Übungsblatt 9 - Universität Zürich

MAT901 – Stochastik 1
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Übungsblatt 9
MAT901 – Stochastik 1
Abgabe am Montag 4. Mai 2015
(bis spätestens 17 Uhr)
Aufgabe 1: Maximum unabhängiger Zufallsvariablen (2+3+2+3 Punkte)
Sei (Xn ) eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen. Sei
1
ρXn (x) = √ 1(0;1) (x)
2 x
die Wahrscheinlichkeitsdichte von Xn , für alle n ∈ N.
a) Zeigen Sie, dass für alle ε ∈ (0; 1) und alle n ∈ N,
√
P(Xn ≤ ε) = ε .
b) Für alle n ∈ N, berechnen Sie die Verteilungsfunktion FMn der Zufallsvariable
Mn = max{X1 , X2 , . . . , Xn } .
c) Für n ∈ N, sei
Zn = n(1 − Mn ) .
Ferner, sei Z eine Zufallsvariable mit Exponentialverteilung mit Parameter 1/2.
Zeigen Sie, dass Zn → Z in Verteilung, für n → ∞.
d) Zeigen Sie, dass Mn in Verteilung gegen eine Konstante Zufallsvariable konvergiert.
Entscheiden Sie, ob Mn auch in Wahrshceinlichkeit oder fast sicher konvergiert.
Aufgabe 2: Supremum einer Folge unabhängiger Zufallsvariablen (10 Punkte)
Sei (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger reelwertiger Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Zeigen Sie, dass P (supn Xn < ∞) = 1 genau dann, wenn A > 0
existiert mit
X
P(Xn > A) < ∞ .
n∈N
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MAT901 – Stochastik 1
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Aufgabe 3: Schwaches und starkes GGZ (10 Punkte)
Es sei (Xn )n≥2 eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit
P(Xn = n) =
1
n log n
und
P(Xn = 0) = 1 −
1
n log n
Zeigen Sie, dass
n
1 X
(Xj − EXj )
n − 1 j=2
zwar in Wahrscheinlichkeit gegen Null konvergiert, aber nicht fast sicher (d.h. die Folge
(Xn ) erfüllt das schwache- aber nicht das starke Gesetz der grossen Zahlen).
Aufgabe 4: Theorem von Slutsky (5+5 Punkte)
Sei X eine Zufallsvariable und (Xn )n∈N , (Yn )n∈N zwei Folgen von Zufallsvariablen.
a) Zeigen Sie, dass für alle t ∈ R, α > 0 und n ∈ N,
|φXn +Yn (t) − φXn (t)| ≤ 2P(|Yn | > α) + E 1(|Yn | ≤ α) eitYn − 1
Hier bezeichnet φZ die charakteristische Funktion der Zufallsvariable Z.
b) Zeigen Sie: Konvergiert (Xn )n∈N in Verteilung gegen X und konvergiert Yn in Verteilung
gegen 0, dann konvergiert die Folge (Xn + Yn )n∈N in Verteilung gegen X.
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