Übungsaufgaben "Schließende Statistik"

Übungsaufgaben
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schließende Statistik
SS 2004
Dr. H. Grunert
Franzstraße 49, 06406 Bernburg
Tel. 03471-626493, Fax 03471-626496
Email: grunert @ mws-bbg.de
Dr. Grunert
I.
Übungsaufgaben
SS 2004
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zuordnung der Übungsaufgaben :
a)
Definitionen der Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten,
Additionssätze, Multiplikationssätze etc.
Aufgabe 1 bis Aufgabe 11
b)
Kombinatorik
Aufgabe 12 bis Aufgabe 23
Aufgabe 42
Aufgabe 19
c)
diskrete Zufallsgrößen, spezielle diskrete Verteilungen
Aufgabe 25 / 26
Aufgabe 27
Aufgabe 36 bis Aufgabe 41
d)
Poissonverteilung
Binomialverteilung
Binomialverteilung
stetige Zufallsgrößen, spezielle stetige Verteilungen
Aufgabe 24
stetige Zufallsgröße
Aufgabe 28 bis Aufgabe 35
Normalverteilung
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Dr. Grunert
A1)
SS 2004
Ein Zufallsvorgang besteht im zweimaligen Werfen eines Würfels!
a)
b)
A2)
Übungsaufgaben
Geben Sie die möglichen Elementarereignisse an !
Welche Elementarereignisse gehören zum Ereignis
A: „Augenzahl kleiner 6“ ?
Gegeben sind folgende Ereignisse:
A = {1;2;3}
B = {2;4;6}
C = {4;5;6}
D = { 6 }.
a)
B)
a)
a)
A3)
Können die Ereignisse A und B gleichzeitig eintreten ?
Können die Ereignisse B und C gleichzeitig eintreten ?
Können die Ereignisse A und C gleichzeitig eintreten ?
Können die Ereignisse B,C und D gleichzeitig eintreten ?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim zweimaligen Werfen eines Würfels
a) mindestens einmal eine 1 zu werfen ?
b) höchstens einmal eine 1 zu werfen ?
c) Wie groß sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten beim gleichzeitigen
Werfen von zwei Würfeln ?
A4)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Skatspiel im ersten Versuch
eine Herz-Acht, eine Kreuzkarte, eine Neun, ein König, ein Joker gezogen wird ?
A5)
In einer Schachtel befinden sich 38 Streichhölzer. Davon sind 6 bereits abgebrannt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim zufälligen Entnehmen eines Streichholzes ein abgebranntes gegriffen wird ?
A6)
Ein Zufallsexperiment bestehe darin, dass man mit einem Würfel solange würfelt,
bis zum ersten Mal eine Sechs auftritt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau beim 3. Wurf zum ersten Mal
eine Sechs auftritt ?
A7)
80% der Studenten bestehen die Mathematikklausur, 65% die Statistikklausur und
60% bestehen beide Klausuren.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Student mindestens eine der beiden Klausuren bestanden hat ?
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Dr. Grunert
A8)
Übungsaufgaben
Für eine Region A liegen folgende Angaben zu Geburten von Mädchen und Knaben
vor (siehe Tabelle). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Region
ein Knabe geboren wird !
Jahr
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
A9)
SS 2004
Geburten
weiblich
26145
27330
25067
24095
24509
26711
26090
24145
25199
28536
26863
25320
männlich
27321
28150
26070
25300
25980
28581
26873
25111
26459
30534
27669
26839
Ein Unternehmen führt auf dem Markt die drei Produkte A, B und C ein.
Die Produkte stehen in keinem Zusammenhang zueinander. Die Marketingabteilung schätzt die Wahrscheinlichkeit für eine erfolgreiche Einführung der
Produkte auf 0,9; 0,8 und 0,95 ein.
a)
b)
c)
d)
e)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keines der Produkte erfolgreich eingeführt wird ?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Produkte erfolgreich
eingeführt werden ?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Misserfolg
eintritt ?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Produkt am Markt
erfolgreich sein wird ?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die erfolgreiche Einführung von
genau zwei Produkten ?
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Dr. Grunert
A10)
Übungsaufgaben
SS 2004
Eine Erdölgesellschaft führt an 3 Orten A, B, C Bohrungen durch. Man schätzt
die Wahrscheinlichkeit für eine fündige Bohrung in A mit 0,7; in B mit 0,6 und
in C mit 0,4. Der Erfolg der Bohrungen an den Orten A, B, C ist als unabhängig
voneinander zu betrachten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a)
b)
c)
d)
alle Bohrungen
keine Bohrung
mindestens eine Bohrung
genau zwei Bohrungen
zum Erfolg führen (führt) ?
A11)
Eine Firma produziert Fernsehapparate. Mit der Wahrscheinlichkeit von 0,04 ist
ein produziertes Gerät fehlerhaft. Bei der Endprüfung zeigt das Prüfgerät mit
der Wahrscheinlichkeit 0,8 ein fehlerhaftes und mit der Wahrscheinlichkeit
0,1 ein einwandfreies Gerät als defekt an.
Ein zufällig ausgewählter Apparat wird geprüft, wobei das Prüfgerät nichts
anzeigt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser Fernsehapparat fehlerhaft bzw.
fehlerfrei ?
A12)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im Spiel 6 aus 49 genau drei Richtige
anzukreuzen ?
A13)
In einem Zigarettenautomaten sind 10 Sorten Zigaretten. Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 4 verschiedene Schachteln zu ziehen ?
A14)
Für 4 Straßen eines Wohngebietes stehen insgesamt 7 Straßennamen zur Wahl.
Wie viele Möglichkeiten der Benennung gibt es ?
A15)
Für einen 100m - Lauf sollen die Startbahnen für 2 Franzosen, drei Deutsche und
einen Belgier festgelegt werden. Die Wettbewerbsleitung vergibt die Bahnen nur
nach Nationalitäten.
Wie viele verschiedene Startbahnzuweisungen gibt es ?
A16)
Das Dominospiel besteht aus Steinen, auf denen jeweils zwei der Zahlen 0,1,...,6
durch entsprechend viele Punkte aufgetragen sind. Wie viele verschiedene Dominosteine enthält ein Spiel ?
A17)
Auf wieviel verschiedene Arten kann man ein vierbändiges Werk in einem Bücherschrank stellen, wenn die 4 Bände zusammenhängend eingeordnet werden sollen ?
A18)
Wie viele verschiedene 4stellige Zahlen kann man bilden, wenn man nur die Ziffern
1,2,3,4,5 verwendet und jede Ziffer höchstens einmal vorkommen darf ?
A19)
Wie viele verschiedenen Zusammenstellungen von Preisen kann man mit 5,10,
50 Pfennigstücken und Einmarkstücken erfassen, wenn man höchstens 5 Geldstücke gleichzeitig benutzen will ?
A20)
a) Wieviele verschiedene siebenziffrige Zahlen gibt es, die dreimal die 1, zweimal
die 3 und zweimal die 5 enthalten ?
b) Wie viele dieser Zahlen beginnen mit 135 ?
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Dr. Grunert
A21)
Übungsaufgaben
SS 2004
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Skatspiel
a) der Kreuz - Bube
b) genau ein Bube
c) zwei Buben
im Skat liegen ?
A22)
Beim Skatspiel erhält jeder der drei Spieler 10 Karten, während die restlichen
beiden Karten in den Skat gelegt werden. Auf wieviel verschiedene Arten können
die 32 Karten verteilt werden ?
A23)
Ein Ortsnetz hat 12 Fernwahlleitungen nach 12 verschiedenen Orten. Die Orte
werden rein zufällig von 8 Teilnehmern gleichzeitig angewählt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) alle Teilnehmer verschiedene Orte
b) genau zwei Teilnehmer den gleichen Ort
wählen ?
A24)
Die Durchlaufzeit eines Auftrages ist gleichmäßig verteilt zwischen 210 und
230 Minuten.
a)
b)
c)
d)
A25)
A26)
Geben Sie die Dichtefunktion und Verteilungsfunktion an !
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine Durchlaufzeit zwischen
214 und 218 Minuten !
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Durchlaufzeit höchstens
223 Minuten beträgt ?
Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung !
Die Transportfirmen A ( 4 Mitarbeiter ) und B ( 2 Mitarbeiter ) wollen kooperieren.
Beide Firmen werben damit, Aufträge innerhalb eines Tages zu erledigen.
Firma A erhält durchschnittlich 5 Aufträge, Firma B durchschnittlich 2 Aufträge
pro Tag. Ein Mitarbeiter kann 2 Aufträge pro Tag durchführen.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei Firma A während eines
beliebigen Tages genau 5 Aufträge eingehen ?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das während eines beliebigen Tages
bei Firma A Aufträge wegen Überlastung nicht angenommen werden
können ?
c)
Die Wahrscheinlichkeit, daß bei mindestens einer der beiden Firmen an
einem Tag Aufträge wegen Überlastung abgelehnt werden mußten, betrug
bisher 11,7 %.
Im Rahmen der Kooperation wird ein Mitarbeiter entlassen. Wie wirken Kooperation und Personalreduzierung auf die Ablehnungswahrscheinlichkeit ?
In einem Unternehmen fehlen durchschnittlich 8 Arbeitnehmer in der Frühschicht.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag genau 8, höchstens 9,
mehr als 9 Arbeitnehmer fehlen ?
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Dr. Grunert
A27)
A28)
Übungsaufgaben
SS 2004
In einer Großstadt sind erfahrungsgemäß 2% der U-Bahn-Fahrgäste ohne gültigen
Fahrausweis.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter neun Fahrgästen kein,
höchstens einer, mindestens ein Schwarzfahrer befindet ?
Der Inhalt von Weinflaschen ist normalverteilt mit m = 752 ml und s = 0,8 ml.
Der Mindestinhalt einer Flasche liegt bei 750 ml.
A29)
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Flasche zu wenig
Wein enthalten ist ?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Flasche zwischen
750 und 754 ml Wein enthalten sind ?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Kauf einer Kiste Wein
( 6 Flaschen ) insgesamt zu wenig Wein enthalten ist ?
d)
Die Abfüllanlage war bisher auf 752 ml eingestellt. Wie ist die Maschine
einzustellen, wenn höchstens 2% der Flaschen zu wenig Wein enthalten
sollen ?
Die Größe eines Baumbestandes ist normalverteilt mit m = 2,15 m und s = 0,15 m.
a)
b)
A30)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Größe eines
Baumes geringer als 1,85m ist !
Welcher Anteil des Bestandes hat eine Größe zwischen 2,00 m und 2,30 m ?
Messungen in Schulen des Landes Sachsen-Anhalt haben ergeben, dass die
Körpergröße X der männlichen Schüler normal verteilt mit m = 176 cm und
s = 9,4cm ist. Wie groß müsste dann die Wahrscheinlichkeit sein, dass männliche
Schüler über 1,90 m groß sind ?
A31)
Die Länge von Bratwürsten der Heimatwurst KG gibt immer wieder Anlaß zur Kritik.
Kontrollen ergaben, dass die Länge tatsächlich sehr stark schwankt. Genauere
Messungen ergaben für die Länge eine normalverteilte Zufallsgröße mit einem
Mittelwert von 15 cm und einer Varianz von 4cm2 .
a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Länge der Bratwürste
zwischen 14cm und 16cm liegt !
b)
Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Länge mindestens 13,5cm
beträgt ?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge der Bratwürste maximal
16,5cm beträgt ?
d)
In welchem symmetrischen Intervall [ m - d ; m + d ] um den Erwartungswert
liegt die Länge mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 ?
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Dr. Grunert
A32)
A33)
Übungsaufgaben
SS 2004
Das Gewicht von Zuckerpaketen ( in Gramm ) sei N (1000;5)- verteilt.
Man ermittle
a)
das Gewicht, das ein zufällig entnommenes Zuckerpaket mit einer
Wahrscheinlichkeit von 90% wiegt !
b)
das Gewicht, das ein zufällig entnommenes Zuckerpaket mit einer
Wahrscheinlichkeit von 95% wiegt !
c)
den zum Mittelwert symmetrischen Bereich, der das Gewicht eines
zufällig entnommenen Zuckerpaketes mit einer Wahrscheinlichkeit
von 98% enthält !
Von Küken ist bekannt, das ihre Masse normal verteilt ist. Wie viele Küken
von 1000 ausgewählten haben eine Masse zwischen 101g und 119 g ?.
( m = 110 g ; s = 3 g )
A34)
Die Brenndauer von Glühbirnen sei normalverteilt mit dem Mittelwert 900 Stunden
und der Standardabweichung 100 Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass eine zufällig der Produktion entnommene Glühbirne
a)
b)
c)
mindestens 1200 Stunden
höchstens 650 Stunden
zwischen 750 und 1050 Stunden
brennt ?
A35)
Der tägliche Wasserverbrauch einer Kleinstadt ( in m³ ) ist N (4000;100)-verteilt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Tag mehr als 4200 m³
Wasser verbraucht werden ?
A36)
Eine Partei hat 40% Anhänger in der wahlberechtigten Bevölkerung. Es werden
5 wahlberechtigte Bürger zufällig ausgewählt und befragt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei auf
a)
b)
c)
d)
keinen Anhänger,
genau zwei Anhänger
höchstens drei Anhänger
mindestens zwei Anhänger
der Partei zu stoßen ?
A37)
Unter unseren Witterungsbedingungen erfrieren von einer Staudenart im Winter
15 %. Zum Saisonende hat eine Gärtnerei noch genau 10 Exemplare dieser Staudenart. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann die Gärtnerei eine Bestellung von acht
Stauden zum Frühjahr nicht im vollen Umfang ausliefern ?
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Dr. Grunert
A38)
Übungsaufgaben
SS 2004
Beim Transport von Glasbehältern tritt gewöhnlich 0,6% Bruch auf. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Lieferung von 1000 Glasbehältern
a) alle ganz beim Empfänger ankommen ?
b) höchstens 2 Glasbehälter zu Bruch gehen ?
A39)
Erfahrungsgemäß sind bei der Produktion bestimmter Werkstücke 99,3% qualitätsgerecht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält ein Lieferposten von 100 Werkstükken
a)
b)
c)
kein Ausschussstück ?
genau zwei Ausschussstücke ?
höchstens zwei Ausschussstücke ?
A40)
In einem Waldstück sind 30% der Bäume deutlich geschädigt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 8 zufällig ausgewählten Bäumen mehr als
3 deutlich geschädigt sind ?
A41)
In einem Wohngebiet soll ein Parkhaus für die Anwohner errichtet werden. Eine
Befragung aller Bewohner ergab 30% Gegner. Es werden 7 Bewohner dieses
Wohngebietes zufällig ausgewählt und befragt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit stößt man dabei
a)
b)
A42)
auf mehr als 5 Gegner ?
auf genau 5 Gegner ?
Ein Koffer werde durch ein Zahlenschloss gesichert. Es sei angenommen, dass
ein möglicher Dieb höchstens eine Minute Zeit hat, das Schloß durch Probieren
zu öffnen.
a)
Das Zahlenschloss sei dreistellig. Der Dieb probiert alle 3 Sekunden (rein
zufällig) eine neue Kombination. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
der Dieb erfolgreich ist ?
b)
Das Zahlenschloss sei vierstellig. Der Dieb benötigt für eine Kombination
vier Sekunden. Wie groß ist nun seine Erfolgswahrscheinlichkeit ?
c)
Meier, Sicherheitsmanager der Firma Monopol AG, weiß aus Erfahrung, dass
seinen Mitarbeitern mit der Wahrscheinlichkeit von 0,5 versucht wird, auf
einer Dienstreise die Koffer zu knacken. Gelingt dies, ersetzt die Firma
pauschal den Gesamtschaden mit 1000 DM für einen neuen Koffer und den
Ersatz des Kofferinhaltes.
Wie groß ist der Schadenserwartungswert pro Koffer bei Verwendung eines
dreistelligen bzw. vierstelligen Zahlenschlosses ?
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Dr. Grunert
Übungsaufgaben
SS 2004
II.
Schließende Statistik
a)
Stichprobe, Stichprobenfunktion
A43)
In Vorbereitung auf Tarifverhandlungen will ein Unternehmen wissen, wie
groß der tägliche Zeitaufwand der Beschäftigten im Durchschnitt für den
Weg zwischen ihrer Wohnung und der Arbeitsstelle ist. Das Unternehmen hat
4000 Beschäftigte. 200 Beschäftigte sollen in die Untersuchung einbezogen
werden. Ausgehend von der Beschäftigtenkartei und zu anderen Zeitpunkten
durchgeführten Untersuchungen liegen folgende Angaben vor:
Anzahl Beschäftigte Standardabweichung
der Wegezeiten [min]
Wohnung in der
Stadt
1500
5
Wohnung im
Landkreis
2000
10
Wohnung in
sonstigen Orten
500
25
a) Wie hoch ist der Auswahlsatz bei einfacher Zufallsauswahl ?
b) Wie wäre der Auswahlabstand bei systematischer Auswahl ?
c) Berechnen Sie die Anteile der Schichten an der Stichprobe bei
- einer proportional geschichteten Auswahl
- bei einer optimal geschichteten Auswahl !
A44)
Eine Zufallsvariable X sei N (450;80) - verteilt. Es wird aus der zugrunde
liegenden Grundgesamtheit eine Stichprobe des Umfangs n = 15 entnommen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Mittelwert der Stichprobe
größer als 500 ?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Mittelwert der Stichprobe in
das Intervall [430; 470] fällt ?
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Übungsaufgaben
SS 2004
b)
Schätzverfahren
A45)
Die Zufallsvariable „Benzinverbrauch in l / 100 km“ eines bestimmten
Wagentyps sei normalverteilt mit  =1 l / 100 km. Bei Testfahrten mit 25 Autos
dieses Typs wurde tatsächlich ein durchschnittlicher Benzinverbrauch von
10 l/100km ermittelt.
a) Bestimmen Sie ein 90 %- Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Benzinverbrauch des Wagentyps.
b) Bestimmen Sie ein 95 %- Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Benzinverbrauch des Wagentyps.
c) Bestimmen Sie ein 95 %- Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Benzinverbrauch bei einer Stichprobe n = 100.
d) Bestimmen Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für den Mindest- und den
Höchstverbrauch ausgehend von beiden Stichproben.
A46)
Eine Untersuchung von 50 Hähnchen auf ihren Kaloriengehalt ergab
folgende Werte ( in cal / 100g)
309
236
207
238
242
202
204
232
187
236
234
213
215
189
174
252
220
210
203
240
240
219
204
190
195
225
218
332
252
223
241
195
241
227
213
212
159
225
212
209
118
195
235
180
200
191
206
193
178
203
Der Mittelwert ist x = 215,48 und die Standardabweichung ist s = 33,14.
Berechnen Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für den Kaloriengehalt aller
Hähnchen.
A47)
A48)
Die Produktionsleitung eines Zementwerkes geht davon aus, dass das
Füllgewicht der Zementsäcke für den industriellen Bedarf annähernd
normalverteilt mit m = 50 kg und  = 2 kg ist. Da in letzter Zeit gehäuft
Kundenreklamationen auftraten, soll das Füllgewicht an Hand einer Stichprobe
( n = 10 ) überprüft werden.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das durchschnittliche Füllgewicht der Zementsäcke in der Stichprobe
- bei mindesten 49 kg
- zwischen 49 und 51,5 kg liegt ?
b)
In welchem symmetrischen Bereich um den Mittelwert in der Grundgesamtheit kann das durchschnittliche Füllgewicht der Zementsäcke
in der Stichprobe mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % erwartet werden ?
c)
Berechnen Sie ein 95 % - Konfidenzintervall für m, wenn der Mittelwert in der Stichprobe 51 kg beträgt.
Von 500 zufällig ausgewählten Hausfrauen in Deutschland kannten 400
das Waschmittel „S...“. Berechnen Sie ein 95 %-Vertrauensintervall für
den Bekanntheitsgrad des Waschmittels.
Seite 11
Dr. Grunert
A49)
A50)
Übungsaufgaben
SS 2004
Die Länge von Bratwürsten der Heimatwurst KG gibt immer wieder Anlass zur
Kritik. Kontrollen ergaben, dass die Länge tatsächlich sehr stark schwankt. Genauere
Messungen ergaben für die Länge eine normalverteilte Zufallsgröße mit einem
Mittelwert von 15 cm und einer Varianz von 4cm2 .
a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Länge einer
zufällig entnommenen Bratwurst zwischen 14 cm und 16 cm liegt !
b)
Bestimmen Sie ein 95 % - Konfidenzintervall für die Mindestlänge der
Bratwürste ausgehend von einer Stichprobe mit x =15 cm und n = 100 !
c)
Bestimmen Sie ein 95 % - Konfidenzintervall für die maximale Länge
der Bratwürste ausgehend von einer Stichprobe mit x =15 cm und n = 100 !
d)
Bestimmen Sie ein 95 % - Konfidenzintervall für die Länge der
Bratwürste ausgehend von einer Stichprobe mit x =15 cm und n = 100 !
In einem Kiefernbestand wird die Höhe der Bäume mittels einer Stichprobe
vom Umfang n = 11 gemessen. Folgende Höhen wurden ermittelt ( in cm ):
153, 149, 156, 152, 150, 148, 151, 155, 154, 148, 156.
Es kann davon ausgegangen werden, dass die Höhe normalverteilt ist mit der
der Standardabweichung  = 3 cm.
A51)
a)
Schätzen Sie die tatsächliche Größe der Bäume bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % !
b)
Wieviele Bäume müssen ausgemessen werden, damit bei der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % die Abweichung vom
Mittelwert höchstens 1,5 cm beträgt ?
Der Inhalt von Ampullen sei normalverteilt. Es wurden die folgenden Werte
gemessen :
10,03 ml
a)
b)
10,00 ml
9,99 ml
10,01 ml
9,99 ml
9,98 ml
Man bestimme das Konfidenzintervall für m bei einer statistischen
Sicherheit von 0,95 !
Wie verändert sich das Konfidenzintervall, wenn die statistische
Sicherheit auf 0,99 erhöht wird ? Berechnen Sie das Konfidenzintervall !
Seite 12
Dr. Grunert
A52)
Übungsaufgaben
SS 2004
Ein Kaffeeröster füllt Kaffee in Packungen mit einem Soll - Füllgewicht
von 500 g. Die Abfüllanlage arbeitet mit einer Streuung von s = 1,2 g.
Es werden 40 Packungen zufällig ausgewählt . Bei diesen Packungen
stellt man ein durchschnittliches Füllgewicht von 500,3 g fest.
A53)
a)
Bestimmen Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für das durchschnittliche Füllgewicht in der Grundgesamtheit !
b)
Berechnen Sie die Konfidenz für das mit 500 g nach oben begrenzte
Intervall !
c)
Bestimmen Sie den notwendigen Stichprobenumfang, wenn eine
Genauigkeit von 0,2 g mit einer Konfidenz von 95 % verlangt wird.
Ein Maschinenhersteller wirbt mit der Aussage, dass seine Abfüllanlagen
mit einer Streuung von nur  2 = 1,44 g 2 arbeiten. Das jeweilige Füllgewicht sei
dabei stets normalverteilt.
Nach der Installation einer solchen Anlage in der Zuckerfabrik „ Süße Tüte “
wurden aus der Testproduktion Zuckertüten entnommen und das Füllgewicht
gemessen.
Folgende Ergebnisse wurden aufgezeichnet :
101,67g
98,59g
101,65g
99,44g
98,71g
a)
b)
A54)
98,68g
101,33g
101,58g
99,34g
98,72g
101,66g
101,48g
98,60g
101,38g
101,33g
101,81g
99,38g
98,91g
98,60g
101,77g
99,65g
Ermitteln Sie das 90 %- Konfidenzintervall für die Varianz !
Ermitteln Sie das nach unten begrenzte 90 % -Konfidenzintervall
für die Varianz !
Die Molkerei Alpmilch soll einer Lebensmittelkette insgesamt 40000 Liter Milch in
Flaschen zu je 1.000 ml liefern. Dieser Füllinhalt sei annähernd normalverteilt.
Eine Stichprobe im Umfang von 20 Flaschen aus der ersten Lieferung ergab einen
durchschnittlichen Füllinhalt von 1000,88 ml bei einer Standardabweichung von
3,5 ml.
a)
b)
A55)
101,76g
101,00g
100,97g
99,14g
Bestimmen Sie das 95 %-Konfidenzintervall für den durchschnittlichen
Füllinhalt der Milchflaschen.
Berechnen Sie die Konfidenz für das mit 1.000 ml nach unten begrenzte
Intervall !
Von den 435 zur Präferenz von Parteien befragten Männer äußerten 144 eine
Präferenz für die CDU/CSU. Unter den 496 befragten Frauen waren es 200,
die eine Präferenz für die CDU/CSU zeigten. Bestimmen Sie ein 95 % -Konfidenzintervall für die Präferenz für die CDU/CSU bei Männern bzw. Frauen.
Seite 13
Dr. Grunert
c)
Übungsaufgaben
SS 2004
Testverfahren
Z - Test
A56)
Bei der Produktion von Bleistiften werden zur Qualitätskontrolle stündlich
unabhängig voneinander Stichproben entnommen, um den Produktionsprozess
unter Kontrolle zu halten. Die Bleistiftlänge sei normalverteilt.
Von folgenden drei Stichproben liegen Ihnen die Werte vor
(9.00 Uhr)
(13.00 Uhr)
(19.00 Uhr)
9,91; 10,00; 10,05; 10,10; 10,01
10,18; 9,97; 10,00; 10,05; 10,06
9,80; 9,80; 9,92; 10,03; 9,80
Bei welcher der Stichproben müssten Sie in die Produktion eingreifen,
wenn ein Sollwert von 10 cm eingehalten werden soll und von einer Standardabweichung  = 0,1 cm ausgegangen werden kann (a = 0,05) ?
A57)
Der Hersteller von Abfüllanlagen für Zuckertüten gibt an, dass die Füllgewichte
technologisch bedingt annähernd normalverteilt seien mit einer Standardabweichung
von  = 15 g.
Eine Verbraucherorganisation will prüfen, ob diese Toleranz dazu führen kann, dass
permanent wenigerZucker als die vorgeschriebenen 1000 g abgefüllt werden.
Dazu entnimmt man der laufenden Produktion 20 Zuckertüten. Es ergab sich
ein mittleres Füllgewicht von 993,5 g. Wie lautet das Ergebnis der Überprüfung (a = 0,05) ?
A58)
Streichholzschachteln der Millenium -Premium - Marke „Kokelfix“ sollen (bei
normalverteiltem Inhalt) 50 Streichhölzer je Schachtel enthalten. Die
Verbraucherzeitschrift TEST kommentiert in ihrer Ausgabe 12/99 einen
Leserbrief, in dem mitgeteilt wurde, dass eine Zählung von 40 Schachteln
einen Fehlbestand von 132 Streichhölzern ergeben hatte.
Fast entschuldigend heißt es u.a. in der Zeitung : „ Und dass 40 Schachteln
genug seien, um statistisch signifikante Abweichungen auszurechnen, kann
bezweifelt werden“.
Würden Sie sich dieser Ansicht der Zeitschrift anschließen, wenn sie sogar
noch eine Standardabweichung von  = 3 Streichhölzer/ Schachtel akzeptieren könnten (a = 0,05) ?
Seite 14
Dr. Grunert
Übungsaufgaben
SS 2004
T- Test, Doppelter T-Test
A59)
Der Inhalt von Milchpackungen ist technologisch bedingt annähernd normalverteilt.
Er soll 500 ml betragen.
Eine Stichprobe von 10 Packungen ergab einen durchschnittlichen
Inhalt von 493 ml bei einer Standardabweichung von 10 ml.
Es ist mit einem Signifikanzniveau von 5% zu prüfen, ob der angegebene
Sollinhalt eingehalten wird.
A60) Die täglich in ein Klärbecken zu- und abfließenden Abwässer seien normalverteilt. An 20 Tagen wurde ein durchschnittlicher Zufluß von 146 m 3 bei einer
empirischen Standardabweichung von 2,3 m 3, sowie ein durchschnittlicher Abfluss
von 138 m3 bei einer empirischen Standardabweichung von 2,1 m3 gemessen.
Kann die Annahme, dass Zufluss und Abfluss im Durchschnitt gleich sind bei einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von a = 0,05 aufrechterhalten werden ?
A61)
Zum Vergleich der Wachstumsbedingungen wurden in zwei Teilbeständen
jeweils 50 zufällig ausgewählte Kiefern gemessen. Im ersten Teilbestand ergab sich
aus der Stichprobe ein Mittelwert von 2,1 m bei einer empirischen Standardabweichung von 0,10 m; im zweiten Teilbestand ein Mittelwert von 2,15 m bei einer
empirischen Standardabweichung von 0,12 m.
Die Standardabweichungen der Grundgesamtheiten können als gleich angenommen
werden.
Testen Sie zur Irrtumswahrscheinlichkeit a = 0,05, ob die Durchschnittsgrößen in
beiden Teilbeständen als gleich angesehen werden können !
A62)
Beim Schneiden von Stahlstäben sei der vorgegebene Sollwert 150 cm. Die Länge
der Stahlstäbe sei normalverteilt.
Eine Stichprobe von n = 9 ergab eine Durchschnittslänge von 154 cm bei einer
Standardabweichung von 4 cm.
a)
b)
c)
Ist diese Abweichung nur zufällig ( a = 0,01 ) ?
Wäre die Entscheidung unter a) dieselbe gewesen bei a = 0,05 ?
Wie lautet die Entscheidung von a), wenn bekannt ist, dass
die Standardabweichung  = 4 cm beträgt ?
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Dr. Grunert
Übungsaufgaben
SS 2004
Chi-Quadrat-Test für die Varianz
A63)
Bolzen werden mit einem Solldurchmesser von 10 mm gefertigt. Bei der
Produktion der Nullserie hatte sich eine Standardabweichung von  = 0,1
ergeben, die als ausreichend angesehen wird.
Während der laufenden Qualitätskontrolle soll auch die Einhaltung der
Streuung mit einer statistischen Sicherheit von 95% überprüft werden.
Bei einer Stichprobe von n = 8 wurde eine Standardabweichung von s = 0,135
festgestellt. Ist die Vermutung richtig, dass die tatsächliche Standardabweichung größer als 0,1 ist ?
Test für Anteilswerte
A64)
Die Werbewirksamkeit von Anzeigen wird u.a. daran gemessen, welcher
Anteil der Leser einer Zeitung die Anzeigen liest. Eine Lokalzeitung ging bisher
immer von einem Anteil von 55 % aus. Nach einer Neuplazierung der Anzeigen
bejahen 65 von 100 befragten Lesern die Frage, ob sie die Anzeige gelesen haben.
Kann man daraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % schließen, dass sich
der Anteil der Leser, der die Anzeigen liest, signifikant erhöht hat ?
A65)
Langfristige Untersuchungen bei Studienanfängern einer FH ergaben bei 80%
der Studenten Probleme bei mathematischen Grundlagen. Nach der Absolvierung eines „Brückenkurses Mathematik“ gaben noch 120 von 200 ernsthafte Probleme zu. Kann man mit 95% Sicherheit schließen, dass sich der
Anteil der Studenten mit Problemen bei mathematischen Grundlagen signifikant verringert hat ?
Nichtparametrische Testverfahren
A66)
Eine Untersuchung der Größe von Altbau- Wohnungen in verschiedenen
Landkreisen im Norden bzw. Süden Sachsen-Anhalts ergab folgende
Werte ( in m²)
Gruppe Nord :
61,9
84,7
73,9
63,2
56,3
94,1
72,3
Gruppe Süd:
56,4
73,0
102,4 65,5
68,6 62,0
54,6
62,5
63,5
68,1
Im Durchschnitt ergab sich eine Wohnungsgröße im Norden von 72,34 m²
und im Süden von 67,66 m². Sind die Wohnungen im Norden nur zufällig
durchschnittlich größer als die Wohnungen im Süden ( a = 0,05 ) ?
Es kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Wohnungsgrößen auch nur
annähernd normalverteilt sind.
Seite 16
Dr. Grunert
A67)
Übungsaufgaben
SS 2004
Ein Forscherteam untersucht die Fragestellung, ob bei Ehepaaren davon ausgegangen werden kann, dass die Körpergröße der Frauen genau so verteilt
ist wie die Körpergröße ihrer Männer. Folgende Körpergrößen wurden gemessen
(Angaben in cm) :
Ehepaar Männer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
180
159
178
179
168
174
183
180
178
170
163
170
162
168
Frauen
187
158
173
187
171
166
183
176
190
181
165
179
166
165
Kann man davon ausgehen, dass zu einem großen/ kleinen Mann auch
eine entsprechend große/ kleine Frau gehört ( a = 0,05 ) ?
Die Körpergrößen sind nicht normalverteilt !
Seite 17
Dr. Grunert
Tabelle 7:
kl
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
80
100
200
1
161,4
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
4,23
4,21
4,20
4,18
4,17
4,08
4,03
4,00
3,96
3,94
3,89
Übungsaufgaben
SS 2004
Quantile der F-Verteilung (1 - a = 0,95)
2
3
4
5
6
7
8
9
15
20
30
199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 245,9 248,0 250,1
19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,43 19,45 19,46
9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,70 8,66 8,62
6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,86 5,80 5,75
5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,62 4,56 4,50
5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 3,94 3,87 3,81
4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,51 3,44 3,38
4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,22 3,15 3,08
4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,01 2,94 2,86
4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,85 2,77 2,70
3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,72 2,65 2,57
3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,62 2,54 2,47
3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,53 2,46 2,38
3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,46 2,39 2,31
3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,40 2,33 2,25
3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,35 2,28 2,19
3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,31 2,23 2,15
3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,27 2,19 2,11
3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,23 2,16 2,07
3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,20 2,12 2,04
3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,18 2,10 2,01
3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,15 2,07 1,98
3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,13 2,05 1,96
3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,11 2,03 1,94
3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,09 2,01 1,92
3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,07 1,99 1,90
3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,06 1,97 1,88
3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,04 1,96 1,87
3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,03 1,94 1,85
3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,01 1,93 1,84
3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 1,92 1,84 1,74
3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 1,87 1,78 1,69
3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,84 1,75 1,65
3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,13 2,06 2,00 1,79 1,70 1,60
3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,77 1,68 1,57
3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 1,72 1,62 1,52
Seite 18
Dr. Grunert
Übungsaufgaben
SS 2004
Seite 19
Dr. Grunert
Übungsaufgaben
Tabelle:
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,00
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
3,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
0,02
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,03
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,04
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,05
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
SS 2004
0,06
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,07
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,08
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,09
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
Seite 20
Dr. Grunert
Übungsaufgaben
SS 2004
Tabelle: t - Verteilung
c
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
ì
a für einseitige Fragestellungc
0,25 0,125 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005
a für zweiseitige Fragestellung
0,50 0,25 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001
1,00 2,41 6,31 12,71 31,82 63,7 318,3 636,6
0,816 1,60 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33
31,6
0,765 1,42 2,35 3,18 4,54 5,84 10,21
12,9
0,741 1,34 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17
8,61
0,727 1,30 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89
6,87
0,718 1,27 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21
5,96
0,711 1,25 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79
5,41
0,706 1,24 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50
5,04
0,703 1,23 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30
4,78
0,700 1,22 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14
4,59
0,697 1,21 1,80 2,20 2,72 3,11 4,03
4,44
0,695 1,21 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93
4,32
0,694 1,20 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85
4,22
0,692 1,20 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79
4,14
0,691 1,20 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73
4,07
0,690 1,19 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69
4,01
0,689 1,19 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65
3,96
0,688 1,19 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61
3,92
0,688 1,19 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58
3,88
0,687 1,18 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55
3,85
0,686 1,18 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53
3,82
0,686 1,18 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51
3,79
0,685 1,18 1,71 2,07 2,50 2,81 3,49
3,77
0,685 1,18 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47
3,74
0,684 1,18 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45
3,72
0,684 1,18 1,71 2,06 2,48 2,78 3,44
3,71
0,684 1,18 1,70 2,05 2,47 2,77 3,42
3,69
0,683 1,17 1,70 2,05 2,47 2,76 3,41
3,67
0,683 1,17 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40
3,66
0,683 1,17 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39
3,65
0,681 1,17 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31
3,55
0,679 1,16 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23
3,46
0,677 1,16 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17
3,37
0,674 1,15 1,64 1,96 2,33 2,58 3,09
3,29
Seite 21
Dr. Grunert
Übungsaufgaben
SS 2004
Kritische Werte für den U- Test
N1
N2
2
2
3
4
5
6
-
-
-
-
3
-
-
-
4
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-
5
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7
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8
0
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0
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1
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36
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0
15
1
17
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2
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4
32
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12
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-
-
1
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2
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22 25
3
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5
6
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6
8
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8 10
40 46
10 12
44 51
11 14
49 56
13 16
53 61
14 18
58 66
16 20
62 71
17 22
67 76
19 24
71 81
24 26
75 86
22 28
80 91
24 30
84 96
25 32
89 101
27 34
93 106
8
9
0
16
2
22
4
28
6
34
8
40
10
46
13
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15
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17
63
19
69
22
74
24
80
26
86
29
91
31
97
34
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36
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38
114
41
119
0
18
2
25
4
32
7
38
10
44
12
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15
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17
64
20
70
23
76
26
82
28
89
31
95
34
101
37
107
39
114
42
120
45
126
48
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10
0
20
3
27
5
35
8
42
11
49
14
56
17
63
20
70
23
77
26
84
29
91
33
97
36
104
39
111
42
118
45
125
48
132
52
138
55
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0
22
3
30
6
38
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13
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16
61
19
69
23
76
26
84
30
91
33
99
37
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40
114
44
121
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129
51
136
55
143
58
151
62
158
12
1
23
4
32
7
41
11
.49
14
58
18
66
22
74
26
82
29
91
33
99
37
107
41
115
45
123
49
131
53
139
57
147
61
155
65
163
69
171
13
1
25
4
35
8
44
12
53
16
62
20
71
24
80
28
89
33
97
37
106
41
115
45
124
50
132
54
141
59
149
63
158
67
167
72
175
76
184
14
1
27
5
37
9
47
13
57
17
67
22
76
26
86
31
95
36
104
40
114
45
123
50
132
55
141
59
151
64
160
67
171
74
178
78
188
83
197
15
1
29
5
40
10
50
14
61
19
71
24
81
29
91
34
101
39
111
44
121
49
131
54
141
59
151
64
161
70
170
75
180
80
190
85
200
90
210
16
1
31
6
42
11
53
15
65
21
75
26
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31
97
37
107
42
118
47
129
53
139
59
149
64
160
70
170
75
181
81
191
86
202
92
212
98
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17
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32
6
45
11
57
17
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80
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91
34
102
39
114
45
125
51
136
57
147
63
158
67
171
75
180
81
191
87
202
93
213
99
224
105
235
18
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7
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12
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18
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36
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120
48
132
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61
155
67
167
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178
80
190
86
202
93
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99
225
106
236
112
248
19
2
36
7
50
13
63
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76
25
89
32
101
38
111
45
126
52
138
58
151
65
163
72
175
78
188
85
200
92
212
99
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106
236
113
248
119
261
20
2
38
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52
13
67
20
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27
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34
106
41
119
48
132
55
145
62
158
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171
76
184
83
197
90
210
98
222
105
235
112
248
119
261
127
273
Jede durch die Stichprobenumfänge der einen Stichprobe ("n,") sowie der anderen Stichprobe ("n2")
gekennzeichnete Tabellenposition enthält den unteren kritischen Wert. Der zugehörige obere kritische
Wert ist unmittelbar darunter angegeben.
Z.B. legt das offene Intervall "(22;74)" den Akzeptanzbereich für den Fall «n1 = 12, n2 = 8" fest, so daß
Testwerte, die kleiner oder gleich "22" bzw. größer oder gleich „74“ sind, auf ein signifikantes Ergebnis
hinweisen.
Seite 22
Dr. Grunert
Übungsaufgaben
SS 2004
Kritische Werte für den Wilcoxon-Test
kritische Werte bei einem einseitigen Wilcoxon-Test
Testniveau:
0,05
0,025
0,01
kritische Werte bei einem zweiseitigen Wilcoxon-Test
Testniveau:
0,10
0,05
0,02
n:
5
0
6
2
0
7
3
2
0
8
5
3
1
9
8
5
3
10
10
8
5
11
13
10
7
12
17
13
9
13
21
17
12
14
25
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15
15
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19
16
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17
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34
27
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37
20
60
52
43
21
67
58
49
22
75
65
55
23
83
73
62
24
91
81
69
25
100
89
76
26
110
98
84
27
119
107
92
28
130
116
101
29
140
126
110
30
151
137
120
31
163
147
130
32
175
159
140
33
187
170
151
34
200
182
162
35
213
195
173
36
227
208
185
37
241
221
198
38
256
235
211
39
271
249
224
40
286
264
238
Jede durch den Stichprobenumfang ("n") gekennzeichnete Tabellenzeile enthält den kritischen
Wert für einen Wilcoxon-Test.
Z.B. ist für den Fall "n = 16" bei einem Testniveau von "a = 0, 05" ("5%") der kritische Wert für
einen zweiseitigen Wilcoxon-Test durch den Wert "29" festgelegt, so daß ein Testwert, der kleiner
oder gleich "29" ist, als signifikantes Ergebnis angesehen wird. Wird in dieser Situation ein
einseitiger Wilcoxon-Test durchgeführt, so bestimmt sich der kritische Wert zu "35".
Seite 23
Dr. Grunert
Übungsaufgaben
SS 2004
Literaturempfehlungen
/1/
Voß, W. (Herausgeber)
Taschenbuch der Statistik
Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, 2000
/2/
Büttner, R.
Scriptenreihe Statistik, Teil 4:
Stichprobenuntersuchungen, Statistische Testverfahren
Bernburg, 1992
/3/
Bourier, G.
Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik
Gabler Verlag, 1999
/4/
Fahrmeir, Künstler,
Pigeot, Tutz
Statistik
Springer Verlag Berlin, Heidelberg New York, 1999
/5/
Dürr,W., Mayer, H.
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schließende Statistik
Carl Hanser Verlag München Wien, 1992
/6/
Erhard, Fischbach,
Weiler, Kehrle
Praktisches Lehrbuch Statistik
verlag moderne industrie, 1992
/7/
Bosch, K.
Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH
Braunschweig/ Wiesbaden, 1995
/8/
Bleymüller, J.
Gehlert, G.
Gülicher, H.
Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
WiST Studienkurs
Verlag Vahlen 2001
/9/
In der Bibliothek kann eine Software „Teach Me Datenanalyse“ ausgeliehen werden,
die für das Selbststudium empfehlenswert ist. Außerdem empfehlenswert ist von
den Autoren Sauerbier/ Voß die „Kleine Formelsammlung Statistik mit Mathcad8“,
aus dem Fachbuchverlag Leipzig; ebenfalls eine Software, die leicht zu handhaben
ist und viele Beispiele bereitstellt (Ist leider nicht in der Bibliothek vorhanden).
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