(X).

Quantitatives
Risikomanagement
Korrelation und Abhängigkeit im
Risikomanagement:
Eigenschaften und Irrtümer
von Jan Hahne und Wolfgang Tischer
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 1
Agenda
1. Einführung in die Themenstellung
2. Grundlagen: Copula
3. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung
4. Irrtümer bzgl. Korrelation und Abhängigkeit
5. Fazit
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 2
1. Einführung in die
Themenstellung
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 3
1. Einführung in die Themenstellung
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 4
2. Grundlagen: Copula
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 5
2.1 Definition der Copula
Grundsätzliche Idee: Modellierung der Abhängigkeit soll zurückgeführt
werden auf die gemeinsame Verteilungsfunktion.
•
Gegeben seien: n Zufallsvariablen X1 , … , Xn sowie deren gemeinsame
Verteilungsfunktion F
•
Dann gilt bekanntlich: F(x1 , … , xn) = P (X1 ≤ x1 , … , Xn ≤ xn)
•
Um zur Copula zu gelangen wird der folgende Satz benötigt:
Satz 2.1: Sei X eine Zufallsvariable mit zugehöriger Verteilungsfunktion F. Sei
weiterhin F-1 die Quantilfunktion zu F, also: F-1(α) = inf { x |F(x) ≥ α }, wobei
α Є (0,1). Dann gilt:
1. Für jede standard-gleichverteilte Zufallsvariable U ~ U(0,1) ist F-1(U) ~ F.
2. Wenn F stetig ist, so ist die Zufallsvariable F(X) standard-gleichverteilt,
also F(X) ~ U(0,1).
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 6
2.1 Definition der Copula
•
Besitzen die X1 , … , Xn stetige Randverteilungsfunktionen, so kann der
Vektor X = (X1 , … , Xn)‘ nach Satz 2.1 derart transformiert werden, dass
jede Komponente eine standard-gleichverteilte Randverteilung besitzt.
•
Die benötigte Transformation T : ℝn → ℝn bildet (x1 , … , xn)‘ auf
(F1(x1) , … , Fn(xn))‘ ab, so dass:
F(x1 , … , xn) = P (F1(X1) ≤ F1(x1) , … , Fn(Xn) ≤ Fn(xn)) = C(F1(x1) , … , Fn(xn))
•
C ist die gemeinsame Verteilungsfunktion des transformierten Vektors
(F1(X1) , … , Fn(Xn))‘.
•
Man nennt C die Copula des Zufallsvektors (X1 , … , Xn)‘.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 7
2.1 Definition der Copula
Definition 2.1: Eine n-dimensionale Copula ist eine Verteilungsfunktion eines
Zufallsvektors X Є ℝn, deren Randverteilungen alle (0,1) – gleichverteilt sind.
Äquivalent zur obigen Definition kann eine Copula definiert werden als
Funktion C : [0,1]n→ [0,1] mit den drei Eigenschaften:
1.
C(x1 , … , xn) ist monoton steigend in jeder Komponente xi .
2.
C(1 , … , 1 , xi , 1 , … , 1) = xi für alle i Є [0,1].
3.
Für alle (a1 , … , an), (b1 , … , bn) Є [0,1]n, mit ai ≤ bi gilt:
2
2
i1 1
in 1
i1 ... in
...
(

1
)
C ( x1i1 ,..., xnin )  0,
 
mit xj1 = aj und xj2 = bj für alle j Є {1,…,n}. Die Summe kann interpretiert
werden als:
P(a1 ≤ X1 ≤ b1 , ... , an ≤ Xn ≤ bn) ≥ 0.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 8
2.1 Definition der Copula
Zusammenfassend kann also festgehalten werden:
•
Die gemeinsame Verteilungsfunktion F enthält vollständige
Informationen über die gesamte Abhängigkeitsstruktur zwischen
Zufallsvariablen
•
Idee bei Verwendung der Copula: Teile die gemeinsame
Verteilungsfunktion F in zwei Komponenten auf.
 Die eindimensionalen Randverteilungen F1 , … , Fn
 Die Copula C
•
Der Copula-Ansatz ermöglicht eine sehr flexible Modellierung:
 die Verteilung der einzelnen Zufallsvariablen kann
getrennt von der Abhängigkeit zwischen den
Zufallsvariablen festgelegt werden.
 Die Abhängigkeitsstruktur die zwischen den
Zufallsvariablen besteht wird alleine durch die Copula
modelliert.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 9
2.2 Der Satz von Sklar
Der bedeutendste Satz in Bezug auf Copulas ist der Satz von Sklar.
Satz 2.2:
1.
Sei F eine multivariate Verteilungsfunktion mit Randverteilungsfunktionen F1 , … , Fn. So existiert eine Copula C : [0,1]n→ [0,1], s.d. für
alle x1 , … , xn Є ℝ gilt:
F(x1 , … , xn) = C(F1(x1) , … , Fn(xn)).
Die Herleitung wurde oben bereits gezeigt.
Falls F1 , … , Fn stetig sind, so ist die Copula C sogar eindeutig bestimmt.
2.
Seien nun umgekehrt eine Copula C sowie die eindimensionalen
Verteilungsfunktionen F1 , … , Fn gegeben, dann ist die durch:
F(x1 , … , xn) = C(F1(x1) , … , Fn(xn))
definierte Verteilungsfunktion F eine multivariate Verteilung mit den
Randverteilungen F1 , … , Fn .
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 10
2.2 Der Satz von Sklar
Interpretation der beiden Aussagen des Satzes von Sklar:
Erster Teil des Satzes:
Eine beliebige multivariate Verteilung lässt sich in ihre
Randverteilungen und in eine Copula aufteilen. Für stetige
Randverteilungen ist die Copula dabei eindeutig.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 11
2.2 Der Satz von Sklar
Der Satz von Sklar gibt jedoch lediglich an, dass diese Überführung
möglich ist. Wie dies konkret umgesetzt werden kann wird nicht
deutlich.
Es ist aber folgendermaßen vorzugehen:
•
•
Bei bekannter multivariater Verteilungsfunktion F können
die eindimensionalen Randverteilungen F1 , … , Fn bestimmt
werden.
Sind nun die Zufallsvariablen X1 , … , Xn mit zugehörigen
Verteilungsfunktionen F1 , … , Fn bekannt. Sei weiterhin
ui = P(Xi ≤ xi) = Fi(xi) und daher ui Є [0,1] für alle i Є {1 , … , n},
so folgt:
C(u1 , … , un) = F(F1-1(u1) , … , Fn-1(un)).
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 12
2.2 Der Satz von Sklar
Interpretation der beiden Aussagen des Satzes von Sklar:
Zweiter Teil des Satzes:
• Aus n gegebenen einzelnen Verteilungen F1 , … , Fn und einer
Copula C kann eine gemeinsame Verteilungsfunktion F
konstruiert werden, welche die F1 , … , Fn als Randverteilungen
besitzt.
• Umsetzung: Setze die F1 , … , Fn in die Copula C ein.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 13
2.3 Invarianz unter streng monoton steigenden
Transformationen
Copulas besitzen eine Eigenschaft, die für praktische Anwendungen
sehr nützlich ist:
Satz 2.3:
Sei C eine Copula zu (X1 , … , Xn)‘. Dann ist C für alle streng monoton
steigenden stetigen Transformationen T1 , … , Tn ebenfalls die Copula zu
(T1(X1) , … , Tn(Xn))‘.
Erläuterung des Vorteils dieser Eigenschaft an einem Beispiel:
•
•
•
•
Die Abhängigkeit von Verlusten mehrerer Einzelrisiken sind in der Einheit
Euro durch eine Copula C modelliert.
Übergang von Euro zu Dollar: streng monoton steigende Transformation.
Das Modell in Dollar-Beträgen besitzt dieselbe Copula C wie das EuroModell.
Achtung: Die Randverteilungen, die die Verteilungen der Einzelrisiken
beschreiben müssen in der Regel an die neuen Skalen angepasst werden.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 14
2.4 Beispiele für Copulas
Hier werden zwei klassische Beispiele für Copulas vorgestellt
werden.
Betrachtung im 2-dimensionalen, d.h. gegeben sind:
• Zwei Zufallsvariablen X und Y mit Verteilungsfunktionen F1
und F2
• Sei u1 = P(X ≤ x1) = F1(x1) bzw. u2 = P(Y ≤ x2) = F2(x2), also u1,u2
Є [0,1].
• Wie oben gezeigt, gilt:
C(u1 , u2) = F(F1-1(u1) , F2-1(u2))
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
(*)
Seite 15
2.4.1 Die Gauß-Copula
•
Randverteilungen F1 und F2 sind univariate Normalverteilungen. Die
Verteilungsfunktionen werden mit φ bezeichnet.
•
F ist Verteilungsfunktion der bivariaten Normalverteilung N2(0,ψ). Sie
wird hier mit φρ bezeichnet.
•
Gemäß (*) ergibt sich die Gauß-Copula als:
CρGa (u1 , u2) = φρ(φ -1(u1) , φ -1(u2))
•
Sind anders herum die Gauß-Copula und die zwei normalverteilten
Risiken X und Y mit den Verteilungsfunktionen F1 und F2 und
Korrelationskoeffizient ρ gegeben, ergibt sich:
F(x1 , x2) = CρGa (F1(x1) , F2(x2))
•
Die Gauß-Copula ist genau diejenige Copula, die mehrere univariate
Normalverteilungen zu einer multivariaten Normalverteilung
zusammenführt.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 16
2.4.2 Die Gumbel-Copula
•Gegeben ist ein Parameter Θ Є [0,1].
•Die Gumbel-Copula ist dann gegeben als:
CΘGu (u1 , u2) = exp ( - ( ( - log u1 )1/Θ + ( - log u2 )1/Θ ))Θ )
•Modelliert man Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen mit der
Gumbel-Copula kann durch den Parameter Θ jede positive
Abhängigkeitsstruktur zwischen Unabhängigkeit (Θ = 1) und
perfekter Abhängigkeit (Θ → 0) abgedeckt werden.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 17
3. Konzepte der
Abhängigkeitsmodellierung
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 18
3. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung
Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung
zwischen Zufallsvariablen
Lineare
Korrelation
•
•
•
Komonotonie
Rangkorrelation
Tail
Abhängigkeit
Konkordanz
Definitionen und Eigenschaften
Unterschiede
Vor- und Nachteile
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 19
3.1 Lineare Korrelation
Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung
zwischen Zufallsvariablen
Lineare
Korrelation
Komonotonie
Rangkorrelation
Tail
Abhängigkeit
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Konkordanz
Seite 20
3.1.1 Definition der linearen Korrelation
Das am häufigsten verwendete Maß zur Modellierung von Abhängigkeiten.
Idee: Die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen
in Form einer Maßzahl – dem linearen Korrelationskoeffizienten – ausdrücken.
Definition 3.1: Der Pearsonsche bzw. lineare Korrelationskoeffizient
zweier Zufallsvariablen X und Y (mit 0 < Var(X), Var(Y) < ∞) ist definiert als:
 ( X ,Y ) 




Cov( X , Y )
Var ( X )  Var (Y )
ρ(X,Y) Є [-1,1]
ρ(X,Y) = 0: unkorrelierte Zufallsvariablen. Also kein linearer
Zusammenhang.
ρ(X,Y) = 1: perfekte lineare Abhängigkeit im positiven Sinn.
ρ(X,Y) = -1: perfekte lineare Abhängigkeit im negativen Sinn.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 21
3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation
Vorteile der linearen Korrelation:
•
Einfach zu bestimmen (nur Berechnung zweiter Momente)
•
Bestimmung der Korrelation von linear transformierten Zufallsvariablen
sehr elegant möglich, da für a,c Є \ {0} und b,d Є :
Cov(aX  b, cY  d )  ac  Cov( X , Y )
und daher:
a c
 (aX  b, cY  d ) 

 ( X ,Y )
|a| |c|
D.h. insbesondere: lineare Korrelation invariant unter positiven affinen
Transformationen.
•
Für sphärische und elliptische Verteilungen kann die gesamte
Abhängigkeitsstruktur zweier Zufallsvariablen über die Korrelation
beschrieben werden. Zu den elliptischen Verteilungen zählt auch die
Normalverteilung (daher viele Anwendungsgebiete wo die Benutzung
der linearen Korrelation Sinn macht).
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 22
3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation
Nachteile der linearen Korrelation:
•
Korrelationskoeffizient ist nur definiert falls eine Verteilung mit
endlicher Varianz vorliegt. (z.B. Probleme für heavy-tailed
Verteilungen).
•
Lediglich Messung der linearen Abhängigkeit.
•
Zwar invariant unter positiven affinen Transformationen aber
nicht invariant unter streng monoton steigenden
Transformationen T. D.h. ρ(X,Y) ≠ ρ(T(X),T(Y)).
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 23
3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation
Die Abbildung fasst das bedeutendste Problem bei der Verwendung
der Korrelation als Abhängigkeitsmaß zusammen.
•
•
•
Gleiche Randverteilungen
Gleiche Korrelation
Aber deutlich unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 24
Exkurs: Sphärische und elliptische
Verteilungen
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 25
E.1 Sphärische Verteilungen
•
Erweiterung der multivariaten Normalverteilung Nn(0,I).
•
Klasse symmetrischer Verteilungen für unkorrelierte Zufallsvariablen mit Mittelwert 0.
Definition 3.2: Ein Zufallsvektor X = (X1 , … , Xn)‘ hat eine sphärische
Verteilung, wenn für jede orthogonale Matrix U Є n x n (also U’U =
UU’ = In x n) die folgende Gleichung erfüllt ist:
UX =d X²
•
A =d B bedeutet: ,,A besitzt dieselbe Verteilung wie B”.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 26
E.1 Sphärische Verteilungen
Definition 3.3: Für alle t Є n ist die charakteristische Funktion φ : ℝ n →
einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X definiert als:
φX(t) = E(exp(it‘X))
• Die charakteristische Funktion sphärischer Verteilungen nimmt eine
sehr einfache Form an, denn es existiert eine Funktion γ : 0+ →
+
0 , sodass:
φ(t) = γ(t‘t) = γ(t1² + … + t2²).
• Die Funktion γ wird als charakteristischer Generator der sphärischen
Verteilung bezeichnet. Man schreibt daher auch:
X ~ Sn(γ).
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 27
E.1 Sphärische Verteilungen
Bemerkungen zu sphärischen Verteilungen:
1.
Sphärische Verteilungen sind i.A. Verteilungen unkorrelierter – nicht
jedoch unabhängigker – Zufallsvariablen.
2.
Die multivariate Normalverteilung ist die einzige Verteilung unter den
sphärischen Verteilungen, bei der die Zufallsvariablen auch unabhängig
sind.
3.
X ~ Sn(γ) ist äquivalent zu X =d RU, wobei U auf der Einheitskugel
Sn-1 = { x Є | x’x = 1 } gleichverteilt ist und R ≥ 0 eine von U
unabhängige Zuvallsvariable darstellt.
Die 3. Bemerkung ermöglicht eine Interpretation sphärischer Verteilungen als
n-dimensionale Gleichverteilung auf Umgebungen mit verschiedenen Radien.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 28
E.2 Elliptische Verteilungen
•
Erweiterung der multivariaten Normalverteilung Nn(μ,∑).
•
Klasse symmetrischer Verteilungen mit Mittelwert μ und
Kovarianzmatrix ∑.
Mathematisch gesehen: affine Transformationen sphärischer
Verteilungen.
•
Definition 3.4: Sei eine affine Transformation T : n → n mit T(x) = Ax + μ, A
Є n x n, μ Є n gegeben. Ein Zufallsvektor X Є n hat eine elliptische
Verteilung, falls X = T(Y), wobei Y ~ Sn(γ).
Die charakteristische Funktion ist gegeben als:
φ(t) = exp(it‘μ) γ(t‘ ∑ t),
mit ∑ = AA‘.
•
Notation:
X ~ En(μ , ∑ , γ)
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 29
E.2 Elliptische Verteilungen
Bemerkungen zu elliptischen Verteilungen:
1.
Die Verteilung von X bestimmt nur μ ŝŶĞŝŶĚĞƵƟŐĞƌt ĞŝƐĞ͘ єƵŶĚγ sind
nur bis auf eine positive Konstante bestimmt.
2.
Es ist möglich ∑ so zu wählen, dass sie die Kovarianzmatrix von X
darstellt.
Insgesamt bedeutet dies:
Eine elliptische Verteilung ist eindeutig definiert durch:
• Mittelwert μ
• Kovarianzmatrix ∑
• Charakteristischer Generator γ
Insbesondere: Die Varianz einer elliptisch verteilten Zufallsvariablen ist
endlich  der lineare Korrelationskoeffizient für solch eine Zufallsvariable ist
wohldefiniert.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 30
E.3 Korrelation und Kovarianz als natürliche
Abhängigkeitsmaße in der Welt elliptischer Verteilungen
Elliptische Verteilungen besitzen einige sehr nützliche Eigenschaften:
•
Jede Linearkombination eines elliptisch verteilten Zufallsvektors ist selbst wieder
elliptisch verteilt und besitzt sogar den selben charakteristischen Generator.
•
Die Randverteilungen elliptischer Verteilungen sind ebenfalls elliptisch verteilt
und besitzen den selben charakteristischen Generator.
•
Sei die Kovarianzmatrix єĂůƐƉŽƐŝƟǀ ĚĞĮ Ŷŝƚǀ ŽƌĂƵƐŐĞƐĞƚnjƚ͘ ĂŶŶŝƐƚĚŝĞďĞĚŝŶŐƚĞ
Verteilung X1 unter X2 auch elliptisch verteilt – allerdings i.A. mit einem anderen
charakteristischen Generator.
Alle Randverteilungen elliptisch  Elliptische Verteilung eindeutig durch Mittelwert,
Kovarianzmatrix und Verteilungstypen bestimmt.
Anders ausgedrückt: Gesamte Abhängigkeitsstruktur stetiger, elliptischer Verteilungen
eindeutig festgelegt durch Korrelationsmatrix und Verteilungstypen.

Jegliche Form von Abhängigkeit wird für elliptisch verteilte
Zufallsvariablen komplett über den linearen
Korrelationskoeffizienten beschrieben.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 31
E.4 Kovarianz und elliptische Verteilungen im
Risikomanagement
Elliptische Verteilungen begünstigen den Einsatz vieler mathematischer
Standard-Modelle. (Z.B. Markowitz-Modell und Value-at-Risk).
Konzentration auf Value-at-Risk (VaR):
• Gegeben sei ein elliptisch verteilter Zufallsvektor X = (X1 , … , Xn)‘,
wobei Xi das Risiko i modelliert.
• Definiere die Menge linearer Portfolios, die aus diesen n Risiken
bestehen als:
n
{Z   i X i |i  R}.
i 1
• Die Verteilungsfunktion von Portfolio Z ist gegeben durch FZ und der
VaR zu vorgegebener Wahrscheinlichkeit α ist bekanntermaßen:
VaRα(Z) = FZ-1(α) = inf { z Є
| FZ(z) ≥ α }
• VaR als Risikomaß besitzt für elliptische Verteilungen eine besondere
Eigenschaft.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 32
E.4 Kovarianz und elliptische Verteilungen im
Risikomanagement
Definition 3.5: Ein Risikomaß ist eine Funktion ξ mit: X  ξ (X). D.h. ein
Risikomaß ordnet jedem Risiko X eine reelle Zahl zu.
Definition 3.6: Ein kohärentes Risikomaß (nach Atzner, Delbaen, Eber und
Heath) ist ein Risikomaß mit folgenden Eigenschaften:
1. Positivität: Für jedes X ≥ 0 ist: ξ(X) ≥ 0
2. Subadditivität: Für alle X und Y gilt: ξ(X + Y) ≤ ξ(X) + ξ(Y).
3. Positive Homogenität: Für jedes λ ≥ 0 ist: ξ(λX) = λξ(X).
4. Translationsinvarianz: Für jedes a Є
gilt: ξ(X + a) = ξ(X) + a.
•
Der VaR ist i.A. kein kohärentes Risikomaß, da er nicht subadditiv ist.
•
Für elliptische Verteilungen erfüllt der VaR auch die
Subadditivitätseigenschaft und ist somit kohärent.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 33
3.2 Alternative Abhängigkeitsmaße
Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung
zwischen Zufallsvariablen
Lineare
Korrelation
Komonotonie
Rangkorrelation
Tail
Abhängigkeit
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Konkordanz
Seite 34
3.2.1 Komonotonie
Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung
zwischen Zufallsvariablen
Lineare
Korrelation
Komonotonie
Rangkorrelation
Tail
Abhängigkeit
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Konkordanz
Seite 35
3.2.1 Komonotonie
Definition 3.7: Zwei Risiken X und Y werden komonoton genannt, wenn es eine
Zufallsvariable Z und zwei monoton steigende Funktionen f1 und f2 gibt, sodass:
X = f1(Z) und Y = f2(Z)
gilt. Wenn f1 eine monoton steigende Funktion ist und f2 monoton fällt, so spricht man
von kontramonotonen Zufallsvariablen.
•
Die Entwicklung der beiden Risiken hängt komplett von einem einzigen
gemeinsamen Faktor ab.
•
Komonotone Risiken können sich niemals ausgleichen  extremste Form
positiver Abhängigkeit.
•
Steigt das eine Risiko von zwei kontramonotonen Risiken, so sinkt das andere
Risiko  extremste Form negativer Abhängigkeit.
•
Sind X und Y komonotone Zufallsvariablen, so gilt:
VaRα(X + Y) = VaRα(X) + VaRα(Y).
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 36
3.2.1.1 Fundamentale Copulas
Komonotonie und Kontramonotonie lassen sich – zumindest im
Zweidimensionalen – durch bestimmte Copulas modellieren. Zusammen
mit der Unabhängigkeits-Copula bilden sie die fundamentalen Copulas.
Definition 3.8: Die Komonotonie-Copula Co wird für alle (u1,u2) Є [0,1]²
definiert durch:
Co(u1,u2) = min(u1,u2).
Definition 3.9: Die Kontramonotonie-Copula Cu wird für alle (u1,u2) Є [0,1]²
definiert durch:
Cu(u1,u2) = max(u1 + u2 -1 , 0).
Definition 3.10: Die Unabhängigkeits-Copula Cid wird für alle (u1,u2) Є
[0,1]² definiert durch:
Cid(u1,u2) = u1 ∙ u2 .
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 37
3.2.1.2 Die Schranken von Fréchet
•
•
Perfekte negative Abhängigkeit, Unabhängigkeit, perfekte positive
Abhängigkeit lassen sich mit fundamentalen Copulas darstellen.
Sie stehen zu vielen anderen Copulas in einer interessanten Beziehung.
(z.B. Gumbel-Copula: ,,interpoliert” zwischen Unabhängigkeits- und
Komonotonie-copula).
Eine weitere wichtige Beziehung liefern die Fréchet-Schranken.
Satz 3.2: Für jede n-dimensionale Copula C(u1, … , un) gilt:
max {u1 + … + un + 1 – n , 0} ≤ C(u1, … , un) ≤ min {u1, … , un}.
•
Im zweidimensionalen Fall gilt also genau: Cu ≤ C(u1, u2) ≤ Co.
•
Für höhere Dimensionen sind die Schranken ähnlich zu interpretieren,
aber die untere Schranke ist keine Copula mehr.
•
Komonotonie ist eine sehr viel allgemeinere Definition von
Abhängigkeit als die lineare Korrelation. Sie erfasst nicht nur lineare
sondern jede Form von (perfekter) Abhängigkeit.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 38
3.2.2 Rangkorrelation
Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung
zwischen Zufallsvariablen
Lineare
Korrelation
Komonotonie
Rangkorrelation
Tail
Abhängigkeit
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Konkordanz
Seite 39
3.2.2 Rangkorrelation
Definition 3.11: Seien X und Y Zufallsvariablen mit den Randverteilungen F1
und F2 sowie F ihre gemeinsame Verteilungsfunktion. Der Spearmansche
Rangkorrelationskoeffizient von X und Y ergibt sich als:
ρS(X,Y) = ρ(F1(X),F2(Y)) ,
wobei ρ den linearen Korrelationskoeffizienten bezeichnet.
Definition 3.12: Seien (X1,Y1)‘ und (X2,Y2)‘ zwei unabhängige Paare von
Zufallsvariablen und F ihre gemeinsame Verteilungsfunktion. Der Kendallsche
Rangkorrelationskoeffizient von X und Y ergibt sich als:
ρτ(X,Y) = P((X1 – X2)(Y1 – Y2) > 0) – P((X1 – X2)(Y1 – Y2) < 0) .
Sowohl der Spearmansche, als auch der Kendallsche
Rangkorrelationskoeffizient messen den Grad monotoner Abhängigkeit.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 40
3.2.2 Rangkorrelation
Satz 3.3: Seien X und Y Zufallsvariablen
mit den Randverteilungen F1 und F2 ,
gemeinsamer Verteilungsfunktion F sowie
Copula C. Dann gilt:
1. ρS(X,Y) = ρS(Y,X) und ρτ(X,Y) = ρτ(Y,X)
2. X und Y unabhängig ρS(X,Y) = ρτ(X,Y) = 0
3. -1 ≤ ρS(X,Y) , ρτ(X,Y) ≤ +1
1
4. S ( X , Y )  12   (C ( x, y )  x  y ) dxdy
0
1
5. S ( X , Y )  4   C (u , v ) dC (u , v)  1
0
6. ρS und ρτ sind invariant unter streng
monotonen Transformationen T : →
:
 ( X , Y ), falls T steigend

 (T ( X ),Y )  
 S ,  
  ( X , Y ), falls T fallend

1. , 2. und 3. sind vom linearen
Korrelationskoeffizienten bekannt.
Die übrigen Punkte werden vom linearen
Korrelationskoeffizienten nicht erfüllt.
Größter Vorteil der Rangkorrelation
gegenüber linearer Korrelation:
Rangkorrelationskoeffizienten
hängen nur von der Copula ab (4.
und 5.)  sie sind invariant unter
streng monotonen Transformationen.
Größter Nachteil der Rangkorrelation
gegenüber linearer Korrelation:
Keine momentbasierte Korrelation.
7. ρS(X,Y) = ρτ(X,Y) = 1 ⇔ C = Co
8. ρS(X,Y) = ρτ(X,Y) = -1 C = Cu
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 41
3.2.3 Tail Abhängigkeit
Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung
zwischen Zufallsvariablen
Lineare
Korrelation
Komonotonie
Rangkorrelation
Tail
Abhängigkeit
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Konkordanz
Seite 42
3.2.3 Tail Abhängigkeit
Wichtige Fragestellung im Risikomanagement: Wahrscheinlichkeit für das
gleichzeitige Eintreten mehrerer extremer Ereignisse angeben.
Tail Abhängigkeit: Maßzahl für die Abhängigkeit von extremen Ereignissen,
also in den Randbereichen einer Verteilung:
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 43
3.2.3.1 Definition der Tail Abhängigkeit
Frage: „Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Risiko X höchstens zu einem
Verlust von a führt, unter der Bedingung, dass Risiko Y höchstens einen Verlust von b
erleidet?“
P ( X  a | Y  b) 
Also:
P( X  a, Y  b)
.
P (Y  b)
Bei bekannter Copula C kann nach dem Satz von Sklar eine gemeinsame Verteilungsfunktion F gefunden werden, die F1 bzw. F2 als Randverteilungen hat:
C ( F1 (a ), F2 (b))
P ( X  a | Y  b) 
.
F2 (b)
O.B.d.A. treten die Ereignisse X ≤ a und Y ≤ b mit derselben Wahrscheinlichkeit α ein,
also:
  P( X  a)  F1 ( a ) und   P(Y  b)  F2 (b).
Und wegen der Stetigkeit der Randverteilungen gilt:
a  F1 1 ( ) und b  F21 ( ).
Es gilt also:
C ( F1 ( F11 ( )), F2 ( F21 ( ))) C ( ,  )
P ( X  a | Y  b) 

.
1
F2 ( F2 ( ))

-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 44
3.2.3.1 Definition der Tail Abhängigkeit
Eine zweite interessante Frage lautet: „Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit,
dass Risiko X einen sehr hohen Verlust erleidet (X > a), unter der Bedingung, dass auch
Risiko Y einen sehr hohen Verlust verursacht hat (Y > b)?“ Also:
P ( X  a | Y  b) 
P ( X  a, Y  b) 1  P ( X  a )  P (Y  b)  P ( X  a, Y  b)

.
P(Y  b)
1  P(Y  b)
Äquivalent zu oben:
  P( X  a )  F1 (a ) und   P(Y  b)  F2 (b).
Sowie aufgrund der Stetigkeit der Randverteilungen:
a  F1 1 ( ) und b  F21 ( ).
Damit folgt in Copula-Schreibweise:
1  P ( X  a ) P(Y  b) P( X  a, Y  b)
P ( X  a | Y  b) 


 C ( , )
1  P(Y  b)
.

-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 45
3.2.3.1 Definition der Tail Abhängigkeit
Definition 3.13 und Definition 3.14: Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen. Bei
bekannter Copula C ergeben sich der untere Tail-Abhängigkeitskoeffizient λL bzw. der
obere Tail-Abhängigkeitskoeffizient λU als:
C ( ,  )
1  2  C ( ,  )
und U  lim
 0
 1

1
wenn der Grenzwert existiert und λL , λU Є [0,1] ist.
L  lim

λL = 0: asymptotische Unabhängigkeit im unteren Tail.

λU = 0: asymptotische Unabhängigkeit im oberen Tail.

λL Є (0,1]: Abhängigkeit im unteren Tail.

λU Є (0,1]: Abhängigkeit im oberen Tail.

Je größer λL (bzw. λU) ist, desto größer ist die Abhängigkeit im unteren (bzw.
oberen) Tail.

Die Tail Abhängigkeit ist invariant unter streng monoton steigenden
Transformationen.

Abhängigkeiten in den Tails werden durch unterschiedliche Copulas
unterschiedlich modelliert.  Bei Auswahl eines Copula-Modells wichtig.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 46
3.2.4 Konkordanz
Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung
zwischen Zufallsvariablen
Lineare
Korrelation
Komonotonie
Rangkorrelation
Tail
Abhängigkeit
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Konkordanz
Seite 47
3.2.4 Konkordanz
Hier: Nicht Stärke der Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen X und Y messen
sondern feststellen, ob die Abhängigkeit zwischen positiv ihnen (Konkordanz)
oder negativ (Diskordanz) ist.
Zentrale Frage: „Wie ist positive (bzw. negative) Abhängigkeit definiert?“
1. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann
positiv, wenn ρ(X,Y) > 0 (oder ρS(X,Y) > 0 bzw. ρτ(X,Y) > 0) ist.
In der Regel wird positive Abhängigkeit jedoch anders definiert!
2. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann
positiv, wenn X und Y positiv quadrant abhängig (PQA) sind.
3. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann
positiv, wenn X und Y positiv assoziiert (PA) sind.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 48
3.2.4 Konkordanz
Definition 3.15: Zwei Zufallsvariablen X und Y werden positiv quadrant abhängig (PQA)
genannt, wenn für alle x,y Є gilt:
P(X ≤ x , Y ≤ y) ≥ P(X ≤ x) ∙ P(Y ≤ y).
• Positive quadrant Abhängigkeit ist geeignet um positive Abhängigkeit zwischen X und Y
auszudrücken, da X und Y mit höherer Wahrscheinlichkeit beide große
(bzw. kleine) Werte annehmen als im Falle der Unabhängigkeit zwischen X und Y.
• Wird die Ungleichung in Definition 3.15 umgekehrt, spricht man von negativ
quadrant abhängigen Zufallsvariablen.
Definition 3.16: Zwei Zufallsvariablen X und Y werden positiv assoziiert (PA) genannt,
wenn für alle reellwertigen, messbaren Funktionen g1 und g2 , die monoton steigend in
beiden Komponenten sind und für die die nachfolgenden Erwartungswerte definiert
sind, gilt:
E(g1(X,Y) ∙ g2(X,Y)) ≥ E(g1(X,Y)) ∙ E(g2(X,Y)).
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 49
3.2.4 Konkordanz
 Die obige Definition für (PA) ist äquivalent zu: Cov( g1((X,Y) , g2((X,Y) ) ≥ 0.
Daran wird deutlich, warum die Positive Assoziation ein geeignetes
Konzept ist, um positive Abhängigkeit zwischen X und Y zu beschreiben.
 Wird die Ungleichung in Definition 3.16 umgekehrt, spricht man von
negativ assoziierten Zufallsvariablen.
 (PQA) und (PA) sind invariant unter streng monoton steigenden
Transformationen.
 (PQA) und (PA) sind stärkere Abhängigkeitsbedingungen als die drei
bekannten Korrelationskoeffizienten. Folgende Darstellung verdeutlicht
dies und zeigt gleichzeitig, dass Komonotonie die stärkste Form von
Konkordanz also positiver Abhängigkeit ist:
Komonotonie
(PA)
(PQA)
ρ(X,Y) ≥ 0 , ρS(X,Y) ≥ 0 , ρτ(X,Y) ≥ 0
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 50
4. Irrtümer bzgl. Korrelation und
Abhängigkeit
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 51
4.1 Irrtum 1
„Die gemeinsame Verteilungsfunktion F kann mithilfe der
Randverteilungen F1 und F2 und der Korrelation zwischen den
Zufallsvariablen X und Y bestimmt werden.“
Die Aussage gilt für elliptische Verteilungen. Im Allgemeinen jedoch nicht!
Gegenbeispiel:
Betrachte zwei verschiedene gemeinsame Verteilungen mit Gamma(3,1)Randverteilungen und derselben Korrelation ρ = 0,7. Dies ist sowohl mit der
Gauß- als auch mit der Gumbel-Copula konstruierbar.
FGa ( x, y )  C Ga (G3,1 ( x), G3,1 ( y )) und FGu ( x, y )  CGu (G3,1 ( x), G3,1 ( y ))
mit   0,71 und   0,54.
Während die Gauß-Copula keine Tail-Abhängigkeiten aufweist, ist die GumbelCopula für θ < 1 asymptotisch abhängig.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 52
4.1 Irrtum 1
Um dies zu verdeutlichen betrachte für beide Modelle:
P(X > u | Y > u), mit u = VaR0,99(X) = VaR0,99(Y) = G3,1-1(0,99).
Empirische Schätzungen liefern:
PF (X > u | Y > u) = 1/3 und PF (X > u | Y > u) = 3/4
Ga
Gu
Gumbel-Modell: gemeinsame extrem hohe Verluste sind wahrscheinlicher als
im Gauß-Modell.  weniger Diversifikation!
Analytische Aussage über den VaR der Summe X + Y unter den beiden Modellen
zu treffen ist schwierig. Aber Simulationen belegen, dass das Gumbel-Modell
eine höhere Anzahl an großen Resultaten für den VaR liefert.
 Entscheidender Unterschied der Modelle bei Einschätzung extremer Verluste
(der sich in den Randverteilungen und der Korrelation nicht bemerkbar macht).
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 53
4.2 Irrtum 2
“Seien F1 und F2 gegeben. Die lineare Korrelation zwischen X und Y
kann – bei einer geeigneten Spezifikation von F – alle Korrelationen
zwischen -1 und 1 annehmen.”
Diese Aussage ist falsch!
Gegenbeispiel:
• Betrachte: X ~ LN(0,1) und Y ~ LN(0,σ²), mit σ > 0.
• Was ist der minimale (ρmin) bzw. maximale (ρmax) Wert, den die
Korrelation bei diesen Randverteilungen annehmen kann?
• Da ρmin = ρ(eZ,e –σZ ) und ρmax = ρ(eZ,eσZ), mit Z ~ N(0,1) gilt, ist eine
analytische Lösung möglich:
 min 
e   1
(e  1)  (e
2
 1)
und  max 
e  1
(e  1)  (e
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
2
 1)
Seite 54
4.2 Irrtum 2
•
•
•
Bei diesem Beispiel werden nicht alle Werte zwischen -1 und +1 angenommen.
lim  min  lim  max  0
 
 
Zusätzliches Problem: X und Y sind in diesem Beispiel komonoton (bzw.
kontramonoton), aber für σ → ∞ ist die lineare Korrelation sehr nahe bei 0.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 55
4.3 Irrtum 3
“Der Value-at-Risk eines linearen Portfolios X + Y wird am größten,
wenn ρ(X,Y) maximal ist, also wenn X und Y komonoton sind.“
Wir wissen:
1. Für zwei komonotone Zufallsvariablen X und Y gilt:
VaRα(X + Y) = VaRα(X) + VaRα(Y).
2. Für elliptische Verteilungen erfüllt der VaR die Subadditiätseigenschaft, also
VaRα(X + Y) ≤ VaRα(X) + VaRα(Y).
3. Für nicht-elliptische Verteilungen erfüllt der VaR die
Subadditiätseigenschaft nicht, d.h. es existieren X und Y, s.d.
VaRα(X + Y) > VaRα(X) + VaRα(Y).
Die obige Aussage gilt also i.A. nicht, für elliptische Verteilungen ist sie jedoch
korrekt.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 56
4.3 Irrtum 3
Beispiel, bei dem sich der Value-at-Risk sehr interessant verhält:
•
Betrachte zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y mit derselben Verteilung:
F1/2 = 1 – x -1/2, mit x ≥ 1.
•
•
•
Hierbei handelt es sich um eine extreme heavy-tailed Verteilung ohne endlichen
Mittelwert.
Betrachte nun die beiden Risiken: X + Y (unabhängig) sowie 2X (komomoton).
Es lässt sich abschätzen, dass für z > 2 gilt:
P( X  Y  z )  1 
2  z 1
 P (2 X  z )
z
•
Damit folgt: VaRα(X + Y) > VaRα(2X) = VaRα(X) + VaRα(Y).
•
Hier: aus Sicht des VaR Unabhängigkeit schlechter als perfekte positive
Abhängigkeit - ganz unabhängig von der Wahl von α.
 keinerlei Diversifikationseffekt, sondern es ist sogar besser zwei „gleiche“
Risiken einzugehen.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 57
5. Fazit
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 58
5. Fazit
•
Überblick über verschiedene Möglichkeiten zur Modellierung von
Abhängigkeiten zwischen Zufallsvariablen.
•
Lineare Korrelation: Lediglich für elliptische Verteilungen gut geeignet.
•
Alternative Abhängigkeitsmaße: Falls keine elliptische Verteilung vorliegt.
Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung
zwischen Zufallsvariablen
Lineare
Korrelation
Komonotonie
Rangkorrelation
Tail
Abhängigkeit
Konkordanz
Drei klassische Irrtümer bzgl. Korrelation und Abhängigkeit: mit der intuitiven
Gleichsetzung der Begriffe Abhängigkeit und Korrelation gehen einige Irrtümer einher
 besonders bei nicht-elliptischen Verteilungen ist Vorsicht geboten.
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 59
Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit!
-Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer-
Seite 60