Korrekturen des Skripts
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Laboratory for Electromagnetic Fields and Microwave Electronics (IFH) Einführung in die elektronische Schaltungs- und Übertragungstechnik korrigierte Beispiele und Aufgaben Prof. Dr. R. Vahldieck Prof. Dr. Chr. Hafner 1. Auflage Einführung in die elektronische Schaltungs- und Übertragungstechnik korrigierte Beispiele und Aufgaben c 2008 Institut für Feldtheorie und Höchstfrequenztechnik, ETH Zürich ° Einführung in die elektronische Schaltungs- und Übertragungstechnik korrigierte Beispiele und Aufgaben Prof. Dr. R. Vahldieck, Prof. Dr. Chr. Hafner 1. Auflage Alle Rechte vorbehalten. Editor: Christian Beyer Koautoren: Sonja Huclova, Jan Paska, Patrick Leidenberger, Oliver Lauer, Thomas Kaufmann, Naceur Karoui, Johannes Hoffmann, Christian Beyer Assistenz: Georgios Almpanis, Arya Fallahi, Matthew Mishrikey Bilder: Stefan Käch C \ Titelbild: Graffiti an der Wand zum Elisabethmarkt in München, gesprayt vom Münchner CC Künstler Markus Müller aka WON, von der Künstlergruppe ABC, ° Creative Com$ BY: ° °. mons, ° Dieses Skript befindet sich ständig im Stadium der Weiterentwicklung und Überarbeitung. Sollten Sie auf Fehler aufmerksam werden oder Verbesserungsvorschläge machen wollen, melden Sie sich bitte bei einem der Assistenten oder schreiben Sie an [email protected]. i Symbolverzeichnis und Notationen Allgemein gilt für die Notation von physikalischen Grössen, dass kleine Buchstaben zeitlich veränderliche Grössen darstellen, wohingegen grosse Buchstaben zeitlich Invariante bezeichnen. mathematische Notation Zahlen und Mengen a a = b + jc = |a|ejφa φa √ j = −1 b = Re(a) c = Im(a) realer Skalar komplexer Skalar Argument / Phasenwinkel komplexe Einheit Realteil eines komplexen Skalars Imaginärteil eines komplexen Skalars A a∈A N R C Menge bestehend aus beliebigen Elementen a ist eine Element aus der Menge A Menge der natürlichen Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der komplexen Zahlen c=a±b c=a·b=a×b Summe / Differenz zweier Zahlen Produkt zweier Faktoren Vektoren ~a ~a = ~b + j~c x̂, ŷ, ẑ ρ̂, ϕ̂, ẑ r̂, ϕ̂, ϑ̂ aϕ = ~a · ϕ̂ realer Vektor komplexer Vektor kartesischer Einheitsvektoren zylindrische Einheitsvektoren spärische Einheitsvektoren skalarer Vektoranteil c = ~a · ~b ~c = ~a × ~b c =< ~a, ~b >Ω Skalarprodukt zweier Vektoren Kreuzprodukt zweier Vektoren inneres Skalarprodukt zweier Vektoren im Raum Ω ii ii SYMBOLVERZEICHNIS iii Matrizen [A] Amn [A]T Matrize Element mn der Matrize [A] transponierte Matrix Operatoren und spezielle Funktionen F L Θ(x) Fouriertransformation Laplacetransformation Heavisidefunktion allgemeine physikalische Grössen Weg und Zeit ~s λ Wegvektor Wellenlänge t T f ω = 2πf Zeit Periodendauer Frequenz Kreisfrequenz ~ν ~a Geschwindigkeitsvektor Beschleunigungsvektor A a = a(t)  zeitlich unveränderliche Grösse zeitlich veränderliche Grösse Amplitude einer zeitlich veränderliche Grösse Masse, Leistung, Energie m Masse F~ P W Kraftvektor Leistung Arbeit, Energie Ai Ar At einfallende / hinführende Grösse reflektierte Grösse transmittierte Grösse iii SYMBOLVERZEICHNIS iv elektrische Feldgrössen ~e ~d ~h ~b ~j ~s ε ε0 µ µ0 σ % ρ Q η ~k elektrische Feldstärke dielekterische Verschiebungsstromdichte magnetische Feldstärke magnetische Induktion elektrische Stromdichte Leistungsdichte (Pointing Vektor) elektrische Permittivität elektrische Permittivität im Vakuum magnetische Permeabilität magnetische Permeabilität im Vakuum elektrische Leitfähigkeit spezifischer Widerstand Ladungsdichte Ladung Freiraumwellenimpedanz Wellenvektor Netzwerkgrössen U, u I, i Spannung Strom S P, p Q Scheinleistung Wirkleistung Blindleistung Z = R + jX R X Zl Y = G + jB G B C L % υ komplexer Widerstand (Impedanz) Wirkwiderstand (Resistanz) Blindwiderstand (Reaktanz) Leitungsimpedanz komplexer Leitwert (Admittanz) Wirkleitwert (Konduktanz) Blindleitwert (Suszeptanz) Kapazität Induktivität Güte Verstimmung Antennengrössen C D G Richtcharakteristik Direktivität Gewinn iv 1 Statische Netzwerke Beispiele Versehen wir die zufliessenden Ströme mit einem positiven Vorzeichen, und die abfliessenden Ströme mit einem negativen Vorzeichen, so ergibt sich die Knotengleichnung für den Knoten in Abb. 1.2 zu: Beispiel 1.1 −I1 + I2 − I3 + I4 + I5 = 0 Für die Masche in Abb. 1.4, (Masche wird im Uhrzeigersinn durchlaufen) ergibt sich folgende Maschengleichung: UR4 − U0 + UR1 + UR2 − UR3 = 0 Beispiel 1.2 Berechnen Sie den Leitwert G eines goldenen Drahtstücks mit der Länge l = 10 cm und Querschnitt A = 0.5 cm2 . Gold hat einen spezifischen Widerstand von ρ = 22.14 nΩ m. Beispiel 1.3 Der Leitwert des Drahtstücks ist dann: G= Lösung 1.3 1 A σA = = R ρl l ⇒ G = 22.6 kS Eine standardisierte Glühbirne hat eine Leistung von P = 60 W . Wieviel Geld verschwenden Sie pro Tag, wenn Sie zu Hause drei Glühbirnen brennen lassen? (bei einem Strompreis von 18.15 Rp/kWh) Die elektrische Energie wird wie folgt berechnet: Beispiel 1.4 Lösung 1.4 W =UIt=Pt Dann ist der Energieverbrauch an einem Tag (24 Stunden): Wtot = 60 · 24 = 1.44 kWh Die Kosten sind dann: Kosten = 3 Wtot 18.15 = 78.408 Rp 1 1 1 STATISCHE NETZWERKE 2 Das im nebenstehende Bild dargestellte elektrische Netzwerk besteht aus einer realen Stromquelle mit I0 = 5 A und einem Innenleitwert von Gi = 4.9 S. Diese reale Stromquelle wird belastet mit einen Lastwiderstand RL = 10 Ω. Beispiel 1.5 ¢ a Berechnen Sie den Strom IL und die Spannung UL . ¢ b Skizzieren Sie das elektrische Netzwerk, wenn die Stromquelle in eine Spannungsquelle umgewandelt wird. Berechnen Sie die Spannung U0 , den Innenwiderstand Ri der realen Spannungsquelle, sowie den Strom IL und die Spannung UL am Widerstand RL für diesen Fall. a) Aufstellen der Knotengleichungen: I0 = IG +IL und der MaIG schengleichungen: G = UL = IL RL . Anschliessend ineinander i einsetzten und nach IL umformen: Lösung 1.5 UL I0 =IG + IL = UL Gi + R L ¶ µ 1 I0 =UL Gi + RL I0 UL = = 1V Gi + R1L Somit ergibt sich IL zu: IL = UL RL = 0.1 A b) Die äquivalente Ersatzschaltung zum gegebenen Netzwerk ist nebenstehend abgebildet. Die reale Stromquelle wurde hier durch eine reale Spannungsquelle umgewandelt. Die Spannungsquelle hat eine Spannung von I0 U0 = = 1.02 V Gi und einen Innenwiderstand von Ri = 1 = 0.204 Ω. Gi Der Strom IL und die Spannung UL werden dann wie folgt berechnet: U0 = 0.1 A Ri + RL UL =IL RL = 1 V IL = ¢ Wie erwartet, sind die Werte von IL und UL die gleichen wie in Teilaufgabe a . Berechnen Sie den Ersatzwiderstand des im nebenstehenden Bild dargestellten Netzwerks von Widerständen, wobei R1 = R2 = R3 = 10 Ω, R4 = 20 Ω, R5 = 6 Ω und R6 = R7 = 16 Ω gegeben sind. 2 Beispiel 1.6 1 STATISCHE NETZWERKE 3 Zunächst fassen wir die Reihenschaltung der Widerstände R1 , R2 und R3 zusammen: Lösung 1.6 R123 = R1 + R2 + R3 = 30 Ω In einem nächsten Schritt nehmen wir noch den parallel geschalteten Widerstand R4 dazu: R1234 = R123 || R4 = R123 R4 = 12 Ω R123 + R4 Der gesamte Widerstand des oberen Zweiges ist dann die Reihenschaltung des zuvor berechneten Widerstandes mit R5 : R12345 = R1234 + R5 = 18 Ω Der Gesamtwiderstand des unteren Zweiges ist: R67 = R6 + R7 = 32 Ω Den gesuchten Ersatzwiderstand finden wir nun, wenn wir die Gesamtwiderstände des oberen und unteren Zweiges parallelschalten: Rtot = R12345 || R67 = R12345 R67 = 11.52 Ω R12345 + R67 Das Prinzip des Überlagerungssatzes soll anhand der nebenstehenden Schaltung einmal exemplarisch verdeutlicht werden. Gesucht ist der Strom I4 sowie die Spannung U4 an dem Widerstand R4 . Die Widerstände seien gegeben mit R1 = 10 Ω, R2 = 14 Ω, R3 = 100 Ω, R4 = 5 Ω und R5 = 18 Ω die Leerlaufspannung der Spannungsquellen seien U01 = 1 V und U02 = 2 V , der Kurzschlussstrom der Stromquelle sei I03 = 3 A. Beispiel 1.7 Lösung 1.7 3 1 STATISCHE NETZWERKE 4 Der Strom und die Spannung I4 und U4 lassen sich in drei Schritten berechnen. 1. Im ersten Schritt betrachten wir die erste Spannungsquelle U01 . Dazu schliessen wir die zweite Spannungsquelle kurz und trennen die Schaltung bei der Stromquelle auf. Das ergibt den Teilstrom I41 (siehe linke Abbildung). Stellen wir zunächst die Maschengleichung der Maschen auf, in der sich die Spannungsquelle befindet: 0 = −U01 + R1 I11 + R4 I41 umformen nach I41 ergibt: I41 = U01 − R1 I11 R4 Um für I41 auflösen zu können müssen wir nur den Strom I11 finden: U01 = I11 = R1 + R4 ||(R2 ||R5 + R3 ) à Somit ergibt sich für den Teilstrom I41 : R2 R4 R5 + R3 R4 (R2 + R5 ) R1 + R2 R5 + (R3 + R4 )(R2 + R5 ) !−1 · U01 = 67.7 mA I41 = 64.7 mA 2. Im zweiten Schritt betrachten wir die zweite Spannungsquelle U02 . Dazu schliessen wir die erste Spannungsquelle kurz und trennen die Schaltung bei der Stromquelle auf. Das ergibt den Teilstrom I42 (siehe obere rechte Abbildung). Den Teilstrom I42 finden wir mit der Stromteilerregel, wenn wir den Teilstrom I62 kennen. Den Teilstrom I62 finden wir wieder mit der Stromteilerregel, wenn wir den Teilstrom I22 kennen. Der Teilstrom I22 findet sich zu: I22 U02 = = R2 + R5 ||(R1 ||R4 + R3 ) à R1 R4 R5 + R3 R5 (R1 + R4 ) R2 + R1 R4 + (R1 + R4 )(R3 + R5 ) !−1 · U02 = 68.2 mA Der Teilstrom I62 lässt sich dann mit der Stromteilerregel berechnen: I62 = R5 ||(R1 ||R4 + R3 ) 2 R5 (R1 + R4 ) · I2 = · I 2 = 10.1 mA R1 ||R4 + R3 R1 R4 + (R1 + R4 )(R3 + R5 ) 2 Und schliesslich finden wir den Teilstrom I42 , wiederrum mit der Stromteilerregel: I42 = R1 ||R4 2 R1 · I6 = · I 2 = 6.7 mA R1 R1 + R4 6 3. Jetzt betrachten wir die Stromquelle und schliessen die Schaltung bei den beiden Spannungsquellen kurz (siehe untere rechte Abbildung). Hier wählen wir wieder das gleiche Vorgehen wie bei Teilschritt ii. Zunächst berechnen wir mit der Stromteilerregel den Teilstrom I63 . I63 = R3 ||(R2 ||R5 + R1 ||R4 ) R3 (R2 + R5 )(R1 + R4 ) · I03 = · I03 R2 ||R5 + R1 ||R4 R1 R4 (R2 + R5 ) + R2 R5 (R1 + R4 ) + R3 (R2 + R5 )(R1 + R4 ) und ergibt sich zu I63 = 2.6976 A. Dann können wir den Teilstrom I43 wieder mit der Stromteilerregel 4 1 STATISCHE NETZWERKE finden: I43 = 5 R1 ||R4 3 R1 · I6 = · I 3 = 1.7984 A R4 R1 + R4 6 Somit haben wir alle Teilströme zusammen, den Gesamtstrom I4 ist einfach die Summe der Teilströme I4i . 3 X I4 = I4i = 1.8698 A i=1 Und die Gesamtspannung U4 berechnet sich zu: U4 = R4 · I4 = 9.3492, V Berechnen Sie die Thevenin-Ersatzschaltung für die abgebildeten Schaltung bezüglich der Anschlussklemmen. Die Widerstände haben die Werte R1 = 20 Ω, R2 = 80 Ω, R3 = 16 Ω und die Spannungsquelle liefert eine Leerlaufspannung von U0 = 20 V . Beispiel 1.8 Berechnen wir zunächst die Leerlaufspannung Uth , dabei kann der Widerstand R3 vernachlässigt werden, da durch diesen kein Strom fliesst. Wir erhalten mit der Spannungsteilerregel die Leerlaufspannung der Thevenin-Ersatzschaltung: Uth = R2 · U0 = 16 V R1 + R2 Nun berechnen wir den Innenwiderstand Rth der TheveninErsatzquelle, indem wir dazu die Spannungsquelle durch einen Kurzschluss ersetzen. Der Widerstand bezüglich der Klemme ergibt sich dann zu: Rth = R3 + R1 ||R2 = R3 · R1 · R2 = 32 Ω R1 + R2 Berechnen Sie mit Hilfe des Maschenstromverfahrens die Zweigstrom I4 aus dem Netzwerk in Beispiel 1.7 auf S. 3 mit den gegebenen Werten. 5 Lösung 1.8 Beispiel 1.9 1 STATISCHE NETZWERKE 6 Zunächst muss die Stromquelle in dem Netzwerk in eine Spannungsquelle umgewandelt werden (siehe Abschnitt 1.2.2). Der Innenwiderstand der neuen Spannungsquelle ist R3 die Leerlaufspannung ist U03 = R3 · I03 . Die umgewandelte Schaltung ist in nebenstehenden Abb. dargestellt. Jetzt kann man die Matrixgleichung aufstellen, wie oben beschrieben. So erhält man für die Masche 1 des Netzwerkes den Widerstand R11 der Widerstandsmatrix zu R11 = R1 + R4 , da die Masche durch die Widerstände R1 und R4 bestimmt ist. Die Elemente ausserhalb der Matrizendiagonalen, z.B. R23 , werden durch die gemeinsamen Widerstände der Maschen, in diesem Fall 2 und 3, und bezüglich des Maschenumlaufsinns bestimmt. So ergibt sich der Widerstand R23 zu R23 = +R5 , da beide Maschen einen entgegengesetzten Umlaufsinn besitzen. Mit diesem Algorithmus lässt sich nun die gesamte Widerstandsmatrix bestimmen. Die Maschenspannungen ergeben sich durch die orientierte Summe der einzelnen Spannungsquellen einer Masche. Zum Beispiel für die Masche 2 resultiert der Quellspannungvektors Uq2 zu Uq2 = U02 , da der Umlaufsinn der Masche entgegengesetzt der Spannung verläuft (positiv). Für die Masche 1 gilt entsprechend Uq1 = −U01 , da die Masche in gleiche Richtung wie die Spannungsquelle orientiert ist. Im Ergebnis folgt: R1 + R4 0 R4 IM 1 −U01 · IM 2 = U02 0 R2 + R5 +R5 R4 +R5 R3 + R4 + R5 IM 3 −U03 Lösung 1.9 Dieses Gleichungssystem kann nun sehr einfach numerisch gelöst werden. Und wir erhalten für den Zweigstrom I4 : I4 = −IM 1 − IM 3 = −0.8349 A − (−2.7048 A) = 1.8698 A Wie erwartet erhalten wir die gleichen Lösung für den Strom I4 wie im Beispiel in Abschnitt 1.3.1. Errata: Vorzeichen korrigiert. Berechnen Sie mit Hilfe der Knotenpotentialverfahrens die Zweigspannung U4 aus dem Netzwerk in Beispiel 1.7 auf S. 3 mit den gegebenen Werten. 6 Beispiel 1.10 1 STATISCHE NETZWERKE 7 Zunächst müssen alle Spannungsquellen im Netzwerk in Stromquellen umgewandelt werden. Das umgewandelte Netzwerk ist in nebenstehenden Abb. gezeigt. Der Innenleitwert der ersten Stromquelle ist R11 der Kurzschlussstrom ist I01 = UR011 , der Innenleitwert der zweiten umgewandelten Stromquelle ist R12 der Kurzschlussstrom ist I02 = U02 R2 . Nun kann die Matrixgleichung aufgestellt werden. Für die Hauptdiagonale der Leitwertmatrix ist z. B. der Leitwert G22 durch den Knoten 2 definert. Es laufen insgesamt drei Zweige mit entsprechenden Widerständen auf Knoten 2 zu, sodass folgt: G22 = 1/R2 + 1/R3 + 1/R5 . Die Matrixelemente ausserhalb der Diagonalen sind definiert über die Leitwerte zwischen den einzelnen Knoten. So ergibt sich der Leitwert G12 für die Knoten 1 und 2 des Netzwerkes zu G12 = −(1/R2 + 1/R5 ) , da die Widerstände parallel geschaltet sind. Entsprechend diesem Algorithmus lässt sich nun die Leitwertmatrix vervollständigen. Ferner müssen nun die Elemente des Quellenstromvektors entsprechend der Orientierung der einzelnen Quellen bestimmt werden. Der Quellenstromvektor Iq2 ergibt sich zu Iq2 = −I02 + I03 , da I02 weg vom und I03 zum Knoten 2 fliessen. Somit folgt insgesamt: µ 1 ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 UK1 I01 + I02 R1 + R2 + R4 + R5 −( R2 + R5 ) · = 1 1 1 UK2 −I02 + I03 −( R12 + R15 ) R2 + R3 + R5 Nun kann für die Zweigspannung U4 aufgelöst werden: U4 = UK1 = 9.3492 V Und wieder stimmt die Lösung mit den vorherigen Verfahren überein. Für das gegebene Beispielnetzwerk ist das Knotenpotentialverfahren günstiger, da wir nur eine zweidimensionale Matrixgleichung lösen müssen, während beim Maschenstromverfahren eine dreidimensionale Matrixgleichung gelöst werden muss. Das Knotenpotentialverfahren ist jedoch nicht allgemein einfacher, in anderen Netzwerken kann das Maschenstromverfahren günstiger sein. 7 Lösung 1.10 1 STATISCHE NETZWERKE 8 Übungsaufgaben Aufgabe 1.1 Zwei Zweipole A und B sind untereinander verbunden (siehe nebenstehende Zeichnung). Die Richtung des Stromes und die Polarität der Spannung sind angegeben. Geben Sie an, ob für die folgenden Werte für Spannung und Strom die Leistung von A nach B oder umgekehrt fliesst: a) I = 15 A, U = 20 V b) I = −5 A, U = 100 V c) I = 4 A, U = −50 V d) I = −16 A, U = −25 V Lösung: a) 300 W von A nach B, b) 500 W von B nach A, c) 200 W von B nach A, d) 400 W von A nach B Aufgabe 1.2 Finden Sie die Spannung U an den Klemmen der abgebildeten Schaltung zum 8 Ω Widerstand. Benutzen Sie das Prinzip der Quellenumwandlung. Lösung: U = 48 V Aufgabe 1.3 Berechnen Sie den Gesamtwiderstand zwischen den beiden Klemmen der Schaltungen mit R = 4 Ω. Lösung: a) Rtot = 164 b) Rtot = 372 15 = 10.93 Ω 104 = 3.58 Ω Errata: Widerstand spezifiziert. 8 Übungsaufgaben 1 STATISCHE NETZWERKE Aufgabe 1.4 Gegeben sei die nebenstehende Schaltung mit den Widerstände R1 bis R5 . Welche Klemmenspannung U liegt an der Schaltung, wenn am Widerstand R3 der Spannungsabfall U3 gemessen wird? (Hinweis: benutzen Sie die Spannungsteilerregel) 1 +R4 )+R2 R3 Lösung: U = U3 (R2 +R3 )(R R2 R3 Aufgabe 1.5 Geben Sie die Ersatzschaltungen nach Thévenin und nach Norton für das nebenstehende Netzwerkes bezüglich der Klemmen AB an. Lösung: Thévenin: U0 = 10 V , Ri = 5 Ω, Norton: I0 = 2 A, Ri = 5 Ω Aufgabe 1.6 Bestimmen Sie die Ströme I1 , I2 und I3 des nebenstehenden Netzwerkes mit Hilfe: a) der Knotenpotentialanalyse, b) der Maschenstromanalyse, c) des Superpositionsprinzips. Lösung: I1 = −1.31 A, I2 = 3.17 A, I3 = 10.45 A 9 9 1 STATISCHE NETZWERKE 10 Aufgabe 1.7 Eine Strassenbahn, die dauernd einen Strom I = 50 A aus der Fahrleitung bezieht, fährt zwischen den Speisepunkten A und B (Abstand d = 2 km), an welchen eine feste Spannung von U0 = 500 V liegt. Der Querschnitt des kupfernen Fahrdrahtes ( ρ = 0.0175 · 10−6 Ωm) beträgt 100mm2 ; der Widerstand der Schienen sei vernachlässigbar. Berechne in Funktion der Strecke a (a in m), die Ströme i1 und i2 in der Fahrleitung und die Spannung bei C. Anmerkungen: • Denke, was ist die Bedeutung einer Stromquelle? • Zwei Spannungsquellen mit genau die gleiche Spannung (und nur dann!) dürfen parallel geschaltet werden, und dann zu einer einzigen Quelle zusammengefasst werden. Lösung: Uc = U0 − I · (RAC ||RBC ) = U0 − I · ||RBC i1 = I · RAC = I · d−a = 50 − a[m] RAC d 40 [A] a d−a ρ A und RBC = ρ A ρa(d−a) Ad = 500 − 4.375 · 10−6 (2000 − a[m])a[m][V] ||RBC i2 = I · RAC = I · ad = a[m] RBC 40 [A] mit RAC = 10 2 Dynamische Netzwerke Beispiele MCT0603 und MTC0603HF sind SMD Widerstände die normalerweise in Hochfrequenzanwendungen eingesetzt werden. Theoretisch ist ein Widerstand frequenzunabhängig. Tatsächlich gibt es jedoch einen zusätzlichen Beitrag zur Impedanz von einer Induktivität L und einer Kapazität C. Die Induktivität ist eine Folge der Geometrie des Widerstands, die Kapazität wird durch das keramische Substrat des Widerstandskörpers und die metallischen Kontakte erzeugt. Das Ersatzschaltbild in der nebenstehenden Abbildung beschreibt das Verhalten eines realen Widerstands. Für einen 50 Ω Widerstand in MCT0603-Bauform ermittelt man L = 0.85 nH und C = 0.035 pF, für die Bauform MCT0603HF L = 0.67 nH und C = 0.03 pF. Beispiel 2.1 a) Berechnen Sie die Impedanz als Funktion der Frequenz zwischen den Anschlüssen des Widerstands für die beiden gegebenen Widerstände. b) Bei welcher Frequenz ist das Impedanz-zu-Widerstands-Verhältnis ( |Z| R ) gleich 1.1 für die beiden Widerstände? c) Die beiden Widerstände sind jeweils an eine 5 V-Spannungsquelle angeschlossen. Berechnen Sie den Strom durch die Elemente als Funktion der Frequenz. a) Die Impedanz der beschriebenen Ersatzschaltung kann geschrieben werden als: µ Z = (R + jω L) || 1 jωC ¶ = R+jωL jωC R + jωL + 1 jωC = Lösung 2.1 R + jωL . 1 − ω 2 LC + jωRC Für den Widerstand MCT0603 erhalten wir: Z= 50 + jω · 0.85 · 10−9 Ω 1 − ω 2 · 2.975 · 10−23 + jω1.75 · 10−12 und für MCT0603HF erhalten wir: Z= 50 + jω · 0.67 · 10−9 Ω 1 − ω 2 · 2.01 · 10−23 + jω1.5 · 10−12 b) Den Betrag der Impedanz können wir mit folgender Formel berechnen: s R 2 + ω 2 L2 |Z| = 2 (1 − ω 2 LC) + ω 2 R2 C 2 11 11 2 DYNAMISCHE NETZWERKE 12 Wenn wir nun |Z| = 1.1 R suchen erhalten wir: R2 + ω 2 L2 = (1.1R) 2 ³¡ 1 − ω 2 LC ¢2 + ω 2 R2 C 2 ´ Dies gibt eine Gleichung zweiter Ordnung um ω 2 zu bestimmen. Das Ergebnis obiger Gleichung für die beiden Widerstände ist: ω = 2.4 · 1010 Hz = 24 GHz ω = 3.02 · 1010 Hz = 30.2 GHz MTC0603 : MTC0603HF : Man kann aus obigen Gleichungen auch noch grössere Frequenzen berechnen. Diese Frequenzen sind jedoch grösser als die Resonanzfrequenz und somit ausserhalb der Bandbreite der Bauteile. Aus diesem Grund erwähnen wir sie hier nicht. c) Der Strom berechnet sich mit ¡ ¢ 5V · 1 − ω 2 LC + jωRC U I= = . Z R + jωL Errata: Ein + Zeichen zuviel in Lösung a) und Exponenten falsch. In b) sollte ein + Zeichen durch eine Multiplikation ersetzt werden und die Zahlenwerte für die Frequenz sind falsch. In c) fehlt die Einheit Volt. Gegeben ist das in der nebenstehende Abbildung dargestellte dynamische Netzwerk mit Kondensatoren und Spulen, das eine typische Brückenschaltung nachbildet. Wie gross ist die Spannung U3 in Abhängigkeit von U ? Beispiel 2.2 Die Lösung erfolgt mit der Maschenstromanalyse. Die Maschenströme ergeben folgendes Gleichungssystem 0=−U2 + U3 + U5 0=−U1 + U4 − U3 U =U1 + U2 . 12 (2.1) (2.2) (2.3) Lösung 2.2 2 DYNAMISCHE NETZWERKE 13 Einsetzen der Maschenströme ergibt 1 1 (I1 − I2 ) + (I1 ) jωC3 jωC5 1 0=−R1 (I3 − I2 ) + R4 (I2 ) − (I1 − I2 ) jωC3 U =R1 (I3 − I2 ) + jωL2 (I3 − I1 ). 0=−jωL2 (I3 − I1 ) + (2.4) (2.5) (2.6) Im nächsten Schritt werden die Maschenströme bestimmt. Danach wird der Strom durch den Kon1 (I1 − I2 ) bestimmt densator C3 zu I1 − I2 bestimmt. Schlussendlich kann die Spannung U3 = jωC 3 werden. Errata: Die Aufgabenstellung ist, die Spannung U3 in Abhängigkeit von U zu bestimmen. U3 ist nicht im Bild eingezeichnet und geht von links nach rechts über C3 . In der Lösung ist der Strom durch C3 mit I1 − I2 anzunehmen. Der fest abgestimmte Eingangskreis eines UKWEmpfängers ist ein Parallelresonanzkreis (L,C,Rp ) mit einer Induktivität L = 0.1 nH. Die Bandbreite des Resonanzkreises soll mit dem UKWFrequenzbereich von 87.5 - 108 MHz übereinstimmen, wobei eine zur Resonanzfrequenz symmetrische Resonanzkurve angenommen wird. a) Wie gross sind die Güte ρ und die Resonanzfrequenz f0 zu wählen? b) Berechnen Sie die Schaltelemente C und Rp . a)Die Güte berechnet sich zu ρ = √ f1 f2 f2 −f1 Beispiel 2.3 = 4.77. Die Mittenfrequenz ist f0 = f1 +f2 2 = 97.75 MHz; Lösung 2.3 1 b) Aus der Bedingung ω0 = √LC errechnet sich C = 26.51 nF. Der Widerstand ergibt sich aus der 3dB 1 1 Bedingung Rp = |ω1 C − ω1 L | zu Rp = 0.276Ω. Errata: In Lösung b) falsche Formel für Resonanz und falscher Zahlenwert für Rp = 0.276Ω. Es ist das nebenstehende Filter gegeben. a) Finden Sie einen analytischen Ausdruck für U2 U1 als Funktion von R, L, C und der Frequenz ω. b) Für welche Frequenz ist U2 = U1 . j c) Berechnen Sie R derart, dass U2 = U1 j−1 bei der Frequenz ω = 20 kHz beträgt. 13 Beispiel 2.4 2 DYNAMISCHE NETZWERKE 14 a) Aus dem Filterersatzschaltbild lässt sich das Verhältnis der Spannungen wie folgt ableiten: U2 = U1 R + R 1 jωC + jωL jωRC = 1 − ω 2 LC + jωRC Lösung 2.4 b) Die Frequenz soll so gewählt werden, dass jωRC =1 1 − ω 2 LC + jωRC → U2 U1 = 1 ergibt. 1 − ω 2 LC = 0 → ω=√ 1 ≈ 14.1 kHz LC c) Wenn wir die gegeben Zahlenwerte einsetzen (ω = 20 · 103 Hz, L = 5 · 10−6 H, C = 1 · 10−3 F), erhalten wir: 20Rj U2 j U2 = , = U1 −1 + 20Rj U1 j−1 hieraus folgt: → j20R (j − 1) = (−1 + 20Rj) (j) → R= 1 = 0.05 mΩ 20 2 Der Verlauf von U U1 über der Frequenz ist in der obenstehenden Abbildung gegeben. Man erkennt das Bandpass-Verhalten des Filters. Errata: Vorzeichenfehler in Aufgabenstellung c) und falsche Frequenz ω = 20 kHz. Vorzeichenfehler in Lösung a) und b). In Lösung c) korrigiert. Beispiel 2.5 In der obenstehenden Figur ist ein Sicherungschaltkreis mit einem speziellen Metallstreifen dargestellt. Der leitende Streifen dehnt sich bei Erwärmung aus. Falls die Ausdehnung mehr als 0.2 cm beträgt, wird der Stromkreis unterbrochen. Die Beziehung zwischen Erwärmung und Ausdehnung ist gegeben durch lh = l0 [α∆T + 1], wobei der Wärmeausdehnungsköffizient α = 0.02◦ C−1 entspricht. 14 2 DYNAMISCHE NETZWERKE 15 Die Temperatur des Streifens variiert gemäss folgender linearer Beziehung: I ·t , κ ∆T (I, t) = κ = 10 A·s ◦C Wie lange dauert es, bis ein Motorenstrom von 160 Ampère die Sicherung aktiviert? Die Bedingung für das Auslösen der Sicherung ist Lösung 2.5 lh = 1.2 = α∆T + 1. l0 Das Auslösen benötigt also folgende Temperaturänderung ∆T = 0.2 . α Diese wird bei einem Strom von 160 A in 10◦ C 10◦ C · 10 A·s ◦C = 0.625s 160A erzielt. Bei einem Plattenkondensator hat eine Platte eine Fläche von 5 cm2 . Die Distanz zwischen den Platten ist 1 cm. Das Material zwischen den Platten ist Glas mit einer relativen Dielektrizitätszahl von ²r = 3.8 und einer Leitfähigkeit σ = 640 Ωm. Beispiel 2.6 a) Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild für den Kondensator und bestimmen Sie die Werte der Bauteile im Ersatzschaltbild. b)Der ungeladene Kondensator wird an eine Konstantstromquelle mit I = 5 mA angeschlossen. Berechnen Sie die Zeitkonstante τ der Schaltung. c)Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator. a) Für das nebenstehende Ersatzschaltbild des Kondensators erhält man folgende Nennwerte für die Kapazität und den Widerstands mit Hilfe der Gleichungen für einen rechteckigen Kondensator: A 5 · 10−4 = 3.8 · 8.85 · 10−12 d 1 · 10−2 = 1.62 · 10−12 F = 1.62 pF C = ²0 ²r R=ρ d 1 · 10−2 = 640 = 128 · 102 Ω = 12.8 kΩ A 5 · 10−4 b) Die Zeitkonstante τ ergibst sich folglich zu: τ = RC = 12.8 · 103 · 1.62 · 10−12 = 2.15 · 10−8 s = 215 µs 15 Lösung 2.6 2 DYNAMISCHE NETZWERKE 16 c) Bei konstantem Strom ic + iR = 5 mA folgt: C dU U + = 5 · 10−3 dt R Da die Spannung am Kondensator zur Zeit t = 0 Null ist, gilt U (t = 0) = 0. Daraus folgt: t → U (t)=A exp− RC +B A + B=0 ³ → A = −B ´ t U (t)=A exp− RC −1 Nach einer sehr langen Zeit, bei t = ∞, kann man annehmen, dass sich die Spannung nicht mehr ändert ( dU dt = 0). Hiermit ergibt sich die Konstante A: U (t → ∞)=5 R = 5 · 10−3 · 12.8 · 103 = 64 V U (t → ∞)=A → A = −64 V und somit: ³ ´ t V (t) = 64 1 − exp− 215·10−6 V. Errata: Aufgabenstellung b) präzisiert. Eine Spule ist aus einem Kupferdraht (ρ = 1.724 · 10−8 Ωm) mit einem Durchmesser von 0.5 mm und einer Länge von 1 m gemacht. Die Spule hat eine Länge von 10 cm und einen Radius von 2 cm. Beispiel 2.7 a)Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild für die Spule, wenn sie an eine 5 V Spannungsquelle angeschlossen ist. b) Finden Sie den Stromfluss nach dem Einschalten der Spannungsquelle in der Ersatzschaltung als Funktion der Zeit und skizzieren Sie den Stromfluss. Lösung 2.7 a)Die Spule stellt eine Induktivität und einen Widerstand für den elektrischen Strom dar. Der Widerstand berechnet sich wie folgt: R=ρ l = 1.724 · 10−8 · a 1 π(0.5·10−3 )2 4 16 = 8.78 · 10−2 Ω 2 DYNAMISCHE NETZWERKE 17 Die Induktivität einer Spule erhält man aus Gleichung mit der Querschnittsfläche A der Spule zu ¡ ¢2 A = πr2 = π 2 · 10−2 = 1.26 · 10−3 m2 , l 1 der Anzahl der Windungen N = 2πr = 2π·(0.02) = 7.96 ≈ 8 und der Gesamtlänge der Spule l0 = 0.1 m. Somit ergibt sich für die Induktivität ¢ ¡ 4π · 10−7 · 82 · 1.26 · 10−3 L= = 1.01 · 10−6 H = 1.01 µH. 0.1 Das Ersatzschaltbild ist entsprechend dargestellt. di = 5V b) Wenn wir annehmen, dass der Strom i durch die Schaltung fliesst, somit folgt aus Ri − L dt für den Strom i: ´ ³ ´ tR t 5 ³ i= 1 − exp− L = 56.9 · 1 − exp− τ A R mit τ = L R = 1.15 · 10−5 s. Errata: Einheiten des spezifischen Widerstands korrigiert. Aufgabentext präzisiert. Übungsaufgaben Aufgabe 2.1 Gegeben ist die nebenstehende Schaltung. Übungsaufgaben a) Berechne die Gesamtimpedanz des Zweipols, mit den Klemmen A und B. b) Berechne die komplexe Spannung U so dass I = 3 A. c) Berechne die komplexen Spannungen über den zwei Kondensatoren. d) Berechne die komplexen Ströme der 3 Widerstände Lösung: a) Z = (3.76 − j0.542) Ω b) U = (126.5 − j49.84) V c) U 2µF = −j79.57V und U 4µF = (3.86 − j57.12)V d) I 5Ω = (7.3 + j0.29)A, I 30Ω = 3 A, I 20Ω = (4.3 + j0.29) A Errata: Änderung: Lösung a) Zahlenwert korrigiert. 17 2 DYNAMISCHE NETZWERKE 18 Aufgabe 2.2 Ein Elektromotor mit der Wirkleistung P = 1 kW wird am 230 V Netz betrieben. Die Wirkleistung beträgt 90 % des Scheinleistungsbetrags. a) Wie gross und welcher Art ist die Blindleistung? b) Wie gross ist die Scheinleistung? c) Mit welchem Bauelement kann man die Blindleistungsaufnahme verhindern? Welchen Nennwert sollte das Bauelement haben, wenn es in Serie / Parallel zum Motor geschaltet ist? d) Gibt der Motor bei Serien oder Parallelschaltung des zusätzlichen Bauelements mehr Wirkleistung ab? Lösung: a) Q = 484.4 VA, induktive Blindleistung b) S = 1111.1 VA c) Kondensator Cparallel = 29.14 µF, Cseriell = 153.38 µF d) Bei Serienschaltung gibt der Motor mehr Wirkleistung ab. Errata: Aufgabenstellung präzisiert. Korrektur der Zahlenwerte in a)-c). Aufgabe 2.3 Gegeben ist das folgende Filter mit R = 1 kΩ und L = 1 mH. a) Um was für einen Typ Filter handelt es sich? Skizziere die Übertragungscharakteristik v = |UAus |/|UEin | als Funktion der Kreisfrequenz (v in dB, in logaritmischem Massstab). Gebe dabei insbesondere die Asymptoten für ω → 0 und ω → ∞ an. b) Bei der Fabrikation stockt der Nachschub von Induktivitäten. Entwerfe ein RC Filter mit derselben Übertragungscharakteristik v(ω) unter Verwendung des selben Widerstands R = 1 kΩ. √ c) Bei welcher Frequenz wird v = 0.5? Lösung: a) Tiefpass b) C = 1 nF c) ω = 1 MHz Errata: In Aufgabenstellung c) Wurzelzeichen eingefügt. 18 2 DYNAMISCHE NETZWERKE 19 Aufgabe 2.4 Eine Digitalkamera hat das unten gezeichnete Blitzsystem. Schalter S hat die folgenden drei Stellungen: Stellung 1 - Die Kamera ist ausgeschaltet. Der Blitzkondensator CBlitz wird über R1 entladen. Stellung 2 - Die Kamera ist eingeschaltet und der Blitzkondensator wird geladen. Stellung 3 - Der Blitz wird aktiviert und der Blitzkondensator wird über RBlitz entladen. Zur Zeit t = 0 ist der Blitzkondensator vollständig entladen. Um t = 0 geht der Schalter S von Stellung 1 auf Stellung 2 und um t = tBlitz geht er von Stellung 2 auf Stellung 3. a) Zeichne das vereinfachte Schaltbild für 0 < t < tBlitz . Bestimme die Differentialgleichung, die den Stromkreis beschreibt. b) Berechne UBlitz (t) für 0 < t < tBlitz . c) Skizziere UBlitz (t) für 0 < t < tBlitz . d) Ist der Kondensator voll geladen, hat er eine konstante Spannung Umax . Wie gross ist diese Spannung? e) Zu welcher Zeit t99 wird 99% der Ladespannung erreicht, wenn RAkku = 1Ω und CBlitz = 1mF? t − Lösung: a) iBlitz = C dUBlitz b) UBlitz (t) = IAkku RAkku (1 − e RAkku CBlitz ) dt d) UBlitz,voll = UBlitz (t → ∞) = IAkku RAkku e)t99 ' 4.6052ms Aufgabe 2.5 Berechnen Sie Beispiel 2.2 mit Hilfe der Knotenpotentialanalyse! Errata: Falsche Beispielnummer. 19 2 DYNAMISCHE NETZWERKE 20 Aufgabe 2.6 Der Eingangsresonanzkreis eines Mittelwellenempfängers soll durch Veränderung der Kapazität C des Drehkondensators im Mittelwellenbereich von fmin = 500 kHz bis fmax = 1500 kHz abstimmbar sein. Bei f1 = 1 MHz soll seine Güte % = 100 betragen. Die Induktivität sei L = 200 µH. a) Berechnen Sie den erforderlichen Variationsbereich von C. b) Berechnen Sie den Dämpfungswiderstand Rs . c) Berechnen Sie die Kreisgüte, die absolute und die relative Bandbreite sowie den Parallelwiderstand Rp des äquivalenten Parallelresonanzkreises. Stellen Sie die berechneten Grössen für den Mittelwellenbereich in Abhängigkeit von der Frequenz masstäblich grafisch dar. Lösung: a) Cmax = 506.61 pF, Cmin = 56.29 pF b) Rs = 12.6 Ω ³ ´2 f0 f0 −1 kΩ c) % = 100 ∗ MHz , b = % , bf = 10 kHz, Rp = 126.5 ∗ MHz Errata: Fehlerhaftes Bild korrigiert und die Serieninduktivität mit L = 200 µH festgesetzt. Aufgabe 2.7 Ein FM-Empfänger hat als Eingangskreis die nebenstehende RLC-Schaltung. Berechnen Sie allgemein und zahlenmässig für ie (t) = Iˆe cos(ωt), Ie = 50 µA, R = 1 Ω, L = 85 nH und C = 30 pF, .³ a) die Frequenz f0 = 1 ses, √ ´ 2π LC des Krei- b) die Frequenz fr , bei der die Impedanz ZAB reell wird, c) die Impedanz ZAB bei den Frequenzen fr und f0 , d) den Effektivwert der Spannung UAB bei der Frequenz f0 . Lösung: a) f0 = 99.6667 MHz b) fr = 99.6491 MHz d) UAB = 100.1 mV c) ZAB (ω0 ) ≈ ZAB (ωr ) = 2.8334 kΩ Errata: Aufgabe a) berichtigt und vereinfacht. Aufgabe d) Spannung richtig bezeichnet. Lösung d) korrigiert. 20 3 Halbleiterbauelemente Beispiele In der nebenstehenden Schaltung eines Integrierers sind die Grössen u1 , R, S gegeben. Berechnen Sie die Spannungen ust und u2 mit Hilfe der Knotenpotentialanalyse. Beispiel 3.1 Es werden nur die Gleichungen für die Knoten B und C aufgeschrieben. (Die Gleichung für den Knoten A ist nur erforderlich, wenn der von der Quelle u1 gelieferte Strom bestimmt werden soll.) Mit G = 1/R gilt für den Knoten B: − Gu1 + 3Gust − Gu2 = 0 (3.1) Die Knotengleichung für den Knoten C berechnet sich entsprechend zu − Gust + 2Gu2 = iq = Sust (3.2) Durch die beiden Knotengleichungen ergibt sich ein Gleichungssystem mit den zwei unbekannten Spannungen ust und u2 . Im ersten Schritt lösen wir Gleichung (3.2) nach ust auf: ust = 2Gu2 S+G und setzen das Ergebnis in Gleichung (3.1) ein und lösen nach u2 auf. u2 = 1 + S/G 1 + RS u1 = u1 5 − S/G 5 − RS Nun können wir u2 in Gleichung (3.1) einsetzen und erhalten folgendes Ergebnis: ust = 2G 2 u1 = u1 5G − S 5 − RS 21 21 Lösung 3.1 3 HALBLEITERBAUELEMENTE 22 Beispiel 3.2 Gegeben ist die obenstehende Schaltung mit 2 Dioden und einem npn Transistor. Für die Dioden und den Transistor gelten abgebildeten, idealisierten Kennlinien a) Wie gross ist die Stromverstärkung des Transistors? b) Wie gross muss RB sein, damit IB = 20µA wird, wenn Klemme A mit der Klemme 5V und Klemme B mit der Klemme 0V verbunden ist? c) Wie gross muss RC sein, damit dann Uout = 1V wird? d) Wie gross wird Uout , wenn die Klemmen A und B mit 5V verbunden werden (Widerstände RB , RC gemäss b und c e) Für welche logische Verknüpfung lässt sich die Schaltung verwenden? Begründe! a) Die Verstärkung ergibt sich aus der Übertragungskennlinie mit B= Lösung 3.2 IC 1mA = IB 10µA b)Die Spannung über dem Widerstand RB berechnet sich mit Hilfe der Maschenregel zu: URB = 5V − UD − UBE = 5V − 0.5V − 0.5V = 4V =⇒ RB = URB 4V = = 200kΩ IB 20µA c) Für IB = 20µA ist IC = 2mA. Mit Hilfe der Maschengleichung berechnet sich URC zu URC = 5V − Uout = 4V =⇒ RC = URC = 2kΩ IC d) Die Aufgabe berechnet sich analog zu Teilaufgabe c): Uout = 1V e) Wir legen fest, dass eine Spannung von 5V am Eingang einer logischen ’1’ und dass 0V einer logischen ’0’ entspricht. Am Ausgang gelten folgende Zuordnungen: Uout =1V → 0 Uout =5V → 1 22 3 HALBLEITERBAUELEMENTE 23 Es ergibt sich folgendes Ergebnis: A ∨ B = 1⇒Uout = 0 A ∧ B = 0⇒Uout = 1 Es handelt sich daher um eine NOR-Schaltung. Beispiel 3.3 Es ist nebenstehende Verstärkeschaltung gegeben. a) Bestimmen Sie UCE und RC so, dass die Amplitude einer sinusförmigen Wechselspannung am Ausgang am grössten werden kann unter der Annahme IC = 1mA. b) Der Nennwert von B für den Transistor BC548C beträgt 520. Man dimensioniere RB unter der Annahme, dass UBE = 0.7V beträgt. Wie gross ist IB ? Wie gross ist der relative Fehler, wenn IS = 8.13 · 10−15 A für die BE-Diode, UT = 25 mV und B0 = 1 gilt. c) Berechne die Verstärkung v = uu21 der Schaltung, unter der Annahme, dass die Kondensatoren bei Wechselspannung kurzgeschlossen sind. Zum lösen der Aufgabe gilt folgende Näherung rB E ≈ UIBT d) Laut dem Datenblatt des Transistors BC548C kann der Parameter B zwischen 420 und 800 variieren (Exemplarstreuung). Wie verhält sich der Arbeitspunkt, die maximale Amplitude der Ausgangsspannung und die Verstärkung bei den beiden Extremwerten von v? Errata: Spezifizierung der Aufgabe b), Ergänzung der Näherung für c). Lösung 3.3 a) Vorrausgesetzt IC = 1mA, dann ergibt sich die maximale Signalamplitude am Ausgang, wenn der 23 3 HALBLEITERBAUELEMENTE 24 Arbeitspunkt in der Mitte zwischen Cutoff und Sättigung liegt. UBatt UCE =URC ∼ = 5V 2 UR 5V RC = C = = 5kΩ IC 1mA b) Das Gleichstrom-Ersatzschaltbild der Schaltung ist in der rechten Abbildung gegegben. IC 1mA = = 1.92µA B 520 UBatt − UBE 10V − 0.7V RB = = 4.84M Ω = IB 1.92µA IB = Wirkliche Basis-Emitter Spannung: Emitter-Basis Diode in Durchlassrichtung IB = IS UBE IB B 0 1.92 · 10−6 A exp( ) ⇒ UBE = UT ln( ) = 25mV ln( ) = 482mV B0 UT IS 8.13 · 10−15 A Der Wert für IS kommt aus dem Spice-Modell für das Transistor BC548C, welches, wie auch die anderen Daten, auf dem Internet-Seite der Firma Philips Semiconductors zu finden sind RB = 10V − 0.482V = 4.96MΩ 1.92µA Der Fehler von 4.96M Ω − 4.84M Ω = 130kA ∼ = 2.6% liegt innerhalb der Toleranzen der Widerstände (10%) und deshalb irrelevant. Die Approximation UBE ≈ 0.7V ist deshalb für die Dimensionierung zulässig. c) Wechselstrom-Ersatzschaltung ist in der linken Abbildung dargestellt, aus der mit iB = u1 rbe folgt: u2 = −iC RC = −BiB RC Daraus ergibt sich: v= u2 RC = −B u1 rbe Negativ = Phasenumkehr UT 25mV = = 13.0kΩ IB 1.92µA 5kΩ v=−520 = −200 13kΩ rbe ≈ d) Für B = 420 ergibt sich IC =420 · 1.92µA = 806µA UCE =UBatt − IC RC = 10V − 4V = 6V Û ≈min(UBatt − UCE , UCE − 0) = UBatt − UCE = 4V v=162 Für B = 800 ergibt sich IC =800 · 1.92µA = 1.54mA UCE =UBatt − IC RC = 10V − 7.68V = 2.32V Û =min(UBatt − UCE , UCE − 0) = UBatt − 0 = 2.3V v≈308 Man sieht, dass je nach Transistor die max. Spitzenspannung kleiner wird und dass die Verstärkung um −19% bis +108% gegenüber dem Nennwert variieren kann. Deshalb ist diese Schaltung in der Praxis 24 3 HALBLEITERBAUELEMENTE 25 nicht brauchbar. Errata: Konkretisierung des Lösungsweges und korrektur der Ergbnisse in d). Übungsaufgaben Aufgabe 3.1 Berechne Uaus als Funktion von U1 und U2 für die nebenstehende Schaltung unter der Annahme eines idealen Operationsverstärker mit: A = ∞ , Rein = ∞ , Raus = 0. Übungsaufgaben Lösung: Uaus = U1 + U2 Aufgabe 3.2 Mit Operationsverstärker, Widerständen und Kapazitäten kann man Filter ohne Induktivitäten bauen (aktive Filter). Die nebenstehende Schaltung ist ein einfacher aktiver Filter. Der Operationsverstärker sei ideal (A = ∞, Rein = ∞, Raus = 0). Berechnen Sie das Verhältnis |U 2|/|U 1| als Funktion der Kreisfrequenz ω für R1 C1 = R2 C2 = RC . Lösung: |U2 | |U1 | = ωR2 C1 1+(ωRC)2 Errata: Lösung hinzugefügt. Aufgabe 3.3 Gegeben sei folgende Schaltung mit zwei idealen Operationsverstärkern (A = ∞, Rein = ∞, Raus = 0). Berechnen Sie das Verhältnis U2 /U1 als Funktion von R1 bis R5 . Hat der Widerstand R3 einen Einfluss auf das Spannungsverhältnis U2 /U1 ? R2 R5 2 Lösung: U U1 = R1 R4 25 3 HALBLEITERBAUELEMENTE 26 Aufgabe 3.4 Gegeben sei die abgebildete Schaltung mit einem idealen Operationsverstärker und einer Zenerdiode ZD . Die Kennlinie der Zenerdiode kann durch 3 lineare Bereiche angenähert werden: 1. IZD = GZ (UZD + UZ )falls UZD < −UZ 2. IZD = 0falls − UZ ≤ UZD ≤ UD 3. IZD = GD (UZD − UD )falls UZD > UD a) Berechnen sie U0 als Funktion von UA für den idealisierten Fall GZ → ∞, GD → ∞ und skizziere die Kernlinie der Zenerdiode in diesen Fall. b) Es sei uA (t) = UA0 sin(ωt), wobei UD < UA0 < UZ gilt. Berechnen sie den Strom im Eingangswiderstand R als Funktion der Zeit. c) Berechnen sie u0 (t) unter den a) und b) genannten Bedingungen. Lösung: a)UA > 0 =⇒ U0 = −UD UA < 0 =⇒ U0 = UZ b) iR (t) = uA (t) R c) uA (t) = UA0 · sin (ωt) =⇒ u0 = −UD für 2nπ < ωt < (2n + 1)π u0 = UZ für (2n + 1)π < ωt < (2n + 2)π n = 0, 1, 2, ...N . Errata: Lösung näher spezifiziert. 26 4 Leitungstheorie Beispiele Bei einem Arbeitsspeicher-Modul PC3-12800 mit DDR3-1600 Chip beträgt der I/O-Takt f = 800 MHz. Das ergibt eine Wellenlänge von λ = cf0 = 37.5 cm. Die Distanz vom Speicher zu CPU sind auf einer üblichen Hauptplatine ca. 10 cm. Dieser Abstand ist im Verhältnis zur Wellenlänge nicht vernachlässigbar klein und kann somit nicht mehr als ideale Leitung aufgefasst werden. Beispiel 4.1 Ein Koaxialkabel hat einen Innenleiter mit Radius Ri und einem Aussenleiter mit Radius Ra . Der Isolator zwischen Innen- und Aussenleiter ist Luft (²r = 1). Das elektrische Potential ϕ zwischen Innenund Aussenleiter ist λ R0 ϕ(r) = ln 2π²0 r Beispiel 4.2 mit der Ladung pro Länge λ und einem beliebigen Normierungsradius, [?, Seite 52 f.]. Das elektrische Potential ist bis auf eine Normierungskonstante festgelegt. Dies kommt daher, dass man das Potential mittels Integration gewinnt und man in der Wahl der Integrationskonstanten frei ist. In der Praxis ist nur die Potentialdifferenz von Interesse, bei deren Berechnung die Normierungskonstante wieder herausfällt. Berechnen Sie den Kapazitätsbelag C 0 des Koaxialkabels. Die Spannung zwischen dem Innen- und Aussenleiter ist gleich der Differenz der Potentiale auf dem Innen- und Aussenleiter: µ ¶ λ R0 R0 λ Ra U = ϕ(Ri ) − ϕ(Ra ) = ln − ln = ln 2π²0 Ri Ra 2π²0 Ri Den Kapazitätsbelag erhält man nun mittels C = C0 = Q U = lλ U Lösung 4.2 zu: C 2π²0 = a l ln R Ri Errata: Korrektur der Bezeichnungen. Betrachten wir die Dispersion im optischen Bereich. Hier ist die Brechzahl n über das Verhältnis der 27 27 Beispiel 4.3 4 LEITUNGSTHEORIE 28 Phasengeschwindigkeiten in Vakuum und im Medium definiert: n(ω) = c0 . vp (ω) Das bedeutet, dass die Brechung von Licht von der Frequenz (oder Wellenlänge) abhängt. Dies macht man sich bei der Aufspaltung von weissem Licht in seine einzelnen Farbkomponenten mittels eines Prismas zu Nutze. Bei einem Koaxialkabel vom Typ RG58/U hat der Innenleiter einen Durchmesser von Ri = 0.81 mm und der Aussenleiter einen Durchmesser von Ra = 2.95 mm. Das Dielektrikum hat eine relative Permittivität von ²r = 2.4. Das Kabel sei verlustfrei. Berechnen sie die charakteristische Impedanz des Kabels. Beispiel 4.4 Für das verlustlose Kabel ist die charakteristische Impedanz nach Gl. (4.30) Lösung 4.4 r Z0 = L0 . C0 Wenn wir die Leitungsbeläge aus Tab. 4.1 einsetzen erhalten wir: r µ ¶ 1 µ Ra Z0 = ln 2π s ² Ri µ ¶ 4π · 10−7 AN2 1 2.95 = ln F 2π 2.4 · 8.85 · 10−12 m 0.81 =50.0 Ω. Errata: Korrektur der Bezeichnungen. Beispiel 4.5 Folgende Schaltung mit einer verlustlosen Zweidrahtleitung ist gegeben. a) Wie gross ist Zw wenn die Leitung quellenseitig angepasst ist? b) Wie gross muss der Anpassungswiderstand Rx sein, damit an dem lastseitigen Ende der Leitung keine Reflexionen auftreten? Lösung 4.5 a) Damit keine Reflexionen am Eingang der Leitung auftreten muss Zw = Rq = 100 Ω sein. b) Um die Leitung an die Last anzupassen muss Rx + RL = Zw sein Rx ist dann: Rx = Zw − RL = 50 Ω. 28 4 LEITUNGSTHEORIE 29 Errata: Korrektur des Ergebnisses in b). Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit für ein Koaxialkabel mit µ = µ0 und ²r = 2.4. Beispiel 4.6 Die Phasengeschwindigkeit im Koaxialkabel ist Lösung 4.6 1 vp = √ ²µ 1 =q 2.4 · 8.85 · 10−12 =1.94 · 108 =0.65 · c0 . F m · 4π · 10−7 N A2 m s Eine Streifenleitung hat die Abmessungen a = 0.1 mm, b = 5.0 mm und besteht aus Kupferleitungen(RS = 8.26 mΩ bei 1 GHz). Das Dielektrikum hat ²r = 2.4, µ = µ0 und eine LeitS fähigkeit σ = 4 · 10−8 m . Wir übertragen mit dieser Leitung über 10 cm ein Signal mit einer maximalen Amplitude U0 = 5 V. Wie gross ist die Amplitude noch nach diesen 10 cm? Beispiel 4.7 Die Dämpfungskonstante ist Lösung 4.7 r ² µ +σ µ s² −3 8.26 · 10 Ω 2.4 · 8.85 · 10−12 = 1 · 10−4 m 4π · 10−7 AN2 1 =0.34 m Rs α= a r F m s + 4 · 10−8 S m 4π · 10−7 AN2 2.4 · 8.85 · 10−12 F m Nach einer 10 cm langen Leitung habe wir dann noch eine maximale Amplitude von Umax (z = 0.1 m)=Umax (z = 0) · exp(−αz) =5 V · exp(−0.34 · 0.1) =4.83 V Übungsaufgaben Aufgabe 4.1 Entkoppeln Sie die Telegraphengleichungen für den Strom. 29 Übungsaufgaben 4 LEITUNGSTHEORIE 30 Lösung: Analog zu Gl. 4.10 erhält man für den Strom ∂2i ∂i ∂2i = R0 G0 i + (R0 C 0 + L0 G0 ) + L0 C 0 2 . 2 ∂z ∂t ∂t Aufgabe 4.2 Berechnen Sie den Transmissionskoeffizienten T als Funktion von Γ. Lösung: T = 1 + Γ Aufgabe 4.3 Die folgende Übertragungsleitung hat eine charakteristische Impendanz von Z0 = 50 Ω. Die Phasengeschwindigkeit auf der Leitung vp beträgt 2 · 108 ms und die Leitung ist 4 m lang. Zur Zeit t = 0 wird der Schalter geschlossen. a) Welche Spannung misst man an den Klemmen a-a0 zum Zeitpunkt t = 0? b) Welche Spannung misst man an den Klemmen b-b0 zum Zeitpunkt t = 20 ms? Lösung: a) 3.33 V b) 3.33 V Errata: Korrektur des Bildes. Aufgabe 4.4 Eine Koaxialleitung besitze einen Innenleiter mit 1 mm Durchmesser und einen Aussenleiter mit 3 mm Innendurchmesser. Sie sei gefüllt mit einem Dielektrikum der Permittivität ²r = 4. Berechnen Sie: a) den Kapazitätsbelag C 0 , b) den Induktivitätsbelag L0 , c) die Phasengeschwindigkeit vp . Lösung: a) C 0 = 2.02 · 10−10 F m b) L0 = 2.20 · 10−7 30 H m c) vp = 1.50 · 108 m s 5 Freiraumwellenausbreitung Beispiele Eine Ebene Welle breitet sich in Luft aus und trifft auf Glas (εr = 3.7), wobei das elektrische Feld parallel zur Luft-Glas-Grenzfläche steht. Beispiel 5.1 a) Bei welchem Einfallswinkel ist der Transmissionswinkel halb so gross wie der Einfallswinkel? b) Wie gross ist der Transmissionskoeffizient und Reflexionskoeffizient bei diesem Winkel? Mit dem Brechungsgesetz von Snellius setzt man Einfallswinkel und Transmissionswinkel in Beziehung √ n2 sin φ2 =n1 sin φ1 √3.7 sin φt =1 · sin (2φt ) 3.7 sin φt =2√sin φt cos φt 3.7 cos φt = 2 folglich ergeben sich φt und φi für a) zu: φt = 15.89415 ◦ , φi = 2φt = 31.7883 ◦ . Zur Berechnung des Transmissionskoeffizienten muss auf die Formel mit der richtigen Polarisation zurückgegriffen werden: 2Zw2 cos φi T⊥ = Zw2 cos φi + Zw1 cos φt mit Einsetzen von φi und φt ergibt sich T⊥ = 0.6296 . b) Um den Reflexionskoeffizienten kann man entweder die entsprechende Formel mit Winkeln brauchen oder schneller und einfacher: Γ⊥ = T⊥ − 1 = −0.3704 31 31 Lösung 5.1 5 FREIRAUMWELLENAUSBREITUNG Die Ersatzschaltung einer Antenne zusammen mit ihrer Speiseleitung und einer Anpassungsleitung sei wie im Bild dargestellt. Die Impedanz der Antenne beträgt ZA = RA + jXA = (Rrad + Rver ) + jXA . Dabei ist Rrad = 75 Ω der Strahlungswiderstand, Rver = 25 Ω der Verlustwiderstand und XA = 10 Ω. Die Antenne wird von einem Generator mir innerer Impedanz Zg = Rg + jXg = 10 Ω + j10 Ω gespeichert. Die Amplitude der Spannung von dem Generator beträgt |Vg | = 10 Volts. Die Antenne hat eine Direktivität von 3 dBi. 32 Antenne I Xg Rrad Rg Rver Vg XA Beispiel 5.2 a) Berechnen Sie die abgestrahlte Leistung der Antenne. b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad der Antenne η und ihren Gewinn. a) Gemäss des Ersatzschaltbilds beträgt der Strom I, der durch die Antenne fliesst: Lösung 5.2 |Vg | |I|= ³ ´1/2 ⇒ 2 2 (Rrad + Rver + Rg ) + (XA + Xg ) 10 |I|= ³ ´1/2 ⇒ 2 2 (75 + 25 + 10) + (10 + 10) |I|=0.089 Ampere Also, die abgestrahlte Leistung der Antenne ist 1 Prad = |I|2 Rrad ⇒ 2 1 Prad = 0.0892 75 ⇒ 2 Prad =0.3 Watt b) Der Wirkungsgrad der Antenne ist definiert durch η= Prad Prad = , Pantenne Prad + Pver mit Prad = 12 |I|2 Rrad als abgestrahlte und Pver = Folglich ergibt sich der Antennenwirkungsgrad zu η= 1 2 2 |I| Rver als in Wärme umgewandelte Leistung. Rrad 75 = = 0.75 Rrad + Rver 75 + 25 Die Direktivität der Antenne beträgt D0 = 3 dBi= 2. Der Gewinn der Antenne ist also G0 = η D0 = 1.5 = 1.76 dBi. Die transversalen Komponeneten des E- und H-Feldes eines unendlich dünnen Dipols der Länge l ¿ λ 32 Beispiel 5.3 5 FREIRAUMWELLENAUSBREITUNG 33 sind im Fernfeld durch folgenden Ausdrück gegeben, ~e = eˆθ A0 sin θ e−jkr r ~h = eˆφ A0 sin θ e η0 r −jkr wobei A0 /r die maximale Amplitude der entsprechenden Feldgrösse ist. r ist der Abstand von der Antenne, θ und φ sind der Azimuth- bzw. Horizontalwinkel (Kugelkoordinatensystem) und schliesslich eˆθ sowie eˆφ sind die Einheitsvektoren. Bestimmen Sie die totale abgestrahlte Leistung, die Strahlungsintensität Srad sowie die Direktivität. Die totale abgestrahlte Leistung ist Prad Lösung 5.3 ∗ 1{ A2 = Re(~e × ~h ) · d~s = 0 2 η0 S Die Strahlungsintensität ist Z 2π 0 Z π 0 sin2 θ 2 A20 r sin θdθdφ = r2 η0 µ 8π 3 ¶ ∗ 1 A2 Srad = r2 Re(~e × ~h ) = 0 sin2 θ 2 η0 Die aximale Strahlungsintensität ist Smax = A20 η0 Dann ist die Direktivität gegeben durch A2 4π η 0 4πSmax 3 D0 = = A2 ¡ 0 ¢ = 8π 0 Prad 2 η0 3 Übungsaufgaben Aufgabe 5.1 Übungsaufgaben Das Richtdiagram, der Gewinn sowie der Richtfaktor einer Antenne sind generell nur im Fernfeld definiert. Die allgemein nach IEEE gebräuchliche Vorschrift zur Abschätzung des Abstandes d, ab dem man davon ausgehen kann, dass man sich im Fernfeld befindet, lautet d≥ 2D2 , λ wobei D die grösste Ausdehnung der Antenne ist. Sie sollen eine 4 m·3 m grosse Antenne bei einer Frequenz von 15 GHz vermessen. Diese Antenne hat einen Gewinn von 15 dBi. Der Satellit hat eine Sendeleistung von 45 Watt und ist auf einer geostationären Umlaufbahn in 40000 km Entfernung von der Erde positioniert. a) Welche Länge muss die Fernfeldmessstrecke mindestens haben? b) Wie gross ist die maximale vom Satelliten auf der Erde erzeugte Feldstärke? 33 5 FREIRAUMWELLENAUSBREITUNG Lösung: a) d ≥ 2500 km Aufgabe 5.2 Eine Monomodefaser mit einem Kern vom Diameter d = 10 µm und Brechungsindex n1 = 1.45 hat eine Brechzahldifferenz von ∆n = 1.5%. Berechnen Sie: 34 b) E0 ' 7.31 µVolt m qc qg d Q > Qmax Kern Mantel a) Den Brechungsindex n2 . b) Den Grenzwinkel θc der Totalreflektion (relativ zur Achse). c) Die numerische Apertur N A. Lösung: a) n2 = 1.4281 b) θc = 9.97o c) N A = 0.251 Aufgabe 5.3 ~ i = E0 cos(ωt − β1 x)~ez (E0 = 100 V/m, β1 = 6π rad/m) Eine ebene Welle mit dem elektrischen Feld E breite sich im Medium 1 (εr1 = 4, µr1 = 1, σ1 = 0) aus. Die Welle treffe senkrecht auf das Medium 2 (εr2 = 9, µr2 = 4, σ2 = 0). Berechnen Sie die mittlere Leistung, die durch eine Fläche von 2 m2 (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) hindurchtritt. Lösung: P t ≈ 51.97 W Aufgabe 5.4 Ein Lichtstrahl breite sich in Luft aus und falle auf eine Platte aus transparentem Material der Dicke t ein. Bestimmen Sie die Distanz d, die der Strahl versetzt wird, wenn er wieder aus der Platte austritt (φ = 10o , n = 4, t = 5 mm)! Lösung: d = 4.705 mm Aufgabe 5.5 Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit einer ebenen Welle, die sich in einem Material mir relativen Permittivität εr = 9 und relativen Permeabilität µr = 4 ausbreitet. Wie gross ist die Wellenimpedanz in diesem Medium? Lösung: Zw =' 80π Ω 34 t n2= 4 er = 1 er2 = 16 d l fi f ft 6 Signale und Systeme Beispiele Man stelle sich eine Situation wie in der folgenden Abbildung vor: Die Empfangsantenne sei ein UMTS-Mobiltelefon. Diese Signale sind im Downlink im Bereich von 2.11 GHz bis 2.2 GHz. Wie bereits im Kapitel Feldtheorie vorgestellt sind Übertragungen in den verschiedensten Frequenzbereichen möglich, abhängig vom jeweiligen Anwendungsbereich. Das von der UMTS-Antenne aufgezeichnete Signal ist im Zeitbereich und wird mittels periodischer Abtastung aufgenommen. Die Werte sind nun bloss als Wirrwarr sichtbar. Eine Betrachtung im Frequenzbereich ist notwendig. Jede Antenne arbeitet bloss in einem gewissen Frequenzbereich. Dies kann im Labor mittels Messungen im Frequenzbereich ermittelt werden. Zusätzlich werden in der Praxis Filter eingesetzt welche in der Lage sind, alle nicht interessanten Frequenzanteile herauszufiltern. Wenn dieses im Frequenzbereich Bandpass-gefilterte Signal im Zeitbereich betrachtet wird, sind plötzlich harmonische Wellenzüge sichtbar. Diese können demoduliert werden und danach als Information weiterverarbeitet werden. Beispiel 6.1 Das ideal abgetastete Signal y(ntA ) geht durch Multiplikation mit dem Impulskamm δtA (t) = P∞ δ(t−nt A ) aus dem Signal y(t) hervor: n=−∞ ∞ X y(ntA ) = y(t)δtA (t) = y(t)δ(t − ntA ) n=−∞ Die Multiplikation von y(t) mit dem Impulskamm δtA (t) entspricht im Frequenzbereich einer Faltung der Fourier-Transformierten Y (f ) mit ∞ X n 1 y(t)δ(f − ). · tA n=−∞ tA Es sei y(ntA ) Y∗ (f ) = Y∗ (f ): ∞ n 1 X Y (f − ) tA n=−∞ tA Beispiel 6.2 1 2B ). Die FouriertransforDieses Ergebnis ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht (mit tA = mierte Y∗ (f ) entsteht durch periodische Fortsetzung der ursprünglichen Fourier-Transformation Y (f ) mit der Periode 2B. Die Rekonstruktion der Fourier-Transformierten Y (f ) aus Y∗ (f ) lässt sich durch Multiplikation von Y∗ (f ) mit einer Rechteckfunktion tA rectB erreichen. Auf diese Weise wird die Peri- 35 35 6 SIGNALE UND SYSTEME 36 odizität des Spektrums aufgehoben. Man erhält das Originalspektrum. Die Rechteckfunktion entspricht hier einem Tiefpass mit der Verstärkung tA . Der Frequenzbereich [− f2A , f2A ] wird Nyquistband genannt. Durch die abgebildete Schaltung wird ein Tiefpass realisiert. Ein Tiefpass als System wird in diesem Beispiel analysiert und dessen Übertragungsfunktion berechnet. Die Übertragungsfunktion H(ω) ist das Verhältnis der Ausgangsspannung Ua zur Eingangsspannung Ue . Sie lässt sich leicht berechnen und ergibt sich zu H(ω) = Beispiel 6.3 jXC R + j(XL + XC ) 1 mit XL = ωL, XC = − ωC und ω = 2πf . Dabei sind die Werte für L, C und R so gewählt: L = 1nH, C = 10pF, R = 10Ω. Amplitudengang in dB Aus der Übertragungsfunktion können, wie im Abschnitt davor erwähnt, Amplitudengang, Dämpfung, Phasengang und Gruppenlaufzeit ermittelt werden. Diese vier charakteristischen Grössen sind hier dargestellt. Bei einer Frequenz von ungefähr 2 GHz ist der Amplitudengang gleich -3 dB. Danach fällt der Amplitudengang mit 40 dB/Dekade. Dieser Tiefpass hat also eine Grenzfrequenz von 2 GHz. Vor der Grenzfrequenz ist der Amplitudengang 0 dB, das entspricht einer Verstärkung von 1 im linearen Massstab, d.h. der Tiefpass lässt alle Frequenzen unter 2 GHz so gut wie ungedämpft durch. Der Verlauf der Dämpfung verdeutlicht nochmal diesen Sachverhalt. Den Phasengang eines Systems braucht man, wenn die Phase eines Signals, das das System durchläuft, bekannt sein muss. Hier sieht man, dass bei den niedrigen Frequenzen, das Signal so gut wie keine Phasendrehung erfährt. Die Gruppenlaufzeit ist ein Mass für die Verzögerung, die jeder einzelne Spektralanteil des Eingangssignals durch das System erfährt. 0 −10 −20 −30 −40 8 10 9 10 Frequenz in Hz 10 10 Daempfung in dB 40 30 20 10 0 8 10 9 10 Frequenz in Hz 10 10 Phasengang 0 −10 −20 −30 8 10 9 10 Frequenz in Hz 10 10 −11 Gruppenlaufzeit 0 x 10 −2 −4 −6 −8 8 10 9 10 Frequenz in Hz 36 10 10 6 SIGNALE UND SYSTEME 37 Der einfachste Fall ist eine verzerrungsfreie Übertragung. Effekte, die hier in Betracht gezogen werden müssen, sind eine Zeitverzögerung sowie eine Dämpfung des Signals. Mathematisch kann man dies so ausdrücken: h(t) = aδ(t − t0 ) H(f ) = ae−j2πf t0 , (6.1) Beispiel 6.4 wobei das Signal um den Faktor a < 1 gedämpft wird und um die Zeit t0 > 0 verzögert eintrifft. Zusätzlich wird noch davon ausgegangen, dass der Übertragungskanal bandbegrenzt ist. Dies kann mit einem idealen Tiefpassfilter modelliert werden. ( ae−j2πf t0 für|f | ≤ fg (6.2) HT P (f ) = 0 sonst Einweg-Mobilfunkkanal: Hier wird angenommen, dass sich ein Empfänger mit konstanter Geschwindigkeit v einem Sender nähert. Ein Empfangssignal kann dargestellt werden als r(t) = A exp(j[2πfT t + ϕ0 ]), Beispiel 6.5 (6.3) und die Phase ϕ0 hängt von der Bewegung des Empfängers ab. Dieser Effekt kann folgenderweise in das System integriert werden: r(t) = A exp(j[2πfT t + κx]). (6.4) In der Zeit t legt der Empfänger den Weg x = v·t zurück. Wird für die Kreiszahl eingesetzt für κ = 2φ/λ, erhält man v r(t) = A exp(j[2π(fT t + x)]) (6.5) λ mit der Dopplerfrequenz fD = λv . Im Falle des Einweg-Mobilfunkkanals beeinflusst die Bewegung den Empfangspegel nicht. Gegeben sind zwei harmonische Schwingungen bei 50 Hz und 250 Hz Beispiel 6.6 y1 (t) = sin(2π · 50Hz · t) y2 (t) = sin(2π · 250Hz · t) die mit einer Abtastfrequenz von fA = 200Hz, fA = 1 tA abgetastet werden sollen. Bei welchem Signal wird das Abtasttheorem verletzt? Das abgetastete Signal lässt sich so schreiben y∗ (t) = y(ntA ) Wie sehen die Signale y1∗ (t) und y2∗ (t) aus? Was kann man daraus schliessen? Hinweis: 2πPeriodizität des Sinus! Das Abtasttheorem wird bei der harmonischen Schwingung bei 250 Hz verletzt, da fA = 200Hz < 2fmax = 2 · 250Hz = 500Hz. Die eindeutige Zuordnung der Spektralanteile ist nicht mehr möglich. 37 Lösung 6.6 6 SIGNALE UND SYSTEME 38 Die abgetatsteten Signale sind y1∗ (t) = y1 (ntA ) = sin(2π 50Hz π π · n) = sin( n) = sin( n + 2πn) 200Hz 2 2 250Hz 1 π · n) = sin(2π(1 + )n) = sin( n + 2πn) 200Hz 4 2 Wegen der 2π-Periodizität des Sinuns lassen sich die zwei abgetasteten Signale y1∗ (t) und y2∗ (t) nicht mehr unterscheiden. Durch Verletzung des Abtasttheorems wird fälschlicherweise aus einer 250 Hz-Schwingung eine 50 Hz-Schwingung vermutet. y2∗ (t) = y2 (ntA ) = sin(2π Das Informationssignal 0100110110 aus Abbildung 6.13 wird nun tatsächlich moduliert. Zeichnen sie das Signal im Zeitbereich, einmal mit der Funktion g(t) als Rechtecksignal und einmal mit Root-RaisedCosines-Impuls. Wie viele Perioden lang ist das modulierte Signal? Der Root-Raised-Cosine-Impuls ist definiert durch: 4r t cos[π(1 + r) Tt ] + sin[π(1 − r) Tt ] gcos (t) = T (6.6) [1 − (4r Tt )2 ]πt Beispiel 6.7 mit 0 ≤ r ≤ 1. In diesem Beispiel soll r=0.5 gewählt werden. Die Periode sei T = 1 s. Modulierung mit Rechtecksignal Signal im Zeitbereich 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 t Modulierung mit Root−Raised−Cosine−Impulse 4.5 0 0.5 1 1.5 2 4.5 1.5 Signal im Zeitbereich Die Bitfolge ist 01|00|11|01|10, d.h. es werden die Symbole (1, −1), (1, 1), (−1, −1), (1, −1), (−1, 1) abgebildet. Dies ist den folgenden Phasen zugeordnet: 3π/4, π/4, 5π/4, 3π/4, 7π/4. Die nebenstehende Abbildung stellt das zeitdiskrete modulierte Signal für das Rechtecksignal (Sr ) und den RootRaised-Cosine-Impuls (Scos )dar. Die modulierten Signale haben folgende Form: Es ist klar sichtbar dass für die Modulation mit Root-Raised-CosineImpulsen die Sprünge zwischen den Perioden kleiner sind, was sich in einer schmaleren Bandbreite manifestiert. 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 2.5 t 3 3.5 4 Lösung 6.7 Übungsaufgaben Aufgabe 6.1 Benennen und beschreiben Sie zwei Möglichkeiten zur Verminderung von Aliasing! Aufgabe 6.2 38 Übungsaufgaben 6 SIGNALE UND SYSTEME 39 Man stelle sich eine Situation vor, bei der eine Sende- und eine Empfangsantenne in einer Elektromagnetischen Messkammer (Anechoic Chamber) aufgestellt werden. Die Eigenschaft dieser Messkammer ist, dass alle Wellen an den Wänden absorbiert werden und keine Reflexionen entstehen. Dies wird realisiert mittels pyramidenförmiger Carbonelemente, die elektromagnetische Wellen absorbieren können. Die Dämpfung des Signals kann vernachlässigt werden. a)Das heisst somit, dass der einzige Pfad, der ein Signal nehmen kann, der direkte Weg ist. Wie sieht die Übertragungsfunktion dieses Kanals aus? b) Wenn nun eine absorbierende Wand dieser Messkammer mit einer Metallwand ersetzt wird, wie ändert sich die Übertragunsfunktion? Wir nehmen an dass alle Wände ausser der Metallwand perfekte Absorber sind. Aufgabe 6.3 Das Empfangssignal eines Zweiwege-Mobilfunkkanals soll berechnet werden. Der Empfänger ist ein Auto, das sich mit konstanter Geschwindigkeit Richtung Sendeantenne bewegt. Ein Weg ist der direkte Weg (LOS), der andere ist eine perfekt reflektierende Wand. Die Phasendrehung am Reflexionspunkt wird vernachlässigt. Basierend auf den Beispielen in Kapitel 6.2.2 kann das empfangene Signal hergeleitet werden. Dämpfung wird wiederum vernachlässigt. Aufgabe 6.4 Gegeben sind die folgenden Systeme: a) r1 (t) = 2x(t) b) r2 (t) = t · x(t) c) r3 (t) = dx(t) dt d) r4 (t) = ex(t) e) r5 (t) = x(t) + 4x(t − T0 ) Prüfen Sie, ob sie die Eigenschaften eines LTI-Systems erfüllen. Geben Sie die Impulsantworten sowie Übertragungsfunktionen der LTI-Systeme. Lösung: Einsetzten in die Definitionen ergibt: a) ja, s(t) = 2δ(t), S(jω) = 2 b) nein c) ja, s(t) = dδ(t) dt , S(jω) = jω d) nein e) ja, s(t) = δ(t) + 4δ(t − T0 ), S(jω) = 1 + e−jωT0 Errata: Ergänzenden Bezeichnung in e). Aufgabe 6.5 Ein Sprachsignal x(t) mit der Fourier-Transformierten X(f ) wird mit Hilfe der Amplitudenmodulation zur Sendung über einen Kurzwellensender aufbereitet. Das Sendesignal s(t) wird durch s(t) = (x(t) + m) · sin(2πf0 t) 39 6 SIGNALE UND SYSTEME 40 beschrieben. Dabei ist die Bandbreite B des Sprachsignals x(t) sehr viel kleiner als die Sendefrequenz f0 : B ¿ f0 . a) Geben Sie die Fourier-Transformierte S(f ) des Sendesignals s(t) in Abhängigkeit von X(f ) an. Unter der Annahme, dass das Empfangssignal r(t) in einem Rundfunkempfänger bis auf eine Konstante A gleich dem Sendesignal: r(t) = A · s(t) ist, wird das Empfangssignal r(t) in zwei Schritten demoduliert. Im ersten Schritt wird es mit dem Sinus der Sendefrequenz moduliert: y(t) = r(t)) · sin(2πf0 t) b) Geben Sie die Fourier-Transformierte Y (f ) des Signals y(t) in Abhängigkeit von X(f ) an. Im zweiten Schritt wird das Signal y(t) durch ein ideales Tiefpassfilter mit der Grenzfrequenz f0 2 z(t) = Tiefpass{y(t)} Das Signal z(t) enthält somit nur noch Frequenzanteile im Frequenzbereich [− f20 , f20 ]. c) Geben Sie die Fourier-Transformierte Z(f ) des Signals z(t) in Abhängigkeit von Z(f ) an. d) Geben Sie das Signal z(t) an. 1 Lösung: a) S(f ) = 2j (X(f − f0 ) − X(f + f0 ) + mδ(f − f0 ) − mδ(f + f0 )) b) Y (f ) = A4 (2X(f ) − X(f − 2f0 ) − X(f + 2f0 ) + 2mδ(f ) − mδ(f − 2f0 ) − mδ(f + 2f0 )) c) Z(f ) = A2 (X(f ) + mδ(f )) d) z(t) = A2 (x(t) + m) 40 geschickt.
