Angabe EMF2 WS08/09

Diplom-Vorprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik
Termin Wintersemester 08/09
Elektromagnetische Feldtheorie 2
Donnerstag, 12. 03. 2009, 9:00–10:00 Uhr
Zur Beachtung:
• Zugelassene Hilfsmittel:
– Originalskript zur Vorlesung Elektromagnetische Feldtheorie oder
Elektrodynamik der Fachschaft EI
– 5 Blätter DIN A4 mit eigenen handschriftlichen Aufzeichnungen, keine
Kopien oder Drucke
– Mathematische Formelsammlung
•
•
•
•
Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe einen eigenen Bogen !
Geben Sie auf jedem Bogen Name, Vorname und Matrikelnummer an !
Ergebnisse ohne Herleitung oder Begründung werden nicht gewertet.
Die mit einem Stern * gekennzeichneten Teilaufgaben können unabhängig
gelöst werden.
1. Aufgabe (11 Punkte)
Gegeben sei folgende Anordnung: Eine Punktladung mit der Ladung Q > 0 befinde sich
im Vakuum an einem Ort ~r0 = (x0 , y0) im 1. Quadranten (x0 > 0, y0 > 0). Die anderen
drei Quadranten seien ideal leitend und geerdet, d.h. das elektrische Potential genügt den
Randbedingungen φ(x = 0, y ≥ 0) = 0 und φ(x ≥ 0, y = 0) = 0.
Mit Hilfe der Spiegelladungsmethode soll das elektrische Potential φ(~r) bestimmt werden.
*a) Skizzieren Sie zunächst die Ersatzanordnung nach dem Spiegelladungsprinzip mit
den Spiegelladungen qi (i=1,2,3). Geben Sie den Ort ~ri und den Wert der Ladungen
mit Vorzeichen an.
b) Berechnen Sie das elektrische Potential φ(~r) der Anordnung für x, y > 0.
~ r) der Anordnung für x, y > 0.
c) Berechnen Sie das elektrische Feld E(~
d) Die Punktladung Q befinde sich nun an dem Ort r~0 = (2, 2). Zusätzlich wird eine
Probeladung qProbe > 0 an den Ort ~rProbe = (1, 1) eingebracht. Die Probeladung
qProbe sei vernachlässigbar klein im Vergleich zur Ladung Q.
Berechnen Sie die Kraft ~F(~r = ~rProbe ), die auf die Probeladung qProbe am Ort ~rProbe
wirkt.
In welche Richtung zeigt anschaulich die Kraft ~F?
*e) Leiten Sie die Greensche Funktion G(~r,~r ′ ) der Anordnung für x, y > 0 aus dem
Potential einer Punktladung her.
Wie lautet das elektrische Potential einer im 1. Quadranten lokalisierten Raumladungsverteilung ρ(x, y)?
2. Aufgabe (12 Punkte)
Im Vakuum mit der Leitfähigkeit σ = 0, der Ladungsdichte ρ = 0 und der Stromdichte
~ 1 (z, t) gegeben:
~j = ~0 ist ein elektromagnetisches Feld mit der elektrischen Feldstärke E
~ 1 (z, t) = E0 sin(kz + ωt)~ex + E0 cos(kz + ωt)~ey
E
a) Berechnen Sie mit Hilfe der homogenen Wellengleichung für das elektrische Feld
~ 1 (z, t) die Werte für k, mit denen das gegebene elektromagnetische Feld E
~ 1 (z, t),
E
eine sich im Raum ausbreitende homogene Welle darstellt (Dispersionsrelation).
b) In welche Richtung breitet sich die Welle für k > 0 aus?
~ 1 (z, t) in der Ebene z=0 für
Zeichnen Sie den elektrische Feldstärkevektor E
, π in eine Skizze.
ωt = 0, π4 , π2 , 3π
4
~ 1 (z, t) polarisiert? Begründen Sie Ihre Antwort anhand dieser Skizze.
Wie ist E
~ 1 (z, t) dargestellte homogene Welle trifft an der Stelle z = 0 senkrecht aus dem
Die mit E
Vakuum (Medium 1 für z ≥ 0) auf einen idealen Leiter mit der Leitfähigkeit σ = ∞
(Medium 2 für z < 0 ) und wird total reflektiert.
~ 2 (z, t), welche durch Totalreflexion
c) Bestimmen Sie die reflektierte homogene Welle E
~ 3 (z, t)
an der Grenzfläche z = 0 entsteht, und geben Sie die elektrische Feldstärke E
an, die sich durch die Überlagerung von einfallender und reflektierter Welle im Halbraum z ≥ 0 ergibt. Wie heißt eine derartige Welle?
Hinweis:
• Bei der Reflexion tritt ein Phasensprung von π auf.
• cos(α) − cos(β) = −2sin( α+β
)sin( α−β
)
2
2
)sin( α−β
)
• sin(α) − sin(β) = 2cos( α+β
2
2
~ 3 (z, t) gehörende magnetische Feldstärke H
~ 3 (z, t). Verwenden
d) Berechnen Sie die zu E
~
∂
H(z,t)
~ t) = −µ
.
Sie die Beziehung rotE(z,
∂t
Hinweis:
• cos(α)cos(β) =
• sin(α)cos(β) =
1
[cos(α + β) + cos(α − β)]
2
1
[sin(α − β) + sin(α + β)]
2
e) Berechnen Sie die elektromagnetische Leistungsflussdichte S~3 (z, t) der Überlagerung
~ 1 (z, t) und E
~ 2 (z, t). Interpretieren Sie dieses Ergebnis!
von E
3. Aufgabe (14 Punkte)
Im Vakuum (d.h. relative Permittivität εr = 1, relative Permeabilität µr = 1, elektrische Leitfähigkeit σ = 0, Ladungsdichte ρ = 0
und Stromdichte ~j = 0) ist in der durch x = 0 bestimmten Ebene
ein elektromagnetisches Feld mit der magnetischen Feldstärke
~ S (y, t) = H(~
~ r , t)|x=0
H
Trägerschwingung
z }| {
= H0 (y) [1 − cos(ωt/5)] sin(ωt) ~ez
{z
}
|
Amplitude A(y, t)
mit der Trägerfrequenz ω gegeben. Der Amplitudenfaktor H0 (y) des
~ S (y, t) hängt nur
in z-Richtung linear polarisierten Magnetfeldes H
von der y-Koordinate ab.
*a) Skizzieren Sie den Amplitudenverlauf A(y, t) für eine festgehaltene Position
~r = (0, y, z) qualitativ im Zeitintervall [0, 10π/ω]. Tragen Sie in die Skizze auch den
~ S,z (y, t) ein.
groben zeitlichen Verlauf der z-Komponente des Magnetfeldes H
~ S (y, t) kann durch Superposition aus drei harmonischen Schwin*b) Das Magnetfeld H
gungen unterschiedlicher Frequenzen aufgebaut werden. Geben Sie das Magnetfeld
~ S (y, t) in der Form H
~ S (y, t) = ~h1 (y) sin(ω1 t) + ~h2 (y) sin(ω2 t) + ~h3 (y) sin(ω3 t) an.
H
Hinweis: Verwenden Sie die Beziehung cos(α) sin(β) = 1/2 [sin(β − α) + sin(β + α)]
~ r , t) im gesamten Raum ~r ∈ IR3 an für
*c) Geben Sie das magnetische Wellenfeld H(~
den Fall dass sich die Orte konstanter Phase mit der Geschwindigkeit cx = ω/kx
in positiver x-Richtung ausbreiten, wobei kx die x-Komponente des Wellenvektors
~k = kx~ex bezeichnet.
Von nun an sei der Raum in zwei Halbräume y > 0 und y < 0 unterteilt. Im Bereich
y > 0 herrsche Vakuum, der Bereich y < 0 sei mit einem leitenden Medium der relativen
Permittivität εr,L, der relativen Permeabilität µr,L = 1 und der elektrischen Leitfähigkeit
σL erfüllt. Im leitenden Medium gilt für die Ladungsdichte ρ = 0 und für die Stromdichte
~ Die Leitfähigkeit des leitenden Mediums σL sei so groß, daß im Folgenden die
~j = σL E.
Terme εr,Lε0 ω und ε0 ω im Vergleich dazu vernachlässigt werden können. Das Magnetfeld
~ r, t) der ab jetzt zu betrachtenden elektromagnetischen Welle lautet in der komplexen
H(~
Darstellung
(
H0 exp(−jkL,y y) exp [j(kL,x x − ωt − π/2)] ~ez für y ≤ 0
~ r , t) =
H(~
H0 exp [j(kx x − ωt − π/2)] ~ez
für y > 0
√
mit der Beziehung kx = ε0 µ0 ω.
*d) Bestimmen Sie aus der Grenzflächenbedingung für die tangentiale Komponente des
Magnetfeldes Hz (~r, t) die konstante x-Komponente der Phasengeschwindigkeit cL,x
im leitenden Medium.
Hinweis: Es gibt keine Grenzflächenströme.
~ r, t) im leitenden Medium
e) Geben Sie die Wellengleichung für das Magnetfeld H(~
an und bestimmen Sie die y-Komponente des Wellenvektors kL,y derart, dass diese
erfüllt ist.
~ r , t)| im leitenden Medium
f) Bei welchem y-Wert ist der Betrag des Magnetfeldes |H(~
auf den Wert H0 /e abgefallen?
Viel Erfolg!