Lösungen: Sinussatz und Kosinussatz

Lösungen: Sinussatz und Kosinussatz
1. Beweise, dass für den Flächeninhalt A eines Dreiecks ABC die Gleichungen
1
1
1
a ⋅ c ⋅ sinß = b ⋅ c ⋅ sin α = a ⋅ b ⋅ sin γ gelten.
2
2
2
Anleitung: Drücke die Höhe eines Dreiecks mit Hilfe der Sinusfunktion aus.
c ⋅ hc
I.
A=
2
h
II. sin α = c
b
c ⋅ hc
I.
A=
2
II. hc = b ⋅ sin α
A=
b ⋅ c ⋅ sin α 1
= b ⋅ c ⋅ sin α
s
2
Die beiden anderen Formeln werden
analog mit ha bzw. hb entwickelt.
Berechne
mit
Hilfe
der
Formeln
aus
Aufgabe
1 den Flächeninhalt des Dreiecks
2.
ABC aus
III.
a) b = 7,2 cm; c = 10,5 cm; α = 44°
Lösung Aufgabe a)
1
A = bc ⋅ sin α = 26,26 cm²
2
A=
b) a = 5,4 cm; b = 6,3 cm; γ = 52°
Lösung Aufgabe b)
1
A = ab ⋅ sin γ = 13,40 cm²
2
3. Zwei Orte A und B sind voneinander c = 4 km (10,2 km) entfernt. Um ihre
Entfernung von einem dritten unzugänglichen Ort C zu bestimmen, hat man die
Winkel α=65° und β=78° gemessen. Wie lang sind die Strecken AC und BC?
Gegeben: c, α, ß
Gesucht: a, b
Berechnung von b:
b sinß
=
c sin γ
c ⋅ sinß
b=
sin γ
(1) b = 6,501 km
(2) b = 6,018 km
Berechnung von a:
a sin α
=
c sin γ
c ⋅ sin α
a=
sin γ
(1) a = 6,024 km
(2) a = 7,053 km
4. Im Dreieck ABC sind zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel
gegeben. Berechne die fehlende Seite und die fehlenden Winkel.
Gegeben:
Gesucht:
a) a = 9 cm; c = 5 cm; ß = 57°
b, α, γ
b) b = 1,7 m; c = 2,4 m; α = 64°
a, ß, γ
c) a = 43 m; b = 65 m; γ = 29,3°
c, α, ß
Lösung Aufgabe a)
Lösung Aufgabe b)
Berechnung von b:
a = 2,25 m; ß = 42,8°; γ = 73,2°
b² = a² + c² − 2ac ⋅ cosß
Lösung Aufgabe c)
b = a² + c² − 2ac ⋅ cosß
c = 34,63 m; α = 37,42°; ß = 113,28°
b = 7,55 cm
Berechnung von α:
a sin α
=
b sinß
a ⋅ sinß
sin α =
b
α = 88,6°
Berechnung von γ:
γ = 180° – (88,6° + 57°) = 34,4°
5. Im Dreieck ABC sind drei Seiten gegeben. Berechne die Winkel in der
genannten Reihenfolge.
Gegeben:
a) a = 4 cm; b = 5 cm; c = 6 cm
b) a = 2,7 m; b = 3,5 m; c = 4,2 m
c) a = 14 m; b = 11 m; c = 20 m
Lösung Aufgabe a)
Berechnung von α:
a² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α
b² + c² − a²
2bc
α = 41,4°
cos α =
Gesucht.
α, γ, ß
ß; α, γ
γ, α, ß
Lösung Aufgabe b)
ß = 56°; α = 39,8°; γ = 84,2°
Lösung Aufgabe c)
γ = 105,6°; α = 42,4°; ß = 32°
Berechnung von γ:
a sin α
=
c sin γ
c ⋅ sin α
sin γ =
a
γ = 82,9°
Berechnung von ß:
ß = 180° – (41,4° + 82,9°) = 55,7°
6. Zwei Ausfallstraßen führen von der Stadtmitte M zu den Siedlungen A und B.
Sie sind a = MA = 3,9 km (9,070 km) und b = MB = 2,5 km (8,650 km) lang und
bilden den Winkel AMB = γ = 120°30' (41,9°) . Eine geradlinige
Verbindungsstrecke AB = c soll die Siedlungen direkt miteinander verbinden.
Wie lang wird sie?
c² = a² + b² − 2ab ⋅ cos α
c = a² + b² − 2ab ⋅ cos α
(1) c = 5,6 km
(2) c = 6,348 km
7. Ein Wanderer A, der sich 120 m über einem Bergsee befindet, sieht den Gipfel
eines Berges unter einem 360 großen Höhenwinkel α, das Spiegelbild G‘ des
Gipfels im See unter einem 430 großen Tiefenwinkel ß.
Wie hoch liegt der Gipfel über dem See?
Lösung
Berechnung von AS :
AB
= 175,9535 [m]
sinß
Berechnung von SG :
AS =
∠ASG = γ = 180 − 2 ⋅ ß = 940
∠SGA = δ = 1800 − γ − α − β = 70
SG
AS
=
sin(α + ß) sin δ
SG = 1417,2616 [m]
Berechnung von h:
h
sinß =
SG
h = 966,57 [m]
h = 966,57 [m]
Der Berg ist ca. 967 m hoch.
8.
Gegeben: α = 25,30; ß1 = 39,80; c = 135 m; h2 = 1,65 m
ß2 = 1800 – ß1 = 140,20
γ = 1800 – α – ß2 = 14,50
Berechnung von a:
a
c
=
sinα sin γ
c ⋅ sinα
a=
= 230,423 [m]
sin γ
Berechnung von h1 und hges:
h1
a
h1 = a ⋅ sinß1 = 147,50 [m]
sinß1 =
hges = h1 + h2 = 149,10 [m]
Die Masthöhe ist 149,10 m.
9. Kommt in der Arbeit nicht vor