komplexe zahlen

Euklid
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KOMPLEXE ZAHLEN
1. Vorwort
Für viele stellt sich an dieser Stelle die Frage: Warum eigentlich? Wofür brauch’ ich
das Ganze? Und wieso überhaupt komplexe Zahlen? Wer brauch’ die denn schon?
Man muss sich dafür einmal die Eigenschaften reeller Zahlen betrachten.
Für jede beliebige reelle Zahl a ∈ R gilt, daß ihr Quadrat positiv ist. Anders ausgedrückt gibt es keine reelle Zahl mit negativem Quadrat. Genauso wenig gibt es für
negative reelle Zahlen Wurzelwerte oder Logarithmen. Genau diese Eigenschaften
erweisen sich aber mitunter bei Berechnungen als störend. Deshalb wird der Bereich
R der reellen Zahlen zu einem Zahlenbereich erweitert, in dem diese Operationen
ausführbar sind. Dies ist der Bereich der komplexen Zahlen und wird mit C
bezeichnet.
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2
2. Arithmetische Form der komplexen Zahlen
2.1. Die Zahl i.
Die Menge aller komplexen Zahlen bezeichnet man mit C. Zunächst jedoch führen
wir eine neue Zahl ein und nennen sie i. Diese Zahl hat folgende Eigenschaften:
Definition:
√
(1) i = −1
(2) i ∈
/R
(3) Die Potenzwerte von i wiederholen sich periodisch.
i2 =
−1
i3 = i2 · i = (−1) · i
= −i
i4 = i2 · i2 = (−1) · (−1) =
1
i5 = i4 · i = 1 · i
=
i
Zahlen der Form:
b · i (z.B. 5 · i);
b∈R
Zahlen der Form: a + b · i (z.B. 3 + 5 · i); a, b ∈ R
heißen Imaginäre Zahlen
heißen Komplexe Zahlen
Man nennt a den Realteil von
a+b·i
Man nennt b den Imaginärteil von a + b · i
Von besonderer Bedeutung für das Rechnen mit komplexen Zahlen ist der folgende
Begriff.
Definition:
Zwei komplexe Zahlen z und z̄ heißen zueinander konjugiert komplex, wenn sie
sich nur durch das Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden.
z = a + b · i ; z̄ = a − b · i
Summe und Produkt konjugiert komplexer Zahlen sind reell.
Bsp.: z + z̄
z · z̄
= (a + b · i) + (a − b · i)
= (a + b · i) · (a − b · i) =
a2 − b2 · i2
= 2·a
= a2 + b2
Diese Eigenschaft wird beim Dividieren komplexer Zahlen angewendet, was uns
auch gleich zu einigen Rechenregeln führt:
2.2. Rechenregeln:
Man kann mit komplexen Zahlen wie gewohnt rechnen. Sie unterliegen den selben
Gesetzen wie reelle Zahlen. Für die Division gilt dabei folgendes:
z1
a1 + b1 · i
a1 · a2 + b1 · b2
a2 · b1 − a2 · b2
=
=
+
·i
z2
a2 + b2 · i
a22 + b22
a22 + b22
Der Bruch zz12 wird hier mit der zum Nenner konjungiert komplexen Zahl z¯2 erweitert (a2 − b2 · i). Der entstehende Nenner ist reell und die Division ist ausführbar.
3
2.3. Beispiele:
2.3.1. Addition/Subtraktion.
(5 + 4 · i) + (3 − 2 · i) = 8 + 2 · i
(3 − i) − 5 = −2 − i
2.3.2. Multiplikation/Division.
2 · (3 − i) = 6 − 2 · i
(1 + i) · (2 − 2 · i) = 2 − 2 · i + 2 · i −2 · i2 = 2 + 2 = 4
| {z }
=+2
(3 + 5 · i) · (1 − i) = 3 − 3 · i + 5 · i −5 · i2 = 8 + 2 · i
| {z }
=+5
3+2·i
2−3·i
=
6+9·i+4·i+6·i2
4+6·i−6·i−9·i2
=
6−6·i+4·i+9·i
4−9·i2
=
6−6+4·i+9·i
4+9
=
6−6
4+9
=
0
13
+
+
4+9
4+9
13
13
*
3+2·i
Der Bruch 2−3·i
wird mit (2 + 3 · i)
erweitert, da dies die
konjugiert komplexe
Zahl zu (2 − 3 · i) ist.
·i
·i
=0+i=i
3. Die Gausssche Zahlenebene
Jeder Komplexen Zahl z = a + b · i wird ein Punkt (a, b) in der Ebene zugeordnet.
4
z = a + b · i kann durch den Abstand r dieses Punktes vom Koordinatenursprung
und dem Winkel α festgelegt werden.
(a, b) ... kartesische Kordinaten
(r, α) ... Polarkoordinaten
Es gilt: cos α =
a
r
und sin α =
b
r
=⇒ z = a + b · i = r · (cos α + i · sin α)
Der Abstand r vom Ursprung heißt Absolutbetrag von z und wird mit | z |
bezeichnet.
√
| z |= r = a2 + b2
3.1. Multiplikation in dieser Darstellung.
z1 · z2
= r1 · (cos α + i · sin α) · r2 · (cos β + i · sin β)
= r1 · r2 · (cos α + i · sin α) · (cos β + i · sin β)
= r1 · r2 · (cos α · cos β + cos α · i · sin β + i · α · cos β + i · sin α · i · sin β)
= r1 · r2 · (cos(α + β) + i · sin(α + β))
3.2. Division.
z1
z2
=
r1 ·(cos α+i·sin α)
r2 ·(cos β+i·sin β)
=
r1
r2
·
=
r1
r2
· (cos(α − β) + i · sin(α − β))
cos α+i·sin α
cos β+i·sin β
3.3. Potenzen.
−→ (Formel von
de Moivre)
3.3.1. Allgemein.
z n = rn · (cos n · α + i · sin n · α)
3.3.2. Spezialfall: Euler.
ei·x
e−i·x
z
= cos x + i · sin x
= cos x − i · sin x
= a + b · i = | z | · ei·α = r · ei·α
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3.4. Beispiele.
(1) Umrechnung in arithmetische Darstellung
z1 = 8 · (cos 180◦ + i · sin 180◦ ) = 8 · (−1 + i · 0) = −8
z2 = 4 · (cos 90◦ + i · sin 90◦ ) = 4 · (0 + i · 1) = 4 · i
z3 = 2·(cos 160◦ +i·sin 160◦ ) = 2·(−0, 9397+i·0, 3420) = −1, 8794+i·0, 6840
(2) Multiplikation / Division
z=
z1 ·z2
z3
=
4·(cos 20◦ +i·sin 20◦ )·12·(cos 60◦ +i·sin 60◦ )
16·(cos 120◦ +i·sin 120◦ )
=
4·12·(cos(20◦ +60◦ )+i·sin(20◦ +60◦ ))
16·(cos 120◦ +i·sin 120◦ )
=
48·(cos 80◦ +i·sin 80◦ )
16·(cos 120◦ +i·sin 120◦ )
=
48
16
· (cos(80◦ − 120◦ ) + i · sin(80◦ − 120◦ ))
= 3 · (cos(−40◦ ) + i · sin(−40◦ ))
(3) Potenzieren
◦
z = 2 · ei·100
◦
◦
◦
z 4 = 24 · ei·(4·100 ) = 16 · ei·400 = 16 · ei·40