Interpretation der Quantenmechanik

Mitschrieb zur Vorlesung:
Interpretationen und spezielle Probleme
der Quantenmechanik
Prof. Dr. Ralph von Baltz
Vorlesung Wintersemester 2004/2005
Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 26. April 2008
Mitschrieb der Vorlesung Interpretationen und spezielle Probleme der Quantenmechanik
von Herrn Prof. Dr. Ralph von Baltz im Wintersemester 2004/2005
von Marco Schreck.
Dieser Mitschrieb erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit.
Kommentare, Fehler und Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an [email protected].
Inhaltsverzeichnis
1 Wesenszüge der Quantenphysik
1.1 Komplementarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
2 Strukturumriss und Minimalinterpretation der Quantentheorie
2.1 Stationärer Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Un-Worte in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Wahrscheinlichkeitsinterpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Quantisierung als Eigenwert-Problem (original nach Schrödinger) . . . . . . . . . . .
2.3.3 Zeitentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Messproblem“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
2.4.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Überlagerung zweier stationärer Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Bemerkungen zur Interpretation der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Messung bei t = t0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Realistische Auffassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Positivistische Auffassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Beispiel: Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Reduktion der Wellenfunktion beim Messprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Zustandsoperatoren (allgemeiner Zustandsbegriff der Quantenmechanik, John von Neumann)
2.6.1 Klassische Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3
Ableitung“ (Notbehelf bei Interpretation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
2.6.4 Ableitung des Zustandsoperators %̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 Erstes Rechenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.6 Zweites Rechenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Zwei Spin-1/2-Teilchen im Singulett (Verschränkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Diskussion einiger Experimente, Gedankenexperimente und Paradoxa zur Quantenmechanik . .
2.8.1 Schrödingers Katze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 These . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Überlagerungen von zwei Zuständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 EPR-Paradoxon (besser: Gedankenexperiment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Einsteins Überzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Bohmsche Variante des EPR-Gedankenexperiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Energie-Zeit-Unbestimmtheitsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Einstein-Waage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Lorentz-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Wachhund und Bombe (Quanten-Zenon-Effekt, Non Quantum Demolition Measurement) . . .
2.12.1 Wachhund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.2 Analogon aus der klassischen Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.3 Induzierte Übergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.4 Bombe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Welcher-Weg-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.1 Quanten-Radierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
8
9
9
9
10
10
12
13
13
13
13
14
14
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15
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16
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22
22
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27
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29
30
30
31
33
34
3
INHALTSVERZEICHNIS
3 Quantenmechanik mit verborgenen Parametern/Bohmsche Quantenmechanik
3.1 Bell-Ungleichungen, Bell-Specker-Kochen-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Bell-Kocher-Specker-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bohms Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
38
39
39
4 Alternativer Formalismus der Quantenmechanik und Interpretationen
4.1 Hamilton-Jacobi-Theorie der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . .
4.2 Propagator und Pfad-Integralformalismus der Quantenmechanik . . . . . .
4.2.1 Aharonov-Bohm-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Wigner-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Bewegungsgleichung für die Wigner-Funktion . . . . . . . . . . . .
4.4 Berry-Phase (geometrische oder topologische Phase . . . . . . . . . . . . .
4.5 Klonen und Teleportation von Quantenzuständen . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Klonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Teleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Dekohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
43
45
46
48
49
50
50
51
52
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4
Kapitel 1
Wesenszüge der Quantenphysik
1.) Stochastische Natur
2.) Komplementarität (Teilchen-Welle-Dualismus)
3.) Quantisierung bestimmter Werte
4.) Verschränkung (Korrelationen 6= Wechselwirkung)
5.) Dekohärenz natürlicher Zustände
1.1
Komplementarität
Existieren zwei oder mehrere klassische äquivalente Möglichkeiten, so hat man quantenmechanische Interferenzen.
5
KAPITEL 1. WESENSZÜGE DER QUANTENPHYSIK
6
Kapitel 2
Strukturumriss und
Minimalinterpretation der
Quantentheorie
In der theoretischen Physik gibt es zwei grundlegende abstrakte Begriffe, nämlich der Begriff des Zustands
Z und der Größe G. Diese Begriffe kommen in der folgenden Bedeutung vor: Jeder Naturvorgang kann als
Übergang zwischen verschiedenen Zuständen aufgefasst werden. In einem Zustand hat jede Größe einen (reellen
Zahlen-) Wert W (Z, G), der also vom Zustand und der Größe abhängt.
Wie funktioniert nun die Quantenphysik konkret? Sie benutzt als Operationsbereich einen Vektorraum über
komplexen Zahlen; dies ist die Spielwiese“, auf dem man sich befindet. Die Elemente dieses Vektorraums V sind
”
Vektoren ϕ, ψ (mathematische Bezeichnung) oder |ϕi, |ψi (Physik). Diese Vektoren kann man addieren und
mit komplexen Zahlen multiplizieren; dies ist die mathematische Vektorraumstruktur. In diesem Vektorraum
kann man ein Skalarprodukt zwischen den Vektoren ϕ1 und ϕ2 definieren durch (ϕ1 , ϕ2 ) = (ϕ2 , ϕ1 )? (komplexe
Zahl), das die Eigenschaft (ϕ, ϕ) ≥ 0 besitzt. (ϕ, ϕ) = 0 gilt dann und nur dann, wenn ϕ = 0 ist. Ein Zustand
|ϕi heißt normiert, falls hϕ|ϕi = 1 gilt, wobei die Menge der normierten Vektoren jedoch keinen Vektorraum
darstellt, da beispielsweise im allgemeinen die Summe zweier normierter Vektoren kein normierter Vektor
ist. Eine Größe in diesem Vektorraum kann als linearer hermitescher Operator Ĝ dargestellt werden mit den
Eigenschaften:
U Ĝ(ϕ1 + ϕ2 ) = (Ĝϕ1 ) + (Ĝϕ2 )
U (ϕ1 , Ĝϕ2 ) = (Ĝϕ1 , ϕ2 )
Der Wert W (Z, Ĝ) = (ψ, Ĝψ) ist reell. Kommen wir nun zur Dynamik: Wir fragen uns, wie sich ein Zustand
ψ(x) zur Zeit t = 0 zeitlich entwickelt: ψ(x, t = 0) 7→ ψ(x, t). Zur Beschreibung der Dynamik, also des
Bewegungsgesetzes der Zustandsvektoren dient die Schrödinger-Gleichung:
i~
∂
|ψ(t)i = Ĥ|ψ(t)i
∂t
Ĥ ist der Hamilton-Operator ( Hamiltonian“); dies ist ein Energie-Operator.
”
2.1
Stationärer Zustand
In einem stationären Zustand hat jede Größe (die nicht selbst explizit von der Zeit abhängt) einen zeitlich
konstanten Wert. Dies führt auf:
¶
µ
iEt
ψ(x)
ψ(x, t) = exp(iφ(t))ψ(x) = exp −
~
Setzt man diesen Ansatz in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ein, so erhält man die zeitunabhängige:
Ĥψn = En ψn . Nebenbemerkung: Harmonische Oszillatoren haben klassisch x = 0 und v = 0 als stationären
Zustand, quantenmechanisch jedoch unendlich viele stationäre Zustände!
7
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
2.2
Un-Worte in der Quantenmechanik
U Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens |ψ(x)|2
Diese Begriff kommt aus einer Zeit, in der es die Quantenmechanik noch nicht gab, nämlich aus der Zeit
des Bohrschen Atommodells, in dem sich Elektronen auf bestimmten Bahnen um den Atomkern bewegen. Man sollte daher |ψ(x)|2 = |hx|ψi|2 als Übergangswahrscheinlichkeit von |ψi im Ortseigensystem |xi
deuten. Was spricht gegen die Existenz einer Bahn? Betrachten wir dazu einen harmonischen Oszillator
im Grundzustand, also mit der Grundzustandsenergie E0 = 12 ~ω und der Grundzustandswellenfunktion
³ 2´
ψ0 (x) ∼ exp − x2 .
Klassische Umkehrpunkte befinden sich in den Wendepunkten.
E=
p2
mω 2 2
+
x
2m
2
~2 ∂ 2 ψ(x)
+ (V (x) − E)ψ(x) = 0
2m ∂x2
Für x > 1 oder x < −1 ist die klassische kinetische Energie < 0, es ist also keine klassische Bewegung
~ = ~r × p~, aber quantenmechanisch kann Lz nur die Werte 0, ±~, ±2~, . . .
möglich. Klassisch gilt L
annehmen.
−
|ψi 7→ |xi : |hx|ψi|2
U Unschärferelation, Unbestimmtheits-Prinzip
Besser ist der Begriff Unbestimmtheits-Relation. Oft liest man: Man kann x und p nicht gleichzeitig
”
scharf messen.“ Besser ist jedoch die Formulierung: Es gibt keinen Zustand, in dem sowohl x als auch
”
p einen scharfen Zustand haben.“
U Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Ĥψn (x) = En ψn (x)
Man redet besser vom Eigenwertproblem der Energie. ψn (x) ist dann ein Energie-Eigenzustand (stationärer Zustand). Hψ = Eψ ist im Gegensatz zu
i~
∂ψ(x, t)
= Ĥψ(x, t)
∂t
nicht für alle ψ’s gültig.
2.3
Erhaltungsgrößen
Speziell wollen wir solche Erhaltungsgrößen betrachten, welche selbst nicht explizit von der Zeit abhängen. Ĝ
ist erhalten, wenn W (Z, G) = hψ|Ĝ|ψi für alle ψ zeitlich konstant ist:
¯
¯
¿
À
¯i
¯
d
!
hψ(t)|Ĝ|ψ(t)i = ψ(t) ¯¯ [Ĥ, Ĝ]¯¯ ψ(t) = 0
dt
~
Damit dies gilt, muss [Ĥ, Ĝ] gleich 0 sein; Ĥ und Ĝ müssen also miteinander vertauschen.
8
2.3. ERHALTUNGSGRÖSSEN
2.3.1
Wahrscheinlichkeitsinterpretation
Da W (Z, Ĝ) ein Erwartungswert ist, muss sich dieser als eine Summe von Wahrscheinlichkeiten schreiben
lassen:
X
W (Z, Ĝ) =
gn · Wn
n
Wn ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert gn von G zu finden. Es müssen also die Wahrscheinlichkeiten Wn
bekannt sein und welche Werte gn überhaupt auftreten können. Diese bestimmten Werte sind gerade die
Eigenwerte von Ĝ.
2.3.2
Quantisierung als Eigenwert-Problem (original nach Schrödinger)
Welche Werte von Ĝ treten überhaupt auf? Betrachten wir die Streuung von Ĝ:
¿ ¯³
´2 ¯¯ À
¯
2
2
2
¯
(∆G) = hψ|Ĝ |ψi − hψ|Ĝ|ψi = ψ ¯ Ĝ − hĜi ¯¯ ψ ≥ 0
Wir suchen nun solche Zustände, bei denen die Streuung gleich 0 ist:
¿ ¯³
´2 ¯¯ À
¯
!
¯
∆Ĝ = 0 ⇒ ψ ¯ Ĝ − hĜi ¯¯ ψ = 0
∆Ĝ =
µ ³
´2 ¶ ³³
´ ³
´ ´
!
ψ, Ĝ − hĜi ψ = Ĝ − hĜi ψ, Ĝ − hĜi ψ = 0
Es sei nun ψe = (Ĝ − hĜi)ψ. Aus der Forderung ψe = 0 erhält man:
!
Ĝ|ψi = hĜi|ψi = 0 ⇒ Ĝ|ψi = g|ψi mit g = hĜi
Dabei handelt es sich um das Eigenwertproblem des Operators Ĝ mit dem Eigenwert g. Kommen wir nun
zurück zur Wahrscheinlichkeits-Interpretation:
¯ +
* ¯
¯ X
¯
¯
¯
W (Z, G) = hψ|Ĝ|ψi = hψ|Ĝ1̂|ψi = ψ ¯Ĝ
|ϕn ihϕn |¯ ψ mit Ĝ|ϕn i = gn |ϕn i
¯ n
¯
Man bezeichnet dies auch als Zerlegung der Einheit. Weiterhin gilt nun:
X
X
2
2
W (Z, G) =
hψ|gn |ϕn ihϕn |ψi =
gn · |hϕn |ψi| mit |hϕn |ψi| = Wn
n
n
Dieses Wertfunktional ist also genau von der Struktur eines statistischen Erwartungswertes.
2.3.3
Zeitentwicklung
Darunter wollen wir die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung verstehen. Es sei also ψ(x) zur
Zeit t = 0 gegeben. Dann wollen wir wissen, wie ψ(x, t) zu einem späteren Zeitpunkt t aussieht!
!
Ã
iĤt
ψ(x, t = 0)
ψ(x, t) = exp −
~
Dies gilt, sofern Ĥ nicht explizit von t abhängt. Die Strategie ist, ψ(t = 0) zu entwickeln:
X
cn |ϕn i mit H|ϕn i = E|ψn i
|ψ(t = 0)i =
n
f (Ĥ)|ψ(t = 0)i =
X
cn f (En )|ϕn i
n
Dies kann man sich durch die Reihenentwicklung der Funktion f klar machen. Betrachten wir als Beispiel die
Exponentialfunktion:
· µ
¶¸
µ
¶
µ
¶
i
1
i
1
i
exp −
Ĥt
=1− ·
Ĥt + ·
Ĥt + . . .
~
!
~
2!
~
Die Reihenkoeffizienten wendet man dann auf |ψ(t = 0)i an.
9
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
Gegenbeispiel
Wir betrachten den Hamilton-Operator eines freien Teilchens:
H=−
~2 ∂ 2
2m ∂x2
·
ψ(x, t = 0) = exp −
1
1 − x2
¸
für |x| < 1
Wie entwickelt sich diese Funktion im Laufe der Zeit? Sie bleibt in der Mitte des Koordinatensystems; sie
zerfließt aber. Dies ist so, weil der Erwartungswert des Impulses einer reellen Funktion immer gleich 0 ist. Für
|x| > 1 gilt Ĥψ(x) ≡ 0, das heißt, ψ(x, t) ≡ 0 für |x| > 1.
2.4
Messproblem“
”
Wir glauben, dass es für jede Größe ein Messgerät gibt, das es gestattet, die entsprechende Größe fehlerfrei zu
messen:
U Beliebige Genauigkeit
U Beliebig kleine Messzeit
U Für jede Größe gibt es ein eigenes Messgerät.
Unterscheide: Zustandsgröße, Einzelmessung/Messung
2.4.1
Harmonischer Oszillator
Wir betrachten als System den harmonischen Oszillator mit
r
p̂2
1
~
2 2
Ĥ =
+ mω x mit λ =
als Einheit
2m 2
mω
10
2.4.
MESSPROBLEM“
”
Stationäre Zustände sind:
µ
¶
x2
ψn (x) ∼ Hn (x) · exp − 2
2λ
Der Grundzustand wird beschrieben durch:
µ 2¶
µ
¶
x
1
1
ψ0 (x) = √
exp −
, En = ~ω n +
4
2
2
π
Wie bringt man nun einen harmonischen Oszillator in den Grundzustand (Präparation)? Der Oszillator befinde
sich in irgendeinen Energieeigenzustand. Dann bringt man ihn in Kontakt mit dem Energie-Messgerät, das
einen Wert für En anzeigt. Die Präparation nimmt man nun durch Selektion der Messwerte vor; man probiert
also solange, bis das Messgerät den Wert E = 12 anzeigt. Messung“ bedeutet in dieser statistischen Situation
”
also, dass man eine Wiederholung von vielen Einzelmessungen durchführt.
Zustandspräparation: ψ0
ψ0
ψ0
...
ψ0
Gebot: An jedem Mitglied des Ensembles darf nur einmal gemessen werden, da durch die Messung der Zustand
(unkontrolliert) (durch den intrinsisch statistischen Charakter) verändert werden können.
Wenn man ein System in Ruhe lässt, dann ändert sich der Zustandsvektor nach der Schrödinger-Gleichung.
Führt man eine Messung beispielsweise von x durch, so befindet sich das System in einem Eigenzustand von
x. Betrachten wir beispielsweise ein γ-Mikroskop, das Heisenberg in einer seiner Arbeiten erwähnt hat:
Man verändert den Impuls des Elektrons durch den optischen Abbildungsprozess. Damit gilt die Unbestimmtheitsrelation ∆x · ∆p ≥ 12 ~. Die Auflösung wird umso besser, je kleiner λγ ist.
Mathematisch gesehen ist die Unbestimmtheitsrelation eine Folge der Vertauschungsregeln von Ort und Impuls, also [x̂, p̂] = −i~ und außerdem der Schwarzschen Ungleichung des Skalarproduktes |hψ1 |ψ2 i|2 ≤
hψ1 |ψ1 ihψ2 |ψ2 i. Für gleiche |ψi’s gilt:
(∆x)2 = hψ|x2 |ψi − hψ|x|ψi2 , (∆p)2 = hψ|p2 |ψi − hψ|p|ψi2
11
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
2.4.2
Überlagerung zweier stationärer Zustände
1
ψ(x, t = 0) = √ [ψ0 (x) + ψ1 (x)]
2
Die Zeitabhängigkeit gewinnt man nun durch:
·
µ
¶
µ
¶¸
1
E0 t
E1 t
ψ(x, t) = √ ψ0 (x) exp −i
+ ψ1 (x) exp −i
~
~
2
Dabei handelt es sich um ein schwingendes Wellenpaket mit der Frequenz ω =
E1 −E0
.
~
?
Im Gegensatz zur Orts- oder Impulsstatistik ändert sich die Statistik der Energie nicht: Die Energie ist erhalten!
p2
2m
1
= mω 2 x2
2
U Kinetische Energie: Ĥkin =
U Potentielle Energie: Ĥkin
2
hp̂ i =
X
p
+∞
+∞
Z
Z
p2 =p2
2
f (p2 )p2 dp2
p w(p) ⇒
W (p)p dp ⇒
W
2
−∞
−∞
f (p2 )2p dp
[W (−p) + W (p)] dp = W
h
i
p
p
f (Epot ) = 1 W (− Ekin ) + W (+ Ekin ) √ 1
W
2
Ekin
12
2.5. BEMERKUNGEN ZUR INTERPRETATION DER QUANTENMECHANIK
Der Hamilton-Operator setzt sich zusammen aus Ĥkin und Ĥpot . Man erhält als Energie:
1
1 1
+ =
4 4
2
Für die Streuung gilt ∆E = 0, ∆Ekin 6= 0 und ∆Epot 6= 0. Quantenmechanische Streuungen haben nichts mit
klassischen Fehlern zu tun!
E0 ≡ hψ0 |Ĥ|ψ0 i = hHkin i + hHpot i =
2.5
Bemerkungen zur Interpretation der Quantenmechanik
U t = 0: ψ S (x) gesch., ψ0M (q) = im Grundzustand
ψges (x, q) = ψ S (x) · ψ M (q)
U t > 0: Kontakt von System und Messgerät
X
S
ψges (x, q; t) =
(x) · ψnM (q) · Cmn (t)
ψm
m
S
M
ψm
und ψN
sind stationäre Zustände von System und Messgerät.
2.5.1
Messung bei t = t0
U Definierte Anzeige vom Messgerät zur Größe Ĝ: g0
U System muss im Eigenzustand von Ĝ zum Eigenwert g0 sein.
Die Anzeige wird fixiert durch die Wechselwirkung mit der Umgebung (Irreversibilität). Es besteht folgendes
Problem: Die Quantenmechanik umfasst die klassische Mechanik, sie bedarf aber der klassischen Physik zur
Interpretation; Messgeräte sind nämlich klassisch. Zu diesem Thema gibt es interessante Bücher:
U Baumann, Sexl: Interpretation der Quantenmechanik
U Selleri: Debatte um die Quantentheorie
U Wheeler und Zurek: The Quantum Measurement Problem (gesammelte Artikel)
2.5.2
Realistische Auffassung
Man nimmt an, dass die Bausteine der Atomphysik“ (Elektron, Proton, . . ., Quarks, . . .) unabhängig von
”
uns und unseren Messungen“ existieren. Das Ziel ist es, die Struktur und atomare Vorgänge durch Bilder
”
(anschauliche Modelle) zu verstehen und Naturgesetze so zu formulieren, dass jeder beobachtete Effekt auf
(mindestens) eine Ursache zurückgeführt wird.
2.5.3
Positivistische Auffassung
Weder den Phänomenen noch den Beobachtungsmitteln kann eine eigenständige Realität zugeschrieben werden.
U Es besteht eine gewisse Willkür, was zum System Messgerät“ zählt. Das heißt, die Grenzen zwischen
”
der Quantenwelt“ und der makroskopischen Welt verläuft fließend. Wieso ein Messgerät also einen
”
bestimmten Wert anzeigt, kann man bis heute nicht begründen.
U Die klassische Physik nimmt eine Art Zwitterstellung“ ein; die Quantenmechanik umfasst die klassische
”
Physik, bedarf ihrer aber zur Interpretation.
13
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
2.5.4
Beispiel: Elektronen
Elektronen sind weder kinematische Körper noch Individuen. Betrachten wir die Elektron-Elektron-Streuung:
Der Detektor kann nicht unterscheiden, ob der erste oder der zweite Vorgang abläuft. Die Quantenmechanik
ist philosophisch nicht neutral:
U leugnet Realität
U Die Messung stört nicht vorhandene Werte, sondern sie erzeugt diese!
2.5.5
Reduktion der Wellenfunktion beim Messprozess
Bei der Messung geht die Wellenfunktion ψ(x) über in ϕn0 (x), welcher Eigenzustand der Messgröße ist.
X
ψ(x) =
cn ϕn (x) 7→ ψn0 (x)
n
Schrödinger hat postuliert, dass das System am Anfang die Wellenfunktion ψ(x) und am Ende ϕn0 aufweist.
Dazwischen vermischen sich jedoch die Basissysteme von System und Messgerät:
X
eM
S
cmn (t)ψm
(x) × ϕn (q) 6= ψeS (x) · ψe (q)
mn
Die Wellenfunktion des isolierte Systems geht beim Messprozess verloren“; sie existiert nicht mehr. Was nicht
”
”
existiert, kann sie nicht ändern.“ (nach Schrödinger).
1.) Kopenhagener Interpretation:
|ψi ist für alle Mitglieder des Ensembles gleich; es handelt sich um eine vollständige Beschreibung (nach
Born, Bohr, Heisenberg).
ψ
ψ
ψ
...
... ψ
Hierzu gibt es einen Text von Stopp mit dem Titel Copenhagen Interpretation“ im American Jour”
nal of Physics 40, 1098 (1972). Außerdem kann man die Internetseite von J.G.Cramer besuchen:
//faculty.washington.edu/cramer/theory.htm.
2.) Statistische Interpretation:
|ψi gehört dem gesamten Ensemble (nach Einstein). Werte W (Z, G) = hψ|Ĝ|ψi sind statistische Erwartungswerte (Born). Dafür gibt es sehr schöne Übersichtsartikel von Ballentine im Review of Modern
Physics 42, 358 (1970) und von Laloe im American Journal of Physics 69, 655 (2001). Eine interessante
Internetseite zur stochastischen Quantenmechanik ist:
www-2.cs.cmu.edu/∼lafferty.
Heisenberg:
Wichtigstes“ Ziel der Naturwissenschaften ist die Formulierung von Gesetzen, welche die Vorgänge regieren
”
– nicht Bereitstellung von anschaulichen Bildern. Die letzte Wurzel der Erscheinungen sind mathematisch
formale Gesetze“.
14
2.6. ZUSTANDSOPERATOREN (ALLGEMEINER ZUSTANDSBEGRIFF DER
QUANTENMECHANIK, JOHN VON NEUMANN)
2.6
Zustandsoperatoren (allgemeiner Zustandsbegriff der Quantenmechanik, John von Neumann)
2.6.1
Klassische Physik
U Ideale (reine) Zustände:
Das Tupel (x, p) legt einen bestimmten Zustand fest. Man geht also davon aus, das Teilchen habe einen
bestimmten Ort und Impuls hat. Die Werte physikalischer Größen sind Funktionswerte G(p, x). ∆G > 0
ist eine Folge von Fehlern.
U Realer Zustand ( Gemisch“):
”
Ort und Impuls lassen sich nur mit bestimmten Unsicherheiten angegeben. Um mit der mangelnden
Kenntnis umzugehen, bedient
Z Zman sich einer statistischen Beschreibung, nämlich einer Wahrscheinlichkeitsdichte W (p, x) ≥ 0 mit
W (x, p) dx dp = 1. Beispielsweise gilt für eine thermische Verteilung:
µ
H(p, x)
W ∼ exp −
kB T
¶
Diese Disziplin heißt klassische statistische Physik. Der Wert von G wird als statistischer Erwartungswert
gesehen:
ZZ
W (Z, G) =
W (p, x)G(x, p) dx dp
2.6.2
Quantenmechanik
U Reine Zustände:
Diese werden durch Zustandsvektoren (Kets) |ψi oder Wellenfunktionen ψ(x) beschrieben. Es gilt ∆G0 =
0, aber ∆Gn > 0 für n ≥ 1. Man kann also nicht die Streuung aller Größen beseitigen; Streuungen sind
nicht unbedingt Folge von Fehlern!
X
W (Z, G) = hψ|Ĝ|ψi =
gn W (gn ) mit W (gn ) = |hgn |ψi|2 , Ĝ|gn i = gn |gn i
n
Man kann einen Wahrscheinlichkeitsoperator Ŵ definieren mit W (gn ) = hψ|Ŵ |ψi. Um W (gn ) = |hgn |ψi|2
zu erhalten, muss man die Form ŴĜ (gn ) = |gn ihgn | wählen; dabei handelt es sich um einen Projektionsoperator P̂|gn i .
U Reale Quantenzustände ( Gemische“):
”
Anstelle des Zustandsvektors |ψi betrachten wir einen Zustandsoperator %̂, welcher hermitesch, positiv
definit ist und für den außerdem Sp(%̂) = 1 gilt. Damit folgt für den Wert:
W (Z, G) = Sp(%̂Ĝ) =
X
hn|%̂Ĝ|ni
n
{|ni} ist hierbei eine beliebige orthonormale Basis, da sich die Spur unter Basistransformationen nicht
ändert. Im Falle eines reinen Zustandes ist %̂ gerade der Projektor auf diesen Zustand, also %̂ = |ψihψ|
(|n = 1i = |ψi, |n > 1i ⊥ |ψi). Hier gilt nun:
X
X
hψ|Ĝ|nihn|ψi = hψ|Ĝ|ψi
hn|ψihψ|Ĝ|ni =
Sp(%̂Ĝ) =
n
n
Allgemein gilt für ein inkohärentes Gemisch von Zuständen:
%̂ =
X
m
Wm |ψm ihψm | mit Wm ≥ 0 und
X
Wm = 1
m
15
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
2.6.3
Ableitung“ (Notbehelf bei Interpretation)
”
Wir führen den Stern-Gerlach-Versuch mit Spin-1/2-Systemen durch.
±e ~
Das magnetische Moment des Elektrons ist µ
~ = g · 2m
S. | ↑i sei Eigenzustand von σ̂z zum Eigenwert +1.
In welchem Zustand sind die Spins nach Verlassen des Ofens? In keinem, zumindest nicht in einem mit Ket
α| ↑i+β| ↓i mit |α|2 = |β|2 = 12 ; die Phasen von α und β sind unbestimmt. Wir entwickeln diesen fragwürdigen
Zustand nach der Eigenbasis:
X
|?i =
Cn |ni mit Cn = |Cn | · exp(iϕn )
n
ϕn ist statistisch. Berechnen wir nun den Erwartungswert:
XX
?
hĜi = h?|Ĝ|?i =
Cm
Cn hm|Ĝ|ni
m
n
Wir mitteln nun über alle Phasen (aufgepropfter klassischer Mittelwert):

Z2π
 0 für m 6= n
ϕ
dϕmn
h i =
exp (−i(ϕm − ϕn )) =

2π
1 für m = n
0
X
X
ϕ
hĜi =
|Cm |2 hm|Ĝ|mi = Sp(%̂Ĝ) mit %̂ =
Wm |mihm|, Wm = |Cm |2
m
m
Man beseitigt durch die Mittelwertbildung sämtliche Interferenzen. Betrachten wir das Ensemble:
ψ1
...
ψ1
ψ2
...
ψ2
...
Es ist nicht bekannt, welches Einzelsystem welche ψm hat. Das System hat keine Wellenfunktion, bevor man es
nicht in Kontakt mit dem Messgerät gebracht hat. Es gibt keine Interferenzen von ψ1 und ψ2 . Eine kohärente
Überlagerung von ψ1 und ψ2 ist C1 |ψ1 i + C2 |ψ2 i.
2.6.4
Ableitung des Zustandsoperators %̂
U %̂ hermitesch, Eigenwerte reell
U %̂ positiv, Eigenwerte ≥ 0
U Sp(%̂) = 1
Daraus ergibt sich 0 ≤ EW ≤ 1.
U Reiner Zustand durch Projektor: %̂ = P̂|ψi = |ψihψ|
X
Wm |mihm|, |mi ist Eigenzustand von %̂
U Spektralzerlegung: %̂ =
m
U Entropie: S = −kB · Sp(%̂ ln(%̂)) ≥ 0
Die Quantenmechanik kann Zustand mit S > 0 beschreiben.
U Zeitliche Entwicklung von %̂ (Schrödinger-Bild)
µ
¶
∂ %̂(t)
i
d%̂(t)
+ [Ĥ, %̂] = 0
=:
∂t
~
dt
(Dies ist die von Neumann-Gleichung. Bilde Matrixelemente bezüglich irgendeiner Basis |mi: %mn (t).)
16
2.6. ZUSTANDSOPERATOREN (ALLGEMEINER ZUSTANDSBEGRIFF DER
QUANTENMECHANIK, JOHN VON NEUMANN)
2.6.5
Erstes Rechenbeispiel
Betrachten wir wieder den Stern-Gerlach-Versuch mit Spin 1/2, den wir in x-, y- und z-Richtung aufstellen:
hσ̂x i = Sp(%̂σ̂x ) = 0 (↑x , ↓x 50%), hσ̂y i =
4
3
, hσ̂z i =
5
5
Betrachten wir den Zustandsoperator in Matrixdarstellung
µ
¶
a
b
%̂ = ?
b 1−a
in der Basis von ↑z , ↓z mit reellem a, wobei 0 ≤ a ≤ 1. Es handelt sich um einen reinen Zustand, falls gilt
%̂2 = %̂. Bei einem Gemisch ist nämlich %̂2 6= %̂. Es seien Wν die Eigenwerte und |νi die Eigenvektoren von %̂:
X
%̂ =
Wν |νihν|
Der Begriff des Gemisches“ bezieht sich auf die (in)kohärente Überlagerung. Fassen wir noch einmal zusam”
men:
U Kopenhagener Interpretation:
Ensemble ψ
ψ
ψ
...
... ψ
U Statistische Interpretation: ψ gehört zu Ensemble als Ganzes
”
ψ:
...
...
U Gemisch (Hilfsvorstellung):
ψ1
ψ2
ψ3
...
. . . ψn
undµ hσ̂z i = 35 .¶Der Dichteoperator werde in
a
b
der Basis von σ̂z (immer Angabe der Basis!) beschrieben durch %̂ = ?
. Wir müssen also drei reelle
b 1−a
Zahlen a, b1 und b2 mit b = b1 + ib2 finden, um das Problem zu lösen.
·µ
¶ µ
¶¸
a
b
0 1
hσ̂x i = Sp(%̂σ̂x ) = Sp
·
= b + b? = 2Re(b)
b? 1 − a
1 0
Betrachten wir nun ein Spin-1/2-System mit hσ̂x i = 0, hσ̂y i =
!
hσ̂y i = Sp(%̂σ̂y ) = −2Im(b) =
!
hσ̂z i = Sp(%̂σ̂z ) = 2a − 1 =
4
5
4
2i
⇒ b=−
5
5
3
4
⇒ a=
5
5
Damit erhalten wir also:
µ
¶ µ4
¶
µ4
a
b
− 2i
2
5
5
5
%̂ = ?
= 2i
, %̂ = 2i
1
b 1−a
5
5
5
− 2i
5
1
5
¶2
µ4
=
5
2i
5
− 2i
5
1
5
¶
= %̂
Damit handelt es sich also um einen reinen Zustand und kein Gemisch. %̂ lässt sich darstellen als:
µ ¶
2
∧ 1
%̂ = |ψihψ| mit |ψi = √
5 i
Außerdem handelt es sich um einen reinen Zustand, da hσ̂x i2 + hσ̂y i2 + hσ̂z i2 = 1 ist; was jedoch nur bei
Spin-1/2-Systemen funktioniert. Immer gilt jedoch:
hσ̂x2 i + hσ̂y2 i + hσ̂z2 i = 1 + 1 + 1 = 3
17
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
2.6.6
Zweites Rechenbeispiel
Es sei nun
µ ¶
α
|ψi =
mit |α|2 + |β|2 = 1
β
Frage: In welche Richtung zeigt der Spin?


hψ|σ̂x |ψi
ˆ |ψi = hψ|σ̂y |ψi
hψ|~σ
hψ|σ̂z |ψi
Dabei muss es sich um einen normalen Vektor im dreidimensionalen Anschauungsraum. Man unterscheide
vom zweidimensionalen abstrakten Vektorraum für |ψi.
Vor der Präparation des | ↑i-Zustandes durch Stern-Gerlach-Versuch ¬ handelt es sich beim Atomstrahl
um ein Gemisch bezüglich des Spins. Der Dichteoperator dieses Gemisches wird beschrieben durch:
%̂ =
1
1
1
| ↑ih↑ | + | ↓ih↓ | = 1
2
2
2
Für die Messung von σ̂y mit Stern-Gerlach-Versuch  erhält man:
W (↑y ) = h↑z |P̂|↑y i | ↑z i = |h↑y | ↑z i|2 =
1
2
W (↓y ) = h↓z |P̂|↓y i | ↑z i = |h↓y | ↑z i|2 =
1
2
Die normierten Eigenzustände von
µ
¶
0 −i
σ̂y =
i 0
lauten in der σ̂z -Basis:
µ ¶
µ ¶
1 1
1
1
| ↑y i = √
und | ↓y i = √
2 i
2 −1
|ψi =
X
cα |α(σy − EZ)i
α
18
2.6. ZUSTANDSOPERATOREN (ALLGEMEINER ZUSTANDSBEGRIFF DER
QUANTENMECHANIK, JOHN VON NEUMANN)
Ein schöner Artikel zu dieser Thematik ist Scully: Spin Coherence and Humpty Dumpty“. Wir betrachten
”
den allgemeinen Spin-Operator in Richtung ~n:


cos ϕ sin ϑ
~n =  sin ϕ sin ϑ 
cos ϑ
¶
cos ϑ
exp(−iϕ) sin ϑ
exp(iϕ) sin ϑ
− cos ϑ
µ
ˆ = nx σ̂x + ny σ̂y + nz σ̂z =
σ̂n = ~n · ~σ
Die Eigenzustände von σ̂n lauten:
¡ ¢
¡ ¢¶
µ
¶
µ ¶
µ
µ ¶
cos ϑ2 ¡ ¢
1
− exp(−iϕ)
·¢sin ϑ2
0
¡
| ↑~n i =
= Û
, | ↓~n i =
= Û
0
1
exp(iϕ) · sin ϑ2
cos ϑ2
(1, 0)| und (0, 1)| sind die Basisvektoren von σ̂z . (Nebenbemerkung: Zustände transformieren sich nach halbem
Winkel. Eine 2π-Drehung des Koordinatensystems führt also zu einer Multiplikation des Zustandes mit dem
Wert −1.) Die Matrix Û lautet:
¡ ¢
¡ ¢¶
µ
cos ϑ2 ¡ ¢ − exp(−iϕ)
·¢sin ϑ2
¡
Û =
cos ϑ2
exp(iϕ) · sin ϑ2
Was ist nun die Wahrscheinlichkeit, σn = ±1 zu messen für den Zustand | ↑z i?
µ ¶
µ ¶
ϑ
ϑ
2
2
W (↑n ) = h↑z |P|σn =1i | ↑z i = cos
, W (↓n i) = h↑z |P̂|σn =−1i | ↑z i = sin
2
2
µ ¶
¸·
µ ¶
µ ¶
¸
µ ¶
·
µ ¶
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
| ↑z i + exp(iϕ) sin
| ↓z i · cos
| ↑z i + exp(iϕ) sin
| ↓z i = cos2
·| ↑z ih↑z |+. . .
P|↑n i = cos
2
2
2
2
2
h↑z |σ̂n | ↑z i = +1 · W (↑n ) + (−1) · W (↓n ) = cos (ϑ)
Das System verhält sich also rotationsunabhängig!
19
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
2.7
Zwei Spin-1/2-Teilchen im Singulett (Verschränkung)
Der Gesamtimpuls und Gesamtdrehimpuls beider Teilchen sei gleich null, so dass nur Spin-Zustände existieren,
~ˆ = S
~ˆ1 +S
~ˆ2 der Gesamtspin darstellt und [S
~ˆ2 +Ŝz ] = 0 gilt. Der Singulett-Zustand ist ein reiner Zustand:
wobei S
1
|S = 0, Sz = 0i = √ [| ↑z i| ↓z i − | ↓z i| ↑z i]
2
U Der Singulett-Zustand ist vollständig rotationsinvariant.
U |Singuletti 6= |?i1 ⊗ |?i2 (Verschränkung)
Man kann sich nun folgende Fragen stellen:
1.) Messung von σ̂n für Teilchen 1 mit Stern-Gerlach ¬, kein Stern-Gerlach 
W (↑n ) = hSingulett|P̂|σn =1i 1(2) |Singuletti =
1
2
1
2
Dies gilt unabhängig von der Richtung ~n. Der Zustand von Spin 1 ist daher ein Gemisch; es ist %̂1 = 12 11 .
W (↓n ) = hSingulett|P̂|σn =−1i 1(2) |Singuletti =
2.) Messung wie (1), aber mit Stern-Gerlach /Messresultat Nr.1 nicht zur Kenntnis
3.) Messung mit Stern-Gerlach ¬ und Stern-Gerlach , beide Resultate werden zur Kenntnis genommen
Betrachten wir den Singulett-Zustand:
´
1 ³
|S = 0, Sz = 0i = √ | ↑i(1) | ↓i(2) − | ↓i(1) | ↑i(2)
2
Wir berechnen die Eigenzustände zu
µ
¶
cos ϑ
exp(−iϕ) sin ϑ
σ̂n = ~n · ~σ =
exp(+iϕ) sin ϑ
− sin ϑ
µ ¶
µ ¶
ϑ
ϑ
| ↑i + exp(iϕ) sin
| ↓i
| ↑n i = cos
2
2
µ ¶
µ ¶
ϑ
ϑ
| ↓n i = exp(−iϕ) sin
| ↑i + cos
| ↓i
2
2
Der Projektor auf |σn i lautet:
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
P̂|σn i = |σn ihσn | = cos2
| ↑ih↑ | + sin
cos
(| ↑ih↓ | + | ↓ih↑ |) + sin2
| ↓ih↓ |
2
2
2
2
20
2.7. ZWEI SPIN-1/2-TEILCHEN IM SINGULETT (VERSCHRÄNKUNG)
a.) Die Messung erfolgt nur an einem Spin:
(1)
W (σn ) = hSingulett|P̂|σn i |Singuletti
Es gilt W (1) (↑n ) =
1
2
und W (1) (↓n ) =
1
2
bezüglich jeder Richtung ~n. Dasµ Teilsystem
1 befindet sich
¶
1
0
nicht in einem reinen Zustand |?i, sondern in einem Gemisch mit %̂(1) = 12
. Das Gesamtsystem
0 1
befindet sich in einem reinen Zustand, die Teilsysteme aber nicht!
b.) Stern-Gerlach  vorhanden, aber das Resultat wird ignoriert. Allgemein stehe Stern-Gerlach ¬
in ~a- und Stern-Gerlach  in ~b-Richtung:
(1)
(2)
(1)
(2)
W (σa ) = W (↑a , ↓a ) = hSingulett|P̂|σa i P̂|↑b i |Singuletti + hSingulett|P̂|σa i P̂|↓b i |Singuletti =
³
´
(1)
(2)
(2)
(1)
= hSingulett|P̂|σa i P̂|↑b i + P̂|↓b i |Singuletti = hSingulett|P̂|σa i 1(2) |Singuletti
Man erhält also dasselbe Ergebnis wie in a). Es ist egal, ob der zweite Stern-Gerlach-Versuch vorhanden ist oder nicht. Dies ist klar, da keine (Spin-)Wechselwirkung der beiden Teilchen im Spiel ist. In
der Praxis wird das Experiment mit Photonen durchgeführt, da diese im Gegensatz zu Elektronen keine
Ladung tragen.
Betrachten wir beispielsweise den harmonischen Oszillator im Grundzustand. Führt man eine x-Messung
durch, so projiziert man den Zustand |ψ0 i auf den Ortseigenzustand |xi: W = |hx|ψ0 i|2 .
Was passiert, falls man die x-Messung nicht zur Kenntnis nimmt? Am Anfang befinde sich der Oszillator
im Zustand |ψ0 i und der Dichteoperator ist gegeben durch %̂ = |ψ0 ihψ0 . Nach der x-Messung gilt:
Ã
!
Z
X
%̂ = w(x)|xihx| dx 6= |ψihψ|
Wn |an ihan |
n
c.) Gemessene Wahrscheinlichkeit für Stern-Gerlach ¬ und :
(1)
(2)
W (σa , σb ) = hSingulett|P̂|σa i ⊗ P̂|σb i |Singuletti
Wir wählen ~a k z, da |Singuletti rotationsinvariant ist; ϑ sei der Winkel zwischen ~a und ~b.
µ ¶
ϑ
1
2
W (↑a , ↑b ) = W (↓a , ↓b ) = sin
2
2
µ ¶
ϑ
1
W (↑a , ↓b ) = W (↓a , ↑b ) = cos2
2
2
Für ~a = ~b und ϑ = 0 besteht eine strenge Korrelation. Für ϑ = 60◦ gilt:
W (↑↑) = W (↓↓) =
1
3
, W (↑↓) = W (↓↑) =
8
8
21
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
2.8
2.8.1
Stern-Gerlach ¬
(1)
~n = ~a
σn
ϑ=0
+
+
..
.
Stern-Gerlach 
(2)
~n = ~b
σn
ϑ=0
+
+
+
..
.
ϑ = 60◦
ϑ = 60◦
+
+
..
.
..
.
Diskussion einiger Experimente, Gedankenexperimente und Paradoxa zur Quantenmechanik
Schrödingers Katze
Der Hintergrund ist folgender: Die Realität einer Größe Â zeigt sich um Eigenzustand von Â zum Eigenwert a.
Befindet sich das System bereits im Eigenzustand der zu messenden Größe, so wird der Zustand durch die Messung nicht zerstört. Der zentrale Punkt ist, dass man eine Überlagerung zweier Zustände hat, beispielsweise
von einem Atomkern, der zerfällt.
|ψi = C1 (t)|ni + C2 (t)|zi
Vom wissenschaftlichen Zustand aus gibt es eine nette Sammlung mit dem Titel: Wie viele Leben hat
”
Schrödingers Katze? Ein Buch mit einem ähnlichen Titel, nämlich Wie tot ist Schrödingers Katze?“
”
ist von dem Philosophen Walter Meißner später verfasst worden. Die Messung führt zur Reduktion der
Wellenfunktion (Zerfall oder nicht Zerfall). Außerdem lohnt es sich auch, in das Buch von Gribbin: Auf der
”
Suche nach Schrödingers Katze“ zu schauen.
2.8.2
These
Der Apparat bestehend aus Geigerzähler, Hämmerchen, Blausäure, usw. ist ein Verstärker“, der die atomare
”
Unbestimmtheit in die Makrowelt überträgt. (Es gibt keine Interferenzen zwischen Makrozuständen.)
|Katzei = d1 (t)|lebendigi + d2 (t)|toti
Das Problem wird bis heute als nicht befriedigend angesehen. Was sagen einige Leute dazu? Betrachten wir
einige Kommentare aus Sicht der Lehrmeinung“:
”
a.) Der Geigerzähler ist ein typisches Messgerät; er vollzieht die Messung, egal ob man das System betrachtet oder nicht. (Die Reduktion der Wellenfunktion bezieht sich auf den Atombau, der Zähler befindet
sich bereits im Makrozustand.)
22
2.8. DISKUSSION EINIGER EXPERIMENTE, GEDANKENEXPERIMENTE UND
PARADOXA ZUR QUANTENMECHANIK
b.) Das System besteht aus Atomkern, Zähler, . . . und schließlich der Katze; wir betrachten jedoch nur die
Katze. Es handelt sich um ein ungelöstes Problem des Messprozesses.
c.) Der Zähler führt eine Aktion auf den Zerfall durch jedoch keine Reaktion. Damit liegt keine Wechselwirkung im Sinne der Quantenmechanik vor. Wir wandeln das Problem so ab, dass wir den Atomkern über
eine Wechselwirkung mit der Katze koppeln.
|Atomkern + Katzei = C1 |niA ⊗ |liK + C2 |niA ⊗ |tiK + C3 |ziA ⊗ |liK + C4 |ziA ⊗ |tiK
Eine Katze“ für den Theoretiker sind SQUIDS (Supraleitende Quanten-Interferometer). Diese bestehen
”
aus einem supraleitenden Ring mit Schwachstellen“:
”
d.) Die Katze ist in keinem reinem Zustand, sondern einem Gemisch:
Das gesamte Quantensystem lässt sich beschreiben durch:
X
|Atom + Katzei =
Cα,κ |αiAtom ⊗ |κiKatze
α=n,z κ=l,t
%̂Katze = SpAtom (%A+K ) = |C1 |2 |lihl| + |C2 |2 |tiht|
2.8.3
Überlagerungen von zwei Zuständen
a.) Spin 1/2 im Magnetfeld:
Das Magnetfeld zeige in z-Richtung:
Ĥ = −g ·
e
· B · σ̂z
2m
Das System besitzt zwei Eigenzustände, nämlich:
µ ¶
g e~
1
| ↑z i =
·B
, E↑ = − ·
0
2 2m
µ ¶
g e~
0
| ↓z i =
·B
E↓ = − ·
1
2 2m
Zur Zeit t = 0 befinde sich der Spin in einem Eigenzustand zu σ̂x :
µ ¶
1 1
| ↑x i = √
2 1
Für t > 0 gilt dann:
µ
¶
µ
¶
1
iE↑
1
iE↓
|ti = √ | ↑z i exp −
· t + √ | ↓z i exp −
·t
~
~
2
2
Die Energiedifferenz ist:
∆E = g ·
e~
g e~
B = ~ · ωSpin mit ωs = ·
·B
2m
2 m
23
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
}
ωs ist die Frequenz der Spin-Präzession. Die Zyklotronfrequenz eines Elektrons im Magnetfeld ist gegeben
durch:
ωc =
e~
B = ωs für g = 2
m
Ist g 6= 2, so ist eine Änderung der Spin-Richtung mit der Zahl der Umläufe beobachtbar:
g
α
=1+
+ . . . = 1, 001 159 652 193 ± 0, 000 000 000 010
2
2π
b.) G. Ludwig: Wie viele Leben hat Schrödingers Katze?
”
xxxxxxxxxxxxxxxx
Quantenmechanik −−−−−−−−−−−−−→ Makro-Zustand“
”
Der Vollzug des Grenzübergangs ist nicht eindeutig, man hat nur Hypothesen ( Luftschlösser“). Der
”
zweite Hauptsatz der Thermodynamik folgt nicht aus der Quantenmechanik, da die in der Schrödinger
und von-Neumann-Gleichung beinhaltete Entropie konstant ist.
2.9
EPR-Paradoxon (besser: Gedankenexperiment)
Einstein-Podolsky-Rosen: Physical Review 47, 777 (1939): Can quantum mechanical Description of Phy”
sical Reality be considered complete?“
Es gibt hier eine Menge von Missverständnissen und Behauptungen, die falsch sind. Einstein selbst mochte
die Quantenmechanik nicht, da
U Statistische Natur ( Gott würfelt nicht.“)
”
U Die Quantenmechanik kennt keine objektive Realität. ( Ist der Mond da, wenn niemand guckt?“)
”
U nicht lokal (was man hier tut, beeinflusst irgendetwas anderes woanders, geisterhafte/spukhafte Ferwir”
kungen“)
2.9.1
Einsteins Überzeugung
U Die Quantenmechanik ist abgeschlossen; sie ist nicht durch Hinzunahme von verborgenen“ Größen
”
vervollständigbar.
U Die Quantenmechanik ist trotzdem nicht der Weisheit letzter Schluss“.
”
U Die statistische Interpretation von Born ist unverzichtbar.
U Er glaubt, die Schwachstelle der Quantenmechanik gefunden zu haben.
â Die Quantenmechanik ist korrekt!
24
2.9. EPR-PARADOXON (BESSER: GEDANKENEXPERIMENT)
â Ist die Quantenmechanik vollständig?
Die Elemente der Realität sind nicht a priori bekannt, sondern sind über Messung/Experimente zu
finden.
These: Sofern wir – ohne das System zu zerstören – mit Sicherheit den Wert einer Größe vorhersagen können,
dann existiert ein Element der Realität zu dieser Größe.
Das Problem der Quantenmechanik nach der Lehrmeinung ist:
U Größe Â: Eigenzustand Â|ai = a|ai
U System befindet sich in |ai: Â hat Realität
Wenn das System sich nicht in einem Eigenzustand von Â befindet, hat dann Â keine Realität? Kommen wir
nun zum EPR-Paradoxon:
Zwischen den Teilchen bestehe keine Wechselwirkung in großen Entfernungen; eine Messung an Teilchen 
stört das Teilchen ¬ nicht.
+∞
Z
dk
exp[ik(x2 − x1 − x0 )]
ψ(x1 , x2 ) =
= δ(x2 − x1 − x0 )
2π
−∞
Man führt eine Impulsmessung von  durch:
exp[ik0 (x2 − x1 − x0 )] = exp(ik0 x2 ) · exp(−ik0 x1 ) · exp(−ik0 x0 )
Teilchen ¬ hat also den Impuls −~k0 .
Z
δ(x2 − x1 − x0 ) = δ(x1 − x0 )δ(x2 − x0 − x0 ) dx0
Ist der Ort von Teilchen  ξ0 , so gilt δ(x2 − ξ0 ) · δ(x1 − ξ − x0 ) und damit hat Teilchen ¬ den Ort ξ0 + x0 .
besser: Impuls an  (⇒ ¬ hat p1 = −p2 ), Ort an ¬
2.9.2
Bohmsche Variante des EPR-Gedankenexperiments
U Stern-Gerlach ¬:
W (↑ |~a) oder W (↓ |~a) =
1
2
Dies gilt unabhängig von ~a.
U Stern-Gerlach ¬ und :
W (↑↑ |~a, ~b) =
1
sin2 ϑ = W (↓↓ |~a, ~b)
2
1
W (↑↓ |~a, ~b) = cos2 ϑ = W (↓↑ |~a, ~b)
2
25
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
Lokalität (eventuelle Realität der Größe Spin bei Stern-Gerlach ¬ und )
Bell: Journal de Physique, C2-41 (1981): Bertelmann’s socks and nature of reality“
”
Man hat einen Input, nämlich die Stellungen der Stern-Gerlach-Versuche, also ~a, ~b und einen Output,
nämlich die Größen A und B der Stern-Gerlachs, also ↑, ↓ (±1). Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit die Größe A zu finden, falls der Versuch in ~a-Richtung zeigt mit P (A|~a). Ein Kanal bestimmt also die
Wahrscheinlichkeiten P1 (A|~a) und P2 (B|~b). Statistische Unabhängigkeit von A und B bedeutet P (A, B|~a, ~b) =
P1 (A|~a)P2 (B|~b), die gesamte Wahrscheinlichkeit ergibt sich also als Produkt der gemessenen Wahrscheinlichkeiten für A und B. Für eine Korrelation muss P (A, B|~a, ~b, λ) = P1 (A|~a, λ) · P2 (~b, λ) gelten, wobei λ eine
weitere unbekannte Größe ist. λ ist uns nicht zugänglich ( verborgen“):
”
Z
P (A, B|~a, ~b) = %(λ) · P1 (A|~a, λ) · P2 (B|~b, λ) dλ
%(λ) ist eine auf eins normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit % ≥ 0. Dass P1 nur von ~a und P2 nur von
~b abhängt, bezeichnet man als Lokalität. Was ist nun der Erwartungswert, die beiden Spins korreliert zu
finden?
X X
(1) (2)
E(~a, ~b) = hSingulett|σ̂~a σ̂~ |Singuletti =
σ~a σ~b · W (σa , σb |~a, ~b) = − cos ϑ
b
σ= ±1 σb =±1
ϑ ist der Winkel zwischen ~a und ~b. Wie formulieren wir dieses Ergebnis für unsere Wahrscheinlichkeitsverteilung
%(λ):
Z
h
~
E(~a, b) = %(λ) · (1 · 1)P1 (↑ |~a, λ) · P2 (↑ |~b, λ) + ((−1) · (−1))P1 (↓ |~a, λ) · P2 (↓ |~b, λ)+
i
+(1 · (−1))P1 (↑ |~a, λ) · P2 (↓ |~b, λ) + ((−1) · 1)P1 (↓ |~a, λ) · P2 (↑ |~b, λ) dλ =
Z
h
i Z
~
~
= dλ %(λ) · [P1 (↑ |~a, λ) − P1 (↓ |~a, λ)] · P2 (↑ |b, λ) − P2 (↓ |b, λ) = dλ %(λ) A(~a, λ) · B(~b, λ)
A(~a, λ) hängt nur von Stern-Gerlach ¬ und B(~b, λ) nur von Stern-Gerlach  (und dem Parameter λ)
ab. Aus der Lokalität folgen die Bellschen Ungleichungen und außerdem die Ungleichungen von Clauser,
Holt, Horne und Shimony.
|E(~a, ~b) + E(~a, ~b0 ) + E(~a0 , ~b) − E(~a0 , ~b0 )| ≤ 2
Es tauchen als unabhängige Einstellungen ~a, ~a0 , ~b und ~b0 auf.
Man erhält vier Messreihen mit den Stern-Gerlach-Versuchen (~a, ~b), (~a, ~b0 ), (~a0 , ~b) und (~a0 , ~b0 ). Somit ergibt
sich für diesen Fall:
√ !
| − cos(45◦ ) + (− cos(45◦ ) + (− cos(45◦ )) − (− cos(135◦ ))| = | − 3 cos(45◦ ) − cos(45◦ )| = 2 2 > 2
Dies ist ein Widerspruch des quantenmechanischen Resultats mit der Annahme der Lokalität.
Wir wollen nun den Beweis der Bellschen Ungleichung skizzieren:
Z
h
i
E(~a, ~b) ± E(~a, ~b0 ) = dλ %(λ)A(~a, λ) · B(~b0 , λ) ± B(~b0 , λ)
Nun nehmen wir auf beiden Seiten den Betrag:
Z
¯
¯
¯
¯
|E(~a, ~b) ± E(~a, ~b0 )| ≤ dλ %(λ) · |A(~a, λ)| · ¯B(~b, λ) ± B(~b0 , λ)¯
| {z }
≤1
26
2.10. ENERGIE-ZEIT-UNBESTIMMTHEITSRELATION
Z
|E(~a, ~b) ± E(~a, ~b0 )| + |E(~a, ~b) ∓ E(~a, ~b0 )| ≤
¯ ¯
¯i
h¯
¯
¯ ¯
¯
%(λ) dλ ¯B(~b, λ) ± B(~b0 , λ)¯ + ¯B(~b, λ) ∓ B(~b0 , λ)¯
|
{z
}
≤2 da |B|≤1
Außerdem gilt:
|a + b| + |a − b| = 2|a| oder 2|b|
|E(~a, ~b) ± E(~a, ~b0 )| + |E(~a, ~b) ∓ E(~a, ~b0 )| ≤ 2 ·
Z
%(λ) dλ
| {z }
=1
|(a + b) + (c − d)| ≤ |a + b| + |c + d|
2.10
Energie-Zeit-Unbestimmtheitsrelation
~
~
analog ∆x · ∆p ≥
2
2
Wir wollen dies durch Fourier-Zerlegung interpretieren:
∆E · ∆t ≥
Die Breiten sind reziprok: ∆t · ∆ν ≥ 1. Dies gilt auch für x und p = ~k. ∆E · ∆t ist von ganz anderer Natur
als ∆x · ∆p ≥ ~2 , da kein Zeitoperator existiert.
2.10.1
Einstein-Waage
Wir betrachten eine Energie (Frequenz-)Änderung:
~ω − ~ω 0 = ∆m · g · ∆x ⇒
∆ω
∆T
=
ω
T
∆m · c2 = ~ · ∆ω
U p 7→ ~k: ∆x · ∆k ≥
U E 7→ ~ω: ∆ω · ∆t ≥
1
2
1
2
Es besteht die Nebenbedingung:
Energie-Differenz
t
Eine Telefonleitung besitzt die Bandbreite 3 kHz; hieraus ergeben sich 1000 Bit pro Sekunde.
}
Frequenz =
Die Grundfrequenz ist ωg = 2π
T . Hieraus folgt T = 1 ms und damit 1000 Bit pro Sekunde. Das Telefon überträgt
50 kBit pro Sekunde. ∆t: exponentieller Abfall
27
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
2.11
Lorentz-Invarianz
Dies geht auf Bohr (1928) zurück. (x, t) und (~
p, E) sind Vierer-Vektoren. Wenn es die x-p-Unbestimmtheitsrelation gibt, dann gibt es auch die für E und t. Wie leitet man die Relation für E und t konventionell ab?
Betrachten wir drei hermitesche Operatoren Â, B̂ und Ĉ mit [Â, B̂] = iĈ.
¯
1 ¯¯
¯
∆A · ∆B ≥ ¯hψ|Ĉ|ψi¯
2
Hieraus folgt die x-p-Relation. Zur Herleitung der E-t-Relation sei nun Â ≡ Ĥ und B̂ beliebig (kein Zustandsoperator):
¯ E¯
1 ¯¯D ¯¯
¯ ¯
∆Ĥ · ∆B̂ ≥ ¯ ψ ¯[Ĥ, B̂]¯ ψ ¯
2
Im Schrödinger-Bild gilt
dB̂
i
= [Ĥ, B̂]
dt
~
so dass:
d
hψ(t)|B̂|ψ(t)i =
dt
*
¯
¯
+
¯ dB̂ ¯
¯
¯
ψ(t) ¯
¯ ψ(t)
¯ dt ¯
∆B̂
∆B̂
1
¯ ¯
¯ ¯
E¯ ≥ ~ mit ¯D
E¯ ≡ ∆t
∆Ĥ · ¯¯D
¯
¯ dB̂ ¯
¯
¯
¯
¯
2
¯ ψ(t) ¯ dt ¯ ψ(t) ¯
¯ ψ(t) ¯ ddtB̂ ¯ ψ(t) ¯
Wir wählen speziell B̂ als Projektor auf den Zustand |ψ(t = 0)i:
B̂ = P̂|ψ(t=0)i = |ψ(t = 0)ihψ(t = 0)|
Damit ist es möglich das Quadrat der Unbestimmtheit von B zu berechnen:
(∆B̂)2 = hψ(t)|P̂ 2 |ψ(t)i − hψ(t)|P̂ |ψ(t)i2 = hψ(t)|P̂ |ψ(t)i − hψ(t)|P̂ |ψ(t)i2 =
4
= |hψ(0)|ψ(t)i|2 − |hψ(0)|ψ(t)i| = W (t) · (1 − W (t))
Den Ausdruck |hψ(0)|ψ(t)i|2 ≡ W (t) bezeichnen wir als nicht-zerfallene Wahrscheinlichkeit.
¯
¯
*
+
¯ dB̂ ¯
d
d
¯
¯
ψ(t) ¯
¯ ψ(t) = hψ(t)|B̂|ψ(t)i = W (t)
¯ dt ¯
dt
dt
Hieraus ergibt sich also:
(∆t)2 =
W (1 − W )
¯ d ¯2
¯ W¯
dt
Wir machen den speziellen Ansatz W (t) = exp(−γ · t), den wir von der Theorie des radioaktiven Zerfalls“ her
”
kennen:
1
(∆t)2 = 2 · [exp(γ · t) − 1]
γ
Wir betrachten (∆t)2

1





 γ 1
∼ 2
∆t =

γ


1


 2 exp(γ · t)
γ
für verschiedene Zeiten t:
1
γ
1
für t ∼
γ
1
für t À
γ
für t ¿
Inzwischen steckt hier der Wurm“ drin! ∆H ist konstant für ein abgeschlossenes System (Atomkern). Damit
”
ergibt sich ∆H · ∆t 7→ 0 für t 7→ 0, was im Widerspruch zu ∆H · ∆t ≥ 21 ~ steht.
W (t) 6= exp(−γ · t) für t 7→ 0
Es ist also γ = γ(t) mit γ(t) 7→ 0 und t 7→ 0. Kommen wir zum Experiment von Norman et. al. Physical
Review Lett 60, 2246 (1988):
28
2.12. WACHHUND UND BOMBE (QUANTEN-ZENON-EFFEKT, NON QUANTUM
DEMOLITION MEASUREMENT)
U
60
Co: β− ; 5, 27 a: bis 10−4 t1/2
U
36
Mn: β− ; 2, 58 h: 0, 3 t1/2 bis 45 t1/2
Es gibt keine Abweichung vom Exponentialgesetz. Nach Avignon: Physical Review Letters 61, 2624 (1988)
gibt es eine Kurz-Zeit-Abweichung von etwa 10−22 s.
Es sind zwei Zeiten charakteristisch, nämlich die Zerfallszeit (Barwe) und die Oszillationsdauer im Potentialtopf τosc .
τosc '
a
a
∼√
v
E
Mit a bezeichnen wir die Ausdehnung des Kernpotentials; sie liegt bei ungefähr 10−13 cm. Außerdem ist E ≈
1 MeV und τosc ≈ 10−22 s. Wir betrachten nun W (t) für kleine t:
¯
¯
¯
Ã
!2
*
Ã
!¯
+ *
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Ĥ ¯
1
Ĥt
Ĥt
¯
hψ(0)|ψ(t)i = ψ(t) ¯exp −i t ¯ ψ(t) = ψ(t) ¯¯1 − i
+
−i
+ . . .¯¯ ψ(t) =
¯
~ ¯
~
2!
~
¯
¯
1 t2
t
· hψ(t)|Ĥ|ψ(t)i −
· hψ(t)|Ĥ 2 |ψ(t)i + . . .
~
2 h2
µ
¶2 µ
¶2
1 t2
t
t2
2
2
W (t) = |hψ(0)|ψ(t)i| = 1 −
·
hψ(t)|
Ĥ
|ψ(t)i
+
−i
·
hψ(t)|
Ĥ|ψ(t)i
+
.
.
.
=
1
−
(∆H)2 + O(t4 )
2 h2
~
~2
=1−i
Es gibt keinen linearen Anteil in t.
2.12
Wachhund und Bombe (Quanten-Zenon-Effekt, Non Quantum
Demolition Measurement)
2.12.1
Wachhund
Kontinuierliche Messungen an einem System unterbinden die zeitliche Entwicklung des Zustandes. A watched
”
pot never boils.“
29
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
U Eine Messung in T :
2
|hψ(0)|ψ(t)i| = W1 (t)
U Zwei Messungen in T :
¯*
¯
Ã
!¯
+¯2
¯
µ
¶¯
µ ¶2
¯
¯
¯
¯
¯
Ĥ T ¯¯
iT
T
¯
¯
¯
¯
¯
Ĥ ¯ ψ(0) ¯ = W1
¯ ψ(0) ¯exp −i ·
¯ ψ(0)ihψ(0) ¯exp −
¯
¯
¯
~ 2 ¯
~2
2
.
U ..
¡
¡ ¢¢n
. Für den exponentiellen Zerfall gilt:
U Nach n Schritten ergibt sich Wn (T ) = Wn Tn
·
µ
¶¸n
T
Wn (T ) = exp −γ ·
= exp(−γ · T )
n
"
µ ¶2 #n
t
Wn = 1 − k ·
7 1 für n 7→ ∞
→
n
Mit ln(1 + x) = x −
x2
2
+ . . . ergibt sich:
·
¸
µ
¶
t2
t2
1
ln(Wn ) = n · ln 1 − k · 2 7→ n · −k · 2 ∼ 7→ 0
n
n
n
2.12.2
Analogon aus der klassischen Optik
Es ist ϑ1 =
θ
N
und nach N Drehungen der Polarisationsebene gilt N · ϑ1 = θ(= 90◦ ).
E1,z = E0 · cos(ϑ1 )
·
EN = E0 · cos
µ
θ
N
¶¸N
7→ E0
Für θ = 90◦ , N = 6 ergibt sich IN = (EN )2 = 23 . Aha: Zerfall von Neutron im Atomkern. Protonen bewachen“
”
das zerfallende Neutron. Ein freies Neutron besitzt eine Zerfallszeit von 1000 s. Ein Gegenbeispiel ist 6 He, das
in einer Zeit von 0, 6 s zerfällt. Offenbar argumentieren wir falsch.
2.12.3
Induzierte Übergänge
Itano et. al Physical Review A, 41, 2295 (1990), 43, 5165 (1991).
30
2.12. WACHHUND UND BOMBE (QUANTEN-ZENON-EFFEKT, NON QUANTUM
DEMOLITION MEASUREMENT)
2.12.4
Bombe
Dieses Problem wurde von Elitzur und Vaidman (1993) zur Sprache gebracht. Man kann Zustände messen,
ohne den Zustand zu zerstören. Wir betrachten ein sogenanntes Mach-Zehnder-Interferometer, in das ein
einziges Photon eingestrahlt wird:
U Oberer Strahlengang a: Drei Reflexionen führen zu einem Phasensprung φ von 3 · π2 .
U Unterer Strahlengang b: Eine Reflexion führt zu φ = 1 · π2 .
Es ergibt sich die Phasendifferenz 2 · π2 = π zwischen beiden Teilstrahlen. Stellt man ein Hindernis in den Weg
a, so existiert 50% Wahrscheinlichkeit dafür, dass Detektor ¬ oder Detektor  ein Photon registriert. Befindet
sich die Bombe im oberen Zweig, so sind folgende drei Ereignisse möglich:
U Bombe explodiert; sie hatte also einen Zünder!
U Detektor ¬ klickt: man kann keine Aussage treffen, ob die Bombe keinen Zünder hatte oder das Photon
den Weg b eingeschlagen hat.
31
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
?
U Detektor  klickt: Es handelt sich um eine scharfe Bombe, die nicht explodiert ist!
Siehe auch: Kuriet, Zeilinger (November 1996)
www.aleph99.org/scimu
Mit der Bombe in b ergibt sich:
h
³ π ´i2N
W = cos
2N
N
N
N
N
N
=1
=2
=6
= 20
= 100
W
W
W
W
W
=0
= 14
= 23 (realisiert)
= 88%
= 97%
32
2.13. WELCHER-WEG-DETEKTOR
2.13
Welcher-Weg-Detektor
Das Elektron kann zwei verschiedene Weg einschlagen, nämlich ¬ oder . Nach Bohr und Einstein gilt
∆x · ∆px > 12 ~, was verhindert, dass man feststellen kann, ob das Teilchen längs ¬ oder  läuft“. Dies
”
kann man gut in den Feynman lectures“: Band III nachlesen. In jedem Einzelfall gilt Impulserhaltung. Die
”
Unbestimmtheitsrelation kann man umgehen, indem man bei Punkt A einen Spion“, genannt Wigners
”
Freund, hinstellt. In der Praxis wird das Spion durch ein Zwei-Niveau-Atom realisiert. Bei einem entarteten
Zustand reicht eine beliebig kleine Wechselwirkung, um einen Übergang vom einen Zustand α in den anderen
Zustand β zu verursachen. Das Experiment führt man mit Pb-Atomen durch, bei denen der Übergang 63 p3/2 7→
61 d5/2 mit einer Frequenz von 21, 5 Ghz (≈ 1 cm) stattfindet (Rydberg-Zustände). Zum Mikromaser: Das in
den Resonatoren eingespeiste elektrische Feld erzwingt (induziert) Übergänge.
Bei einem Zwei-Niveau-System ergibt sich folgende Übergangswahrscheinlichkeit:
µ
¶
ωR · t
e·d
2
W = sin
mit ωR =
2
~
d ist das Dipolmatrixelement des Übergangs. Warum wird durch Nachsehen“ (Atom 1 oder 2) die Interferenz”
figur zerstört? Ohne den Photosensor (Verschlüsse zu) gilt ψ(r) = ψ1 (r) + ψ2 (r). Mit dem Mikromaser findet
ein Übergang von einem energetisch höheren Zustand statt; es wird im Resonator ein Photon erzeugt. Dann
gilt:
ψ = ψ1 (r)|11 , 02 i + ψ2 (r)|01 , 12 i
|11 , 02 i bedeutet, dass man ein Photon im Resonator 1 und null Photonen im Resonator 2 hat. Anschließend sieht man nach, in welchem Resonator sich das Photon befindet. Auf dem Schirm ergibt sich folgende
Wahrscheinlichkeitsamplitude:
|ψ|2 = |ψ1 |2 h1, 0|1, 0i + |ψ2 |2 h0, 1|0, 1i + ψ1 ψ2? |1, 0|0, 1i + ψ1? hψ2 h0, 1|1, 0i = |ψ1 |2 + |ψ2 |2
Das heißt, die Orthogonalität der inneren anregbaren Zustände das Auftreten von Interferenzen verhindert.
Ohne Resonator hat man zwei Zustände ψ1 und ψ2 . Mit Resonator hat außer ψ1 und ψ2 zwei innere Zustände,
also ein Vier-Zustands-System. Beobachtet wird der Unterraum der Ortseigenzustände.
33
KAPITEL 2. STRUKTURUMRISS UND MINIMALINTERPRETATION DER
QUANTENTHEORIE
2.13.1
Quanten-Radierer
Dieser wurde realisiert durch Scully, Englert, Walter im MPI Garching. Wir betrachten das Experiment
mit Photo-Sensor. Was misst dieser? Wir betrachten (anti)symmetrische Zustände:
1
ψ± = √ (ψ1 ± ψ2 )
2
1
|±i = √ (|1, 0i ± |0, 1i)
2
Man kann nun das obige ψ(r) mit diesen Zustände schreiben als ψ(r) = φ+ |+i + ψ− |−i, was als Übung zu
Hause nachgerechnet werden kann. Mit Sensor, dessen Verschlüsse noch zu sind, ergibt sich:
ψ(r) = [ψ+ |+i + ψ− |−i] |gi
|gi sei der Grundzustand des Sensors. Was passiert nun, wenn man die Verschlüsse öffnet? Es kommen die Eigenschaften der symmetrischen und antisymmetrischen Zustände zum tragen. Antisymmetrische Zustände |−i
besitzen in der Mitte, wo sich der Photosensor befindet einen Knoten, womit der Sensor nur auf symmetrische
Zustände |+i anspricht.
ψ(r) = ψ+ |0, 0i|ei + ψ− |−i|gi
|ei ist der angeregte Zustand des Sensors. Auf |−i spricht der Sensor nicht an, weshalb dieser sich im Grundzustand befindet. Es gilt aufgrund der Orthogonalität der |gi und |ei:
|ψ(r)|2 = |ψ+ |2 + |ψ− |2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2
Es findet damit keine Interferenz statt! Nun wird der Anteil von |ψ− |−i|gi ausradiert“. Die Atome auf dem
”
Schirm werden nach jedem einzelnen Ereignis rot bzw blau markiert.
2
|ψ+ |0, 0i|ei| = |ψ+ |2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 + 2Re(ψ1 ψ2? )
Es sind also Interferenzen vorhanden!
|ψ+ |2 + |ψ− |2 = 1
Korrelationen im vierdimensionalen Zustandsraum
U Englert, Walter: Physik in unserer Zeit Nr.5, 213 (1992)
U Scully, Englert, Walter: Nature 351, 111 (1991)
U Dürr, Nonn, Rempe: Natur 395, 33 (1998)
34
Kapitel 3
Quantenmechanik mit verborgenen
Parametern/Bohmsche
Quantenmechanik
Die Quantenmechanik besagt:
U Es gibt keinen Zustand, in dem alle Größen streuungsfrei sind.
U Es gibt aber Zustände, in denen spezielle Größen G ∆G = 0 haben, nämlich Eigenzustände von Ĝ.
Die These ist, dass Streuungen ∆x und ∆p (im reinen Zustand) die Folge von Schwankungen unkontrollierter
Variablen. Es handelt sich also um eine deterministische Theorie. Es sei ein Zustand Z = (ψ, λ) gegeben, wobei
λ ein verborgener Parameter sei.
U Zu festem λ ist der Wert W (Z, G) Element der Erwartungswerte von Ĝ. Die Werte sind dann streuungsfrei.
Z
U
W (ψ, λ; G)P (λ) dλ = hψ|Ĝ|ψi W ist der Wert der Größe, P die Wahrscheinlichkeit und hψ|Ĝ|ψi der
quantenmechanische Erwartungswert.
1.) von Neumanns Unmöglichkeitsbeweis“
”
Die Voraussetzung ist, dass W (Z, G) linear in Ĝ ist. Was für Argumente gibt es dafür?
∂
â Ĝ und c · Ĝ sollen gleichberechtigt sein (siehe p̂ = −i~ ∂x
oder hp̂x i, hp̂y i, hp̂z i, welche die
ˆ
Komponenten eines p~. Vektors sind. Daraus folgt, dass p~ ein Vektoroperator ist, also p~ˆ =
(p̂x , p̂y , p̂z ). Dieser Vektoroperator muss sich unter Drehungen des Koordinatensystems genauso
transformieren wie p~.
â Transformationseigenschaft
W (Z, Ĝ = αĜ1 + β Ĝ2 ) = αW (Z, Ĝ1 ) + βW (Z, Ĝ2 )
Die Linearität von W bezüglich Ĝ ist nicht unproblematisch. Betrachten wir dazu den Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators:
Ĥ =
p̂2
mω 2 2
+
x̂
2m
2
Damit gilt:
hψ|Ĥ|ψi = hψ|Ĥkin |ψi + hψ|Ĥpot |ψi
Beispielsweise gilt für einen Eigenzustand von Ĥ, nämlich |ψn i:
¯ À
¿¯ 2 ¯ À ¿ ¯
2
¯ p̂ ¯
¯
¯
¯ ψn + ψn ¯ mω x2 ¯ ψn
En = ¯¯
¯
¯
¯
|{z}
2m
2
{z
} |
{z
}
|
∆H=0
∆Hkin 6=0
∆Hpot 6=0
35
KAPITEL 3. QUANTENMECHANIK MIT VERBORGENEN PARAMETERN/BOHMSCHE
QUANTENMECHANIK
Streuungen sind also nicht additiv. Von Neumanns Beweis funktioniert nun so: Wir betrachten
Ĥ = Â + B̂. Eigenwerte sind im allgemeinen nicht additiv. Beispielsweise gilt:
 
1
√
1
σ̂x + σ̂z = 2σ̂n mit~n = √ 0
2 1
Für die Eigenwerte gilt ±1 ± 1 6=
√
2(±1).
2.) Bells Gegenbeispiel“
”
Die Linearitätsannahme ist zu einschränkend (nach Bell: Review Modern Physics (1960)). Dazu betrachten wir ein Spin-1/2-System mit einem einzigen Spin-1/2. Ein beliebiger Zustand wird
dargestellt als zweikomponentiger Spinor:
µ ¶
α
|ψi =
β
ˆ = σ̂n . Ein Operator Â im Spinraum ist immer darstellbar
Dies ist immer ein Eigenzustand von ~n · ~σ
durch Â = a0 1 + ~a · ~σ mit (a0 , ~a). Die Eigenwerte von Â sind a0 ± |~a|. Der Erwartungswert ist:
hψ|Â|ψi = a0 + (~n · ~a)
~ (also σ̂x ,σ̂y , σ̂z und ~σ~a Werte ±1):
Betrachten wir nun verborgene Parameter, so dass A
½
a0 + |~a| für (m
~ + ~n) · ~a > 0
W (ψ, λ; Â) =
a0 − |~a| für (m
~ + ~n) · ~a < 0
m
~ sei ein beliebiger Einheitsvektor.
ZZ
2
~ d Ωm = a0 + ~a · ~n
W (~n, m;
~ A)
4π
Es wird gemittelt über alle Richtungen m
~ des verborgenen Parameters.
Mit
m
~ = (sin ϑm cos(ϕn ), sin ϑm sin ϕm , cos ϑm ) und ~n = (sin ϑn cos ϕn , sin ϑn sin ϕn , cos ϑn )
und
(m
~ + ~n) · ~a = a · (cos ϑm + cos ϑn )
36
ergibt sich, wobei der Umbruch vom Minus- zum Pluszeichen also bei cos ϑm = − cos ϑn stattfindet:
½
¾
ZZ 2
Zπ
d Ωm
1
cos ϑm =ξ
a0 + |~a| für cos ϑm > cos ϑn
=
· 2π · sin ϑm dϑm ·
=
a0 − |~a| für cos ϑm < cos ϑn
4π
4π
0
=
1
2
1
=
2
½
Z1
dξ
a0 + |~a|
a0 − |~a|
für ξ > cos ϑn
für ξ < cos ϑn
¾
=
−1
−Z
cos ϑn
−1
1
(a0 − |~a|) dξ +
2
Z1
(a0 + |~a|) dξ =
− cos ϑn
= a0 + a cos ϑn = a0 + ~a · ~n
3.) EPR – Neuer Anlauf“
”
Die Stern-Gerlach-Versuche stehen in folgenden Richtungen zueinander:
Die Resultate der Stern-Gerlach-Messungen sind ↑ und ↓. Quantenmechanisch gilt:
µ ¶
1
θ
2
W (↑~a , ↑~b ) = W (↓~a , ↓~b ) = sin
2
2
µ ¶
1
θ
W (↑~a , ↓~b ) = W (↓~a , ↑~b ) = cos2
2
2
|~a| = |~b| = 1
ˆ (1)~σ
ˆ (2) |Singuletti =
E(~a, ~b) = hSingulett|~σ
a
b
X
(2)
σa(1) σb W = −~a · ~b
(1)
σa
=±1
(2)
σb =±1
Der Trick in der Darstellung ist, die roten mit den grünen Lämpchen im Stern-Gerlach-Versuch  zu
vertauschen. Die Paare ↑↑, ↓↓, ↑↓ und ↓↑ kommen gleich häufig vor, wenn man über alle Schalter 1,2,3
summiert, da:
X
X
E(~a, ~b) = 0
~ai = 0 ⇒
ai
37
KAPITEL 3. QUANTENMECHANIK MIT VERBORGENEN PARAMETERN/BOHMSCHE
QUANTENMECHANIK
Schalter
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
..
..
.
.
R
R
G
G
G
G
..
.
3
G
3
Anzeige
R (↑↓)
R
G (↓↑)
R (↓↓)
R (↓↓)
G (↓↑)
..
..
.
.
G
(↓↑)
a.) Gleiche Schalter (11, 22, 33) liefern nur RR oder GG mit je 50%.
b.) Verschiedene Schalter

12 21 
RR + GG : 25%
13 31
nach Quantenmechanik
 RG + GR : 75%
23 32
Interpretation:
a.) Instruktionstabelle F1 F2 F3 mit Fk =R,G sind für beide Teilchen gleich.
b.) Muster:
1.) R R R liefert RR für alle Schalter.
2.)
R
R
G
R
G
R
G
R
R
3.)
R
G
G
G
R
G
G
G
R
4.)
G
G
G liefert GG für alle Schalter.
R
R
G liefert:
1.)
11
RR
12
RR
13
RG
23
RG
2.)
22
RR
21
RR
31
GR
32
GR
33 GG
RR in zwei von sechs Fällen, RG + GR in vier von sechs Fällen!
Betrachten wir verschiedene Schalter:
G G G
1.) R R R
gleiche Farben in 100%, verschiedene in 0%
3.)
2.)
R
R
G
gleiche Farben in 13 , verschiedene in
3.)
R
R
R
dito 13 ,
2
3
2
3
Die Wahrscheinlichkeit, gleiche Farben für verschiedene Schalter zu finden, muss ≥
quantenmechanische Resultat ist jedoch 14 .
3.1
1
3
sein. Das
Bell-Ungleichungen, Bell-Specker-Kochen-Theorem
Es handelt sich um Ungleichungen für Messgrößen (Erwartungswerte) unter der Annahme von Lokalität und
Determinismus. EPR: zwei Teilchen, verschränkte Zustände
Für den Erwartungswert bei einem Doppel-Stern-Gerlach-Versuch hatten wir folgenden Erwartungswert
hergeleitet:
Z
(1)
(2)
E(~a, ~b) = hSingulett|~σ~a · ~σ~ |Singulett = −~a · ~b = A(~a, λ) · B(~b, λ)W (λ) dλ
b
Durch einen versteckten Parameter λ können die beiden Systeme gekoppelt sein.
|E(~a, ~b) − E(~a, ~b0 ) + E(~a0 , ~b) + E(~a0 , ~b0 )| ≤ 2
(1)
Es sind vier Richtungen im Spiel, nämlich ~a, ~a0 von Stern-Gerlach ¬ und ~b, ~b0 von Stern-Gerlach .
Das Minuszeichen kann man beliebig setzen.
|E(~a, ~b) − E(~a, ~c)| ≤ 1 + E(~b, ~c)
(2)
38
3.2. BOHMS QUANTENMECHANIK
1
1
E(~a, ~b) = − cos(60◦ ) = − , E(~a, ~c) = − cos(120◦ ) = +
2
2
Damit werten wir die zweite Ungleichung aus:
¯
¯
µ
¶
¯ 1 1¯
¯− − ¯ ≤ 1 + − 1 ⇔ 1 ≤ 1
¯ 2 2¯
2
2
Hieraus ergibt sich also eine falsche Aussage. Mit E(~a, ~b) = − cos(120◦ ) =
¯
¯
¯1 1¯
¯ − ¯≤1+ 1 ⇔0≤ 2
¯2 2¯
2
3
1
2
folgt:
Diese Aussage ist richtig!
3.1.1
Bell-Kocher-Specker-Theorem
Aus diesem Theorem folgt, dass es keine Möglichkeit gibt, die quantenmechanische Indeterminiertheit durch
verborgene“ Variablen zu retten. Wir betrachten nur einen Spezialfall dieses Theorems.
”
U 2 Spin-1/2 (andere Zustände als EPR)
U 3 Spin-1/2
(k)
(k)
(k)
Wir betrachten σ̂x , σ̂y und σ̂z mit k = 1, 2, 3 Teilchen. Man hat einen achtdimensionalen Zustandsraum und zehn Observable. Alle Operatoren auf einer der fünf Linien kommutieren. Man kann deshalb
für jede dieser vier Operatoren einer Linie einen gemeinsamen Eigenzustand finden. Die Eigenwerte
aller Operatoren auf einer Linie sind gleich eins mit Ausnahme der horizontalen Linie. Wir betrachten
beispielsweise:
σ̂y ·σ̂y =1
σ̂y(2) · σ̂x(3) · (σ̂y(1) σ̂y(2) σ̂x(3) ) · σ̂y(1) −−−−−→ 1
Dies ist, da ↓ |simultaner Eigenzustandi =Produkt der Eigenwerte ist. Angenommen, es gibt ein dispersionsfreies Ensemble (Hypothese!) mit verborgenen Parametern, so dass man allen Variablen einen
streuungsfreien Wert zuweisen kann, dann wir man erkennen, dass dies nicht funktioniert. Das Produkt
aller zehn Eigenwerte“ müsste eins sein. Die Nebenbedingung ist jedoch, dass alle Variablen, die auf dem
”
Kreuzungspunkt der Linien stehen, doppelt vorkommen. Betrachtet man aber Produkte aller Operatoren,
so erhält man −1; man hat also ein Vorzeichenproblem.
GHZ-Zustände: Nach Greenberger, Horner und Zeilinger
3.2
Bohms Quantenmechanik
Gibt es Trajektorien (von Teilchen)? Bohm akzeptiert die Quantenmechanik als Rechenvorschrift, er hat
jedoch eine andere Sichtweise. Wir betrachten ein Teilchen im Potential. Die Quantenmechanik liefert
eine Wellenfunktion ψ(~r, t), woraus eine Teilchendichte %(~r, t) = |ψ(~r, t)|2 und eine Stromdichte
´
³
~ − ψ ∇ψ
~ ?
~j(~r, t) = ~ ψ ? ∇ψ
2mi
39
KAPITEL 3. QUANTENMECHANIK MIT VERBORGENEN PARAMETERN/BOHMSCHE
QUANTENMECHANIK
folgt. Wie sehen die Operatoren %̂ und ĵ aus?
%(~r, t) = hψ|%̂|ψi, ~j(~r, t) = hψ|ĵ|ψi
·
¸
~ · p̂ + p̂ δ(~rˆ − ξ)
~ = %̂ · v̂“
~ und ~ˆj = 1 δ(~rˆ − ξ)
%̂ = δ(~rˆ − ξ)
”
2
m m
Diese erfüllen die Kontinuitätsgleichung
∂%
+ div ~j = 0
∂t
Was sagt nun Bohm? Er definiert:
U ~v durch ~j = % · ~v (~r, t)
~
dR(t)
~
wobei R(t)
die Trajektorie von Teilchen“ ist
U ~v =
”
dt
~
Man erhält durch Kombination folgende Differentialgleichung für R(t):
´
~
~j ³
dR(t)
~ t
=
~r = R,
dt
%
Mit einem Welcher-Weg-Detektor“ erhält man:
”
ψ = ψ1 |1i + ψ2 |0i
|ψ|2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2
Es gibt keine Interferenz.
40
Kapitel 4
Alternativer Formalismus der
Quantenmechanik und
Interpretationen
Wie hat Schrödinger die Schrödinger-Gleichung gefunden? Schrödinger wusste von de Broglie, dass
die Elektronen Welleneigenschaften haben.
Für den einfachsten Fall einer ebene Welle ist die Phasenfunktion φ = ~k · ~r. Die Flächen konstanter Phasen
sind Ebenen, deshalb spricht man von ebenen Wellen.
~
Die optischen Strahlen sind die Orthogonaltrajektorien auf den Flächen konstanter Phase, also ∇φ.
4.1
Hamilton-Jacobi-Theorie der klassischen Mechanik
Diese Theorie geht aus von der Wirkung:
Ztb
S[x(t)] =
L(x(t), ẋ(t), t) dt
ta
41
KAPITEL 4. ALTERNATIVER FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK UND
INTERPRETATIONEN
Bei festem ~a und ~b wird S für den klassischen Weg minimal. Wir betrachten nun S(xb , tb ; xa , ta ) als Funktion
von (x, t) = (xb , tb ) mit festem (xa , ta ) auf dem klassischen Weg.
µ
¶
∂S(x, t)
∂S
∂S(x, t)
+H p=
, x, t = 0 mit p =
∂t
∂x
∂x
Dies ist eine partielle nichtlineare Differentialgleichung 1.Ordnung.
¶
µ
i
Sklass [x, t]
ψ ∼ A exp
~
Das ~ muss auftauchen, damit das Argument dimensionslos ist! Dann hat Schrödinger eine Gleichung aufgestellt, die dieser Funktion genügt: Schrödinger-Gleichung.
Es sei t fest. Dann ergibt sich für die Variation von S:
¯tb Z µ
¶
¯
∂L
∂L
d ∂L
¯
δS =
δq(t)¯ −
−
δq(t) dt
∂ q̇
∂q
dt ∂ q̇
ta
|
{z
}
!
=0
p=
∂L
∂S
⇒p=
∂ q̇
∂q
Wir differenzieren die Wirkung nach der Zeit:
dS(q, t)
∂S(q, t) ∂S dq(t)
∂S
= L(q, q̇, t) =
+
=
+ p · q̇
dt
∂t
∂q dt
∂t
42
4.2. PROPAGATOR UND PFAD-INTEGRALFORMALISMUS DER
QUANTENMECHANIK
Dies ist nichts anderes als die klassische Hamiltonfunktion. Damit gilt also:
∂S
+ pq̇ − L = 0
∂t
Betrachten wir nun ein freies Teilchen. Hier lautet die Wirkungsfunktion:
Zt
S(x, t) =
0
m 2
m
m x2
v dt = v 2 · t =
·
2
2
2 t
Betrachten wir eine Fläche mit konstantem S:
∂S
dq
∂S
dS = 0 =
+ gra S(q, t)
=
+ gra S(q, t)q̇
∂t
dt
∂t
Für ein abgeschlossenes System gilt:
p~2
+ V (~r)
2m
Durch Separation von Zeit t und Orts ~r, also S(~r, t) = −E · t + W (~r) ergibt sich die Hamilton-JacobiGleichung:
H = H(~
p, ~r) =
1
2
(grad W (~r)) + V (~r) = E
2m
Betrachten wir nun eine Fläche mit konstantem S:
E
E
~
v kgradW (~
r)
−E + |grad W (~r)| · |~v | = 0 −−−−−−−−→ v =
=
grad W
|~
p|
p~ ist die Phasengeschwindigkeit. Für ein freies Teilchen gilt W (~r) = ~a · ~r mit |~a| = E und
sich vs = 12 vTeilchen .
4.2
p
~
m
= ~a. Damit ergibt
Propagator und Pfad-Integralformalismus der Quantenmechanik
Ein Propagator ist ein Zeitentwicklungsoperator in Ortsdarstellung. Gegeben ist ψ(~r, t = 0):
¶
µ
i
ψ(~r, t) = exp − Ĥt ψ(~r, 0)
~
In Ortsdarstellung gilt:
¯
¯
µ
¶¯ À
µ
¶¯ À
X¿ ¯
XX¿ ¯
¯ 0
¯
i
i
0
¯
¯
x ¯exp − Ĥt ¯ x hx |ψ(0)i =
x ¯¯exp − Ĥt ¯¯ n hn|x0 iψ(x0 , t = 0)
ψ(x, t) = hx|ψ(t)i =
~
~
0
0
n
x
x
Da |ni ein Eigenzustand von Ĥ ist, gilt:
"
#
µ
¶
Z
X
i
0
?
0
dx
exp − En t φn (x)φn (x ) ψ(x0 , t = 0)
~
n
Der Ausdruck in der Klammer heißt Propagator; wir bezeichnen diesen mit K(x, x0 ; t).
Z
ψ(x, t) = K(x, x0 ; t)ψ(x0 , t = 0) dx0
ψ(x0 , t = 0) ist eine beliebige Anfangsbedingung. Aus der Kenntnis von K folgen alle Lösungen der Schrödingergleichung.
43
KAPITEL 4. ALTERNATIVER FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK UND
INTERPRETATIONEN
U t = 0: K(x, x0 ; t = 0) = δ(x − x0 )
Betrachten wir ein freies Teilchen. Die Wellenfunktion am Anfang werde beschrieben durch eine Gaußverteilung:
µ
¶
x2
ψ(x, 0) ∼ exp − 2 · exp(ik0 x)
4λ
Ã ¡
0
x − ~k
m t
ψ(x, t) ∼ exp −
4a
¢2 !
¶¶
µ µ
~k0
t
· exp ik0 x −
2m
~k0
0
vgr = ~k
m ist die Gruppengeschwindigkeit und 2m die Phasengeschwindigkeit. Damit folgt der Propagator
für a 7→ 0:
¶
µ
1 (x − x0 )2
i 1 (x − x0 )2
K(x, x0 , t) ∼ exp
mit S(x, t) =
an festen x0
~ 2m
t
2m
t
Für den quantenmechanischen Propagator gilt also:
K(b, a) =
X
alle Pfade
die a mit
bverbinden
µ
exp
i
S(b, a)
~
¶
mit b = (x, t), a = (x0 , t0 (= 0))
Die Exponentialfunktion ist eine Art Bewertungsfunktion. Die Anteile der nicht klassischen Pfade oszillieren sich immer stärker im Vergleich zu den klassischen Pfaden weg. Es gibt auch Beispiele (freies Teilchen,
harmonischer Oszillator), bei denen sich alle nichtklassischen Pfade wegoszillieren.
U Wellenfunktion mit K(xb , tb ; xa , ta ) = δ(xb − xa ) mit tb = ta
U Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
Z
U Jede Wellenfunktion ψ(x, t) = K(x, t; x0 , t = 0)ψ(x0 , t = 0) dx0
Wenn L eine quadratische Funktion in q, q̇ ist, gilt:
¶
µ
i
S (qklassisch (t))
K = F (t) exp
~
Wie berechnet man nun ein solches Pfadintegral?
44
4.2. PROPAGATOR UND PFAD-INTEGRALFORMALISMUS DER
QUANTENMECHANIK
Man approximiert den Weg durch einen Polygonzug. Wir versuchen die Menge aller Pfade auszuschöpfen durch
die Menge aller Polygonzüge, die man durch a und b legen kann.
X
+∞
Z
=
Pfade
−∞
dq1
A
+∞
Z
−∞
dq2
...
A
+∞
Z
−∞
dqN −1
...
A
qn+1 + qn
qn+1 − qn
und q̇n 7→
2
∆t
Das Maß“ ZA wird so gewählt, dass K(q, q̇, t = 0) = δ(q − q 0 ) ist. Die Summe über alle Pfade ist das Funktio”
nalintegral Dq(t).
qn 7→
Z
S=
L dt =
N
−1
X
L(qn , q̇n , tn )∆t
n=0
Dies führt auf Gaußintegrale in jedem Schritt.
Ein schönes Buch ist Feynman und Hibbs: Path-Integrals“
”
4.2.1
Aharonov-Bohm-Effekt
~ 6= 0. Die zugehörige Lagrange- und Hamiltonfunktion lautet:
Es ist im Außenraum A
L=
m 2
~ und H = 1 (~
~
~v + q~v · A
p − q A)
2
2m
Der Pfad 1 geht vom Spalt 1 aus und umfasst aber das Solenoid nicht.
µ ¶
X
X
X
X
i
S =
+
...
K=
exp
~
Pfade 1
Pfade 2
Pfade n
Pfade


µ ¶
µ
¶
µ Z
¶
µ
¶
Z
i
i
i
i
~ dt = exp i S0 exp 
~ d~r
exp
S = exp
S0 · exp
q ~v A
 q A

~
~
~
~
~
(1)
45
KAPITEL 4. ALTERNATIVER FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK UND
INTERPRETATIONEN
Hierbei verschwindet das geschlossene Integral über alle Pfade der Klasse 1, da diese keinen Fluss einschließen.




Z
Z
i
i
(1)
(2)
~ d~r
~ d~r
K = K0 exp  q A
 + K0 exp  q A

~
~
(1)
(2)
Hieraus ergibt sich ψ und damit |ψ|2 :
 

µ I
¶
µ µ
¶¶
Z
Z
i
φ
i  ~

(1)
(2)
(1) (2)
2
~
~
|ψ| = K0 · K0 · exp  q  A dr − A d~r = K0 K0 exp
q A d~r ∼ exp i
2π
~
~
φ0
(1)
(2)
Es ist ein magnetischer Fluss angelegt:
φ0 =
~2π
= 4 · 10−7 Gauß · cm2
q
Es bleiben folgende Fragen:
a.) Wo taucht die Vertauschungsrelation [p̂, x̂] = −i~ auf?
b.) Woher weiß“ das Integral, dass es sich bei zwei identischen Teilchen um Bosonen oder Fermionen han”
delt?
Dies führt zur Integration über Grassmann-Variablen“.
”
4.3
Wigner-Funktion
Dies bezieht sich auf eine Phasenraumformulierung der Quantenmechanik, die große Ähnlichkeit mit der klassischen statistischen Physik hat. Betreibt man klassische statistische Physik, so geht man davon aus, dass x
und p nicht exakt, sondern nur mit gewisser Wahrscheinlichkeit W (p, x) beschreibbar sind.
Wir haben einen Zustand W (p, x; t) und Erwartungswert hGi für diesen Zustand:
ZZ
hGi =
G(p, x)W (p, x) dp dx
Beispielsweise gilt für thermisches Gleichgewicht:
µ
¶
H
p2
W ∼ exp −
mit H =
+ V (x)
kB T
2m
Einen quantenmechanischen Zustand beschreibt man folgendermaßen:
U Reiner Zustand: Wellenfunktion ψn (x), |ni
X
Wn |nihn|
U Gemisch: %̂ = |nihn| ⇒ %̂ =
n
46
4.3. WIGNER-FUNKTION
Für einen reinen Zustand in Ortsdarstellung gilt:
hx00 |%̂|x0 i = hx00 |ψihψ|x0 i ⇒ %rein (x00 , x0 ) = ψ(x00 )ψ ? (x0 )
Wir betrachten nun die Dichtematrix“ %(x00 , x0 ) = hx00 |ϕ̂|x0 i und führen zwei unabhängige Koordinaten x und
”
ξ ein durch:
x00 + x0
, ξ = x00 − x0
2
µ
¶
1
1
%e(x, ξ) = % x + ξ, x − ξ
2
2
x00 , x0 7→ x =
Wir machen nun eine Fouriertransformation:
µ
¶
Z
i
dξ
W (x, p) := exp − pξ %e(x, ξ)
~
2π~
Aufgrund der Hermizität von % gilt %(x00 , x0 ) = %? (x0 , x00 ).
U Es gilt W ? = W und somit ist W reell.
U Ortswahrscheinlichkeit:
Z
dp
2
|ψ(x)| , hx|%̂|xi = W
2π~
U Impulswahrscheinlichkeit:
Z
2
|ψ(p)| , hp|%̂|pi = W dx
U Obere Grenze: |W (x, p)| ≤
1
π~
U Quantenmechanischer Erwartungswert
ZZ
dx dp
hĜi = hψ|Ĝ|ψi = Sp(%̂Ĝ) =
W (x, p)Gw (x, p)
2π~
Gw ist die Wigner-Darstellung von Ĝ. Dies funktioniert analog wie für %̂ wie beispielsweise:
hx00 |V (x̂)|x0 i = V (x0 )δ(x00 − x0 )
hx00 |p̂|x0 i =
~ ∂
δ(x00 − x0 )
i ∂x00
Beispiel:
a.) Ebene Welle ψ(x) = exp(ikx)
%(x00 , x0 ) = exp(ik(x00 − x0 )) = exp(ikξ) ⇒ W (x, p) = δ(p − ~k)
47
KAPITEL 4. ALTERNATIVER FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK UND
INTERPRETATIONEN
µ
¶
1
b.) Harmonischer Oszillator im Grundzustand ψ0 (x) = exp − x2
2
¡
¢
W (x, p) = exp −(x2 + p2 )
c.) Kohärenter Zustand des harmonischen Oszillators
µ
¶
µ
¶
1
i
2
ψ(x, t) = exp − (x0 − xc ) · exp
px · exp(iφ(t))
2
~
Dies löst die zeitabhängige Schrödingergleichung, wenn:
xc = xc (t) = x0 cos(ω0 t + ϕ) und pc = ẋc (t) = −x0 sin(ω0 t + ϕ)
U Zeit:
1
ω0
U Energie: ~ω0
r
~
U Länge:
mω0
¡ ¡
¢¢
W (x, p, t) = exp − [x − xc (t)]2 + [p − pc (t)]2
Der harmonische Oszillator bewegt sich wie ein klassischer Oszillator im Phasenraum mit dem Unterschied, dass der Zustand durch ein endliches Gebiet und nicht einen einzelnen Punkt beschrieben wird.
Leider funktioniert dies nur für den Grundzustand.
4.3.1
Bewegungsgleichung für die Wigner-Funktion
Betrachten wir die von Neumann-Gleichung:
d%̂
∂ %̂
i
:=
+ [Ĥ, %̂] = 0
dt
∂t
~
48
4.4. BERRY-PHASE (GEOMETRISCHE ODER TOPOLOGISCHE PHASE
Dies drückt die Erhaltung des Phasenraumvolumens aus!
dW
∂W
:=
+ {H, W } = 0
dt
∂t
In der Ortsdarstellung gilt:
µ·
¸ ·
¸¶
~2 ∂ 2
∂
i
~2 ∂ 2
00
0
00
0
%(x , x , t) +
−
+ U (x ) − −
+ U (x ) %(x00 , x0 , t) = 0
∂t
~
2m ∂x002
2m ∂x02
µ µ
¶
µ
¶¶
∂
p ∂W (x, p, t)
i
i~ ∂
i~ ∂
W (x, p, t) +
+
U x+
−U x−
W (x, p, t) = 0
∂t
m
∂x
~
2 ∂p
2 ∂p
Wir betrachten den klassischen Grenzfall mit ~ 7→ 0. Wir können dann U entwickeln
µ
¶
i~ ∂
i~ ∂
U x+
= U (x) + U 0 (x)
+ ...
2 ∂p
2 ∂p
womit sich ergibt:
µ
¶
p ∂Wkl
∂U ∂Wkl
∂Wkl
+
+ −
=0
∂t
m ∂x
∂x
∂p
Mit
p
∂H
∂U
∂H
=
und −
=
resultiert:
m
∂p
∂x
∂x
∂H ∂W
∂H ∂W
∂Wkl
+
−
=0
∂t
∂p ∂x
∂x ∂p
|
{z
}
{H,W }
{H, W } ist die Poisson-Klammer. Dabei handelt es sich um das Liouville-Theorem
dWkl
dt
= 0.
∂f (x, p, t)
+ ~v grad~r f + F~ gradp~ f = 0
∂t
Dies ist die Boltzmann-Gleichung für eine N -Teilchen-Funktion fN (~r1 , . . . , ~rN , p~1 , . . . , p~N , t). Für eine
Einteilchen-Verteilung gilt:
ZZ
f1 (~r1 , p~1 , t) =
d~r2 . . . d~rN d~
p1 . . . d~
pN fN
µ
¶
∂
~
+ ~v grad~r + F gradp~ f1 = Funktion(f2 ) ≡ C(f1 )
∂t
C(f1 ) ist das sogenannte Stoßintegral.
4.4
Berry-Phase (geometrische oder topologische Phase
M.V.Berry, Proc. of Royal Society A392, 45 (1984)
Hat man ein System mit zwei Parametern wie beispielsweise den Spin im Magnetfeld, so lautet der HamiltonOperator:
~ = −g µB B
~ ·S
~
Ĥ(B)
~
~ · n mit n = ±
En (B) = −gµB |B|
1
2
49
KAPITEL 4. ALTERNATIVER FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK UND
INTERPRETATIONEN
~
~ ~r).
Was passiert mit der Wellenfunktion? Berry schreibt Eigenzustände in der Form |n, Bi = |n(B)i,
φn (B,
~ = B(t)
~
Ändert man B
adiabatisch, so müssen wir die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung heranziehen.
µ
¶
i
|ψ(t) = exp − E(B(t)) φn (B, ~r)
~
Damit dies die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung löst, müssen wir diesen Zustand umschreiben:


Zt
i
~ ~r)
E(B(t0 )) dt0  exp(iγn (t))φn (B,
|ψ(t)i = exp −
~
0
Dies löst nun die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung und führt auf eine Differentialgleichung für die Berry-Phase γn :
~
~ ~ n(B)i
~ dB mit ∇
~ ~ n(B)
~ =∇
~ ~ φn (B,
~ ~r)
γ̇n (t) = ihn|∇
B
B
B
dt
~ ~ h1|1i = 0. Obige Differentialgleichung lässt sich schön integrieren:
γn ist reell wegen hn|ni = 1 und ∇
B
I
γn (T ) = γn (C) =
~
~
ihn|∇n(B)i
dB
~ ~ φn (B,
~ ~r) eine bezüglich B
~ differenzierbare Basis erfordert. Wir verwenden
Dies müssen wir umformen, da ∇
B
~
den Stokesschen Satz im B-Raum (Parameterraum):


ZZ
~
~
~ ~ Ĥ(B)|mi
~ ~ Ĥ(B)|ni
X hm|∇
×
hn|
∇
B
B
~n (B)
~ dS
~ ~ mit V
~n (B)
~ = Im 

V
γn (C) =
B
(Em − En )2
S(C)
m6=n
Dies ist also ein Integral über die Fläche, die von der Kurve C berandet wird. Beispielsweise gilt für den Spin:
~
n=± 21
~ ~ Ĥ = −g µB · S
~n (B)
~ =n· B
~−
∇
−−−→ V
R
~
~
|B|2
~
Dies ist das Feld eine Monopols“ im B-Raum.
γn ist der Raumwinkel, unter dem die Kurve C vom Minipol“
”
”
aus erscheint: Ω = (1 − cos ϑ) · 2π.
Interessante Artikel hierzu sind:
U The American Physical Society, Observation of Berrys Topological Phase by Use of an Optical Fiber“,
”
Volume 57, Number 8, 25.August 1986
U The Geometric Phase by Michael Berry“, Scientific American December 1988
”
4.5
4.5.1
Klonen und Teleportation von Quantenzuständen
Klonen
50
4.5. KLONEN UND TELEPORTATION VON QUANTENZUSTÄNDEN
Σ sei beispielsweise ein Wasserstoffatom.
Wootters und Zurek: Nature, October 1982, Seite 802
Die Linearität der Schrödinger-Gleichung verbietet Klonen. Als Beweisskizze betrachten wir ein Photon der
Polarisation |Si = α| li + β| ↔i. Ein Photon kann entweder rechts, links, vertikal oder horizontal polarisiert
sein; dies sind Eigenzustände. Will man nun das Klonen mit obigen Apparat durchführen, so passiert folgendes.
Der Apparat befinde sich im Zustand |A0 i und wir wollen den Übergang |A0 i|Si 7→ |AS i|SSi durchführen.
Betrachten wir beispielsweise:
|A0 i| li 7→ |Av i| lli
|A0 i| ↔i 7→ |Ah i| ↔↔i
Aufgrund der Linearität der Schrödinger-Gleichung ist die Abbildung von links nach rechts eine lineare,
unitäre Abbildung.
|A0 i|Si 7→ α|Ar i| lli + β|Ah i| ↔↔i
Einen Zwei-Photonen-Zustand erhält man mittels zweier Erzeugungsoperatoren aus dem Vakuumzustand:
·
´¸2
1 ³
a†s a†s |0i = √ αa†r + βa†h
|0i 6= α|Ar i| lli + β|Ah i| ↔↔i
2
4.5.2
Teleportation
Es gibt eine Korrelation zwischen 2 und 3.
1
|ψi23 = √ (| li2 | ↔i3 − | ↔i2 | li3 )
2
kein individueller Polarisationszustand von Photon 2,3
Alice macht eine Projektion vom Photon 1 + 2-Zustand auf:
1
(−)
|ψ12 i = √ (| li1 | ↔i2 − | ↔i1 | li2 )
2
(Dieser Zustand hat ungerade Parität.) Dann hat das Photon 3 dieselbe Polarisation wie zuvor Photon 1.
Spukhafte Fernwirkung! Es gibt jedoch folgende Probleme:
(−)
U Neben |ψ12 i gibt es drei weitere linear unabhängige Zustände, die aber gerade Parität haben.
51
KAPITEL 4. ALTERNATIVER FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK UND
INTERPRETATIONEN
(−)
Stellt man für ψ12 konstruktive Interferenz fest, so sind die Detektoren D1 und D2 in Koinzidenz. Für
die restlichen drei gibt es destruktive Interferenz und damit keine Koinzidenz.
4.6
Dekohärenz
Quantenphysik 7→ Klassische Physik
In der Quantenphysik hat man Interferenz (Kohärenz), in der klassischen Physik jedoch nicht (Dekohärenz).
Das Gesamtsystem Bad + Quantensystem“ hat eine reversible Dynamik. Man interessiert sich nur für einen
”
relativ kleinen Ausschnitt, nämlich das sogenannte reduzierte System. Man erhält den statistischen Operator
des reduzierten Systems durch %̂QS = Sp(%̂ges ), wobei die Spur über alle Bad-Variablen auszuführen ist.
(Zur Berechnung benötigt man den Pfadintegralformalismus nach Feynman). In der Theorie von CaldeiraLegett wird das Bad durch ein Ensemble von harmonischen Oszillatoren beschrieben.
¶
µ
∂ %̂QS
i
∂
∂
0
+ [ĤQS , %̂] = γ(x − x )
−
%(x, x0 , t) + Λ(x − x0 )2 %
∂t
~
∂x ∂x0
γ ist die Relaxationskonstante (−γ · ~v ) und Λ die Dekohärenz-Konstante. Die Dekohärenz-Zeiten sind gegeben
durch:
µ
¶
µ
¶
1
λdB
λdB
τdek = ·
mit
= 1040
γ
∆x
∆x
λdB ist die thermische de Broglie-Wellenlänge.
52