10.1 Harmonische Schwingungen(oscilación (la) armónica)

Schwingungen
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10. Schwingungen(oscilación (la),
vibración, la)
A1: Was ist eine Schwingung?
A2: Gib Beispiele von Schwingungen an!
Alle periodischen Bewegungen können aus harmonischen Schwingungen (oscilación (la)
armónica) zusammengesetzt werden.
10.1 Harmonische Schwingungen(oscilación (la) armónica)
Das Zeit-Weg-Diagramm einer harmonischen Schwingung :
Versuch: Stimmgabelschreiber
Schwingungen, deren Zeit-Weg-Diagramm eine Sinuskurve (Cosinuskurve) ist, werden
harmonische Schwingungen genannt.
A1:
Zeichne eine Sinuskurve!
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Grundlegende Begriffe:
Schwingungsdauer (duración (la) de la oscilación) T :
Elongation (elongación, la) s :
Amplitude (amplitud, la) r :
Frequenz (frecuencia, la) f :
A2:
Hänge einen kleinen Körper an eine Schraubenfeder!
Bestimme einige Male T bzw. f und schließlich den Mittelwert!
A3:
Bestimmung der Federkonstante: Hänge an eine Schraubenfeder einen Körper mit
bekannter Masse m und bestimme die Federkonstante k!
Führe den Versuch auch mit einer anderen Masse durch!
m
T = 2π
k
A4:
Verwende dieselbe Feder wie in Aufgabe A2 und bestimme die Schwingungsdauer T
mit verschiedenen Massen! Trage die erhaltene Schwingungsdauer T in Abhängigkeit
von den Massen in ein Diagramm ein. Verbinde die Massenpunkte und beschreibe
die erhaltene Kurve.
A5:
Führe einen Versuch durch, der zeigt, dass die Schwingungsdauer eines Federpendels
nicht von der Amplitude abhängt!
A6:
Bestimme die Abhängigkeit der Schwingungsdauer eines Federpendels von der
Federkonstante.
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10.2 Die mathematische Beschreibung der harmonischen Bewegung
A1:
Wiederhole die Begriffe Winkelgeschwindigkeit und Bogenmaß!
Mit Hilfe der Kreisbewegung kann man die Bewegungsgesetze der harmonischen
Schwingung kennen lernen.
V:
Projektion der Kreisbewegung
Abb.1: Wir projizieren eine Kreisbewegung seitlich auf einen Schirm und beobachten die
Bewegung des Schattenbildes.
Für die Kreisbewegung haben wir die Winkelgeschwindigkeit ω (velocidad angular, la) so
definiert: ω =
=
T…
f…
ω…
Wir wollen nun die Bewegung des Schattens, also die Projektion der Kreisbewegung
beschreiben.
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Schwingungen
A2:
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Welche physikalischen Größen benötigt man um eine Bewegung zu beschreiben?
Elongation (elongación, la) s(t) :
Abb. 2 : Projektion der kreisenden Bewegung auf einen Schirm. Dadurch erhält man die
wechselnde Auslenkung aus der Ruhelage.
Geschwindigkeit (velocidad, la) v(t)
Abb.3: Projektion der Geschwindigkeit auf einem Schirm. Dadurch erhält man die
Geschwindigkeit in der Abhängigkeit der Zeit.
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Beschleunigung (aceleración, la) a(t):
Abb.4: Die Beschleunigung ist der momentanen Auslenkung entgegengesetzt
und schwankt ebenfalls periodisch.
Die harmonische Bewegung:
s(t) = r sin (ω t)
v(t) = r ω cos (ωt)
a(t) = - ω2 r sin (ωt)
s(t)...momentane Auslenkung (elongación, la)
v(t)...momentane Geschwindigkeit (velocidad, la)
a(t)...momentane Beschleunigung (aceleración, la)
r…Amplitude (amplitud, la)
ω…Winkelgeschwindigkeit (velocidad angular, la)
t…Zeit (tiempo, el)
Herleitung der Schwingungsdauer T einer harmonischen Schwingung:
Kraftgesetz einer harmonischen Schwingung:
Die Kraft F, die auf einen harmonischen schwingenden Körper mit der Masse m wirkt, ist
direkt proportional zu seiner Auslenkung s.
r
r
F = − k.s
Hook´sches Gesetz
Allgemein gilt für den Betrag der Kraft:
F(t) =
= m.[- r ω2sin(ωt)] =
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Schwingungsdauer (duración (la) de la oscilación) T:
T = 2π
m
k
k…Proportinalitätsfaktor (factor (el) de proporcionalidad)
m…Masse (masa, la)
T…Schwingungsdauer (duración (la) de la oscilación)
10.2 Das Fadenpendel(péndulo (el) con pita ó hilo)
Abb.1: Das Fadenpendel
A1: Beschrifte die Abb.1. Trage dabei die auftretenden Kräfte und den Ablenkungswinkel
ein.
Ein Fadenpendel besteht aus einem Körper der Masse m, der an einem Faden der Länge l
hängt. Am Körper m greift die Kraft F = mg an.
Für kleine Elongationen ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung.
Das Fadenpendel schwingt harmonisch.
Daher gilt:
F⊥ =
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Schwingungsdauer T des Fadenpendels:
T = 2π
l
g
T…Schwingungsdauer (duración (la) de la oscilación)
l…Länge des Fadens (longitud del hilo)
g…Erdbeschleunigung (aceleración (la) terrestre)
A2: Zeige, dass die Einheit der Schwingungsdauer s ist!
V: Bestimme mit Hilfe des Fadenpendels die Erdbeschleunigung g in Guatemala City!
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10.4 Die Energie des harmonisch schwingenden Körpers
(la energía de la oscilación armónica)
Um die Schwingungsenergie (energía (la) de oscilaciónes o vibraciones) eines Federpendels zu
berechnen, berücksichtigen wir die Bewegungsenergie (energía (la) cinética o de movimiento)
und die Dehnungsernergie bzw. potenzielle Energie (energía (la) potencial) der Feder!
mv 2
2
ks 2
Dehnungsenergie : E p =
2
Bewegungsnergie : E K =
A1:Überlege: Wann und wo hat der Pendelkörper seine größte potenzielle, seine größte
kinetische Energie und wann seine kleinste potenzielle seine kleinste
kinetische Energie?
A2:
Zeichne in ein Energie-Zeit-Diagramm die potentielle, die kinetische und die
Gesamtenergie eines Federpendels ein!
Für die Gesamtenergie erhalten wir:
E ges. =
A3:
ks 2 mv 2
+
2
2
Setze für k, s, und v die im Skriptum oben errechneten Werte ein!
Man erhält dann:
Energie eines harmonischen Oszillators
(la energía de la oscilación armónica)
E = 2π 2 mf 2 r
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E…Energie (energía, la)
m…Masse (masa, la)
f…Frequenz (frecuencia, la)
r…Amplitude (amplitud, la)
10.5 Überlagerung von Schwingung
(interferece; interferencia, la)
10.5.1.Phasenkonstante einer harmonischen Schwingung
A1: Erarbeite gemeinsam mit dem Lehrer den Begriff Phasenunterschied zweier
Schwingungen anhand eines Elongation - Zeit-Diagramms zweier Schwingungen!
Abb.1: Loslassen eines ausgelenkten Pendelkörpers
Abb.2: Anstoßen eines Pendelkörpers in der Ruhelage
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10.5.2 Addition von Schwingungen
Werden zwei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz überlagert, so entsteht
wieder eine harmonische Schwingung!
A2:
Zeichne drei Elonagtion-Zeit-Diagramme:
1.
Überlagerung zweier gleichphasiger Schwingungen (konstruktive
Interferenz; interferencia (la) constructiva)!
2.
Überlagerung zweier gegenphasiger Schwingungen(destruktive Interferenz;
interferencia (la) desconstructiva)!
3.
Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit gleicher Frequenz,
die weder gleich- noch gegenphasig sind!
Abb.1: Überlagerung von gleichphasigen Schwingungen
Abb.2:Überlagerung von gegenphasigen Schwingungen
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Abb.3:Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit gleicher Frequenz,
die weder gleich- noch gegenphasig sind!
Werden zwei harmonische Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen überlagert, so
entsteht keine harmonische Schwingung.!
10.6 Eigenschwingungen(frecuencia (la) natural)
Ein einzelnes Pendel kann nur in einer bestimmten Weise schwingen; diese Schwingung
heißt Eigenschwingung. Die Frequenz dieser Eigenschwingung heißt Eigenfrequenz f.
Zwei gekoppelte Pendel können gleichsinnig oder gegensinnig schwingen. Zwei gekoppelte
Pendel weisen also zwei verschiede Eigenschwingungen mit der Frequenz f1 und f2 auf.
Versuch: (gekoppelte Federpendel)
A1: Skizziere und beschreibe den Versuch
Mit der Anzahl der Pendelkörper, die miteinander verbunden sind, steigt die Zahl der
möglichen Eigenschwingungen.
Abb1: Gekoppeltes Pendel mit drei Pendelkörper
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Ein Gummischlauch, der aus zahlreichen miteinander verbundenen Molekülen besteht,
hat daher eine riesige Zahl verschiedener Eigenschwingungen.
Eigenschwingungen eines Gummischlauches:
Abb2: Grundschwingung eines eingespannten Gummischlaues.
Abb2: Höhere Eigenschwingungen eines Gummischlauches
Bei allen Eigenschwingungen bleiben bestimmte Teile des Schlauches in Ruhe:
Schwingungsknoten
Der Bereich zwischen zwei benachbarten Schwingungsknoten wird Schwingungsbauch
genannt.
Die Grundschwingung weist nur an den Schlauchenden Schwingungsknoten auf.
Alle weiteren Eigenschwingungen haben weitere Schwingungsknoten zwischen den
Schlauchenden. Diese Schwingungen werden Oberschwingungen genannt.
Die Frequenz der Oberschwingungen ist ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz.
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Beispiele: Saiteninstrumente
Die gespannten Saiten der Gitarre, der Violine oder des Klaviers schwingen ähnlich wie ein
gespannter Gummischlauch. Die Schwingungsform der Saite und damit der Klang des
Instrumentes hängen eng mit dem Auslenkungspunkt der Saite und dem
„Auslenkungsmechanismus“ zusammen.
Der Klang des Saiteninstrumentes ergibt sich aus den Überlagerungen der
Eigenschwingungen.
Trommeln
Trommeln werden in Schwingungsbäuchen angeschlagen.
A1:
Schlage eine Gitarrensaite in der Nähe des Schallloches und nahe dem Steg und
erkläre den verschiedenen Klang des Instrumentes.
A2:
Wie werden Saiteninstrumente zum klingen gebracht?
10.6 Gedämpfte Schwingungen
(oscilación (la) amortiguada)
10.7.1 Die Dämpfung
Versuch: Dämpfung einer Schwingung
A1: Beschreibe und skizziere den Versuch!
Geht durch Reibung Schwingungsenergie verloren, so verringert sich die Amplitude der
Schwingung!
A2:
Beschrifte die Achsen und zeichne den Amplitudenverlauf einer gedämpften
Schwingung ein.
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Abb.1:Weg-Zeit-Diagramm einer gedämpften Schwingung
A2:
Überlege, wie die Schwingung eines aus der Ruhelage ausgelenkten Federpendels in
einem zähen Medium(zB Honig) verlaufen wird.
A3:
Nenne Beispiele aus dem Alltag, in denen gedämpften Schwingungen auftreten.
A4:
Überlege, wodurch die Dämpfung einer Schwingung im Alltag beeinflusst wird?
10.7.2 Die erzwungene Schwingung - Resonanz
(resonancia, la)
Die Dämpfung führt dazu, dass jede Schwingung Energie an die Umgebung abgibt und
schließlich zum Stillstand kommt.
Will man das verhindern, so muss man Energie zuführen. Solche Schwingungen nennt man
dann erzwungene Schwingungen.
Versuch:
A1:
Beschreibe und skizziere den Versuch!
A2:
Gib die Phasenverschiebung zwischen „Anreger“ und Pendel an.
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Die Amplitude des Federpendels hängt jeweils von der Frequenz des „Anregers“ ab.
Wenn man in einem Diagramm die Amplitude der Schwingung als Funktion der
Anregungsfrequenz einträgt, so erhält man die Resonanzkurve.
A3:
Zeichne in das Diagramm die Resonanzkurve für verschiedene Dämpfungen ein!
Die Form der Resonanzkurve hängt von der Dämpfung ab.
Bei geringer Dämpfung kann es zur Resonanzkatastrophe kommen!
A4:
Gib Beispiele der Resonanz aus dem Alltag an und Beschreibe diese!
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