Multiple-Choice-Test: Zufallsvariablen und

Eine große Datenerhebung in den USA durch das französische Marktforschungsinstitut Ipsos, hat
gezeigt, dass 26% aller Amerikaner keine Kreditkarte besitzen, 38% eine oder zwei, 20% drei oder
vier, 15% fünf oder mehr und 1% neuen oder mehr Kreditkarten besitzen. (Quelle www.usatoday.com
18.April.2006) Folgende Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der
Kreditkarten, die Personen in den USA besitzen.
Anzahl von Kreditkarten
X
Wahrscheinlichkeit
P(X)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,26
0,22
0,16
0,12
0,08
0,06
0,04
0,03
0,02
0,01
Ist X: „Anzahl von Kreditkarten“ eine diskrete oder stetige Zufallsvariable?
Berechnen Sie die mittlere Anzahl von Kreditkarten, die eine Person in den USA besitzt.
Berechnen Sie die Standardabweichung.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person höchstens 4 (d.h. 4 oder weniger als 4)
Kreditkarten besitzt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mindestens 5 (d.h. 5 oder mehr als 5)
Kreditkarten besitzt?
Bei einer Studie zur Untersuchung der Aufenthaltzeiten von Kunden an Vormittagen in einem
bestimmten Einkaufzentrum wurden die Besuchszeiten (in Stunden) von Kunden notiert, die
Zeitverteilung für den Besuch ergab folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung.
f(x)
X : „Zeit“
0.4
0.3
f (x
)= −
3
32
x
2
+
3
8
x ,
0.2
0.1
für 0
x
4
0
1
2
2
1
Zeit [Stunden]
3
3
4
4
x
Ist die Zufallsvariable X: „Aufenthaltzeit“ diskret oder stetig?
Zeigen Sie, dass f ( x ) eine Dichtefunktion ist.
Berechnen Sie die mittlere Aufenthaltszeit eines Kunden in dem Einkaufszentrum.
Berechnen Sie die Standardabweichung.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Aufenthaltszeit eines Kunden höchsten 3 Stunden
(d.h. 3 Stunden oder weniger als 3 Stunden) beträgt?
Wie groß ist der Anteil von Kunden, deren Aufenthaltszeit höchsten 3 Stunden (d.h. 3 Stunden
oder weniger als 3 Stunden) beträgt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Aufenthaltszeit eines Kunden mindestens 3 Stunden
(d.h. 3 Stunden oder mehr als 3 Stunden) beträgt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Aufenthaltszeit eines Kunden zwischen 1 bis 3
Stunden beträgt?
!
Die folgende Funktion soll eine Wahrscheinlichkeitsdichte darstellen. Welchen Wert muss k besitzen?
f (x) =
kx2
für
0≤ x ≤ 2
sonst
0
–2
0,25
0,375
jeden beliebigen Wert größer als 2
1
" Die Zufallsvariable X hat folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
0
2k
X
P(X)
1
3k
2
13k
3
2k
wobei k eine Konstante ist. Die Wahrscheinlichkeit P (X < 2) ist:
0,9
0,25
können wir nicht berechnen, da wir k nicht kennen.
1,0
#
Welche der folgenden Funktionen stellt eine Dichtefunktion dar?
f (x) =
f (x) =
0,6
für
0≤ x ≤ 2
sonst
0,2
für
0,3
0
für
0≤ x ≤ 2
2≤ x ≤ 4
sonst
0
$ Welche der folgenden Funktionen stellt keine Wahrscheinlichkeitsfunktion dar?
%
X
P(X)
–2
0,13
–1
0,28
1
0,18
3
0,28
4
0,13
X
P(X)
0
0,1
1
0,3
2
0,5
3
0,3
4
0,1
Sei X eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7 ; 10 annehmen kann und deren
Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) beschrieben wird.
&
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert 2 annimmt, ist:
P (X = 2) = f (2)
Können wir nicht angeben, da X den Wert 2 nicht annehmen kann.
P (X = 2) = 0
&&
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der höchstens 4 ist (d.h. 4 oder
weniger ist), lässt sich wie folgt bestimmen:
P (X
4) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4)
P (X < 4) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3)
P (X
4) = f (0) · f (1) · f (3) · f (4)
P (X
4) = f (0) + f (1) + f (3) + f (4)
Antwort a) und d)
&&&
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der größer als 4 ist, lässt sich wie folgt
bestimmen:
P (X > 4) = 1 – P (X
4)
P (X > 5) = 1 – P (X
4)
P (X > 3) = 1 – P (X
3)
2
&'
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der mindestens 4 ist (d.h. 4 oder mehr
ist), lässt sich wie folgt bestimmen:
P (X
4) = 1 – P (X
4)
P (X > 5) = 1 – P (X
4)
P (X > 3) = 1 – P (X
3)
'
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert zwischen 3 und 5 annimmt, lässt sich wie folgt
bestimmen:
P(3 X
5) = P (X
6) – P (X
2)
P(3 X
5) = P (X
6) – P (X < 2)
P(3 X
5) = P (X
5) – P (X
2)
P(3 X
5) = P (X
5) – P (X
3)
( Sei X eine stetige Zufallsvariable, mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion:
f(x) > 0 für – 1 x 3 und f(x) = 0 sonst.
&
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert 2 annimmt, ist:
P (X = 2) = f (2)
Können wir nicht exakt angeben, da X stetig ist und f eine Dichtefunktion ist. Wir können diese
Wahrscheinlichkeit nur ungefähr angeben, wenn wir diese in einem kleinen Intervall um den
Wert 2 berechnen.
Können wir nicht angeben, da X den Wert 2 nicht annehmen kann.
&&
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der höchstens 2 ist (d.h. 2 oder
weniger ist), lässt sich wie folgt bestimmen:
P (X
2) = f (– 1) + f (0) + f (1) + f (2)
2
P (X
2) =
−1
f ( x ) dx =
−∞
2
P (X
2) =
f ( x ) dx
0 ⋅ dx +
−1
2
−∞
0
f ( x ) dx =
−∞
2
f ( x ) dx
0 ⋅ dx +
−∞
0
&&&
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der größer als 2 ist, lässt sich wie folgt
bestimmen:
P (X > 2) = 1 – P (X
2)
P (X > 2) = 1 – P (X
1)
P (X > 1) = 1 – P (X
1)
&'
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der mindestens 2 ist (d.h. 2 oder mehr
ist), lässt sich wie folgt bestimmen:
P (X
2) = 1 – P (X
2)
P (X
2) = 1 – P (X
1)
P (X > 1) = 1 – P (X
1)
'
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert zwischen 1 und 2 annimmt, lässt sich wie folgt
bestimmen:
P(1 X
2) = P (X < 3) – P (X
1)
P(1 X
2) = P (X < 1) – P (X < 2)
P(1 X
2) = P (X
2) – P (X
1)
3
) Die Anzahl der verkauften Hybridfahrzeuge einer bestimmten Marke durch einen Händler in einer
Woche hat die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung.
X
P(X)
0
0,32
1
0,28
2
0,15
3
0,11
4
0,08
5
0,06
Der Händler kauft die Autos beim Hersteller für 21000 € pro Stück und verkauft sie für 24000€ pro
Stück. Wie hoch ist der erwartete Profit des Händlers beim Verkauf von Hybridautos in einer Woche?
2380€
3500€
5355€
8109€
* Eine Versicherungsgesellschaft bietet für Teenager, die ein Auto besitzen eine Versicherung an, die
900$ im Jahr kostet. Für leichte Unfälle bezahlt die Versicherung 1500$ und für schwere Unfälle
8000$. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teenager im Laufe eines Jahres einen leichten Unfall
aufbaut, beträgt 0,15 und dass es einen schweren Unfall verursacht, beträgt 0,05. Wenn die
Versicherung 10 solche Verträge abschließt, welche Einnahmehöhe im Jahr kann sie dann erwarten?
2750$
625$
275$
6250$
Folgende beide Tabellen zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zweier unabhängigen
Zufallsvariablen X und Y . Die beiden Tabellen sind unvollständig. Falls für die zweidimensionale
Zufallsvariable (X ; Y ) die Wahrscheinlichkeit P ( X = 1 ; Y = 2 ) = f (1 ; 2 ) = 0,06 bekannt ist, wie
groß ist dann P (Y = 4 )?
X
P(X)
1
2
0,45
3
0,25
Y
P(Y)
1
0,15
2
3
0,25
4
0,2
0,25
0,3
0,4
+,
+,
4