Einführung in Statistik

Einführung in Statistik
4. Semester
Begleitendes Skriptum zur Vorlesung
im Fachhochschul-Studiengang
Informationstechnologien und Telekommunikation
von
Günther Karigl
FH Campus Wien 2009
Inhaltsverzeichnis
Einführung in Statistik
Einleitung
1
1. Deskriptive Statistik
3
1.1 Univariate Datenbeschreibung
1.2 Multivariate Datenbeschreibung
2. Wahrscheinlichkeitsrechnung
2.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
2.2 Diskrete Verteilungen
2.3 Stetige Verteilungen
3. Überblick Schätz- und Testverfahren
3.1 Punkt- und Intervallschätzung
3.2 Einige statistische Testverfahren
Anhang: Statistische Tafeln und Funktionen
3
13
22
22
31
36
41
41
46
A1
1
Einleitung
Einleitung
Wenn man von Statistik hört, denkt man vielleicht zunächst an Erhebungen über Konsumgewohnheiten, Verkehrsunfälle, an Berechnungen von Preisindizes oder Durchschnittseinkommen − kurzum an das weite Gebiet der sogenannten beschreibenden (deskriptiven)
Statistik. Dieser älteste Zweig der Statistik beschäftigt sich vor allem mit der übersichtlichen
Darstellung von Datenmengen mittels Tabellen, Graphiken und der Berechnung charakteristischer Maßzahlen (Mittelwert, Varianz, Korrelationskoeffizient u.a.). Die beschreibende
Statistik wird heute z.B. von der Republik Österreich im Rahmen der "Amtlichen Statistik",
von Markt- und Meinungsforschungsinstituten, u.s.w. betrieben.
Daneben wird das Wort Statistik noch in einem anderen Sinn verwendet: Man denke etwa an
Wahlhochrechnungen, an Prognosen über die Bevölkerungsentwicklung, an Vergleiche über
die Wirksamkeit von Medikamenten oder an die Prüfung von Umweltbelastungen durch
Schadstoffe. Fragen dieser Art gehören zum Gebiet der beurteilenden (induktiven) Statistik, deren Ziel es ist, auf Grund von Stichprobendaten allgemeingültige Aussagen über eine
bestimmte Grundgesamtheit zu gewinnen. Ein Verständnis der Methoden der beurteilenden
Statistik, die in vielen Bereichen der Technik, der Medizin, der Wirtschafts- und der Sozialwissenschaften zur Anwendung gelangen, setzt zumindest Grundkenntnisse der Mathematik,
insbesondere der Wahrscheinlichkeitsrechnung, voraus.
Ein einfaches Beispiel möge einen ersten Einblick in die Arbeitsweise der induktiven Statistik
vermitteln:
Der Einfluss von Alkohol auf das menschliche Reaktionsvermögen soll untersucht werden.
Dazu werden zehn Personen (behandelte Gruppe "B") zufällig ausgewählt und deren
Reaktionszeit in einem genau festgelegten Experiment nach Konsumation einer bestimmten
Alkoholmenge gemessen. Zusätzlich werden die Reaktionszeiten von zehn weiteren Personen
(Kontrollgruppe "K") ermittelt, die keinen Alkohol zu sich genommen haben. Die erhaltenen
Messwerte sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
Gruppe B
Gruppe K
Reaktionszeiten (in s) der einzelnen Personen
0.79, 0.82, 0.82, 0.67, 0.88, 0.60, 0.94, 0.77, 0.90, 0.74
0.59, 0.68, 0.80, 0.62, 0.64, 0.70, 0.82, 0.91, 0.72, 0.60
Die beiden Gruppen sollen also hinsichtlich eines Merkmals, der Reaktionszeit, miteinander
verglichen werden. Dazu wird man zunächst die beiden Gruppenmittel x B = 0.793 bzw. x K
= 0.708 berechnen, die erwartungsgemäß nicht übereinstimmen.
Für die Verschiedenheit kann es mehrere Gründe geben. Wir wollen ausschließen, dass die
Versuchsplanung oder Versuchsdurchführung fehlerhaft war (z.B. kann bei nicht zufälliger
Auswahl der Probanden eine künstliche Heterogenität zwischen den beiden Gruppen
entstehen). In der Regel werden aber bei jedem Versuch Zufallsschwankungen mitspielen, die
z.B. durch biologische Variabilität oder durch Messfehler bedingt sind. Solche Abweichungen
sind unvermeidbar und werden in den statistischen Verfahren entsprechend berücksichtigt.
Einleitung
2
Schließlich kann tatsächlich ein Unterschied im Verhalten der Gruppen bestehen, d.h. ein
Einfluss des Alkoholkonsums auf die Reaktionszeit, und dieser Effekt soll ja gerade
aufgedeckt werden. Kann also aus der Ungleichheit der Gruppenmittel geschlossen werden,
dass die mittlere Reaktionszeit all jener Menschen, die durch diese 20 Versuchspersonen
repräsentiert werden, von Alkoholkonsum beeinflusst wird? Diese Frage lässt sich durch
einen statistischen Test beantworten, der angibt, wie und mit welcher Sicherheit von den
beiden Stichproben auf die entsprechenden Grundgesamtheiten geschlossen werden kann.
Am Beginn einer jeden statistischen Untersuchung sollte stets eine genaue Abgrenzung des zu
untersuchenden Problems und die Formulierung von Hypothesen stehen. Erst dann kann
sinnvoller weise ein Experiment oder eine Erhebung geplant, ausgeführt und ausgewertet
werden. Die statistische Analyse des Datenmaterials ermöglicht schließlich den Schluss von
den Stichprobendaten auf die (reale oder hypothetische) Grundgesamtheit, der nie mit
vollkommener Sicherheit, sondern lediglich mit einer bestimmten, angebbaren Wahrscheinlichkeit erfolgen kann. Dabei versteht man unter einer realen Grundgesamtheit eine
tatsächlich existierende Grundgesamtheit, bestehend aus einer endlichen Anzahl von
Individuen oder Objekten (z.B. die Gesamtbevölkerung Österreichs, alle Neugeborenen des
Jahres 2000 oder alle Computer einer bestimmten Type aus einer festgelegten Produktionsperiode). Hypothetische Grundgesamtheiten hingegen existieren nur in der Vorstellung und
können meist als unendlich groß aufgefasst werden (z.B. alle Leukämiepatienten in
vergleichbarem Zustand, die der gleichen Therapie unterzogen werden könnten, oder alle
Messungen, die mit demselben Apparat an einem bestimmten Präparat durchgeführt werden
könnten).
Aussagen über die Grundgesamtheiten erhalten wir aus Untersuchungen von Stichproben.
Diese müssen daher so gewählt sein, dass die Ergebnisse auf die betreffende Grundgesamtheit
verallgemeinerbar sind. Zumeist geschieht dies in Form von Zufallsstichproben, d.h., dass
jedes Element der Grundgesamtheit bei einer Auswahl die gleiche Chance hat, in die
Stichprobe zu gelangen.
Diese Darstellung ist folgendermaßen gegliedert: Der erste Abschnitt ist der deskriptiven
Statistik gewidmet. Dabei werden beschreibende Verfahren für ein- und mehrdimensionale
Stichproben, d.h. für Beobachtungen, bei denen ein oder mehrere Merkmale erfasst werden,
behandelt. Hierzu zählen tabellarische und graphische Methoden, die Berechnung von
Maßzahlen sowie die Regressions- und Korrelationsrechnung. Der nächste Abschnitt
beinhaltet das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten, diskrete und stetige Zufallsvariablen und
deren Verteilungen. Der dritte Abschnitt ist der beurteilenden Statistik vorbehalten. Dazu
zählen insbesondere Verfahren zur Schätzung von Parametern sowie Hypothesentests, wobei
Hypothesen über Grundgesamtheiten anhand von Stichproben überprüft und entweder
angenommen oder verworfen werden.
Unumgänglich im Bereich der Statistik ist natürlich auch die Verwendung geeigneter
Statistik-Software. Auswertungen im Rahmen der beschreibenden, aber auch der
beurteilenden Statistik sind ohne EDV-Unterstützung praktisch nicht möglich. Aus diesem
Grund ist das begleitende EXCEL-Arbeitsskriptum eine wesentliche Ergänzung.
1.1 Univariate Datenbeschreibung
3
1. Deskriptive Statistik
Die statistische Auswertung eines Datenmaterials, das durch Messungen, Zählungen oder
allgemein durch Beobachtungen an irgendwelchen Objekten gewonnen wurde, beginnt im
Allgemeinen wohl damit, dass man die Daten überschaubar ordnet. Diese werden anfangs
meist listenartig in der Reihenfolge, wie sie die Untersuchung ergeben hat, vorliegen. Eine
solche Darstellung ist aber kaum geeignet, Besonderheiten der Daten erkennen zu lassen und
kann vor allem auch keine Vorstellung darüber vermitteln, wie sich z.B. die Beobachtungswerte bei den verschiedenen Merkmalsausprägungen konzentrieren oder welche Symmetrie
das so entstehende Verteilungsbild hat. Informationen darüber erhält man meist erst aus einer
übersichtlichen Darstellung der Daten in Form der verschiedenen, in der deskriptiven Statistik
gebräuchlichen Tabellen oder Diagramme. Während diese also Überschaubarkeit mit möglichst detaillierter Erfassung der Datenstruktur verbinden, hat man in den Lage- und
Streuungsmaßen numerische Größen zur Verfügung, die das Datenmaterial global kennzeichnen, und zwar einerseits hinsichtlich der Lage des Zentrums der Beobachtungswerte,
andererseits hinsichtlich deren Streuung.
Das zu untersuchende Datenmaterial wird in der Regel aus einer umfassenderen Grundgesamtheit ausgewählt sein, d. h. eine Stichprobe bilden. Während sich also dieses Kapitel
mit der Beschreibung von Stichproben im Sinne der deskriptiven Statistik befasst, wird es
später − im Rahmen der induktiven Statistik − darum gehen, auf der Basis von Stichproben
Aussagen über die entsprechenden Grundgesamtheiten zu gewinnen.
1.1 Univariate Datenbeschreibung
An Hand des in der folgenden Tabelle dargestellten Beobachtungsmaterials sollen zuerst
einige grundlegende Begriffe erläutert werden. Die Tabelle Tab. 1 enthält Daten über gewisse
Eigenschaften von insgesamt 64 Kraftfahrzeugen, die durchnumeriert und in Form einer
sogenannten Urliste angeschrieben wurden. Man nennt die bei einer statistischen Untersuchung beobachteten Objekte, hier also die einzelnen Fahrzeuge, auch Beobachtungseinheiten. Um klar zu machen, dass die Liste gerade aus 64 Beobachtungseinheiten besteht,
spricht man genauer von einer Stichprobe vom Umfang n = 64.
Während sich in Tab. 1 jede Zeile auf eine Beobachtungseinheit bezieht, wird durch die mit
X1, X2 und X3 überschriebenen Spalten angegeben, wie gewisse Eigenschaften
(Eigengewicht, Vorhandensein eines Katalysators bzw. Fahrzeugtyp), die man in diesem
Zusammenhang Merkmale (oder Variable) nennt, in der aus den 64 Fahrzeugen bestehenden
Stichprobe variieren. An jeder Beobachtungseinheit können entweder ein oder auch mehrere
Merkmalsausprägungen erfasst werden. Entsprechend nennt man, je nachdem, wie viele
Merkmalsausprägungen von jeder Beobachtungseinheit vorliegen, eine Stichprobe ein-, zweioder mehrdimensional (bzw. univariat, bivariat oder multivariat). So stellt z.B. das
gesamte Datenmaterial in Tab. 1 eine dreidimensionale Stichprobe dar. Beschränken wir uns
etwa nur auf das Merkmal X1 (Eigengewicht), so haben wir eine eindimensionale Stichprobe.
4
1.1 Univariate Datenbeschreibung
Tab. 1. Urliste für die an 64 Kraftfahrzeugen beobachteten Merkmale:
X1 Eigengewicht (in kg)
X2 Katalysator: vorhanden (j), nicht vorhanden (n)
X3 Typ: Klein-LKW (1), Kombi (2), Sportwagen (3), PKW (4), Oldtimer (5)
Lfd.Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
X1
823
1201
920
828
688
487
799
542
426
1266
1108
879
734
934
872
700
669
1183
1303
1222
731
465
845
1030
1072
1170
927
1244
671
1123
X2
j
j
j
j
j
n
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
n
n
n
j
j
j
j
j
X3
4
2
4
1
3
4
2
4
4
1
2
1
2
2
2
4
1
1
4
4
2
4
4
2
4
1
2
1
1
4
Lfd.Nr.
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
X1
848
937
792
782
862
1071
965
780
867
1068
875
700
549
542
672
799
920
920
590
918
1083
811
995
673
975
720
715
1152
1450
1125
935
710
1605
1445
X2
j
j
j
n
n
n
j
j
j
n
n
j
n
n
j
j
j
j
n
n
j
j
j
n
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
X3
4
2
4
3
1
4
1
4
4
4
5
4
2
2
4
4
4
4
3
2
2
2
2
3
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
Es ist zweckmäßig, zwischen quantitativen und qualitativen Merkmalen zu unterscheiden. Bei
quantitativ oder metrisch skalierten Merkmalen sind die Merkmalsausprägungen Ergebnisse
von Messungen oder Zählungen und somit von Natur aus zahlenmäßig darstellbar. Von den
Merkmalen in Tab. 1 ist X1 (Eigengewicht) natürlich metrisch.
Im Gegensatz zu den quantitativen Merkmalen sind die Merkmalsausprägungen bei qualitativ
skalierten Merkmalen nicht mehr mess- oder zählbar, sondern nur begrifflich unterscheidbar.
Folglich sind die Merkmalsausprägungen häufig in Verbalform dargestellt, wie z.B.
„vorhanden“ bzw. „nicht vorhanden“ beim Merkmal X2 (Katalysator) von Tab. 1. Manchmal
1.1 Univariate Datenbeschreibung
5
lassen sich die Ausprägungen eines Merkmals jedoch anordnen, etwa bei Ausprägungen der
Form „schwach“, „mittel“, „stark“. Qualitative Merkmale, deren Ausprägungen in eine solche
Rangordnung gebracht werden können, heißen ordinal im Unterschied zu den nominalen,
bei denen dies nicht möglich ist.
Somit ergibt sich die nachstehende, in Hinblick auf die Weiterverarbeitung wichtige
Unterscheidung der sogenannten Skalenniveaus von Merkmalen:
•
Nominalskala: Diese hat das niedrigste Niveau. Die einzelnen Ausprägungen unterscheiden sich nur begrifflich voneinander. Sind sie durch Zahlen codiert, kann man
mit diesen Zahlen in keiner Weise rechnen. Beispiel: Geschlecht (männlich, weiblich),
Farbe (rot, blau, usw.) oder Kraftfahrzeugtyp (Variable X3 in Tab. 1).
•
Ordinalskala: Hier ist eine Anordnung der Ausprägungen festgelegt, weitergehende
Berechnungen sind aber nicht möglich. Beispiel: Schulnoten von sehr gut (1) bis nicht
genügend (5).
•
Metrische Skala: Die Werte auf dieser Skala sind stets Zahlen, mit denen auch
gerechnet werden kann. Bei der Intervallskala können Differenzen von Messwerten
gebildet und verglichen werden, der Nullpunkt ist jedoch mehr oder weniger
willkürlich festgelegt. Beispiel: Temperatur (in °C). Die Verhältnisskala dagegen hat
einen absoluten Nullpunkt, ansonsten gibt es nur positive Werte. Insbesondere können
aber auch Quotienten und prozentuelle Unterschiede in sinnvoller Weise betrachtet
werden. Beispiel: Körpergewicht oder Körpergröße einer Person, Größe der Klassen
an Schulen und Fachhochschulen.
Merkmale lassen darüber hinaus auch eine Einteilung in diskret und stetig zu. Im diskreten
Fall kommen nur bestimmte, endlich oder abzählbar unendlich viele Werte als
Merkmalsausprägungen in Frage. Stetige Merkmale sind hingegen solche, deren Ausprägungen (zumindest theoretisch) beliebige Zahlenwerte aus einem Intervall auf der reellen
Zahlengeraden annehmen können.
Häufigkeiten bei diskreten Merkmalen
In einer Urliste wird oft dieselbe Ausprägung eines bestimmten Merkmals bei mehreren
verschiedenen Beobachtungseinheiten auftreten. Es ist naheliegend, diese zusammenzufassen
und so die Urliste in eine wesentlich übersichtlichere Häufigkeitstabelle für das betrachtete
Merkmal zu verdichten.
Beispiel: Wir betrachten die aus den in Tab. 1 enthaltenen Beobachtungen des qualitativen
Merkmals X3 (Fahrzeugtyp) bestehende eindimensionale Stichprobe. Der Stichprobenumfang
ist n = 64, und es gibt die fünf möglichen Merkmalsausprägungen a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4,
a5 = 5. Die Zusammenfassung gleicher Ausprägungen ergibt unmittelbar die absoluten
Häufigkeiten der einzelnen Merkmalsausprägungen, die durch Abzählen gewonnen werden
können. So findet man als absolute Häufigkeit der Ausprägung a1 = l, kurz mit k1 bezeichnet,
den Wert k1 = 10, usw. Dividiert man die absoluten Häufigkeiten ki (i = 1,2,3,4,5) durch den
Stichprobenumfang n, so erhält man die entsprechenden relativen Häufigkeiten h1 = k1/n =
10/64 = 0,156, usw. Durch Zusammenfassen der so gewonnenen Ergebnisse erhält man
schließlich die nachstehende Häufigkeitstabelle für die betrachtete Stichprobe. Insbesondere
erkennt man auch, dass stets hi ≥ 0 gilt und dass h1 + h2 + h3 + h4 + h5 = 1 sein muss.
6
1.1 Univariate Datenbeschreibung
Häufigkeitstabelle für die aus den Beobachtungswerten des Fahrzeugtyps X3
gebildete Stichprobe von Tab. 1
Auspr. ai
1
2
3
4
5
Summe
Strichliste
//// ////
//// //// //// ///
////
//// //// //// //// //// //// /
/
abs. Häuf. ki
10
18
4
31
1
64
rel. Häuf. hi (in %)
15.6
28.1
6.3
48.4
1.6
100.0
Allgemein kann also über eindimensionale Stichproben vom Umfang n für ein Merkmal mit
den m Ausprägungen al, a2, ..., am gesagt werden: Die relative Häufigkeit hi einer jeden
Ausprägung ai erhält man als Quotient ihrer absoluten Häufigkeit ki und des Stichprobenumfanges n, d.h.
hi =
ki
n
(i = 1,2,..., m) .
Dabei gilt stets hi ≥ 0 und Σ hi = 1. Der durch die Zuordnung zwischen Merkmalsausprägung
ai und der relativen Häufigkeit hi für alle i = 1,2,...,m gegebene Zusammenhang heißt kurz
Häufigkeitsverteilung des betrachteten Merkmals.
Neben der tabellarischen Darstellung einer Häufigkeitsverteilung gibt es auch verschiedene
graphische Veranschaulichungen, von denen das Stabdiagramm sowie das Kreisdiagramm
genannt seien (siehe Abbildung).
Stabdiagramm
Kreisdiagramm
35
5
30
1
abs. Häufigkeit
25
20
15
4
10
2
5
0
1
2
3
4
5
3
Fahrzeugtyp
Klassenbildung
Bei quantitativ diskreten Merkmalen mit einer großen Zahl verschiedener Merkmalsausprägungen ist es zumeist zweckmäßig, benachbarte Merkmalsausprägungen zu Klassen
zusammenzufassen. Dazu wird ein Intervall, in dem alle beobachteten Werte liegen, in eine
bestimmte Anzahl von meist gleich großen Teilintervallen, den sogenannten Klassen, zerlegt.
7
1.1 Univariate Datenbeschreibung
Unumgänglich sind Klasseneinteilungen bei stetigen Merkmalen. Tatsächlich stellt bereits die
Niederschrift einer Urliste eine Klasseneinteilung dar, die durch die begrenzte Genauigkeit in
den Zahlenangaben bedingt ist.
Beispiel: Für die 64 Messwerte der Variablen X1 (Fahrzeuggewicht) von Tab. 1 wählen wir
eine Einteilung in Klassen von 300 bis 500, von über 500 bis 700, ..., von über 1500 bis 1700,
was eine Gruppierung der Daten in 7 Klassen ergibt.
Die oben genannten Zahlen heißen die Klassengrenzen und die (konstante) Differenz jeweils
aus oberer und unterer Klassengrenze wird Klassenbreite genannt. Für die Festlegung der
Klassenbreite bzw. der Anzahl der zu bildenden Klassen gibt es keine festen Regeln. Als
Faustregel für die Klassenzahl kann man sich am Wert
Klassenzahl ≈
n
orientieren, wobei n den Umfang der Stichprobe bezeichnet. Viele (und damit enge) Klassen
setzen einerseits die Übersichtlichkeit herab, andererseits können bei wenigen (d.h. großen)
Klassen interessante Details verloren gehen.
Diese Einteilung ist auch die Grundlage für die nachstehende Häufigkeitstabelle. Nach der
Klassennummer i sind dort die Klassengrenzen angeführt, danach die Klassenmitten ui,
weiters für jede Klasse die absolute Klassenhäufigkeit ki (d.h. die Anzahl der Stichprobenwerte, die in die jeweilige Klasse fallen) sowie die relative Klassenhäufigkeit hi (d.h.
die durch den Stichprobenumfang n dividierte absolute Klassenhäufigkeit) und schließlich die
relative Summenhäufigkeit Hi, die den Anteil der Beobachtungsdaten in den Klassen von 1
bis i angibt. Folglich erhält man Hi auch durch Aufsummieren der relativen Klassenhäufigkeiten h1, h2, , hi.
Häufigkeitstabelle für die gruppierten Eigengewichtswerte X1 von Tab. 1
Kl.Nr.
i
1
2
3
4
5
6
7
Summe
Kl.Grenzen
von über / bis
300 - 500
500 - 700
700 - 900
900 - 1100
1100 - 1300
1300 - 1500
1500 - 1700
Kl.Mitte
ui
400
600
800
1000
1200
1400
1600
abs.Kl.H.
ki
3
11
20
16
10
3
1
64
rel.Kl.H.
hi (in %)
4.7
17.2
31.3
25.0
15.6
4.7
1.6
100.0
rel.S.H.
Hi (in %)
4.7
21.9
53.1
78.1
93.8
98.4
100.0
Eine graphische Veranschaulichung der durch diese Häufigkeitstabelle bestimmten Verteilung
ist das Histogramm. Auf einer horizontalen Merkmalsachse werden die Klassengrenzen bzw.
Klassenmitten vermerkt und über jeder Klasse ein Rechteck mit einer der absoluten oder
relativen Klassenhäufigkeit entsprechenden Höhe errichtet. (Die Rechteckflächen sind also
den jeweiligen Klassenhäufigkeiten proportional.) Gegenüber den Originaldaten bedeutet die
Häufigkeitstabelle bzw. das Histogramm aber einen Verlust an Information, nämlich über die
Verteilung der Stichprobenwerte in jeder einzelnen Klasse.
8
1.1 Univariate Datenbeschreibung
Histogramm
25
Häufigkeit
20
15
10
5
0
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Fahrzeuggewicht (gruppiert)
Lage- und Streuungsmaße
Stichproben werden in übersichtlicher Form und, wenn man von Klasseneinteilungen absieht,
ohne jeden Informationsverlust durch Häufigkeitstabellen dargestellt. Dem gegenüber werden
zur globalen Kennzeichnung von Stichproben einige numerische Größen verwendet, zu denen
vor allem die verschiedenen Lage- und Streuungsmaße gehören. Von den Lagemaßen findet
zweifellos das arithmetische Mittel, kurz der Mittelwert am häufigsten Verwendung. Man
berechnet ihn bekanntlich, indem man alle Stichprobenwerte zuerst aufsummiert und die
Summe dann durch den Stichprobenumfang geteilt wird. Ist n der Stichprobenumfang und
sind xl, x2, ..., xn die Stichprobenwerte, so gilt für den Mittelwert
x=
1
1 n
( x 1 + x 2 + ... + x n ) = ∑ x i .
n
n i =1
Erleichtert wird die Berechnung von x , wenn man nicht auf die Urliste zurückgreifen muss,
sondern bereits eine Häufigkeitstabelle vorhanden ist. Liegt dieser eine Klasseneinteilung
zugrunde, so lässt sich daraus der Mittelwert allerdings nur näherungsweise bestimmen.
Wenn insgesamt n Stichprobenwerte in m Klassen eingeteilt sind und wenn ui bzw. ki die
Klassenmitte bzw. absolute Klassenhäufigkeit der i-ten Klasse ist, dann gilt
1
1 m
x = (k 1 u 1 + k 2 u 2 + ... + k m u m ) = ∑ k i u i .
n
n i =1
Beispiel: Für die Fahrzeuggewichte von Tab. 1 beträgt der Mittelwert x = 901,77 kg. Auf
Basis der vorgenommenen Klasseneinteilung erhält man statt des exakten Wertes den
Näherungswert x ≈ 900,00 kg. Die Übereinstimmung mit dem exakten Wert ist natürlich
umso besser, je feiner die Klasseneinteilung vorgenommen wird.
Man beachte, dass das arithmetische Mittel i. Allg. mit keinem Stichprobenwert zusammenfällt, ja − bei einem diskreten Merkmal − zumeist nicht einmal mit irgendeiner möglichen
9
1.1 Univariate Datenbeschreibung
Merkmalsausprägung übereinstimmen wird. Ferner ist die Bildung des Mittelswert nur auf
metrischem Skalenniveau möglich, bei qualitativen Merkmalen ist sie sinnlos.
Neben dem arithmetischen Mittel spielt auch der Median (oder Zentralwert) als Mittelwertmaß eine wichtige Rolle. Zu seiner Bestimmung wird die Stichprobe xl, x2, ..., xn der Größe
nach geordnet, sodass sie als sogenannte Rangliste in der Form
x(l) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n)
vorliegt. Bei ungeradem Stichprobenumfang n ist der Median ~
x dann nämlich gleich dem
mittleren der Stichprobenwerte, bei geradem n gleich dem arithmetischen Mittel aus den
beiden mittleren Werten, d.h.
 x (k +1)

xɶ =  x (k ) + x (k +1)


2
für n = 2k + 1
für n = 2k
.
x.
Damit liegen stets gleich viele Stichprobenwerte unterhalb wie oberhalb von ~
Der Median ist ein Sonderfall eines allgemeineren Lagemaßes, nämlich des p-Quantils ~
xp
~
(für 0 < p < 1). Dabei ist x jener Wert, der von einem Anteil p aller Stichprobenwerte unterp
schritten und von einem Anteil 1 − p überschritten wird. Seine explizite Berechnung erfolgt
nach folgender Formel:
 x (k +1)

xɶ p =  x (k ) + x (k +1)


2
mit k = [pn], falls pn keine ganze Zahl
mit k = pn, falls pn ganze Zahl
(wobei k = [pn] in der ersten Zeile die nächst kleinere ganze Zahl an pn, also k + 1 die nächst
x = ~
x 0.5 gerade das 50%größere ganze Zahl an pn bezeichnet). Somit stellt der Median ~
Quantil dar, während die 25%- bzw. 75%-Quantile auch erstes Quartil Q1 = ~
x 0.25 und
drittes Quartil Q3 = ~
x 0.75 genannt werden.
Während der Mittelwert streng genommen nur für quantitative Merkmale sinnvoll ist, können
der Median und alle Quantile auch für ordinale Merkmale verwendet werden. Besitzen die
Ausgangsdaten lediglich nominales Merkmalsniveau, eignet sich als Lagemaß einer solchen
Stichprobe nur noch die Angabe des Modalwerts (oder Modus) xmod, welcher einfach als
häufigster Wert des betrachteten Merkmals definiert ist (falls es diesen gibt).
Zwei Stichproben können das gleiche Mittelwertmaß besitzen und trotzdem stark voneinander
abweichen, indem die Stichprobenwerte mehr oder weniger um dieses Maß streuen.
Dementsprechend wird die Häufigkeitsverteilung in einem Fall einen eher flachen, im
anderen Fall einen eher steilen Verlauf aufweisen. Zur Kennzeichnung dieser Eigenschaft ist
über das Lagemaß hinaus die Angabe eines Streuungsmaßes unerlässlich.
Das wichtigste Streuungsmaß ist die Varianz s2. Diese ist für eine Stichprobe xl, x2, ..., xn mit
dem Umfang n und dem Mittelwert x definiert durch
s2 =
n
1 n
1
2
2
(
x
−
x
)
=
(
x i − nx 2 ) .
∑
∑
i
n − 1 i =1
n − 1 i =1
Falls alle Stichprobenwerte xi zusammenfallen, gilt xi = x und folglich s2 = 0. In jedem
anderen Fall ist s2 > 0. Die Wurzel von s2 nennt man die Standardabweichung s.
10
1.1 Univariate Datenbeschreibung
Beispiel: Für die Fahrzeuggewichte von Tab. 1 lautet der Mittelwert x = 901,77 kg. Die
Varianz ist gegeben durch s2 = 61436,50 kg2, und damit beträgt die Standardabweichung s =
247,86 kg. Liegt die Stichprobe als Klasseneinteilung vor, so erhält man wie vorhin bei der
Berechnung des arithmetischen Mittels einen Näherungswert für s2, wenn man für jede Klasse
die darin liegenden Stichprobenwerte als in der Klassenmitte befindlich annimmt. Für die
gruppierten Fahrzeuggewichte berechnen wir:
Kl.Nr.
i
1
2
3
4
5
6
7
Summe
Kl.Mitte
ui
400
600
800
1000
1200
1400
1600
abs.Kl.H.
ki
3
11
20
16
10
3
1
64
kiui
1200
6600
16000
16000
12000
4200
1600
57600
ki(ui− x )2
750000
990000
200000
160000
900000
750000
490000
4240000
Diesem Schema kann man unmittelbar als Näherungen x = 57600/64 = 900 sowie s2 =
4240000/63 = 67301,59 und folglich s = 259,43 entnehmen.
Vergleiche zwischen den Streuungen in zwei Stichproben mittels s2 oder s sind nur dann
sinnvoll, wenn die Werte in beiden Stichproben dieselbe Größenordnung besitzen. Ansonsten
ist eine Relativierung von s auf den Mittelwert x angebracht. Die dadurch entstehende Größe
v = s/ x heißt Variationskoeffizient, sie ist dimensionslos und wird meist in Prozenten
angegeben.
Besonders einfach kann die Streuung einer Stichprobe durch ihre Spannweite R = xmax − xmin
erfasst werden, d.h. durch die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert. Diese
schnell zu bildende Größe ist vor allem bei kleinem Stichprobenumfang durchaus geeignet,
eine Vorstellung über die Streuung der Beobachtungswerte zu vermitteln, sie ist allerdings
sehr stark durch Ausreißer beeinflusst. Dieser Abhängigkeit der Spannweite von Ausreißern
versucht man dadurch entgegenzuwirken, dass man die Daten an den beiden äußersten
Rändern der Stichprobe nicht einbezieht. Auf diese Weise erhält man etwa den sogenannten
Interquartilabstand IQR, welcher als Abstand zwischen dem ersten und dritten Quartil
definiert ist, also IQR = Q3 − Q1.
Die folgende Übersicht zeigt, welche Skalenniveaus für die sinnvolle Berechnung der einzelnen Lage- und Streuungsmaße notwendig sind.
Skala
Modalwert
nominal
ordinal
metrisch (Intervall)
metrisch (Verhältn.)
ja
ja
ja
ja
Lagemaße
Streuungsmaße
Median, Mittelwert Spannweite, Varianz, VariationsQuantile
IQR
Std.Abw. koeffizient
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
11
1.1 Univariate Datenbeschreibung
Eine einfache graphische Darstellung, welche Aufschlüsse über Lage und Streuung einer
Stichprobe erlaubt, sind die sogenannten Box-Plots (oder Box-and-Whiskers-Plots). Dabei
wird um den Median ein Rechteck vom ersten zum dritten Quartil gezeichnet, welches 50%
der Stichprobenwerte beinhaltet. Die von diesem Rechteck ausgehenden Striche zeigen die
Lage des Minimums und des Maximums der Stichprobe an (siehe Abbildung).
1. Quartil
Minimum
3. Quartil
Mittelwert
Maximum
Median
Box-Plots zum Vergleich der Körpergröße von
n1 = 39 männlichen und n2 = 30 weiblichen Studenten
Neben den Lage- und Streuungsmaßen gibt es noch weitere Kennzahlen zur Charakterisierung von Stichproben und deren Verteilungen. Dazu gehört u.a. die Schiefe g, welche
ein Maß für die Symmetrie bzw. Asymmetrie der Verteilung eines metrisch skalierten
Merkmals darstellt. Sie ist formelmäßig gegeben durch
12
1.1 Univariate Datenbeschreibung
1 n
⋅ ∑ (x i − x) 3
n i =1
.
g=
s3
Die Schiefe g ist dimensionslos, sie kann sowohl positiv als auch negativ sein. Für eine
symmetrische Verteilung gilt g = 0, sie ist rechtsschief, falls g > 0 bzw. linksschief, falls g < 0
(siehe Abbildung).
Empirische Verteilungen mit unterschiedlicher Schiefe
linksschief
g<0
x <~
x < xmod
symmetrisch
g=0
x =~
x = xmod
rechtsschief
g>0
x >~
x > xmod
Zusammenfassung
Das bei einer Untersuchung anfallende Datenmaterial schreibt man zweckmäßigerweise
zuerst in einer so genannten Urliste zusammen, etwa in Form einer Tabelle, in der jede Zeile
einer Beobachtungseinheit in der Stichprobe und jede Spalte einem Merkmal entspricht. Die
Anzahl der Beobachtungseinheiten bestimmt den Stichprobenumfang, je nach der Anzahl der
Merkmale spricht man von ein- oder mehrdimensionalen Stichproben. Die einzelnen
Merkmale können nominales, ordinales oder metrisches Skalenniveau besitzen.
Eine einfache und zugleich übersichtliche Darstellung des Datenmaterials einer eindimensionalen Stichprobe ist die Häufigkeitstabelle. Diese enthält neben den einzelnen
Ausprägungen a1, a2, ..., am des beobachteten Merkmals die entsprechenden absoluten Häufigkeiten kl, k2, ...,km bzw. relativen Häufigkeiten h1, h2, ..., hm, wobei für i = 1,2,...,m gilt:
hi =
ki
≥ 0 und
n
m
∑h
i
=1.
i =1
Zur Erreichung einer übersichtlicheren Darstellung ist es bei stetigen und häufig auch bei diskreten Merkmalen notwendig, die Merkmalsausprägungen in Klassen zusammenzufassen.
Erfahrungsgemäß wählt man etwa m ≈ n Klassen bei einem Stichprobenumfang von n.
Unbesetzte mittlere Klassen sollten durch geeignete Wahl von m bzw. der Klassengrenzen
vermieden werden. Die Anzahl der Stichprobenwerte, die in die Klasse i fallen, heißt die
entsprechende absolute Klassenhäufigkeit ki. Nach Division durch den Stichprobenumfang n
ergibt sich daraus die relative Klassenhäufigkeit hi = ki/n. Schließlich ist die relative
Summenhäufigkeit Hi gleich der auf den Stichprobenumfang bezogenen Anzahl der
Stichprobenwerte in den Klassen 1,2,...,i, d.h.
13
1.1 Univariate Datenbeschreibung
i
Hi = ∑ h j .
j=1
Nach der Klasseneinteilung treten die ursprünglichen Beobachtungsdaten nicht mehr in
Erscheinung. Vielmehr wird angenommen, dass alle Werte einer Klasse i in der zugehörigen
Klassenmitte ui liegen. Graphisch lassen sich eindimensionale Stichproben z.B. durch Stabund Kreisdiagramme bzw. bei gruppierten Daten durch Histogramme veranschaulichen.
Die Lagemaße kennzeichnen die Werte einer Stichprobe insofern, als sie deren „Lage“
jeweils durch eine einzige Zahl beschreiben. Am wichtigsten ist das arithmetische Mittel x ,
das man durch einfache Durchschnittsbildung erhält. Demgegenüber ist der Median ~
x als
spezielles Quantil jene Zahl, die von ebenso vielen Stichprobenwerten unter- wie
überschritten wird. Weitere Quantile sind die beiden Quartile Q1 und Q3. Der Modalwert ist
der häufigste Wert innerhalb einer Stichprobe. Offensichtlich ist bei nominalen und ordinalen
Merkmalen die Bildung des arithmetischen Mittels sinnlos, ebenso die Bildung des Medians
bei nominalen, nicht aber bei ordinalen Merkmalen.
Bei metrischen Merkmalen findet meist das arithmetische Mittel Verwendung. Da dieses im
Unterschied zum Median von extremen Stichprobenwerten, sogenannten „Ausreißern“, stark
beeinflusst wird, kann sich bei unsymmetrischer Häufigkeitsverteilung der Median als das
zweckmäßigere Lagemaß erweisen. Bei symmetrischen Verteilungen fallen x und ~
x
zusammen; eingipfelige unsymmetrische Verteilungen mit ~
x < x heißen rechtsschief, solche
mit x < ~
x linksschief.
Zur Kennzeichnung der Streuung der Werte einer Stichprobe (für ein metrisches Merkmal)
sind die Spannweite R, d.i. der maximale Abstand der Stichprobenwerte, der
Interquartilabstand IQR, d.i. der Abstand der beiden Quartile und schließlich die Varianz s2
bzw. die Wurzel aus s2, d.i. die Standardabweichung s gebräuchlich. Lage und Streuung von
Stichproben können übersichtlich mit Hilfe von Box-Plots dargestellt werden.
1.2 Multivariate Datenbeschreibung
Wenngleich auch bisher schon mehrere Merkmale je Beobachtungseinheit betrachtet und
datenmäßig erfasst wurden, so erfolgte doch deren statistische Auswertung stets getrennt. In
diesem Abschnitt sollen nun der Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen, also z.B.
Körpergröße und Körpergewicht, Haarfarbe und Augenfarbe oder Geschwindigkeit und
Bremsweg untersucht sowie Art und Ausmaß der Abhängigkeiten zwischen diesen Merkmalen beschrieben werden. Zu diesem Zweck sollen zwei Situationen auseinandergehalten
werden, je nachdem, ob die beiden betrachteten Merkmale qualitativer oder quantitativer
Natur sind.
Kontingenztafeln
Wir betrachten zunächst den Fall, dass beide Beobachtungen qualitative Merkmale betreffen,
deren Ausprägungen also in (zwei oder mehrere) begrifflich unterscheidbare Klassen ein-
14
1.2 Multivariate Datenbeschreibung
geteilt werden können. Eine derartige Situation ist z.B. dann gegeben, wenn Haarfarbe und
Augenfarbe oder − wie in folgendem Beispiel − Geschlecht und Rauchgewohnheiten miteinander verglichen werden sollen.
Beispiel: In einer Gruppe von Studenten befinden sich 39 Männer und 30 Frauen. Unter den
Männern sind 19 Raucher, unter den Frauen sind es dagegen 10. Kann von diesen Daten auf
einen Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen Geschlecht und Rauchgewohnheiten
geschlossen werden?
Tab. 2. Vierfeldertafel für die Merkmale Geschlecht und Rauchen
männlich
weiblich
Raucher
n11 = 19
n21 = 10
n.1 = 29
Nichtraucher
n12 = 20
n22 = 20
n.2 = 40
n1. = 39
n2. = 30
n = 69
Eine übersichtliche Darstellung des Datenmaterials erreicht man in Form einer so genannten
Vierfeldertafel, in der die absoluten Häufigkeiten aller möglichen Kombinationen von Merkmalsausprägungen eingetragen sind. Die Anzahl der männlichen Raucher bezeichnen wir mit
n11 = 19, und entsprechend sind die Besetzungszahlen der weiteren Klassen durch n12, n21 und
n22 gegeben (siehe Tab. 2). Aus ihnen lassen sich die Randhäufigkeiten berechnen, das sind
die Zeilensummen
n1. = n11 + n12 = 39 und n2. = n21 + n22 = 30,
die die Besetzungszahlen für das Merkmal Geschlecht angeben, und die Spaltensummen
n.1 = n11 + n21 = 29 und n.2 = n12 + n22 = 40,
die die Besetzungszahlen für das Merkmal Rauchen darstellen (dabei gibt der Punkt jeweils
an, über welchen Index summiert wurde). Die Gesamtzahl aller Studenten ist somit
n = n1. + n2. = n.1 + n.2 = 69.
Um aus den oben eingeführten absoluten Häufigkeiten die entsprechenden relativen Häufigkeiten zu erhalten, dividieren wir durch den Stichprobenumfang n.
Berechnung der relativen Häufigkeiten für Tab. 2
männlich
weiblich
Raucher
h11 = 0,275
h21 = 0,145
h.1 = 0,420
Nichtraucher
h12 = 0,290
h22 = 0,290
h.2 = 0,580
h1. = 0,565
h2. = 0,435
1
Aus dieser Tabelle geht hervor, dass sich unsere Stichprobe aus 56,5% Männern und 43,5%
Frauen bzw. aus 42% Rauchern und 58% Nichtrauchern zusammensetzt. Mit Hilfe dieser
relativen Häufigkeiten kann man sich schon ein grobes Bild von der Abhängigkeit zwischen
den beiden betrachteten Merkmalen verschaffen. Nehmen wir nämlich an, dass zwischen
beiden Merkmalen Unabhängigkeit besteht, so müsste der Prozentsatz der Raucher (jeweils
innerhalb der Männer bzw. Frauen) für Männer und Frauen gleich groß, und zwar gleich h.1 =
0,42 sein. Das bedeutet beispielsweise für die männlichen Raucher, dass n11 / n1. = h.1 bzw. n11
15
1.2 Multivariate Datenbeschreibung
= n1.⋅h.1 = n⋅h1.⋅h.1 sein muss. Wir können daher im Fall der Unabhängigkeit der beiden
Merkmale die folgenden absoluten Klassenhäufigkeiten erwarten:
e11 = n⋅h1.⋅h.1 = 16,4, e12 = n⋅h1.⋅h.2 = 22,6, e21 = n⋅h2.⋅h.1 = 12,6, e22 = n⋅h2.⋅h.2 = 17,4.
Ein Vergleich dieser erwarteten Ergebnisse mit den tatsächlich beobachteten Größen n11, n12,
n21 und n22 (Tab. 2) zeigt jedoch deutliche Unterschiede, und es könnte vermutet werden, dass
allgemein der Anteil der Raucher unter den Männern größer ist als unter den Frauen. Präzise
Aussagen liefert erst ein statistischer Test, nämlich der χ2-Test.
Im Allgemeinen können die beiden Merkmale natürlich auch mehr als zwei verschiedene
Merkmalsausprägungen aufweisen. Betrachtet man die Merkmale X und Y, die in den Ausprägungen a1, a2, ..., ak bzw. bl, b2, ..., bm vorkommen, so kann man die Besetzungszahlen nij
der einzelnen Klassen in Form einer Kontingenztafel anordnen. (Die Vierfeldertafel ist also
ein Spezialfall einer Kontingenztafel für k = m = 2.)
Allgemeine Form einer Kontingenztafel für zwei Merkmale mit k
bzw. m Ausprägungen
b1
b2
⋯
a1
n11
n12
⋯ n1 j ⋯ n1m
n1.
a2
n 21
n 22 ⋯ n 2 j ⋯ n 2 m
n 2.
⋮
⋮
⋮
ai
n i1
ni2
⋮
⋮
⋮
ak
bj
⋮
⋯
n ij
⋮
⋯
bm
⋮
⋯ n im
⋮
⋮
n i.
⋮
n k1 n k 2 ⋯ n kj ⋯ n km
n k.
n .1
n
n .2
⋯ n. j
⋯ n .m
Die Randhäufigkeiten ni. und n.j sind wieder die Zeilen- bzw. Spaltensummen, und die
Gesamtsumme n entspricht der Anzahl aller Beobachtungen. Die relativen Häufigkeiten
ergeben sich genauso wie bei der Vierfeldertafel, und auch die Überlegungen zur
Unabhängigkeit gelten hier unverändert.
Korrelation
Zu den in der Statistik am häufigsten verwendeten Verfahren zählen zweifellos die Korrelations- und die Regressionsanalyse. Beide Verfahren sind dazu geeignet, Beziehungen
zwischen zwei (oder mehreren) quantitativen Merkmalen zu studieren, jedoch zu jeweils
verschiedenem Zweck. Wir betrachten im Folgenden zwei Variablen X und Y, die mit einer
Stichprobe (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn) vom Umfang n erhoben wurden. Zunächst nehmen wir
an, dass keine Unterscheidung in eine abhängige und eine unabhängige Variable möglich oder
sinnvoll ist, sondern beide Größen einander gleichberechtigt gegenüberstehen. Die ältesten
Beispiele für diese für die Korrelationsanalyse typische Situation stammen aus der Biostatistik und betreffen den Zusammenhang quantitativer Merkmale zwischen Verwandten,
also z.B. die Körpergröße von Brüdern und Schwestern. Eine Beurteilung des Zusammenhanges zwischen derartigen Größen ermöglicht der (empirische) Korrelationskoeffizient r,
der als Maß für die „Kovariabilität“ der beiden Merkmale angesehen werden kann; er gibt den
Grad der Linearität des Zusammenhanges zwischen den beobachteten Größen an und wird
wie folgt berechnet:
16
1.2 Multivariate Datenbeschreibung
r=
s xy
sxsy
.
Dabei bedeuten sx und sy die Standardabweichungen der x- bzw. y-Werte und sxy die
Kovarianz der (x,y)-Wertepaare der Stichprobe gemäß
s xy =
1 n
1  n

( x i − x )( y i − y) =
 ∑ x i y i − nxy  .
∑
n − 1 i =1
n − 1  i =1

Ferner gilt stets
−1 ≤ r ≤ 1.
Beispiel: In Tab. 3 ist der systolische Blutdruck für 16 Zwillingspaare angegeben. Wir fragen
nach der Güte des linearen Zusammenhanges zwischen den Blutdruckwerten der Zwillingspaare und berechnen dazu den Korrelationskoeffizienten der Stichprobe.
Tab. 3. Systolischer Blutdruck (in mm Hg) von identischen Zwillingen
1. Zwilling X
2. Zwilling Y
152 123 124 188 121 150 165 144 123 174
155 138 127 182 117 160 143 160 125 170
119 182 170 117 145 130
118 186 172 120 160 138
Korrelogram m
200
190
180
Blutdruck Y
170
160
150
140
130
120
110
100
100
120
140
160
180
200
Blutdruck X
Um eine ungefähre Vorstellung über den möglichen Zusammenhang zwischen den x- und yWerten zu gewinnen, zeichnen wir die sechzehn Wertepaare in ein (x,y)-Koordinatensystem,
wobei sich ein sogenanntes Korrelogramm (oder Streudiagramm) ergibt (siehe Abbildung).
Dieses vermittelt den Eindruck, dass die entsprechenden Punkte annähernd auf einer Geraden
liegen, d.h., dass ein linearer Zusammenhang zwischen den Größen X und Y besteht. Der
Reihe nach berechnen wir nun sx = 24,26, sy = 23,07 und sxy = 515,11; daraus ergibt sich der
Korrelationskoeffizient r = sxy / (sxsy) = 0,92.
17
1.2 Multivariate Datenbeschreibung
Zur Beurteilung dieses Wertes betrachte man zunächst die theoretisch möglichen Grenzfälle
r = 0 und r = ±l. Allgemein bedeutet r = 0, dass aus den beobachteten Daten kein linearer
Zusammenhang erkennbar ist. Ist r = 1 oder r = −1, dann liegen alle Beobachtungspunkte im
Korrelogramm exakt auf einer Geraden, sonst hingegen nicht. Je näher r bei 1 (oder −1) liegt,
desto genauer folgen die Punkte der Geraden im Korrelogramm. Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass für wachsende x-Werte im Durchschnitt auch die y-Werte
ansteigen; ist r negativ, so fällt y im Mittel für größer werdendes x. Der Korrelationskoeffizient ist eine dimensionslose Größe, sein Wert ist unabhängig von den
Maßeinheiten der x- bzw. y-Werte.
In obigem Beispiel sind die Blutdruckwerte der beiden Zwillinge positiv korreliert: Mit
steigendem Blutdruck des ersten Zwillings nimmt auch der des zweiten Zwillings zu. Der
hohe Wert von r = 0,92 für den Korrelationskoeffizienten zeigt einen sehr guten linearen
Zusammenhang der beiden Merkmale in den beobachteten Daten.
Der Korrelationskoeffizient r ist kein Maß für den Zusammenhang zweier Merkmale schlechthin, sondern r beurteilt nur den linearen Zusammenhang; es ist daher durchaus möglich, dass r
nahe bei 0 liegt, obwohl die Datenpaare z.B. recht genau dem Verlauf einer Parabel folgen.
Zur richtigen Einschätzung des rechnerischen Ergebnisses ist daher unbedingt auch das
Korrelogramm zu studieren. Ein hoher r-Wert sagt nur statistisch etwas über den Zusammenhang der beobachteten Daten aus. Keineswegs darf eine solcherart errechnete Abhängigkeit ohne jede weitere Überlegung als Kausalzusammenhang interpretiert werden. In
solch einem Fall kann nämlich Y von X oder auch X von Y abhängen, die beiden Merkmale
können einander aber auch gegenseitig beeinflussen. Oder aber es gibt noch eine dritte Größe
Z im Hintergrund, welche sowohl X als auch Y beeinflusst. Bei einem Zusammenhang dieser
Art spricht man von einer Scheinkorrelation.
Der Korrelationskoeffizient r kann nur gebildet werden, wenn die Merkmale X und Y beide
quantitativ sind. Ist mindestens eines der beiden Merkmale nur ordinal, so kann man sich so
behelfen, dass man statt der Originalwerte x1, x2, ..., xn bzw. y1, y2, ..., yn die Rangzahlen
R(x1), R(x2), ..., R(xn) bzw. R(y1), R(y2), ..., R(yn) nimmt, die diesen bei einer aufsteigenden
Sortierung zukommen. Durch Einsetzen in obige Formel für r ergibt sich dann der sogenannte
Rangkorrelationskoeffizient von Spearman
n
6∑ d i
rs = 1 −
2
i =1
n (n − 1)(n + 1)
mit d i = R ( x i ) − R ( y i ) .
Genau wie der Korrelationskoeffizient r kann auch rs nur Werte in dem Intervall [−1,1]
annehmen, allerdings mit dem Unterschied, dass die Extremwerte +1 und −1 genau dann
angenommen werden, wenn ein durchgängiger monotoner Zusammenhang (und zwar
wachsend bzw. fallend, je nach Vorzeichen) zwischen den ursprünglichen x- und y-Werten
besteht.
Regression
In diesem Abschnitt wollen wir zwei quantitative Größen studieren, bei denen die Werte des
einen Merkmals ursprünglich bekannt oder vorgegeben sind, während die Werte des zweiten
Merkmals von diesen − wenn auch mit zufallsbedingten Schwankungen − abhängen mögen.
18
1.2 Multivariate Datenbeschreibung
Die Regressionsanalyse wird angewendet, wenn der formelmäßige Zusammenhang bestimmt
und Werte des einen Merkmals zu gegebenen Werten des anderen Merkmals vorhergesagt
bzw. geschätzt werden sollen. Historisch geht die Bezeichnung Regression auf Beobachtungen über den Zusammenhang zwischen der Größe von Vätern und deren Söhnen zurück,
die zuerst von F. Galton gemacht wurden: Es zeigte sich, dass große Väter im Durchschnitt
zwar auch große Söhne haben, diese sind aber zumeist etwas kleiner als ihre Väter; entsprechendes gilt für kleine Väter. Galton schloss daraus auf einen Rückschritt (Regress) zur
durchschnittlichen Größe der Population.
Beispiel: Aus einer Stichprobe von zwölf Frauen sei das Alter X (in Jahren) sowie der systolische Blutdruck Y (in mm Hg) gegeben (Tab. 4). Kann damit allgemein aus der Kenntnis des
Alters einer Frau eine Aussage über deren ungefähren Blutdruck gemacht werden?
Tab. 4. Alter und systolischer Blutdruck von Frauen
Alter X (in Jahren)
Syst. Blutdruck Y (in mm Hg)
42
137
50
168
52
147
25
132
32
121
36
134
38
133
60
165
67
188
68
165
70
180
40
128
Wir stellen die zwölf Wertepaare zunächst wieder in einem Korrelogramm dar und erkennen,
dass Y bis auf zufallsbedingte Schwankungen linear von X abhängt, d.h., dass wir den x-yZusammenhang annähernd durch eine Gerade beschreiben können. Diejenige Gerade, die
diesen Zusammenhang in gewissem Sinn am besten erfasst, heißt (empirische)
Regressionsgerade von Y bezüglich X; sie minimiert die Summe der Quadrate der
senkrechten Abstände (Prinzip der kleinsten Quadrate).
Die Regressionsgerade lässt sich allgemein darstellen durch
19
1.2 Multivariate Datenbeschreibung
y = a + bx (a,b konstant)
oder y − y = b (x − x ). Dabei sind x und y die arithmetischen Mittel der x- und y-Werte.
Den Proportionalitätsfaktor b nennt man Regressionskoeffizient. Zu seiner Berechnung
ermitteln wir zuerst die Varianz sx2 der x-Werte und die Kovarianz sxy der (x,y)-Wertepaare
der Stichprobe; der Regressionskoeffizient ergibt sich dann aus
b=
s xy
sx
2
,
die Konstante a aus
a = y − bx .
Für die Daten aus obigem Beispiel berechnen wir nun sukzessive x = 48,33, y = 149,83,
sx2 = 230,61 und sxy = 307,33. Somit erhalten wir b = sxy / sx2 = 1,33 und a = y − b x = 85,42.
Die Regressionsgerade ist also durch die Gleichung
y = 85,42 + 1,33 x
bestimmt und ebenfalls in obiger Abbildung dargestellt. Sie erlaubt es uns, zu einer vorgegebenen Ausprägung x des Merkmals X einen Näherungswert y des Merkmals Y zu finden,
d.h., zu einem gewissen Alter einen erwarteten (durchschnittlichen) Wert für den systolischen
Blutdruck anzugeben.
Ein Maß dafür, wie genau die einzelnen Beobachtungen der Regressionsgeraden folgen, ist
das so genannte Bestimmtheitsmaß r2, welches als Quadrat des Korrelationskoeffizienten r
berechnet wird. Das Bestimmtheitsmaß kann als Anteil der durch Regression erklärten
Variation an der Gesamtvariation interpretiert werden, es gilt stets 0 ≤ r2 ≤ 1. Der Wert r2 = 1
wird genau dann angenommen, wenn alle Punkte auf der Regressionsgeraden liegen. In
diesem Fall spricht man davon, dass die gesamte Streuung der y-Werte durch die Regression
erklärt wird. Je mehr die Punkte von der Regressionsgeraden abweichen, desto kleiner wird
das Bestimmtheitsmaß.
Von der Regressionsgeraden von Y bezüglich X (fast immer) verschieden ist die Gerade von
X bezüglich Y, die die Summe der Quadrate der waagrechten Abstände minimiert. Sie kann
vollkommen analog zu den obigen Überlegungen bestimmt werden, wobei lediglich die xWerte gegen die y-Werte auszutauschen sind. Im Allgemeinen ist aber eines der beiden
Merkmale als ursprüngliche, bekannte oder unabhängige Variable ausgezeichnet, aus der man
mittels einer Regressionsformel die unbekannte, abhängige Variable näherungsweise berechnen möchte.
Die Ermittlung einer Regressionsgeraden ist allerdings nur dann sinnvoll, wenn sich im
Korrelogramm tatsächlich ein annähernd linearer Zusammenhang und nicht etwa ein deutlicher Kurvenverlauf zeigt. Dann wäre unter Umständen ein Verfahren der nichtlinearen
Regression zielführend, wobei gelegentlich eine Zurückführung auf den linearen Fall
möglich ist, wie das nachfolgende Beispiel zeigt.
Beispiel: Für ein radioaktives Präparat wurden nach x Tagen die folgenden Aktivitäten gemessen:
Zeit X (in Tagen)
Aktivität Y (in Zerfällen/Minute)
0
5
10 15 20 25 30
510 397 307 240 181 142 108
20
1.2 Multivariate Datenbeschreibung
Wir wollen mit Hilfe dieser Daten einen formelmäßigen Zusammenhang zwischen den
Größen X und Y finden und daraus die Halbwertszeit für den Zerfallsprozess bestimmen.
Trägt man die sieben Wertepaare (xi,yi) als Punkte in ein Korrelogramm ein, so kann man
deutlich einen abnehmenden nichtlinearen Kurvenverlauf erkennen (vgl. untenstehende Abbildung). Tatsächlich wird ein radioaktiver Zerfall durch eine Exponentialfunktion der Form
y = y 0 e − λx
beschrieben, wobei die Konstante y0 die Aktivität zum Zeitpunkt x = 0 und λ die sogenannte
Zerfallskonstante bedeuten. Eine häufig angewandte Methode zur Bestimmung dieser Größen
besteht nun darin, diese Gleichung zu logarithmieren, also
ln y = ln y 0 − λx
zu bilden, und auf diese Weise den exponentiellen Zusammenhang zwischen X und Y auf
einen linearen Zusammenhang zwischen X und Z = ln Y mit a = ln y0 und b = −λ zurückzuführen. Die Anwendung der linearen Regressionsrechnung auf die entsprechenden Wertepaare (xi,zi) liefert unmittelbar die Konstanten a = 6,24 und b = −0,052, somit y0 = ea = 513,84
und λ = −b = 0,052. Die Zerfallskurve wird daher durch die Gleichung
y = 513,84e −0, 052 x
beschrieben und ermöglicht für jeden Zeitpunkt x die näherungsweise Bestimmung der entsprechenden Aktivität y(x). Die Halbwertszeit τ ergibt sich schließlich aus der Gleichung y(τ)
= 0,5 y0 und beträgt somit τ = −(ln 0,5)/λ = 13,3 Tage.
Zusammenfassung
Eine zweidimensionale Stichprobe qualitativer Merkmale kann in übersichtlicher Form durch
eine Kontingenztafel dargestellt werden. Kommen die Merkmale A und B in den Ausprägungen A1, A2, ..., Ak bzw. Bl, B2, ..., Bs vor, so geben die Besetzungszahlen nij in der i-ten
1.2 Multivariate Datenbeschreibung
21
Zeile bzw. j-ten Spalte der Kontingenztafel die Anzahl jener Elemente der Stichprobe an, die
vom Typ Ai und zugleich vom Typ Bj sind. Besitzt jedes Merkmal nur zwei verschiedene
Ausprägungen, d.h. k = s = 2, spricht man von einer Vierfeldertafel. Die Randhäufigkeiten,
das sind die Zeilen- bzw. Spaltensummen der Kontingenztafel, bestimmen die Randverteilungen der einzelnen Merkmale. Eine Division sämtlicher absoluter Größen durch den
Stichprobenumfang n liefert die relativen Häufigkeiten, mit deren Hilfe erste grobe Überlegungen zur Abhängigkeit der betrachteten Merkmale angestellt werden können.
Die Einschätzung der Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei quantitativen
Merkmalen ist durch den Korrelationskoeffizienten r möglich, der gemäß r = sxy / (sxsy)
definiert ist (sx, sy Standardabweichungen der x- bzw. y-Werte, sxy Kovarianz). Der Korrelationskoeffizient gibt den Grad der Linearität des Zusammenhanges zwischen den beobachteten Größen an, er kann aber auch − im Rahmen einer Regressionsanalyse − als Maß
für die Güte der Anpassung der Regressionsgeraden an die Datenpunkte im Korrelogramm
interpretiert werden.
Ein hoher Wert des Korrelationskoeffizienten lässt jedoch noch keinen Schluss auf die Art
oder Richtung der Abhängigkeit zwischen den beiden Merkmalen zu; bei einer Scheinkorrelation besteht − trotz eines hohen r-Wertes − überhaupt kein unmittelbarer Zusammenhang zwischen den entsprechenden Größen. Ferner ist für die Beurteilung von r die Anzahl n
der Beobachtungspaare wesentlich. Mit zunehmendem n steigt auch die Zuverlässigkeit des
Korrelationskoeffizienten, während etwa große r-Werte bei geringem Stichprobenumfang nur
wenig Aussagekraft besitzen. (Im Fall n = 2 gilt sogar stets r = ±1.)
Die Regressionsanalyse ermöglicht die Beschreibung eines funktionellen Zusammenhanges
zwischen zwei (oder mehreren) quantitativen Größen. Ausgangspunkt ist eine Stichprobe von
Zahlenpaaren, die graphisch in einem (x,y)-Diagramm in Form eines Korrelogramms
veranschaulicht werden können. Die im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate bestmögliche Approximation dieser Datenpunkte im Korrelogramm durch eine Gerade stellt die
Regressionsgerade dar. Sie ist durch die Gleichung y = a + bx gegeben, wobei die Konstante a
durch a = y − b x und der Regressionskoeffizient b durch b = sxy /sx2 festgelegt sind ( x , y
arithmetische Mittel, sx2 Varianz, sxy Kovarianz). Diese Regressionsgerade, deren Ermittlung
allerdings nur sinnvoll ist, wenn das Korrelogramm oder auch andere Überlegungen einen
annähernd linearen Zusammenhang vermuten lassen, ermöglicht es, zu jedem vorgegebenen
Wert des einen Merkmals einen durchschnittlichen Wert für das zweite Merkmal anzugeben.