Q8 (7 Punkte)
Gegeben ist eine Drei-Elektroden-Kondensatoranordnung, bei der die elektrisch leitenden
Gebiete Ω0 , Ω1 und Ω2 ein dielektrisches Gebiet einschließen. Für k = 0, 1, 2 bezeichnet Qk die Ladung und Vk das elektrische Potential auf dem leitenden Gebiet Ωk . Die
Kapazitätskoeffizienten
C01 = −C,
C12 = −C,
C20 = 0
sind bekannt, wobei C eine positive Konstante ist.
*a) Geben Sie die vollständige Maxwellsche Kapazitätsmatrix C mit Hilfe der Konstanten C an.
b) Berechnen Sie die Ladungen Q0 , Q1 und Q2 auf den leitenden Gebieten Ω0 , Ω1 und
Ω2 als Funktion der anliegenden Potentiale V0 , V1 und V2 .
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c) Berechnen Sie die im elektrischen Feld gespeicherte Energie Wel für V0 = 0 und
V1 = V2 = U .
Q9 (4 Punkte)
(
)
⃗ in kartesischen Koordinaten gegeben:
Es sei folgendes Viererpotential Φ, A
⃗ r, t) = −Ax · sin(kz + ωt + φx ) · ⃗ex − Ay · cos(kz + ωt + φy ) · ⃗ey ,
A(⃗
Φ(⃗r, t) = 0
Dabei sind Ax , Ay , φx , φy , ω und k positive Konstanten.
(
)
⃗ aus dem Viererpotential Φ, A
⃗ .
*a) Berechnen Sie das elektrische Feld E
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*b) Geben Sie die Bedingungen an, unter denen das angegebene Viererpotential eine
zirkular polarisierte elektromagnetische Welle beschreibt!
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1. Rechenaufgabe (17 Punkte)
Betrachtet werden zwei harmonische, ebene elektromagnetische Wellen im Vakuum, deren
elektrische Feldkomponenten in einem rechtsorientierten kartesischen Koordinatensystem
(⃗ex , ⃗ey , ⃗ez ) lauten:
⃗ 1 (z, t) = E0 cos (k1 z − ω1 t − φ1 ) ⃗ex
E
⃗ 2 (z, t) = E0 cos (k2 z − ω2 t − φ2 ) ⃗ex
E
Dabei sind die Amplitude E0 > 0, die Kreiswellenzahlen k1 und k2 , die Kreisfrequenzen
ω1 > 0 und ω2 > 0, sowie die Anfangsphasen φ1 und φ2 reelle Konstanten. Durch Überlagerung der beiden Partialwellen erhält man ein resultierendes Wellenfeld mit elektrischer
Feldkomponente
⃗ t) = E
⃗ 1 (z, t) + E
⃗ 2 (z, t).
E(z,
*a) Welche Beziehungen müssen zwischen k1 und ω1 bzw. zwischen k2 und ω2 gelten,
⃗ 1 (z, t) bzw. E
⃗ 2 (z, t) die homogene Wellengleichung im Vakuum erfüllen?
damit E
Wie heißt diese Beziehung?
Beachten Sie, dass k1 bzw. k2 auch negative reelle Werte annehmen dürfen!
⃗ t) gehörige magnetische Feld H(z,
⃗
*b) Berechnen Sie das zu E(z,
t).
⃗ t) des zusammengesetzten Wellenfeldes.
c) Berechnen Sie den Poyntingvektor S(z,
*d) Welche physikalische Bedeutung hat der Poyntingvektor?
Nun wird der spezielle Fall betrachtet, bei dem gilt
k1 = k2 = k > 0
φ1 = 0 und φ2 = π.
⃗ t). Wie
*e) Berechnen Sie explizit das von den beiden Wellen erzeugte Wellenfeld E(z,
nennt man das hiermit beschriebene physikalische Phänomen?
Hinweis: cos(α − π) = − cos(α).
Nun betrachten wir als weiteren Spezialfall zwei gegenläufige phasengleiche Partialwellen.
Es gilt dann:
k1 = −k2
φ1 = φ2 = 0.
*f) Berechnen Sie explizit das durch Überlagerung beider Partialwellen resultierende
⃗ t). Wie bezeichnet man das so beschriebene physikalische PhänoWellenfeld E(z,
men?
Hinweis: cos(α − β) + cos(α + β) = 2 cos(α) cos(β).
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2. Rechenaufgabe (16 Punkte)
Das Randwertproblem für stationäre Strömungsfelder im Ohmschen Transportmodell soll
für ein zylinderförmiges Gebiet Ω gelöst werden. Der Zylinder hat die ortsabhängige elektrische Leitfähigkeit
)
(
d
σ(⃗r) = σ0 ·
z+d
mit σ0 = const. > 0, den Radius R sowie die Höhe d (siehe Skizze). Die untere Deckfläche
bei z = 0 ist geerdet, während die obere Deckfläche bei z = d auf dem positiven Potential
U0 liegt. Der Zylindermantel ist stromundurchlässig, d.h. es gilt ⃗j ·⃗er = 0 für die elektrische
Stromdichte ⃗j(⃗r, t).
z
I
z=d
U0
Ω
s
φ
r
r =R
V=0
*a) Verwenden Sie die quasistationäre Näherung, um aus der Ladungserhaltungsgleichung die Poissongleichung für das elektrische Potential Φ(⃗r) herzuleiten.
*b) Stellen Sie die Randbedingungen auf dem gesamten Rand ∂Ω des Gebietes auf. Wie
heißen die jeweiligen Randbedingungen? Wo sind diese Randbedingungen homogen?
(
2
)
c) Zeigen Sie, dass die Funktion Φ(⃗r) = U3d0 zd + 2z die Poissongleichung löst sowie
alle Randbedingungen erfüllt. Verwenden Sie Zylinderkoordinaten (r, φ, z).
*d) Berechnen Sie die Stromdichte ⃗j(⃗r) im Inneren des zylinderförmigen Gebiets und
den Gesamtstrom I durch die Stirnflächen.
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3. Rechenaufgabe (15 Punkte)
Die zu untersuchende Wechselstromschaltung besteht aus einer idealen Spannungsquelle, die eine eingeprägte komplexe Wechselspannung Ub mit der Frequenz ω liefert, den
Widerständen RL und RC , einer Kapazität C und einer Induktivität L.
IRL
I
L
U
C
RC
RL
*a) Zeichnen Sie ein Zeigerdiagramm für alle Spannungen und Ströme im Schaltkreis.
Alle Größen müssen gekennzeichnet werden. Beginnen Sie dabei mit dem Strom
IbRL .
*b) Berechnen Sie die Gesamtadmittanz Y der Schaltung und geben Sie diese in der
Form Y = Re(Y ) + jIm(Y ) an.
b
c) Berechnen Sie den Strom I.
d) Geben Sie die Frequenz ω0 an, bei der der Strom Ib die gleiche Phase wie die Spannung Ub hat. Welche Bedingung muss dabei der Widerstand RL erfüllen?
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