2M - 1. Institut für Theoretische Physik

Neue Zustände im nichtlinearen
PT -symmetrischen Doppeldelta-Potential
Bachelorarbeit von
Vincent Drechsler
05. August 2016
Prüfer: Priv.-Doz. Dr. Holger Cartarius
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Motivation und Einführung in das Thema . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Die
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
PT -Symmetrie
Die hermitesche Quantenmechanik . . . . . . . .
Der PT -Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenwerte und Eigenzustände des PT -Operators
Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme . . . .
Normerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nichtlineares Quantensystem . . . . . . . . . . . .
1
1
2
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3
3
3
4
5
5
6
3 Bose-Einstein-Kondensate und Gross-Pitaevskii-Gleichung
3.1 Bose-Einstein-Kondensate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
4 Analytische Berechnung
4.1 Offenes System . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Transformation auf ein analoges System
4.3 Rand- und Normierungsbedingungen . .
4.4 Zusammenführung der Gleichungen . . .
4.5 Maxima- und Minima hinzufügen . . . .
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13
13
14
17
20
21
5 Neue Zustände
5.1 B-System mit rein reellen Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 A-System mit reellen Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 B-System mit komplexen Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
26
31
6 Zusammenfassung und Ausblick
37
Literaturverzeichnis
39
Danksagung
41
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iii
1 Einleitung
1.1 Motivation und Einführung in das Thema
Im Jahr 1932 legte von Neumann das theoretische Fundament der Quantenmechanik,
indem er mehrere Postulate aufstellte [1]. Eines dieser Postulate sagt aus, dass alle
messbaren physikalischen Größen, die Observablen, durch einen hermiteschen Operator
beschrieben werden. Der Messwert ist dann notwendigerweise ein Eigenwert des entsprechenden Operators. Aufgrund der Hermitizität des Operators ist der Eigenwert und
damit folglich auch der Messwert reell. So sind z. B. die Energieeigenwerte eines hermiteschen Hamiltonoperators reell, womit zudem in der Zeitentwicklung die Normerhaltung
garantiert wird.
Die Behandlung offener Quantensysteme mit hermiteschen Operatoren ist jedoch häufig sehr aufwendig, sodass nach alternativen Lösungsmethoden gesucht wurde. Einen
möglichen Weg stellt die Klasse der nichthermiteschen Operatoren dar, wobei Gewinnund Verlustterme des offenen Systems durch ein komplexes Potential beschrieben werden.
Die Normerhaltung ist dann allerdings verletzt. Das Problem, dass von nichthermiteschen
Operatoren nicht garantiert wird, dass die Eigenwerte reell sind, lässt sich in bestimmten
Fällen durch die von Bender und Boettcher eingeführte Klasse der PT -symmetrischen
Operatoren (Symmetrie unter Orts- und Zeitspieglung) lösen [2]. So lässt sich zeigen,
dass ein Hamiltonoperator, der mit dem PT -Operator vertauscht ([Ĥ,PT ] = 0), unter
bestimmten Bedingungen ein rein reelles Eigenwertspektrum besitzt. Darüber hinaus
stellen PT -symmetrische komplexe Potentiale eine effektive Beschreibung von Quantensystemen mit ausgeglichenem Gewinn und Verlust dar.
Es konnte in Experimenten mit optischen Wellenleitern gezeigt werden, dass sich solche
PT -symmetrischen Systeme tatsächlich realisieren lassen [3, 4]. Dabei wurde die zur
eindimensionalen Schrödingergleichung der Quantenmechanik formal analoge optische
Wellengleichung untersucht, wobei Gewinn- und Verlustterme durch einen komplexen
Brechungsindex eingeführt wurden.
Da es sich dabei jedoch um kein wirkliches Quantensystem handelt, wurde von Klaiman et al. [5] vorgeschlagen, stattdessen ein Bose-Einstein-Kondensat (BEC) in einem
Doppelmuldenpotential zu betrachten, bei dem die Gewinn- und Verlustterme durch das
Ein- und Auskoppeln von Atomen in das bzw. aus dem Kondensat experimentell realisiert werden. Es konnte in [6, 7] gezeigt werden, dass ein vereinfachtes Modellsystem
mit einem komplexen Doppeldelta-Potential alle Eigenschaften eines PT -symmetrischen
Systems erfüllen kann. Zudem wurden sowohl typische Wellenfunktionen als auch die
1
1 Einleitung
Abhängigkeit des chemischen Potentials µ vom Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ, der die
Größe des Imaginärteils des komplexen Potentials festlegt, numerisch untersucht.
In [8] ist es Barashenkov und Zezyulin gelungen, die bisher nur numerisch bekannten
Lösungen analytisch herzuleiten. Dabei wurden in bisher nicht betrachteten Parameterbereichen neue Formen der möglichen Wellenfunktionen im BEC gefunden. Da sich
die Betrachtungen in [8] jedoch nur auf rein reelle chemische Potentiale beschränken,
soll nun in dieser Bachelorarbeit untersucht werden, ob bei den neuen Zuständen analog zu den schon vorher bekannten Lösungen auch komplexe Zustände existieren. Diese
sind von Interesse, da somit, trotz der Verletzung der PT -Symmetrie, Aussagen über die
Stabilität der reellen Zustände in der Nähe der komplexen Zuständen ermöglicht werden.
1.2 Aufbau der Arbeit
Zunächst werden in Kapitel 2 die Grundlagen und Voraussetzungen der PT -Symmetrie
erläutert, um damit das Auftreten von rein reellen Eigenwerten auch in einem nichthermiteschen Quantensystem zu erklären. Daran anschließend werden in Kapitel 3 die
Bose-Einstein-Kondensate (BEC) eingeführt und kurz erläutert, warum sich diese zur
Realisierung eines PT -symmetrischen Systems eignen. Zudem wird die Gross-PitaevskiiGleichung (GPE) in ihrer dimensionslosen Form hergeleitet, die der Beschreibung eines
BEC in einem externen Potential dient. In Kapitel 4 wird anschließend die analytische
Herleitung der Lösungen des behandelten Quantensystems vorgestellt. Die gefunden, teilweise neuen Lösungen werden dann in Kapitel 5 im Detail vorgestellt. Zuletzt werden
die Ergebnisse in Kapitel 6 zusammengefasst.
2
2 Die PT -Symmetrie
2.1 Die hermitesche Quantenmechanik
In der Quantenmechanik stellen die Eigenwerte von Operatoren die messbaren physikalischen Größen dar. Da diese Observablen reell sind, müssen auch die entsprechenden
Eigenwerte reell sein. Eine Gruppe von Operatoren, die nur reelle Eigenwerte besitzt
und sich daher zur Beschreibung eignet, stellt die Gruppe der hermiteschen Operatoren
dar. Diese erfüllen
A = A† .
(2.1)
Rein reelle Eigenwerte lassen sich jedoch auch unter bestimmten Voraussetzungen bei
PT -symmetrischen Operatoren erreichen. Da diese Arbeit ein solches PT -symmetrisches
Quantensystem behandelt, sollen nun folgend zunächst einige Grundlagen solcher Systeme beschrieben werden. Die Ausführungen folgen dabei in groben Zügen denen aus
[9].
2.2 Der PT -Operator
Der PT -Operator setzt sich aus dem Paritätsoperator P und dem Zeitumkehroperator
T zusammen. Der Paritätsoperator stellt dabei eine Ortsspieglung und der Zeitumkehroperator eine Zeitspieglung dar, die wie folgt auf den Ortsoperator x̂, den Impulsoperator
p̂ und die imaginäre Einheit i wirken:
P : x̂ → −x̂,
T : x̂ → x̂,
p̂ → −p̂,
p̂ → −p̂,
i → i,
i → −i.
(2.2a)
(2.2b)
Der Paritätsoperator P ist ein linearer, also ein additiver und homogener Operator, da
er
P(λψ + µϕ) = λP(ψ) + µP(ϕ)
(2.3a)
erfüllt. Der Zeitumkehroperator T ist dagegen antilinear, der er nur additiv, nicht aber
homogen ist:
T (λψ + µϕ) = λ∗ T (ψ) + µ∗ T (ϕ).
(2.3b)
3
2 Die PT -Symmetrie
Der PT -Operator ist daher auch antilinear
PT (λψ + µϕ) = λ∗ PT (ψ) + µ∗ PT (ϕ)
(2.4)
und hat wegen (2.2a) und (2.2b) die folgende Wirkung auf den Ortsoperator x̂, den
Impulsoperator p̂ und die imaginäre Einheit i:
PT : x̂ → −x̂,
p̂ → p̂,
i → −i.
(2.5)
2.3 Eigenwerte und Eigenzustände des PT -Operators
Nun sollen die Eigenwerte und Eigenzustände des PT -Operators untersucht werden.
Dabei ist zu beachten, dass wegen (2.5) eine zweimalige Anwendung des PT -Operators
wieder den ursprünglichen Zustand hervorbringen muss. Ist nun |ψi ein quantenmechanischer Eigenzustand zum PT -Operator und λ der zugehörige Eigenwert, so zeigt sich
die Wirkung einer zweifachen Anwendung des PT -Operators auf den Eigenzustand |ψi
durch
(2.4)
!
PT (PT |ψi) = PT (λ |ψi) = λ∗ PT |ψi = λ∗ λ |ψi = |λ|2 |ψi = |ψi .
(2.6)
Aufgrund der letzten Beziehung muss für den Eigenwert
λ = eiϕ
(2.7)
gelten, womit er also eine komplexe Zahl mit dem Betrag eins ist. Generell lässt sich bei
der Schrödingergleichung jedoch eine globale Phase eiθ hinzufügen, sodass der Eigenzustand zum PT -Operator nun diese Phase trägt:
PT (eiθ |ψi) = e−iθ PT |ψi = e−iθ eiϕ |ψi = e−iθ eiϕ e−iθ eiθ |ψi
ϕ̃=ϕ−2θ
=
eiϕ̃ (eiθ |ψi).
(2.8)
Durch eine geeignete Wahl der globalen Phase θ lässt sich somit erreichen, dass ϕ̃ gleich
null und damit der Eigenwert λ = eiϕ̃ gleich eins ist. Eigenzustände, für die der Eigenwert
gerade eins ist, werden als exakt PT -symmetrisch bezeichnet. Eine Anwendung des PT Operators auf einen solchen Eigenzustand führt somit zu keiner Änderung und es gilt in
Ortsdarstellung für eine exakt PT -symmetrische Wellenfunktion ψ
ψ(x) = ψ ∗ (−x).
(2.9)
Für den Real- und den Imaginärteil der Wellenfunktion ψ lassen sich somit zwei Eigenschaften feststellen:
Re(ψ(x)) = Re(ψ(−x)),
Im(ψ(x)) = −Im(ψ(−x)).
(2.10)
Der Realteil ist somit achsensymmetrisch zur Ordinate und der Imaginärteil punktsymmetrisch zum Ursprung.
4
2.4 Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme
2.4 Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme
Um reelle Energien zu ermöglichen, wird gefordert, dass der Hamiltonoperator
H=
p̂2
+ V (x),
2m
(2.11)
dessen Eigenwert die Energie ist, PT -symmetrisch ist. Das ist genau dann der Fall, wenn
er mit dem PT -Operator vertauscht, also der Kommutator [H,PT ] null ergibt:
[H,PT ] =
2
p̂2
p̂
+ V (x) PT − PT
+ V (x)
2m
2m
!
= (V (x) − V ∗ (−x)) PT = 0.
(2.12)
Um die letzte Relation zu erfüllen, muss
V (x) = −V ∗ (−x)
(2.13)
gelten, sodass der Realteil des Potentials V (x) analog zu (2.10) eine gerade und der
Imaginärteil eine ungerade Funktion des Orts sind:
Re(V (x)) = Re(V (−x)),
Im(V (x)) = −Im(V (−x)).
(2.14)
Ein quantenmechanisches System, das (2.13) erfüllt, wird als PT -symmetrisch bezeichnet.
2.5 Normerhaltung
Für die Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x,t) = |ψ(x,t)|2 des nichthermiteschen Systems gilt mit der zeitabhängigen Schrödingergleichung ∂t ψ = − ~i Hψ
∂ρ
∂
∂
= |ψ|2 = (ψ ∗ ψ)
∂t
∂t
∂t
∂ ∗
∂
= (ψ )ψ + ψ ∗ (ψ)
∂t
∂t
i
i
= ψH† ψ ∗ − ψ ∗ Hψ
~
~
6= 0.
(2.15)
5
2 Die PT -Symmetrie
Mit dem Hamiltonoperator H = p̂2 /2m + V (x), wobei das Potential V (x) (2.14) erfüllt,
lässt sich dies zu
∂ρ
i
~2 2
= ψ −
∇ + Re(V ) − iIm(V ) ψ ∗
∂t
~
2m
i ∗
~2 2
− ψ −
∇ + Re(V ) + iIm(V ) ψ
~
2m
2
i~
∗
∗
(ψ ∇ψ − ψ∇ψ ) + Im(V )|ψ|2
= −∇ · −
2m
~
2
= −∇ · j + Im(V )ρ
(2.16)
~
umformen, wobei j die Wahrscheinlichkeitsstromdichte darstellt. Die entsprechende Kontinuitätsgleichung eines hermiteschen Systems lautet
∂ρ
= −∇ · j,
∂t
(2.17)
sodass auffällt, dass im nicht-hermiteschen System der Teil ~2 Im(V )ρ hinzukommt. Je
nach Vorzeichen des Imaginärteils des Potentials stellt dieser Teil eine Quelle (Im(V ) > 0)
oder eine Senke (Im(V ) < 0) der Wahrscheinlichkeitsdichte dar und ermöglicht somit
ein offenes System mit Gewinnen und Verlusten.
2.6 Nichtlineares Quantensystem
Das in dieser Arbeit betrachtete System besitzt, wie in 3.2 zu sehen sein wird, eine
Nichtlinearität. Somit erhält der bisher betrachtete lineare Hamiltonoperator einen zusätzlichen nichtlinearen Anteil:
H = Hlin + Hnonlin .
(2.18)
Für den nichtlinearen Teil gilt dabei Hnonlin = f (ψ). Es muss auch für den nichtlinearen
Fall (2.12) gefordert werden, sodass
[H,PT ]ψ = [Hlin ,PT ]ψ + [Hnonlin ,PT ]ψ
(2.12)
!
= [f (ψ),PT ]ψ = f (ψ)PT ψ − PT f (ψ)ψ = 0
(2.19)
gelten muss. Um (2.19) zu erfüllen, müssen für die Nichtlinearität folgende Bedingungen
gelten:
f (ψ) = f (PT ψ),
PT f (ψ) = f (PT ψ).
6
(2.20a)
(2.20b)
2.6 Nichtlineares Quantensystem
Ist nun µ der Energieeigenwert zum nichtlinearen Hamiltonoperator des Eigenzustands
ψ, so gilt
Hψ = (Hlin + f (ψ)) ψ = µψ.
(2.21)
Nun wird der PT -Operator auf (2.21) angewandt:
PT (Hlin + f (ψ)) ψ = PT µψ,
(Hlin + f (ψ)) PT ψ = µ∗ PT ψ.
(2.22)
(2.23)
Es ist mit (2.20a) zu sehen, dass µ∗ der Eigenwert zum Eigenzustand PT ψ ist. Für reelle
Eigenwerte sind daher sowohl ψ als auch PT ψ Eigenzustände zum selben Eigenwert µ.
Für nichtentartete Eigenwerte muss zudem ψ selbst Eigenzustand zum PT -Operator
sein:
PT ψ = eiϕ ψ.
(2.24)
(Hlin + f (ψ)) eiϕ ψ = µ∗ eiϕ ψ.
(2.25)
Aus (2.23) folgt somit
Hängt die Nichtlinearität nun nicht direkt von der Phase des Eigenzustands ab, so kann
die globale Phase wieder frei gewählt werden und es gilt:
Hψ = µ∗ ψ,
µψ = µ∗ ψ.
(2.26a)
(2.26b)
Wenn (2.20a) und (2.20b) erfüllt sind, so sind also die Eigenwerte zum nichtlinearen Hamiltonoperator eines PT -symmetrischen Eigenzustands rein reell. Ist die PT -Symmetrie
des Eigenzustands hingegen gebrochen, so treten komplexe Paare von Eigenwerte auf,
die durch komplexe Konjugation ineinander übergehen [10].
Die in 3.2 auftretende Nichtlinearität
f (ψ) = −g |ψ|2
(2.27)
2
f (PT ψ) = −g |PT ψ|2 = −g eiϕ ψ = −g |ψ|2 = f (ψ)
(2.28)
erfüllt beide Bedingungen wegen
und
PT f (ψ) = PT −g |ψ(x)|2 = −gPT (ψ(x)ψ ∗ (x))
= −g (ψ ∗ (−x)ψ(−x)) = −g |ψ ∗ (−x)|2
= −g |PT ψ(x)|2 = f (PT ψ).
(2.29)
7
3 Bose-Einstein-Kondensate und
Gross-Pitaevskii-Gleichung
Um ein offenes PT -symmetrisches Quantensystem zu erhalten, wurde von Klaiman et
al. [5] vorgeschlagen, ein Bose-Einstein-Kondensat (BEC), das in einem Doppelmuldenpotential gefangen ist, zu verwenden, in das Atome ein- und ausgekoppelt werden. Da
ein solches BEC durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) beschrieben wird, sollen
nun in diesem Kapitel sowohl BECs als auch die GPE kurz erläutert werden, wobei die
Darstellungen im Wesentlichen [11] folgen.
3.1 Bose-Einstein-Kondensate
Ein Bose-Einstein-Kondensat ist ein quantenmechanischer Zustand eines Vielteilchensystems, bei dem sich alle Teilchen im selben Zustand, dem Grundzustand, befinden. Eine
notwendige Bedingung hierfür sind Bosonen, da diese im Gegensatz zu Fermionen nicht
dem Pauli-Verbot unterliegen und somit alle Teilchen den selben Zustand annehmen
dürfen.
Die mittlere Besetzungszahl n(E) eines Zustands mit der Energie E wird für Bosonen
durch die Bose-Einstein-Statistik beschrieben:
1
n(E) =
e
E−µ
kB T
,
(3.1)
wobei µ das chemische Potential, T die Temperatur und kB die Boltzmann-Konstante
sind. Der Grundzustand ist mit abnehmender Temperatur immer stärker besetzt, bis er
im Grenzfall T = 0 K der einzige besetzte Zustand ist. Es kann gezeigt werden, dass es in
einem Fallenpotential auch schon bei Temperaturen über dem absoluten Nullpunkt zur
Kondensation kommen kann [12]. Für ein ideales Bose-Gas in einer harmonischen Falle
ist die kritische Temperatur Tc , unter der es zur Bose-Einstein-Kondensation kommt,
über
Tc =
2π
3
ζ2
2
~n 3
2 mk
B
(3.2)
3
definiert. Dabei ist n die Teilchendichte, ζ(x) die Riemannsche Zetafunktion und m die
Masse der Bosonen. Ist diese kritische Temperatur unterschritten, so lässt sich das BEC
9
3 Bose-Einstein-Kondensate und Gross-Pitaevskii-Gleichung
durch eine einzige Wellenfunktion beschreiben. BECs sind gerade deshalb interessant
zu betrachten, da diese bei einer ausreichend hohen Anzahl an Atomen makroskopisch
beobachtbar sind.
3.2 Die Gross-Pitaevskii-Gleichung
Um BECs zu beschreiben, muss die Vielteilchen-Schrödingergleichung
"
#
N
N
2
X
X
1
~ 2
∂xi + Vext (xi ) +
−
V (xi ,xj ) Ψ(x1 ,...,xN ) = EΨ(x1 ,...,xN ),
2m
2 j6=i
i=1
(3.3)
die die Wechselwirkung V (xi ,xj ) zwischen zwei Teilchen berücksichtigt, für eine Vielteilchen-Wellenfunktion Ψ(x1 ,...,xN ) gelöst werden. Vext hat im Fall der BECs die Form
eines Fallenpotentials.
Da sich (3.3) nicht analytisch lösen lässt, bietet sich hier die Mean-Field-Näherung an,
die das Kondensat bei niedrigen Temperaturen und niedrigen Dichten sehr gut beschreiben kann. Dabei werden die Wechselwirkungen aller Teilchen um ein Teilchen herum mit
gerade diesem Teilchen zu einem mittlerem Feld, dem Mean-Field“, zusammengefasst
”
und die Vielteilchen-Wellenfunktion aus einem Produkt identischer Wellenfunktionen
aufgebaut:
Ψ(x1 ,...,xN ) =
N
Y
ψ(xi ).
(3.4)
i=1
Um die Energie E des Systems zu erhalten, wird der Erwartungswert hψ|H|ψi des Hamiltonoperators
#
"
N
N
2
X
X
1
~ 2
∂xi + Vext (xi ) +
V (xi ,xj )
(3.5)
H=
−
2m
2 j6=i
i=1
gebildet:
~2 ∗ 2
E = N dx −
ψ ∂x ψ + Vext (x)|ψ|2
2m
Z
1
0
0
0 2
2
+ (N − 1) dx V (x,x )|ψ(x )| |ψ(x)| .
2
Z
(3.6)
Wird die Energie in (3.6) als Funktional E[ψ] der Wellenfunktion ψ aufgefasst, so lässt
sich die freie Energie F = E − µN (chemisches Potential µ ist Lagrange-Multiplikator)
unter der Nebenbedingung der Normerhaltung minimieren. Für eine große Teilchenzahl
N 1 ergibt sich somit die Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE)
Z
~2 2
0
0
0 2
−
∂ + Vext (x) + N dx V (x,x )|ψ(x )| ψ(x) = µψ(x).
(3.7)
2m x
10
3.2 Die Gross-Pitaevskii-Gleichung
Für das Wechselwirkungspotential V (x,x0 ) wird nun ein aus der Streutheorie hergeleitetes Pseudopotential
V (x,x0 ) =
4π~2 a
δ(x − x0 )
m
(3.8)
eingesetzt [13]. Somit wird die GPE zu
~2 2
4π~2 aN
2
−
∂ + Vext (x) +
ψ(x)| ψ(x) = µψ(x).
2m x
m
(3.9)
Zuletzt wird die GPE noch auf eine dimensionslose Form gebracht, um die numerische
Bearbeitbarkeit zu gewährleisten:
−∂x̃2 ψ(x̃) + V (x̃)ψ(x̃) − gψ(x̃)|ψ(x̃)|2 = −κ2 ψ(x̃).
(3.10)
2
Dazu wurde (3.9) mit 2ml
multipliziert und folgende Ersetzungen vorgenommen, wobei
~2
l eine charakteristische Länge ist:
x
,
l
2ml2 Vext (x̃l)
Ṽ (x̃) =
,
~2
x̃ =
κ2 =
−2mµl2
,
~2
g = −8πaN l2 .
(3.11)
Zur einfacheren Darstellung wird im folgenden x statt x̃ und V (x) statt Ṽ (x̃) geschrieben:
−∂x2 ψ + V (x)ψ − gψ|ψ|2 = −κ2 ψ.
(3.12)
11
4 Analytische Berechnung
Bisher wurde die Lösung der GPE (3.12) mit einem unten genauer beschriebenen komplexen Doppeldeltapotential nur numerisch berechnet. Durch die nun beschriebene analytische Berechnung der Lösung des Systems konnten neue, bisher unbekannte Zustände
gefunden werden.
4.1 Offenes System
Bei einem BEC stellt die Nichtlinearität g > 0 in (3.12) die attraktiven Wechselwirkungen der Teilchen untereinander dar. Das äußere Potential V (x) ist ein PT -symmetrisches
Potential der Form
V (x) = U (x) + iW (x).
(4.1)
Das Potential U (x) ist hierbei dasjenige Potential, in dem das Kondensat gefangen ist.
Das imaginäre Potential iW (x) beschreibt einen Einkoppel- (dort, wo W (x) > 0) bzw.
Auskoppelprozess (dort, wo W (x) < 0) von Atomen in das bzw. aus dem Kondensat.
Es handelt sich daher um ein offenes System, bei dem neue Teilchen hinzukommen und
andere aus dem BEC ausgekoppelt werden.
Physikalische Relevanz haben dabei nur lokale Lösungen, die für x → ±∞ gegen null
gehen und für welche die Normierungsbedingung
Z ∞
|ψ|2 dx = 1
(4.2)
−∞
gilt, das heißt, dass die Teilchenzahl insgesamt konstant bleibt. Für die analytische Berechnung wird κ in (3.12) als rein reell und, um Eindeutigkeit zu erreichen, als positiv
angesehen.
Wie bereits in Kapitel 3 erwähnt wurde, bestand der Vorschlag von Klaiman et al. [5]
darin, ein BEC zu untersuchen, das in einem äußeren Doppelmuldenpotential gefangen
ist. Da es jedoch analytisch aufwendig ist, die Lösung eines solchen Systems zu berechnen,
wird ein vereinfachtes Modellsystem betrachtet, bei dem die Ausdehnung der Mulden
gegen null geht. Dieses beinhaltet alle relevanten Effekte, sodass es zur prinzipiellen
Untersuchung der Idee vollkommen ausreichend ist. Mathematisch wird dies durch zwei
deltafunktionsförmige Töpfe, die sich bei x = ±L/2 befinden, beschrieben:
V (x) = −(1 − iγ)δ(x + L/2) − (1 + iγ)δ(x − L/2).
(4.3)
13
4 Analytische Berechnung
Die Größe der Gewinn- und Verlustterme wird dabei durch den reellwertigen Parameter
γ ≥ 0 bestimmt. Bei x = −L/2 werden (gleicher Betrag der Wellenfunktion an beiden
Punkten vorausgesetzt) genau so viele Atome eingegekoppelt, wie bei x = L/2 ausgekoppelt werden, womit die Teilchenzahl im BEC konstant bleibt. Die Energieskala ist so
normiert, dass die reellen Potentialtöpfe einen Vorfaktor von eins besitzen.
4.2 Transformation auf ein analoges System
Die GPE (3.12) mit einem Potential der Form (4.3) wird durch Barashenkov und Zezyulin
in [8] analytisch gelöst. Der Lösungsweg soll nun folgend skizziert werden, wobei die
Darstellung analog zu [8] gewählt wurde.
Zunächst wird (3.12) in
∂τ2 ϕ + λ[δ(τ + T ) + δ(τ − T )]ϕ − iη[δ(τ + T ) − δ(τ − T )]ϕ + 2ϕ|ϕ|2 = ϕ
(4.4)
transformiert, wobei
τ = κx,
L
T =κ ,
2
r
ϕ=
gψ
,
2κ
λ=
1
,
κ
η=
γ
.
κ
(4.5)
Dabei gilt η ≥ 0, λ > 0 und T > 0. In (4.4) wurde das chemische Potential auf eins
normiert, wodurch die Topftiefe λ variabel ist.
Die Normierungsbedingung (4.2) wird zu
Z ∞
λ
(4.6)
|ϕ|2 dτ = g
2
−∞
und die Symmetriebedingung (2.9) wird zu
ϕ∗ (τ ) = ϕ(−τ ).
(4.7)
Im äußeren Bereich der Potentialtöpfe |τ | ≥ T entspricht (4.4) der freien nichtlinearen Schrödingergleichung und die PT -symmetrischen Lösungen mit der Randbedingung
ϕ(±∞) = 0 haben die Form
ϕ(τ ) = eiχ sech(τ − µ),
τ ≥ T;
(4.8a)
ϕ(τ ) = e−iχ sech(τ + µ),
τ ≤ −T.
(4.8b)
Dabei ist µ ein willkürlicher reeller Wert, der die Amplitude von ϕ bestimmt und χ
eine willkürliche reelle Phase. Die Funktion im Bereich −T ≤ τ ≤ T , also zwischen
den beiden Töpfen, muss die Randbedingungen bei τ = ±T aufgrund der notwendigen
Stetigkeit von ϕ erfüllen:
14
ϕ(T ) = eiχ sech(µ − T ),
(4.9a)
ϕ(−T ) = e−iχ sech(µ − T ).
(4.9b)
4.2 Transformation auf ein analoges System
Um analoge Randbedingungen für die Ableitung von ϕ im Raum zwischen den beiden
Töpfen zu erhalten, muss (4.4) mit (4.8b) und (4.8a) über die beiden Singularitäten bei
τ = ±T integriert werden (Integrationsvariable τ ). Es ergeben sich dann die Bedingungen:
ϕ̇|T −0 = eiχ sech(µ − T )[iη + λ + tanh(µ − T )],
−iχ
ϕ̇|−T +0 = e
sech(µ − T )[iη − λ − tanh(µ − T )].
(4.10a)
(4.10b)
Im Folgenden wird es sich als nützlich erweisen, den Betrag und die Phase von ϕ als
Polarkoordinaten ϕ = reiθ eines klassischen Teilchens auf einer Ebene zu interpretieren, um die Lösung im Innenraum zu konstruieren. Dabei beginnt das Teilchen seine
Bewegung bei der Zeit τ = −T und beendet diese bei τ = T , wobei es sich in einem
radialsymmetrischen Mexican-Hat-Potential
U (r) =
1 4
r − r2
2
(4.11)
befindet. Der Drehimpuls
l = θ̇r2
(4.12)
und die Energie
E=
l2
r4 − r2
ṙ2
+ 2+
.
2
2r
2
(4.13)
bleiben während der Bewegung erhalten. Das effektive Potential lautet
Ueff (r) =
l2
r4 − r2
+
,
2r2
2
(4.14)
wobei der azimutale Teil der kinetischen Energie zum Potential (4.11) hinzugenommen
wurde.
Werden (4.9) und (4.10) mit den Polarkoordinaten verglichen, so ergeben sich die
neuen Randbedingungen zu
r(±T ) = sech(µ − T ),
ṙ(−T ) = −ṙ(T ) = −(λ + ξ)sech(µ − T ),
θ(±T ) = ±χ,
θ̇(±T ) = η,
(4.15a)
(4.15b)
(4.15c)
(4.15d)
wobei ξ = tanh(µ − T ) ist.
Aus (4.15b) ist ersichtlich, dass für ein ξ, für das λ + ξ > 0 ist, die Startgeschwindigkeit
ṙ(−T ) negativ ist, da sech(µ − T ) > 0 ist:
λ + ξ > 0 → ṙ(−T ) < 0.
(4.16)
15
4 Analytische Berechnung
Analog ist die Startgeschwindigkeit positiv, wenn λ + ξ < 0 ist:
λ + ξ < 0 → ṙ(−T ) > 0.
(4.17)
Dieses Wissen über das Vorzeichen der Startgeschwindigkeit wird später von Nutzen
sein.
Aus (4.12), (4.15a) und (4.15d) lässt sich der erhaltene Drehimpuls zu
l = ηsech2 (µ − T )
(4.18)
bestimmen, wobei er wegen η ≥ 0 ebenfalls einen positiven Wert besitzt. Daraus lässt
sich schließen, dass θ von −T bis T anwächst.
Die Energie E aus (4.13) lässt sich ebenfalls durch die Randbedingungen, hier (4.15a)
und (4.15b), ausdrücken:
E=
1
1 − ξ 2 (λ + ξ)2 − ξ 2 + η 2 .
2
(4.19)
Da in (4.13) nur das Quadrat der Geschwindigkeit ṙ auftritt, geht damit auch in (4.19)
die Information über das Vorzeichen von ṙ verloren. Da (4.19) später gelöst wird, treten dort somit auch falsche Lösungen auf, bei denen aufgrund des falschen Vorzeichens
(4.15b) nicht erfüllt ist. Diese falschen Lösungen lassen sich jedoch identifizieren, indem
Bedingungen (4.16) bzw. (4.17) überprüft werden.
Da die Lösung PT -symmetrisch sein muss (Bedingung (4.7)), muss auch der Radialteil
symmetrisch um τ = 0 sein, sodass dort
ṙ(0) = 0
(4.20)
gelten muss.
Die separierbare Gleichung (4.13) hat die beiden achsensymmetrischen Lösungen
p
2
2
2α + β − 1τ,k + β
(4.21a)
rA (τ ) = (α − β)cn
und
p
2
rB
(τ ) = (α − β)cn2 K(k) − 2α + β − 1τ,k + β,
(4.21b)
wobei rA eine maximum-zentrierte und rB eine minimum-zentrierte Lösung darstellt
[8]. K(k) ist das vollständige elliptische Integral der ersten Art. Die beiden JacobiFunktionen in (4.21a) und (4.21b) sind durch die beiden Parameter α und β parametrisiert mit dem elliptischen Modulus
k2 =
16
α−β
.
2α + β − 1
(4.22)
4.3 Rand- und Normierungsbedingungen
Für α und β gilt
α ≥ β ≥ 0,
α + β > 1.
(4.23)
Diese Parameter α und β sind über
l2 = αβ(α + β − 1),
2E = (α + β)(α + β − 1) − αβ
(4.24a)
(4.24b)
mit dem Drehimpuls und der Energie verbunden.
Werden aus (4.24a) mit (4.18) l und aus (4.24b) mit (4.19) E eliminert, so ergeben
sich folgende zwei Gleichungen:
2
η 2 1 − ξ 2 = αβ(α + β − 1),
(4.25a)
1 − ξ 2 λ2 + η 2 + 2λξ = (α + β)(α + β − 1) − αβ.
(4.25b)
Zuletzt wird noch η und damit der Gewinn-Verlust-Koeffizient zwischen (4.25a) und
(4.25b) eliminert, was zu
(λ + ξ)2 = S 2 (α,β,ξ)
(4.26)
führt, wobei
S2 =
(α + β)(α + β − 1) − αβ αβ(α + β − 1)
−
+ ξ2
2
2
1 − ξ2
(1 − ξ )
(4.27)
gilt.
4.3 Rand- und Normierungsbedingungen
Die Randbedingung (4.15a) ergibt für die rA -Lösung
β + (α − β)cn2 (y,k) = 1 − ξ 2 ,
(4.28a)
β + (α − β)cn2 (K(k) − y,k) = 1 − ξ 2
(4.28b)
und für die rB -Lösung
mit
y=
p
2α + β − 1T.
(4.29)
Dabei lässt sich mit yB , das (4.28b) erfüllt, yA , das (4.28a) erfüllt, über
yA = K(k) − yB
(4.30)
17
4 Analytische Berechnung
ṙA (−T )>0
ṙA (−T )<0
ṙB (−T )<0
ṙB (−T )>0
Maxima
Minima
Rückkehrzeit
2n + 1
2n − 1
2n
2n
2n
2n
2n + 1
2n − 1
T
T
T
T
= T0 + 2nΘ
= 2nΘ − T0
= (2n + 1)Θ − T0
= T0 + (2n − 1)Θ
Tabelle 4.1: Anzahl an Maxima und Minima und Rückkehrzeiten
ausrechnen.
Nun werden verschiedene Fälle betrachtet. Zunächst sei die Startgeschwindigkeit des
Teilchens der rA -Lösung ṙ(−T ) positiv, sodass das Teilchen bei τ = 0 das Maximum
von r2 = α erreicht und danach bei τ = T wieder zurück zum Ausgangspunkt geht.
Als T0 wird nun diese Rückkehrzeit T bezeichnet. Weitere mögliche Trajektorien können
das Maximum r2 = α nicht nur einfach sondern (2n + 1)-fach (n ≥ 1) bei
τ = √2mΘ (m = 0, ±
1, ± 2,..., ± n) erreichen. Für die Halbperiode Θ der Funktion
2
cn
2α + β − 1τ,k gilt
Θ= √
K(k)
.
2α + β − 1
(4.31)
Diese Trajektoren haben unterschiedliche Rückkehrzeiten T = T0 + 2nΘ aber dieselben
α- und β-Werte. Sie erreichen das Maximum r2 = α (2n + 1)-fach und das Minimum
r2 = β 2n-fach und werden daher als nichtlineare (2n + 1)-Maxima-, 2n-Minima-Moden
bezeichnet.
Für eine negative Startgeschwindigkeit wird das Maximum nur (2n − 1)-fach erreicht,
das Minimum hingegen ebenfalls 2n-fach. Diese Trajektoren werden deshalb entsprechend nichtlineare (2n − 1)-Maxima-, 2n-Minima-Moden genannt. Die Rückkehrzeit ist
dabei T = 2nΘ − T0 .
Für die minimum-zentrierten Lösungen rB wird zunächst der Fall einer negativen
Startgeschwindigkeit betrachtet. Das Minimum r2 = β wird (2n + 1)-fach erreicht
(τ = 2mΘ), das Maximum r2 = α 2n-fach. Somit liegt eine nichtlineare 2n-Maxima-,
(2n + 1)-Minima-Mode mit einer Rückkehrzeit von T = (2n + 1)Θ − T0 vor.
Beim letzten Fall ist die Startgeschwindigkeit der minimum-zentrierten Lösung positiv.
Das Maximum wird 2n-fach bei τ = (2m + 1)Θ (m = −n − 1, ..., n) erreicht. Da das
Minimum (2n − 1)-fach erreicht wird, wird diese Mode als nichtlineare 2n-Maxima-,
(2n − 1)-Minima-Mode mit einer Rückkehrzeit von T = T0 + (2n − 1)Θ bezeichnet. In
Tabelle 4.1 sind alle Fälle zusammengefasst.
Durch die normierte Rückkehrzeit
y
T
=
Θ
K(k)
18
(4.32)
4.3 Rand- und Normierungsbedingungen
Lösung
normierte Rückkehrzeit
rA
rA
rB
rB
T
2n < Θ
< 2n + 1
T
rA : 2n − 1 < Θ
< 2n
T
rB : 2n < Θ < 2n + 1
T
rB : 2n − 1 < Θ
< 2n
T
Θ
sign(ṙ(−T ))
ṙA (−T ) > 0
ṙA (−T ) < 0
ṙB (−T ) < 0
ṙA (−T ) > 0
Tabelle 4.2: Vorzeichen von ṙ(−T ) in Abhängigkeit der normierten Rückkehrzeit
lassen sich leicht n und das Vorzeichen der Startgeschwindigkeit und damit die Anzahl
an Maxima und Minima in Tabelle 4.2 identifizieren.
Es lässt sich nun mit der Normierungsbedingung (4.6) eine weitere Gleichung für α
und β bestimmen, indem (4.8b), (4.8a) und (4.21a) eingesetzt werden:
Z −T
Z T
Z ∞
λ
2
(4.33)
sech(τ + µ)dτ +
rA dτ +
sech(τ − µ)dτ = g.
2
−∞
−T
T
Es ergibt sich somit
ζA (α,β,y,λ) = ξ
(4.34)
α+β−1
g
ζA = √
y−1+ λ
4
2α + β − 1
p
− 2α + β − 1E[am(y,k),k].
(4.35)
mit
Das unvollständige elliptische Integral zweiter Art E der elliptischen Amplitude am(y,k)
ist wie folgt definiert:
Z am(y,k) q
Z y
2
E[am(y),k] =
1 − k 2 sin (θ)dθ =
dn2 (w,k)dw.
(4.36)
0
0
Analog ergibt sich
ζB (α,β,y,λ) = ξ
(4.37)
mit
α+β−1
g
ζB = √
y−1+ λ
4
2α + β − 1
π p
− 2α + β − 1 E
,k − E[am(K(k) − y,k),k]
(4.38)
2
für (4.33) mit rB statt rA . E π2 ,k in (4.38) ist das vollständige elliptische Integral der
zweiten Art. Es ist zu beachten, dass die beiden Gleichungen (4.34) und (4.37) nicht
über yA = K(k) − yB verbunden sind, wie dies bei (4.28a) und (4.28b) der Fall ist.
19
4 Analytische Berechnung
4.4 Zusammenführung der Gleichungen
Es wird nun angenommen, dass der Abstand L zwischen den Potentialtöpfen und der Koeffizient der Nichtlinearität g fest sind. Veränderlich sind der Gewinn-Verlust-Koeffizient
γ, die Amplitude der nichtlinearen Mode ξ und der Eigenwert κ. Da κ variieren kann,
sind auch die damit definierten Größen λ, η und T variabel.
Durch die Transformation auf ein analoges System, deren Lösung bekannt ist, und
durch die Normierungs- und Randbedingungen konnten mehrere Gleichungen aufgestellt
werden, die sich nun als nötig erweisen. Werden die Beziehungen für ξ aus (4.34) in
(4.28a) und aus (4.37) in (4.28b) eingesetzt, so ergeben sich für die rA - und die rB Lösung die beiden transzendenten Gleichungen
ζA2 + β + (α − β)cn2 (y,k) − 1 = 0
(4.39a)
ζB2 + β + (α − β)cn2 (K(k) − y,k) − 1 = 0.
(4.39b)
und
Zwei weitere transzendente Gleichungen ergeben sich, wenn die selben Beziehungen für
ξ aus (4.34) in (4.26) und aus (4.37) in (4.26) eingesetzt werden:
(λ + ζA )2 − SA2 = 0
(4.40a)
(λ + ζB )2 − SB2 = 0.
(4.40b)
und
Sowohl SA als auch SB sind über (4.27) definiert, können jedoch voneinander unterschiedliche Werte annehmen. Wird 1 − ξ 2 aus (4.27) durch die Randbedingung (4.28a)
für die rA -Lösung und durch die Randbedingung (4.28b) für die rB -Lösung eliminiert,
so ist SA2 über
SA2 =
αβ(α + β − 1)
(α + β)(α + β − 1) − αβ
−
2
β + (α − β)cn (y,k)
(β + (α − β)cn2 (y,k))2
+1 − β − (α − β)cn2 (y,k)
(4.41a)
und SB2 über
SB2 =
(α + β)(α + β − 1) − αβ
αβ(α + β − 1)
−
2
β + (α − β)cn (K(k) − y,k) (β + (α − β)cn2 (K(k) − y,k))2
+1 − β − (α − β)cn2 (K(k) − y,k)
(4.41b)
definiert.
Die Gleichungen (4.39a) und (4.40a) ergeben ein Gleichungssystem für die beiden
Parameter α und β für die rA -Lösung. Für gegebene Werte von L, g und λ hat dieses
20
4.5 Maxima- und Minima hinzufügen
A-System mindestens eine Lösung. Unter diesen Lösungen sind auch falsche Lösungen,
die durch einen Vergleich des Vorzeichens von ṙ(−T ) mit dem Vorzeichen von λ + ξ
identifiziert werden können, da die Vorzeichen nicht übereinstimmen dürfen.
Wird in (4.25a) 1 − ξ 2 durch (4.28a) ersetzt, wieder in das ursprüngliche System mit
γ, κ und L rücktransformiert und nach γ(κ) umgestellt, so ergibt sich
p
αβ(α + β − 1)κ
.
√
(4.42a)
γA (κ) =
β + (α − β)cn2 2α + β − 1κL/2
Für die rB -Lösung muss das Gleichungssystem der Gleichungen (4.39b) und (4.40b)
ebenfalls für die beiden Parameter α und β gelöst und die falschen Lösungen wie bei der
rA -Lösung herausgefiltert werden. Analog zu der rA -Lösung (4.42a) ergibt sich
p
αβ(α + β − 1)κ
.
√
(4.42b)
γB (κ) =
2
β + (α − β)cn K(k) − 2α + β − 1κL/2
Es muss bei (4.42a) und (4.42b) jedoch beachtet werden, dass die Parameter α und β
selbst auch von κ abhängen. Um die Kurve γ(κ) bzw. gleichwertig die Kurve κ(γ) zu
erhalten, müssen die Gleichungssysteme (4.39a) und (4.40a) bzw. (4.39b) und (4.40b)
für die verschiedenen κ-Werte gelöst oder das System, wie in Kapitel 5 beschrieben,
numerisch behandelt werden.
4.5 Maxima- und Minima hinzufügen
Barashenkov und Zezyulin haben in [8] auch eine Möglichkeit gefunden, von einer bereits
vorhandenen Lösung aus eine Transformation so vorzunehmen, dass eine neue Lösung
mit einer größeren Anzahl an Maxima und Minima vorliegt. Diese Transformation wird
nun folgend beschrieben.
Liegt für eine rA -Lösung eine Lösung [α;β] des Gleichungssystems (4.39a) und (4.40a)
mit den Parametern g, T und λ vor, so können die Parameter mittels
T̃ = T + 2Θ,
λ̃ = λ,
g̃ = g + ∆g
(4.43)
mit
α+β−1
8 p
2α + β − 1E − √
K(k)
∆g =
λ
2α + β − 1
(4.44)
transformiert werden, wobei das neue System dieselbe Lösung [α;β] besitzt.
T
Die Transformation addiert zwei Einheiten zur normierten Rückkehrzeit Θ
:
T
T
→ + 2.
Θ
Θ
(4.45)
21
4 Analytische Berechnung
Es kommen daher zwei Maxima und zwei Minima zur A-Mode hinzu. Da der Ausdruck
in eckigen Klammern in (4.44) gerade dem Integral
Z
Θ
2
dτ
rA
(4.46)
0
entspricht, ist ∆g postiv. Somit entsteht eine unendliche Kette an Lösungen mit immer
größer werdenem g, g + ∆g, g + 2∆g, ... und mit einer immer größeren Anzahl an Maxima
und Minima.
Für die minimumzentrierte Lösung rB ist die Transformation (4.43) ebenfalls gültig,
sodass auch dort zwei Maxima und zwei Minima hinzukommen. Da der Ausruck in
eckigen Klammern in (4.44) ebenfalls dem Integral
Z
Θ
2
rB
dτ
(4.47)
0
entspricht, ist ∆g ebenfalls postiv. Somit entsteht analog zum rA -System eine Kette
an Lösungen mit immer größer werdendem g, g + ∆g, g + 2∆g, ... und mit einer immer
größeren Anzahl an Maxima und Minima.
22
5 Neue Zustände
Um sowohl die schon bekannten als auch die neuen Zustände zu erhalten, wurde numerisch eine fünfdimensionale Nullstellensuche durchgeführt. Die Parameter, die dabei
variiert wurden, waren sowohl der Eigenwert κ als auch die Startwerte für die Wellenfunktion und deren Ableitung. Da die globale Phase frei gewählt werden kann, wird
diese so festgelegt, dass ψ(0) eine rein reelle Zahl ist und damit der Imaginärteil null ist.
Es bleiben daher statt der ursprünglich sechs Parameter noch fünf übrig, nämlich der
Realteil von ψ(0), der Real- und Imaginärteil von ψ 0 (0) und κ. Mit diesen Werten wird
die Wellenfunktion exakt numerisch ausintegriert.
Auf null gesetzt werden müssen sowohl der Real- als auch der Imaginärteil von ψ
für x → ±∞, da nur solche Lösungen physikalisch sinnvoll sind. Zudem muss die Wellenfunktion normiert sein, das heißt ||ψ|| − 1 muss gerade null ergeben. Insgesamt sind
somit gerade fünf Bedingungen für fünf freie Parameter gegeben, so dass die Nullstellensuche durchgeführt werden kann. Die Startwerte wurden dabei, wenn möglich, den
Abbildungen in [8] entnommen, sonst durch Anwendung der Transformation (4.43) gewonnen. Bei den bisher unbekannten komplexen Lösungen wurde auf Erfahrungswerte
zurückgegriffen.
5.1 B-System mit rein reellen Eigenwerten
Zunächst wird das System der rB -Lösungen betrachtet, da die bisher bekannten Lösungen von (3.12) aus diesem stammen (u. a. [6, 7]). In Abbildung 5.1 ist der Realteil des
Eigenwerts κ für einen Potentialtopfabstand von L = 2,2 und einer Nichtlinearitätskonstante von g = 1 als Funktion von γ aufgetragen. Die Kurve stellt eine Reproduktion von
Abbildung 5(a) in [8] dar und ist ein typisches Beispiel für die bisher bekannten Lösungen der GPE. Für kleine Werte des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ sind zwei rein reelle
Zweige vorhanden, die beim exzeptionellen Punkt γkrit ineinander übergehen. Der obere
Zweig entspricht dem Grundzustand und der untere Zweig dem angeregten Zustand, da
in (3.12) ein negatives Vorzeichen vor dem Eigenwert κ steht.
Die Wellenfunktionen des Grundzustands und des angeregten Zustands sind bei einem Wert des Gewinn-Verlust-Koeffizienten von γ = 0,2 in Abbildung 5.2 dargestellt.
Da bei der numerischen Bestimmung die globale Phase so gewählt wurde, dass der Imaginärteil von ψ(0) nicht vorhanden ist, lässt sich eine mögliche PT -Symmetrie leicht
erkennen, da nach (2.10) der Realteil von ψ eine gerade und der Imaginärteil von ψ
eine ungerade Funktion von x sein müssen. Dies ist sowohl beim angeregten Zustand
23
5 Neue Zustände
Re(κ)
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Grundzustand
Angeregter Zustand
0
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
γ
Abbildung 5.1: Rein reelle Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g = 1 über
der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen Abstand der Töpfe L = 2,2
aufgetragen, B-System mit einem Minimum.
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-15
(b)
0,6
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
0,4
0,2
Ψ
Ψ
(a)
0
-0,2
-0,4
-10
-5
0
x
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
15
x
Abbildung 5.2: Real- und Imaginärteile und Beträge der Wellenfunktionen der Eigenzustände des
nichtlinearen Hamiltonoperators in (3.12) für g = 1 und L = 2,2. Grundzustand (a)
und angeregter Zustand (b) des B-Systems für γ = 0,2.
als auch beim Grundzustand der Fall, sodass eine PT -Symmetrie vorliegt. Aufgrund
der PT -Symmetrie ist auch der Betrag der Eigenfunktion eine gerade Funktion. Die
Wellenfunktionen besitzen beide ein Minimum zwischen den beiden Potentialtöpfen. Sie
unterscheiden sich jedoch darin, dass beim Grundzustand der Realteil und beim angeregten Zustand der Imaginärteil den größten Beitrag zum Betrag von ψ liefern. Dies liegt
daran, dass der Grundzustand aus der symmetrischen Wellenfunktion für γ = g = 0 hervorgeht, während der angeregte Zustand in der antisymmetrischen Lösung für γ = g = 0
seinen Ursprung findet [7].
Eine der neuen in [8] gefunden Lösungen ist in Abbildung 5.3 dargestellt. Die Kurve
basiert auf Abbildung 5(c) in [8] mit einem Potentialtopfabstand L = 8,26 und einer
Nichtlinearität g = 12,12. Der Kurvenverlauf ist analog zu demjenigen in Abbildung 5.1
mit abermals zwei Zweigen, die sich bei einer Stelle γkrit vereinigen.
In Abbildung 5.4 sind die Wellenfunktionen des Grundzustands und des angeregten
Zustands für einen Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ = 0,2 dargestellt. Auffällig ist, dass
die Anzahl an Minima bei beiden um zwei größer geworden ist und somit drei Minima
vorliegen. Der Betrag des Grundzustands setzt sich ebenfalls wieder hauptsächlich vom
24
5.1 B-System mit rein reellen Eigenwerten
1,2
1,15
1,1
Re(κ)
1,05
1
0,95
Grundzustand
Angeregter Zustand
0,9
0,85
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
γ
Abbildung 5.3: Rein reelle Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g = 12,12 über
der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen Abstand der Töpfe L = 8,26
aufgetragen, B-System mit drei Minima.
(a)
(b)
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
0,6
0,4
0,2
Ψ
Ψ
0,4
0,2
0
0
-0,2
-0,2
-10
0,8
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
0,6
-0,4
-5
0
x
5
10
-10
-5
0
5
10
x
Abbildung 5.4: Real- und Imaginärteile und Beträge der Wellenfunktionen der Eigenzustände des
nichtlinearen Hamiltonoperators in (3.12) für g = 12,12 und L = 8,26. Grundzustand
(a) und angeregter Zustand (b) des B-Systems für γ = 0,2.
Realteil und der des angeregten Zustands sich hauptsächlich vom Imaginärteil zusammen. Die Lösungen sind zudem auch PT -symmetrisch, da (2.10) erfüllt ist.
Um eine Eigenfunktion mit fünf Minima zu erhalten, wurde die Transformation (4.43)
zweimal auf die Lösung des Zustands mit einem Minimum bei κ = 0,2 und einem Potentialtopfabstand L = 2 und einer Nichtlinearität g = 5 angewendet. Die Kurve der
Zustände mit einem Minimum, aus welcher der Startzustand entnommen wurde, ist in
Abbildung 5.13 dargestellt. Die dafür nötigen Parameter α und β wurden durch Lösen
des Gleichungssystems (4.39b) und (4.40b) mit den entsprechenden Parametern gewonnen. Es ergab sich die Kurve in Abbildung 5.5 mit dem Abstand L ≈ 13,66 und der
Nichtlinearität g ≈ 20,82. Es ist auffällig, dass sowohl der Potentialtopfabstand als auch
die Nichtlinearität mit zunehmender Anzahl an Minima ebenfalls zunehmen, wie auch
schon bei der Lösung mit drei Minima zu erkennen war.
Der Kurvenverlauf weicht deutlich von den bisher bekannten Lösungen ab, bei denen
sich der Grundzustand und der angeregte Zustand bei einem Wert γkrit treffen und nur
ein Maximum der Kurve γ(κ) vorliegt. Nun hört der Zweig des Grundzustands plötzlich
bei einem Wert γ1 ≈ 0,3 auf. Es liegt hierbei die Vermutung nahe, dass an dieser Stelle
25
5 Neue Zustände
1,6
Grundzustand
Angeregter Zustand A
Angeregter Zustand B
Angeregter Zustand C
1,5
Re(κ)
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
γ
Abbildung 5.5: Rein reelle Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g ≈ 20,82 über
der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen Abstand der Töpfe L ≈ 13,66
aufgetragen, B-System mit fünf Minima.
weitere Lösungen entstehen, die jedoch nicht durch komplexe Zahlen darstellbar sind
und eine bikomplexe Erweiterung benötigen würden [14]. Die Kurve γ(κ) des angeregten
Zustands besitzt nun zudem einen Wendepunkt und ein Minimum, sodass es keinen Wert
γkrit gibt, ab dem kein rein reeller Zustand mehr vorhanden ist. In einem Wertebereich
des Gewinn-Verlust-Koeffizienten um γ = 0,55 koexistieren drei Lösungen angeregter
Zustände.
In Abbildung 5.6 sind die Wellenfunktionen des Grundzustands und des angeregten
Zustands A bei γ = 0,2, des angeregten Zustands B bei γ = 0,56 und des angeregten
Zustands C bei γ = 1 dargestellt. Die Eigenfunktionen sind PT -symmetrisch und besitzen, wie durch die zweifache Transformation erwartet, fünf Minima. Den Beträgen
der Wellenfunktionen beim Grundzustand und beim angeregten Zustand kann nun nicht
mehr der Realteil oder der Imaginärteil alleine als Hauptkomponente zugewiesen werden.
Stattdessen sind teilweise der Real- und teilweise der Imaginärteil für die Maxima und
Minima des Betrags verantwortlich.
5.2 A-System mit reellen Eigenwerten
Eine Gruppe von neuen Zuständen, die bisher unbekannt waren, ist die der rA -Lösungen.
Diese treten erst ab einem bestimmten minimalen Wert der Nichtlinearität g auf [8] und
haben im Gegensatz zur rB -Lösung eine ungerade Anzahl an Maxima, womit bei x = 0
somit immer ein Maximum vorliegt.
Die Kurve in Abbildung 5.7, die eine Reproduktion derjenigen von Abbildung 5(b) in
[8] ist, entsteht bei einem Potentialtopfabstand L = 2,0 und einer Nichtlinearität g = 5.
Erst ab einem minimalen Wert γkrit des Gewinn-Verlust-Koeffizienten existieren dabei
Lösungen, wobei wieder jeweils ein Zweig des Grundzustands und einer des angeregten
Zustands existieren.
Die Wellenfunktionen des angeregten Zustands und des Grundzustands für einen
26
5.2 A-System mit reellen Eigenwerten
(a)
(b)
0,4
0,4
0
0
Ψ
0,2
Ψ
0,2
-0,2
-0,2
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
-0,4
-0,6
-10
-5
0
5
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
-0,4
-0,6
10
-10
-5
x
(c)
0
5
10
x
(d)
0,4
0,4
0
0
Ψ
0,2
Ψ
0,2
-0,2
-0,2
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
-0,4
-0,6
-10
-5
0
x
5
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
-0,4
-0,6
10
-10
-5
0
5
10
x
Abbildung 5.6: Real- und Imaginärteile und Beträge der Wellenfunktionen der Eigenzustände des
nichtlinearen Hamiltonoperators in (3.12) für g ≈ 20,82 und L ≈ 13,66. Grundzustand
(a) und angeregter Zustand A (b) für γ = 0,2, angeregter Zustand B (c) für γ = 0,56
und angeregter Zustand C (d) für γ = 1 des B-Systems.
Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ = 5,0 sind in Abbildung 5.8 zu sehen. Diese besitzen
genau ein Maximum und der Realteil ist eine gerade und der Imaginärteil eine ungerade
Funktion von x, womit die Wellenfunktionen wieder PT -symmetrisch sind. Zwischen den
beiden Potentialtöpfen wird der Betrag der Wellenfunktion durch den Realteil bestimmt,
außerhalb dagegen vom Imaginärteil.
Für einen Potentialtopfabstand L = 9,35 und eine Nichtlinearität g = 12,38 ergibt sich
die Kurve in Abbildung 5.9, wobei diese eine Reproduktion der Kurve in Abbildung 5(d)
in [8] darstellt. Es liegt wie im Fall der Wellenfunktion mit einem Maximum wieder ein
Kurvenverlauf mit einer unteren Grenze des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ und einer
darüber liegenden Aufspaltung in einen Grundzustand und einen angeregten Zustand
vor.
Die Wellenfunktionen bei γ = 5,0 des Grundzustands und des angeregten Zustands
sind in Abbildung 5.10 zu sehen, wobei nun drei Maxima vorhanden sind. Die Eigenfunktionen besitzen erneut PT -Symmetrie, da (2.10) erfüllt ist. Der Grundzustand und
der angeregte Zustand unterscheiden sich darin, dass beim angeregten Zustand im Bereich |x| > 4,675, also im Außenbereich der Potentialtöpfe, noch ein weiteres Maximum
existiert.
Werden mit (4.43) zwei Transformationen von dem Zustand mit einem Maximum bei
κ = 1,15 durchgeführt, so ergeben sich ein Potentialtopfabstand L ≈ 10,03 und eine
Nichtlinearität g ≈ 24,05 und damit die Kurve in Abbildung 5.11.
27
5 Neue Zustände
Re(κ)
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Grundzustand
Angeregter Zustand
3
4
5
6
7
8
9
10
γ
Abbildung 5.7: Rein reelle Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g = 5 über
der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen Abstand der Töpfe L = 2
aufgetragen, A-System mit einem Maximum.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
(b)
1
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
0,8
0,6
Ψ
Ψ
(a)
0,4
0,2
0
-0,2
-4
-2
0
2
-0,4
4
-10
-5
x
0
5
10
x
Re(κ)
Abbildung 5.8: Real- und Imaginärteile und Beträge der Wellenfunktionen der Eigenzustände des
nichtlinearen Hamiltonoperators in (3.12) für g = 5 und L = 2. Grundzustand (a)
und angeregter Zustand (b) des A-Systems für γ = 5.
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
Grundzustand
Angeregter Zustand
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
γ
Abbildung 5.9: Rein reelle Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g = 12,38 über
der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen Abstand der Töpfe L = 9,35
aufgetragen, A-System mit drei Maxima.
28
5.2 A-System mit reellen Eigenwerten
(a)
(b)
0,6
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
0,4
0,2
0,2
0
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
-0,2
-0,2
-0,4
0
Ψ
Ψ
0,4
-0,4
-10
-5
0
5
10
-15
-10
-5
x
0
5
10
15
x
Abbildung 5.10: Real- und Imaginärteile und Beträge der Wellenfunktionen der Eigenzustände des
nichtlinearen Hamiltonoperators in (3.12) für g = 12,38 und L = 9,35. Grundzustand
(a) und angeregter Zustand (b) des A-Systems für γ = 5.
1,4
Grundzustand
Angeregter Zustand
1,3
Re(κ)
1,2
1,1
1
0,9
0,8
0,7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
γ
Abbildung 5.11: Rein reelle Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g ≈ 24,05
über der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen Abstand der Töpfe
L ≈ 10,03 aufgetragen, A-System mit fünf Maxima.
Für γ = 5,0 sind die Wellenfunktionen des Grundzustands und des angeregten Zustands in Abbildung 5.12 dargestellt. Wie die Transformation erwarten ließ, liegen nun
5 Maxima vor, wobei sich der angeregte Zustand vom Grundzustand wie schon zuvor
durch zwei weitere Maxima außerhalb der beiden Potentialtöpfe unterscheidet. Auch hier
ist die PT -Symmetrie gewährleistet, da der Realteil eine gerade und der Imaginärteil
eine ungerade Funktion von x sind.
Die vorhergesagte Reihe an Kurven mit immer größer werdender Anzahl an Maxima
und Minima sowohl beim A- als auch beim B-System ist somit deutlich. Die durchgeführte Suche nach komplexen Zuständen, die vom A-System abzweigen, führte zu keinem
Ergebnis.
In [8] wurde zudem gezeigt, dass sowohl eine Lösung des A-Systems als auch eine des
B-Systems bei den gleichen Parametern L = 2 und g = 5 existieren können. Es liegt
dort dann eine Lücke an Werten des Gewinn-Verlust-Koeffizienten vor, in der es keine
rein reellen Lösungen gibt. Die beiden Kurven sind in Abbildung 5.13 dargestellt.
29
5 Neue Zustände
(a)
(b)
0,6
0,4
0,4
0,2
0
Ψ
Ψ
0,2
-0,2
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
-0,4
-0,6
-10
-5
0
0
-0,2
-0,4
-0,6
5
10
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
-10
-5
x
0
5
10
x
Abbildung 5.12: Real- und Imaginärteile und Beträge der Wellenfunktionen der Eigenzustände des
nichtlinearen Hamiltonoperators in (3.12) für g ≈ 24,05 und L ≈ 10,03. Grundzustand (a) und angeregter Zustand (b) des A-Systems für γ = 5.
Grundzustand A
Angeregter Zustand A
Grundzustand B
Angeregter Zustand B
Re(κ)
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
γ
Abbildung 5.13: Rein reelle Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g = 5 über
der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen Abstand der Töpfe L = 2
aufgetragen, A-System mit einem Maximum und B-System mit einem Minimum.
30
5.3 B-System mit komplexen Eigenwerten
5.3 B-System mit komplexen Eigenwerten
Bei bisherigen Betrachtungen (u. a. [6, 7]) war bei den rB -Lösungen mit einem Minimum beobachtet worden, dass bei einem Wert des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ ein
Bifurkationspunkt vorliegt, bei dem von den reellen Lösungen zwei zueinander komplex
konjugierte Lösungen abzweigen. In [7] wurde zudem gezeigt, dass für g > 0 der Wert
γ, bei dem die Bifurkation stattfindet, kleiner als der exzeptionelle Punkt γkrit ist. Es
existiert somit ein Bereich, in dem zwei reelle und zwei komplexe Lösungen koexistieren.
Eine Kurve, die den bisher bekannten Lösungen entspricht, ist in Abbildung 5.14 zu
sehen, wobei der Grundzustand und der angeregte Zustand denjenigen aus Abbildung
5.1 entsprechen. Während der Realteil des Eigenwerts κ, der sowohl für den positiven
als auch den negativen Imaginärteil identisch ist, nur sehr langsam ansteigt, nimmt der
Betrag der Imaginärteile zunächst stark zu und steigt dann näherungsweise konstant an.
In Abbildung 5.15 sind die Wellenfunktionen der Lösungen mit einem positiven bzw.
negativen Imaginärteil des Eigenwerts κ für einen Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ = 0,5
aufgetragen. Bei der Lösung mit einem positiven Imaginärteil ist die Amplitude der
Wellenfunktion beim linken Potentialtopf mit Gewinn größer, während die Wahrscheinlichkeitsamplitude der Lösung mit einem negativen Imaginärteil in Richtung des rechten
Potentialtopfs mit Verlusten verschoben ist. Die Real- und Imaginärteile der Wellenfunktionen sind somit keine geraden bzw. ungeraden Funktionen von x mehr, sodass
die PT -Symmetrie gebrochen ist. Da somit auch der Betrag der Wellenfunktionen keine gerade Funktion von x mehr darstellt, ist auch die PT -Symmetrie des nichtlinearen
Hamiltonoperators gebrochen. Der Nichtlinearitätsteil des Hamiltonoperators wird zeitabhängig, da die Wahrscheinlichkeitsamplitude anwächst bzw. schrumpft. Daher sind die
Lösungen der PT -gebrochenen Zustände keine echten stationären Zustände der zeitabhängigen GPE. Sie verlieren somit streng genommen ihre physikalische Relevanz. Jedoch
sind sie nützlich, um die zeitliche Entwicklung des Kondensates vorherzusagen, und können sogar teilweise für kleine Zeiten die echte zeitliche Entwicklung angeben [15]. Zudem
verliert der Grundzustand seine Stabilität, wenn die komplexen Zustände auftreten [16].
In [17] konnte gezeigt werden, dass erst bei einer Stelle γω > γkrit dieser Stabilitätswechsel
stattfindet.
Auch bei den neuen Zuständen des B-Systems konnten Bifurkationen aufgefunden werden. In Abbildung 5.16 ist die Kurve mit dem abzweigenden komplexen Ast zu sehen. Im
Unterschied zur Kurve der Lösungen mit einem Minimum steigt der Realteil der komplexen Zustände mit drei Minima zunächst stark an und ist erst danach näherungsweise
konstant.
Die Wellenfunktionen der komplexen Lösungen bei γ = 0,5 sind Abbildung 5.17 zu
sehen. Da der Realteil keine gerade und der Imaginärteil keine ungerade Funktion mehr
sind, ist die PT -Symmetrie wie auch bei den bisher bekannten komplexen Lösungen
gebrochen.
Auch bei der Kurve von Abbildung 5.5 konnte gezeigt werden, dass eine Bifurkation
existiert, wie in Abbildung 5.18 zu erkennen ist. Die komplexen Zustände zweigen dabei
31
5 Neue Zustände
Re(κ)
(a)
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Grundzustand
Angeregter Zustand
Komplexe Zustände
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,4
0,5
0,6
γ
Im(κ)
(b)
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
Pos. Imaginärteil
Neg. Imaginärteil
0
0,1
0,2
0,3
γ
Abbildung 5.14: Real- (a) und Imaginärteile (b) der Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g = 1 über der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen Abstand der Töpfe L = 2,2 aufgetragen, B-System mit einem Minimum. Komplexe
Eigenwerte sind mit einer gestrichelten Linie dargestellt.
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
(b)
0,8
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
0,6
0,4
Ψ
Ψ
(a)
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
0,2
0
-0,2
-8
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
8
-0,4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
Abbildung 5.15: Real- und Imaginärteile und Beträge der Wellenfunktionen der komplexen Eigenzustände des nichtlinearen Hamiltonoperators in (3.12) für g = 1 und L = 2,2. Lösung
mit positivem (a) und negativem (b) Imaginärteil des B-Systems für γ = 0,5.
32
5.3 B-System mit komplexen Eigenwerten
Re(κ)
(a)
1,35
1,3
1,25
1,2
1,15
1,1
1,05
1
0,95
Grundzustand
Angeregter Zustand
Komplexe Zustände
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,4
0,5
0,6
0,7
γ
(b)
Pos. Imaginärteil
Neg. Imaginärteil
0,06
Im(κ)
0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
0
0,1
0,2
0,3
γ
Abbildung 5.16: Real- (a) und Imaginärteile (b) der Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g = 12,12 über der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen
Abstand der Töpfe L = 8,26 aufgetragen, B-System mit drei Minima.
(a)
(b)
0,6
0,4
0,4
0,2
Ψ
0,2
Ψ
0,6
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
0
0
-0,2
-0,2
-0,4
-0,4
-10 -8
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
8
10
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
-10 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
Abbildung 5.17: Real- und Imaginärteile und Beträge der Wellenfunktionen der komplexen Eigenzustände des nichtlinearen Hamiltonoperators in (3.12) für g = 12,12 und L = 8,26.
Lösung mit positivem (a) und negativem (b) Imaginärteil des B-Systems für γ = 0,5.
33
5 Neue Zustände
(a)
1,6
Grundzustand
Angeregter Zustand A
Angeregter Zustand B
Angeregter Zustand C
Komplexe Zustände
1,5
Re(κ)
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,6
0,8
1
γ
(b)
0,06
Pos. Imaginärteil
Neg. Imaginärteil
0,04
Im(κ)
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
0
0,2
0,4
γ
Abbildung 5.18: Real- (a) und Imaginärteile (b) der Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g ≈ 20,82 über der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen
Abstand der Töpfe L ≈ 13,66 aufgetragen, B-System mit vier Minima.
von einem angeregten Zustand ab. Abermals ist die PT -Symmetrie der Wellenfunktionen
in Abbildung 5.19 gebrochen, da die Wahrscheinlichkeitsamplitude zu einem der beiden
Potentialtöpfe hin verschoben ist.
Da die rB -Lösungen in 5.13 Wellenfunktionen mit einem Minimum entsprechen, gehören diese zu den bisher schon bekannten Lösungen, bei denen die Existenz von Bifurkationen schon bekannt war. So war es auch zu erwarten, dass, wie in Kurve 5.20
zu sehen, auch dort komplexe Zustände existieren. Aufgrund der großen Parameter L
und g ist der Bifurkationspunkt jedoch so weit weg von γkrit gewandert, dass er nicht
mehr bei einem positiven Wert des Gewinn-Verlust-Koeffizienten zu finden ist. Zudem
ist auffällig, dass nur bis zu einer bestimmten Stärke des Gewinn-Verlust-Koeffizienten
γ komplexe Zustände existieren.
34
5.3 B-System mit komplexen Eigenwerten
(a)
(b)
0,8
0,6
0,4
0,6
0,4
0,2
0
0
-0,2
-0,2
-0,4
-10
-5
0
5
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
0,2
Ψ
Ψ
0,8
|Ψ|
Re(Ψ)
Im(Ψ)
-0,4
10
-10
-5
x
0
5
10
x
Abbildung 5.19: Real- und Imaginärteile und Beträge der Wellenfunktionen der komplexen Eigenzustände des nichtlinearen Hamiltonoperators in (3.12) für g ≈ 20,82 und L ≈ 13,66.
Lösung mit positivem (a) und negativem (b) Imaginärteil des B-Systems für γ = 0,8.
(a)
3
Grundzustand A
Angeregter Zustand A
Grundzustand B
Angeregter Zustand B
Komplexe Zustände
Re(κ)
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
8
10
γ
Im(κ)
(b)
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
Pos. Imaginärteil B
Neg. Imaginärteil B
0
2
4
6
γ
Abbildung 5.20: Real- (a) und Imaginärteile (b) der Eigenwerte κ der Gleichung (3.12) für eine Nichtlinearität g = 5 über der Größe des Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ für einen Abstand der Töpfe L = 2 aufgetragen, A-System mit einem Maximum und B-System
mit einem Minimum. Zu beachten ist, dass der Schnittpunkt der Kurve der komplexen Zustände mit derjenigen der A-Zustände nur im Realteil von κ vorhanden
ist.
35
6 Zusammenfassung und Ausblick
In dieser Arbeit wurden neue Zustände im nichtlinearen PT -symmetrischen DoppeldeltaPotential untersucht. Um diese zu behandeln, wurden zunächst einige wichtige Grundlagen erläutert. So wurde die nichthermitesche Quantenmechanik eingeführt und mittels
der PT -Symmetrie abgesichert, dass weiterhin rein reelle Zustände möglich sind.
Als experimentelle Realisierung eines solchen quantenmechanischen PT -symmetrischen
Systems wurden Bose-Einstein-Kondensate in einem Doppelmulden-Potential vorgeschlagen, in das Atome auf der einen Seite eingekoppelt und auf der anderen Seite ausgekoppelt werden. Die mathematische Beschreibung eines solchen Systems, wobei das äußere
Potential als Doppeldelta-Potential angenähert wurde, erfolgt dabei durch die nichtlineare Gross-Pitaevskii-Gleichung, in der komplexe Potentiale den Ein- und Auskoppelprozess beschreiben.
Es konnte dabei schon in früheren Arbeiten gezeigt werden, dass für kleine Nichtlinearitäten g, Potentialtopfabstände L und Gewinn-Verlust-Koeffizienten γ zwei Zweige rein
reeller Zustände, einer der Grundzustände und einer der angeregten Zustände, existieren.
Zudem gibt es beim Zweig des Grundzustands einen Bifurkationspunkt, an dem komplexe Zustände abzweigen. Die Wellenfunktionen, die genau ein Minimum besitzen, sind
dabei bei den rein reellen Zuständen PT -symmetrisch, bei den komplexen Zuständen ist
dagegen die PT -Symmetrie gebrochen.
In [8] konnten Barashenkov und Zezyulin durch eine analytische Betrachtung, die auch
in dieser Arbeit wiedergegeben wurde, neue Zustände gefunden werden. Diese lassen sich
in zwei Gruppen einteilen, in das A- und in das B-System. Die bisher bekannten Lösungen
sind dabei Teil des B-Systems, weitere mögliche Wellenfunktionen haben nicht nur ein
Minimum sondern drei, fünf usw. Minima, wobei von jedem Zustand aus mithilfe einer
Transformation weitere Zustände mit einer höheren Anzahl an Minima generiert werden
können.
Im Unterschied zum B-System ist das A-System erst ab einer unteren Grenze des
Gewinn-Verlust-Koeffizienten und der Nichtlinearität vorhanden, wobei auch dort ab
der unteren Grenze ein Zweig der Grundzustände und einer der angeregten Zustände
existieren. Die Wellenfunktionen haben bei x = 0 ein Maximum und sind wie die reellen
Zustände des B-Systems PT -symmetrisch. Zustände mit jeglicher ungerader Anzahl an
Maxima sind ebenfalls durch dieselbe Transformation zu erreichen.
In dieser Arbeit wurden diese neuen Zustände numerisch untersucht und nach weiteren komplexen Zweigen gesucht. Es konnte dabei bei allen betrachteten Zuständen des
B-Systems gezeigt werden, dass ein Bifurkationspunkt existiert, bei dem komplexe Lösungen abzweigen. Bei den Zuständen des A-Systems wurde hingegen vergeblich nach
37
6 Zusammenfassung und Ausblick
neuen komplexen Zuständen gesucht.
In zukünftigen Betrachtungen könnte die Stabilität der neuen Zustände untersucht
werden. Zudem stellt sich die Frage, warum der Zweig des Grundzustands des B-Systems
mit fünf Minima abrupt bei einem Wert des Gewinn-Verlust-Koeffizienten aufhört.
38
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mathematischen Wissenschaften. Springer Berlin Heidelberg (2013).
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in Complex Optical Potentials. Phys. Rev. Lett. 103, 093902 (2009).
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J. Phys. A 46, 375301 (2013).
[11] Nikolas Abt. Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen DoppelDelta-Potentials (2014). Bachelorarbeit. Universität Stuttgart.
39
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[15] Holger Cartarius, Dennis Dast, Daniel Haag, Günter Wunner, Rüdiger Eichler und
Jörg Main. Stationary and dynamical solutions of the Gross-Pitaevskii equation
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(2013).
[16] Daniel Haag, Dennis Dast, Andreas Löhle, Holger Cartarius, Jörg Main und Günter
Wunner. Nonlinear quantum dynamics in a PT -symmetric double well. Phys. Rev.
A 89, 023601 (2014).
[17] Andreas Löhle, Holger Cartarius, Daniel Haag, Dennis Dast, Jörg Main und Günter Wunner. Stability of Bose-Einstein condensates in a PT -symmetric double-δ
potential close to branch points. Acta Polytech. 54, 133–138 (2014).
40
Danksagung
Ich bedanke mich an dieser Stelle bei allen, die mich bei der Erstellung dieser Bachelorarbeit unterstützt haben. Besonderer Dank gebührt Herrn Priv.-Doz. Dr. Holger Cartarius,
der mich nicht nur dazu ermuntert hat, mich der theoretischen Physik zu widmen, sondern auch bei der Erstellung dieser Arbeit eine sehr große Hilfe war und auf jede Frage
eine kompetente Antwort hatte. Des weiteren möchte ich mich bei Herrn Prof. Günter
Wunner bedanken, der mir die Möglichkeit gab, am 1. Institut für Theoretische Physik
meine Bachelorarbeit anzufertigen. Abschließend möchte ich mich bei allen Mitarbeitern
des Instituts für die freundliche Arbeitsumgebung bedanken.
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Erklärung
Ich versichere,
• dass ich diese Bachelorarbeit selbständig verfasst habe,
• dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wörtlich oder
sinngemäß aus anderen Werken übernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet
habe,
• dass die eingereichte Arbeit weder vollständig noch in wesentlichen Teilen Gegenstand eines anderen Prüfungsverfahrens gewesen ist,
• und dass das elektronische Exemplar mit den anderen Exemplaren übereinstimmt.
Stuttgart, den 05. August 2016
Vincent Drechsler