Lösungen zu Übung 12

WVV 09
Lösungen zur Übung 12
1. Notiere vollständig und nach Möglichkeit aus dem Gedächtnis
(a) den Satz des Pythagoras!
Ist ein Dreieck ABC rechtwinklig mit γ = 90°, so gilt a2 + b2 = c2 .
Dabei ist die im Dreieck übliche Bezeichnung der Seiten vorausgesetzt: Dem mit
einem Groÿbuchstaben bezeichneten Punkt liegt die mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnete Seite gegenüber.
Eine andere Formulierung:
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate
genau so groÿ wie der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
(b) den Umkehrsatz zum Satz des Pythagoras!
Ist in einem Dreieck die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über zwei Seiten
genau so groÿ wie der Flächeninhalt des Quadrats über der dritten Seite, so ist der
der dritten Seite gegenüberliegende Winkel ein rechter.
(c) den Satz des Thales!
Das Dreieck ABC besitzt bei C einen rechten Winkel, wenn C auf dem Kreis mit
dem Durchmesser AB liegt.
(d) den Umkehrsatz zum Satz des Thales!
Wenn ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel γ = 90° bei Punkt
C ist, dann liegt Punkt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB .
In anderen Formulierungen wird statt dem Kreis mit dem Durchmesser AB häug nur
der Halbkreis über AB genannt. Gemeint ist dann der Halbkreis, auf dem der Punkt C
auch tatsächlich liegt.
2. Notiere - nach Möglichkeit aus dem Gedächtnis - einen Beweis zum Satz des Pythagoras!
Ich wähle einen Beweis, der mit der 1. Binomischen Formel arbeitet:
1
Das groÿe Quadrat hat die Seitenlänge a + b. Es setzt sich zusammen aus vier rechtwinkligen Dreiecken, dessen Katheten a und b sind und dem inneren Quadrat mit Seitenlänge
c.
Damit ist
(a + b)2
= 4 · 12 · a · b + c2
⇔ a2 + 2ab + b2 =
2ab + c2
⇔
a2 + b2
=
c2
Damit ist die Aussage des Satzes des Pythagoras (siehe Aufgabe 1a) bewiesen.
3. Gegeben sind die drei Punkte A (−2| − 1), B (2|2) und C (−2|2).
(a) Berechne dieq
Längen der drei Seiten a,qb und c des Dreiecks ABC !
a = BC = (−2 − 2)2 + (2 − 2)2 = (−4)2 = 4
√
q
b = AC = (−2 − (−2))2 + (2 − (−1))2 = 32 = 3
q
√
√
c = AB = (2 − (−2))2 + (2 − (−1))2 = 42 + 32 = 25 = 5
(b) Konstruiere mit Hilfe von Zirkel und Lineal den Umkreis des Dreiecks ABC !
Alle notwendigen Konstruktionselemente sind eingezeichnet.
(c) Bestimme die Geradengleichungen der Geraden AB , AC und BC !
= 43 .
mAB = 2−(−1)
2−(−2)
Also ist AB : y = 43 x + b und mit −1 = 34 · (−2) + b ist b = −1 + 64 = 12 .
Die gesuchte Geradengleichung zu AB ist also y = 34 x + 12 .
Es ist mBC = 0. Die Gerade BC verläuft parallel zur x-Achse durch den Punkt
B (2|2). Also ist y = 2 die gesuchte Geradengleichung.
Die Geradengleichung der Geraden AC ist nicht mehr von der Form y = mx + b. Die
Steigung mAC ist nicht deniert. Die Gleichung x = −2 beschreibt die Gerade. Alle
Punkte, deren x-Koordinate −2 ist, liegen auf dieser Geraden, unabhängig davon,
welchen Wert ihre y -Koordinate annimmt.
(d) Gib alle Punkte an, die das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ergänzen!
2
Es entstehen die drei Parallelogramme AA0 BC , ABB 0 C und ABCC 0 .
4. Gegeben ist das Dreieck ABC mit den in der Plangur angegebenen Bezeichnungen.
(a) Konstruiere mit Zirkel, Lineal und Winkelmesser das Dreieck ABC aus den folgenden
Stücken: c = 5 cm, α = 30° und β = 60°
(b) Zeichne die Höhenlinie hc ein und bestimme alle Längen und Winkel in der vorliegenden Figur ohne zu messen!
Aufgrund des Winkelsummensatzes ist γ = 90°. Es gelten also alle Flächensätze für
das rechtwinklige Dreieck. Das Dreieck lässt sich wegen α = 30° und β = 60° zu dem
gleichseitigen Dreieck ABC 0 ergänzen. Damit ist a = 2c = 2, 5 cm und alles weitere
lässt sich berechnen:
√
√
√
b = c2 − a2 = 25 − 6, 25 cm = 18, 75 cm ≈ 4, 33 cm
2
p = ac = 6,25
cm = 1, 25 cm
5
18,75
b2
q = c = 5 cm = 3, 75 cm
√
√
h = p · q = 1, 25 · 3, 75 cm ≈ 2, 17 cm
(c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC !
Die einfachste Variante läuft hier wie folgt:
√
A = 12 a · b = 21 · 2, 5 · 18, 75 cm2 ≈ 5, 41 cm2 .
Über A = 21 c · h erhält man denselben Wert.
5. Bestimme jeweils die Lösungsmenge!
3
(a)
x
16
= x9
⇔ x2 = 9 · 16
⇔ x = 12 ∨ x = −12
Also ist Lx = {−12; 12}
√
x2 − 4 = x + 2
(b)
⇔ x2 − 4 = x2 + 4x + 4
⇔ −4x = 8
⇔ x = −2
Die Probe zeigt, dass tatsächlich Lx = {−2} gilt.
√
|x| = 2
√
√
⇔x= 2 ∨ x=− 2
√ √ Also ist Lx = − 2; 2 .
√
√
(d)
x2 = 5
⇔ x2 = 5
√
√
⇔x= 5 ∨ x=− 5
(c)
√
√ Die Probe zeigt, dass tatsächlich Lx = − 5; 5 gilt.
√
Erkennt man, dass hier auch x2 = |x| gesetzt werden kann, kann die Lösung auch
analog zur Lösung unter (c) ausgeführt werden.
4