Trigonometrie – Lösungen
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Trigonometrie – Lösungen 1. In einem Dreieck mit der Seite c = 6,2 cm stehen die Winkel , ß und in einem Verhältnis von 3 : 4 : 5. Berechne die Länge der Seiten a und b sowie den Flächeninhalt des Dreiecks. 3 4 5 12 180 : 12 15 3 15 45 ß 4 15 60 5 15 75 c 6,2 cm b hc a c Berechnung von a: a sin c sin c sin a sin a 4,5 cm Berechnung von b: b sinß c sin c sinß b sin b 5,6 cm Berechnung von A: hc sin b hc b sin A A c hc c b sin 2 2 12,18 cm² 2. Von einem Dreieck sind gegeben: a = 8,2 cm, = 38°, ß = 56°. Berechne die Höhe hc und die Seitenhalbierende sc. Gegeben: c = 8,2 cm; = 38°, ß = 56° = 180° – 38° – 56° = 86° b sc a hc c Berechnung von b: b sinß c sin c sinß b sin b 6,8 cm Berechnung von hc: hc sin b hc b sin hc 4,2 cm Berechnung von sc: sc ² sc c b² 2 4,4 cm 2 2 b c cos 2 3. Von einem Flugzeug F aus soll die Entfernung e zweier Geländepunkte P1und P2 vermessen werden. In einer Höhe von 752 m wurden die Tiefenwinkel = 43,5° und ß = 37,2° gemessen. Wie weit sind die Geländepunkte voneinander entfernt, wenn die Messungen zu einem Zeitpunkt erfolgen, a) als das Flugzeug senkrecht über der Verbindungslinie der Geländepunkte stand, b) als das Flugzeug senkrecht über der Verlängerung der Verbindungslinie stand? Lösung a) F h h tan tanß x1 x2 x1 PP 1 2 h tan x1 x 2 h tanß 1783,2 m x2 h P1 x1 P2 x2 Lösung b) F PP 1 2 x2 x1 PP 1 2 198,3 m h tanß h tan h P2 P1 x1 x2 - x1 x2 4. Ein Geländestück hat die Form eines Dreiecks. Der Umfang beträgt 450 m. Die Seiten stehen im Verhältnis 3 : 5 : 7. Berechne die Winkel und den Flächeninhalt des Geländestückes. U = 450 m h sin 3 + 5 + 7 = 15 b 450 : 15 = 30 h b sin a 3 30 90 m b 5 30 150 m c 7 30 210 m A A a² cos b² c² 2bc cos b² c² a² 2bc cosß cos ß c h c b sin 2 2 5845,67 m² a² c² b² 2ac a² b² c² 2ab 21,8 38,2 120 5. Zwei benachbarte Gemeinden haben gemeinsam in einem freien Gelände zwischen den Orten ein Schwimmbad erbaut. Die Bewohner der Gemeinde A haben dorthin einen direkten Weg von 1,8 km, diejenigen der Gemeinde B einen direkten Weg von 2,6 km. Zwischen den beiden Wegen liegt ein Winkel von 52°. a) Berechne die direkte Entfernung der beiden Orte. b) Auf der Strecke zwischen dem Schwimmbad und der Gemeinde B liegt ein Punkt D, von dem aus die direkten Entfernungen nach A und B gleich lang sind. Berechne BD . a = 2,6 km S b = 1,8 km = 52° c² c a² b² 2abcos 2,058 km b D a sinß sin ß b c 43,6 a' A c/2 c cosß 2 a' a' 1,420 km c B 6. Von einem Schiff, das in Richtung rw. 43° fährt, sieht man einen Leuchtturm rw. 118°. Nach 5,2 sm wird der Leuchtturm unter rw. 168° angepeilt. Wie viele sm war das Schiff bei beiden Messungen vom Leuchtturm entfernt? Gegeben: b = 5,2 sm rw. 43° = 118° – 43° = 75° ß = 168° – 118° = 50° S2 = 223° – 168° = 55° a sin b sinß a 6,557 sm c b c c sin sinß b sin sinß 5,561 sm b a S1 c L rw. 223° rw. 118° rw. 168° 7. An den Enden einer 10,7 km langen Straße liegen zwei Beobachtungspunkte A und B. Als sich ein Flugzeug senkrecht über der Straße befand, wurde es von den beiden Beobachtungspunkten unter dem Höhenwinkel = 36,4° (Beobachtungspunkt A) und ß = 58,7° (Beobachtungspunkt B) anvisiert. a) Bestimme die Entfernung des Flugzeuges von den Beobachtungspunkten A und B. b) In welcher Höhe fliegt das Flugzeug? Gegeben: c = 10,7 km; = 36,4°; ß = 58°, ( = 84,9°) C Lösung a) a sin b a c sin h c sin a sin A B c a 6,375 km b sinß c sin b 9,179 km Die Entfernung des Flugzeuges beträgt 6,375 km vom Punkt B und 9,179 km vom Punkt A. Lösung b) h sin b h b sin h 5,447 km Das Flugzeug fliegt in einer Höhe von 5,447 km. 8. Entwickle die Formel zur Berechnung des Umfangs eines regelmäßigen n–Ecks, das einem Kreis mit dem Radius r a) einbeschrieben b) umbeschrieben ist. a) Für gilt: 360 2n s 2 sin r s 2r sin U n s r s b) 360 2n 360 2n U n 2r sin Für gilt: s 2 tan r s 2r tan U n s r s U n 2r tan 360 2n 9. Entwickle die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines regelmäßigen n–Ecks, das einem Kreis mit dem Radius r a) einbeschrieben, b) umschrieben ist. Es ist: 360 n s 2 r sin r AD h r r cos s h 2 r² sin Ag n r² sin cos h AD Für gilt: tan s 2 r s 2 AD AD A ges h s cos 360 2n 360 2n cos 360 2n r r tan s s r 2 r² tan n r² tan 360 2n r 0 10. Ein Schleppzug0 fährt Kurs rw. 44 36‘ und peilt den Kieler Leuchtturm unter dem Winkel rw. 312 6‘ an. Die Entfernung zum Leuchtturm beträgt 3,4 sm. Der Schleppzug fährt mit einer Geschwindigkeit von 9,5 kn und peilt nach 42 Minuten erneut den Leuchtturm an. a) Fertige eine Skizze an. b) Wie viele Seemeilen hat der Schleppzug in den 42 Minuten zurückgelegt? c) Wie weit ist der Leuchtturm bei der zweiten Peilung vom Schleppzug entfernt? d) Unter welchem Winkel wurde der Leuchtturm beim zweiten Mal angepeilt? Lösung a) Berechnung von Winkeln: = 3600 – 312,10 = 47,90 = 44,60 + 47,90 = 92,50 b) Berechnung von s: s v t 2 42 6,65 [sm] 60 c) Berechnung von a: a² b² s² 2 b s cos a 7,6 [sm] s 9,5 d) Berechnung des Peilwinkels: sinß sin b a 3,4 sin92,50 sinß 7,6 ß 26,55 ß ' 180 44,6 26,55 251,15 Das Schiff legt in 42 Minuten 6,65 sm zurück; es ist dann 7,6 sm vom Leuchtturm entfernt. Der Leuchtturm wird unter rw. 251,15 0 angepeilt.
