Zurückführung der Aufgabe des Rückwärtseinschneidens auf die

Paper-ID: VGI 192102
Zurückführung der Aufgabe des Rückwärtseinschneidens auf die
Berechnung eines Dreieckes aus zwei Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel
Artur Morpurgo1
1
Graz
Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen 19 (1–2), S. 4–17
1921
BibTEX:
@ARTICLE{Morpurgo_VGI_192102,
Title = {Zur{\"u}ckf{\"u}hrung der Aufgabe des R{\"u}ckw{\"a}rtseinschneidens
auf die Berechnung eines Dreieckes aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen
Winkel},
Author = {Morpurgo, Artur},
Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen},
Pages = {4--17},
Number = {1--2},
Year = {1921},
Volume = {19}
}
4
Zurückführung ber Aufgabe bes Rückwärtseinschneibens
auf bie Berechnung eines Dreieckes aus zwei Seiten unb
bem eingeschlossenen Winkel.
Von Oberinspektor Ing. Artur Morpurgo in Graz.
Die an und für sich einfache Aufgabe des Rückwärtsschnittes gestattet
eine so mannigfache Art der Ueberwindung der scheinbaren Schwierigkeiten der
mathematischen Lösung, daß mit einer Erschöpfung dieses Gegenstandes über­
haupt nicht zu rechnen ist.
Aus der Beharrlichkeit, mit welcher immer wieder dem Pothenotschen
Problem auf den Leib gerückt wird, muß geschlossen werden, daß das bisher
allgemein in Anwendung gestandene Rechenverfahren, welches trotz der Fülle
p
Fig.
I.
der alljährlich in der Fachliteratur erscheinenden Arbeiten von keinem neueren
Verfahren mit Erfolg verdrängt werden konnte, keineswegs befriedigend erscheint.
Wenn schon bei nur beschränkter Anwendung der Punktbestimmung aus
inneren Richtungen das Bedürfnis nach einer praktischeren Lösung dieses Pro­
blems vorgelegen ist, umso größer wird sich in Hinkunft das Verlangen nach
einer Vereinfachung der Lösung dieser Aufgabe einstellen müssen. Bei den
modernen Aufnahmemethoden wird der Grundsatz immer mehr zur Geltung
kommen, nach Durchführung der Triangulierung des Aufnahmegebietes die für
die Detailvermessung erforderlichen Standpunkte vorwiegend aus inneren Rich­
tungen festzulegen. Bei richtiger Auswahl der Punkte - in der Praxis wird
diesem Umstand leider noch zu wenig Beachtung gewidmet - ist die beim
Rüchirärtseinschneiden zu erwartende Genauigkeit durchaus hinreichend.
Um die in Rede stehende Aufgabe mit geringem Zeitaufwand und gegen
Rechenfehler möglichst geschützt zahlenmäßig in einfacher Weise lösen zu können,
5
geht der Verfasser von dem Grundsatze aus, daß diese Aufgabe sich auf eine
einfache Dreiecksauflösung zurückführen läßt.
Es sind die drei Punkte A, B, C (Fig. 1) durch die Entfernungen c und d
und durch den Brechungswinkel o gegeben. Die Lage des Standpunktes P
soll auf Grund der von diesem Punkte nach den gegebenen Pmikten gemessenen
Horizontalwinkel s und 'I/ bestimmt werden.
Bei der Berechnung des Dreieckes aus zwei Seiten und dem eingeschlos­
senen Winkel bestehen die Beziehungen (Fig. 2):
sin a _!!_
b
sin ß -
und
beim Rückwärtseinschneiden hingegen:
Slll a
d sin s
sin ß - c sin 17
---···-- ---
a
und
+ ß = 3600 - (o +
E
+ 11)·
rcB
/
·
//)B
k
Pig.
2.
Ein Vergleich der Beziehungen bei beiden Aufgaben läßt auf eine nahe
Verwandtschaft derselben schließen.
r"i.us den vorer\vähnten Beziehungen geht hervor, daß in einem Dreieck,
d si �
a
besteht
bei welchem-zwischen
den Seiten a und b das Verhältnis b =
.
c Sl11 1)
und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel r = O' + s + 17 - 180° ist,
die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel bezw. deren Supplemente die
gesuchten Winkel a und ß sein müssen.
Zur Ermittlung der Winkel a und ß (Fig. 3), denn darauf läuft letzten
Endes die gestellte Aufgabe hinaus, können nach dem Vorhergesagten mehrere
Dreiecke in Betracht kommen, welche naturgemäß untereinander ähnlich sein
werden.
In Fig. 3 sind ABR und CBQ zwei solche Hilfsdreiecke, welche zur
Bestimmung der gesuchten Winkel am besten herangezogen werden können.
Im Dreiecke ABR besteht zwischen den Seiten BR und AB das Verhältnis
!.sin 8 : c, wodurch die eine Bedingung erfüllt wird, und weiters ist, da der
Slll 17
Winkel RBC= 1800 - (s + '11) ist,
?' =
o + s + 17 - 180°;
daher muß im
6
Dreieck ABR der Winkel bei A der gesuchte Winkel a lind jener bei R der
. Winkel ß sein, vorausgesetzt daß o + s + 17 größer als 1.80° ist.
Die besonderen Fälle werden später einer Betrachtung unterzogen werden.
Die Richtigkeit der vorerwähnten Behauptung läßt sich aus der Konstruk­
tion in Figur 3 · ersehen. Da sowohl der Winkel ARB als auch der Winkel
B CP den Winkel BRP auf 1800 ergänzen, müssen die ersteren untereinander
'
'
'
\
1
1
1
\
fi
1
1
1
'
\
\
'
Fig.
3.
gleich sein, d. h. der Winkel ARB ist dem Winkel ß gleich. Analoge Bezie­
hungen ergeben sich auch hinsichtlich des Dreieckes BC Q.
Diese Betrachtungen führen zu einer einfachen Konstruktion des Punktes P
auf Grund der gemessenen Winkel s und ·17.
Mit der Seite B C und den anliegenden Winkeln s bei C und l 800 - (s + 11)
bei B wird das Dreieck B CR konstruiert, wodurch sich im Punkte R der
7
Winkel 17 ergibt. Mit der Seite BA und den Winkeln 17 bezw. 1800 - (a + 17)
bei A bezw. bei B erhält man den Punkt Q mit dem Winkel a. Der Schnitt­
punkt der Geraden AR und C Q ist der gesuchte Punkt P.
Der Winkel R SA= 180°-(a+ ß)= o + s + 17 - 180°= y. Die Punkte
A, B, S und R sowie die Punkte B, C, Q und S liegen auf je einem Kreise,
der Winkel AS B ist dem Winkel ß, der Winkel B SC dem Winkel a gleich.
Ferner ist der Winkel AB P als Peripheriewinkel dem Winkel A QP gleich,
d. i. 180° - a
a,
und der Winkel S BC ebenfalls 1800 - a - a, der Winkel·
ABR wurde dem Winkel CB Q= r= i'i+ s + 17- 180° gleich gemacht, d. h.
die von B ausgehenden Richtungen BA und BC, BR und B Q, B S und BP
weisen der den Winkel o Halbierenden B B' gegenüber gegenseitig eine sym­
metrische Anordnung auf.
Diesen Umstand machen wir uns zunutze, wenn unter sonst günstigen Ver­
hältnissen die Richtungen AR und C Q, wie in Beispiel 1, einen schlechten
Schnitt ergeben sollten, indem wir durch die Richtung BP eine günstige Be­
stimmung des Punktes P erhalten.
Je näher der Punkt P dem durch die Punkte A, B, C gehenden sogen.
gefährlichen Kreis rückt, desto kleiner werden die Abstände AR und Q C, mit­
hin auch die Genauigkeit der Bestimmung des Punktes P. Ist der Punkt P auf
diesem Kreis· gelegen, so fällt der Punkt R mit A, Q mit C zusammen, da der
Winkel r Null wird, und die Aufgabe wird nicht lösbar. Die Genauigkeit der
Punktbestimmung ist also vor allem von der Größe des Winkels r abhängig.
-
Der Schnittpunkt S wird in die Linie PB fallen, wenn a= 180°
und (3 .
180°
-
O'
-
�
-
c
2 - 17 wird, d. h. wenn der Punkt P selbst auf der Symmetralen
BB' liegt. Die Punkte P und S fallen zusammen, wenn a ='II und ß = s wir.d,
was dann der Fall ist, wenn der Punkt P auf der Linie BB' liegt, und zwar
mit dem Abstande von B, welcher der mittleren geometrischen Proportionalen
z'vischen den gegebenen Seiten c und d entspricht.
Ist die Summe o + a + 17 kleiner als 180°, so wird r negativ, und wir
erhalten bei der Lösung des Hilfsdreieckes nicht die gesuchten Winkel a und (3,
sondern deren Ergänzung auf 180°, welcher Umstand bei der Berechnung
besonders zu beachten ist.
Auch dieser Fall erscheint in Figur 3 veranschaulicht, wenn die Punkte
R, B und Q als gegeben betrachtet werden. Statt der früheren Hilfspunkte R
und Q erhalten wir nun die Punkte A und C. Der der gegebenen Seite BR
gegenüberliegende Winkel in A ist nun 1800-ß und jener in R 180 - a.
Sind die Winkel a und ß durch Auflösung des Hilfsdreieckes ermittelt, so
ist die gegebene Aufgabe im Wesentlichen gelöst, da die Ableitung der übrigen
Winkel und Abstände bezw. der Koordinaten des Punktes P in bekannter Weise
erfolgen kann.
Zur Berechnung. des Dreieckes aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen
Winkel kann die Anwendung des Kosinussatzes schon aus dem Grnnde nicht in
Betracht kommen, weil derselbe keine durchgehende logarithmische Rechnung
8
gestattet, während der Tangentensatz zu Fehlern leicht Anlaß geben kann. Es
erscheint daher verlockend, das für Dreieckslösungen im allgemeinen einfachste
rechnerische Verfahren, die Anwendung des Sinussatzes, auch für diesen Fall
dienstbar zu machen.
Nachstehend soll gezeigt werden, daß durch Einführung von Näherungs­
werten für die gesuchten Winkel und mit Benützung der logarithmischen Diffe­
renzen der Sinussatz auch als bequemste Lösung für die vorstehende Aufgabe
in Betracht kommen kann.
In Figur 2 seien die beiden Seiten a und b sowie der von ihnen ein­
geschlossene Winkel 'Y gegeben; 'es sollen hier nur die beiden Winkel ex und ß
rechnerisch bestimmt werden, da die Ermittlung der dritten Seite sodann keinen
Schwierigkeiten begegnen kann.
Zwischen den gegebenen und den gesuchten Stücken bestehen folgende
Beziehungen:
ex
1. aus der Dreieckssumme
a
2.
nach dem Sinussatz:
+ß+
'Y
= 180° ergibt sich:
+ ß= 180°-r
. ( 1)
s111 c<
a
a
=
oder log
= D gesetzt
b
sin (3
b
'.
'
.
log sin
a
-
log sin ß = D
. . . . . . . . (2)
.
Zur Lösung der Gleichungen ( 1) und (2) wählen wir eine indirekte Methode.
Wird statt a e111 Näherungswert ex' angenommen, so erhält man aus
Gleichung (1):
ß' = 180 - (r + a')
. . . . . . . . . (3)
.
Da die Gleichung (2) nur durch die wahren Werte für ex und ß restlos
'
ex
und ß' naturgemäß
einen Widerspruch ergeben, welcher von der Größe der Winkel a und ß und
von dem Genauigkeitsgrad der angenommenen Werte a ' und [31 abhängig
sem wird.
Von der Gleichung (2) ausgehend, erhalten wir mithin:
erfüllt wird, muß die Einführung der Näherungswerte
log sin
ex
'
-
log sin ß' = D
-
. . . . . (4)
d'
Um die gesuchten Werte ex und ß zu erhalten, müssen wir den Näherungs­
'
um .r und ß' um - .r Sekunden verbessern.
Von den gesuchten Winkeln ist der der kleineren Seite gegenüberliegende
Winkel kleiner als 90°, welcher stets mit ex' bezeichnet werden soll, weshalb
wert
a
sinngemäß auch
�
immer kleiner als l , bezw. D immer negativ sein muß.
Dies vorausgesetzt und weiters angenommen, daß
wir nach Anbringung der Verbesserungen aus (2):
(log sin
wobei d e11 und
O' [3'
a
'
+
.r
d ex')
-
:i:
sehr klein ist, erhalten
(log sin ß' - :r d ß')'= D
.
.
.
(5 )
die logarithmischen Differenzen für 1 Sekunde bedeuten,
Nach Ordnung der Glieder erhäft man aus (5):
log sin
oder mit Beziehung auf
Aus
(4) geht hervor:
a'
-
(4):
d' = D
ß' = D
log sin
d'
positiv ist.
Da
a'
d'
bezw. größer als
90°
-
hat,
stets
positiv zu nehmen, während O' ß' positiv
ist.
•
•
•
,
•
•
•
•
•
•
.
6
( )
ß') . . . . . . . (7)
a' größer und ß' kleiner
kleiner als 900 ist, ist da' immer
bezw. negativ wird, wenn ß' kleiner
a'
(log sin
Da .:r stets das Vorzeichen von
werden, wenn
.:r (tJ(l.1 +et ß' )
d'
da'+ O' ß'
X=
-
-
log sin
muß
Nach Ermittlung der Verbesserung .:r erhält man:
a = a' + .:r,
und
ß = ß' - .:r
.
•
.
.
.
.
.
. (8)
Das Ergebnis ist als einwandfrei zu betrachten, wenn die Probe (2):
log sin
stimmt.
a
-
log sin
ß=D
Wenn .:r verhältnismäßig groß ist, genügt eine einmalige Rechnung nicht,
da die logarithmischen Differenzen
a
nicht aber den gesuchten Winkeln
dCl.1
und
und O' ß' wohl den Näherungswerten,
ß
entsprechen. Um die Verbesserung
mit hinreichender Genauigkeit bestimmen zu können, müßte statt
metische Mittel zwischen
da
und
da'
berücksichtigt werden.
da'
x
das arith­
Eingehende Versuche haben ergeben, daß es zweckmäßiger erscheint, von
jeder nachträglichen Abänderung der logarithmischen Differenzen
abzusehen,
vielmehr, falls die nach (2) vorzunehmende Probe nicht stimmen sollte, die
für
a
und
ß
erhaltenen Werte neuerlich als Näherungswerte zu behandeln und .
das Verfahren so lange fortzusetzen, bis die Probe keinen Widerspruch ergibt.
Um zumeist schon in erster, in ungünstigen Fällen aber in zweiter Näherung
die tatsächlichen Werte für
a
und
ß
zu erhalten, hat der Verfasser Tafeln zur
Ermittlung der Näherungswerte zusammengestellt.
Es sei hier ausdrücklich hervorgehoben, daß es beim Gebrauche dieser
Tafeln vollständig genügt, die Einschaltung für die Zwischenwerte von y und D
nur schätzungsweise vorzunehmen, da erfahrungsgemäß die schlimmstenfalls un­
D
vermeidliche zweite Näherung rascher zum Ziele führt, als eine genaue Ableitung
des den Argumenten y und
entsprechenden Näherungswertes.
Zur Vereinfachung der Tafeln wurden die Winkelwerte nur von Grad zu
Grad berücksichtigt und von der Anwendung mehr als dreistelliger Logarithmen
abgesehen, da die Genauigkeit des Endergebnisses, welche dem jeweiligen Zweck
entsprechend beliebig weit getrieben werden kann, hiedurch nicht berührt wird.
Weiters wird aus Zweckmäßigkeitsgründen in den Tafeln unter
a'
stets
der kleinere von den gesuchten zwei Dreieckswinkeln verstanden, weil dadurch
a
'
immer nur eindeutig bestimmt ist und hiefür nur die Werte bis
900
in Betracht
kommen können.
Die folgenden Beispiele dürften genügen, um über die Anwendung der
Tafeln hinreichenden Aufschluß zu geben.
10
Zu Beispiel !.
- ----
-
c=
2540 771
log sin ri
Y·963 60 l I
+logc
3•404 8337
log(c sin ri)
3·368 4348
(c sin 11 <a sin s)
3·605 95G1
-log- (d sins)
D=
9·762 4787
ex in C V
r+
(180-ex
y
) in C -
�
1
d=
4060 m
logd
3·608 52b0
9·997 4301
+logsins
3·605 956 l
log(d sins)
(d sin s < csiny)
-- log (c sin11) .
D=
ex
in A +
r
(180
ex
y
) in A -
Beispiel 1.
=
j
1. Näherung
Probe
_
-- --
�
---
logi
Diff.
a=
1 750� 471
s=
83 46 23 I
l 13 07 54
Yj=
o'+s+11= 272 16104
180_1_
1
04
92 16 r=
180-y=
87 43 56
!X+ß
<X'=
29 21
1 fJ'= 58 �I�
180-ß'===
180-ex'= _ =x=
+ 1 51 -x= - 1 im
SI
1 1
·=
29�s
ß= ss11
180-a= - 1 1-1- 180-1-J=l-I B
..=
log
log
2. Näherung bezw. Probe
Diff.
Diff.
37_3. logsin a
9.692 0819
9.691 6683
logsin ex'
37.3
+ 13.0 -logsin.ß
9.929 6054
9.929 7499
-logsin ß'
+ '13.1
D-d'=
50.3 D -d"= --9.762 4765 -- -9.761 9184
50.4 -D=
9.762 4787
D=
9.762 4787
d"=
+z2
d'=
+ 5603
+ 22 : 50·4 = + 0·4"
%1=
c %= + 5603: 50·3 = + 111"
1
Aus den Tafeln
D=9.762
ex'
y 29° 1 30°
ex'
.
'
0
D
0
29 30
92- 753
757
775
93-ffi- 29 20
29 27
92116
1
1
-
12
Zu Beispiel 2.
\V
:?
C
5617
1380
4237
2425
+ 8188
+ 8188: 36.6 = + 224"
9.747
9.986
9.761
9.762
1. Näherung
logsin a'
-log sinß'
D-d'=
D=
d'=
z=
1
r-
log
Diff.
31.2
+ 5.4·
36.6
1
logsin a
9.748 2600
- log sin ß
9.986 0166
D-d"=
9.762 2434
D=
9.762 2425
d"=
-9
z,=
-9: 36.5=-0·2"
2. Näherung bezw. Probe
_____
a:_=:
l1
log
Diff.
31.l
+ 5.4
36.5
·
=
1 1
[ i1:0'_=;,=r- �� j
1- 1
1�1�
1
Prnbe
, log
Diff.
- -43" !Wiz.l
,482 7 m
d�
284643"
3.548 020 7.
c=
log d
1
+ logsinc
9.682 5300
--11=
-yr3107
o + c + 11= l 09
3.230 5 50 7
----1-log (a sinc)
' ' (d sin c < c sin 11)
- 180
=
-- log c sin 1J 1
3.468 3082
70 23158
3
-(
a+
60
9.
2425
09 3 6 1 0 2 1
62
ß)=
1
7
---��--,,__
JJ
__...._
..,
�a _mA r +
y
"
1(180-a) �A v
,=. ; oo
75 l o2 '
18o
rZ=
+ 1 3 44 -z= -1 3 44
a=
145 56116
ß= 104.27 42
75 32 18
180-a= 34 03 1 44 180-ß
Beispiel 2.
�
14
Zu Beisp
iel
;j
3.
0
1
2000 m
Aus den Tafeln
a'
D=
)' +
)' -
J
log sin a'
- log sin ß'
l. Näherung
461
1
39 sz-1
39
0
9.805 9510
9.994 7775
D-d'=
9.811 1735
D=
9.810 9873
d' =
- 1862
x--1862:
22·0=-85"
1
1
21
421 19.804 9.812
1.:u2
-1
1
r
in C in C -
-
D=9.811
a
1 (180 -a)
1 390 D1 400 a'1
1
� 43
1
_
�1 9.806 1 9.813
·
C=
9.67 5 5931
log sin 11
3.301 0300
+ logc
2.976 6231
log (c sin 11)
(c sin 11 <dsin s)
- logdsin s
-
d=
·�---
25.3
_:_ 3 ..3
22.0
log
Diff.
2.
c
..
log
Diff.
E=
7358
25.3
7495
- 3.3
D-d"=
9863
22.0
D=
9873
d" =
+ 10
Z1 = 1+10:22·0=+O·S"
9.805
9.994
9.810
9.810
V
-
Näherung bezw. Probe
1 (18 0 - a) in A
in A
2.976 6231
9.810 9873
sin 11)
·11 =
ä=
1�1�
1 16202!'1 191
1
Probe
_
0
1
1
:j 1
:J
--
--
=
log
Diff.
. 30 43 45
:"2816152a+s+11= 122 1
- 180 1
41 211�
)'=
a -t- ß= 138 38 04
98 52�
a' =
fj' =
39 .46 IS0-3/ '
180 -a' = !-=-)
z�
-l ll2S -z� + 1 251
98 531 29
ß
- 39 144 I�
-- o:
l 180-a= - l--c-I- 1 80 - r)= - - 13
1
1200 m
3.079 1812
·9.7u8 429-z---·
2.187 61U4
1
1-- -�
log- sin a
- log sin ß
r-
r+
iJ=
logd
+ log sin s
log (dsin s)
(dsin s <
--· log- (c sin IJ) 1
Beispiel 3.
Cn
16
Zu Beispiel 4.
2
c
l
5
1. Näherung
�
L
·
1
log
Diff.
bez1Y. Probe
(180-a) in A -
-- �a!ilA-=-
2. Näherung
y-
'}' +
1
log
Di:ff.
+
log sin a'
- log sin ß'
·-
----·-
Probe
_
l-=-=-1-
. ·
--
�
1
-'
log
Diff.
9)=
114 06 42
s + 11 = � 29 �
180 1 1
135129 39
y=
a+ß=
44 30 21
[1'""5""2_,
a'=
20 . 15 -m--ß-'-=-....-2 4....
q
180-ß=-==
180- a'=
1
X=
[31
3 -%=
a=
ß = 2 4 � 24
! 2U 1�15_7
1
1 ..=,
180-a= j - f- 1- 180-ß=--
o
9.539 2230
9.539 2059
57· l log sin a
57·1
9.613 6428
9.613 6568
+46·7 - logsin ß
+46·7
D-d'=
9.925 5802
9.925 5491
103·8 D-d"=
103·8
D=
D=
9.925 5504
9.925 5504
d'=
d"=
- 298
+ 13
x=
-298: 103·8=-3"
+13: 103·8=+0·1"
X1=
_
_
76°17'04"1
125 05 53
;-;-;;;-
r---7
=
u
���,----�������-:---������������-11 ._
log
log
11
3.285 4591
9.912 8432
3.198 3023
c sin 17)
-
Beispiel 4
Polygonalvermessungen
Seite 110.
österr. Instruktion für
vom Jahre 1904,
d
+logsins
log (d sins)
(d sin c <
-log(c sin17) [
D=
aus der
sin
9.960 3523
+Jogc
3.163 5004
3.123 8527
log (c sin 11)
(c sin 1) < a sins)
-log(dsins) [
3.198 3023
D=
9.925 5504
a in c �
'}' +
y(180-a) in C Aus den Tafeln
D-9 9761
a'
1
'}'
a'
120°l21°
'
D
o
1 '
o 1 1
� - 9.908 9.945 20 1�
136 1 19.92519.962 20 00
r 20 1 5 1
1135[301
X
-18755·73 -112370 96
-111178 68
16 -18152·68 -1 11044·47
2 1 -20272·86
y
"