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Sommer 2013
GRUNDLAGEN DES
VERSICHERUNGSMANAGEMENTS
Prof. Dr. Jörg Schiller
[email protected]
Weitere Informationen auf unserer Lehrstuhl-Homepage
http://www.insurance.uni-hohenheim.de
sowie auf https://ilias.uni-hohenheim.de
Inhalt
1.  Risikotheorie
2.  Kapitalmarkttheorie
3.  Versicherungsnachfrage mit/ohne Kapitalmarkt
4.  Finanzintermediation
5.  Grundlagen der Versicherungsmärkte
6.  Versicherungstechnische Risikopolitik, insb. Rückversicherung
7.  Risikomanagement im Versicherungsunternehmen
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Kapitel 1: Risikotheorie
Definition des Risikos
§  Individuen besitzen grundsätzlich drei Aktiva (Assets):
–  Gesundheitskapital
–  Fähigkeitskapital
–  Finanzkapital (Vermögen)
§  Diese Aktiva erlauben es dem Individuum z. B.
–  Konsumgüter zu kaufen und diese zu genießen
–  Arbeits- und Kapitaleinkommen zu erzielen
§  Aktiva sind zufälligen Störungen unterworfen, die zu Wertschwankungen führen
→  Abweichung zwischen geplanten und realisierten Werten
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Kapitel 1: Risikotheorie
Definition des Risikos
§  Umgangssprachlich werden Abweichungen realisierter von geplanten Werten in Risiken und
Chancen eingeteilt:
–  Risiko (Verlustgefahr): negative Abweichung des realisierten vom geplanten Wert, d.h.
Eintritt eines unerwünschten Falles
–  Chance (Gewinn): positive Abweichung des realisierten vom geplanten Wert, d.h. Eintritt
eines positiven Falles
§  Welche Probleme ergeben sich aus einer solchen Kategorisierung von Abweichungen?
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Kapitel 1: Risikotheorie
Definition des Risikos
§  Das Risiko einer Handlung oder eines Vorganges lässt sich durch die Wahrscheinlichkeiten (p)
der möglichen Konsequenzen bzw. Ergebnisse (x) beschreiben.
§  Wahrscheinlichkeiten
–  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses liegt immer zwischen 0 und 1: 0 ≤ p(x) ≤ 1
•  p(x) = 0: Ergebnis tritt mit Sicherheit nicht ein
•  p(x) = 1: Ergebnis tritt mit Sicherheit ein
–  Die Summe einer Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist 1:
∑ p( x) = 1
§  Beispiel: Risiko eines Würfelwurfes
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Kapitel 1: Risikotheorie
Wahrscheinlichkeitskonzepte
§  Logische (bzw. objektive a priori) Wahrscheinlichkeiten
–  Ausnahmefall
–  Fairer Würfel: Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Augenzahl (z.B. 5) ist nicht höher
als die einer anderen Augenzahl (z.B. 4).
→  Alle Augenzahlen treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf (Prinzip des
unzureichenden Grundes; Laplace-Wahrscheinlichkeiten).
§  Frequentistische (bzw. objektive a posteriori) Wahrscheinlichkeiten
→  Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer Häufigkeiten
§  Subjektive Wahrscheinlichkeiten
→  Wahrscheinlichkeiten als subjektive Glaubwürdigkeitsziffern
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Kapitel 1: Risikotheorie
Wahrscheinlichkeitskonzepte
Frequentistische Wahrscheinlichkeiten
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Kapitel 1: Risikotheorie
Wahrscheinlichkeitskonzepte
Subjektive Wahrscheinlichkeiten
Quelle: Slovic et al. 1979
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Kapitel 1: Risikotheorie
Zufallsvariablen
§  Das Risiko kann durch eine sogenannte Zufallsvariable X beschrieben werden:
–  Fall 1: Diskrete Zufallsvariable
X = {(x1,p1 ), (x2,p2 ),...,(xi,pi ),...,(xn,pn )} = {x1, x2,..., xi,..., xn,p1,p2,...,pi,...,pn }
–  Fall 2: Stetige Zufallsvariable:
f(x)
Dichtefunktion
F(x)
Verteilungsfunktion
1
0
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x
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0
x
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikomaße
§  Im Folgenden werden einige Risikomaße jeweils für diskrete und stetigen Zufallsvariablen X
definiert. Dabei sind
–  xj die möglichen Ausprägungen von X,
–  pj die zugehörigen Punktwahrscheinlichkeiten und
–  f(x) die Dichtefunktion in Abhängigkeit von den stetig zu variierenden
Ausprägungsmöglichkeiten.
1.  Erwartungswert:
a)  Diskrete Zufallsvariable:
b)  Stetige Zufallsvariable:
E[X] := µ = ∑ jp ⋅ x j
j
E[X] := µ =
∞
∫ x ⋅ f ( x ) dx
−∞
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikomaße
2. Streuungsmaße
§  Varianz (absolutes Maß)
2
a) 
Var [X] = σ 2 := E[X − µ ] = ∑ j(x j − µ ) ⋅ p j = ∑ jx 2j ⋅ p j − µ 2
b) 
Var [X] = σ := E[X − µ ] =
2
2
2
∞
2
(
)
x
−
µ
⋅ f (x ) dx
∫
−∞
§  Variationskoeffizient (relatives Maß)
v[X] =
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σ
µ
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikomaße
3. Schiefe
§  Die Schiefe beschreibt die „Neigungsstärke“ einer Verteilung. Sie zeigt an, ob und wie stark die
Verteilung nach rechts (positive Schiefe) oder nach links (negative Schiefe) geneigt ist.
3
y[X] =:
E[X − µ ]
σ3
f(x)
f(x)
x
x
Linksschief y(x)<0
Rechtsschief y(x)>0
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Kapitel 1: Risikotheorie
Versicherung und Einzelrisiken
§  Versicherungsunternehmen verpflichten sich in Versicherungsverträgen gegenüber
Versicherungsnehmern zu Leistungen, die dem Zufall unterliegen.
→  Die Fälligkeit der Leistung ist im Voraus unbestimmt.
§  Grundsätzlich kann unsicher sein,
–  ob,
–  wann und/oder
–  in welcher Höhe
die Leistung zu erbringen ist.
§  Aus Sicht des Versicherungsunternehmens wird mit dem Einzelrisiko die Ungewissheit der nach
Höhe und Eintritt zufälligen (vertraglichen) Leistungen bezeichnet.
→  In einem Versicherungsvertrag können mehrere Einzelrisiken zusammengefasst werden.
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikoausgleich im Kollektiv
Ergeben sich aus der Zusammenfassung von Einzelrisiken in Kollektiven Risikovorteile?
§  Versicherungsunternehmen fassen unterschiedliche Einzelrisiken in Beständen (Portfolios,
Kollektiven) zusammen.
§  Aus jedem Einzelrisiko, das ein Versicherer übernimmt, resultiert eine Leistungsverpflichtung für
mögliche Versicherungsleistungen (Xi).
§  Fasst ein Versicherer n gleichartige Einzelrisiken in einem Bestand zusammen, ergeben sich die
Konsequenzen:
X1, X2 , X3 ,..., Xi ,..., Xn
mit Xi ≥ 0
§  Die Gesamtverpflichtung (der Kollektivschaden) des Versicherungsunternehmens ist somit:
n
Z = X1 + X2 + X3 + ... + Xi + ... + Xn = ∑ Xi
i=1
§  Die durchschnittliche Verpflichtung pro Einzelrisiko, d.h. der Durchschnittsschaden ( x n ), ist:
1 n
Z
x n = ⋅ ∑ Xi =
n i=1
n
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikoausgleich im Kollektiv
§  Das finanzielle Ergebnis eines Versicherungsunternehmens hängt entscheidend von der
Verteilung des Kollektiv- bzw. Durchschnittsschadens ab.
→  Wie wirken die unterschiedlichen Einzelrisiken zusammen?
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikoausgleich im Kollektiv
Individuelle und aggregierte Schadenverteilungen für unabhängige Einzelrisiken
f(x)
f(x)
X1
f(x)
X2
X3
x
x
x
f(•)
Aggregierte
Schadenverteilung
Z, Z/n
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikoausgleich im Kollektiv
Zentraler Grenzwertsatz:
Eine Folge von Zufallsvariablen X1, X2, ... genügt dem zentralen Grenzwertsatz, wenn gilt:
⎧ Z − E[Z]
⎫
Pr ⎨
≤ x ⎬ → N( x ) für n → ∞
⎩ σ [Z]
⎭
N(·): Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung
Satz (Lindeberg-Levy): Eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen
mit endlichem Erwartungswert und endlicher Varianz genügt dem zentralen Grenzwertsatz.
Satz: Eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert und endlicher
σ 2 (Xi ) → ∞ für n → ∞ erfüllt, genügt dem zentralen
Varianz, die die Bedingung
Grenzwertsatz.
∑
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Kapitel 1: Risikotheorie
Binominalverteilung
§  Die Binominalverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und
unabhängigen Versuchen, die jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse haben („Erfolg“ oder
„Misserfolg“).
§  Ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch und die Anzahl der Versuche n, dann
bezeichnet man mit Bn,p(k) die Wahrscheinlichkeit genau k Erfolge zu erzielen.
–  Erwartungswert:
E [n,p] = n·p
–  Varianz:
Var [n,p] = n·p·(1-p)
§  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 5 Würfen zweimal eine 6 zu würfeln?
–  Die Wahrscheinlichkeit nur bei den ersten beiden Würfen eine 6 zu würfeln ist:
2
3
1 1 5 5 5 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
(
)
Pr SSNNN = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 0,01608
6 6 6 6 6 ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
–  Es gibt aber noch mehr Möglichkeiten, zwei Sechsen zu erhalten, nämlich:
(NNNSS), (NNSNS), (NNSSN), (NSNNS), (NSNSN), (NSSNN), (SNNNS), (SNNSN), (SNSNN).
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Kapitel 1: Risikotheorie
Beispiel: Binominalverteilung
–  Die Anzahl der Möglichkeiten ist somit:
⎛ 5 ⎞ 5 ⋅ 4
⎜⎜ ⎟⎟ =
= 10
⎝ 2 ⎠ 1⋅ 2
–  Die gesamte Wahrscheinlichkeit Pr(k = 2), dass bei fünf Versuchen genau k=2 Sechsen zu
werfen ist somit:
2
3
⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
Bn=5,p=1/ 6 (k = 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 0,1608
⎝ 2 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
§  Allgemein gilt somit:
⎛ n ⎞
k
n−k
Bn,p (k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ (p) ⋅ (1 − p)
⎝ k ⎠
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Kapitel 1: Risikotheorie
Beispiel: Binominalverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl 6 für 10 Würfe
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Anzahl k
Kombinationen
Bn,p(k)
1
10
0,32301117
2
45
0,29071005
3
120
0,15504536
4
210
0,05426588
5
252
0,01302381
6
210
0,00217064
7
120
0,00024807
8
45
1,8605E-05
9
10
8,2691E-07
10
1
1,6538E-08
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20
Kapitel 1: Risikotheorie
Beispiel: Binominalverteilung
B
B
0,35
0,3
0,25
0,2
0,25
B10,1/6 (k)
0,2
B30,1/6 (k)
0,15
0,15
0,1
0,1
0,05
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
k
B 0,12
0,1
0,08
B100,1/6 (k)
0,06
0,04
0,02
0
1
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3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
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k
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikoausgleich im Kollektiv
Wie kann der Zentrale Grenzwertsatz im Versicherungszusammenhang angewendet werden?
§  Angenommen ein Versicherer verkauft Kfz-Kaskopolicen an n gleichartige Risiken (z.B. männliche
Fahrer über 25 Jahren), wobei gilt:
E[Xi ] = E[X] und σ 2 (Xi ) = σ 2 (X) ∀i
→  Wie verändert sich das Risiko mit steigender Kollektivgröße?
§  Betrachten wir zunächst ein Kollektiv aus n=2 Einzelrisiken. Für den Kollektivschaden Z gilt:
n
E[Z] = ∑ E[Xi ] = E[X1 ] + E[X 2 ]
i =1
n
n−1 n
Var[Z] = ∑σ + 2∑ ∑σ i,j
i=1
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2
i
i=1 j=i+1
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikoausgleich im Kollektiv
§  Die Kovarianz zwischen zwei Zufallsvariablen Xi und Xk kann wie folgt berechnet werden:
cov[Xi , Xk ] = σ ik = ∑ p j ⋅ (xij − E[Xi ])⋅ (xkj − E[Xk ])
j
→  Die Varianz ist somit ein Spezialfall der Kovarianz der Zufallsvariable Xi mit sich selbst.
§  Die Varianz des Durchschnittsschadens ist:
⎡ X1 + X2 + X3 + ... + Xn ⎤
⎥
n
⎣
⎦
σ 2 [x n ] = σ 2 ⎢
§  Bei unabhängigen Einzelrisiken (cov=0) gilt:
⎡ X1 ⎤
2 ⎡ X 2 ⎤
2 ⎡ X 3 ⎤
2 ⎡ Xn ⎤
+
σ
+
σ
+
...
+
σ
⎢ n ⎥
⎥
⎢ n ⎥
⎢ n ⎥
⎣ n ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
σ 2 [x n ] = σ 2 ⎢
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikoausgleich im Kollektiv
§  Die Varianz des Durchschnittsschadens ergibt sich aus:
2
⎛ xij E[Xi ] ⎞
1
1
2
2
⎟⎟ = 2 ∑j p j (xij − E[Xi ]) = 2 ⋅ σ 2 [Xi ]
σ [xn ] = ∑j p j ⎜⎜ −
n ⎠
n
n
⎝ n
§  Somit ergibt sich für die Varianz des Durchschnittsschadens bei identischen und unabhängigen
Einzelrisiken:
1
σ 2 [X]
2
σ [xn ] = 2 ⋅ n ⋅ σ [X] =
n
n
2
§  Ähnlich gilt für den Variationskoeffizienten des Kollektivschadens:
v[Z] =
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σ [Z]
E[Z]
=
n ⋅ σ [X] 1 σ [X] 1
=
=
⋅ v[X]
n ⋅ E[X]
n E[X]
n
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikoausgleich im Kollektiv
Starkes Gesetz der großen Zahlen (starkes GGZ):
Eine Folge von Zufallsvariablen X1, X2, ... genügt dem starken Gesetz der großen Zahlen,
wenn gilt:
⎧ 1 n
⎫
n→∞
n →∞
Pr ⎨ ∑ Xi − E[Xi ] ⎯⎯⎯→ 0⎬ = Pr x n − E[x n ] ⎯⎯
⎯→ 0 = 1
⎩ n i=1
⎭
{
}
Satz (Kolmogoroff):
Jede unabhängige Folge identisch verteilter Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert
genügt dem starken Gesetz der großen Zahlen.
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Kapitel 1: Risikotheorie
Risikoausgleich im Kollektiv
§  Angenommen der Schadenerwartungswert der 25-jährigen Fahrer sei 500€ und die
Standardabweichung sei 800 € (σ2[X] = 8002 = 640.000 €2).
n
σ2(xn)
σ(xn)
1
640.000
800
10
64.000
253
100
6.400
80
1.000
640
25
10.000
64
8
∞
0
0
§  Auch wenn das relative Risiko (gemessen an σ2[xn] bzw. v[Z]) abnimmt, so nimmt das absolute
Risiko bei identischen und unabhängigen Einzelrisiken (unterproportional) in der Kollektivgröße zu.
σ [Z] = n ⋅ σ [X]
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Kapitel 1: Risikotheorie
Binominalverteilung
f (xn )
p=0.1; L=5000€
0,3
0,25
n
σ(xn)
Pr(xn>E[xn])
20
335,41
0,4446
50
212,13
0,3890
200
106,06
0,4408
1000
47,43
0,4734
0,2
n=20
n=50
0,15
n=200
n=1000
0,1
0,05
0
0
SoSe 2013
100
200
300
400
500
600
700
800
Versicherungsmanagement
900
1000
1100
1200
xn
27
Kapitel 1: Risikotheorie
Binominalverteilung
f (xn )
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
n=200
0,04
n=1000
0,03
0,02
0,01
0
0
SoSe 2013
100
200
300
400
500
600
700
Versicherungsmanagement
800
900
1000
1100
1200
xn
28
Kapitel 1: Risikotheorie
Risikoausgleich im Kollektiv
Zwischenfazit:
§  Mit zunehmender Kollektivgröße
–  sinkt die Standardabweichung bzw. Varianz des Durchschnittsschadens
–  wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung „symmetrischer“ und nähert sich der
Normalverteilung an.
§  Grundsätzlich gilt die Daumenregel, dass ein Portfolio aus mehr als 30 unabhängigen
Zufallsvariablen hinreichend gut durch die Normalverteilung approximiert werden kann.
–  Die Binominalverteilung kann näherungsweise durch die Normalverteilung approximiert
werden, wenn
n ⋅ p ⋅ (1 − p) > 3
gilt (Laplace-Regel).
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Kapitel 1: Risikotheorie
Normalverteilung
§  Die Normalverteilung hat die angenehme Eigenschaft, dass die Wahrscheinlichkeitsmasse unter
der Kurve symmetrisch eingeteilt werden kann, wenn man den Erwartungswert und die
Standardabweichung der Verteilung kennt.
§  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Wert oberhalb von µ+σ liegt, ist 0,1587. Da die
Verteilung symmetrisch ist, liegt somit ein beliebiger Wert mit einer Wahrscheinlichkeit
von1-2*0,1587=0,6826 innerhalb des Bereiches einer Standardabweichung.
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