Tutorium Induktive Statistik

Tutorium Induktive Statistik
Aufgabe 1:
Aufgabensammlung Aufgabe 2.1
Aufgabe 2:
Aufgabensammlung Aufgabe 2.2
Aufgabe 3:
Der Kunstspringer K macht sich Sorgen, ob er mit seinem doppelten Auerbach-Salto,
den er demnächst bei der Deutschen Meisterschaft vollführen will, gerecht beurteilt
wird. Er fordert deshalb, daß die Kampfrichter in Zukunft keine Punkte mehr
vergeben sollen, sondern eine Rangordnung aller Springer durch Paarvergleich
(Vergleich jedes Springers mit jedem anderen) aufstellen sollten.
a) Wieviele mögliche Rangordnungen kann man bei n Springern aufstellen?
b) Wieviele Paarvergleiche sind hierzu erforderlich?
c) Bei wievielen möglichen Rangordnungen wäre K dann immer
1. auf demselben Rangplatz
2. auf Platz 2?
d) Es mögen cn statt n Teilnehmer antreten. Man zeige, daß dadurch die Anzahl
der Paarvergleiche um mehr als das c²-fache ansteigt (c>1).
Aufgabe 4:
Hausfrau H hat in ihrem Keller 6 Schädlinge: Ameisen (A), Spinnen (S), Mäuse (M),
Wanzen (W), Ratten (R) und Kakerlaken (K). Diesen möchte Sie jetzt mit
Schädlingsbekämpfungsmitteln zu Leibe rücken.
a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, daß ein Mittel
1. genau zwei
2. mindestens zwei Schädlinge vernichtet?
b) Das Mittel soll mindestens zwei Arten vernichten. Da sich H vor Spinnen besonders ekelt, müssen diese auf jeden Fall dabei sein.
c) H hat ihre Liebe zu Mäusen entdeckt. Darum müssen diese verschont bleiben.
Aufgabe 5:
Aufgabensammlung Aufgabe 2.8
Aufgabe 6:
Stelle die folgenden Aussagen über Ereignisse in Venn-Diagrammen und Mengenschreibweisen dar.
a) Die Ereignisse A und B schließen sich aus (sind unvereinbar).
b) B ereignet sich (mindestens) dann, wenn sich A ereignet.
c) B ereignet sich (höchstens) nur dann, wenn sich A ereignet.
d) C ereignet sich (höchstens) nur dann, wenn sich sowohl A als auch B ereignen.
e) C ereignet sich dann und nur dann, wenn sich zwar A aber nicht B ereignet.
Aufgabe 7:
Als Grundgesamtheit betrachten wir die Beteiligten an der Statistik-Lehrveranstaltung: Die Studenten (S), die Lehrenden (T), die Lustlosen (L) und die Freundlichen (F). Veranschauliche die folgenden Aussagen in Venn-Diagrammen und formuliere sie umgangssprachlich.
a) Aus einer Boulevardzeitung: S Ç L = Æ
(
b) Etwas Nettes über die Lehrenden: T Ì F Ç L
(
)
)
c) Die Aussage einer Sekretärin: (S È T ) Ç L Ì F
Aufgabe 8:
Jemand bewirbt sich bei zwei Firmen A und B. Die Wahrscheinlichkeit der Annahme
seiner Bewerbung schätzt er bei Firma A mit 0,5 und bei Firma B mit 0,6 ein.
Weiterhin rechnet er mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 von beiden Firmen
angenommen zu werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von einer der Firmen
genommen zu werden?
Aufgabe 9:
Ein Experiment bestehe aus dem zufälligen Ziehen einer der folgenden Karten:
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
Betrachte die Ereignisse:
A: an erster Stelle steht eine 0
B: an zweiter Stelle steht eine 0
C: an dritter Stelle steht eine 0
Zeige, daß die Ereignisse A,B und C paarweise unabhängig sind, insgesamt jedoch
nicht.
Aufgabe 10:
Welche der folgenden Aussagen sind stets richtig?
a) 1 - P( A È B ) = -1 + P( A ) + P(B) + P( A Ç B )
b) 1 - P( A ) - P( B ) = P( A ) + P(B) + 1
c) P(A|B) = P(A)
Aufgabe 11:
Eine Angestellte fährt mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur Arbeit. Sie muß einmal von
einem Bus in einen anderen umsteigen. Aufgrund langjähriger Erfahrung weiß sie
-
mit der Wkt. 0,9 erreicht sie den ersten Bus
-
die Chance, beim zweiten Bus nicht warten zu müssen, ist 0,75
-
in nur sieben von 100 Fällen muß sie bei beiden Bussen warten
Wie groß ist die Chance,
a) beim zweiten Bus nicht warten zu müssen, wenn sie den ersten erwischt hat?
b) genau an einer Haltestelle warten zu müssen?
c) an mindestens einer Haltestelle warten zu müssen?
Aufgabe 12:
Die Kundendienstniederlassung eines Herstellers für Haushaltsgeräte beschäftigt
drei Mitarbeiter im Außendienst, von denen der erste nur halbtags arbeitet.
Der erste Mitarbeiter kommt in 90% der Fälle mit einem einzigen Kundenbesuch aus,
während das bei den beiden anderen nur in 80% bzw. 75% der Fälle gelingt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Reperatur mit einer einzigen Fahrt
zum Kunden erledigt ist?
b) Sind die Ereignisse "der i-te Mitarbeiter erscheint" und "eine einzige Reperatur"
paarweise stochastisch unabhängig?
Aufgabe 13:
Am Anfang seines Studiums glaubt ein Student, daß er es mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,7 erfolgreich beenden wird. Mit erfolgreichem Studium
beträgt die Wahrscheinlichkeit, die gewünschte Position zu erhalten 0,8, ohne
Abschluß nur 0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Student die Position
erhalten wird? Zeichne das entsprechende Baumdiagramm.
Aufgabe 14:
Drei Mädchen Alice, Betty und Charlotte waschen das Geschirr der Familie ab. Da
Alice die Älteste der drei ist, muß sie in 40% aller Fälle das Geschirr abwaschen. Die
anderen sind in jeweils 30% der Fälle an der Reihe. Die Wahrscheinlichkeit, daß
beim Abwasch ein Stück zu Bruch geht, beträgt bei Alice und Charlotte 0,02 und bei
Betty 0,03. Die Eltern, die nicht wissen, wer das Geschirr abwäscht, hören, daß in
der Küche etwas zu Bruch gegangen ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
das Mißgeschick a) Alice b) Betty und c) Charlotte passiert ist?
Aufgabe 15:
Die Anzahl der in einer Reparaturwerkstatt pro Stunde abgefertigten Personenwagen
X besitzt folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
X
0
1
2
P(X=x)
0,5
0,3
0,2
a) Wie groß ist die erwartete Anzahl der pro Stunde reparierten Autos?
b) Wie groß ist die Varianz?
Aufgabe 16:
Gegeben sei die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X:
ì- 0,006 x 2 + 0,06 x für 0 £ x £ 1
f ( X) = í
0
sonst
î
Berechne den Erwartungswert und die Varianz.
Aufgabe 17:
Es sei die folgende Funktion f(x) gegeben
ì2x für 0 £ x £ 1
f ( X) = í
sonst
î0
a) Zeige, daß f(x) eine Dichte sein kann.
b) Bestimme die Verteilungsfunktion.
c) Stelle Dichte und Verteilungsfunktion graphisch dar.
d) Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten
P(0,2 £ X £ 0,6)
P(X > 0,7)
Aufgabe 18:
In einer Urne sind jeweils k Kugeln mit der Zahl k (k=1,2,3,4,5). Betrachte das
Zufallsexperiment "Ziehen einer Kugel" und als Zufallsvariable X die Zahl auf der
Kugel.
a) Bestimme Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion (graphische Darstellung).
b) Berechne E(X) und Var(X).
c) Wie groß ist P(X=3), P(X£3), P(X<3), P(X>0) und P(X³4).
Aufgabe 19:
Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
ìax für 0 £ x £ 1
f ( x) = í
sonst
î0
a) Bestimme die Konstante a.
b) Berechne die Verteilungsfunktion.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X Werte größer 0,5 an?
d) Für welche Zahl c nimmt X mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 Werte an, die größer
als c sind?
Aufgabe 20:
Für den Preis X einer Ware in DM soll folgende Dichte gelten
ì- 2h + 2hx
ïh
ï
f ( x) = í
ï7h - 2hx
ïî0
für 1 £ x £ 1,5
für 1,5 < x £ 3
für 3 < x £ 3,5
sonst
a) Berechne h und die Verteilungsfunktion.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Preis
-
2 DM beträgt?
-
2 DM überschreitet?
-
höchstens 1 DM beträgt?
-
zwischen 2 und 3 DM liegt?
Aufgabe 21:
Der TÜV schätzt, daß ein PKW mit dem Alter Y
Wahrscheinlichkeiten X Beanstandungen aufweist.
mit
den
folgenden
X\Y
2
4
6
0
0,25
0,2
0,125
1
0,025
0,1
0,1
2
0,025
0,075
0,05
3
0
0,025
0,025
Berechne:
a) die Randverteilungen
b) die bedingte Verteilung f(x|4)
c) E(X), E(Y), Var(X), Var(Y)
d) E(X|4), Var(X|4)
e) Cov(X,Y), jxy
Aufgabe 22:
Gegeben sei die folgende Funktion
ìxy + c für 0 £ x, y £ 1
f ( x, y ) = í
sonst
î0
a) Bestimme c so, daß f(x,y) eine Dichte ist.
b) Bestimme die Randdichten.
c) Bestimme die Dichte für X unter der Bedingung Y=y.
d) Berechne E(X), E(Y), E(X²), E(Y²), E(XY)
e) Berechne die Varianzen von X und Y und die Kovarianz.
f) Sind X und Y unabhängig?
Aufgabe 23:
Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion
X\Y
-4
0
2
4
1/8
1/4
1/8
5
3/16
1/16
1/4
Zeige, daß X und Y voneinander stochastisch abhängig, aber nicht korreliert sind.
Aufgabe 24:
Wegen seiner unsanften Art kommt der kräftig gebaute Soldat S bei Frauen nicht
sonderlich gut an. Es sei x=1 Erfolg und x=0 Mißerfolg. Die Variable X besitzt eine
Varianz von 9%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß S Erfolg hat?
Aufgabe 25:
Ein Testbogen setzt sich aus 8 Fragen zusammen. Zu jeder Frage sind 5
Antwortalternativen gegeben, von denen genau eine richtig ist. Angenommen der
Prüfling versucht die richtigen Antworten zu raten, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) den Test zu bestehen, wenn dabei mehr als die Hälfte der Fragen richtig
beantwortet werden muß?
b) genau zwei richtige Antworten zu haben?
c) mehr als zwei richtige Antworten zu haben?
d) mindestens zwei richtige Antworten zu haben?
e) höchstens zwei richtige Antworten zu haben?
f)
weniger als zwei richtige Antworten zu haben?
Aufgabe 26:
Rudi ist begeisterter Tierfotograf. Jeden Sonntagmorgen steht er um 5 Uhr auf um im
Wald Vögel zu fotografieren. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit bei einem
Waldspaziergang ein besonders seltenes (und daher besonders begehrtes) Objekt
vor die Linse zu bekommen 0,2.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet er an fünf Tagen überhaupt kein seltenes
Exemplar?
b) Wie groß ist die Chance, höchstens viermal umsonst aufgestanden zu sein und
dann am fünften Sonntag Erfolg zu haben?
Aufgabe 27:
An einem 100 m Lauf nehmen 20 Schüler teil. Darunter sind 12 Mädchen und 8
Jungen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die ersten drei Plätze nur von Mädchen
belegt werden?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei Plätze von Kindern
unterschiedlichen Geschlechts belegt werden?
Aufgabe 28: (Fortsetzung von Aufgabe 26)
Zu Rudis blankem Entsetzen hat die Forstverwaltung "seines" Waldstücks einen
Wettbewerb "Vögel vor der Linse" ausgeschrieben. Daher treiben sich eine ganze
Menge Menschen im Wald herum. Die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein Vogel zeigt
ist deshalb stark gesunken. Es ist zu erwarten, daß nur 5 Fotojäger ein lohnendes
Objekt vor die Kamera bekommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
mindestens 10 der Hobbyfotographen einen guten Schnappschuß schaffen?
Aufgabe 29:
Beim Einwohnermeldeamt finden sich täglich durchschnittlich 5 Personen ein, die
aus der Stadt wegziehen wollen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich
a) genau drei
b) weniger als fünf
c) mehr als zehn
Personen abmelden wollen
Aufgabe 30:
Der Feingoldgehalt eines Goldbarren soll im Mittel 990 g betragen. Aus
verschiedenen Gründen ist dieser Wert jedoch nicht immer erreichbar. Man kann
jedoch davon ausgehen, daß der Feingoldgehalt hinreichend genau normalverteilt
mit der Standardabweichung 1,5 g ist.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Barren mindestens 987,75 g
Feingold enthält?
b) Wie groß ist die Chance, daß ein Kunde, der 10 Barren kauft, mehr als 9,91 kg
Feingold erwirbt?
Aufgabe 31:
Auf einer Maschine wird mit einem Ausschußanteil von 10% produziert. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, daß bei einer Produktionsserie von 120 Stück höchstens 14
Ausschußstücke dabei sind?
Aufgabe 32:
Unter den 500 Studenten eines Fachbereichs finanzieren 150 ihr Studium selber.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß unter 50 zufällig ausgesuchten Studenten
höchstens 19 zu dieser Gruppe zählen?
Aufgabe 33:
An einem Bankschalter sei die Zahl der pro Viertelstunde eintreffenden Kunden
poissonverteilt mit µ=10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 15
Kunden kommen?
Aufgabe 34:
Die Lebensdauer einer Batterie beträgt im Schnitt 150 Stunden. Dabei ist mit einer
Standardabweichung von 10 Stunden zu rechnen. Mit welcher
Mindestwahrscheinlichkeit hält eine gekaufte Batterie nicht weniger als 130 Stunden,
aber auch nicht mehr als 170 Stunden?
Aufgabe 35:
Die Armee eine Landes zieht nur solche Männer ein, die mindestens 160 cm aber
höchstens 200 cm groß sind. Aus statistischen Untersuchungen ist bekannt, daß die
Männer des Landes im Schnitt 180 cm groß sind (Varianz: 25 cm²). Wenn tausend
Männer gemustert werden, lassen sich dann Aussagen über die Zahl der Männer
machen, die nicht eingezogen werden?
Aufgabe 36:
Um den beim Einkaufen in einem Lebensmittelgeschäft zu zahlenden Endbetrag
wenigstens überschlagsmäßig vorher zu bestimmen, summiert eine Kundin die
jeweils auf zehn Pfennig gerundeten Einzelbeträge. Wie groß ist die Chance, daß die
so ermittelte Gesamtsumme bei 40 Einzelposten nicht mehr als 50 Pfennig vom
tatsächlichen Betrag abweicht? Dabei soll folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung
verwendet werden:
wahrer Preis
4
3
2
1
0
9
8
7
6
5
Fehler
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Wkt.
0,02
0,01
0,01
0
0,16
0,6
0,05
0,02
0,01
0,12
Aufgabe 37:
Die von einem Unternehmen hergestellten Glühlampen besitzen eine
durchschnittliche Lebensdauer von 800 Stunden (s = 60 Stunden). Bestimme die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine aus der Produktion gezogene Stichprobe ("mit
Zurücklegen") vom Umfang n = 36 eine durchschnittliche Lebensdauer von weniger
als 775 Stunden liefert.
Aufgabe 38:
Bei der Untersuchung von 300 Rechnungen eines Einzelhandelsgeschäftes ergab
sich ein durchschnittlicher Rechnungsbetrag von 15,30 DM bei einer Streuung von s
= 4,10 DM. Daraus wird eine Stichprobe im Umfang n=36 "ohne Zurücklegen"
entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der durchschnittliche
Rechnungsbetrag der Stichprobe zwischen 14 und 16 DM liegt?
Aufgabe 39:
Aus einer Stichprobe X1, ..., Xn mit E(X i ) = m und V (X i ) = s 2 wurden folgende
Schätzer für den Mittelwert m einer Grundgesamtheit entwickelt. Welche dieser
Schätzfunktionen sind erwartungstreu? Welche sind konsistent?
i) x
v)
iii) x + 0,0001
ii) x1
1 n-1
å xi
n - 1 i=1
vi) x +
iv)
n -1
x
n
1000
n
Aufgabe 40:
Die Ökonomen Dr. Utility und Dr. Surplus haben zwei verschiedene (und statistisch
unabhängige) Schätzungen X U und XS für das durchschnittliche Einkommen µ von
Unterschichtfamilien in den USA entwickelt. Beide Schätzungen sind unverzerrt,
jedoch hat Dr. Surplus sorgfältiger gearbeitet. Die Standardabweichung seiner
Schätzung beträgt nur ein Fünftel der anderen. Eine Gruppe von Statistikern hat 4
Vorschläge erarbeitet, um X U und XS zu einer gemeinsamen Schätzung zu verbinden
ii) mˆ 2 =
i) mˆ 1 = X S
iii) mˆ 3 =
1
4
XU + X S
5
5
iv) mˆ 4 =
(
1
XU + XS
2
)
1
5
XU + XS
6
6
a) Ordne die vier Vorschläge nach wachsender Effizienz.
b) Finde die effizienteste Linearkombination.
Aufgabe 41:
Als Autoren eines neu aufgefundenen antiken Textes werden drei Brüder in Betracht
gezogen: Theta der Ältere, Theta der Mittlere und Theta der Jüngere, kurz q = 1,2,3
genannt. Es ist bekannt, daß bei ihnen ein bestimmtes Wort mit unterschiedlicher
Wahrscheinlichkeit in einem Text auftaucht. Die Verteilungen der Anzahl X, mit der
das Wort pro Abschnitt verwendet wird, sind dabei
q
x
1
2
3
0
1/3
3/5
11/15
1
1/3
3/10
1/5
2
1/3
1/10
1/15
Bei vier Abschnitten des gefundenen Textes erhielt man die folgenden Anzahlen:
0, 2, 0, 1.
Aufgrund dieser Beobachtungen soll der Text mit Hilfe der ML-Methode einem Autor
zugeordnet werden.
Aufgabe 42:
Ein deutscher Tourist besucht in Südchina ein Autorennen, das auf einer Sandbahn
stattfindet. (Es hat seit Monaten nicht mehr geregnet!!!!). Leider kommt er zu spät
und verpaßt den Start. Er möchte nun gerne wissen, wieviele Wagen an dem
Rennen teilnehmen. Wegen der Staubentwicklung kann er nichts erkennen bis auf
die Wagen mit den Nummern 1 und 4, die kurz aus dem Staub auftauchen. Wenn
man davon ausgeht, daß die Wagen von 1 bis N fortlaufend durchnummeriert sind
und daß die Wahrscheinlichkeit, daß ein Wagen zu erkennen ist, bei allen gleich ist,
wie lautet dann eine ML-Schätzung für N?
Aufgabe 43:
Der mißratene Sohn eines Altphilologen will nicht Lateinlehrer wie sein Vater werden,
sondern Statistiker. Deshalb versetzt er nach jedem Weihnachtsfest die lateinischen
Klassiker, die er geschenkt bekommen hat, um sich dafür Statistikbücher zu kaufen.
In den letzten 9 Jahren bekam er im Durchschnitt 200 DM für die versetzten
Klassiker.
a) Wenn man annimmt, daß der Wert der Klassiker normalverteilt ist mit s = 45 DM,
wie lautet dann das 95%-Konfidenzintervall für µ?
b) In diesem Jahr will er sich die "Encyclopedia of Statistical Science" kaufen, die
220 DM kostet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er das Geld aufbringt,
wenn man den ungünstigsten unter a) errechneten Fall annimmt?
Aufgabe 44:
Von den 60.000 Besuchern einer Sportveranstaltung wurden 196 zufällig
ausgewählte Personen nach dem Wohnort gefragt. Wie groß ist ein 95,45%Konfidenzintervall für den Anteil der Einheimischen bei dieser Veranstaltung, wenn
unter den Befragten 49 Einheimische waren?
Aufgabe 45:
50 zufällig ausgewählte PKW des gleichen Typs wurden mit der gleichen
Kraftstoffmenge ausgestattet. Damit legten sie im Schnitt 50 km zurück (s=7).
a) Bestimme ein 95%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Kilometerleistung
µ dieses PKW-Typs.
b) Wie würde sich das Ergebnis von a) ändern, wenn nur 25 PKW gestestet worden
wären?
Aufgabe 46: (Ergänzung zu Aufgabe 43)
Wie ändert sich das unter a) berechnete Konfidenzintervall, wenn s nicht bekannt ist,
sondern durch die empirische Standardabweichung s=45 geschätzt werden muß?
Aufgabe 47:
Das Durchschnittsgewicht von Masthähnchen lag in der Vergangenheit bei 492,5
Gramm (Standardabweichung: 18,9 g). Nach Übergang zu einem neuen Futtermittel
liefert eine Stichprobe im Umfang n=81 ein Durchschnittsergebnis von 496,3 Gramm.
Kann man aufgrund dieses Stichprobenergebnisses schließen, daß sich das
Durchschnittsgewicht in der Grundgesamtheit verändert hat, unter der Annahme
einer gleichbleibenden Standardabweichung (Signifikanzniveau a=0,05)?
Aufgabe 48:
Ein Schiffsmotorenhersteller behauptet, daß seine Maschinen höchstens 29,5 Liter
Brennstoff pro Betriebsstunde verbrauchen. Eine Stichprobe im Umfang n=10 liefert
einen durchschnittlichen Verbrauch von 31 l bei einer Standardabweichung von
s=3,16 l. Kann damit die Behauptung des Herstellers als widerlegt angesehen
werden, wenn man voraussetzt, daß der Brennstoffverbrauch normalverteilt ist
(a=0,05)?
Aufgabe 49:
Eine Maschine stellt Plättchen her, deren Dicke normalverteilt ist mit dem Sollwert
0,25 cm. Eine Stichprobe mit 16 Plättchen liefert eine durchschnittliche Dicke von
0,253 cm bei einer Standardabweichung von 0,003 cm. Die Hypothese, daß die
Maschine noch exakt arbeitet, ist auf einem Niveau von 95% zu prüfen.
Aufgabe 50:
Die Verkehrsgesellschaft einer Stadt behauptet, 95% ihrer Fahrten verliefen ohne
Verspätung. Nach mehreren in der örtlichen Presse veröffentlichten
Gegendarstellungen versucht eine Statistikerin eine Ehrenrettung der VG mit Hilfe
eines statistischen Tests zum Niveau a=0,05. Sie hat bei 400 Fahrten 12
Verspätungen registriert.
Aufgabe 51:
Ein Weinhändler verkauft Flaschen mit einem Inhalt von 100 ccm. Ein Statistiker, der
dem Rebensaft sehr positiv gegenübersteht, glaubt, daß die Flaschen dieses
Händlers immer viel schneller leer sind als andere. Er weiß, daß die Abfüllanlage mit
einer Standardabweichung von 3 ccm arbeitet. Gelingt es ihm, den Weinhändler
dahingehend zu überführen, daß seine Flaschen nicht voll genug sind, wenn eine
Stichprobe folgende Abfüllmengen ergeben hat (a=0,05):
97, 100, 103, 93, 96, 97, 100, 95, 101
Aufgabe 52:
Zwei Übungsgruppen von Studenten aus 40 bzw. 50 Teilnehmern wurde eine
Klausur gestellt. In der ersten Gruppe wurde eine durchschnittliche Punktzahl von 74
(s1=8) und in der zweiten Gruppe von 78 (s2=7) erreicht. Besteht ein signifikanter
Unterschied im Klausurergebnis (a=0,05)?
Aufgabe 53:
Auf zwei Maschinen wird Tee abgepackt. Eine Stichprobe von Maschine 1 lieferte ein
durchschnittliches Füllgewicht von 130g mit einer Standardabweichung von 2,2 g.
Eine Stichprobe von Maschine 2 ergab ein Füllgewicht von 127 g bei einer Standardabweichung von 1,8 g. Die Stichproben hatten den Umfang 12 und 10. Füllt
Maschine 1 wirklich mehr ab, wenn man davon ausgeht, daß die Füllmenge
normalverteilt bei gleichen Varianzen ist (a=0,01)?
Aufgabe 54:
Messungen der Halbwertszeiten der Umsetzung eines Medikaments in eine
pharmakologisch nicht mehr aktive Substanz ergaben bei zwei Patientengruppen
folgende Werte (in Minuten):
Normalpatienten: 1.02, 1.26, 1.33, 1.39, 1.65, 1.78, 1.93, 2.04, 2.89, 3.47, 3.65, 3.85,
5.33, 13.80
Intrahepatische Cholestase: 0.39, 0.68, 0.69, 0.76, 0.78, 0.81, 0.96, 1.16, 1.20, 1.26,
1.87, 1.98, 3.15, 3.85, 4.33
Besteht ein signifikanter Unterschied (a=0,01)?
Aufgabe 55:
Eine Stichprobe im Umfang n1=400 Haushalten im Vorort A einer Großstadt ergab 39
Haushalte mit einem Jahreseinkommen von über 60.000 DM. Im Vorort B hatten 45
von 300 Haushalten ein Einkommen von über 60.000 DM. Steht dieses Ergebnis im
Widerspruch zu der Hypothese, daß der Anteil der Haushalte mit einem Jahreseinkommen von über 60.000 DM in beiden Stadtteilen gleich ist (a=0,05)?
Aufgabe 56:
Bei einem Vergleich der von Arbeitern einer Schmelzhütte und einer LKWReperaturwerkstatt eingeatmeten Staubpartikeln wurde folgendes ermittelt:
Schmelzhütte (n=139): x = 1.30; ŝ 2x = 1,24²
Rep.-Werkst. (n= 45): y = 1,86; ŝ 2y = 1,58²
Ist auf der Basis eines Signifikanzniveaus von a = 0,05 ein Unterschied zu
erkennen?
Aufgabe 57 (Fortsetzung von Aufgabe 45)
Wie groß müßte der Stichprobenumfang n gewählt werden, wenn bei gleicher
Sicherheitswahrscheinlichkeit das Konfidenzintervall von a) eine Breite von 2 km
aufweisen soll?
Aufgabe 58:
Eine Schlankheitspille, von der angenommen wird, daß sie bei 85% der Frauen und
80% der Männer wirkt, soll an 200 Personen getestet werden. Die Zielgruppe, die mit
dieser Pille angesprochen werden soll, besteht aus 100.000 Personen, von denen
55% Frauen sind. Die Stichprobe soll a) proportional und b) optimal aufgeteilt
werden.