Elektrotechnik: Kurzer geschichtlicher Rückblick
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Elektrotechnik: Kurzer geschichtlicher Rückblick In der Natur kann Elektrizität wohl am Besten bei Gewittern beobachtet werden. Es war wohl für unsere Uhreinwohner genauso faszinierend wie auch beängstigend, die Blitze zu beobachten. Doch diese ungebändigte Kraft konnte natürlich kaum zur Erforschung der Elektrizität verwendet werden. Erste elektrostatische Phänomene wurden von den Griechen am Bernstein (gelbbraune Steine, erstarrtes Harz) entdeckt werden. Diese nannten den geheimnisvollen Stoff "Elektron". Mit Wolle gerieben zeigte der Bernstein die Eigenschaft, kleine Teile wie Flaum oder Staub anzuziehen. Es konnten sogar blitzende Funken mit ihm gezogen werden. Im 18. Jahrhundert wurde von Wissenschaftlern vor allem Reibungselektrizität untersucht. Kurz vor 1800 wurde die galvanische Säule vom italienischen Physiker Volta konstruiert. Damit war eine erste Gleichspannungsquelle verfügbar, die auch über längere Zeit elektrischen Strom liefern konnte. So konnten viele weitere Phänomene wie z.B. der Elektromagnetismus entdeckt und untersucht werden. Mit der Entdeckeung der Dynamoelektrischen Maschine war der Begriff Elektrotechnik geboren und der Siegeszug dieser faszinierenden Technologie konnte nicht mehr aufgehalten werden. Wir haben zusammen Elektrotechnik, wo wir im Unterricht viele dieser elektrotechnischen Phänomene kennen lernen werden. Wir werden diese teils selber erforschen können, andererseits gibt es aber auch, viele bereits existierende Notationen und Normen kennen zu lernen. Elektrotechnik hat auch viel mit Berechnungen zu tun, wo Eure mathematischen Vorkenntnisse gefordert sein werden. Aber keine Angst, wir müssen nicht alles schon im ersten Moment können. Wir werden Schritt für Schritt vorwärtsgehen und so immer mehr Details der Elektrotechnik beherrschen. In diesem Zusammenhang ist wohl die erste Frage: Was ist eigentlich ein elektrischer Stromkreis, und was braucht es alles, damit ein elektrischer Strom fliessen kann? Im folgenden Kapitel werden wir uns an dieses Thema herantasten. Doch zuerst noch ein paar Vorabinformationen zu diesen Unterlagen: Ich fasse mit diesem Skript Erkenntnisse aus verschiedenen Arbeitsblättersammlungen und Fachbüchern zusammen und versuche damit, möglichst gezielt auf Eure Wünsche und Bedürfnisse einzugehen. Meldet also ungeniert, wenn Ihr hier etwas vermisst oder noch besser erklärt haben möchtet. Für vertiefte Informationen empfehle ich Euch aber auch, die Fachbücher zu studieren, die Ihr noch bekommen werdet. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 1 Der elektrische Stromkreis Die meisten von Euch werden elektrische Stromkreise bereits kennen. Trotzdem schadet es nichts, das Thema hier etwas grundlegender zu betrachten. Wissenschaftler arbeiten viel mit Modellen. Sie beschreiben beobachtete Vorgänge mit Modellen, damit die Vorgänge voraussagbar und berechenbar werden. Wenn nun etwas neues, noch unbekanntes untersucht wird versuchen sie ein bereits bekanntes Modell mit ähnlichen Eigenschaften herbeizuziehen und damit das neue Phänomen zu beschreiben. Selbstverständlich muss ein Modell in diesem Fall dem neuen Thema angepasst werden. Genau so möchten wir nun die Eigenschaften von elektrischen Stromkreisen untersuchen. Zur ersten Beschreibung des Stromkreises ziehen wir das Modell von einem Fluss herbei. Irgendwo in den Bergen ist seine Quelle, und er wird nach einer mehr oder weniger langen Strecke im Meer enden: Ein anderes, ähnliches Modell ist der abgebildete Wasserkreislauf: Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 2 Nun ist es aber an der Zeit, dass wir aus diesen Kenntnissen einen einfachen elektrischen Stromkreis zusammenstellen. Wir zur Darstellung von Stromkreisen ein Schema, d.h. eine Darstellung des Stromkreises mit Symbolen: Im Vergleich mit den vorherigen Modellen finden wir zu diesem Stromkreis heraus: Der Strom ist in jedem Teil des gezeichneten Stromkreises gleich gross. Schaltsymbole Symbole sind genormte Zeichen für ein bestimmtes Bauteil. Solche Symbole sind genormt, d.h. es ist festgelegt, was für ein Aussehen sie haben. Dies ist sehr vorteilhaft, denn Dank der Normung können wir auch Schemas aus anderen Ländern lesen, selbst wenn wir die Sprache der Umschreibungen nicht verstehen. Etwas philosophisch: Symbole sind eigentlich die Wörter unseres Schemas. Wenn wir die Wörter einer Sprache nicht verstehen, verstehen wir auch den Sinn nicht von einem Satz. Genau so verhält es sich mit den Symbolen im Schema… Übrigens: Es wäre ja zu einfach, wenn auf der ganzen Welt nur eine Norm bestehen würde. Immerhin sind aber viele Zeichen in verschiedenen Normenausführungen ähnlich. Die hier betrachteten Zeichen dürften überall gleich sein. Einige Normierungsinstitutionen sind hier aufgelistet: • CEI (Commission Electrotechnique Internationale) • SEV (Schweizerischer Elektrotechnischer Verein) • DIN (Deutsche Industrienorm) Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 3 Wir sehen im Schema uns mehr oder weniger bekannt vorkommende Symbole. Diese Symbole möchten wir hier beschreiben. Es werden mit der Zeit natürlich noch weitere Symbole dazukommen. Benennung Bild Symbol Leitung Leitungskreuzung leitende Verbindung Batterie (1 Element) Glühlampe Schalter Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 4 Spannungserzeugung Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 5 Wirkungen des elektrischen Stromes Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 6 Der Aufbau des Atoms Wir haben uns zum Verständnis des elektrischen Stromkreises das Modell vom Wasserkreislauf betrachtet. Vieles ist im Wasserkreislauf ähnlich wie im Stromkreis, einiges aber eben auch ganz anders. Um zu verstehen, was sich denn im Leiter eines Stromkreises genau bewegt und weshalb, müssen wir zu den kleinsten chemischen Bausteinen der Materie hinabtauchen, zu den Atomen. Wir sehen in der Mitte eine Anhäufung von Kugeln, die dicht aneinander sind. Es handelt sich um den Atomkern, dessen Teile offenbar gut zusammenhalten. Viel weiter draussen fliegen um den Atomkern herum weitere Teile, die Elektronen, ähnlich wie im Sonnensystem die Planeten um die Sonne kreisen. Wir können uns nun fragen: Weshalb können die Bausteine des Kerns so kompakt beieinander sein, während die Elektronen ganz offensichtlich viel Platz brauchen? Und was für eine Kraft veranlasst die Elektronen, um den Kern herum zu fliegen? Um diese Fragen zu beantworten, sehen wir uns doch mal die einzelnen Bausteine des Atoms an: Benennung Proton Durchmesser Masse Art der Ladung -15 -24 10 m 1.7⋅10 g positiv Neutron 10-15 m Elektron 10 -17 m Atomkern 10 -14 m ganzes Atom 10-10 m 1.7⋅10-24 g 9.1⋅10 -28 g neutral negativ positiv neutral Nun, für die Frage des Zusammenhalts vom Kern müssen wir annehmen, dass es zwischen den Kernbauteilen eine sehr starke Kraft geben muss. In der Tat wurde herausgefunden, dass zwischen den Teilchen eine starke Wechselwirkung besteht, die aber nur über sehr geringe Reichweiten wirkt. Im Kern befinden sich die positiv geladenen Protonen und die Neutronen. Die elektrische Abstossungskraft ist etwa 100 Mal kleiner wie diese Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 7 Wechselwirkung1, zudem werden die Protonen durch zusätzliche Bausteine, die Neutronen auf Distanz gehalten. So überwiegt die Kraft der starken Wechselwirkung im Kern, die ihn kompakt zusammenhält. Der Atomkern besteht also aus Protonen und Neutronen! Die Elektronen hingegen sind für die starke Wechselwirkung viel zu weit vom Kern entfernt, es wirken also die elektrischen Anziehungskräfte, die das Elektron daran hindern, den Atomkern unter normalen Bedingungen zu verlassen. Wie wir in der Tabelle der Atombausteine sehen, besitzen Protonen eine positive Ladung, Elektronen eine negative. Zwischen Elektronen und Protonen besteht eine elektrische Anziehungskraft, wie wir aus obiger Schilderung sehen. Andererseits bleiben die Elektronen untereinander auf Distanz, sie stossen sich ab. Wir können daraus folgende für die Elektrotechnik sehr wichtigen Sätze ableiten: • Ungleichartige Ladungen ziehen sich an • Gleichartige Ladungen stossen sich ab Der Betrag der elektrischen Ladung ist für Protonen und Elektronen gleich gross. Wenn gleich viele Elektronen wie Protonen vorhanden sind wirkt der Stoff gegen Aussen elektrisch neutral. Auch ein Atom als Ganzes ist elektrisch neutral. Das Atom besitzt also gleich viele Elektronen wie Protonen. Mit chemischen und physikalischen Vorgängen können wir dieses Gleichgewicht allerdings stören. Chemische Verbindungen entstehen teilweise durch Teilchen mit Elektronen oder Protonenüberschuss. Wir werden in der Elektrotechnik nur im Zusammenhang der elektrischen Leiterarten darauf eingehen. Die Ladung, die ein Elektron bzw. ein Proton besitzt, nennen wir Elementarladung. Sie ist sehr klein, nämlich qe = 1.60219⋅10-19 As, aber in einem Stromkreis befinden sich dafür sehr viele elektrische Elementarladungen in Bewegung. Lasst uns nun aus diesen Erkenntnissen über Atome, deren Grundbausteine und die Eigenschaften der Ladungen weitere elektrische Grundbegriffe erarbeiten. 1 Physik für Ingenieure, 1989, S. 608 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 8 Elektrische Grundbegriffe Die elektrische Ladung Q Die Ladung begegnete uns schon bei der Betrachtung des Atoms. Wir haben dort die Elementarladung von den Elektronen und Protonen betrachtet. Die Elementarladung beträgt |qe| = |qp| = 1.60219⋅10-19 As. Wir könnten nun darauf kommen, dass mit Ladung die gesamte Anzahl von solchen Elementarladungsteilchen in einem Stoff gemeint ist. Ein Stoff mit gleich vielen positiven und negativen Ladungsträgern (Protonen und Elektronen) ist aber nach aussen elektrisch neutral. Mit elektrischer Ladung bezeichnen wir stets den Mangel oder Überschuss von der einen Ladungsträgerart. In Metallen sind die beweglichen Ladungsträger die Elektronen. Wir können also sagen: • Negativ geladen = Elektronenüberschuss • Positiv geladen = Elektronenmangel In der Elektrotechnik haben wir mit viel grösseren Ladungsmengen als mit einzelnen Elementarladungen zu tun. Interessant dabei aber ist, dass wir eigentlich zählen könnten, wie viele Elektronen oder Protonen zu viel auf einem Körper sind, und damit die Ladung bestimmen. Die elektrische Ladung besteht also eigentlich aus abzählbaren Elementen. Betrachten wir eine gängige Ladungsmenge von Q = 1 As und berechnen, wie vielen Elementarladungsteilchen diese entspricht: ne = Q / qe = 1 As / 1.60219⋅10-19 As = 6.24⋅1018 Eine wahrlich riesige Zahl von Elementarladungsteilchen. Es gibt aber durchaus noch grössere Ladungsmengen wie 1 As. Wie erhalten wir überhaupt einen geladenen Körper? Das Stichwort hierfür heisst: Durch Ladungstrennung. Ich muss also z.B. auf einen elektrisch neutralen Körper negative Ladung aufbringen (=Elektronenüberschuss). Doch woher bekomme ich diese Ladung? Ich entnehme sie einem zweiten Stoff, d.h. dort wird nachher im gleichen Masse Elektronenmangel herrschen wie es auf dem ersten Stoff Überschuss hat. Es entsteht also ein positiv und ein negativ geladener Körper. Wie trenne ich Ladungen? Hierzu kann ich aufs Blatt Spannungserzeugung verweisen. Offensichtlich hat elektrische Ladung etwas mit Spannung zu tun, ja es hängt direkt voneinander ab! Weshalb dies? Wir sahen soeben dass eine Ladung von 1 As einer Anzahl von 6.24⋅1018 Elementarladungsteilchen entspricht. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 9 Es ist einfach festzustellen, wie eine so riesige Menge von überschüssigen Ladungsteilchen auch aufeinander Kräfte ausüben. Wir kennen bereits den Sachverhalt: Gleichartige Ladungen stossen sich ab. Das heisst, dass die überschüssigen Ladungsträger sich gerne weiter voneinander entfernen würden, wenn sie könnten. Diese Tatsache erzeugt Druck auf die Ladungsteilchen! Was heisst dies nun? Nehmen wir an, ich hätte einen positiv geladenen Körper. Schliesse ich an ihn eine Leitung an, bewegt sich ein Teil dieser positiven Ladung dort hinein. Mache ich eine Verbindung bis zum entsprechend negativ geladenen Körper, so fliessen die positiven Ladungsträger über die Leitung zum negativen Pol ab, es beginnt ein Strom zu fliessen. Nun, diese Beschreibung stimmt, wenn sich die positiven Ladungsträger tatsächlich verschieben können. Dies tun sie aber eben in vielen Stoffen nicht! Wenn wir annehmen, dass sich nur die Elektronen bewegen können, müssen wir unsere Überlegung ein wenig revidieren: Der positiv geladene Körper hätte in diesem Fall Elektronenmangel, da ich die Protonen von ihm ja auch bei der Ladungstrennung nicht bewegen konnte. Aus dem angeschlossenen Leiter würde nach dem Satz "Ungleichartige Ladungen ziehen sich an" ein Teil der freien Elektronen zum positiven Pol gezogen. Es herrscht nun auch auf dem Draht Elektronenmangel. Wenn ich die Leitung zum entsprechenden negativ geladenen Pol führe, werden die dort überschüssigen Elektronen, die sich ja übrigens untereinander abstossen, und mehr Raum ausfüllen möchten, über den Leiter zum positiven Pol fliessen und zwar solange, bis die Ladungsmengen wieder ausgeglichen sind. Diese Ausgleichsbewegung von Ladungsträgern nennen wir Strom. Der elektrische Strom I Der elektrische Strom ist Strömung von Ladungsteilchen. Die Masseinheit für den Strom I ist 1 Ampere = 1 A Ich sage mit dem Strom aus, wieviel Ladung pro Sekunde einen Leiterquerschneitt passieren. Wir können also sagen, dass bei I = 1 A pro Sekunde 6.24⋅1018 Ladungsträger den Querschnitt passieren. Die Rechnung hierzu: ne/t = I / qe = 1 A / 1.60219⋅10-19 As = 6.24⋅1018 / s Strom und Ladung sind also miteinander verknüpft: Ladung Q = n⋅qe Strom I =Q/t Elektrotechnik Q = I⋅t Alexander Wenk Q = Ladung [As] I = Strom [A] t = Zeit [s] Seite 10 Beispiel: Wir wollen einen Körper auf Q = 50 mAs aufladen. Wie lange muss ein Strom von 5 A fliessen, um diese Ladung zu realisieren? Weitere Beispiele: Westermann: Technische Mathematik S. 35 Nr. 3 - 6 Wir sahen bei den Ladungen, dass positive Ladungsträger vom positiven zum negativen Pol fliessen. Haben wir aber negative Ladungsträger, so fliessen diese vom negativen zum positiven Pol, also gerade umgekehrt herum. Es ist deswegen notwendig die Stromrichtung zu definieren. Wir nennen diese Definition die technische Stromrichtung: Ausserhalb der Spannungsquelle fliesst der Strom vom Plus- zum Minuspol Wir wissen nun schon einiges über die Atome, das Wirken von elektrostatischen Kräften und das Verhalten von Ladungsträgern! Wir werden nun einige Leiterarten betrachten und herausfinden, wie der Strom dort fliesst. Stromleitung in Metallen In (festen) Metallen sind die Atome fest im Stoff eingebunden, sie können sich also nicht bewegen. Die Elektronen bewegen sich um die Atomkerne, können ihr Mutteratom aber nicht einfach so verlassen. In Metallen sitzen die Atome an einem festen Platz in einer bestimmten Anordnung zueinander. Sie kommen sich dabei so nahe, dass sie die äussersten Elektronen untereinander austauschen können. Wir sprechen von sogenannten Valenzelektronen. Bei Kupfer gibt es ein solches Valenzelektron pro Kupferatom. Die restlichen Elektronen bleiben an den Kern gebunden. Dies führt uns zur vereinfachten Ansicht, ein Metallatom bestehe aus einem positiv geladenen Atomrumpf und den negativen Valenzelektronen. Lasst uns dies in einer Skizze verdeutlichen: Wir sehen einen möglichen Weg, den ein Elektron zurücklegen kann. Wenn ich nun durch einen positiven oder negativen Pol elektrostatische Kräfte mit ins Spiel bringe, beginnen sich die Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 11 freien Elektronen in eine Richtung zu bewegen, es fliesst ein Strom: Wir können aus diesem Bild interpretieren, dass sich das positiv geladene Metallion jeweils in Gegenrichtung der Elektronenbewegung verschiebt. Wichtig ist zu sehen, dass es sich dabei aber nur um die Ladung handelt, das Atom selbst bleibt ja fest an seinem Platz. Wie viele Valenzelektronen haben wir in einem Leiter? 1 mm3 Kupfer besitzt ca. 85⋅1018 Atome und damit ebenso viele Valenzelektronen. Es dauert also mehrere Sekunden bis 1 mm3 Valenzelektronen von einem Strom von 1 A durch den Leiter gedrückt werden. Genau von dieser Feststellung her kommen wir zur Unterscheidung der Impuls- oder Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Stromes und der eigentlichen Elektronengeschwindigkeit. Die Impulsgeschwindigkeit des Stromes in metallischen Leitern ist sehr, sehr gross, sie beträgt annähernd Lichtgeschwindigkeit: vImpuls = 300‘000 km/s Dies führt zur praktisch verzögerungsfreien Wirkung des elektrischen Stromes am Ende einer Leitung, wenn am Anfang der Strom eingeschaltet wird. Die Wandergeschwindigkeit der Elektronen im Leiter selbst ist hingegen sehr klein. Sie beträgt bei einem Leiter mit Querschnitt A = 1 mm2 und einem Strom I =10 A etwa 0.74 mm/s. Wir können also sagen: vWander < 1 mm/s Strom in Metallen entsteht durch Elektronenfluss. Stromleitung in Flüssigkeiten (Elektrolyten) In Flüssigkeiten können sich die Teilchen frei bewegen. Gewisse chemische Verbindungen entstehen durch die Übertragung von einem Valenzelektron an ein anderes Atom erzeugt. Es entstehen dadurch positive und negative Ionen. Durch die Wirkung elektrostatischer Kräfte können wir diese Ionen in Bewegung setzen. Dies könnte in etwa so aussehen: Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 12 Ionen sind vieltausendfach schwerer als Elektronen, und sind dementsprechend träge. Elektrolyte sind deshalb auch schlechtere Leiter wie Metalle. Dass übrigens tatsächlich Ionen durch den Strom bewegt werden sehen wir z.B. an folgenden Effekten: • Bildung von Gasblasen an den Elektroden (Elektrolyse) • Metallablagerung an einem Pol (Galvanisieren) Schlussfolgerung: Stom in Elektrolyten kommt durch positive und negative Ionen zustande Stromleitung in Gasen Gase sind unter normalen Bedingungen Nichtleiter, da Gasmoleküle gleich viele Elektronen wie Protonen besitzen. Durch Energiezufuhr können wir Gase hingegen ionisieren. Die Ionisation kann zustande kommen durch hohe Spannungen (z.B. bei Gewittern), hohe Temperaturen, durch Radioaktivität oder kurzwellige Strahlung. Bei der Ionisation entreissen wir dem Gasmolekül Elektronen, es wird deshalb zum positiven Ion. Die Ladungsträger beim Stromfluss in Gasen sind Ionen und Elektronen. Beispiele von Gasentladungen sind: • • • • Blitze Koronaentladungen (Glimm und Sprühentladungen) Lichterzeugung in Gasentladungslampen Lichtbogen Nichtleiter Nichtleiter sind eigentlich ganz einfach erklärt. Sie besitzen keine freien Ladungsträger, auf Nichtleiter als Ganzes wirken keine elektrostatischen Kräfte. Auf die einzelnen Atome wirken diese Kräfte aber sehr wohl. Isolierstoffe können unter gewissen Bedingungen auch leitend werden, nämlich wenn sie entweder partiell zerstört/umgewandelt werden, oder z.B. durch grosse Hitze (zäh)flüssig werden. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 13 Die elektrische Spannung U Die Spannung hängt mehr oder weniger direkt mit der Ladung zusammen. Wenn wir einen positiv und einen negativ geladenen Körper miteinander verbinden, fliesst ein "Ladungsausgleichsstrom" wobei die Ladung auf den Körpern abgebaut resp. ausgeglichen wird. Nun sprechen wir in der Elektrotechnik nicht von Ladungsquellen, sondern von Spannungsquellen. Spannungsquellen besitzen idealerweise eine konstante Ausgangsspannung unabhängig von der Strombelastung. Sie wirken ähnlich wie eine Pumpe im Wasserkreislauf, sind also imstande stets die für den Stromfluss erforderliche Ladungsmenge in den angeschlossenen Stromkreis zu "pumpen". Die ideale Spannungsquelle gibt es allerdings nicht. Eine Batterie ist irgendwann erschöpft, und vielleicht habt ihr schon beobachtet, wie das Licht einer Glühbirne leicht dunkler wird, wenn z.B. ein elektrischer Heizofen an derselben Steckdose angeschlossen wird. In diesem Fall sinkt die Spannung bei grosser Belastung. Die elektrische Spannung bewirkt einen Stromfluss in einem Widerstand, kann also als Ursache des elektrischen Stromes betrachtet werden. In anderen Worten: Ist keine Spannung vorhanden, kann auch kein Strom fliessen. Die Einheit der Spannung ist U = 1 Volt = 1 V Im Zusammenhang mit der Spannung soll hier noch folgendes angemerkt sein: Eine Spannung kann immer nur zwischen zwei Punkten herrschen. Dieser Satz kann gut eingeprägt werden durch die Tatsache, dass eine Spannung zwischen einem positiv und einem negativ geladenen Körper herrschen kann, oder bei einer Batterie zwischen dem Plus- und dem Minuspol. Wenn immer ich eine Spannung bezeichne oder messe, muss ich auch sagen, zwischen welchen zwei Punkten sie herrscht. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 14 Die Stromdichte J Mit Strom meinen wir bekanntlich die Anzahl Ladungsträger pro Zeiteinheit, die einen Leiterquerschnitt passieren. In einem Leiter ist die Stromstärke überall gleich. Doch was passiert, wenn wir den Leiterquerschnitt verengen? Ziehen wir unser Wasserleitungsmodell zur Betrachtung herbei, würden wir feststellen, dass die Geschwindigkeit des Wassers im engen Teil höher wird. Genau so verhält es sich auch beim elektrischen Stromkreis. Allerdings rechnen wir bei Leitern in der Regel nicht mit einzelnen Ladungsträgern, sondern mit der Stromstärke. Deshalb wird anstelle der Elektronengeschwindigkeit die Stromdichte im Leiter definiert: J = Stromdichte [A/mm2] I = Stromstärke [A] J=I/A A = Leiterquerschnitt [mm2] Betrachten wir uns folgendes Bild und kontrollieren die Berechnungen der Stromdichte, die darin stecken: Was bedeutet nun eine hohe Stromdichte, und was für Auswirkungen hat sie? Lasst uns dies an folgender Berechnung auskundschaften: Durch eine Glühlampe fliesst ein Strom von 4 A. Die Hin- und Rückleitung besitzt einen Querschnitt von 1.5 mm2, der Glühwendel selber besitzt ein Querschnitt von 0.006 mm2. Berechne die Stromdichte in Leiter und Glühwendel. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 15 Die grosse Stromdichte im Glühwendel bringt diesen zum Glühen, die Lampe gibt Licht ab. Die Zuleitung hingegen erwärmt sich kaum, denn dort ist die Stromdichte gering. Die Stromdichte sagt also etwas über die thermische Belastung des Leiters aus. Elektrische Leitungen müssen so bemessen sein, dass sie thermisch nicht überlastet werden. Gefährlich wird es insbesondere, wenn die Isolationsschicht zu schmelzen beginnt oder die zu grosse Hitze des Leiters ein Feuer verursachen würde. Um dies zu verhindern, gibt es die Bestimmungen der NiederspannungsInstallationsnormen, NIN. Dort ist für verschiedene Einbaunormen festgelegt, welche maximale Stromstärken durch ein Leiter eines bestimmten Querschnitts fliessen darf. Ein Auszug davon gibt uns folgende Tabelle: A [mm2] I [A] J [A/mm2] 1.5 16 10.7 2.5 20 4 25 10 40 16 63 25 80 95 200 8.0 6.3 4.0 3.9 3.2 2.1 Welchen Durchmesser besitzt ein runder Leiter mit einem Querschnitt von 95 mm2? A = r2π r = √(A/π) d = 2r = 2⋅√(A/π) = 2⋅√(95 mm2/π) = 11 mm Dieser Leiter ist also schon ganz schön dick! Übungen zum Thema: • Elektroniker: Westermann S. 36 Nr. 1, 3, 4 • Automatiker: Europa Rechenbuch S. 45 Nr. 1, 3, 7 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 16 Stromarten Prinzipiell unterscheiden wir zwei Stromarten: • Gleichstrom oder DC (direct current) Beim Gleichstrom fliesst der Strom immer in der gleichen Richtung, er ist zudem konstant, ist also über eine längere Zeitdauer konstant. Beispiele von Gleichstromquellen: Batterie, Akkumulator, Gleichstrom-Netzgerät • Wechselstrom oder AC (Alterneting Current) Wechselstrom ändert dauernd seien Richtung. Die Elektronen fliessen also nicht mehr gleichmässig entlang des Leiters, sondern schwingen sozusagen um ihre Ursprungslage. Beispiele von Wechselstromquellen: Stromnetz, Wechselstromgeneratoren, Mikrofone. Transformatoren. • Mischstrom: Der Mischstrom weist einen Gleich- und einen Wechselspannungsanteil auf, er setzt sich also aus DC und AC zusammen. Falls keine negativen Ströme vorkommen, sprechen wir von einem pulsierenden Gleichstrom, so wie er z.B. aus einem Gleichrichter kommt, bevor er geglättet ist. Eine typische Anwendung von Mischstromist das Telefon: Die Sprachinformation wird dem Gleichstrom überlagert. Der Gleichstrom wird von den Telefonapparaten als Stromversorgung benötigt, denn normale Telefonapparate besitzen keinen zusätzlichen Stromanschluss. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 17 Der elektrische Widerstand R Jeder Leiter setzt dem elektrischen Strom einen Widerstand entgegen. Bei einer bestimmten elektrischen Spannung kann also nur ein begrenzter Strom fliessen. Der Widerstand behindert also den ungehinderten Fluss der Ladungsträger. Der Widerstand besitzt das Formelzeichen R (wie Resistance) und hat die Einheit [Ω = Ohm]. Beispiel: R =1Ω Ein hoher Widerstandswert bedeutet auch eine hohe Behinderung des elektrischen Stromes. Anstelle von der Behinderung könnten wir aber auch von der Ermöglichung des elektrischen Stromes in einem bestimmten Leiter sprechen. Wir kommen dann zum Begriff vom elektrischen Leitwert. Der elektrische Leitwert G Je höher der elektrische Leitwert eines Leiters ist, desto besser leitet er den elektrischen Strom! Die Einheit des Leitwertes ist 1 Siemens = 1 S Beispiel: G =1S Leitwert und Widerstand hängen direkt zusammen. Es ist G=1/R G = elektrischer Leitwert [S] R = elektrischer Widerstand [Ω] Machen wir zum Abschluss dieser beiden neuen Begriffe noch eine Einheitenumrechnung: Was ist ein Siemens, ausgedrückt in Ohm? S = 1/Ω = Ω-1 Übungen: Berechne den Leitwert folgender Widerstände: R1 = 12Ω, R2 = 0.45 Ω, R3 = 1.25 kΩ Berechne den Widerstand von folgenden Leitwerten: G1 = 2.18 mS, G2 = 30.3 S, G3 = 2300 mS Weitere Übung für Automatiker: Europa Rechenbuch S. 43 oben Nr. 2 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 18 Berechnung von Leiterwiderständen Jeder Leiter hat ein bestimmter Widerstand. Dies gilt sowohl für Leitermaterialien in Widerständen als auch für normale Leiter aus Kupfer. Von was hängt der Widerstand eines elektrischen Leiters ab und wie können wir ihn berechnen? Folgendes Bild soll uns einen ersten Aufschluss ermöglichen: Der Widerstand eines elektrischen Leiters hängt also ab von der Materialkonstante, von der Leiterlänge und vom Querschnitt des Leiters. Lasst uns nun versuchen, die Berechnungsformel herauszufinden: R = ρ⋅l/A R = Leiterwiderstand [Ω] l = Länge des Leiters [m] A = Querschnitt des Leiters [mm2] ρ = spezifischer Widerstand [Ω⋅mm 2 /m] Der spezifische Widerstand ρ ist also die Materialkonstante und sagt aus, wie gross der Widerstand eines Drahtes mit 1 m Länge und 1 mm2 Querschnittsfläche ist. Analog zu den Betrachtungen bei der Widerstandseinführung gibt es auch hier einen zweiten Begriff: Die Leitfähigkeit γ sagt aus wie gross der Leitwert eines Leiters mit 1 m Länge und 1 mm2 Querschnittsfläche ist. Anders gesagt: Die Leitfähigkeit ist der Kehrwert des spezifischen Widerstandes: γ=1/ρ Wir können die Widerstandsberechnung auch direkt mit der Leitfähigkeit durchführen. Die Formel lautet dann: R = l/(γ⋅A) γ = Leitfähigkeit [m/(Ω⋅mm 2 )] Hier sind einige Werte für spezifische Widerstände und Leitfähigkeiten aufgeführt. Aufgabe: Überprüfe, ob spez. Widerstände und deren Leitfähigkeit übereinstimmen. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 19 Material Aluminium (Al) Kupfer (Cu) Silber (Ag) Gold (Au) spezifischer Widerstand Leitfähigkeit ρ [Ω⋅mm2/m] γ [m/(Ω⋅mm2)] 0.0278 36 0.0178 56 0.0167 60 0.022 45.7 Beispiel: Wie gross ist der Widerstand eines Kupferleiters von 20 m Länge und 1.5 mm2 Querschnitt? Übungen zum Thema: • Elektroniker: Westermann S. 46 Nr. 2, 3, 7, 11 • Automatiker: Europa Rechenbuch S. 46 Nr. 2, 3, 5, 6 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 20 Das Ohmsche Gesetz Das Ohmsche Gesetz ist eine der wichtigsten Erkenntnisse in der Elektrotechnik, denn es sagt aus, in welcher Beziehung zueinander Spannungen, Ströme und Widerstände stehen. Lasst uns dieses Gesetz also messtechnisch erforschen. Aufgabe: Baue folgende Messschaltung auf und messe den Strom in Funktion der Spannung im Bereich von 0..10V für die Widerstände R = 1 kΩ und R = 2 kΩ Spannung U [V] Strom I [mA] für R = 1 kΩ Strom I [mA] für R = 2 kΩ 0 2 4 6 8 10 • Zeichne das Liniendiagramm für die Spannung als Funktion des Stromes U = f(I) für die beiden Widerstände, d.h. der Strom I ist in der x-Achse einzutragen, die Spannung in der y-Achse. • Welche Form weisen die Kurven auf? • Bestimme die Steigung der Kurven mit Hilfe vom Ansatz Steigung = ∆U/∆I. Beachte dabei die korrekte Verrechnung der Einheiten inklusive Massvorsätze. Was fällt Dir bei Betrachtung des Ergebnisses auf? • Konstruiere nun aus Deinen Entdeckungen das Ohm'sche Gesetz! Schlussfolgerung: Das Ohmsche Gesetz lautet U = I⋅R U = Spannung [V] I = Strom [A] R = Widerstand [Ω = V/A] Übungen zum Ohmschen Gesetz: • Elektroniker: Westermann S. 40 Nr. 4, 5, 10, 11, 13, 16, 17, 21 • Automatiker: Europa Rechenbuch S. 43 unten Nr. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 14-16 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 21 Arbeit, Leistung Wirkungsgrad Wir kennen nun eine der wichtigsten elektrischen Beziehung, das Ohmsche Gesetz. Mit ihm wird Spannung, Strom und Widerstand in eine Beziehung gebracht. Doch wenn wir mit Elektrizität etwas antreiben wollen, kommt plötzlich die Frage auf: Was für eine Leistung kann ich mit einer bestimmten Stromstärke und Spannung realisieren? Da ich mit Elektromotoren elektrische Energie in mechanische umwandlen kann, interessiert uns die Leistung nicht nur auf der elektrischen Seite, sondern auch die mechanische Leistung. Schauen wir uns deshalb kurz die Mechanische Seite an, um dann Parallelen zur Elektrizität zu ziehen. Mechanische Arbeit Mechanische Arbeit wird verrichtet, wenn wir mit einer Kraft auf einen Körper einwirken und diesen damit eine bestimmte Strecke bewegen können. W: Arbeit [Nm] F: Kraft [N] s: Strecke oder Weg [m] W = F⋅s Die mechanische Arbeit besitzt die Einheit Nm. Das genormte Einheitensystem macht eine Verbindung zwischen mechanischer, thermischer und elektrischer Arbeit: 1 Nm = 1 J = 1 Ws Häufig haben wir die Kraft nicht direkt gegeben, wohl aber die Masse eines Körpers. Die Kraft ergibt sich in diesem Fall aus F: Kraft [N] m: Masse [kg] a: Beschleunigung [m/s2] F = m⋅a Die so berechnete Kraft entspricht z.B. der Antriebskraft auf ein Fahrzeug, das eine bestimmte Beschleunigung erfährt. Aber auch Massen erfahren eine bestimmte Anziehungskraft. So funktioniert überhaupt erst unser Sonnensystem: Die Erde wird von der Sonne angezogen. Auch wir Menschen bleiben nur auf dem Erdboden stehen, weil auf uns die Erdanziehungskraft wirkt. Diese Kraft können wir auch mit obiger Formel berechnen, wenn wir die Erdbeschleunigung kennen. Da die Erbeschleunigung eine wichtige Konstante ist, erhielt sie ein spezielles Formelzeichen: FG = m⋅g Elektrotechnik mit g = 9.81 m/s2 FG: Gewichtskraft [N] g: Erdbeschleunigung Alexander Wenk Seite 22 Beispiel: Ein Radfahrer besitzt zusammen mit seinem Fahrrad eine Masse von 85 kg. Wie gross ist die verrichtete Arbeit, wenn er von Innertkirchen (625 m.ü.M) zum Sustenpass (2'224 m.ü.M) hochfährt? Die Verluste können vernachlässigt werden. Mechanische Leistung Bei der Verrichtung mechanischer Arbeit spielte der Zeitfaktor keine Rolle. Nehmen wir das obige Beispiel: Es wird also gleich viel Arbeit verrichtet, egal ob wir die Passhöhe in 2 oder erst in 4 Stunden erreichen. Was sich in diesem Fall aber sehr wohl unterscheidet, ist die Leistung: Je schneller eine bestimmte Arbeit verrichtet wird, desto grösser ist die Leistung. P: Leistung [W] W: Arbeit [Ws] t: benötigte Zeit zum Verrichten der Arbeit [s] P = W/t Beispiel: Obiger Radfahrer benötigt 3h 41 min, um den Sustenpass zu erreichen. Wie gross ist die durchschnittlich verrichtete Leistung des Radfahrers? (Ohne Reibungsverluste) Wir können natürlich auch ohne zuerst die Arbeit zu bestimmen die Leistung berechnen. Dies gelingt uns im Prinzip, wenn wir in die Leistungsformel W = F⋅s einsetzen. Wir erhalten dann: P = F⋅s / t Der Quotient s/t kommt uns wahrscheinlich auch bekannt vor: s/t Daraus ergibt sich P =v P: Leistung [W] F: Kraft [N] v: Geschwindigkeit [m/s] = F⋅v Wir können also Leistung auch direkt aus Kraft und Geschwindigkeit berechnen! Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 23 Beispiele: Welche Leistung liefert ein Kleinkraftwerk, auf das pro Minute 12'000 l Wasser aus 15 m Höhe geleitet werden? Welche Leistung erbringt eine Lokomotive bei einer Geschwindigkeit von 72 km/h und einer Kraft am Zughaken von 120 kN? Weitere Übungen: Westermann S. 30 Nr. 2, 4, 5, 6 Die elektrische Leistung Von der Formel P = F⋅v ausgehend können wir gut Analogien zum Strom ziehen, um die Leistungsformel zu erraten: • Die Kraft kann mit Spannung verglichen werden • Die Geschwindigkeit entspricht dem Strom Daraus finden wir die Formel für die elektrische Leistung: P = U⋅I P: Leistung [W] U: Spannung [V] I: Strom [A] Beispiel: Eine elektrische Anlage liefert 230 V und ist mit einer 13 A Sicherung versehen. Wie gross ist die maximale Leistung, die abgegeben werden kann, ohne dass die Sicherung auslöst? Weitere Übungen: Westermann S. 43/44 Nr. 1, 3, 4, 6, 9, 12, 19, 21 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 24 Wie können wir elektrische Leistung messen? Mit einem Wattmeter Das Schaltbild zeigt, wie ein Wattmeter in den Stromkreis einzubauen ist: Die elektrische Arbeit resp. Energie Die Beziehung zwischen Arbeit und Leistung ist genau gleich wie bei der Mechanik. Es folgt daraus: W = P⋅t Je länger eine bestimmte Leistung wirkt, desto grösser ist die verrichtete Arbeit. Prinzipiell gilt für die elektrische Arbeit/Energie dieselbe Einheit wie bei der mechanischen: 1 Ws = 1 J = 1 Nm. Allerdings wird zur Bestimmung des elektrischen Energieverbrauchs meist das handlichere Mass kWh genommen: 1 kWh = 1 kW⋅3600s = 3'600'000 Ws = 3.6 MJ Die Beschaltung eines Energiezählers ist genau gleich wie die des Leistungsmessers. Wo werden elektrische Energiezähler eingesetzt? In jeder Haushaltung (Elektroanschluss) Energie hat seinen Preis: So wie wir an der Tankstelle für Treibstoffe bezahlen müssen, wird auch der elektrische Energieverbrauch verrechnet Der Strompreis wird in der Regel in Fr. / kWh angegeben. Die bezogene Energie wird periodisch (halbjährlich) vom Zähler abgelesen und die Energiekosten dem Kunden verrechnet: Kosten = Energie ⋅ Preis Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 25 Frage: Wie gross ist der elektrische Energieverbrauch in Deinem Haushalt in einem Jahr, und wie hoch ist der Energiepreis bei Euch? Nehme zur Klärung dieser Fragen wenn möglich aufs nächste Mal eine Stromrechnung Deines Haushalts mit. Übungsaufgaben: Westermann S. 43 Nr. 1, 3, 4 Kombination Ohmsches Gesetz und Leistungberechnung Wir haben die Leistung bis jetzt mit dem Produkt aus Spannung und Strom berechnet. Doch häufig kommt es auch vor, dass wir z.B. die Leistung eines Widerstandes an einer bestimmten Spannung berechnen wollen. Wir werden deshalb hier einige dieser Rechnungen betrachten: Strom und Widerstand Spannung und Widerstand Leistung bei Spannungsänderung Wenn wir die Leistungsänderung bei Spannungsschwankungen betrachten wollen, gehen wir immer davon aus, dass der Widerstand R konstant bleibt: Übungen: Westermann S. 44 Nr. 14, 15, 16, 18 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 26 Wirkungsgrad Ein ganz wichtiger Satz über Energie sagt aus, dass Energie nicht vernichtet, sondern nur umgewandelt werden kann. Allerdings gelingt es uns nie die ganze Energie in die gewünschte Wirkungsform zu verwandeln. Beispiel: Ein Elektromotor erzeugt aus der elektrischen Energie nicht nur mechanische, sondern erzeugt leider auch immer Abwärme. Der Wirkungsgrad sagt aus, wieviel der aufgewendeten Leistung wir nutzbar machen können. Zeichnen wir den Motor zunächst einmal als Funktionsblock: Pab: Nutzleistung [W] Pzu: zugeführte Leistung [W] η: Wirkungsgrad (Einheitenlos) Pv: Verlustleistung [W] Pab = Pzu⋅η Pv = Pzu - Pab Der Wirkungsgrad η ist stets kleiner als 1, was nichts anderes besagt, als dass nie mehr Leistung aus einem System gezogen werden kann, wie hereingebracht wurde. Wirkungsgrad von Energiesystemen. Ganze Systeme weisen mehrere hintereinander geschaltete Funktionsblöcke auf. Es gelingt uns in diesem Fall, aus den Teilwirkungsgraden den Gesamtwirkungsgrad zu berechnen. Das Funktionsdiagramm hilft uns dabei: ηges = η1⋅η2⋅…. Übungen: Westermann S. 30 Nr. 7 - 10 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 27 Zusatzaufgaben zu Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 1. Das Kraftwerk Laufenburg staut den Rhein auf 11 m Höhe auf und kann eine maximale Wassermenge von 1'400 m3/s verarbeiten. a) Wie gross ist die hydraulische Leistung der Kraftwerksanlage? b) Welche elektrische Leistung steht zur Verfügung, wenn die Turbine einen Wirkungsgrad ηT = 0.85 und der Generator einen Wirkungsgrad von ηG = 0.91 besitzt? c) Wie gross wäre Strom in der 110 kV Hochspannungsleitung, wenn wir annehmen dass der Strom nur über einen Strang abgeführt wird? 2. a) Wie gross ist die jährliche elektrische Energieabgabe vom Kraftwerk Laufenburg, wenn der Rhein im Durchschnitt 800 m3/s Wasser führt? (Fallhöhe und Wirkungsgrade wie oben) b) Wie hoch sind die Einnahmen aus dem Stromverkauf, wenn das Kraftwerk den Strom zu 5 Rp/kWh verkaufen kann? Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 28 Temperaturabhängigkeit von Widerständen Der Widerstand eines Leiters wird nicht nur durch die geometrischen Abmessungen und die Materialkonstante beeinflusst. Er ändert sich auch mehr oder weniger stark bei Erwärmung oder Abkühlung. So ist der spezifische Widerstand ρ eines Materials meist bei 20 °C definiert. Was ist eigentlich Temperatur? Temperatur ist verknüpft mit der Schwingung der Atome in einem Stoff. Je heisser er ist, desto grösser sind die Schwingungen. Die thermischen Schwingungen können so gross werden, dass ein fester Körper sich auflöst, d.h. er wird flüssig oder sogar Gasförmig. Ihr werdet diese Phänomene in der Physik kennen lernen. Wenn wir einen Stoff abkühlen, so wird die thermische Bewegung irgendwann still stehen. Aus dieser Erkenntnis ist der absolute Nullpunkt der Temperatur gefunden worden. Er beträgt -273.15 °C. Bei solch tiefen Temperaturen kann in vielen Metallen der Strom ungehindert fliessen, das Material wird supraleitend. Spezielle Legierungen zeigen dieses Phänomen auch noch bei viel "höheren" Temperaturen. Bis heute benötigen wir aber immer noch flüssigen Stickstoff zur Kühlung eines Supraleiters, was der Einsatz solcher Leiter im Alltag verunmöglicht. Wie beeinflusst die Temperatur den Widerstand eines Leiters? Prinzipiell können wir zwei Varianten unterscheiden: • Erhöhte Temperatur behindert durch stärkere Schwingungen der Atome die Bewegung der Elektronen. • Durch erhöhte Temperatur bilden sich mehr freie Ladungsträger Lasst und diese Phänomene in einem Bild betrachten: Bei metallischen Leitern sind sehr viele Valenzelektronen vorhanden (Cu 1 pro Atom) Die Rumpfatome sind aber sehr nahe zusammen und behindern durch grössere Schwingungen die Bewegungsfreiheit der Valenzelektronen. Halbleiter besitzen vergleichsweise wenig freie Ladungsträger. Je grösser die Temperatur wird, desto mehr Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 29 solche Ladungsträger entstehen, die Leitfähigkeit nimmt also zu. Da die Atome relativ weit voneinander sind wird die Bewegungsfreiheit durch die zunehmende Schwingung nur wenig eingeschränkt, der Effekt der zahlreichen neuen Ladungsträger überwiegt. Die obigen Effekte können auch kombiniert vorkommen. So gibt es Leiter, die bei höherer Temperatur schlechter, besser oder annähernd gleich gut leiten wie bei 20 °C! Versuchen wir nun die Widerstandsänderung graphisch zu betrachten und eine Berechnungsformel dazu zu finden: In der Grafik sehen wir Leiter mit negativem, neutralem und positivem Temperaturkoeffizienten. Lasst uns diese drei Varianten etwas genauer unterscheiden. Kaltleiter PTC Bei Kaltleitern steigt der Widerstand mit der Temperatur. Sie leiten also gut, wenn sie kalt sind. Beispiele für Kaltleiter sind: Metalle: Cu, Al, Eisen, Platin etc. Bei ihnen ist die Temperaturabhängigkeit resp. der Temperaturkoeffizient klein, dafür annähernd linear. Bestimmte Halbleitermaterialien Hier ist der Temperaturkoeffizient viel grösser als bei Metallen. Das Temperaturverhalten ist aber nicht mehr linear. Temperaturunabhängiger Leiter Widerstände wie wir sie in der Elektronik einsetzen sollen ein annähernd temperaturunabhängiges Verhalten zeigen, denn ein Widerstand von z.B. 1 kΩ soll sich ja in unserer Schaltung möglichst nicht ändern. Spezielle Legierungen (Widerstandsmaterialien) erfüllen diese Anforderung mehr oder weniger perfekt. Es sind dies Cu-Ni-Mn-Legierungen, z.B. Konstantan. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 30 Heissleiter NTC Der Widerstand von Heissleitern nimmt mit der Temperatur ab. Sie leiten im heissen Zustand also besser wie im kalten. Es ist aber selbsterklärend, dass der Widerstand nie kleiner als 0 Ω werden kann. Deshalb ist ihr Verhalten vor allem bei grösseren Temperaturen nicht mehr linear. Einige Beispiele von Heissleitern: Halbleiter, Kohle, Elektrolyte und einige Isolierstoffe Berechnung der Widerstandsänderung Bei Leitermaterialien mit linearem Temperaturverhalten lässt sich die Widerstandsänderung mit dem Temperaturkoeffizeinten α berechnen: ∆R = R20⋅α20⋅∆T ∆T = T - T20 = T - 20 °C ∆R: Widerstandsänderung R20: Widerstand bei 20°C α20:⋅Temperaturkoeffizient bei 20°C [1/K] ∆T: Temperaturänderung (hier in Bezug auf 20 °C) T: Aktuelle Temperatur vom Leiter R: Widerstand bei der Temperatur T Häufig interessiert uns nicht die Widerstandsänderung, sondern der neue Widerstand bei einer bestimmten Temperatur. Es ist R = R20 + ∆R = R20 + R20⋅α20⋅∆T R = R20⋅(1 + α20⋅∆T) Merke: α20 bezieht sich stets auf R20. Ist der Widerstand des Leiters bei einer anderen Temperatur wie 20 °C gemessen, müssen wir R20 durch Umstellen der Formel berechnen, oder wir müssen den Temperaturkoeffizienten α umrechnen. Einige Temperaturkoeffizenten (bei 20 °C) findest Du in dieser Liste: Material α20 [1/K] Material α20 [1/K] Aluminium 0.0040 Kohle -0.00045 Blei 0.0042 Kupfer 0.0039 Eisen 0.00657 Manganin 0.00001 Konstantan 0.00004 Wolfram 0.0051 Der Effekt der Temperaturabhängigkeit von Widerständen ist in ElektronikSchaltungen meist unerwünscht. Wir können uns dieses Phänomen aber in Form von Widerstands-Temperaturmessgeräten zu Nutze machen. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 31 Beispiele zum Temperatureinfluss auf Widerstände 1. Eine Spule hat bei 20 °C einen Widerstand von 50 Ω. Wie gross ist der Widerstand bei der Betriebstemperatur 80 °C? 2. Eine Motorwicklung hat im kalten Zustand (10 °C) einen Widerstand von 3.45 Ω, bei Betriebstemperatur 4.55 Ω. Wie hoch ist die Betriebstemperatur der Kupferwicklung? 3. Eine Kupferspule hat bei 80 °C den Widerstand 130 Ω. Wie gross ist der Kaltwiderstand? Weitere Übungen: • Für Automatiker Europa-Rechenbuch S. 47/48 Nr. 1, 3a, 6, 8, 10, 11 • Für Elektroniker Westermann S. 48 Nr. 12 -14, 17, 18, 22 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 32 Berechnung von α für eine andere Bezugstemperatur Es gibt Aufgabenstellungen, wo der Widerstand R20 nicht bekannt ist. In diesem Fall gibt es zur Lösung zwei Möglichkeiten: • Wir berechnen aus den gegebenen Daten R20, um anschliessend die gesuchten Grössen zu finden. • Wir rechnen den Temperaturkoeffizienten α auf die neue Bezugstemperatur um. Wie dies gerechnet wird, möchten wir auf diesem Blatt festhalten. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 33 Zusatzaufgabe zur Temperaturabhängigkeit von Widerständen. Als Abgastemperatursensor wird ein Widerstandswickel aus Eisen verwendet (α20 = 0.0061 K-1 ). Dieser Widerstand wurde so konzipiert, dass er bei 100 °C ein Widerstand von R100 = 100 Ω besitzt. a) Wie gross ist sein Widerstand R20 bei 20 °C? b) Wie gross ist α100 wenn wir direkt von R100 aus die Widerstände für andere Temperaturen berechnen möchten. c) Kontrolliere Dein Ergebnis, indem Du mit dem Ergebnis aus b) den Widerstand bei 20 °C berechnest. d) Wie gross ist der Widerstand bei einer Temperatur von 250 °C (Annahme: die Widerstandsänderung verhalte sich bis ca. 350 °C linear zur Temperaturänderung) e) Wie gross ist die Temperatur des Drahtes, wenn dieser einen Widerstand von 150 Ω besitzt? (Rechnen nach Arbeitsblatt und mit unserer auf 100 °C bezogene Formel.) Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 34 Nichtlineare Widerstände Wir haben bis jetzt fast ausschliesslich über lineare Widerstände gesprochen, d.h. Widerstände, die unabhängig der angelegten Spannung und anderer Umwelteinflüsse konstant bleiben. Wir haben bis auf einen Messversuch auch noch keine Widerstandsbauteile in der Hand gehabt. Wir wollen dies nun in einer Gruppenarbeit nachholen. Die Wahlthemen umfassen Festwiderstände, Potentiometer und einige nicht lineare Widerstände. Das Ziel dieser Gruppenarbeit ist: • Studium des zugeteilten Kapitels • Kurze Präsentation des Widerstandes • Kurzzusammenfassung bestehend aus Schaltsymbol, Kennlinie, Anwendungsgebiet sowie kurze Beschreibung. Als Grundlage dient das Europa Buch Fachkunde Elektrotechnik (Seitenzahlen siehe Gruppeneinteilung) Gruppe (3 Personen) Thema Festwiderstände und Potentiometer: Normreihen, Farbkennungen, Bauformen (S. 38-39) Heissleiterwiderstände NTC S. 191 Kaltleiterwiderstände S. 192 Spannungsabhängige Widerstände (VDR) S. 190 Fotowiderstände S. 216 (Magnet)Feldplatten S. 194 Vorbereitungszeit: 30 Minuten, anschliessend Kurzpräsentationen. Viel Spass! Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 35 Repetitionsfragen nichtlineare Widerstände 1. Heissleiterwiderstände a) Zeichne das Widerstands-Temperatur-Diagramm und das Schaltzeichen von einem Heissleiterwiderstand auf. b) Wie wird der Heissleiterwiderstand abgekürzt bezeichnet? 2. Kaltleiterwiderstand a) Zeichne das Widerstands-Temperatur-Diagramm und das Schaltzeichen von einem Kaltleiterwiderstand auf. b) Wie wird der Kaltleiterwiderstand abgekürzt bezeichnet? 3. Spannungsabhängiger Widerstand a) Wozu können spannungsabhängige Widerstände eingesetzt werden? b) Wie lautet die Abkürzung für den spannungsabhängigen Widerstand? c) Zeichne das Strom- Spannungsdiagramm und das Schaltsymbol zu diesem Widerstand. 4. Fotowiderstand a) Wie ändert sich der Widerstand in Funktion der Beleuchtungsstärke? b) Zeichne das Schaltsymbol zum Fotowiderstand. 5. Feldplatten a) Zeichne das Schaltsymbol. b) Wie ändert sich der Widerstand in Funktion des Magnetfeldes? Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 36 Wichtige Schaltsymbole Wir kennen nun das Ohmsche Gesetz und sind kurz davor, auch kompliziertere Schaltungen berechnen zu können. Bevor wir starten, fassen wir hier die Schaltsymbole zusammen, die wir in den nächsten Stunden brauchen werden: Spannungsquelle: Zu ihr gehört immer eine Spannungsangabe, also z.B. U1 = 12 V Der durchgezogene Strich bedeutet: Der Innenwiderstand der Quelle ist 0 (Kurzschluss) Stromquelle: Auch sie wird mit der Stromangabe spezifiziert. I1 = 15 mA. Der Pfeil gibt die Fliessrichtung des Stromes an. Die nicht durchgezogene Der Innenwiderstand der Stromquelle ist ∞ (Unterbruch). Linie bedeutet: Widerstand, z.B. R1 = 1.2 kΩ Verzweigungspunkt oder Knotenpunkt V Voltmeter: Mit seiner Hilfe können wir die Spannung zwischen zwei Punkten messen. Amperemeter dienen zur Messung von Strömen. Um einen Strom in A einer Leitung messen zu können muss die Leitung aufgetrennt und das Amperemeter dazwischen geschaltet werden Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 37 Strom- und Spannungspfeile Ein elektrischer Strom kann in einem Leiter in zwei Richtungen fliessen, ebenso kann eine elektrische Spannung in der einen wie in der anderen Richtung gepolt sein. Zur Angabe dieser Richtungen wurden Bezugspfeile eingeführt, die wir hier kennenlernen werden. Schauen wir uns dies gleich an einem Widerstand an: Srom-Bezugspfeile zeigen in die Richtung, in der die Stromstärke positiv gerechnet wird. Er wird meistens auf die Leitung gezeichnet. Spannungs-Bezugspfeile zeigen in die Richtung, in der die Spannung einen positiven Strom durch den Verbraucher treibt, also von + nach -. Spannungspfeile werden zwischen zwei Punkten, zwei Leitungen oder neben das Bauelement gezeichnet. Merke: Bezugspfeile geben die Richtung an, in der eine elektrische Grösse positiv gerechnet wird. Die hier dargestellte Bezugsrichtung für Strom und Spannungspfeile nennen wir Verbraucher-Pfeilsystem resp. Verbraucher-Zählsystem. Es gibt auch noch das Erzeuger-Pfeilsystem, das aber seltener verwendet wird. Wir sehen beim Erzeuger-Zählsystem, dass der Strom- und Spannungspfeil in die entgegengesetzte Richtung zeigen: Wir werden beim Thema elektrische Leistung und Energiefluss den Unterschied noch genauer kennenlernen. Im Moment merken wir uns: Wir arbeiten ja meist mit Verbrauchern und benutzen also das Verbraucher- Zählsystem! Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 38 Serieschaltung von Widerständen Elektrotechnik wäre nicht sehr interessant, wenn wir immer nur ein Widerstand in einer Schaltung hätten. Wir analysierten bereits verzweigte Schaltungen, ohne jedoch die Gesetzmässigkeiten genauer zu betrachten. Wir berechneten auch schon der Widerstand eines Leiters, und fanden dabei heraus, dass sich der Widerstand bei doppelter Leiterlänge ebenfalls verdoppelt. Die Vermutung liegt nahe, dass bei der Serie- oder Reihenschaltung von Widerständen folgendes gilt: Der Gesamtwiderstand entspricht der Summe der Teilwiderstände. Lasst uns nun diesen Satz beweisen! U1 = I⋅R1 U2 = I⋅R2 U3 = I⋅R3 R3 1k I = 1mA R2 2.7k R1 3.3k Betrachten wir folgende Schaltung, fällt auf, dass der Strom in allen Widerständen gleich gross ist. Die Spannungen an den Widerständen berechnen sich mit Wie gross ist nun die Gesamtspannung? U = U1 + U2 + U3 = I⋅R1 + I⋅R2 + I⋅R3 U = I⋅(R1 + R2 + R3) Der Gesamtwiderstand ergibt sich aus U/I = Rges = R1 + R2 + R3 Wir können also die Serieschaltung von Widerständen ersetzen mit einem einzigen Widerstand, der R = R1 + R2 + .... + Rn ist. Übungen: • Automatiker: Europa Rechenbuch S. 49 Nr. 1, 3 - 5, 9, 13 • Elektroniker: Westermann S. 53/54 Nr. 1, 3, 5, 6, (8 - 10) Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 39 Maschenregel: 1. Kirchhoffsches Gesetz Die Summe der Teilspannungen ergibt die Gesamtspannung. So fanden wir es oben heraus. Wir wollen diesen Satz verallgemeinern und werden in Kürze in der Lage sein, diesen Satz auch in komplizierten Schaltungen anzuwenden. Lasst uns die Spannung zunächst in unserem Höhenmodell betrachten, das wir zu Beginn der Elektrotechnik einmal gezeichnet haben. Dort entsprach die Spannung der Höhendifferenz. Wenn wir nun eine Rundwanderung in den Bergen durchführen, sind wir am Schluss der Wanderung wieder auf der gleichen Höhe wie am Anfang. Wenn wir nun alle Steigungen positiv rechnen und davon alle Gefällstrecken abziehen, so ergibt sich die Summe Null! Ich bin ja wieder auf der gleichen Höhe, also weder tiefer noch höher als zu Beginn der Wanderung. (Rein rechnerisch hätte ich also am Ausgangspunkt bleiben können) + Diese Betrachtung lässt auf die Summe der Spannungen übertragen. Gehe ich einen beliebigen Weg im Schema (Masche genannt), zähle dabei alle Spannungen, deren Pfeil in Richtung meines Weges zeigen positiv und alle Spannungen, deren Pfeil gegen meine Richtung zeigen negativ, so ist die Summe der Spannungen 0. Beispiel: Wie gross ist in nebenstehender Schaltung UR1 und der Strom im Widerstand R1? U2 10V R1 1k + U1 5V + U3 3V Elektrotechnik UR1 U1 + U2 - U3 - UR1 = 0 U1 + U2 - U3 = UR1 UR1 = 5V + 10 V - 3 V = 12 V IR1 = UR1 / R1 = …. = 12 mA Alexander Wenk Seite 40 Elektrisches Potential Nachdem wir die Maschenregel kennen, sind wir in der Lage den Begriff des elektrischen Potentials zu verstehen. Eine Spannung messen wir zwischen zwei Punkten in einer Schaltung. Dies gilt auch bei der Bestimmung des Potentials. Wir beziehen uns aber auf einen speziellen Punkt, Masse oder im Stromnetz auch Erde genannt, wenn wir vom Potential sprechen. In Fachliteratur ist das Potential mit dem Formelzeichen V abgekürzt. Damit wir aber kein Durcheinander mit der Einheit V(olt) bekommen, wenden wir das auch vorkommende griechische ϕ (Phi) an: Betrachten wir doch das Potential anhand eines Schemas: + ϕ3 = - U03 = -3 V ϕ2 = U23+ ϕ3 = 7 V ϕ1 = U12+ ϕ2 = 12 V + U12 5V U23 10V V1 V2 U03 3V + V3 Umgekehrt können wir auch die Spannung zwischen zwei Potentialen berechnen. Wenn wir einen Spannungspfeil in die Schaltung einfügen und mit der Bezeichnung U12 andeuten, dass der Spannungspfeil von Punkt 1 zu Punkt 2 zeigt, gilt U12 = ϕ1 - ϕ2 Übung: • Entwerfe eigene Schaltungen mit mehreren in Serie geschalteten Spannungsquellen und ev. ein oder zwei Lastwiderständen. • Berechne die Lösung für Deine Aufgabe auf einem separaten Blatt. • Tausche Deine Aufgabe mit jemandem aus und berechne die Aufgabe Deines Kollegen. • Einige Schaltungen können wir als Klassensatz kopieren und als Übung lösen. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 41 Der Vorwiderstand Eine Anwendung der Serieschaltung ist der Vorwiderstand. Er dient dazu, einem Bauteil eine kleinere Spannung als die Versorgungsspannung zuzuführen. Die Spannung am Verbraucher wird durch den Vorwiderstand reduziert. Lasst uns dazu ein Beispiel lösen: Ein Handscheinwerfer mit U = 6 V, P = 24 W soll an eine 24 V Lastwagenbatterie angeschlossen werden. Wie gross muss der Vorwiderstand sein, und welche Verlustleistung muss er aushalten können? Merke: Ein Vorwiderstand ist die einfachste Art, einem Bauteil eine kleinere Spannung als die Versorgungsspannung zuzuführen. Er hat aber auch Nachteile: • Wenn das zu versorgende Bauteil entfernt wird, liegt an den Klemmen die volle Spannung an. • Der Vorwiderstand erzeugt eine grosse Verlustleistung (Je grösser der Spannungsabfall am Vorwiderstand, desto grösser ist die Verlustleistung) Weitere Übungen: Westermann S. 54 Nr. 4, S. 68 Nr. 1, 2 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 42 Der unbelastete Spannungsteiler U 10V R2 6.8k + R1 3.3k Die Serieschaltung von Widerständen führt zum Spannungsteiler. Von dem her ist er für uns nichts neues. Wir möchten hier aber eine direkte Formel zur Spannungsberechnung herleiten. Lasst uns den Spannungsteiler gemäss gegebenem Schema berechnen: U2 I = U / (R1 + R2) U2 = I⋅R2 U2 = U⋅R2/(R1 + R2) U2 = 10V⋅6.8kΩ/(3.3kΩ+6.8kΩ) U2 = 6.733 V Das Verhältnis der Spannungen ist gleich dem Verhältnis der Widerstände. Weitere Übungen: Westermann S. 54 Nr. 7, S. 68 Nr. 3, 4 Zusatzaufgabe Potential 2 SW1 4 SW1 6 5 R5 6.8k UE2 18V R4 4.7k + 0 3 R3 3.3k UE1 18V R2 2.2k + R1 1k 1 Gegeben ist folgende Schaltung: a) Berechne dazu den Strom durch die Schaltung und die Potentiale aller Knotenpunkte, wenn beide Schalter geöffnet sind. b) Rechne die Potentiale und die auftretenden Ströme in der Schaltung für alle übrigen Schalterstellungen. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 43 Parallelschaltung von Widerständen Bei der Parallelschaltung liegen alle Bauteile an derselben Spannung. Allerdings haben wir nun verschiedene Strompfade. Wir werden deshalb zuerst betrachten, wie sich die Ströme in einem Knotenpunkt verhalten. Knotenregel: 2. Kirchhoffsches Gesetz Für die Erklärung der Knotenregel bedienen wir uns am besten dem Wassermodell. Es gilt sowohl bei Flussläufen wie auch bei Wasserleitungsverzweigungen: Die Summe der zufliessenden Ströme ist gleich der Summe der abfliessenden Ströme. Dieser Satz ist einleuchtend, weil im gezeichneten Knoten nirgendwo eine nicht deklarierte Menge zu- oder abfliessen kann. Für die gezeichnete Parallelschaltung gilt also: I = I1 + I2 + I3 Berechnung der Parallelschaltung Wir können die Teilströme mit dem Ohmschen Gesetz berechnen: R3 8.2k I3 R2 4.7k I2 U 10V R1 1k + I1 I I1 = U / R1 I2 = U / R2 I3 = U / R3 I = I1 + I2 + I3 I = U⋅(1/R1 + 1/R2 + 1/R3) I/U = 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 Wenn wir diese Formel noch umstellen gilt: Übung: Westermann S. 58 Nr. 1- 3, 5, 6, 9, 11, 12, 13 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 44 Gemischte Schaltungen Unter gemischten Schaltungen verstehen wir eigentlich alle komplexeren Schaltungen, die nicht nur reine Serie- oder Parallelschaltungen sind. Wir können solche Schaltungen aber problemlos mit den bereits bekannten Gesetzen berechnen. Wenn möglich versuchen wir in der Schaltung reine Serie- oder Parallelschaltungen zu identifizieren und so schrittweise den Ersatzwiderstand der Schaltung zu bestimmen. Ist dies nicht möglich, so helfen Maschen- und Knotenpunktregel weiter. Allerdings können so auch Gleichungen mit mehreren Unbekannten entstehen. Lasst uns an zwei Beispielen genauer erläutern, wie wir den Ersatzwiderstand bestimmen: Belasteter Spannungsteiler: I RL 2.2k R2 3.3k UB 10V R1 8.2k + Wir erkennen, dass der Lastwiderstand mit einen Widerstand des Spannungsteilers eine Parallelschaltung bildet. Davon können wir den Ersatzwiderstand bestimmen und haben anschliessend wieder eine reine Serieschaltung. So ganz nebenbei stellen wir übrigens fest, dass die Ausgangsspannung mit zunehmender Belastung sinkt. U Übungen: Westermann S. 69 Nr. 5, 6, 8, 9, 11, 13 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 45 Widerstandsnetzwerk: Auch ein komplizierteres Widerstandsnetzwerk kann schrittweise vereinfacht werden: U 100V Berechne zu diesem Netzwerk den Ersatzwiderstand wie auch alle Spannungen und Ströme. + R1 70 R3 10 R4 9 R6 26 R2 30 R5 60 Übungen: • Westermann S. 62 Nr. 1, 3, 4, 9, 10, 13, 16, 17, 19, 23 • Zeichne ein eigenes Widerstandsnetzwerk und versuche Deine Aufgabe auf einem separaten Blatt zu lösen. Wenn Du das Resultat berechnet hast, simuliere die Schaltung auf TINA und kontrolliere, ob Dein Resultat und die Simulation übereinstimmt. • Stelle in einem zweiten Schritt die Aufgabe Deinen Kollegen zur Verfügung, damit sie sie ebenfalls lösen können. Am einfachsten speicherst Du ein Word-Dokument mit einem Bild der Schaltung und einer kurzen Beschreibung im Educanet. Im TINA können Bilder mit DateiExportWindows Metafile exportiert werden. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 46 Laborversuch: belasteter Spannungsteiler Nachdem wir einige theoretische Grundlagen gesammelt haben, ist es an der Zeit, einige der Grundschaltungen im Laborversuch auszumessen. Wichtig: Halte die Ergebnisse in einem Laborbericht fest und stelle Deine rechnerisch ermittelten Erwartungen den gemessenen Werten gegenüber Spannungsteiler 1: Baue einen Spannungsteiler gemäss Schaltschema 1 auf. Wie lautet die Formel, welche die Spannung U2 = f(U) beschreibt? Messe für einige Spannungen (z.B. U = 0 .. 15 V) die Spannung U2 SW1 U2 RL 10k R2= 4.7k UB 10V R1= 10k + Was verändert sich an der Spannung U2, wenn wir einen Lastwiderstand RL von 10 kΩ anhängen? Um wieviel Prozent sinkt die Ausgangsspannung U2 im Vergleich zum unbelasteten Spannungsteiler? Beantworte diese Fragen sowohl rechnerisch wie auch messtechnisch. Spannungsteiler 2: Baue den Spannungsteiler wie oben auf, jedoch mit R1 = 1 kΩ und R2 = 470 Ω Was verändert sich beim unbelasteten Spannungsteiler im Vergleich zum 1. Spannungsteiler? Belaste den Ausgang U2 ebenfalls wieder mit RL = 10 kΩ und beantworte die Fragen wie unter 1. Was stellst Du fest, wenn Du die beiden belasteten Spannungsteiler miteinander vergleichst? Viel Spass beim Experimentieren! Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 47 Die Brückenschaltung R3= 15k U5 R4= 2.7k R2= 4.7k UB 10V R1= 10k + Die Brückenschaltung besteht im Prinzip aus zwei parallel geschalteten Spannungsteilern. Uns interessiert nun die Spannung zwischen den beiden Spannungsteilern. Die unbelastete Brücke kann einfach berechnet werden: Ist die Spannung U5 = 0 V, sprechen wir von einer abgeglichenen Brücke. Das Verhältnis der Widerstände R1/R2 entspricht dann genau dem Verhältnis R3/R4. Abgeglichene Brücke: R1/R2 = R3/R4 Dieser Spezialfall wird messtechnisch verwendet, um Widerstände genau auszumessen. Die eine Seite ist dann ein Präzisions-Potentiometer, auf der anderen Seite haben wir einen Referenzwiderstand in Serie mit dem unbekannten Widerstand. Zwischen den beiden Spannungsteiler befindet sich ein Galvanometer, d.h. ein sehr empfindlicher Spannungsmesser. Mit dem Potentiometer wird nun solange abgeglichen, bis das Galvanometer 0 anzeigt. Diese Messart hat den Vorteil, dass das Ergebnis nicht von der Betriebsspannung der Brücke abhängt. Das Messresultat beinhaltet also nur den Fehler der anderen beteiligten Widerstände. Wir haben bis jetzt von der unbelasteten Brücke gesprochen. Schwieriger wird es, wenn wir in die nicht abgeglichene Brücke noch einen Widerstand R5 einsetzen. Wie gross wird die Brückenspannung U5 in diesem Fall? Übungen Westermann S. 97 Nr. 6, 8, 9, 11, 12 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 48 Belastetes Potentiometer Wir haben bereits gesehen, dass bei einem belasteten Spannungsteiler die Ausgangsspannung sinkt, wenn wir ein Lastwiderstand anhängen. Bis jetzt haben wir einen aus zwei Widerständen zusammengebauter Spannungsteiler belastet. Wenn wir mit einem Potentiometer einen justierbaren Spannungsteiler erstellen, können wir uns die Fragen stellen: • Wie sieht die Ausgangsspannung des Potentiometers in Funktion der Potentiometerstellung aus? • Wie sieht die Ausgangsspannung in Funktion der Poti-Stellung aus, wenn wir den Potentiometerausgang mit ein Lastwiderstand belasten? Die Bezeichnung vom Potentiometer definiert den Gesamtwiderstand. Wir gehen davon aus, dass die Potentiometerstellung mit der Variablen 0 < k < 1 definiert ist, wobei k aussagt, wie gross R2 ist: R2 = k⋅R Aufgaben: Messe ein 10 kΩ Potentiometer aus für k = 0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9, 1. Führe diese Messung durch für das • Unbelastete Poti • 10 kΩ Lastwiderstand • 1 kΩ Lastwiderstand Tip: Um das Poti möglichst wenig verstellen zu müssen, messe für jedes k nacheinander den unbelasteten und die beiden belasteten Fälle! Erstelle eine sauber strukturierte Tabelle für diese Messung mit Excel. Zeichne die entstehenden Kurven für die Ausgangsspannungen auf. In der xAchse soll die Poti-Stellung k aufgetragen werden, in der y-Achse die Ausgangsspannung für die verschiedenen Belastungsfälle. R1 = 2k Versuche nun, eine allgemein gültige Formel für das belastete Potentiometer zu finden, erstelle ein zweites Excel-Formular mit der berechneten Ausgangskurve und vergleiche Berechnung und Messung! Rpot = 10k Elektrotechnik R2 = 8k U = 10V Alexander Wenk U2 RL = 10k RL = 10k + U2 SW1 + zum Besipiel SW1 U = 10V Seite 49 Der Innenwiderstand von Messgeräten Ideale Messgeräte haben wir in der Zwischenzeit schon mehrfach in Schemas eingezeichnet. Im übertragenen Sinn können wir Spannungs- und Strompfeile ebenfalls als Messgeräte betrachten, denn an den eingezeichneten Orten könnte ja tatsächlich der ermittelte Strom oder die Spannung gemessen werden. Was haben denn ideale Messgeräte für Kennwerte? Das Voltmeter wird zur Spannungsmessung eingesetzt, dabei soll idealerweise kein Strom durchs Messgerät fliessen: Voltmeter haben hohe Innenwiderstände Amperemeter werden zur Strommessung in einen Stromkreis gehängt. Dabei soll es idealerweise wie eine Zuleitung trotz Stromfluss keinen Spannungsabfall verursachen. Amperemeter haben kleine Innenwiderstände Vor dem Experimentieren möchte ich auf eine wichtige Regel im Umgang mit Messgeräten hinweisen. Messgeräte sind sehr empfindliche Werkzeuge. Bei fehlerhafter Bedienung können sie zerstört werden. Bevor ein Messgerät zum Einsatz kommt, ist sicherzustellen, dass die Messgrösse das Messgerät nicht überlastet. (z.B. durch eine Überschlagsrechung Was für einen Strom, was für eine Spannung erwarte ich?) Zu Beginn der Messung wird das Messgerät immer auf den höchsten Bereich geschaltet (z.B. 500 V oder 5A). Danach können wir stufenweise in empfindlichere Bereiche schalten, nachdem wir uns vergewissert haben, dass der momentane Messwert kleiner ist als die nächst tiefere Empfindlichkeitsstufe. Nachdem wir die Anforderungen an ideale Messgeräte kennengelernt haben, wollen wir den tatsächlichen Innenwiderstand von Messgeräten experimentell bestimmen. Voltmeter Beim Voltmeter erwarten wir einen hohen Innenwiderstand. Wir können ihn mit folgender Schaltung messen: Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 50 Versuch: Messe mit obiger Schaltung den Innenwiderstand eines analogen Voltmeters (Zeigerinstrument ohne Vorverstärker). Messe den Innenwiderstand für mindestens zwei Spannungsbereiche (5 V und 15 V Bereich) Was kannst Du beobachten? Tip: Messe jeweils den Strom durch das Voltmeter bei Vollausschlag. (Aber bitte Messgerät nicht überlasten!) Versuche ebenfalls mit dieser Schaltung den Innenwiderstand eines Digitalvoltmeters zu messen. Als Amperemeter kann auch ein Digitalmultimeter verwendet werden. Merke: Je nach Messbereich kann ein Multimeter einen unterschiedlichen Innenwiderstand haben! Digitalmultimeter haben in der Regel sehr hohe Innenwiderstände, wenn sie als Voltmeter eingesetzt werden. Wir werden kaum ein Amperemeter finden, das so kleine Ströme anzeigen kann. Ein Trick ist die Anwendung folgender Schaltung Diese Schaltung zur Innenwiderstandsbestimmung hat auch den Vorteil, dass wir kein zusätzliches Messgerät benötigen. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 51 Laborversuch: Innenwiderstand des Digitalmultimeters im Betrieb als Voltmeter. Das Ziel dieses Versuches ist es, die Messanordnung mit dem Vorwiderstand praktisch anzuwenden. Anleitung: • Nehme einen sehr grossen Vorwiderstand (z.B. 1 MΩ) • Stelle die Versorgungsspannung auf 10 V ein und messe diese ohne Vorwiderstand mit dem Multimeter. • Schalte nun den Vorwiderstand zwischen Spannungsquelle und Messgerät. Was für eine Spannung misst Du jetzt? • Berechne aus diesen zwei Spannungen (mit und ohne Vorwiderstand) den Innenwiderstand des Multimeters. Amperemeter Amperemeter sollen einen kleinen Innenwiderstand haben. Wir können ihn mit folgender Schaltung messen: Achtung: Amperemeter dürfen wegen dem kleinen Innenwiderstand nie direkt an eine Spannungsquelle gehängt werden. Der hohe Strom würde das Messwerk oder die Sicherung zerstören! Versuch: Messe unter Beachtung obiger Warnung den Innenwiderstand eines Analogen Amperemeters in zwei Bereichen. Verwende als Vorwiderstand mindestens 1 kΩ oder mehr. Messe ebenfalls den Innenwiderstand eines Digitalen Amperemeters. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 52 Die reale Spannungsquelle + Im Gegensatz zur idealen Spannungsquelle sinkt bei jeder realen Spannungsquelle die Klemmenspannung mit steigendem Laststrom. Um diese Tatsache schaltungstechnisch erfassen zu können, bedienen wir uns des folgenden Schaltbildes: Die Konstanten bedeuten Ri = 10 I U0 Leerlaufspannung Ri Innenwiderstand der Quelle U Klemmenspannung Uo = 10V U I Laststrom Die Klemmenspannung können wir berechnen, wenn die Leerlaufspannung, der Innenwiderstand und der Laststrom bekannt sind. Sie ist U = U0-URi U = U0 - I⋅Ri Lasst uns mit dieser Formel die Belastungskennlinie der gegebenen realen Spannungsquelle aufzeichnen Aus dieser Kurve lassen sich weitere wichtige Formeln für die reale Spannungsquelle ableiten: Innenwiderstand Ri = ∆U/∆I Kurzschlussstrom Ik = U0/Ri Übungen: Westermann S. 72 Nr. 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 16 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 53 Ersatzspannungsquelle für den Spannungsteiler I U+ Ri = I + R2 = 1k UB 10V R1 = 1k + Wir haben kürzlich die reale Spannungsquelle betrachtet und dabei den Innenwiderstand einer Spannungsquelle bestimmt. Ferner untersuchten wir bereits einmal den belasteten Spannungsteiler und stellten dabei fest, dass die Ausgangsspannung sinkt, wenn wir den Lastwiderstand anhängen. Genau dasselbe betrachteten wir auch bei der belasteten Spannungsquelle. Die Vermutung liegt nahe, dass wir den Spannungsteiler mit der Ersatzschaltung von der realen Spannungsquelle beschreiben können. Wie gross sind aber die Komponenten U0 und Ri der Ersatzschaltung? Uo = U U U- Wir wollen diese Werte in einem Versuch messen und den Zusammenhang erkennen. Dazu messen wir die Schaltung aus: Messtabelle: U [V] Kennlinie des Spannungsteilers 6 I [mA] 5 U [V] 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I [mA] Diese Strom-Spannungsfunktion erinnert uns an die kürzlich besprochene reale Spannungsquelle. Von dieser kennen wir bereits das Ersatzschaltbild und die Berechnungsformel U = U 0 − I ⋅ Ri Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 54 Wenn der Verlauf unserer Messung identisch mit der Messung einer realen Spannungsquelle ist, können wir sicher die Ersatzgrössen U0 und Ri aus unserer Messung bestimmen: Folgende Entdeckung können wir aus diesem Experiment ziehen: • Wir können das Verhalten eines Spannungsteilers mit der Ersatzschaltung der realen Spannungsquelle beschreiben. • Die Leerlaufspannung entspricht der Ausgangsspannung des unbelasteten Spannungsteilers (ILast = 0) • Der Innenwiderstand entspricht der Parallelschaltung der beiden Widerstände vom Spannungsteiler. Nachdem wir diese Beziehungen herausgefunden haben, dürfte es uns möglich sein, den Kurzschlusstrom des Spannungsteilers zu berechnen: Die Messung des Kurzschlussstromes ergibt IK = R1 Wir versuchen nun, die Formel unserer Spannungsteilerschaltung rein rechnerisch zu ermitteln. Folgende Ersatzschaltung ermöglicht uns, dies relativ einfach zu tun. Wie lautet die Formel, die unsere reale Quelle beschreibt? Wir berechnen zunächst I = f(U) und stellen dann um. + I R2 + UB U Übungen: Westermann S. 76/77 Nr. 22, 23, 27 a - c Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 55 Der Superpositions- oder Überlagerungssatz Nach einigen mathematischen Umformungen haben wir aus dem Spannungsteiler gemäss Laborversuch eine Ersatzspannungsquelle bilden können, die am Ausgang dasselbe Verhalten wie die tatsächliche Schaltung zeigte. Als Nebenprodukt fanden wir folgendes heraus: Die Gesamtwirkung aller Strom- und Spannungsquellen auf ein bestimmtes Element der Schaltung ist gleich der Summe der Einzelwirkungen. Was bedeutet dieser Satz? Und was müssen wir dabei beachten? Zur Bedeutung des Satzes: Wir stellen uns vor, dass wir zur Bestimmung der Einzelwirkung einer Quelle alle anderen Quellen ausschalten. So können wir der Anteil der einzelnen Quellen an der Gesamtwirkung herausfinden. Was ist zu beachten? • Ausgeschaltete Spannungsquellen sind im Schema als Kurzschluss zu betrachten. (UQuelle = 0 V) • Ausgeschaltete Stromquellen sind als Unterbruch zu betrachten ( IQuelle = 0 A) R2 = 4.7k UB 10V R1 = 3.3k + Beispiel 1: Gesucht ist die Spannung an R2 in Abhängigkeit der Strom- und Spannungsquelle gemäss Schema: IL 1mA U2 3.94V U2 = U2,U1 + U2,IL Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 56 IL 1.48mA R2 = 4.7k + UB 10V R1 = 3.3k + Beispiel 2: Wie gross ist der Strom IL, der in die Quelle UL hineinfliesst? U 3V IL = IL,U1 + IL,UL Übungen: Aufgabenblatt aus Mathematik für Elektroniker S. 59 Nr. 5 - 9 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 57 Die reale Stromquelle Analog zur realen Spannungsquelle, gibt es auch eine Ersatzschaltung für reale Stromquellen. Lasst uns die Eigenschaften realer Stromquellen zusammen erarbeiten: Der Strom einer realen Stromquelle bleibt nicht unabhängig von der Klemmenspannung konstant, sondern verringert sich, je höher die Spannung ist. Folgende Schaltung erfüllt diese Bedingung: Io = 1A Ri = 10 I U Wie verhält sich nun der Klemmenstrom I in Funktion der vorhandenen Klemmenspannung U? Aus dieser Formel lassen sich folgende Kennwerte der Kurve ableiten: Kurzschlussstrom IK = Leerlaufspannung U0 = Übung Stromquellen: Westermann S. 75 Nr. 18 - 21 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 58 Laborversuch Stromquelle Betrachten wir den Kollektor eines Transistors, so stellen wir fest, dass dieser Ausgang Stromquellencharakteristik aufweist. Ohne hier direkt auf den Transistor einzugehen, wollen wir in diesem Versuch eine solche Schaltung ausmessen. Aufgabe: Baue die Messchaltung gemäss Schema auf. R1 = 3.3k IL RL = z.B 100 UL + T1 BD135 RE = 47 R2 = 1k UB 15 Messe den Ausgansstrom in Funktion von der Ausgangsspannung im Bereich UL = 0 V bis 11 V, indem Du mit der Widerstandsdekade verschiedene Lastwiderstände anschliesst. Achtung: Bitte den IL und UL jeweils nur kurz messen und den Stromkreis danach wieder unterbrechen, da sich sonst der Transistor erhitzt und sich die Messdaten dadurch verfälschen. Bestimme aus den Messdaten I0 und Ri der Stromquelle. Berechne aus diesen Messresultaten die Leerlaufspannung U0 Messe die Leerlaufspannung in der Schaltung. Stimmt sie mit den Erwartungen überein? Begründe Deine Feststellung und versuche herauszufinden an was das liegt Messe dazu noch einige Messpunkte im Bereich UL = 11 V bis 15 V Viel Spass beim Experimentieren. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 59 Laborversuch Brückenschaltung R2= 470 UB 10V U5 R3= 15k R5 = 10k R4= 22k + R1= 1k Wir haben die belastete Brückenschaltung Mithilfe der Ersatzspannungsquelle für die beiden Spannungsteilerpfade berechnet. Mit folgender Schaltung können wir unsere Erkenntnisse nochmals üben und messtechnisch überprüfen: Aufgaben: • Berechne die Spannung U5, wenn die Brückenschaltung a) unbelastet und b) mit R5 belastet wird • Baue die Schaltung auf und messe die Spannung U5 mit und ohne Widerstand R5 nach. • Berechne für die Schaltung mit eingesetztem R5 die Ströme I1, I2, I3, I4 und I5 und messe diese Ströme nach. • Berechne und messe auch den Gesamtstrom I. Viel Spass beim Experimentieren! Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 60 Die Umwandlung von Quellen Wir haben zwei reale Quellen kennengelernt: Die reale Strom- und Spannungsquelle. Dieses Blatt soll uns zeigen, wie wir die eine in die andere Quelle umwandeln können. Lasst uns zuerst nochmals die beiden Quellentypen auflisten: Reale Spannungsquelle Umwandlung der Quelle Die Umwandlung gelingt uns durch Umstellen der Formel: Reale Stromquelle Umwandlungsregeln • Aus vorhandener Quelle Leerlaufspannung, Innenwiderstand und Kurzschlussstrom bestimmen. • Ri bleibt bei der Umwandlung unverändert. • Wandlung von Spannungs- in Stromquelle: IKurzschluss I0 • Wandlung von Strom- in Spannungsquelle: ULeerlauf U0 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 61 Aufgabe Umwandlung von Quellen Ein Batterieladegerät soll Batterien mit einem konstanten Strom laden. Die Stromquelle soll bei einer Ausgangsspannung von 6 V einen Strom von 100 mA liefern. Bei 12 V gibt sie einen Strom von 90 mA ab. a) Berechne den Kurzschlusstrom I0 und Ri dieser Stromquelle. b) Wir möchten diese Stromquelle mit einer Spannungsquelle realisieren. Bestimme die Leerlaufspannung U0 und Ri dieser Ersatzquelle. Weitere Übungen: Westermann S. 77 Nr. 25, 26 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 62 Die Leistungsanpassung Je nach Einsatzgebiet werden die Quellen den zu betreibenden Lasten angeglichen. Wir unterscheiden drei Arten von Anpassung: • Spannungsanpassung: Die Spannung soll möglichst hoch sein und stabil bleiben, wenn der Lastwiderstand variiert. Dies ist der Fall, wenn RL >> Ri • Stromanpassung: Der Strom soll möglichst gross sein und stabil bleiben, , wenn sich der Lastwiderstand ändert. Dies ist der Fall, wenn RL << Ri • Leistungsanpassung: Die abgegebene Leistung soll möglichst gross sein. Wir wollen nun herausfinden, in welchem Verhältnis RL zu Ri sein muss, damit die Quelle die maximale Leistung abgibt. Um diese Rechnung zu vereinfachen interessieren wir uns zunächst für die Klemmenspannung der Quelle bei maximaler Leistungsabgabe: I + + Ri 10 U0 10 U 10 Die herausgefundene Formel sagt noch nicht sehr viel aus, wir müssen einige Punkte der Leistungskurve in Funktion der Klemmspannung U über dem Lastwiderstand RL aufzeichnen. Aufgabe: Eine Quelle hat U0 = 10 V und Ri = 10 Ω. Zeichne mit Excel die Leistungskurve im Bereich von U = 0 .. 10 V auf. Folgerung: Eine Quelle gibt die höchste Leistung ab, wenn der Lastwiderstand gleich gross wie der Innenwiderstand ist: Ri = RL Der Wirkungsgrad der Quelle mit Leistungsanpassung beträgt aber lediglich 50 % Anwendung der Leistungsanpassung: • Maximale Leistungsübertragung in der Nachrichtentechnik: Funksender, Anpassen von Lautsprechern an Verstärkerausgang. • Sensorik, z.B. Anpassung Vorverstärker an Mikrofon. Übungen Westermann S. 83/84 Nr. 1, 2, 4, 8, 15 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 63 Spannungs- und Stromfunktionen Bis jetzt haben wir uns in der Elektrotechnik ausschliesslich mit Gleichspannung beschäftigt. Am Rande lernten wir jedoch bereits kennen, dass wir in der Realität Gleichspannung, Wechselspannung und die Kombination von beidem, die Mischspannung vorfinden. In diesem Kapitel möchten wir uns deshalb der Wechselspannung widmen. Wir werden zunächst einige neue Begriffe kennen lernen, aber auch feststellen, dass wir alles bereits bekannte über Elektrotechnik auch weiterhin anwenden können. Allerdings müssen wir bei Wechselspannungsberechnungen einige Details beachten, die wir bei Gleichspannungsberechnungen nicht benötigten. Wechselstrombegriffe Die Grundform jeder periodischen Schwingung ist die Sinusform. Alle anderen Wechselstromfunktionen (Dreieck, Rechteck, Sägezahn etc.) können im Prinzip durch Überlagerung von Sinusschwingungen erzeugt werden. Sinusförmige Spannungen und Ströme werden in der Energietechnik auch deshalb angestrebt, weil nur die Sinusform durch Spulen und Kondensatoren nicht verändert wird. Schauen wir uns doch einmal die Sinusschwingung an, und definieren die Begriffe, die wir in deren Zusammenhang verwenden: 15 10 10 5 5 u [V] 15 0 -15 -10 -5 0 5 10 0 0 15 -5 -5 -10 -10 -15 -15 45 90 135 180 225 270 315 360 φ [°] Die beiden Diagramme zeigen uns, wie wir die Sinusschwingung konstruieren können. Wir zeichnen einen Kreis und einen Radius in einem bestimmten Winkel φ in diesen Kreis hinein. Anschliessend übertragen wir den Winkel und die Höhe des Schnittpunktes vom Radius mit der Kreislinie in das rechte Diagramm. Wiederholen wir dies in regelmässigen Abständen, entsteht die Sinuslinie. Wir können die Linie natürlich auch in Excel generieren. Wir haben die Sinuskurve in Funktion des Winkels vor uns. Das Diagramm gibt noch keine Auskunft darüber wie schnell dieser Winkel verändert wird. Wechselstromsignale werden nämlich durch deren Frequenz gekennzeichnet. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 64 Die Frequenz sagt aus, wie viele Male unserer Zeiger im Kreisdiagramm pro Sekunde herum dreht. Die Frequenz kennzeichnet also die Anzahl Schwingungen pro Sekunde. Formelzeichen und Masseinheit für die Frequenz ist: f = 1 Hz 1 Hz = 1 Hertz = 1/s Umgekehrt können wir wenn die Frequenz f bekannt ist sagen, wie lange eine Schwingung (= eine Zeigerbewegung um 360°) dauert. Die Zeit für eine Schwingung nennen wir die Periodendauer T. T = 1/f Übungen: Westermann S. 37 Nr. 3, 4 Jetzt wo uns die Begriffe Periodendauer und Frequenz vertraut sind, können wir die Sinusfunktion nochmals neu überdenken. Wenn wir mit dem Oszilloskop eine Sinusspannung betrachten, ist die x-Achse die Zeitachse. Vorher haben wir aber den Winkel auf der x-Achse aufgetragen. Wir können dies ganz einfach bewerkstelligen: Während der Periodendauer T legen wir 360° zurück. Es sei bereits jetzt darauf hingewiesen, dass wir bei Winkelfunktionen oft in Radianten rechnen: 360 ° ≡ 2⋅π u(t) = Û*sin(2*pi*f*t) 6 4 u [V] 2 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 -2 -4 -6 t [s] Weitere Begriffe: Momentanwert: Der zu einem bestimmten Zeitpunkt vorhandene Spannungs- /Stromwert. Formelzeichen: u(t) Sprich u in Funktion der Zeit oder des Winkels. Scheitelwert: Die maximal vorkommende Spannung resp. die Vektorlänge im Kreisdiagramm. Formelzeichen Û. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 65 Die Kreisfrequenz Ein wichtiger Begriff in Zusammenhang mit Frequenz und Periodendauer ist die Kreisfrequenz. Die Kreisfrequenz sagt aus, wie schnell sich der Vektor resp. Zeiger dreht. Wir sprechen auch von der Winkelgeschwindigkeit, also der Geschwindigkeit, mit der der Winkel φ zunimmt. Kreisfrequenz ω = 2⋅π⋅f In Worten ausgedrückt: Wie viel Mal pro Sekunde überstreicht der Vektor einen Vollkreis (= 2⋅π im Bogenmass resp. in Radianten)? Die Sinusfunktion Wie sind die oben dargestellten Diagramme entstanden? Natürlich habe ich sie nicht von Hand gezeichnet, sondern mit EXCEL generiert. Um dies selber machen zu können, müssen wir aber die Formel kennen die dies ermöglicht. Die Funktion ist bereits im Titel erwähnt. Die Sinus-Funktion liefert als Ergebnis das Verhältnis Gegenkathete/Hypothenuse für einen bestimmten Winkel: u(t): Momentanwert Û: Scheitelwert u(t)/Û = sin(ϕ) u(t) = Û⋅sin(ϕ) ω: Kreisfrequenz Nun haben wir noch das Problem, dass wir im Argument vom Sinus den Winkel anstatt die gewünschte Zeit vorfinden. Wir wissen aber: ϕ/2π = t / T ϕ = 2π⋅t/T Wenn wir diesen Ausdruck in die obige Formel einsetzen erhalten wir die gewünschte Funktion: u(t) = Û⋅sin(2π⋅t/T) Wenn wir zum Schluss die Periodendauer mit der Frequenz ausdrücken erhalten wir: u(t) = Û⋅sin(2π⋅f⋅t) u(t) = Û⋅sin(ω⋅t) mit ω = 2⋅π⋅f Wir sind nun in der Lage, mit Excel selber eine Sinusfunktion zu bilden: Erstelle ein Diagramm eines 50 Hz Signals mit Û = 14.1 V Weitere Übungen: Westermann S. 127 Nr. 3, 4, 5 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 66 Kennwerte von Wechselgrössen Damit Wechselgrössen in ihrer Wirkung beurteilt und mit zeitlich konstanten Grössen verglichen werden können sind verschiedene Kennwerte definiert worden. Arithmetischer Mittelwert einer Wechselgrösse In der Einleitung zur Elektrotechnik haben wir gesehen, dass gemischte Quellen in eine Gleich- und eine Wechselspannungsquelle aufgeteilt werden können. Der konstante Anteil (Gleichspannung) einer Wechselgrösse nennen wir auch den arithmetischen Mittelwert: Der Halbwellen-Mittelwert oder Gleichrichtwert UAV Konventionelle Drehspulmessgeräte müssen Wechselspannungen gleichrichten, bevor sie zur Anzeige kommen können. Der Zeigerausschlag eines Analogmessgerätes ist proportional zur angelegten Spannung. Legen wir einen gleichgerichteten Wechselstrom ans Messwerk, kann dieses den rasch ändernden Spannungswerten nicht mehr folgen, er wird einen Mittelwert anzeigen: Den Halbwellen-Mittelwert. Für sinusförmige Wechselströme beträgt der Halbwellen-Mittelwert: Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 67 Wie können wir den Halbwellen-Mittelwert berechnen? Bei einfachen Signalformen sind wir bereits heute in der Lage, dies zu tun. Betrachten wir uns zunächst das dargestellte Rechtecksignal: Wir müssen zunächst die Fläche berechnen, die durch die Signalliniedes und die Nulllinie gebildet wird. Flächen, die ins Negative gehen, sind dabei auch negativ zu zählen. Diese Fläche verteilen wir gleichmässig auf eine Periodendauer. Es entsteht ein Rechteck, dessen Breite der Periodendauer und dessen Höhe dem gesuchten Halbwellen-Mittelwert entspricht. Übungsbeispiel zum Halbwellen-Mittelwert Gegeben ist eine symmetrische Dreiecksspannung mit Û = 10 V und f = 100 Hz. Berechne den Halbwellen Mittelwert dieser Dreiecksspannung für Einweg wie auch für Zweiweggleichrichtung. Weitere Übungen: Westermann S. 92 Nr. 3, 4 Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 68 Der Effektivwert Der Effektivwert ist definiert als Gleichstromwert mit der gleichen Wärmewirkung wie der betrachtete Wechselstrom. Er beträgt bei sinusförmigem Wechselstrom U = 1 ˆ ⋅U 2 Die Herleitung des Effektivwertes bei Wechselstrom ist zwar machbar, aber auf unserer Stufe recht komplex. Einfacher ist das Ganze, wenn wir ein allgemeines, nicht symmetrisches Rechtecksignal betrachten: Zur Berechnung des Effektivwertes suchen wir die Gleichspannung, die dieselbe Wärmewirkung erzeugt. Wir müssen also den Mittelwert der abgegebenen Leistung berechnen: Wir haben nun die mittlere Leistung berechnet. Uns interessiert aber der Effektivwert der Spannung, also müssen wir zurückrechnen: Übungsbeispiel zum Effektivwert bei Rechteckpulsen: Ein Rechteckpuls hat Û = 10 V, f = 50 Hz und ti = 10 ms. Wie gross ist a) der arithmetische Mittelwert und b) der Effektivwert dieser Rechteckspannung? Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 69 Der Scheitelfaktor SF Der Scheitelfaktor einer Wechselfunktion ist definiert als das Verhältnis ihres Scheitelwertes zu ihrem Effektivwert: SF = Uˆ Er beträgt also bei der U Sinusfunktion: Der Formfaktor FF Der Formfaktor ist das Verhältnis des Effektivwertes zum Halbwellen- oder Gleichricht-Mittelwert: FF = U Er berägt bei unserer Sinusfunktion: U Was sagt uns der Formfaktor in Bezug auf die Messtechnik aus? Drehspulmessgeräte können nur den HalbwellenMittelwert messen, zeigen aber den Effektivwert an (Wegen der entsprechenden Eichung der Skala). Messen wir einen nicht sinusförmigen Wert, so erhalten wir falsche Messwerte. Mithilfe des Formfaktors könnten wir unseren Messwert trotzdem richtig interpretieren. Übungsbeispiel: Bestimme Halbwellen-Mittelwert, Effektivwert, Formfaktor sowie Scheitelfaktor von einer symmetrischen Rechteckspannung. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 70 Labor Elektrotechnik: Wechselspannungsmessung Sicher habt ihr in der Praxis schon von folgenden Messgeräten gehört: Oszilloskop, Analogmessgerät, Digitalmultimeter und True RMS-Meter. Dieser Versuch soll die Eigenschaften dieser Geräte verdeutlichen. Folgende Messgeräte werden für diesen Versuch benötigt: • Funktionsgenerator • Oszilloskop • Analogmultimeter • True RMS Digitalmultimeter Führe folgende Versuche durch und halte sie in einem Laborbericht so fest, dass sie jedermann mit unserem Fachwissen nachvollziehen kann. 1. Sinusspannung Stelle den Funktionsgenerator auf Sinusspannung mit einer Frequenz von 50 – 100 Hz und eine Scheitelspannung Û = 10 V ein. • Berechne den Effektivwert der eingestellten Wechselspannung? • Messe diesen Wert mit den oben aufgezählten Multimetern und vergleiche die Messergebnisse mit Deiner Berechnung. 2. Dreiecksspannung Stelle den Funktionsgenerator nun auf Dreiecksspannung um (Frequenz und Scheitelspannung wie in Versuch 1) • Berechne den Effektivwert der eingestellten Wechselspannung? • Messe diesen Wert mit den oben aufgezählten Multimetern und vergleiche die Messergebnisse mit Deiner Berechnung. 3. Rechteckspannung Stelle den Funktionsgenerator nun auf Rechteckspannung um (Frequenz und Scheitelspannung wie in Versuch 1) • Berechne den Effektivwert der eingestellten Wechselspannung? • Messe diesen Wert mit den oben aufgezählten Multimetern und vergleiche die Messergebnisse mit Deiner Berechnung. Beilage: Tabelle mit Kenndaten für Sinus-, Dreieck- und Rechtecksignal. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 71 Zeigerdarstellung von Wechselgrössen In der Einleitung zur Wechselstromlehre sahen wir bereits, dass die Sinusform aus der Rotation von einem Zeiger mit der Länge Û abgeleitet werden kann. Nehmen wir an, zwei verschiedene Wechselgrössen seien zeitlich verschoben 15 15 10 10 5 u [V] 5 0 -15 -10 -5 0 5 -5 10 0 0 15 45 90 135 180 225 270 315 360 -5 -10 -10 -15 φ [°] -15 Beim angegebenen Drehsinn der Zeiger eilt die Grösse 2 dem Ablauf von Grösse 1 mit einer zeitlichen Verschiebung nach. Dies wird Phasenverschiebung genannt Merkpunkte zur Phasenverschiebung: • Die Zeitverschiebung ∆t bedeutet, dass die Grösse 2 z.B. ihren positiven Maximalwert um diese Zeit später erreicht als Grösse 1 • Diese tatsächliche Zeitverschiebung ∆t wird meist auf die Periodendauer T oder den vollen Winkel (360° resp 2π) bezogen und als Bruchteil von T oder als Phasenverschiebungswinkel ϕ angegeben • Die Zeigerdarstellung erlaubt eine einfache Angabe der Beziehung von Grösse 2 zu Grösse 1 zu. Dabei ist der Umlaufsinn zu beachten! • Die Phasenverschiebung kann nur gegenüber einer anderen Grösse (=Referenzgrösse) angegeben werden. Wir müssen also jeweils ein Zeiger als Referenz- oder Bezugsgrösse definieren. • Wenn wir das Zeigerdiagramm fürs Erstellen eines Zeitdiagramms verwenden, ist es nahe liegend, als Zeigerlänge Û zu verwenden. Wenn wir jedoch nur das Zeigerdiagramm zeichnen, ist es häufig einfacher, den Effektivwert für die Zeigerlänge zu verwenden. Übung: Zeichne ein Zeigerdiagramm für U1 = 10 V und U2 = 15V, wobei U2 der Spannung U1 um 60 ° vorauseilt. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 72 Repetitionsaufgaben 1. Gegeben sei eine Sinusspannung U=10V und f=100 Hz a) Zu welchem Zeitpunkt (nach dem positiven Nulldurchgang) erreicht diese den Momentanwert u=6.2 V und welchem Winkel ϕ entspricht dies? b) Welcher Momentanwert erreicht die Sinusspannung 6,5 ms nach dem positiven Nulldurchgang? 2. Berechne den Effektivwert von folgendem Rechtecksignal: 3. Gegeben sei eine Dreieckspannung gemäss folgendem Diagramm. Berechne den Arithmetischen Mittelwert sowie den Halbwellenmittelwert für Einweg sowie Zweiweggleichrichtung. 4. Ein Radarsignal hat eine Frequenz f = 9 GHz (1 GHz = 109 Hz) Welche Periodendauer hat das Signal und was für eine Wellenlänge weist es auf (Lichtgeschwindigkeit c = 300'000 km/s) 5. Ich möchte eine Sägezahnspannung mit U=35V erzeugen. Welchen Wert Uss muss ich am KO ablesen, damit dieser Wert erreicht wird? Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 73 Addition von zwei Signalen Wir werden die Summe von zwei Wechselstromsignalen bei den Berechnungen von Schaltungen mit Spulen und Kondensatoren noch häufig praktisch anwenden. Deshalb möchten wir hier keine grosse Übung durchführen, sondern vor allem den Zusammenhang zwischen Vektor- und Signaladdition im Liniendiagramm kennen lernen. Betrachten wir hierzu das Vektor- und Liniendiagramm von der Addition zweier Signale: 40 30 30 20 20 10 10 u [V] 40 0 -40 -20 0 20 0 40 0 -10 -10 -20 -20 -30 -30 -40 -40 45 90 135 180 225 270 315 360 φ [°] Wenn wir im Liniendiagramm aus den zwei Signalen die Summenkurve bilden, müssten wir Punkt für Punkt die zwei Signale zusammenzählen und so die neue Sinuskurve konstruieren. Einfacher geht dies im Vektordiagramm. Wir reihen die Vektoren einfach aneinander, so wie ihr dies schon in der Physik geübt habt. So können wir wie dargestellt den Summenvektor bilden, und mit diesem direkt eine Aussage über Signalamplitude und Phasenverschiebung des neuen Signals machen. U2 Uges U1 Fürs Zeichnen des summierten Sinussignales lassen wir nun den Vektor Uges im Kreis drehen, und konstruieren so die Sinuslinie. Zur Übung können wir mit der Excel Simulation einige Situationen ausprobieren und auf Plausibilität hin kontrollieren. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 74 Ein Dreiecksignal mit Û=5V und T=1.5 ms wird auf dem KO angezeigt. Der Nullpunkt für Spannung und Winkel ist der positive Nulldurchgang. a) Welcher Momentanwert weist das Signal bei t1 = 0,1 ms und bei t2 = 0.9 ms auf? Welchem Winkel ϕ entsprechen diese beiden Zeiten? b) Bei welchem Winkel ϕ erreicht der Momentanwert 3.5 V und welcher Zeit t entspricht dies? Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 75 Nichtlineare Widerstände nach Fachkunde Eltech: Als Grundlage dient das Europa Buch Fachkunde Elektrotechnik S. 30 sowie das Vogel Fachbuch Elektronik 2: Bauelemente (Seitenzahlen siehe Gruppeneinteilung) Gruppe Thema Heissleiterwiderstände NTC S. 37 38 Kaltleiterwiderstände S. 39 - 41 Spannungsabhängige Widerstände (VDR) S. 41 - 44 Fotowiderstände S. 284 - 286 (Magnet)Feldplatten S. 305 - 307 3. Zur Anpassung der Spannung an einen Verbraucher soll ein Spannungsteiler gemäss folgendem Schema verwendet werden. Wie gross ist der Wirkungsgrad dieser Spannungsanpassung, wenn wir die Leistung in RL als Nutzleistung betrachten? 4. Ein Lötkolben hat 30 W Leistung an 220 V. Mit einem Vorwiderstand soll er während der Standby-Zeiten auf eine Leistung von 15 W gedrosselt werden. a) Wie gross muss der Vorwiderstand RV gewählt werden? b) Für welche Verlustleistung muss der Vorwiderstand dimensioniert sein? c) Wie gross ist die vom Netz aufgenommene Leistung? d) Wieviel beträgt der Wirkungsgrad der Vorwiderstandsschaltung? Aufgabe Hochspannungsleitung Eine 220 kV Hochspannungsleitung soll elektrische Energie über eine Distanz von 100 km übertragen. Wir nehmen an, dass die Leitung nur aus zwei Aluminium Drahtseilen mit 30 mm Durchmesser besteht. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 76 a) Wie hoch darf der Strom im Kabel sein, wenn ein maximaler Spannungsverlust von 5 % toleriert ist? b) Welche Nennleistung kann über diese Hochspannungsleitung übertragen werden? c) Wie hoch ist in diesem Fall die Verlustleistung in der Leitung? Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 77 Laborversuch Der Spannungsteiler als reale Spannungsquelle Wir haben den Spannungsteiler bereits bei den Widerstandsschaltungen kennengelernt. Seine Aufgabe ist es, wie das Wort schon sagt, eine vorhandene Spannung in Teilspannungen aufzuteilen. Vom ersten Spannungsteilerversuch wissen wir bereits, dass diese Teilspannung bei Belastung abnimmt, was der Eigenart einer belasteten Spannungsquelle entspricht. Wir wollen in diesem Versuch eine Lastkennlinie für folgenden Spannungsteiler aufnehmen: Aufgaben: Dokumentiere folgende Teilaufgaben in einem Laborbericht. • Baue die obige Schaltung auf und stelle die Versorgungsspannung U auf 10 V ein. • Messe die Leerlaufspannung des (unbelasteten) Spannungsteilers. • Messe die Klemmspannung für mindestens 4 verschiedene Lastwiderstände und halte die gemessenen Strom und Spannungswerte in einer Tabelle und in einem Diagramm fest. • Bestimme aus diesen Werten den Innenwiderstand der Quelle. • Berechne aus Leerlaufspannung und Innenwiderstand den Kurzschlussstrom und messe nach. • Versuche nun, den Innenwiderstand unserer Spannungsteilerschaltung rein rechnerisch zu ermitteln. Wie gross wird der Innenwiderstand für den Spannungsteiler allgemein ausgedrückt? Entspricht dies unseren Messergebnissen? • Wie lautet die Formel, die unsere reale Quelle beschreibt? Für die mathematischen Berechnungen kann folgende Ersatzschaltung beigezogen werden. Sie vereinfacht den Rechenaufwand erheblich. Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 78
